Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Die österreichische Lottoziehung vom 28. September 2003
lieferte nahezu dieselben Zahlen wie die am Vorabend in
Deutschland stattgefundene Ziehung: „3, 17, 35, 39, 40, 44“ und
„7, 17, 35, 39, 40, 44“ waren diesseits und jenseits der Grenze die
Glückszahlen. Doch nicht eine seltene Planetenkonstellation
– wie in manchen Printmedien vermutet wurde – war die
Ursache, sondern lediglich ein witziger Zufall steckte dahinter.
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist jenes Teilgebiet der Mathematik, in dem scheinbar und
tatsächlich zufällige Ereignisse mit den Methoden der Mathematik untersucht und beschrieben
werden.
8.1 Grundbegriffe
8.1
Was ist ein „zufälliges Ereignis“, ein „Zufall“? Recherchiere, wie in den unterschiedlichen
Wissenschaften wie zB Physik oder Philosophie dieser Begriff definiert ist. Präsentiere das
Ergebnis deiner Recherche vor deiner Klasse.
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt sich mit so genannten Zufallsexperimenten. Man
bezeichnet ein Zufallsexperiment, das beliebig oft wiederholt werden kann und bei dem sich die
Wahrscheinlichkeiten für das Eintreffen der möglichen Versuchsausgänge nicht verändern, als
Laplace-Experiment, zB ein Münzwurf, das Roulette-Spiel, die Lottoziehung oder verschiedene
Würfelspiele. Dabei ist zu beachten, dass im Modell ein Münzwurf immer mit einer „idealen
Münze“, das Werfen mit einem Würfel immer mit einem „idealen Würfel“ durchgeführt wird.
Bei der „idealen Münze“ beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Seite 50 %. Dieses Modell
vernachlässigt die Unregelmäßigkeiten im Material einer realen Münze, die zu unterschiedlichen
Wahrscheinlichkeiten für beide Seiten führen können.
Jeder mögliche Ausgang eines solchen Zufallsexperiments wird Ergebnis, manchmal auch
Elementarereignis, genannt. ZB kann dem Münzwurf das Ergebnis „Zahl“ bzw. „Wappen“
zugeordnet werden. Die Menge ⍀ aller möglichen Ergebnisse wird Ergebnismenge bzw.
Ergebnisraum genannt. Ein Zufallsexperiment kann dabei über mehrere Ergebnisräume
verfügen. Beim Roulette gibt es zB den Ergebnisraum ⍀1 = {rot, schwarz, 0} oder den
Ergebnisraum ⍀2 = {0, 1, 2, 3 ... 36}. Als Ereignis bezeichnet man eine Teilmenge des
Ergebnisraums. So sind beim einmaligen Werfen eines Würfels sechs verschiedene Ergebnisse
möglich, nämlich ⍀ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Mithilfe dieser Ergebnisse lassen sich viele verschiedene
Ereignisse beschreiben, wie zB „Die Augenzahl ist gerade“ mit ⍀g ={2, 4, 6}.
8.2
Beschreibe mit eigenen Worten exemplarisch, welche Ergebnisse und Ereignisse bei dem
Zufallsexperiment eintreten können.
a) Werfen zweier Würfel
b) Roulette
c) dreimaliger Münzwurf
8.3
Formuliere einen passenden Text zu dem Ereignisraum ⍀ und den Teilmengen.
a) ⍀ = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ... 19, 20}
⌻ = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
b) ⍀ = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ... 19, 20}
⌻1 = {1, 4, 16} ⌻2 = {0, 5, 10, 15, 20}
c) ⍀ = {0, 1}
⌻1 = {1, 1, 1}
⌻2 = {0, 1, 0, 1, 0, 1, 0}
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8.2 Kombinatorik
8.2.1 Einleitung
8.4
Carmen, Manuel, Paul und Jarett wollen im Kino nebeneinander sitzen. Schreibe alle
Möglichkeiten dafür an.
Bei Familienfesten wie Hochzeiten aber auch bei Geschäftsessen kann das
Finden der „richtigen“ aus einer Vielzahl von möglichen Sitzordnungen
zu enormen Komplikationen führen.
Die Kombinatorik (latein: combinatio = Vereinigung) befasst sich
mit der Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten bei Umordnungsbzw. Auswahlaufgaben. Da es im Allgemeinen zu aufwändig wäre,
alle Möglichkeiten aufzuzählen, wurden zur Berechnung so genannte
Abzähltechniken entwickelt.
Ein sehr häufig eingesetztes gedankliches Hilfsmittel ist ein nicht
einsehbares, „hypothetisches“ Gefäß, aus dem im Allgemeinen Kugeln
gezogen werden. Aus historischen Gründen hat sich als Bezeichnung für dieses Gefäß der
Name „Urne“ eingebürgert. So entspricht dem Würfeln mit einem Würfel das Ziehen von sechs
nummerierten Kugeln aus einer Urne.
Das Urnenmodell eignet sich zur einfachen Beschreibung grundlegender Unterschiede im
Ablauf von Zufallsexperimenten.
• Als Grundmenge (Grundgesamtheit) bezeichnet man alle n Kugeln in einer Urne.
• Werden aus einer Urne mit n Kugeln k Kugeln gezogen, erhält man eine Stichprobe. Diese
Stichprobe kann auch alle Kugeln der Urne umfassen, es gilt n = k.
• Ist die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, von Bedeutung, so spricht man von
einer geordneten Stichprobe. Mathematisch gesehen handelt es sich dabei um eine Folge.
Ist die Reihenfolge hingegen nicht von Bedeutung, so spricht man von einer ungeordneten
Stichprobe, einer Menge.
• Wird eine Kugel aus der Urne gezogen, so kann sie wieder zurückgelegt und daher erneut
gezogen werden. Man bezeichnet diesen Ablauf als Ziehen mit Zurücklegen bzw. als Ziehen
mit Wiederholung. Im Gegensatz dazu kann beim Ziehen ohne Zurücklegen bzw. Ziehen
ohne Wiederholung eine schon entnommene Kugel nicht mehr gezogen werden.
8.5
Ordne den Zufallsexperimenten die Eigenschaften „geordnet“, „ungeordnet“, „mit
Wiederholung“ und „ohne Wiederholung“ zu. Begründe deine Antworten.
1) Sechser bei „6 aus 45“
3) jeweils dreimal Zahl und Wappen (Münzwurf)
2) Ziffern der Jokerzahl
4) ausgewählte Personen für eine Umfrage
8.6
Auf welche Ergebnisse eines Zufallsexperiments passt die Beschreibung? Nenne zwei
Beispiele.
a) mit Wiederholung
c) Reihenfolge wichtig, ohne Wiederholung
b) Reihenfolge wichtig
d) Reihenfolge nicht wichtig, mit Wiederholung
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8.2.2 Permutation
Permutation ohne Wiederholung
8.7
Wie viele Möglichkeiten gibt es, drei verschiedenfärbige Kugeln anzuordnen?
Eine Anordnung von n Elementen nennt man eine Permutation (latein: permutare =
vertauschen). In Band 3, Abschnitt 1.6.5 wurde bereits eine Formel hergeleitet, mit der man
die Anzahl der Anordnungen von n verschiedenen Elementen berechnen kann. Wenn alle n
Elemente verschieden voneinander sind, spricht man in diesem Fall von einer Permutation
ohne Wiederholung.
Anzahl der Permutationen von n Elementen ohne Wiederholung
P(n) = n!
n voneinander unterscheidbare Elemente kann man auf n! verschiedene Arten anordnen.
Permutation mit Wiederholung
8.8
Wie viele Anagramme kann man aus den Buchstaben A, B, B und A bilden?
Marvin, fünf Jahre alt, baut gerne Türme aus verschiedenfärbigen Bausteinen. Er hat dafür 6 rote,
4 grüne und 8 blaue Steine zur Verfügung. Nun soll berechnet werden, wie viele verschiedene
Farbabfolgen dabei möglich sind. Da es mehrere Bausteine von gleicher Farbe gibt, spricht man
in einem solchen Fall von einer Permutation mit Wiederholung.
• Es gibt (6 + 4 + 8)! = 18! Möglichkeiten, diese Bausteine anzuordnen.
• Es gibt 6! Möglichkeiten, die roten Steine anzuordnen, 4! Möglichkeiten für die grünen und
8! Möglichkeiten für die blauen Steine.
18!
= 9 189 180 verschiedene Farbabfolgen.
• Insgesamt gibt es somit _____
6! · 4! · 8!
Anzahl der Permutationen von n Elementen mit Wiederholung
n!
PW(n) = ______
r! · s! · t! · ...
n Elemente, von denen r, s, t ... Elemente jeweils gleich sind, werden angeordnet.
