TET1 - ate.uni

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Allgemeine und Theoretische
Elektrotechnik (ATE)
Prof. Dr. sc. techn. Daniel Erni
Fachprüfung:
Theoretische Elektrotechnik 1
Tag der Prüfung:
09.08.2012
Dauer:
120 Minuten
Name:
Matrikel-Nr.:
Hinweise:
1.) Es sind folgende Hilfsmittel zugelassen: Schreibmaterial, nicht alphanumerisch programmierbarer Taschenrechner
und ein Wörterbuch.
2.) Bitte füllen Sie Ihren Prüfungsbogen aus, unterschreiben Sie ihn und schreiben Sie Ihren Namen auf die Lösungsblätter, sowie die Multiple-Choice Aufgabenblätter.
3.) Prüfen Sie nach, ob die Aufgabenstellung vollständig ist. Sie besteht aus einem Fragenkatalog und einem Aufgabenteil auf insgesamt 8 Seiten. Verwenden Sie bei der Bearbeitung weder Rot- noch Bleistifte!
4.) Für den Multiple-Choice-Fragenkatalog gilt:
• Für die Beantwortung sind ausschließlich die dort dafür vorgesehenen Kästchen zu verwenden. Zutreffendes
ist durch Ankreuzen zu kennzeichnen. Eine Korrektur dieser Antwort („Löschen“ eines Kreuzes) hat durch
vollständiges Ausfüllen des Kästchens zu erfolgen. Im Falle einer weiteren Korrektur einer Antwort hat
dies eindeutig und nur auf dem Fragebogen zu geschehen. Antworten und Hinweise zu dem Fragenkatalog
auf separaten Blättern werden nicht gewertet.
• Bewertung: Korrekte Antworten ergeben die jeweils erreichbare Punktzahl. Nicht oder falsch beantwortete
Fragen ergeben null Punkte.
5.) Für die Rechenaufgaben gilt:
• Bearbeiten Sie die Aufgaben auf den beiliegenden Lösungsblättern. Benutzen Sie für jede Aufgabe ein
neues Blatt. Zu allen Ergebnissen sind hinreichend ausführliche und nachvollziehbare Begründungen und
Herleitungen anzugeben.
• Ergebnisse sollten durch doppeltes Unterstreichen deutlich gekennzeichnet werden.
6.) Die Prüfungsergebnisse werden Ihnen vom Zentralen Prüfungsamt mitgeteilt, und der Termin zur Einsichtnahme
auf unserer Webseite (www.ate.uni-due.de) und durch Aushang bekanntgegeben. Die Anmeldung zur mündlichen
Ergänzungsprüfung findet am Tag der Einsichtnahme statt.
7.) Telefonisch werden weder Klausurergebnisse noch mündliche Prüfungstermine mitgeteilt.
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2012
09.08.2012
Theoretische Elektrotechnik 1
A LLGEMEINE UND T HEORETISCHE E LEKTROTECHNIK (ATE)
Prof. Dr. sc. techn. Daniel Erni
Formelsammlung I
Vektoroperationen in kartesischen Koordinaten (x; y; z)
d ~s = ~ex d x + ~ey d y + ~ez d z
d S~ = ~ex d y d z + ~ey d x d z + ~ez d x d y
dV = dxdydz
@'
@'
grad ' = ~ex @'
@x + ~ey @y + ~ez @z
@Ay @Az
x
div A~ = @A
@x + @y + @z
@Ay + ~e @Ax
z
rot A~ = ~ex @A
y
@y @z
@z
@A
@A
+ ~ez @xy @yx
2
2
2
' = @@x'2 + @@y'2 + @@z'2
@Az
@x
z
~e
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........ z
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~e
~r
z
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z
~e
y
x
x = cos ; y = sin ; 0 < 1; 0 < 2
d ~s = ~e d + ~e d + ~ez d z
d S~ = ~e d d z + ~e d d z + ~ez d d dV = dddz
~ex = ~e cos ~e sin ; ~ey = ~e sin + ~e cos ~e = ~ex cos + ~ey sin ; ~e = ~ex sin + ~ey cos 1 @' @'
grad ' = ~e @'
@ + ~e @ + ~ez @z
A ) + 1 @A + @Az
div A~ = 1 @ (@
@ @z
1
@A
@A
@A
z
@Az
~
rot A = ~e @ @z + ~e @z @
A ) @A + ~ez 1 @ (@
@
2
2
1 @ ' + @2'
+
' = @@'2 + 1 @'
@ 2 @2 @z 2
~e
..
