Beamer-Präsentation des Vortrags: PDF, 2.8MB

DAS WASSERSTOFFSPEKTRUM
Die Geschichte einer genialen Idee
in der Physik des 20. Jahrhunderts
Matthias Brack
Universität Regensburg
Akademie der Gesellschaft für Erwachsenenbildung
“Haus der Begegnung”, Regensburg, 23. Februar 2010
Basel, anno 1884:
Ein Schullehrer studiert das Licht der Sonne ...
Basel, anno 1884:
Ein Schullehrer studiert das Licht der Sonne ...
Die verschiedenen Farben entprechen
verschiedenen Wellenlängen des Lichts
(“Fourier-Zerlegung”!)
Wenn man genau hinschaut, erkennt
man im Farbspektrum des Sonnenlichts
dunkle Lücken
Basel, anno 1884:
Ein Schullehrer studiert das Licht der Sonne ...
Die verschiedenen Farben entprechen
verschiedenen Wellenlängen des Lichts
(“Fourier-Zerlegung”!)
Wenn man genau hinschaut, erkennt
man im Farbspektrum des Sonnenlichts
dunkle Lücken
Joseph von Fraunhofer
(*1787 in Straubing, †1826 in München)
hatte bereits 1814 diese Lücken (“dunkle
Linien”) entdeckt
Licht als elektromagnetische Welle
Wellenlänge:
Frequenz:
λ = Abstand zwischen Wellenbergen (oder -tälern)
ν = Zahl der Wellenberge (oder -täler) pro Zeiteinheit
Geschwindigkeit:
c = λ ν = 2.9979 · 108 m s−1 (im Vakuum)
c ist eine universelle Naturkonstante!
Licht als elektromagnetische Welle
Wellenlänge:
Frequenz:
λ = Abstand zwischen Wellenbergen (oder -tälern)
ν = Zahl der Wellenberge (oder -täler) pro Zeiteinheit
Geschwindigkeit:
c = λ ν = 2.9979 · 108 m s−1 (im Vakuum)
c ist eine universelle Naturkonstante!
Balmer versuchte, die Wellenlängen λ der vier damals bekannten Lücken,
die “Fraunhofer-Linien”, mit einer einfachen Formel zu erfassen
Er liebte es, mit Zahlen zu spielen ...
Die “Balmer-Serie”
Johannes Balmer (*1825 in Lausen, †1889 in Basel)
konnte 1885 die vier Wellenlängen mit einer einzigen
Konstante B = 364.6 nm folgendermaßen erfassen:
9
4
25
9
λ = B , B , B , B
5
3
21
8
Die “Balmer-Serie”
Johannes Balmer (*1825 in Lausen, †1889 in Basel)
konnte 1885 die vier Wellenlängen mit einer einzigen
Konstante B = 364.6 nm folgendermaßen erfassen:
9
4
25
9
9
16
25
36
λ = B , B , B , B = B , B , B , B
5
3
21
8
5
12
21
32
Die “Balmer-Serie”
Johannes Balmer (*1825 in Lausen, †1889 in Basel)
konnte 1885 die vier Wellenlängen mit einer einzigen
Konstante B = 364.6 nm folgendermaßen erfassen:
9
4
25
9
9
16
25
36
λ = B , B , B , B = B , B , B , B
5
3
21
8
5
12
21
32
Dafür fand er die heute so genannte Balmer-Formel:
λ = B
2
m
m2 −4
mit
m = 3, 4, 5, 6
Die “Balmer-Serie”
Johannes Balmer (*1825 in Lausen, †1889 in Basel)
konnte 1885 die vier Wellenlängen mit einer einzigen
Konstante B = 364.6 nm folgendermaßen erfassen:
9
4
25
9
9
16
25
36
λ = B , B , B , B = B , B , B , B
5
3
21
8
5
12
21
32
Dafür fand er die heute so genannte Balmer-Formel:
λ = B
2
m
m2 −4
mit
m = 3, 4, 5, 6
Der Physik-Professor an der Universität Basel maß dieser Formel keine physikalische Bedeutung zu. Aber er verwies auf andere ähnliche Formeln ...
Die Rydberg-Formel
Johannes Rydberg (*1854 in Halmstad, †1919 in Lund)
verallgemeinerte die Balmer-Formel. Er formulierte sie
für die Frequenzen ν der Spektrallinien:
ν =
c
λ
= R
1
n2
−
1
m2
n = 1, 2, . . . , m = 2, 3, . . . (m > n)
(R = 3.29 · 1015s−1) n = 2 gibt mit λ =
c
ν
und B =
4c
R
die Balmer-Formel!
Die Rydberg-Formel
Johannes Rydberg (*1854 in Halmstad, †1919 in Lund)
verallgemeinerte die Balmer-Formel. Er formulierte sie
für die Frequenzen ν der Spektrallinien:
ν =
c
λ
= R
1
n2
−
1
m2
n = 1, 2, . . . , m = 2, 3, . . . (m > n)
(R = 3.29 · 1015s−1) n = 2 gibt mit λ =
c
ν
und B =
4c
R
die Balmer-Formel!
Für andere Werte von n sagte diese Formel neue Linien voraus:
n = 1: “Lyman-Serie” (ultraviolett)
n = 3: “Paschen-Serie” (infrarot)
Diese wurden tatsächlich experimentell gemessen!
Die Rydberg-Formel
Johannes Rydberg (*1854 in Halmstad, †1919 in Lund)
verallgemeinerte die Balmer-Formel. Er formulierte sie
für die Frequenzen ν der Spektrallinien:
ν =
c
λ
= R
1
n2
−
1
m2
n = 1, 2, . . . , m = 2, 3, . . . (m > n)
(R = 3.29 · 1015s−1) n = 2 gibt mit λ =
c
ν
und B =
4c
R
die Balmer-Formel!
Für andere Werte von n sagte diese Formel neue Linien voraus:
n = 1: “Lyman-Serie” (ultraviolett)
n = 3: “Paschen-Serie” (infrarot)
Diese wurden tatsächlich experimentell gemessen!
Aber: Weder Balmer noch Rydberg verstanden die Bedeutung ihrer Formeln
doch etwa 27 Jahre später...