8.9
Wie viele Anagramme können aus dem Wort „Mississippi“ gebildet werden?
Lösung:
n = 11
i = 4, p = 2, s = 4,
11!
PW = 4!_____
= 34 650
· 2! · 4!
• Das Wort „Mississippi“ enthält elf Buchstaben.
• „i“ und „s“ kommen je viermal, „p“ kommt zweimal vor.
Es gibt 34 650 Anagramme mit den Buchstaben des Worts „Mississippi“.
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Permutation ohne Wiederholung
8.10 Eine Pharmareferentin will neun Kundengespräche führen. Wie viele verschiedene
Reihenfolgen sind möglich?
8.11 Wie viele verschiedene Sitzplatzanordnungen gibt es in einer Klasse mit 30 Schülerinnen
und Schülern und 30 Plätzen? Wie oft müsste man pro Tag die Sitzordnung ändern, um
alle Sitzordnungen innerhalb eines Schuljahrs (180 Schultage) durchgespielt zu haben?
8.12 Berechne, auf wie viele Arten fünf Personen in einem Auto mit insgesamt fünf Sitzplätzen
Platz nehmen können, um in den Lungau zu fahren, wenn nur eine Person einen
Führerschein hat.
Permutation mit Wiederholung
8.13 In einer Urne befinden sich 6 weiße, 3 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Man zieht alle
Kugeln. Wie viele Farbkombinationen können entstehen?
8.14 Wie viele verschiedene Sitzplatzanordnungen gibt es in einer Klasse für 30 Schülerinnen
und Schülern bei 36 Plätzen? Erkläre, wie du die Aufgabe mithilfe der Formel für
Permutation mit Wiederholung lösen kannst.
8.15 Christiaan Huygens (niederländischer Astronom, 1629 –
1695) beschrieb mit folgendem Anagramm die Ringe des
Saturns: AAAAAAA CCCCC D EEEEE G H IIIIIII LLLL MM
NNNNNNNNN OOOO PP Q RR S TTTTT UUUUU.
1) Wie viele weitere Anagramme kann man bilden?
2) Recherchiere den eigentlichen Wortlaut der
Beschreibung.
Vermischte Aufgaben
8.16 In einer Bonbonniere befinden sich vier gleiche Nougatpralinen und vier gleiche
Nusspralinen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Pralinen anzuordnen?
8.17 Zu einem Schönheitswettbewerb treten sieben Affenpinscher, neun Cockerspaniel, drei
Norfolk-Terrier und ein Wolfsspitz an. Pascal kann zwar die verschiedenen Hunderassen
unterscheiden, nicht aber die einzelnen Hunde. Wie viele Möglichkeiten gibt es für ihn,
die Tiere anzuordnen? Wie viele Möglichkeiten gäbe es für ihn, könnte er die einzelnen
Tiere unterscheiden?
8.18 Drei Ehepaare verlassen nach einem Fest die Wohnung der Gastgeberin.
Wie viele Möglichkeiten (Reihenfolgen) gibt es,
1) wenn die sechs Personen die Wohnung einzeln verlassen?
2) wenn die Ehepaare die Wohnung jeweils gemeinsam verlassen?
8.19 Wie viele Möglichkeiten gibt es, die weißen Figuren eines Schachspiels in den ersten beiden
Reihen beliebig anzuordnen? Bei den Eröffnungsstellungen von Chess960 stehen die weißen
Bauern wie üblich, die anderen weißen Figuren stehen in der ersten Reihe. Der weiße
König steht zwischen den weißen Türmen. Ein weißer Läufer steht auf weiß, der andere auf
schwarz. Die schwarzen Figuren werden symmetrisch zu den weißen platziert. Wie viele
Eröffnungsstellungen sind unter diesen Bedingungen möglich?
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8.2.3 Variation
Variation ohne Wiederholung
8.20 Anne, George, Julian, Richard und Tim wollen ins Theater gehen. Auf wie viele Arten
können sie in einer Loge mit 8 Sitzen Platz nehmen?
Aus n verschiedenen Elementen werden k verschiedene ausgewählt, wobei die Reihenfolge
von Bedeutung ist. Die so entstandenen geordneten Stichproben nennt man Variation ohne
Wiederholung.
Vier Kugeln sollen gezogen und
ZB: In einer Urne sind folgende Kugeln:
auf eine Kette aufgefädelt werden. Wie viele verschiedene Farbabfolgen können entstehen?
• Für den 1. Zug hat man 6 Kugeln zur Verfügung, für den 2. Zug 5 Kugeln usw.
• Insgesamt gibt es 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 360 Möglichkeiten.
6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 6!
6!
Es gilt: 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = _________
= _ = _____
•
2·1
2!
(6 – 4)!
Anzahl der Variationen ohne Wiederholung
n!
V(n, k) = _____
(n – k)!
Aus n verschiedenen Elementen werden k verschiedene Elemente ausgewählt. Die
Reihenfolge der Auswahl ist dabei von Bedeutung.
Die Berechnung wird am TR mit dem „nPr“-Befehl (englisch: „n permutation r“) durchgeführt,
da im englischen Sprachraum „Permutation“ auch für „Variation“ verwendet wird.
Variation mit Wiederholung
Bei der Ziehung einer sechsstelligen Zahl werden für jede Stelle jeweils zehn Kugeln, nummeriert
von Null bis Neun, benutzt. Für jede Stelle stehen also alle 10 Ziffern zur Verfügung. Jede so
entstandene geordnete Stichprobe nennt man Variation mit Wiederholung.
Eine Kugel soll gezogen werden,
ZB: In einer Urne sind folgende Kugeln:
die Farbe notiert und die Kugel anschließend wieder in die Urne geworfen werden. Dieser
Vorgang wird viermal wiederholt. Wie viele verschiedene Farbabfolgen können entstehen?
ebenso bei den restlichen Zügen.
• Beim 1. Zug hat man 6 Kugeln zur Verfügung,
4
Insgesamt
kann
man
also
6
·
6
·
6
·
6
=
6
=
1
296
Farbabfolgen bilden.
•
Anzahl der Variationen mit Wiederholung
VW(n, k) = nk
Aus n verschiedenen Elementen werden k Elemente gezogen. Jedes Element steht bei
jedem Zug wieder zur Verfügung. Die Reihenfolge ist von Bedeutung.
8.21 Wie viele verschiedene Zahlenfolgen können durch zweimaliges Würfeln entstehen?
Lösung:
n = 6 und k = 2 ⇒ VW(6, 2) = 62 = 36
• Aus 6 Möglichkeiten wird 2-mal
Man kann 36 verschiedene Würfe machen.
ausgewählt.
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Variation ohne Wiederholung
8.22 Wie viele Möglichkeiten gibt es für drei Personen, auf zehn Sesseln Platz zu nehmen?
8.23 Wie viele dreiziffrige Zahlen kann man aus den Ziffern 2, 3, 4, 5 und 6 bilden, wenn in der
Zahl jede Ziffer nur einmal vorkommen darf?
8.24 In einer Gruppe mit acht Kindern befinden sich zwei Schwestern. Wie viele Möglichkeiten
gibt es, fünf Kinder in einer Reihe aufzustellen, wenn die beiden Schwestern nicht
getrennt werden wollen?
8.25 Überlege und begründe, warum im englischsprachigen Raum lediglich der Begriff
„Permutation“ für die Begriffe „Permutation“ und „Variation“ verwendet wird.
Variation mit Wiederholung
8.26 Beim „Toto“ kann man auf den Spielausgang eines Fußballspiels wetten. Pro Tipp kann
man für jedes der zwölf Spiele 1, 2 oder x ankreuzen. Wie viele Tipps sind möglich?
8.27 Wie viele vierstellige Zahlen kann man aus den Ziffern 3, 2, 1, 0 bilden, wenn jede Ziffer
beliebig oft verwendet werden darf?
Vermischte Aufgaben
8.28 In einer Urne befinden sich 7 blaue, 3 grüne, 8 weiße und 2 violette Kugeln. Gib die
Anzahl der Möglichkeiten an, die unter den gegebenen Voraussetzungen gebildet werden
können.
a) Es werden ohne Zurücklegen 4 weiße Kugeln gezogen.
b) Es werden mit Zurücklegen 6 Kugeln nur in den Farben grün oder violett gezogen.
8.29 Beim so genannten „Elfmeterschießen“ wählt der Trainer fünf Spieler in einer bestimmten
Reihenfolge aus einer Mannschaft von elf Spielern aus. Wie viele Möglichkeiten hat er,
1) wenn er den Torwart berücksichtigt?