..................
.............. ..............
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..............
......................................................... ..
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r
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... ~r
Vektoroperationen in Zylinderkoordinaten (; ; z)
Vektoroperationen in Kugelkoordinaten (r; ; )
~e
y
~e
x = r sin cos ; y = r sin sin ; z = r cos ;
0 r < 1; 0 < ; 0 < 2
d ~s = ~er d r + ~e r d + ~er sin d ~er d S~ = r2 sin d d ; d V = r2 sin d d d r
~ex = ~er sin cos + ~e cos cos ~e sin ~ey = ~er sin sin + ~e cos sin + ~e cos ~ez = ~er cos ~e sin ~er = ~ex sin cos + ~ey sin sin + ~ez cos ~e = ~ex cos cos + ~ey cos sin ~ez sin ~e = ~ex sin + ~ey cos 1 @'
1 @'
grad ' = ~er @'
@r + ~e r @ + ~e r sin @
2
1 @ (A sin )
div A~ = r12 @ [email protected] + r sin
@
@A
1
+ r sin @
~er @ (A sin ) @A rot A~ = r sin
@
@
@ (rA ) r
+ ~er sin1 @A
@
@r
rA ) @Ar + ~er @ (@r
@
2
@
1 @ sin @'
' = @@r'2 + 2r @'
+
@r r2 sin @
@2'
+ r2 sin1 2 @
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Theoretische Elektrotechnik 1
A LLGEMEINE UND T HEORETISCHE E LEKTROTECHNIK (ATE)
Prof. Dr. sc. techn. Daniel Erni
Formelsammlung II
Umformungen des Gradienten
grad (' ) = ' grad + grad '
grad A~ B~ = A~ grad B~ + B~ grad A~
+ A~ rot B~ + B~ rot A~
grad (~n~r) = ~n; ~n = const. Vektor
grad (' (r)) = ~rr dd 'r
d ~r grad ' = d '
A~ grad ~r = A~
ZZZ
@V
ZZ
rot A~ d V = d S~ A~
@V
(' + grad ' grad ) d V
V
ZZ
grad ' d V = ' d S~
Green I:
ZZ
= ' grad d S~
A~ grad B~
+ A~ div B~ B~ div A~
@V
V
Umformungen des Laplace-Operators
' = div grad '
(~r') = 2 grad ' + ~r'
A~ = ~ex Ax + ~ey Ay + ~ez Az
Allgemeine Vektorrechnung
A~ B~ C~ = C~ A~ B~ = B~ C~ A~
ZZ
div A~ d V = A~ d S~
V
ZZZ
rot ~r = 0
rot (~n ~r) = 2~n; ~n = const. Vektor
rot grad ' = 0
rot rot A~ = grad div A~ A~
rot A~ = rot A~
I
@S
V
A~ d ~s
d S~ grad ' = ' d ~s
ZZZ
@S
ZZZ
rot 'A~ = ' rot A~ A~ grad '
I
Gauss:
div A~ B~ = B~ rot A~ A~ rot B~
div (~r'(r)) = 3' (r) + r dd 'r
div grad ' = '
div rot A~ = 0
Umformungen der Rotation
rot A~ B~ = B~ grad A~
rot A~ d S~ =
S
div 'A~ = ' div A~ + A~ grad '
ZZ
ZZ
Stokes:
S
Umformungen der Divergenz
Integralsatze
A~ B~ C~ = B~ A~ C~ C~ A~ B~
A~ B~ C~ D~ = A~ C~ B~ D~
A~ D~ B~ C~
@V
Green II:
ZZZ
('
V
') d V
ZZ
grad ') d S~
= (' grad
@V
Stratton I:
ZZZ rot A~ rot B~ A~ rot rot B~ d V
V
ZZ = A~ rot B~ d S~
@V
Stratton II:
ZZZ V
A~ rot rot B~ B~ rot rot A~ d V
ZZ = B~ rot A~ A~ rot B~ d S~
@V
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Multiple-Choice Aufgaben
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(20 Punkte)
Aufgabe 1
Acht ortsfeste, positive Punktladungen +Q werden auf die Ecken eines gedachten Würfels verteilt
(siehe Bild 1). Im Zentrum des Würfels befindet sich die frei bewegliche, positive Probeladung +q.
Welche der untenstehenden Aussagen trifft zu, falls die Probeladung +q um einen winzig kleinen
Bruchteil einer Längeneinheit aus der Ruhelage gebracht wird?