Kopenhagen, anno 1912:
Niels Bohr denkt über das Atom nach ...
Ernest Rutherford
(*1871 in Nelson, New Zealand, †1937
in Cambridge)
zeigte 1911 experimentell, dass das Atom
einen winzigen Kern enthält, der positiv
geladen und (weit außen) von den negativ
geladenen Elektronen umgeben ist
Kopenhagen, anno 1912:
Niels Bohr denkt über das Atom nach ...
Ernest Rutherford
(*1871 in Nelson, New Zealand, †1937
in Cambridge)
zeigte 1911 experimentell, dass das Atom
einen winzigen Kern enthält, der positiv
geladen und (weit außen) von den negativ
geladenen Elektronen umgeben ist
Aber: nach der klassischen Theorie von
Maxwell müssten die Elektronen Energie
abstrahlen ...
Bohr stellt die Frage: warum stürzen die
Elektronen nicht in den Kern?
Kopenhagen, anno 1912:
Niels Bohr denkt über das Atom nach ...
Ernest Rutherford
(*1871 in Nelson, New Zealand, †1937
in Cambridge)
zeigte 1911 experimentell, dass das Atom
einen winzigen Kern enthält, der positiv
geladen und (weit außen) von den negativ
geladenen Elektronen umgeben ist
Aber: nach der klassischen Theorie von
Maxwell müssten die Elektronen Energie
abstrahlen ...
Bohr stellt die Frage: warum stürzen die
Elektronen nicht in den Kern?
Dann hat er eine Idee: er erinnert sich an
Plancks Quantenhypothese...
Die Plancksche Strahlungsgesetz
Max Planck (*1858 in Kiel, †1947 in Göttingen)
entdeckte 1900 seine berühmte Strahlungsformel
für die Energiedichte u(λ) von elektromagnetischer
Strahlung als Funktion von der Wellenlänge
und der Temperatur
Die Plancksche Strahlungsgesetz
Max Planck (*1858 in Kiel, †1947 in Göttingen)
entdeckte 1900 seine berühmte Strahlungsformel
für die Energiedichte u(λ) von elektromagnetischer
Strahlung als Funktion von der Wellenlänge
und der Temperatur
Verlauf der Kurve u(λ) bei verschiedenen
Temperaturen (in Kelvin)
Damit kann z.B. die Temperatur eines Sterns
“gemessen” werden
(auch: Altersbestimmung des Weltalls über die
Hintergrunds-Strahlung nach dem “Big Bang”!)
Aber: Um eine geschlossene Formel zu erhalten, musste Planck eine scheinbar
unsinnige Hypothese machen ...
Plancks Quantenhypothese
Planck machte – sehr widerwillig! – folgende Quantenhypothese:
“Die Energie E des Lichts (resp. des Strahlungsfeldes) ist nicht kontinuierlich
(wie in der klassischen Mechanik und Elektrodynamik), sondern quantisiert!
Sie muss ein ganzzahliges Vielfaches n von h ν sein:”
E = nhν
n = 1, 2, 3, . . .
Das Plancksche Wirkungsquantum h = 0.66249 · 10−33 J·s
ist dabei eine neue Naturkonstante
Dimension: [h] = [Energie · Zeit] = [Wirkung]
Plancks Quantenhypothese
Planck machte – sehr widerwillig! – folgende Quantenhypothese:
“Die Energie E des Lichts (resp. des Strahlungsfeldes) ist nicht kontinuierlich
(wie in der klassischen Mechanik und Elektrodynamik), sondern quantisiert!
Sie muss ein ganzzahliges Vielfaches n von h ν sein:”
E = nhν
n = 1, 2, 3, . . .
Das Plancksche Wirkungsquantum h = 0.66249 · 10−33 J·s
ist dabei eine neue Naturkonstante
Dimension: [h] = [Energie · Zeit] = [Wirkung]
Planck mochte diese revolutionäre Hypothese selber gar nicht!
Aber der Erfolg seiner Formel, in welcher h explizit vorkommt, schien diese
Annahme zu rechtfertigen
Experimentelle Verifizierung von E = h ν im Photoelektrischen Effekt
durch Albert Einstein (1905) n = 1: “Lichtquant” = “Photon”
zurück zu Bohr ...
Bohrs Quantenhypothese
Niels Bohr (*1885 und †1962 in Kopenhagen)
führte 1913 die Quantenhypothese für die Elektronen im H-Atom ein:
“Die einzigen erlaubten Zustände der Elektronen im Atom sind Bahnen um den
Atomkern, deren Drehimpuls L proportional zu n h ist”:
1
L = n h 2π
n = 1, 2, . . .
Bohrs Quantenhypothese
Niels Bohr (*1885 und †1962 in Kopenhagen)
führte 1913 die Quantenhypothese für die Elektronen im H-Atom ein:
“Die einzigen erlaubten Zustände der Elektronen im Atom sind Bahnen um den
Atomkern, deren Drehimpuls L proportional zu n h ist”:
1
L = n h 2π
⇒ der Drehimpuls L ist quantisiert!
n = 1, 2, . . .
n = 1, 2, ... heisst “Quantenzahl”
Für Kreisbahnen: L = R × p (Impuls: p = m v = Masse · Geschwindigkeit)
Dimension: [L] = [Länge · Impuls] = [Wirkung] = [h] (Planck-Konstante!)
Triumph der Bohrschen Quantentheorie
Die Quantisierung des Drehimpulses der Elektronen impliziert die Quantisierung
ihrer Energien E. Für das Wasserstoff-Atom (H-Atom) ergibt dies das so
genannte Rydberg-Spektrum:
E ⇒ En = − E0 n12
n = 1, 2, . . .
me e4
2~2
{En} = (Energie-) Spektrum
= 13.6 eV besteht aus Naturkonstanten:
Die “Rydberg-Energie” E0 =
h
me = Elektronenmasse, e = Elementarladung, ~ = 2π
Triumph der Bohrschen Quantentheorie
Die Quantisierung des Drehimpulses der Elektronen impliziert die Quantisierung
ihrer Energien E. Für das Wasserstoff-Atom (H-Atom) ergibt dies das so
genannte Rydberg-Spektrum:
E ⇒ En = − E0 n12
n = 1, 2, . . .