2) wenn er den Torwart nicht berücksichtigt und nur noch neun Spieler am Feld sind?
8.30 Zwanzig der am Aufbau der Proteine beteiligten Aminosäuren werden durch eine
Sequenz – ein so genanntes Codon – aus drei der vier Nucleinbasen (Adenin, Cytosin,
Guanin, Uracil) codiert. Dabei kann jede Nucleinbase mehrmals in einem Codon
vorkommen. Wie viele Codone können insgesamt gebildet werden?
8.31 Ein Passwort soll aus zehn Zeichen (Ziffern oder Buchstaben) bestehen. Jeder Buchstabe
und jede Ziffer darf mehrmals verwendet werden. Es gibt keinen Unterschied zwischen
Groß- und Kleinbuchstaben. Wie viele Passwörter kann man jeweils kreieren?
8.32 Ein Losungswort für ein Sparbuch soll aus 12 Zeichen bestehen. Jeder Buchstabe und jede
Ziffer darf mehrmals verwendet werden, wobei zwischen Groß- und Kleinbuchstaben
unterschieden wird. Wie viele Losungswörter kann man bilden?
8.33 Susanne wählt für ihr 16-stelliges Passwort als erstes Zeichen einen Großbuchstaben, als
zweites Zeichen einen Kleinbuchstaben und für die restlichen Zeichen nur mehr Ziffern.
Wie viele Passwörter kann sie bilden, wenn es keine weiteren Einschränkungen gibt?
8.34 Wie ändert sich die Anzahl der Passwörter aus zehn Zeichen, wenn jedes erlaubte
Zeichen mehrmals statt nur einmal verwendet werden darf? Begründe deine Antwort.
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8.2.4 Kombination
Kombination ohne Wiederholung
8.35 In einem Betrieb arbeiten elf Personen. Die Unternehmensleitung wählt drei Personen
für eine Fortbildungsveranstaltung in Alpbach aus. Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine
solche Dreiergruppe zu bilden?
Eine Auswahl von k Elementen aus einer Grundmenge n, wobei es auf die Reihenfolge der
Auswahl nicht ankommt, nennt man Kombination. Die entsprechende Formel wurde in
Band 3 hergeleitet.
Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung
n
n
n!
=
... Binomialkoeffizient „n über k“
C(n, k) = _______
(n – k)! · k!
k
k
Aus n verschiedenen Elementen werden k verschiedene Elemente ausgewählt. Die
Reihenfolge der Auswahl ist nicht von Bedeutung.
()
()
Kombination mit Wiederholung
ZB: Jemand würfelt zweimal mit zwei gleichen, nicht
unterscheidbaren Würfeln. Die nebenstehende Tabelle
zeigt, welche Würfe möglich sind. Dabei zählt man 21
Möglichkeiten. Um eine Formel zur Berechnung dieser
Anzahl zu finden, wenden wir folgende Überlegungen
an:
16
15
14
13
12
11
26
25
24
23
22
36
35
34
33
46
45
44
56
55
66
Man ersetzt in der letzten Zeile eine der doppelten
Ziffern durch eine 7. Zur Berechnung der Anzahl eignet
n
7
=
= 21, da keine Wiedersich nun die Formel
k
2
holungen mehr vorkommen. Wir überlegen nun:
16
15
14
13
12
17
26
25
24
23
27
36
35
34
37
46
45
47
56
57
67
() ()
Wählt man aus 6 Elementen 2 Elemente aus, die nach dem Ziehen wieder zurückgelegt
werden, so wiederholt sich jedes Element (2 – 1)-mal. Man kann nun diese Wiederholungen
„vermeiden“, in dem man die (2 – 1) „wiederholten“ Elemente als „zusätzliche“ Elemente auffasst
und zu der Zahl 6 die Zahl (2 – 1) addiert. Von diesen (6 + (2 – 1)) Elementen werden nun
6 + (2 – 1)
7
2 Elemente ohne Wiederholung ausgewählt. Es gilt:
=
= 21.
2
2
(
) ()
Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung
n+k–1
CW(n, k) =
k
Aus n verschiedenen Elementen werden k Elemente ausgewählt. Jedes Element steht bei
jedem Zug wieder zur Verfügung. Die Reihenfolge der Auswahl ist nicht von Bedeutung.
(
)
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Kombination ohne Wiederholung
8.36 Bei einem Test, zu dem einige hundert Studierende antreten wollen, werden jeweils
drei von 100 Fragen pro Studierendem geprüft. Wie viele Studierende können maximal
antreten, wenn der Prüfer ein und dieselbe Fragenkombination nicht doppelt geben will?
8.37 Wie viele Produkte c = a · b lassen sich aus den Ziffern 1 bis 9
bilden, wenn kein Faktor zweimal verwendet werden darf?
8.38 Es sind sieben Punkte in der Ebene gegeben. Wie viele Geraden
kann man durch jeweils zwei Punkte legen, wenn nie drei der
Punkte auf einer Geraden liegen?
8.39 An einer Fortbildung zum Thema „Neue CNC-Maschinen“
nehmen eine Frau und 19 Männer teil.
1) Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein Team aus drei Personen
auszuwählen?
2) In wie viel Prozent aller möglichen Teams sind nur Männer?
Kombination mit Wiederholung
8.40 In einer HTL-Klasse sind 30 Schülerinnen und Schüler. Wie viele Möglichkeiten gibt es,
jeweils jemanden für die Aufgaben des „Tafelordners“ und des „Klassenbuchordners“
auszuwählen, wenn eine Person auch beide Aufgaben übernehmen kann?
8.41 Wie viele Dreiecke können aus den Seitenlängen 5 cm, 6 cm, 7 cm, 8 cm und 9 cm
gebildet werden, wenn
1) jede Seitenlänge nur einmal verwendet werden darf?
2) jede Seitenlänge mehrmals verwendet werden darf?
Vermischte Aufgaben
8.42 Ein „französisches Blatt“ besteht aus 52 Spielkarten in den Farben „Treff“, „Pik“, „Herz“ und
„Karo“. Jede Farbe gibt es in den Werten 2, 3 ... 10, Bub, Dame, König, Ass. Berechne die
Anzahl der Möglichkeiten für „eine Hand“ mit n Karten.
a) nur Karo, n = 5
b) nur Pik, n = 3
c) nur rot, n = 7
8.43 Wie viele Produkte d = a · b · c lassen sich aus den Ziffern 1 bis 9 bilden, wenn jede Ziffer
1) nur einmal, 2) beliebig oft verwendet werden darf?
8.44 Eine Orgel hat mehrere Pfeifenreihen. Eine solche Pfeifenreihe wird zu einem so genannten
Register zusammengefasst, das ein- und ausgeschaltet werden kann. Die größte Orgel
Österreichs ist die zurzeit stillgelegte Kauffmann-Orgel im Wiener Stephansdom mit 125
Registern. Wie viele Zusammenstellungen der Register gibt es für diese Orgel?
8.45 Apollonius von Perge (griechischer Mathematiker, 262 – 190 v. Chr.) stellte folgende
Frage: Wie viele und welche Möglichkeiten gibt es, einen Kreis mithilfe dreier
Bestimmungstücke (Kreise, Punkte, Tangenten) zu konstruieren? Beantworte diese Frage.
8.46 1) In einer Ebene liegen n = 10 Punkte. Wie viele Geraden kann man durch jeweils zwei
Punkte legen, wenn k = 4 Punkte der zehn Punkte auf einer Geraden liegen?
2) Formuliere die in 1) angegebene Aufgabe allgemein.
3) Gib eine allgemeine Formel zur Berechnung der Anzahl der Geraden an.
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Vermischte Aufgaben zu Permutationen, Variationen und Kombinationen
Manche Aufgaben können unterschiedlich interpretiert werden. Gib in diesen Fällen an, von
welchen Voraussetzungen du ausgehst.
8.47 In einem Büro sind 18 Telefone vorhanden. Berechne, wie viele Verbindungen zwischen
diesen Apparaten hergestellt werden können.
8.48 Wie viele Möglichkeiten gibt es in Deutschland, 6 Richtige aus 49 zu tippen?
8.49 Um eine Maschine zu starten, müssen 10 Schalter richtig eingestellt werden. Ein Schalter
kann 2 Positionen haben. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Schalter einzustellen?
8.50 Wie viele verschiedene (auch physikalisch falsche) „Regenbogen“
können aus sieben Farben gezeichnet werden?
8.51 Ein Rieseneisbecher wird mit 5 Waffeln und 4 Hohlhippen
dekoriert. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Waffeln und
Hohlhippen nebeneinander zu platzieren?
8.52 Auf wie viele Arten können 15 Personen nacheinander einen
Raum verlassen?