+Q
(B)
+Q
+Q
+Q
+q
+
q
(A)
+Q
+Q
+Q
+Q
(C )
Bild 1
Die Probeladung +q wird durch die umgebenden Ladungen +Q in der Mitte des Würfels stabilisiert (stabiles Gleichgewicht).
Die Probeladung +q bewegt sich z.B. entlang des Pfades (A) durch die Mitte der Würfelfläche.
Die Probeladung +q bewegt sich z.B. entlang des Pfades (C), d.h. entlang der Würfeldiagonale.
Die Probeladung +q bewegt sich z.B. entlang des Pfades (B) durch die Mitte der Würfelkante.
Keine der obigen Angaben
Erreichbare Punktzahl: 2
Aufgabe 2
Ein sogenannter Dirichlet-Rand in der Elektrostatik ist eine Randfläche ∂Ω eines Feldraumes Ω,
an welchem die elektrischen Feldlinien parallel verlaufen.
wo gilt: ∂ϕ
= konst.
∂n
wo gilt: ϕ = konst.
Keine der obigen Angaben
Erreichbare Punktzahl: 1
A
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Matrikel-Nr.:
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Aufgabe 3
Gegeben sei ein Kupferleiter, durch den ein Strom der Stromstärke i = 1A fließt. Demnach wird die
Ladungsmenge 1C pro Sekunde durch den Leiter geführt, was etwa der Menge von 1019 bewegten
Elektronen entspricht. Wir haben es hier mit einer enormen Ladungsmenge zu tun. Welche Aussage
bezüglich des elektrischen Feldes außerhalb des Leiters trifft hier zu?
Bild 3
Außerhalb des Leiters ist überhaupt kein elektrisches Feld vorhanden, weil sich die Elektronenladungen mit den positiven Ladungen der Gitterionen (Kupfer) bereits im Leiterinneren neutralisieren.
Die bewegten Elektronen erzeugen nur ein Magnetfeld und kein elektrisches Feld.
Außerhalb des Leiters gibt es ein starkes elektrisches Feld. Lediglich das Hüllenintegral der
elektrischen Flussdichte um den Leiter (→ eingeschlossene Gesamtladung) verschwindet.
Im Prinzip wäre außerhalb ein elektrisches Feld vorhanden, zumal die Elektronen und Ionen im
Metallgitter als Multipol sehr großer Ordnung zusammengefasst werden können, wodurch das
elektrische Feld nach außen hin dann extrem rasch abklingt und daher kaum messbar ist.
Keine der obigen Angaben
Erreichbare Punktzahl: 2
... insgesamt ca. 15 MC Fragen
A
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Aufgabe 1.1: Geladener Zylinder über Ebene
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(20 Punkte)
Thema: Elektrostatische Felder
Gegeben ist die Elektrodenanordnung nach Bild 1. Ein sehr gut leitender metallener kreiszylinderförmiger Körper mit dem Radius R sei in z-Richtung unbegrenzt ausgedehnt und befinde sich im
Abstand D über einer ebenfalls unbegrenzt ausgedehnten leitenden Ebene.
Der kreiszylinderförmige Körper, dessen Querschnitt in Bild 1 dargestellt ist, besteht aus Vollmaterial
und besitzt keine Hohlräume. Pro Längeneinheit ℓ befinde sich auf dem Kreiszylinder die Ladung
+Q.
Die gesamte Anordnung befinde sich im Vakuum. Alle beteiligten Leiter haben eine unbegrenzt hohe
Leitfähigkeit κ → ∞.
y
+Q′ =
Q
ℓ
R
D
z
x
Abbildung 1: Geladener Zylinder über leitender Ebene
a) Bestimmen Sie das elektrostatische Potenzial im gesamten Feldbereich.
(4 Punkte)
b) Bestimmen Sie die elektrische Feldstärke im gesamten Feldbereich.
(2 Punkte)
c) Skizzieren Sie die Feld- und Äquipotenziallinien für diese Elektrodenanordnung.
(3 Punkte)
d) Bestimmen Sie die Ladungsverteilung auf der leitenden Ebene.
(4 Punkte)
e) Skizzieren Sie die Ladungsverteilung auf der leitenden Ebene für z = 0.
(2 Punkte)
f) Bestimmen Sie die Kapazität pro Längeneinheit der Elektrodenanordnung.