{En} = (Energie-) Spektrum
me e4
2~2
= 13.6 eV besteht aus Naturkonstanten:
Die “Rydberg-Energie” E0 =
h
me = Elektronenmasse, e = Elementarladung, ~ = 2π
Ein weiteres Postulat von Bohr:
“Beim Übergang eines Elektrons zwischen zwei Quantenzuständen n und m
wird die Energiedifferenz als Licht(-quant) emittiert oder absorbiert”:
∆En,m = E0
1
n2
−
1
m2
= hν
Triumph der Bohrschen Quantentheorie
Die Quantisierung des Drehimpulses der Elektronen impliziert die Quantisierung
ihrer Energien E. Für das Wasserstoff-Atom (H-Atom) ergibt dies das so
genannte Rydberg-Spektrum:
E ⇒ En = − E0 n12
n = 1, 2, . . .
{En} = (Energie-) Spektrum
me e4
2~2
= 13.6 eV besteht aus Naturkonstanten:
Die “Rydberg-Energie” E0 =
h
me = Elektronenmasse, e = Elementarladung, ~ = 2π
Ein weiteres Postulat von Bohr:
“Beim Übergang eines Elektrons zwischen zwei Quantenzuständen n und m
wird die Energiedifferenz als Licht(-quant) emittiert oder absorbiert”:
∆En,m = E0
1
n2
−
1
m2
= hν
ν =
c
λ
= R
1
n2
−
1
m2
Dies gibt mit E0 = h R die Rydbergformel (und mit R = E0/h die RydbergKonstante). Diese war jetzt zum ersten Mal verstanden!
Bei Übergängen des Elektrons
zwischen zwei Quantenzuständen
wird die Energiedifferenz ∆E
als Licht mit der Frequenz ν
gemäß E = h ν emittiert –
oder auch absorbiert!
Bei Übergängen des Elektrons
zwischen zwei Quantenzuständen
wird die Energiedifferenz ∆E
als Licht mit der Frequenz ν
gemäß E = h ν emittiert –
oder auch absorbiert!
Die Fraunhofer-Linien müssen also
den Frequenzen ν entsprechen,
bei denen das Sonnenlicht in der
Wasserstoff-Atmosphäre der Sonne
absorbiert werden kann
Die Absorptionslinien im Wasserstoff
liefern direkt das Rydberg-Spektrum
En des H-Atoms!
Die Bohr-Sommerfeld-Quantisierung
Arnold Sommerfeld (*1868 in Königsberg, †1951 in München)
und Niels Bohr verallgemeinerten die QuantisierungsBedingung für ein gebundenes Teilchen
“Das Wirkungsintegral S entlang einer geschlossenen Bahn des Teilchens
ist quantisiert:”
H
S = p · dr = n h
n = 1, 2, . . .
S = Produkt von Impuls p (Komponente entlang der Bahn) mal Länge r,
entlang der ganzen Bahn aufsummiert
Die Bohr-Sommerfeld-Quantisierung
Arnold Sommerfeld (*1868 in Königsberg, †1951 in München)
und Niels Bohr verallgemeinerten die QuantisierungsBedingung für ein gebundenes Teilchen
“Das Wirkungsintegral S entlang einer geschlossenen Bahn des Teilchens
ist quantisiert:”
H
S = p · dr = n h
n = 1, 2, . . .
S = Produkt von Impuls p (Komponente entlang der Bahn) mal Länge r,
entlang der ganzen Bahn aufsummiert
Dimension: [S] = [Impuls · Länge] = [Wirkung] = [h]
Für eine Kreisbahn: S = p 2πR = 2π(p R) = 2π L
Die Bohr-Sommerfeld-Quantisierung war viel allgemeiner als die DrehimpulsQuantisierung von Bohr.
Aber...
Das Helium-Atom
Das Helium-Atom besteht aus einem Kern (α-Teilchen) und zwei Elektronen
Es ist also ein Drei-Teilchen-System
Die beiden Elektronen stören gegenseitig ihre Bahnen!
Werner Heisenberg (*1901 in Würzburg, †1976 in München)
versuchte, zusammen mit seinem Lehrer Sommerfeld und mit
Bohr, die Quantisierungs-Bedingung für die Elektronen im
He-Atom zu finden
Das Helium-Atom
Das Helium-Atom besteht aus einem Kern (α-Teilchen) und zwei Elektronen
Es ist also ein Drei-Teilchen-System
Die beiden Elektronen stören gegenseitig ihre Bahnen!
Werner Heisenberg (*1901 in Würzburg, †1976 in München)
versuchte, zusammen mit seinem Lehrer Sommerfeld und mit
Bohr, die Quantisierungs-Bedingung für die Elektronen im
He-Atom zu finden
Skizzen in einem Brief von Heisenberg an Sommerfeld (1922): Quantisierung der ϕ-Bewegung
Das Versagen der Bohrschen Quantentheorie
Heisenberg erhielt ein gutes Resultat für die Ionisations-Energie von
Helium (24.6 eV statt 24.5 eV ), aber er brauchte eine nicht-ganze
Quantenzahl: nϕ = 21 . Für Bohr war dies aber streng verboten!
Angeregte Elektronenzustände konnte man überhaupt nicht beschreiben
Helium konnte nicht verstanden werden – Bohrs Quantentheorie versagte!
Was war falsch?
Das Versagen der Bohrschen Quantentheorie
Heisenberg erhielt ein gutes Resultat für die Ionisations-Energie von
Helium (24.6 eV statt 24.5 eV ), aber er brauchte eine nicht-ganze
Quantenzahl: nϕ = 21 . Für Bohr war dies aber streng verboten!
Angeregte Elektronenzustände konnte man überhaupt nicht beschreiben
Helium konnte nicht verstanden werden – Bohrs Quantentheorie versagte!
Was war falsch?
Albert Einstein (*1879 in Ulm, †1955 in Princeton)
zeigte 1917 (von den meisten unbemerkt!), dass die
Bohr-Sommerfeld-Quantisierung nur in integrablen
(d.h. exakt lösbaren) Systemen funktionieren kann.
Drei-Teilchen-Systeme sind aber i.A. nicht integrabel.