8.53 Zwölf Personen wollen mit einem Autobus fahren, der nur mehr fünf freie Plätze hat.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die fünf Plätze zu besetzen, wenn die verschiedenen
Anordnungen der Personen 1) berücksichtigt werden, 2) nicht berücksichtigt werden?
8.54 Bruno, sechs Jahre alt, besitzt fünf Farbstifte: rot, blau, grün, gelb und violett. Er zeichnet
eine Katze und wählt einen Stift für den Kopf, einen für den Körper, einen für die Beine
und einen für den Schweif. Wie viele bunte Katzen kann Bruno zeichnen, wenn er
1) die gleiche Farbe mehrfach verwendet? 2) nur verschiedene Farben verwendet?
8.55 Wie viele n-stellige Passwörter aus 26 Buchstaben und 10 Ziffern gibt es? Begründe.
8.56 Berechne die Anzahl der Möglichkeiten, zwölf verschiedene Bücher unter drei Personen
so aufzuteilen, dass jede Person vier Bücher erhält.
8.57 Vier Ehepaare kommen an ein Drehkreuz, das sie nacheinander passieren.
1) Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind für diese Personen möglich?
2) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn Herren und Damen abwechselnd gehen?
3) Wie viele Möglichkeiten bleiben, wenn alle Damen zuerst gehen?
8.58 Bei einem Fahrradschloss gibt es drei Ringe, jeweils mit den Ziffern 0 bis 9.
1) Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat man, eine Zahlenkombination einzustellen?
2) Ein Dieb glaubt, dass der Fahrradbesitzer eine Vorliebe für gerade Zahlen hat. Er
möchte alle Zahlenkombinationen probieren, die an der ersten und an der letzten
Stelle eine gerade Ziffer haben. Wie viele derartige Kombinationen gibt es?
8.59 Sechs Mathematikbücher und sechs Chemiebücher werden auf einem Bücherbrett
aufgestellt, wobei Bücher einer Fachrichtung jeweils unterschiedlich sind. Wie viele
Möglichkeiten gibt es, die Bücher aufzustellen,
1) wenn man mit einem Chemiebuch anfangen möchte?
2) wenn man abwechselnd ein Mathematik- und ein Chemiebuch aufstellen möchte?
3) wenn die vier Mathematik-Schulbücher nebeneinander stehen sollen?
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8.60 1) Wie viel Möglichkeiten hat man, 20 Tafeln Schokolade auf 3 Kinder zu verteilen?
2) Wie viele Möglichkeiten hat man, 21 verschiedene Tafeln auf 3 Kinder so zu verteilen,
dass jedes Kind gleich viele Tafeln bekommt?
8.61 Zehn Personen verabschieden sich nach einer Feier per Handschlag.
1) Wie oft werden die Hände geschüttelt? 2) Wie oft werden die Hände geschüttelt,
wenn es sich bei den zehn Personen um fünf Ehepaare handelt?
8.62 Bei einem Buffet werden Lachsbrötchen, Kaviarbrötchen,
Schinkenbrötchen und Käsebrötchen angeboten. Uschi wählt drei
Brötchen aus. Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat sie,
1) wenn sie drei verschiedene Brötchen möchte?
2) wenn sie nicht nur verschiedene Brötchen nimmt?
3) wenn sie mit einem Kaviarbrötchen beginnt?
4) wenn mindestens ein Lachsbrötchen dabei sein soll?
8.63 Eine Spielgemeinschaft kreuzt alle möglichen Lottotipps bei Lotto „6 aus 45“ an.
Wie viele Fünfer mit bzw. ohne Zusatzzahl und wie viele Vierer erzielt sie damit?
8.64 Wie viele Autokennzeichen kann man mit drei Buchstaben (A bis Z) und zwei Ziffern
(0 bis 9) bilden, wenn 1) kein Zeichen doppelt vorkommen darf, 2) 0 oder O am
Anfang nicht erlaubt sind, Zeichen aber doppelt vorkommen dürfen?
8.65 Von 500 Muschelperlen sind 300 weiß, 150 rosa und 50 gelb. Für eine Kette werden
24 Perlen beliebig ausgewählt. Begründe jeweils deine Antwort.
1) Wie viele verschiedene Ketten kann es geben?
2) Wie viele Ketten beginnen mit der Farbkombination weiß, gelb, rosa?
3) Wie viel Prozent der Ketten haben lauter weiße Perlen?
8.66 Das Winkeralphabet (Semaphore) dient mithilfe zweier Fahnen zur optischen Übermittlung von Buchstaben. Wie viele Positionen muss es für jeden Arm (mindestens) geben, um alle Buchstaben darstellen zu können?
(BArch, Bild 183-12958-0004/
8.67 Eine Klasse hat zwölf Schülerinnen und zehn Schüler.
Horst Sturm/CC-BY-SA.)
1) Wie viele verschiedene Sitzordnungen sind möglich?
2) Wie viele Sitzordnungen sind möglich, wenn es fixe „Mädchenplätze“ gibt?
3) Sechs Studierende sollen an den Vorbereitungen für ein Schulfest teilnehmen.
In wie viel Prozent der möglichen Sechsergruppen sind mehr Schüler als Schülerinnen?
8.68 Wie viele Sitzordnungen gibt es in einer Klasse mit 30 Plätzen an 15 Tischen, wenn zwei
bestimmte Schülerinnen keinesfalls nebeneinander sitzen dürfen?
8.69 Bei einer Schulfaschingsparty in einer Volksschule verkleiden sich von den 21 Schülern
und Schülerinnen einer Klasse sieben als Clown, sieben als Märchenfigur und sieben als
Zauberer. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kinder der Reihe nach aufzustellen, wenn
die Kinder eine der folgenden Vereinbarungen festlegen:
1) Der Zauberer Peter möchte unbedingt neben dem Clown Heidi stehen.
2) Die Märchenfigur Anja möchte nicht neben der Märchenfigur Sarah stehen.
3) Der Zauberer Michael möchte als Erster stehen, alle anderen stehen in der Reihenfolge
Clown, Märchenfigur, Zauberer.
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8.3 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
8.3.1 Wiederholung
8.70 Wie viele 6er erwartest du bei 100-mal würfeln? Probiert es in der Klasse aus und
berechnet den Mittelwert der tatsächlichen Ergebnisse.
Ein Experiment, das beliebig oft wiederholt werden kann und bei dem die Wahrscheinlichkeiten
für die möglichen Ausgänge gleich bleiben, heißt Laplace-Experiment, wie zB das Würfeln
mit einem Würfel. In Band 2, Abschnitt 10.3, wurden Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung vorgestellt. Diese sollen nun wiederholt werden.
Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment
Anzahl der günstigen Fälle
P(Ereignis) = ________________
mit 0 ⭐ P(Ereignis) ⭐ 1
Anzahl der möglichen Fälle
Gegenwahrscheinlichkeit: P(nicht E) = 1 – P(E)
· P(B)
P(A und B) P(A|B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes: P(B|A) = _______
= ________
P(A)
P(A)
Additionssatz für die „oder“-Verknüpfung
P(A oder B) = P(A) + P(B) – P(A und B)
A, B ... beliebige Ereignisse
P(A oder B) = P(A) + P(B)
A, B ... einander ausschließende Ereignisse
Multiplikationssatz für die „und“-Verknüpfung
P(A und B) = P(A) · P(B|A)
A, B ... beliebige Ereignisse
P(A und B) = P(A) · P(B)
A, B ... voneinander unabhängige Ereignisse
Der Satz von Bayes ergibt sich aus folgenden Überlegungen. (Vgl. Band 2, Abschnitt 10.3.2)
P(A und B) = P(A) · P(B|A) und P(A und B) = P(B) · P(A|B)
Wegen P(A und B) = P(B und A) gilt:
P(A|B) · P(B)
P(A) · P(B|A) = P(B) · P(A|B) ⇒ P(B|A) = ________
P(A)
8.71 Eine Gruppe des Alpenvereins wandert durch das Montafon. Es sind 14 Mädchen,
19 Burschen, 1 Frau und 2 Männer unterwegs. Sie kommen an eine Weggabelung.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 1) genau ein Bursche, 2) ein Bursche oder ein
Mädchen, 3) je ein Bursche und ein Mädchen, 4) zwei Erwachsene falsch abbiegen?
Lösung:
__ 52,8 %
1) P(ein Bursche) = 19
36
+ 14
_____
2) P(ein Bursche oder ein Mädchen) = 19
36 91,67 %
__ · 14
__ 14
__ 19
__
3) P(ein Bursche und ein Mädchen) = 19
36 35 + 36 · 35 42,22 %
3 __
4) P(zwei Erwachsene) = __
· 2 0,48 %
36 35
8.72 Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln mit einem Würfel
a) eine ungerade Augenzahl geworfen wird. b) eine Augenzahl kleiner 6 geworfen wird.
