Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik (ATE) Prof. Dr. sc. techn. Daniel Erni Fachprüfung: Theoretische Elektrotechnik 1 Tag der Prüfung: 09.08.2012 Dauer: 120 Minuten Name: Matrikel-Nr.: Hinweise: 1.) Es sind folgende Hilfsmittel zugelassen: Schreibmaterial, nicht alphanumerisch programmierbarer Taschenrechner und ein Wörterbuch. 2.) Bitte füllen Sie Ihren Prüfungsbogen aus, unterschreiben Sie ihn und schreiben Sie Ihren Namen auf die Lösungsblätter, sowie die Multiple-Choice Aufgabenblätter. 3.) Prüfen Sie nach, ob die Aufgabenstellung vollständig ist. Sie besteht aus einem Fragenkatalog und einem Aufgabenteil auf insgesamt 8 Seiten. Verwenden Sie bei der Bearbeitung weder Rot- noch Bleistifte! 4.) Für den Multiple-Choice-Fragenkatalog gilt: • Für die Beantwortung sind ausschließlich die dort dafür vorgesehenen Kästchen zu verwenden. Zutreffendes ist durch Ankreuzen zu kennzeichnen. Eine Korrektur dieser Antwort („Löschen“ eines Kreuzes) hat durch vollständiges Ausfüllen des Kästchens zu erfolgen. Im Falle einer weiteren Korrektur einer Antwort hat dies eindeutig und nur auf dem Fragebogen zu geschehen. Antworten und Hinweise zu dem Fragenkatalog auf separaten Blättern werden nicht gewertet. • Bewertung: Korrekte Antworten ergeben die jeweils erreichbare Punktzahl. Nicht oder falsch beantwortete Fragen ergeben null Punkte. 5.) Für die Rechenaufgaben gilt: • Bearbeiten Sie die Aufgaben auf den beiliegenden Lösungsblättern. Benutzen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt. Zu allen Ergebnissen sind hinreichend ausführliche und nachvollziehbare Begründungen und Herleitungen anzugeben. • Ergebnisse sollten durch doppeltes Unterstreichen deutlich gekennzeichnet werden. 6.) Die Prüfungsergebnisse werden Ihnen vom Zentralen Prüfungsamt mitgeteilt, und der Termin zur Einsichtnahme auf unserer Webseite (www.ate.uni-due.de) und durch Aushang bekanntgegeben. Die Anmeldung zur mündlichen Ergänzungsprüfung findet am Tag der Einsichtnahme statt. 7.) Telefonisch werden weder Klausurergebnisse noch mündliche Prüfungstermine mitgeteilt. SS 2012 09.08.2012 Theoretische Elektrotechnik 1 A LLGEMEINE UND T HEORETISCHE E LEKTROTECHNIK (ATE) Prof. Dr. sc. techn. Daniel Erni Formelsammlung I Vektoroperationen in kartesischen Koordinaten (x; y; z) d ~s = ~ex d x + ~ey d y + ~ez d z d S~ = ~ex d y d z + ~ey d x d z + ~ez d x d y dV = dxdydz @' @' grad ' = ~ex @' @x + ~ey @y + ~ez @z @Ay @Az x div A~ = @A @x + @y + @z @Ay + ~e @Ax z rot A~ = ~ex @A y @y @z @z @A @A + ~ez @xy @yx 2 2 2 ' = @@x'2 + @@y'2 + @@z'2 @Az @x z ~e ... ........ z ... .. .. .. ... .. ...... ... ............... .. .............. ... ........................... . . . . . . . . ... ..................................... ...... ................................ ...... ..... ..... ...... ...... ....... ......... ~e ~r z ... .. .. ... ... ... . . ............ . ..... . . ...... . . .... . .... . ... . . .... . .. ......... ......... .. ......... ......... ......... ...... ....... . . . . ....... . ........ . ........... . . . . . ....... ... ..... . . . ... . . ...... . . ... .. .... . . .. . ..... . .. .... . ... . .. . . . .. . ... . . .... . . .. . . . . . . . .. .. ... . .. . .. . .. . . . ... . . . . . .. . .. . .. . . .. .. .... . . .. ... . . . . .. .. . ...... . . .. . ... ... . .. . . ..... . . . ... .. . . . ... .... . ....... . . . ... ... .... . ..... ........ . .. ....... .. ..... . ........ . . ......... .... . ......r. ..... . . ......... ......... ......... ..... . . . . . . . . ................................................. . ..... .. ........................ . .... . ...................................... . ........ .... . . . . .... ......................... . ..... . . ............................. ..... ..... . . .... . . ........... .... . . . ..... . . .. ......... . .... . . . ...................... ..................... . . . . . . . . . . . . . ................................. .... ..... .. . . . ..... .... . . . . . . . .... . . ... ..... . ... . . .... . . . . . . . . . ..... . . . .. . .... . . ....... . . . .... .. ....... . ....... . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . ... . . . . . . . .. . . . ... . . . . ... . . .... . . .. . . ...... . . ......... . . . . x .. ... ..... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... . ......... .. ..... ...... . ....... . ...... ... . . . ........ . ....... . ........ . . . . . ...... ..... . . . . . ... ...... . .. .... . . . ..... . .. ... . . . .. . .... . . ... . .. . . .. . . .. . . .. . . . . .. . . ... . . . . . . . . ... . . .... . . . . . . . . ..... . .. ... . . . ...... . .. . . .... . . . . ....... . .. . . ..... ........ . . . ........ ...... .. . . ......... .... . .....r . ..... . . ........ ... .. . ................ ......... ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................... .. .. ..... ..................... .... ........ . . .... ..... . ................................................ . .... .... .............................. . ..... . ..... ................................ . ... .... . ...... . .... ..... ..... . .... . . ........................................................................ .............. . . . . . ..... .. ... . .... . ..... . . . . ..... . .. . .... . .... . . . . . ..... . . .. .... . . ..... ..... .......... .. ........ z ~e y x x = cos ; y = sin ; 0 < 1; 0 < 2 d ~s = ~e d + ~e d + ~ez d z d S~ = ~e d d z + ~e d d z + ~ez d d dV = dddz ~ex = ~e cos ~e sin ; ~ey = ~e sin + ~e cos ~e = ~ex cos + ~ey sin ; ~e = ~ex sin + ~ey cos 1 @' @' grad ' = ~e @' @ + ~e @ + ~ez @z A ) + 1 @A + @Az div A~ = 1 @ (@ @ @z 1 @A @A @A z @Az ~ rot A = ~e @ @z + ~e @z @ A ) @A + ~ez 1 @ (@ @ 2 2 1 @ ' + @2' + ' = @@'2 + 1 @' @ 2 @2 @z 2 ~e .. .................. .............. .............. .. .............. ......................................................... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... . . . ................................ . . . r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .... . ... ~r Vektoroperationen in Zylinderkoordinaten (; ; z) Vektoroperationen in Kugelkoordinaten (r; ; ) ~e y ~e x = r sin cos ; y = r sin sin ; z = r cos ; 0 r < 1; 0 < ; 0 < 2 d ~s = ~er d r + ~e r d + ~er sin d ~er d S~ = r2 sin d d ; d V = r2 sin d d d r ~ex = ~er sin cos + ~e cos cos ~e sin ~ey = ~er sin sin + ~e cos sin + ~e cos ~ez = ~er cos ~e sin ~er = ~ex sin cos + ~ey sin sin + ~ez cos ~e = ~ex cos cos + ~ey cos sin ~ez sin ~e = ~ex sin + ~ey cos 1 @' 1 @' grad ' = ~er @' @r + ~e r @ + ~e r sin @ 2 1 @ (A sin ) div A~ = r12 @ r@rAr + r sin @ @A 1 + r sin @ ~er @ (A sin ) @A rot A~ = r sin @ @ @ (rA ) r + ~er sin1 @A @ @r rA ) @Ar + ~er @ (@r @ 2 @ 1 @ sin @' ' = @@r'2 + 2r @' + @r r2 sin @ @2' + r2 sin1 2 @ 2 Seite 2 von 8 SS 2012 09.08.2012 Theoretische Elektrotechnik 1 A LLGEMEINE UND T HEORETISCHE E LEKTROTECHNIK (ATE) Prof. Dr. sc. techn. Daniel Erni Formelsammlung II Umformungen des Gradienten grad (' ) = ' grad + grad ' grad A~ B~ = A~ grad B~ + B~ grad A~ + A~ rot B~ + B~ rot A~ grad (~n~r) = ~n; ~n = const. Vektor grad (' (r)) = ~rr dd 'r d ~r grad ' = d ' A~ grad ~r = A~ ZZZ @V ZZ rot A~ d V = d S~ A~ @V (' + grad ' grad ) d V V ZZ grad ' d V = ' d S~ Green I: ZZ = ' grad d S~ A~ grad B~ + A~ div B~ B~ div A~ @V V Umformungen des Laplace-Operators ' = div grad ' (~r') = 2 grad ' + ~r' A~ = ~ex Ax + ~ey Ay + ~ez Az Allgemeine Vektorrechnung A~ B~ C~ = C~ A~ B~ = B~ C~ A~ ZZ div A~ d V = A~ d S~ V ZZZ rot ~r = 0 rot (~n ~r) = 2~n; ~n = const. Vektor rot grad ' = 0 rot rot A~ = grad div A~ A~ rot A~ = rot A~ I @S V A~ d ~s d S~ grad ' = ' d ~s ZZZ @S ZZZ rot 'A~ = ' rot A~ A~ grad ' I Gauss: div A~ B~ = B~ rot A~ A~ rot B~ div (~r'(r)) = 3' (r) + r dd 'r div grad ' = ' div rot A~ = 0 Umformungen der Rotation rot A~ B~ = B~ grad A~ rot A~ d S~ = S div 'A~ = ' div A~ + A~ grad ' ZZ ZZ Stokes: S Umformungen der Divergenz Integralsatze A~ B~ C~ = B~ A~ C~ C~ A~ B~ A~ B~ C~ D~ = A~ C~ B~ D~ A~ D~ B~ C~ @V Green II: ZZZ (' V ') d V ZZ grad ') d S~ = (' grad @V Stratton I: ZZZ rot A~ rot B~ A~ rot rot B~ d V V ZZ = A~ rot B~ d S~ @V Stratton II: ZZZ V A~ rot rot B~ B~ rot rot A~ d V ZZ = B~ rot A~ A~ rot B~ d S~ @V Seite 3 von 8 Theoretische Elektrotechnik 1 A LLGEMEINE UND T HEORETISCHE E LEKTROTECHNIK (ATE) Prof. Dr. sc. techn. Daniel Erni Multiple-Choice Aufgaben SS 2012 09.08.2012 (20 Punkte) Aufgabe 1 Acht ortsfeste, positive Punktladungen +Q werden auf die Ecken eines gedachten Würfels verteilt (siehe Bild 1). Im Zentrum des Würfels befindet sich die frei bewegliche, positive Probeladung +q. Welche der untenstehenden Aussagen trifft zu, falls die Probeladung +q um einen winzig kleinen Bruchteil einer Längeneinheit aus der Ruhelage gebracht wird? +Q (B) +Q +Q +Q +q + q (A) +Q +Q +Q +Q (C ) Bild 1 Die Probeladung +q wird durch die umgebenden Ladungen +Q in der Mitte des Würfels stabilisiert (stabiles Gleichgewicht). Die Probeladung +q bewegt sich z.B. entlang des Pfades (A) durch die Mitte der Würfelfläche. Die Probeladung +q bewegt sich z.B. entlang des Pfades (C), d.h. entlang der Würfeldiagonale. Die Probeladung +q bewegt sich z.B. entlang des Pfades (B) durch die Mitte der Würfelkante. Keine der obigen Angaben Erreichbare Punktzahl: 2 Aufgabe 2 Ein sogenannter Dirichlet-Rand in der Elektrostatik ist eine Randfläche ∂Ω eines Feldraumes Ω, an welchem die elektrischen Feldlinien parallel verlaufen. wo gilt: ∂ϕ = konst. ∂n wo gilt: ϕ = konst. Keine der obigen Angaben Erreichbare Punktzahl: 1 A Name: Matrikel-Nr.: Seite 4 von 8 Theoretische Elektrotechnik 1 A LLGEMEINE UND T HEORETISCHE E LEKTROTECHNIK (ATE) Prof. Dr. sc. techn. Daniel Erni SS 2012 09.08.2012 Aufgabe 3 Gegeben sei ein Kupferleiter, durch den ein Strom der Stromstärke i = 1A fließt. Demnach wird die Ladungsmenge 1C pro Sekunde durch den Leiter geführt, was etwa der Menge von 1019 bewegten Elektronen entspricht. Wir haben es hier mit einer enormen Ladungsmenge zu tun. Welche Aussage bezüglich des elektrischen Feldes außerhalb des Leiters trifft hier zu? Bild 3 Außerhalb des Leiters ist überhaupt kein elektrisches Feld vorhanden, weil sich die Elektronenladungen mit den positiven Ladungen der Gitterionen (Kupfer) bereits im Leiterinneren neutralisieren. Die bewegten Elektronen erzeugen nur ein Magnetfeld und kein elektrisches Feld. Außerhalb des Leiters gibt es ein starkes elektrisches Feld. Lediglich das Hüllenintegral der elektrischen Flussdichte um den Leiter (→ eingeschlossene Gesamtladung) verschwindet. Im Prinzip wäre außerhalb ein elektrisches Feld vorhanden, zumal die Elektronen und Ionen im Metallgitter als Multipol sehr großer Ordnung zusammengefasst werden können, wodurch das elektrische Feld nach außen hin dann extrem rasch abklingt und daher kaum messbar ist. Keine der obigen Angaben Erreichbare Punktzahl: 2 ... insgesamt ca. 15 MC Fragen A Name: Matrikel-Nr.: Seite 5 von 8 Theoretische Elektrotechnik 1 A LLGEMEINE UND T HEORETISCHE E LEKTROTECHNIK (ATE) Prof. Dr. sc. techn. Daniel Erni Aufgabe 1.1: Geladener Zylinder über Ebene SS 2012 09.08.2012 (20 Punkte) Thema: Elektrostatische Felder Gegeben ist die Elektrodenanordnung nach Bild 1. Ein sehr gut leitender metallener kreiszylinderförmiger Körper mit dem Radius R sei in z-Richtung unbegrenzt ausgedehnt und befinde sich im Abstand D über einer ebenfalls unbegrenzt ausgedehnten leitenden Ebene. Der kreiszylinderförmige Körper, dessen Querschnitt in Bild 1 dargestellt ist, besteht aus Vollmaterial und besitzt keine Hohlräume. Pro Längeneinheit ℓ befinde sich auf dem Kreiszylinder die Ladung +Q. Die gesamte Anordnung befinde sich im Vakuum. Alle beteiligten Leiter haben eine unbegrenzt hohe Leitfähigkeit κ → ∞. y +Q′ = Q ℓ R D z x Abbildung 1: Geladener Zylinder über leitender Ebene a) Bestimmen Sie das elektrostatische Potenzial im gesamten Feldbereich. (4 Punkte) b) Bestimmen Sie die elektrische Feldstärke im gesamten Feldbereich. (2 Punkte) c) Skizzieren Sie die Feld- und Äquipotenziallinien für diese Elektrodenanordnung. (3 Punkte) d) Bestimmen Sie die Ladungsverteilung auf der leitenden Ebene. (4 Punkte) e) Skizzieren Sie die Ladungsverteilung auf der leitenden Ebene für z = 0. (2 Punkte) f) Bestimmen Sie die Kapazität pro Längeneinheit der Elektrodenanordnung. (5 Punkte) Seite 6 von 8 Theoretische Elektrotechnik 1 A LLGEMEINE UND T HEORETISCHE E LEKTROTECHNIK (ATE) Prof. Dr. sc. techn. Daniel Erni Aufgabe 1.2: Strömungsfeld einer Schlitzleitung SS 2012 09.08.2012 (20 Punkte) Thema: Stationäre Strömungsfelder, Randwertproblem in xy-Koordinaten In Abbildung 2 ist eine in z-Richtung homogene Schlitzleitung skizziert. Die dargestellten Streifen haben jeweils eine Weite w und eine vernachlässigbare Dicke