NB: Das H-Atom ist integrabel, das He-Atom nicht!
In nicht-integrablen Systemen kann Chaos auftreten! (s.u.)
Um weiterzukommen, musste eine neue Quantentheorie entwickelt werden ...
Die neue Quantenmechanik
Die Jahre 1925 – 1928 brachten die Entwicklung der neuen Quantenmechanik
(Heisenberg, Born, de Broglie, Jordan, Schrödinger, Bohr, Pauli, Dirac, ...)
Die Erfolge der neuen Theorie waren überwältigend, und die “alte Quantentheorie”
von Bohr (und Sommerfeld) wurde praktisch vergessen ...
Das neue Credo: In Atomen laufen die Teilchen nicht auf klassichen Bahnen!
Denn: Teilchen führen sich im mikroskopischen Bereich wie Wellen auf –
und umgekehrt! (Teilchen-Welle-Dualität; Bohr: Komplementarität)
Die neue Quantenmechanik
Die Jahre 1925 – 1928 brachten die Entwicklung der neuen Quantenmechanik
(Heisenberg, Born, de Broglie, Jordan, Schrödinger, Bohr, Pauli, Dirac, ...)
Die Erfolge der neuen Theorie waren überwältigend, und die “alte Quantentheorie”
von Bohr (und Sommerfeld) wurde praktisch vergessen ...
Das neue Credo: In Atomen laufen die Teilchen nicht auf klassichen Bahnen!
Denn: Teilchen führen sich im mikroskopischen Bereich wie Wellen auf –
und umgekehrt! (Teilchen-Welle-Dualität; Bohr: Komplementarität)
Ort und Impuls eines Teilchens (in derselben Richtung) können nicht exakt
gemessen werden (Heisenberg: Unschärfeprinzip)
Für Messgrößen können oft nur Wahrscheinlichkeiten vorausgesagt werden
Statt Ort und Impuls (oder anderer Größen) kennt man nur deren
Erwartungswerte (“Kopenhagener Interpretation” der Quantenmechanik)
Es herrscht also kein exakter Determinismus wie in der klassischen Mechanik!
Eine hervorragende Bohr-Biographie:
Abraham Pais: (*1918 in Amsterdam, †2000 in Kopenhagen)
Niels Bohr’s Times,
In Physics, Philosophy, and Polity
(Oxford University Press, New York, 1991)
doch zurück zu Drei-Teilchen-Systemen ...
Mikroskopisches Drei-Teilchen-System:
Das Helium-Atom
(Kern + 2 Elektronen)
Makroskopisches Drei-Körper-System:
Sonne - Erde - Mond
Das älteste Drei-Körper-System der Welt
Vor mehr als 2600 Jahren beobachteten die Babylonier
die Bewegung von Sonne, Mond und Erde. Sie konnten
deren Perioden sehr genau bestimmen! (s.u. ?)
Das älteste Drei-Körper-System der Welt
Vor mehr als 2600 Jahren beobachteten die Babylonier
die Bewegung von Sonne, Mond und Erde. Sie konnten
deren Perioden sehr genau bestimmen! (s.u. ?)
Johannes Kepler
(*1571 in Württemberg,
†
1630 in Regensburg)
entdeckte die elliptischen
Bahnen der Planeten um
die Sonne
Das älteste Drei-Körper-System der Welt
Vor mehr als 2600 Jahren beobachteten die Babylonier
die Bewegung von Sonne, Mond und Erde. Sie konnten
deren Perioden sehr genau bestimmen! (s.u. ?)
Johannes Kepler
(*1571 in Württemberg,
†
1630 in Regensburg)
entdeckte die elliptischen
Bahnen der Planeten um
die Sonne
Sir Isaac Newton
(*1643 in Woolsthorpe,
†
1727 in London)
leitete die elliptischen
Bahnen der Planeten
mathematisch her
Das älteste Drei-Körper-System der Welt
Vor mehr als 2600 Jahren beobachteten die Babylonier
die Bewegung von Sonne, Mond und Erde. Sie konnten
deren Perioden sehr genau bestimmen! (s.u. ?)
Johannes Kepler
(*1571 in Württemberg,
†
1630 in Regensburg)
entdeckte die elliptischen
Bahnen der Planeten um
die Sonne
Sir Isaac Newton
(*1643 in Woolsthorpe,
†
1727 in London)
leitete die elliptischen
Bahnen der Planeten
mathematisch her
Im 19. Jh. untersuchte man die mathematischen Lösungen für dieses Drei-KörperProblem und insbesondere auch die Stabilität der Mondbahn
Stabilität des Drei-Körper-Systems
Henri Poincaré (*1854 in Nancy, †1912 in Paris),
einer der genialsten Mathematiker aller Zeiten, gewann 1889 einen Wettbewerb
anlässlich des 60. Geburtstags von König Oskar II von Schweden und Norwegen
Stabilität des Drei-Körper-Systems
Henri Poincaré (*1854 in Nancy, †1912 in Paris),
einer der genialsten Mathematiker aller Zeiten, gewann 1889 einen Wettbewerb
anlässlich des 60. Geburtstags von König Oskar II von Schweden und Norwegen
Titel seines Beitrags:
Sur le problème des trois corps et les équations de la
dynamique
(Über das Drei-Körper-Problem und die Gleichungen der Dynamik)
Acta Mathematica (1890)
Stabilität des Drei-Körper-Systems
Henri Poincaré (*1854 in Nancy, †1912 in Paris),
einer der genialsten Mathematiker aller Zeiten, gewann 1889 einen Wettbewerb
anlässlich des 60. Geburtstags von König Oskar II von Schweden und Norwegen
Titel seines Beitrags:
Sur le problème des trois corps et les équations de la
dynamique
(Über das Drei-Körper-Problem und die Gleichungen der Dynamik)
Acta Mathematica (1890)
Poincarés Erkenntnis: Das Drei-Körper-Problem ist nicht immer integrabel!
Trotz des strengen Determinismus der klassischen Mechanik kann keine exakte
Voraussage über die Stabilität des Systems Sonne-Erde-Mond gemacht werden!