166
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8.73 Die Tabelle zeigt auszugsweise die häufigsten Vornamen 2009 geborener Kinder. Eines
dieser Kinder soll für das Titelblatt der „Statistischen Nachrichten“ ausgewählt werden.
Bundesland
Knaben Anzahl Mädchen Anzahl
Oberösterreich Lukas
Salzburg
Bundesland
Knaben Anzahl Mädchen Anzahl
206
Anna
183
Steiermark
Lukas
157
Sarah
146
68
Anna
80
Tirol
Simon
98
Anna
103
Simon
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
1) dass es sich um ein Mädchen oder um ein Kind aus Tirol handelt?
2) dass ein Mädchen Anna heißt?
Lösung:
1) P(Mädchen oder Kind aus Tirol) =
• Die Ereignisse schließen
512
103
201
610
einander nicht aus.
= ____
+ ____
– ____
= ____
58,6 %
1 041
1 041
1 041
1 041
P(Mädchen
und Anna) 366
2) P(Anna|Mädchen) = ______________
= ___
512 71,5 %
P(Mädchen)
8.74 In einer Urne liegen 5 rote, 6 weiße und 3 blaue Kugeln. Man wählt zufällig eine Kugel aus.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für den jeweiligen Vorgang.
1) Man zieht eine rote Kugel.
3) Man zieht keine blaue Kugel.
2) Man zieht eine weiße Kugel.
4) Man zieht eine rote oder blaue Kugel.
8.75 In St. Augustin besitzen 70 % der Familien ein Auto, 60 % ein Moped. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie ein Auto und ein Moped besitzt?
8.76 Eine Teleshopping-Verkäuferin kontaktiert per Telefon drei Kunden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde an dem Angebot interessiert ist, beträgt 20 %. Das Verhalten der
Kunden ist dabei unabhängig voneinander. Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten.
1) Kein Kunde ist interessiert.
3) Mindestens ein Kunde ist interessiert.
2) Höchstens ein Kunde ist interessiert.
4) Genau zwei Kunden sind interessiert.
8.77 Werden Geräte einer bestimmten Marke an einem Montag produziert, so funktionieren
sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 % einwandfrei, alle anderen mit einer
Wahrscheinlichkeit von 98 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein einwandfrei
funktionierendes Gerät an einem Montag produziert wurde?
8.78 Im Mittel hat eine von 100 000 Personen ein bestimmtes Gen. Ein Test weist dieses Gen
mit einer Sicherheit von 99,999 % nach. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Gen zu
haben, wenn der Test positiv ausfällt? Schätze zuerst. Vergleiche die Ergebnisse deiner
Schätzung und Rechnung und interpretiere gegebenenfalls den Unterschied.
8.79 Eine Sirene besteht aus zwei Bauteilen A und B, die jeweils eine Ausfallswahrscheinlichkeit
von 0,05 % haben. Die Sirene arbeitet nur, wenn alle Teile funktionieren.
Welche Anordnung bietet eine höhere Ausfallssicherheit? Wie beeinflusst die
Ausfallswahrscheinlichkeit diese Entscheidung?
A
B
A
B
A
B
A
B
167
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8.3.2 Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion
Zufallsvariable
8.80 Welche Möglichkeiten gibt es bei folgenden Situationen? Begründe.
1) Anzahl der roten Ampeln am Schulweg
2) Farben einer Ampel
Der Ausgang eines Zufallsexperiments, wie zB die Summe der Augenzahlen beim Würfeln,
kann durch eine reelle positive Zahl beschrieben werden. Diese Summe kann als „reiner Zufall“
angesehen werden. Man kann sie mathematisch aber auch als Variable auffassen, die je nach
Versuchsausgang einen bestimmten Wert annehmen kann. Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße)
ist eine Variable, deren Wert – innerhalb gewisser Grenzen – vom Zufall bestimmt wird.
Eine Variable, die je nach Ausgang eines Zufallsexperiments verschiedene reelle Werte xi
annimmt, heißt Zufallsvariable.
Übliche Schreibweisen:
X ... Zufallsvariable, als Großbuchstabe angeschrieben
x, xi ... Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann, als Kleinbuchstabe angeschrieben
Man unterscheidet:
• Diskrete Zufallsvariable
Die Variable X nimmt bestimmte Werte xi an. Sie ist das Ergebnis eines Zählvorgangs.
Beispiele: Personen, Anzahl der fehlerhaften Stücke in einer Stichprobe, ...
• Stetige Zufallsvariable
Die Variable X kann alle Werte xi eines Intervalls, also alle reellen Zahlen des Intervalls,
annehmen. Sie ist meistens das Ergebnis eines Messvorgangs.
Beispiele: Körpergewicht, Geschwindigkeit eines Autos, ...
f(x)
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion
1,0
ZB: Ist die Zufallsvariable X die Augenzahl eines Würfels,
0,8
so kann sie die Werte 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 annehmen. Wird
0,6
0,4
jedem dieser Werte die entsprechende Wahrscheinlichkeit
0,2
zugeordnet, zB P(X = 1) = 1_6 , so nennt man diese
x
6
0
1
2
3
4
5
Zuordnung Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x). Dabei
verfügt das Zufallsexperiment über endlich oder abzählbar
F(x)
Verteilungsfunktion
1,0
viele Versuchsausgänge.
0,8
ZB: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme kleiner
0,6
4 ist, ist die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten.
0,4
P(X ⬍ 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,5
0,2
x
Man bezeichnet diese Zuordnung als
6
0
1
2
3
4
5
Verteilungsfunktion F(x).
Mithilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion kann man die Werte der Verteilungsfunktion
berechnen. Diese Funktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Wert der Zufallsvariablen X
kleiner als oder gleich groß wie x ausfällt.
168
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) ordnet jedem Wert einer diskreten Zufallsvariablen
die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens zu. Es gilt:
P(X = x)
für x = x1, x2 ...
f(x) =
0
sonst
Die Verteilungsfunktion F(x) ordnet jedem Wert der Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit
zu, diesen oder kleinere Werte anzunehmen.
F(x) = P(X ⭐ x) = ⌺ f(xi)
für xi ⭐ x
8.81 Es wurde mit zwei unterscheidbaren Würfeln gewürfelt und die Augensumme notiert.
Bestimme die Zufallsvariable und die möglichen Werte der Zufallsvariablen. Erstelle
eine Tabelle der Wahrscheinlichkeits- und der Verteilungsfunktion und stelle beide
Funktionen grafisch dar.
Lösung:
Zufallsvariable X ... Augensumme; mögliche Werte: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
xi
P(X = xi)
P(X ⭐ xi)
2
1
__
3
2
__
36
1
__
36
4
3
__
36
3
__
36
5
4
__
36
6
__
36
6
5
__
36
10
__
36
36
15
__
36
7
6
__
8
5
__
36
21
__
36
9
4
__
36
26
__
36
10
3
__
36
30
__
36
36
33
__
36
11
2
__
36
35
__
36
12
1
__
36
36
__
36 = 1
Graph der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion:
0.25
F(x)
1,0
f(x)
0,8
0.20
0,6
0.15
0,4
0.10
0,2
0.05
0
x
x
0
2
4
6
8
10
12
0
2
4
6
8
10
12
8.82 Gib jeweils drei beliebige Beispiele für diskrete und stetige Zufallsvariablen an. Begründe.
Aufgaben 8.83 – 8.84: Bestimme die Zufallsvariable und die möglichen Werte der
Zufallsvariablen. Stelle die Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion grafisch dar.
8.83 Man würfelt mit drei Würfeln.
a) Wie viele Würfeln zeigen eine gerade Augenzahl?
b) Ist die Augensumme eine ungerade Zahl?
8.84 a) Man wirft dreimal eine Münze und notiert die
100
Anzahl von „Wappen“.
80
b) Eine Münze wird fünfmal geworfen. Man notiert
60
die Anzahl von „Zahl“.
40
8.85 Stellt die rechte Abbildung eine
20
Wahrscheinlichkeits- oder eine Verteilungsfunktion
0
1
2
3
4
5 und mehr
dar? Formuliere einen passenden Aufgabentext.