(5 Punkte)
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Aufgabe 1.2: Strömungsfeld einer Schlitzleitung
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(20 Punkte)
Thema: Stationäre Strömungsfelder, Randwertproblem in xy-Koordinaten
In Abbildung 2 ist eine in z-Richtung homogene Schlitzleitung skizziert. Die dargestellten Streifen
haben jeweils eine Weite w und eine vernachlässigbare Dicke t → 0. Zwischen den Steifen befindet
sich ein Spalt mit der Breite s. Die metallisierten Strukturen werden von einem Substrat mit der
Leitfähigkeit κ getragen. Die gesamte Leitung ist von Luft mit der Permittivität ǫ0 umgeben (nichtleitender Bereich). Die Anregung des zu berechnenden stationären Strömungsfeldes erfolgt über eine
näherungsweise als konstant angenommene Stromeinspeisung über die beiden Elektroden. Dort gilt
~ y = h) = −sign(x) I ′ ~ey mit der Signumsfunktion sign(x) = x
mathematisch somit: J(x,
w
|x|
I′
I′
s
w
κ
y
ǫs
h
x
b
Abbildung 2: Querschnitt einer Schlitzleitung
a) Welche Randbedingung für das Potenzial ϕ kann aufgrund der Symmetrie der Schlitzleitung für
x = 0 aufgestellt werden? Formulieren Sie des Weiteren die Randbedingungen in der Oberfläche
des leitfähigen Substrats.
(4 Punkte)
b) Berechnen Sie das Potenzial ϕ(x, y) innerhalb des Substrats und skizzieren Sie abschließend
dessen Verteilung mittels sieben Äquipotenziallinien.
(14 Punkte)
c) Ermitteln Sie näherungsweise den Leitwertbelag G′ = I ′ /U zwischen den beiden Streifen. Welche Problematik ergibt sich bei der Spannungsberechnung?
(2 Punkte)
Hinweise:
• Die allgemeine Lösung für die zwei-dimensionale Laplacegleichung in kartesischen Koordinaten
lautet (ohne Berücksichtigung der Eigenlösung zum Eigenwert Null):
ϕ(x, y) =
NX
→∞
(An cos (kn x) + Bn sin (kn x)) (Cn cosh (kn y) + Dn sinh (kn y))
n=1
• Die oszillierenden Eigenfunktionen cos (nx) und sin (nx) sind auf dem Interval [− π2 , + π2 ] orthogonal, d.h. es gilt z.B. für die Sinus-Funktion:
(
Z +π
π
2
, m=n
π
sin (mγ) sin (nγ) dγ = δm,n = 2
2
0, m 6= n
− π2
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Aufgabe 1.3: Elektrisches Feld einer Koaxleitung (20 Punkte)
Thema: Elektrostatische Felder
Gegeben ist eine Koaxialleitung der Länge L, dem Außendurchmesser A und dem Innendurchmesser B. Zwischen dem Innenleiter und dem leitenden Zylindermantel befindet sich ein Dielektrikum
mit der Permittivitätszahl ǫr . Der Innenleiter liegt auf einem Potenzial ϕi = U , die Außenelektrode
liegt auf dem Potenzial ϕa = 0.
A B
ǫr
L
Abbildung 3: Koaxialleitung
a) Berechnen Sie den Verlauf des Potenzials im Dielektrikum in Abhängigkeit vom Abstand zur
Mittelachse des Koaxialleiters.
(4 Punkte)
b) Berechnen Sie den Verlauf der elektrischen Feldstärke im Dielektrikum in Abhängigkeit vom
Abstand zur Mittelachse des Koaxialleiters.
(3 Punkte)
c) Berechnen Sie den Maximalwert der elektrischen Feldstärke im Dielektrikum.
(3 Punkte)
d) Weisen Sie nach, dass der Außendurchmesser um den Faktor e (Eulersche Zahl) größer sein muss
als der Innendurchmesser, damit die in der Koaxialleitung auftretende maximale Feldstärke
minimal wird.
(4 Punkte)
e) Wie groß ist die maximale Feldstärke für den Fall, dass A = e B gilt?
(3 Punkte)
f) Skizzieren Sie den Verlauf der maximalen Feldstärke im Dielektrikum in Abhängigkeit vom
Durchmesser des Innenleiters und geben Sie die für das Minimum maßgeblichen Werte an.
(3 Punkte)
Hinweis:
• Eine eindimensionale Laplacegleichung in Zylinderkoordinaten lautet:
dϕ
1 d
ρ
=0
ρ dρ
dρ
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