Stabilität des Drei-Körper-Systems
Henri Poincaré (*1854 in Nancy, †1912 in Paris),
einer der genialsten Mathematiker aller Zeiten, gewann 1889 einen Wettbewerb
anlässlich des 60. Geburtstags von König Oskar II von Schweden und Norwegen
Titel seines Beitrags:
Sur le problème des trois corps et les équations de la
dynamique
(Über das Drei-Körper-Problem und die Gleichungen der Dynamik)
Acta Mathematica (1890)
Poincarés Erkenntnis: Das Drei-Körper-Problem ist nicht immer integrabel!
Trotz des strengen Determinismus der klassischen Mechanik kann keine exakte
Voraussage über die Stabilität des Systems Sonne-Erde-Mond gemacht werden!
Seine drei Bücher Les méthodes nouvelles de la méchanique céleste
(Die Methoden der neuen Himmelsmechanik) (Paris, 1899)
legten die Grundlagen zur modernen Chaos-Forschung
Fraktale Strukturen im Chaos:
(“Mandelbrot-Diagramm”)
Beim Vergrößern eines Ausschnittes
(“zoom”) wiederholen sich dieselben
Strukturen
Dies kann unendlich oft fortgesetzt
werden!
Determinismus in der klassischen Mechanik
Die Bahn r(t) (Koordinate r als Funktion der Zeit t) eines Teilchens
wird durch die Newton-Gleichung bestimmt:
Kraft = Masse · Beschleunigung :
K = mb
Determinismus in der klassischen Mechanik
Die Bahn r(t) (Koordinate r als Funktion der Zeit t) eines Teilchens
wird durch die Newton-Gleichung bestimmt:
Kraft = Masse · Beschleunigung :
K = mb
Ausgehend von einer Potentialfunktion V (r) ergibt dies eine Differentialgleichung
für r(t):
K(r) = −∇V (r) = m b = m
d2
dt2
r(t)
Die Lösung r(t) ist für alle Zeiten eindeutig festgelegt durch die
Anfangsbedingungen
zur Zeit t0: Ort r0 = r(t0) und Impuls p0 = mv(t0)
d
r(t) = Geschwindigkeit]
v(t) = dt
Determinismus in der klassischen Mechanik
Die Bahn r(t) (Koordinate r als Funktion der Zeit t) eines Teilchens
wird durch die Newton-Gleichung bestimmt:
Kraft = Masse · Beschleunigung :
K = mb
Ausgehend von einer Potentialfunktion V (r) ergibt dies eine Differentialgleichung
für r(t):
K(r) = −∇V (r) = m b = m
d2
dt2
r(t)
Die Lösung r(t) ist für alle Zeiten eindeutig festgelegt durch die
Anfangsbedingungen
zur Zeit t0: Ort r0 = r(t0) und Impuls p0 = mv(t0)
d
r(t) = Geschwindigkeit]
v(t) = dt
[NB: In der Quantenmechanik gilt die Newton-Gleichung nicht mehr
Stattdessen: Lösen der Schrödingergleichung, Berechnen von Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der Teilchen!]
Periodische Bahnen und Chaos
Periodische Bahnen wiederholen sich nach einer endlichen Periode T der Zeit:
r(t + T ) = r(t) ,
p(t + T ) = p(t)
(z.B. Kreis, Ellipse, ...)
In integrablen Systemen sind alle Bahnen periodisch (oder quasi-periodisch)
In nicht-integrablen Systemen gibt es sowohl periodische als auch
nicht-periodische irreguläre Bahnen, die sich nie wiederholen
Periodische Bahnen und Chaos
Periodische Bahnen wiederholen sich nach einer endlichen Periode T der Zeit:
r(t + T ) = r(t) ,
p(t + T ) = p(t)
(z.B. Kreis, Ellipse, ...)
In integrablen Systemen sind alle Bahnen periodisch (oder quasi-periodisch)
In nicht-integrablen Systemen gibt es sowohl periodische als auch
nicht-periodische irreguläre Bahnen, die sich nie wiederholen
Ein wichtiger Aspekt ist die Stabilität einer Bahn (s.u.)
Chaos: In einem chaotischen System sind alle Bahnen instabil
Kleine Störungen (z.B. numerische Fehler) wachsen exponentiell!
⇒ praktisch: Keine Voraussagbarkeit trotz Determinismus!
Laut Poincaré sind die periodischen Bahnen der “Schlüssel zum Chaos”!
stabile Bahn:
bei kleiner Änderung der Anfangsbedingungen
bleibt die gestörte Bahn in der Nähe der
ungestörten Bahn
instabile Bahn:
bei kleiner Änderung der Anfangsbedingungen
entfernt sich die gestörte Bahn exponentiell
von der ungestörten Bahn
Ein nicht-integrables System mit Chaos
Ein Teilchen im Hénon-Heiles-Potential1 [V (x, y) = 3 (x2 + y 2) + 6 x2y − 2 y 3]
Höhenlinien konstanter potentieller Energie E:
b
1.0
0.5
y
0.0
-0.5
g
-1.0
r
-0.5
0.0
x
0.5
1.0
Minimum bei (x, y) = (0,0) mit Energie E = 0;
drei Sattelpunkte (b,g,r) mit Energie E = 1
1
ursprünglich: Modellpotential für einen Stern in einer Galaxie!
Dreidimensionale Perspektive:
1
0.5
-1
-0.5
0
0
x
-0.5
0.5
1
-1
y
Die drei kürzesten periodischen Bahnen (bei E = 1):
Bahn A: stabil bis zu E = 0.96
dann abwechselnd stabil und instabil
bis zu E = 1; dabei entstehen
neue periodische Bahnen durch
Bifurkationen ⇒ Chaos1
1.0
A
0.5
y
C
Bahn B: instabil bei allen Energien
0.0
Bahn C: stabil bis zu E = 0.89
bei E > 0.89: instabil
B
-0.5
-1.0
-0.5
0.0
x
0.5
1.0
[1 vgl. das sog. “Feigenbaum-Szenario”]
Zwei weitere periodische Bahnen bei E = 1:
1.0
0.5
y
0.0
-0.5
-1.0
-0.5
0.0
x
0.5
1.0
Eine quasi-periodische Bahn bei E = 0.5:
1.0
0.5
y
0.0
-0.5
-1.0
-0.5
0.0
x
0.5
1.0
Eine chaotische Bahn bei E = 1:
1.0
0.5
y
0.0
-0.5
-1.0
-0.5
0.0
x
0.5
1.0
Bei E > 1 sind > 95% der Bahnen chaotisch!