169
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8.3.3 Erwartungswert und Varianz einer diskreten Zufallsvariablen
8.86 Bei dem beliebten Gesellschaftsspiel „Mensch ärgere dich nicht“,
entwickelt von Josef Schmidt (deutscher Unternehmer, 1871 – 1948),
wartet man oft auf eine bestimmte Augenzahl, die subjektiv gesehen
„nie“ kommt. „Welche Augenzahl kommt beim ‚Mensch ärgere dich
nicht‘ am häufigsten, welche am seltensten?“ Stelle diese Fragen
verschiedenen Personen, am besten kleinen Kindern. Notiere ihre
Antworten und Begründungen. Besprich diese in deiner Klasse.
Wird ein Zufallsexperiment sehr oft durchgeführt, so lässt sich das
arithmetische Mittel aller von der Zufallsvariablen angenommenen Werte
berechnen. Dieser Mittelwert wird als Erwartungswert E(X) der Zufallsvariablen bezeichnet. Die
tatsächlichen Werte streuen mehr oder weniger gut um diesen Mittelwert. Diese Streuung wird
Standardabweichung ␴ genannt und mithilfe der Varianz V(X) der Zufallsvariablen berechnet.
Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen
Es ist X eine Zufallsvariable, die die Werte x1, x2, ..., xn mit den Wahrscheinlichkeiten P(X = x1),
P(X = x2), ... P(X = xn) annimmt. Dann gilt für den Erwartungswert E(X) der Variablen X:
E(X) = ␮ =
n
n
⌺ x · P(X = x ) = ⌺ x · f(x )
i
i
i=1
i
i
i=1
Varianz V(X) und Standardabweichung ␴ einer Zufallsvariablen
n
V(X) =
⌺
i=1
(xi – ␮)2 · f(xi) =
n
⌺ (x
2
i
i=1
· f(xi)) – ␮2 und ␴ = V(X)
8.87 Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Augenzahlen beim
Würfeln mit einem Würfel.
Lösung:
E(X) = 1 · 1_6 + 2 · 1_6 + 3 · 1_6 + 4 · 1_6 + 5 · 1_6 + 6 · 1_6 = 3,5
·
V(x) 1,71
V(X) = 12 · 1_6 + 22 · 1_6 + 32 · 1_6 + 42 · 1_6 + 52 · 1_6 + 62 · 1_6 – 3,52 = 2,916 ⇒ ␴ = (
)
8.88 Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung für
a) die Augenzahlen beim Würfeln mit zwei Würfeln.
b) die Anzahl „Zahl“ beim dreimaligen Münzwurf.
8.89 In einer Urne sind 4 grüne, 5 weiße und 6 orange Kugeln. Es werden drei Kugeln ohne
Zurücklegen gezogen. Ermittle Erwartungswert und Standardabweichung.
a) X ... Anzahl der grünen Kugeln
b) X ... Anzahl der nicht weißen Kugeln
8.90 In Bonbonnieren sind vier Nougat- und vier Marzipanpralinen, die optisch nicht zu
unterscheiden sind. Wie oft muss Conny im Mittel eine Praline nehmen, bis sie eine
Nougatpraline erwischt?
8.91 Bei einer Lotterie werden 1 000 Lose verkauft. Es gibt folgende Preise (Gewinne):
1. Preis: 1 000,00 €, 2. Preis: 500,00 € und 3. Preis: 300,00 €.
Herr Hauswirth kauft drei Lose. Wie groß ist der zu erwartende Gewinn? Bei welchem
Lospreis lohnt sich das Mitspielen für Herrn Hauswirth?
170
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05.11.2011 18:31:57 Uhr
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8.3.4 Binomialverteilung
8.92 Wirf eine Münze viermal und notiere die Ergebnisse Wappen (W) oder Zahl (Z).
1) Wie viele Möglichkeiten gibt es?
2) Ist das Werfen von viermal Wappen genau so wahrscheinlich wie dreimal Wappen und
einmal Zahl, wenn die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird?
3) Jemand möchte die Wahrscheinlichkeit P(genau die Hälfte aller Würfe sind Wappen)
für eine höhere Anzahl von Würfen bestimmen. Welche Schwierigkeiten könnten
auftreten, wenn dieses Experiment dafür 100-mal, 1 000-mal oder gar 100 000-mal
durchgeführt werden soll? Begründe deine Antwort.
In vielen Fällen lässt sich der Ausgang eines Zufallsexperiments mit lediglich zwei Ergebnissen
beschreiben, zB Wappen oder Zahl beim Münzwurf, „einwandfrei“ oder „nicht einwandfrei“
bei der Qualitätsprüfung, „funktioniert“ oder „funktioniert nicht“ bei der Prüfung einer
technischen Anlage. Aber auch beim Werfen eines Würfels können die Versuchsausgänge zB auf
die zwei Ereignisse „6er“ oder „kein 6er“ reduziert werden. Allgemein kann man sagen „Erfolg“
oder „Nicht-Erfolg“. Man nennt diese Versuche Bernoulli-Experimente, benannt nach Jakob
Bernoulli (schweizer Mathematiker, 1655 – 1705).
Bernoulli-Experimente sind Experimente, die
• genau zwei mögliche Ergebnisse haben
• unter denselben Bedingungen beliebig oft wiederholt werden können, wobei jedes
Ergebnis jedes Mal mit derselben Wahrscheinlichkeit p eintritt.
Ein Bernoulli-Experiment entspricht dem Ziehen mit Zurücklegen.
ZB: Ein Lieferant für Frischeier aus biologischer Landwirtschaft
behauptet, dass aufgrund des Transports 15 % der Eier zerbrochen
sind. Er will daher seine Packungen zu je acht Stück billiger als
sonst üblich verkaufen. Der Käufer überprüft eine willkürlich
gewählte Packung, um festzustellen, ob er den Angaben des
Lieferanten glauben kann.
Wir überlegen:
• Ein Ei kann zerbrochen oder ganz sein, mehr Möglichkeiten gibt es nicht.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei zerbrochen ist, beträgt 15 % : P(zerbrochen) = 0,15.
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei ganz ist: P(ganz) = 1 – P(zerbrochen) = 0,85
• Der Bruch eines Eis hat keinen Einfluss auf die anderen Eier, die Wahrscheinlichkeit für ein
zerbrochenes Ei ändert sich nicht, wenn ein anderes Ei zerbrochen ist.
Es liegt für diese Situation also ein Bernoulli-Experiment vor. Im Folgenden wird eine Formel
hergeleitet, die die Berechnung der Wahrscheinlichkeit ermöglicht, dass in einer Packung eine
bestimmte Anzahl von Eiern zerbrochen ist.
171
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05.11.2011 18:31:57 Uhr
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Man ermittelt nun die Wahrscheinlichkeiten, in einem dieser Kartons genau x zerbrochene Eier
vorzufinden. Dabei muss man beachten, dass zB ein kaputtes Ei als erstes, als zweites oder auch
erst als letztes gefunden werden kann.
f(0) = 1 · (1 – 0,15)8 = 0,272...
• Wahrscheinlichkeit für 0 zerbrochene
Eier mit P(ganz) = (1 – 0,15);
f(0) 27,2 %
sind alle 8 Eier in Ordnung, gibt es
dafür nur 1 Möglichkeit.
1
7
f(1) = 8 · 0,15 · (1 – 0,15) = 0,384...
• 1 Ei ist zerbrochen, 7 sind ganz.
Das zerbrochene Ei kann das
f(1) 38,5 %
erste, das zweite ... oder das
achte sein. Somit gibt es 8 Möglichkeiten,
an welcher Stelle das zerbrochene Ei ist.
8
2
6
f(2) =
· 0,15 · (1 – 0,15) = 0,237...
• 2 Eier sind zerbrochen, 6 von 8
2
Eiern sind ganz. Mithilfe des
f(2) 23,8 %
Binomialkoeffizenten kann man
8
= 28 berechnen.
die Anzahl der Möglichkeiten
2
8
· 0,15x · (1 – 0,15)8 – x
f(x) =
• x Eier sind zerbrochen, folglich sind 8 – x Eier ganz.
x
Man bezeichnet solch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung als Binomialverteilung, sie wird
allgemein mit fB(x) = P(X = x) bezeichnet. Im Rahmen der Qualitätssicherung wird die
Binomialverteilung bei der Prüfung auf fehlerhafte Einheiten verwendet.
()
()
()
Binomialverteilung
()
n x
· p · (1 – p)n – x
x
n ... Anzahl der Versuche, p ... Erfolgswahrscheinlichkeit eines Versuchs, x ... Anzahl der Erfolge
Erwartungswert und Varianz einer Binomialverteilung
␮ = E(X) = n · p
␴2 = n · p · (1 – p)
fB(x; n, p) = P(X = x) =
8.93 Eine Werkstättenlehrerin weiß aus Erfahrung, dass 5 % aller Schülerinnen und Schüler
keinen Arbeitsmantel mithaben. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von 11
Jugendlichen 1) genau 4, 2) mindestens 2 ihren Arbeitsmantel vergessen haben.