t → 0. Zwischen den Steifen befindet sich ein Spalt mit der Breite s. Die metallisierten Strukturen werden von einem Substrat mit der Leitfähigkeit κ getragen. Die gesamte Leitung ist von Luft mit der Permittivität ǫ0 umgeben (nichtleitender Bereich). Die Anregung des zu berechnenden stationären Strömungsfeldes erfolgt über eine näherungsweise als konstant angenommene Stromeinspeisung über die beiden Elektroden. Dort gilt ~ y = h) = −sign(x) I ′ ~ey mit der Signumsfunktion sign(x) = x mathematisch somit: J(x, w |x| I′ I′ s w κ y ǫs h x b Abbildung 2: Querschnitt einer Schlitzleitung a) Welche Randbedingung für das Potenzial ϕ kann aufgrund der Symmetrie der Schlitzleitung für x = 0 aufgestellt werden? Formulieren Sie des Weiteren die Randbedingungen in der Oberfläche des leitfähigen Substrats. (4 Punkte) b) Berechnen Sie das Potenzial ϕ(x, y) innerhalb des Substrats und skizzieren Sie abschließend dessen Verteilung mittels sieben Äquipotenziallinien. (14 Punkte) c) Ermitteln Sie näherungsweise den Leitwertbelag G′ = I ′ /U zwischen den beiden Streifen. Welche Problematik ergibt sich bei der Spannungsberechnung? (2 Punkte) Hinweise: • Die allgemeine Lösung für die zwei-dimensionale Laplacegleichung in kartesischen Koordinaten lautet (ohne Berücksichtigung der Eigenlösung zum Eigenwert Null): ϕ(x, y) = NX →∞ (An cos (kn x) + Bn sin (kn x)) (Cn cosh (kn y) + Dn sinh (kn y)) n=1 • Die oszillierenden Eigenfunktionen cos (nx) und sin (nx) sind auf dem Interval [− π2 , + π2 ] orthogonal, d.h. es gilt z.B. für die Sinus-Funktion: ( Z +π π 2 , m=n π sin (mγ) sin (nγ) dγ = δm,n = 2 2 0, m 6= n − π2 Seite 7 von 8 Theoretische Elektrotechnik 1 A LLGEMEINE UND T HEORETISCHE E LEKTROTECHNIK (ATE) Prof. Dr. sc. techn. Daniel Erni SS 2012 09.08.2012 Aufgabe 1.3: Elektrisches Feld einer Koaxleitung (20 Punkte) Thema: Elektrostatische Felder Gegeben ist eine Koaxialleitung der Länge L, dem Außendurchmesser A und dem Innendurchmesser B. Zwischen dem Innenleiter und dem leitenden Zylindermantel befindet sich ein Dielektrikum mit der Permittivitätszahl ǫr . Der Innenleiter liegt auf einem Potenzial ϕi = U , die Außenelektrode liegt auf dem Potenzial ϕa = 0. A B ǫr L Abbildung 3: Koaxialleitung a) Berechnen Sie den Verlauf des Potenzials im Dielektrikum in Abhängigkeit vom Abstand zur Mittelachse des Koaxialleiters. (4 Punkte) b) Berechnen Sie den Verlauf der elektrischen Feldstärke im Dielektrikum in Abhängigkeit vom Abstand zur Mittelachse des Koaxialleiters. (3 Punkte) c) Berechnen Sie den Maximalwert der elektrischen Feldstärke im Dielektrikum. (3 Punkte) d) Weisen Sie nach, dass der Außendurchmesser um den Faktor e (Eulersche Zahl) größer sein muss als der Innendurchmesser, damit die in der Koaxialleitung auftretende maximale Feldstärke minimal wird. (4 Punkte) e) Wie groß ist die maximale Feldstärke für den Fall, dass A = e B gilt? (3 Punkte) f) Skizzieren Sie den Verlauf der maximalen Feldstärke im Dielektrikum in Abhängigkeit vom Durchmesser des Innenleiters und geben Sie die für das Minimum maßgeblichen Werte an. (3 Punkte) Hinweis: • Eine eindimensionale Laplacegleichung in Zylinderkoordinaten lautet: dϕ 1 d ρ =0 ρ dρ dρ Seite 8 von 8