Gebundene Bahnen bei E > 1: Teilchen kann gebunden sein! (hier bei E = 1.2)
1.0
0.5
y
0.0
-0.5
-1.0
-0.5
0.0
x
0.5
1.0
Beide Bahnen sind stabil, obwohl hier 99% der Bahnen chaotisch sind!
Ungebundene Bahnen bei E > 1: Teilchen kann entweichen! (hier bei E = 1.2)
1.0
0.5
y
0.0
-0.5
-1.0
-0.5
0.0
x
0.5
1.0
Man bemerke die empfindliche Abhängigkeit der Entweich-Barriere (g,b,r)
von der Anfangsrichtung (-geschwindigkeit)!
Entweichen aus dem Hénon-Heiles-Potential
Wohin entweicht das Teilchen, wenn es bei E > 1 von (x, y) = (0,0) aus startet?
Wir variieren die Anfangsgeschwindigkeit v (Komponenten vx, vy )
1.5
blue
1
y
0.5
vy
0
vx
-0.5
green
red
-1
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
und tragen farbige Punkte (blau, grün, rot), welche der Entweich-Barriere
entsprechen, in ein Diagramm (vx, vy ) ein
Fraktale im Hénon-Heiles-Potential
Farbe gibt Entweich-Barriere (blau: oben, rot: unten rechts, grün: unten links;
schwarz: kein Entweichen, Teilchen gebunden; schwarzer Kreis: E < 1)
1.21
0.61
vy
0
-0.61
-1.21
-1.21 -0.61
0
vx
0.61
1.21
Fraktale im Hénon-Heiles-Potential
Farbe gibt Entweich-Barriere (blau: oben, rot: unten rechts, grün: unten links;
schwarz: kein Entweichen, Teilchen gebunden; schwarzer Kreis: E < 1)
1.21
0.39
0.61
0.25
zoom −→
vy
0
-0.61
-1.21
-1.21 -0.61
0.1
-0.05
0
vx
0.61
1.21
-0.21
0.39
0.55
0.7
0.85
1.
Fraktale im Hénon-Heiles-Potential
Farbe gibt Entweich-Barriere (blau: oben, rot: unten rechts, grün: unten links;
schwarz: kein Entweichen, Teilchen gebunden; schwarzer Kreis: E < 1)
1.21
0.39
0.61
0.25
zoom −→
vy
0
-0.61
0.1
-0.05
-1.21
-1.21 -0.61
0
vx
0.61
-0.21
1.21
0.39
0.55
0.7
0.85
1.
0.03
zoom −→
auch bei E > 1 gibt es noch stabile
gebundene Bahnen (s.o.)
⇒ Teilchen kann gebunden bleiben!
0
-0.03
0.57
(J. Kaidel, Regensburg, 2002)
0.605
0.64
Fraktale im Hénon-Heiles-Potential
Farbe gibt Entweich-Barriere (blau: oben, rot: unten rechts, grün: unten links;
schwarz: kein Entweichen, Teilchen gebunden; schwarzer Kreis: E < 1)
1.21
0.39
0.61
0.25
zoom −→
vy
0
-0.61
0.1
-0.05
-1.21
-1.21 -0.61
0
vx
0.61
-0.21
1.21
0.39
0.55
0.7
0.85
1.
0.03
zoom −→
auch bei E > 1 gibt es noch stabile
gebundene Bahnen (s.o.)
⇒ Teilchen kann gebunden bleiben!
0
-0.03
0.57
(J. Kaidel, Regensburg, 2002)
0.605
0.64
doch zurück zur alten Idee von Bohr ...
Renaissance von Bohrs Quantentheorie
Martin Gutzwiller (*1925 in Basel)
entwickelte 1967-1971 die Theorie der periodischen Bahnen:
eine moderne Version der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung,
die auch für nicht-integrable und chaotische Systeme gilt!
Renaissance von Bohrs Quantentheorie
Martin Gutzwiller (*1925 in Basel)
entwickelte 1967-1971 die Theorie der periodischen Bahnen:
eine moderne Version der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung,
die auch für nicht-integrable und chaotische Systeme gilt!
Die semiklassische Spurformel von Gutzwiller:
g(E) =
P
n δ(E
− En) ≃
P
1
po Apo (E) cos ~ Spo(E)
− αpo
Links: Summe über das Quantenspektrum {En} gibt die exakte quantenmechanische Zustandsdichte g(E)
Rechts: Summe über alle periodischen Bahnen (po) des klassischen Systems
gibt näherungsweise dasselbe Resultat (∼ Fourier-Zerlegung)
H
Spo = po p · dr = Wirkungsintegral entlang der periodischen Bahn
⇒ also doch Quantenmechanik mit klassischen Bahnen?
Exakte Spurformel für das H-Spektrum
n
g (E) = (−E0/E )5/2/2E0 1 + 2
P∞(kmax)
k=1
(integrabel)
cos 2πk
p
−E0/E
o
Die Summe über k = 1 . . . ∞ entspricht der Summation über alle periodischen
Bahnen
Für numerische Rechungen muss k = ∞ durch ein endliches kmax ersetzt werden!