Lösung:
n = 11, x = 4, p = 0,05
11
1) P(X = 4) =
· 0,054 · (1 – 0,05)11 – 4
4
P(4 fehlende Mäntel) 0,14 %
2) P(X ⭓ 2) = 1 – P(X ⬍ 2)
• Mindestens 2 bedeutet: 2 bis 11
Man rechnet daher mit der
P(X = 0, 1) = fB(0) + fB(1) = 0,898...
Gegenwahrscheinlichkeit:
P(X ⭓ 2) = 1 – 0,898... = 0,101...
P(mindestens 2) = 1 – P(höchstens 1)
P(mindestens 2 fehlende Mäntel) 10,2 %
()
172
Kapitel-8 156-239.indd 172
05.11.2011 18:31:58 Uhr
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8.94 Wie oft müsste man mit einem Würfel würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von
mindestens 99 %, mindestens einen Sechser zu würfeln?
Lösung:
P(mindestens ein 6er) ⭓ 0,99
1 – P(kein 6er) ⭓ 0,99 ⇒ P(kein 6er) ⬍ 0,01
n
n 1_ 0
·
· 1 – 1_6 ⬍ 0,01
P(X = 0) =
• P(6er) = 1_6
0 6
5_ n
| ln ...
6 ⬍ 0,01
5_
n · ln 6 ⬍ ln 0,01 ⇒ n ⬎ 25,258...
• ln 5_6 ⬍ 0
Man müsste 26-mal würfeln.
()
( ) ()
(
)
Technologieeinsatz: Binomialverteilung
TI-Nspire
Im Menü 5: Wahrscheinlichkeit,
5: Verteilungen stehen Funktionen zur
Berechnung der Wahrscheinlichkeits- und
Verteilungsfunktion zur Verfügung.
Die Parameter der Verteilung können
über eine Eingabemaske eingegeben oder
direkt eingetippt werden. Die Ausgabe
erfolgt im Calculator.
Wahrscheinlichkeitsfunktion (Probability density function) ... binomPdf(n,p,x)
Verteilungsfunktion (Cumulativ distribution function) P(a ⭐ X ⭐ b) ... binomCdf(n,p,a,b)
(Handheld-Ansicht)
(Computer-Ansicht)
Mathcad
Wahrscheinlichkeitsfunktion ... dbinom(x,n,p)
Verteilungsfunktion P(X ⭐ x) ... pbinom(x,n,p)
Tabellenkalkulationsprogramm (zB: Excel 2010)
Zur Berechnung steht die Funktion BINOM.VERT(x;n;p;k) zur Verfügung. k steht für kumuliert,
ist k = 0, so erhält man die Wahrscheinlichkeitsfunktion, bei k = 1 die Verteilungsfunktion.
173
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05.11.2011 18:31:58 Uhr
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8.95 In einem Restaurant mit 20 Tischen, die alle reserviert sind, weiß man aus Erfahrung, dass
8 % der gebuchten Tische nicht genutzt werden. Berechne folgende Wahrscheinlichkeit.
a) Alle Tische sind besetzt.
c) Mehr als 15 Tische sind besetzt.
b) Weniger als zwei Tische bleiben frei.
d) Höchstens 17 Tische sind besetzt.
8.96 In einer Dose mit 100 Kugeln sind 30 grüne Kugeln. Jemand zieht fünf Kugeln, wobei jede
Kugel nach dem Ziehen wieder zurückgelegt wird. Berechne folgende Wahrscheinlichkeit.
a) Alle fünf Kugeln sind grün.
c) Genau eine grüne Kugel ist dabei.
b) Mindestens eine Kugel ist grün.
d) Höchstens zwei Kugeln sind grün.
8.97 Bei einem Single-Choice-Test gibt es zu jeder der zehn Fragen jeweils vier mögliche
Antworten, von denen genau eine richtig ist.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei jeder Frage die richtige Antwort anzukreuzen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei mindestens sieben Fragen die richtige Antwort
anzukreuzen?
8.98 Benjamins Lieblingseissorte ist Walnuss, das jedoch nicht immer angeboten wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass es an einem beliebigen Tag im Sortiment ist, beträgt 25 %.
Benjamin geht sieben Tage hintereinander zu seinem bevorzugten Eissalon.
1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Walnusseis mindestens zweimal
angeboten wird?
2) Wie oft müsste Benjamin in den Eissalon gehen, damit die Wahrscheinlichkeit,
mindestens einmal sein Lieblingseis zu bekommen, mindestens 95 % ist?
8.99 In der Kindervorstellung eines Zirkus ist auf einem Achtel
der Karten eine Markierung, die zum kostenlosen Besuch des
Tiergartens berechtigt. Eine Gruppe mit 25 Kindern kauft
25 Zirkuskarten. Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten.
1) Genau drei Kinder erhalten markierte Karten.
2) Höchstens vier Kinder erhalten markierte Karten.
3) Drei bis fünf Kinder erhalten jeweils eine markierte Karte.
4) Ab welcher Anzahl von Kindern ist die Wahrscheinlichkeit, dass
unter den Karten mindestens eine markierte ist, größer als 50 %?
8.100 Für eine Tombola werden 1 000 Lose verkauft. Zu gewinnen gibt es folgende Preise:
150 Gutscheine für einen Milch-Shake, 100 Kinogutscheine und 50 Bücher.
1) Alfred kauft 4 Lose. Wie groß ist die Chance, dass er jeden Preis genau einmal gewinnt?
2) Patrizia erzählt ihrer Freundin: „Ich habe 2 Lose gekauft und 2-mal gewonnen“. Wie
groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass es 2 Bücher sind?
3) Leon möchte einen Kinogutschein gewinnen. Wie viel Lose muss er kaufen, wenn seine
Chance auf mindestens einen Kinogutschein größer als 75 % sein soll?
8.101 Die Lötstellen einer Leiterplatte werden stichprobenartig getestet. Im Mittel sind 2 % aller
Lötstellen defekt.
1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter fünf getesteten Lötstellen i) die dritte,
ii) erst die dritte, iii) nur die dritte, iv) spätestens die dritte Lötstelle defekt ist?
2) Bei einem bestimmten Bauteil werden jeweils 50 Lötstellen kontrolliert. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als eine Lötstelle defekt ist?
174
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8.102 Andrea gewinnt auf einem Schulball einen 10-kg-Sack
Gummibärchen. Davon haben 13 % ihre Lieblingsfarbe grün.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, unter zehn zufällig
ausgewählten Gummibärchen 1) drei grüne,
2) mindestens ein grünes, 3) höchstens drei grüne
Bärchen zu finden?
b) Wie viele Bärchen muss Andrea nehmen, damit die
Wahrscheinlichkeit, ein grünes zu erwischen, über 95 % liegt?
c) Wie groß müsste der Anteil an grünen Gummibärchen mindestens sein, damit Andrea
unter zehn Bärchen mit 90 %iger Sicherheit ein grünes findet?
8.103 Ein Glücksrad ist in 16 gleich große Sektoren geteilt, die von 1 bis 16 nummeriert sind.
Das Glücksrad wird ein Dutzend Mal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass
a) genau 2-mal die Zahl 10 angezeigt wird.
b) mindestens 3-mal die Zahl 13 angezeigt wird.
c) mindestens 8-mal, aber höchstens 10-mal eine Primzahl angezeigt wird.
8.104 Im Jahr 2010 waren in Österreich von den rund 276 500 Männern im Alter von 25 bis
29 Jahren rund 49 400 verheiratet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter zehn
zufällig ausgewählten Männern aus dieser Altersgruppe
a) genau 2 verheiratet sind?
d) weniger als die Hälfte verheiratet ist?
b) mindestens 3 verheiratet sind?
e) frühestens der 7. verheiratet ist?
c) höchstens 2 verheiratet sind?
f) spätestens der 5. verheiratet ist?
8.105 Arbeite mit den Daten aus 8.104
a) Wie viele Männer muss man auswählen, damit mit mindestens 99 %iger Wahrscheinlichkeit 1) mehr als zwei verheiratet, 2) weniger als vier verheiratet sind?
b) Wie groß müsste der Anteil verheirateter Männer sein, damit unter zehn zufällig
ausgewählten Männern mit 99 %iger Wahrscheinlichkeit
1) mindestens zwei verheiratet sind?
2) höchstens zwei verheiratet sind?