Exakte Spurformel für das H-Spektrum
n
g(E)
g (E) = (−E0/E )5/2/2E0 1 + 2
kmax=1
-1.0
-0.75
-0.5
-0.25
0.0
-0.25
0.0
-0.25
0.0
g(E)
kmax=4
-1.0
-0.75
-0.5
g(E)
kmax=2000
-1.0
-0.75
-0.5
E/E0
P∞(kmax)
k=1
(integrabel)
cos 2πk
p
−E0/E
o
Exakte Spurformel für das H-Spektrum
n
g (E) = (−E0/E )5/2/2E0 1 + 2
g(E)
-0.75
-0.5
-0.25
0.0
-0.25
0.0
-0.25
0.0
g(E)
kmax=4
-1.0
-0.75
-0.5
g(E)
kmax=2000
-1.0
-0.75
k=1
cos 2πk
p
−E0/E
o
Die erste Fourierkomponente (k = 1),
d.h. die kürzeste periodische Bahn,
gibt bereits die richtigen Positionen
(Maxima!) der Quantenenergien
kmax=1
-1.0
P∞(kmax)
(integrabel)
-0.5
E/E0
Exakte Spurformel für das H-Spektrum
n
g (E) = (−E0/E )5/2/2E0 1 + 2
g(E)
-0.75
k=1
cos 2πk
p
−E0/E
o
Die erste Fourierkomponente (k = 1),
d.h. die kürzeste periodische Bahn,
gibt bereits die richtigen Positionen
(Maxima!) der Quantenenergien
kmax=1
-1.0
P∞(kmax)
(integrabel)
-0.5
-0.25
0.0
g(E)
kmax=4
Wenige kurze Bahnen geben eine
gemittelte Zustandsdichte
-1.0
-0.75
-0.5
-0.25
0.0
kmax = 2000 gibt praktisch das exakte
Rydberg-Spektrum:
g(E)
kmax=2000
En = −E0/n2
-1.0
-0.75
-0.5
E/E0
-0.25
0.0
Spurformel für das Hénon-Heiles-Potential
(nicht-integrabel)
Gemittelte Zustandsdichte (oszillierender Teil) für kleine Energien:
0.4
g(E)
0.2
0.0
-0.2
qm
scl
-0.4
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
E
Schwarz: quantenmechanisch berechnet
Rot: über die Spurformel, mit nur drei periodischen Bahnen A, B, und C
[M. Brack, P. Meier, K. Tanaka, J. Phys. A 32, 331 (1999)]
Das Schwebungsmuster kommt durch die Interferenz der drei klassichen Bahnen
A, B, und C zustande!
Dasselbe bei E > 1:
(chaotischer Bereich)
Gemittelte Zustandsdichte (oszillierender Teil) für Energien oberhalb Barriere:
3.0
g(E)
1.5
0.0
-1.5
-3.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
E
ausgezogene Linie: quantenmechanisch berechnet
gestrichelt: über die Spurformel mit 18 periodischen Bahnen berechnet
(weitere Bahnen tragen bei dieser Auflösung nicht mehr bei!)
[J. Kaidel, P. Winkler, M. Brack, Phys. Rev. E 70, 066208 (2004)]
Die Spurformel funktioniert auch im völlig chaotischen Bereich!
Dasselbe bei E > 1:
(chaotischer Bereich)
Gemittelte Zustandsdichte (oszillierender Teil) für Energien oberhalb Barriere:
3.0
g(E)
1.5
0.0
-1.5
-3.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
E
ausgezogene Linie: quantenmechanisch berechnet
gestrichelt: über die Spurformel mit 18 periodischen Bahnen berechnet
(weitere Bahnen tragen bei dieser Auflösung nicht mehr bei!)
[J. Kaidel, P. Winkler, M. Brack, Phys. Rev. E 70, 066208 (2004)]
Die Spurformel funktioniert auch im völlig chaotischen Bereich!
à propos Fourier-Zerlegung ...
Derselbe Ton auf vier verschiedenen Instrumenten:
(Schalldruck als Funktion der Zeit)
(a) Euphonium
(b) Baritonhorn
(c) Tenorposaune
(d) Messingrohr (2.5 m)
Fourier-Zerlegungen derselben vier Töne:
(Intensität als Funktion der Frequenz)
Das H-Atom in einem starken Magnetfeld
(chaotisch)
(a) Experimentelles Quantenspektrum
der Ionisationsenergie (in Magnetfeldern
von 3 ≤ B ≤ 5.2 Tesla)
(b) Fourier-Zerlegung dieses Spektrums:
Die Maxima liegen bei den Perioden der
geschlossenen Bahnen im chaotischen
klassischen System!
[A. Holle, J. Main, G. Wiebusch, H. Rottke, und K. H. Welge, Phys. Rev. Lett. 61, 161 (1988)]
Leitwert-Oszillationen in mesoskopischem Kanal
Gate
Gate
0.2µm
Gate
Gate
0
EF
E
1.0µm
Ein Halbleiter-Kanal mit zwei
Hindernissen im Magnetfeld B.
Elektronen, die durch den Kanal
fließen, können in geschlossene
Bahnen um die Hindernisse herum eingefangen werden, deren
Größe (Radien) von B abhängen
Leitwert-Oszillationen in mesoskopischem Kanal
Gate
Gate
0.2µm
1.0µm
Gate
Gate
EF
E
δGxx[arb.u.]→
0
0.15
0.20
0.25
B[T]→
Ein Halbleiter-Kanal mit zwei
Hindernissen im Magnetfeld B.
Elektronen, die durch den Kanal
fließen, können in geschlossene
Bahnen um die Hindernisse herum eingefangen werden, deren
Größe (Radien) von B abhängen
Leitwert-Oszillationen:
ausgezogene Linie: experimentell
(Sachraida et al., Ottawa, 1997)
gestrichelte Linie: semiklassisch
über eine Spurformel berechnet
[J. Blaschke und M. Brack,
Europhys. Lett. 50, 294 (2000)]
Leitwert-Oszillationen in mesoskopischem Kanal
Gate
Gate
0.2µm
1.0µm
Gate
Gate
EF
E
δGxx[arb.u.]→
0
0.15
0.20
0.25
B[T]→
Ein Halbleiter-Kanal mit zwei
Hindernissen im Magnetfeld B.
Elektronen, die durch den Kanal
fließen, können in geschlossene
Bahnen um die Hindernisse herum eingefangen werden, deren
Größe (Radien) von B abhängen
Leitwert-Oszillationen:
ausgezogene Linie: experimentell
(Sachraida et al., Ottawa, 1997)
gestrichelte Linie: semiklassisch
über eine Spurformel berechnet
[J. Blaschke und M. Brack,
Europhys. Lett. 50, 294 (2000)]
... und wieder zurück zum Helium-Atom:
Das He-Atom semiklassisch – nach 70 Jahren
D. Wintgen, K. Richter und G. Tanner (Universität Freiburg) konnten 1989 - 1992
die angeregten Zustände des He-Atoms mit Drehimpuls L = 0 mit Gutzwillers
Theorie richtig wiedergeben!
[siehe: G. Tanner, K. Richter und J. M. Rost, Rev. Mod. Phys. 72, 497 (2000)]
Das He-Atom semiklassisch – nach 70 Jahren
D. Wintgen, K. Richter und G. Tanner (Universität Freiburg) konnten 1989 - 1992
die angeregten Zustände des He-Atoms mit Drehimpuls L = 0 mit Gutzwillers
Theorie richtig wiedergeben!
[siehe: G. Tanner, K. Richter und J. M. Rost, Rev. Mod. Phys. 72, 497 (2000)]
⇒ Mehr als 70 nach dem Versagen von Heisenberg, Bohr und Sommerfeld wurde
das He-Problem (wenigstens teilweise) semiklassisch gelöst!
Heute: viele Erfolge mit der semiklassischen Theorie auf dem Gebiet der mesoskopischen Physik und der Nanophysik (insbesondere auch “Quantenchaos”)
Das He-Atom semiklassisch – nach 70 Jahren
D. Wintgen, K. Richter und G. Tanner (Universität Freiburg) konnten 1989 - 1992
die angeregten Zustände des He-Atoms mit Drehimpuls L = 0 mit Gutzwillers
Theorie richtig wiedergeben!
[siehe: G. Tanner, K. Richter und J. M. Rost, Rev. Mod. Phys. 72, 497 (2000)]
⇒ Mehr als 70 nach dem Versagen von Heisenberg, Bohr und Sommerfeld wurde
das He-Problem (wenigstens teilweise) semiklassisch gelöst!
Heute: viele Erfolge mit der semiklassischen Theorie auf dem Gebiet der mesoskopischen Physik und der Nanophysik (insbesondere auch “Quantenchaos”)
Die Frage war: können wir Quantenmechanik mit klassischen Bahnen treiben?
Das He-Atom semiklassisch – nach 70 Jahren
D. Wintgen, K. Richter und G. Tanner (Universität Freiburg) konnten 1989 - 1992
die angeregten Zustände des He-Atoms mit Drehimpuls L = 0 mit Gutzwillers
Theorie richtig wiedergeben!
[siehe: G. Tanner, K. Richter und J. M. Rost, Rev. Mod. Phys. 72, 497 (2000)]
⇒ Mehr als 70 nach dem Versagen von Heisenberg, Bohr und Sommerfeld wurde
das He-Problem (wenigstens teilweise) semiklassisch gelöst!
Heute: viele Erfolge mit der semiklassischen Theorie auf dem Gebiet der mesoskopischen Physik und der Nanophysik (insbesondere auch “Quantenchaos”)
Die Frage war: können wir Quantenmechanik mit klassischen Bahnen treiben?
Antwort: Yes, we can!
Dank
an meine Kollegen und früheren Student(inn)en:
• R. K. Bhaduri, McMaster University, Hamilton, Kanada
• M. V. N. Murthy, IMSc, Chennai, Indien
• K. Tanaka, University of Saskatchewan, Saskatoon, Kanada
• S. Reimann, Lund Institute of Technology, Schweden
• J. Blaschke, J. Kaidel, (damals) Universität Regensburg
Dank
an meine Kollegen und früheren Student(inn)en:
• R. K. Bhaduri, McMaster University, Hamilton, Kanada
• M. V. N. Murthy, IMSc, Chennai, Indien
• K. Tanaka, University of Saskatchewan, Saskatoon, Kanada
• S. Reimann, Lund Institute of Technology, Schweden
• J. Blaschke, J. Kaidel, (damals) Universität Regensburg
an meine Geldgeber:
• Deutsche Forschungsgemeinschaft
• NSERC, Kanada
Dank
an meine Kollegen und früheren Student(inn)en:
• R. K. Bhaduri, McMaster University, Hamilton, Kanada
• M. V. N. Murthy, IMSc, Chennai, Indien
• K. Tanaka, University of Saskatchewan, Saskatoon, Kanada
• S. Reimann, Lund Institute of Technology, Schweden
• J. Blaschke, J. Kaidel, (damals) Universität Regensburg
an meine Geldgeber:
• Deutsche Forschungsgemeinschaft
• NSERC, Kanada
und an meine gedulgigen Zuhörer!
Monddaten aus Babylon (seit ca. 600 B.C.)
SU (min)
80
Die Babylonier beobachteten vier Zeitintervalle SU, NA, GE, ME zwischen Aufund Untergängen von Sonne und Mond
an sukzessiven Oppositionen (numeriert
durch die Lunationszahl L)
60
40
20
0
SU+NA (min)
0
200
300
400
80
Sie notierten auch regelmäßig die Teilsummen (SU+NA) und (ME+GE)
60
40
20
SU+NA+GE+ME
100
0
100
200
300
400
Die Summe (SU+NA)+(GE+ME) wurde
sehr wahrscheinlich verwendet, um die
“Kolonne Φ” zu bestimmen, welche die
korrekte Mondperiode T$ enthält
140
120
100
80
[Lis Brack-Bernsen, Centaurus 33, 39 (1990)]
0
100
200
300
luna t ion numb er
400
L
Fourier-Analyse derselben Monddaten
SU
|A(T)|
2
Die Babylonier bewerkstelligten (ohne es
zu wissen!) implizit eine Fourier-Analyse
ihrer beobachteten Monddaten:
2
4
6
8
10
12
14
16
18
SU+NA
|A(T)|
2
Die Daten SU, (SU+NA) und (GE+ME)
enthalten Informationen über die Perioden
T⊙ ≃ 12 (Sonne) und T$ ≃ 14 (Mond)
2
4
6
8
10
12
14
16
18
In der Summe (SU+NA)+(GE+ME)
wird der Einfluss von T⊙ eliminiert und
T$ bestimmt die Periode der Oszillationen!
|A(T)|
2
SU+NA+GE+ME
2
4
6
8
10
12
14
period T (in months)
16
18
[L. Brack-Bernsen und M. Brack,
Int. J. Mod. Phys. E 13, 247 (2004)]