8.106 Untersuchungen ergaben, dass 2005 in Salzburg im
Ortsgebiet 23 % aller männlichen Autolenker nicht
angegurtet waren. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass bei einer Kontrolle unter diesen Voraussetzungen
1) unter zehn vorbeifahrenden Autos mehr als drei nicht
angegurtete Lenker sind?
2) mindestens sechs Autos überprüft werden müssen, um
den ersten nicht angegurteten Lenker zu strafen?
3) Wie groß müsste der Anteil der nicht angegurteten Lenker mindestens sein, damit die
Wahrscheinlichkeit, unter zehn Autos mindestens einen zu strafen, mindestens 90 %
beträgt?
4) In einem Gerichtsbezirk kamen 6 % der nicht angegurteten Lenker bei Unfällen ums
Leben, aber nur 0,7 % der angegurteten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine
getötete Person nicht angegurtet war? Interpretiere das Ergebnis.
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8.3.5 Hypergeometrische Verteilung
8.107 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im Lotto „6 aus 45“ die sechs richtigen Zahlen zu
tippen? Schätze zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, sechs Zahlen aus 45 auszuwählen.
Begründe, warum diese Wahrscheinlichkeit nicht mit der Binomialverteilung berechnet
werden kann.
Bei einer Qualitätskontrolle werden die geprüften Stücke oft nicht mehr in die Charge
zurückgelegt, da sie teilweise auch zerstört werden, wie zB bei der Prüfung von Lebensmitteln.
Man kann daher in diesen Fällen die Binomialverteilung, die ein Ziehen mit Zurücklegen
repräsentiert, nicht zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten verwenden.
ZB: Für eine Tombola in einem Kindergarten werden von einem Spielzeuggeschäft die
Hauptpreise, zehn Teddybären, gestiftet. Insgesamt werden 200 Lose verkauft. Gerhard kauft
fünf Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau einen Bären zu gewinnen?
Es gelten folgende Bezeichnungen:
N = 200 Lose, M = 10 Gewinnlose, n = 5 gekaufte Lose, x = 1 Gewinn
Anzahl der günstigen Fälle _________________________________
und 4 Nieten aus 190 Nieten
= 1 Gewinn aus 10 Gewinnen
, also
P(ein Gewinn) = ________________
5 Lose aus 200 Losen
Anzahl der möglichen Fälle
(
10 Gewinne
)(
·
190 Nieten
) ( )( ) ( )( )
( )
()
10
·
190
M
·
N–M
1
4
x
1 Gewinn
4 Nieten
n–x
P(X = 1) = _________________ = _______ = _________
(
200 Lose
5 Lose
)
200
5
N
n
Allgemein gilt: In einer Menge mit N Elementen tragen M ein bestimmtes Merkmal.
Eine Stichprobe vom Umfang n wird ausgewählt. Das Modell für die Berechnung der
Wahrscheinlichkeit, dass genau x der ausgewählten Elemente das gesuchte Merkmal enthalten,
ist die so genannte hypergeometrische Verteilung.
Hypergeometrische Verteilung
N ... Grundgesamtheit
M ... Anzahl der Elemente mit
besonderem Merkmal
n ... Stichprobenumfang
( )( )
f (x; N, M, n) = P(X = x) = _________
()
M N–M
·
x
n–x
H
N
n
Erwartungswert und Varianz
N–n
__ ; Varianz ␴2 = n · M
__ · 1 – M
__ · ____
E(X) = n · M
N
N
N N–1
(
)
Ist der Stichprobenumfang n sehr klein im Verhältnis zur Grundgesamtheit N, so ändert sich
__ , mit dem ein bestimmtes Merkmal
durch das Ziehen ohne Zurücklegen der Anteil p = M
N
auftritt, in einem vernachlässigbar geringen Ausmaß. Die hypergeometrische Verteilung
kann somit durch die Binomialverteilung angenähert werden. Um diese Näherung sinnvoll
N
verwenden zu können, gilt als Richtwert: n ⬍ __
10
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8.108 In einer Klasse sind 15 Mädchen und sechs Burschen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
bei einer Stundenwiederholung von drei Personen zwei Mädchen zu prüfen?
Lösung:
N = 21, M = 15, n = 3 und x = 2
( )( )
P(X = 2) = _________ = ____ 47,4 %
()
15 21 – 15
·
2
3–2
105 · 6
1 330
21
3
Die Wahrscheinlichkeit, drei
Mädchen zu prüfen, beträgt 47,4 %.
8.109 In Schottland ist der Anteil rothaariger Menschen weltweit am höchsten. Für eine
Haarshampoowerbung werden aus einer Gruppe von 1 000 Schottinnen, 140 davon
sind rothaarig, 50 ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zehn rothaarige
Frauen darunter sind?
1) Rechne genau mit der hypergeometrischen Verteilung.
2) Rechne näherungsweise mit der Binomialverteilung.
3) Wie groß ist der relative Fehler?
Lösung:
140 1 000 – 140
·
10
50 – 10
____________
1) P(X = 10) =
= 0,070...
N = 1 000, M = 140, n = 50, x = 10
( )(
)
( )
•
1 000
50
Die Wahrscheinlichkeit liegt bei rund 7 %.
50
1 000
M
__
2) P(X = 10) · 0,1410 · 0,8640 = 0,071...
• 50 ⬍ ____
10 und p = N = 0,14
10
Die Wahrscheinlichkeit liegt bei rund 7,1 %.
|x – x | |0,071... – 0,070...|
3) Relativer Fehler: _____0 = __________ 0,44 %
()
x0
0,070...
Technologieeinsatz: Hypergeometrische Verteilung
Mathcad
Wahrscheinlichkeitsfunktion ... dhypergeom(x,M,N – M,n)
Verteilungsfunktion P(X ⭐ x) ... phypergeom(x,M,N – M,n)
Tabellenkalkulationsprogramm (zB: Excel 2010)
Zur Berechnung steht die Funktion
HYPGEOM.VERT(x;n;M;N;k) zur Verfügung.
k steht für kumuliert, ist k = 0, so erhält man
die Wahrscheinlichkeitsfunktion, bei k = 1 die
Verteilungsfunktion.
8.110 In einem Korb liegen 30 Eier, 6 davon sind braun. Leider eignen sich
diese nicht besonders gut, um bunt bemalte Ostereier herzustellen.
Karl nimmt 12 Eier heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) alle weiß sind?
c) mindestens 7 weiß sind?
b) lediglich 2 braun sind?
d) gar kein Weißes dabei ist?
8.111 Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei „6 aus 45“ mit einem Tipp
a) drei Zahlen richtig zu tippen? b) einen Fünfer mit Zusatzzahl zu tippen?
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8.112 Beim Schnapsen verwendet man 20 Karten, von denen jeder Spieler bzw. jede Spielerin
fünf erhält. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand
a) zwei Asse bekommt?
b) alle Karten von einer Farbe bekommt?
8.113 In die 3AHBMT gehen 9 Burschen und 2 Mädchen. Es werden 3 Personen ausgelost. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass davon
a) mindestens einer ein Bursch ist?
c) alle dasselbe Geschlecht haben?
b) mehr Burschen als Mädchen sind?
d) keiner ein Bursch ist?
8.114 Rechne mit der hypergeometrischen und mit der Binomialverteilung. Vergleiche und
interpretiere die Ergebnisse.
Unter 50 LED-Lampen in einem Karton befinden sich fünf defekte. Bei einer
Qualitätskontrolle werden drei Birnen getestet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
1) alle drei defekt sind?
3) keine defekt ist?
2) genau zwei defekt sind?
4) genau eine defekt ist?
8.115 Unter den 20 Schülerinnen und Schülern einer Klasse werden 5 für die Teilnahme an
einem USA-Austausch ausgelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl Anna
als auch ihre Freundin Lisa dabei sind?
8.116 Auf einem großen Bauernmarkt gibt es 250 Marktstände,
davon verkaufen 15 Blumen. Das Marktamt prüft zehn
Stände. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die
Hälfte davon Blumen verkaufen? Berechne genau mit der
hypergeometrischen Verteilung sowie näherungsweise
mit der Binomialverteilung.
8.117 Eine Firma, die klinische Studien durchführt, testet ein neues Medikament an 500
Personen. Die Hälfte davon erhält ein Präparat mit dem neuen Wirkstoff, die andere
Hälfte ein Medikament mit einem bewährten Wirkstoff. Nach drei Wochen wird eine
Kontrolluntersuchung an 20 zufällig ausgewählten Personen vorgenommen. Berechne
genau und näherungsweise. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) unter den 20 Personen genau 10 den neuen Wirkstoff testen?
b) unter den 20 Personen mindestens 2 den neuen Wirkstoff testen?
c) unter den 20 Personen höchstens 5 das bewährte Medikament einnehmen?
8.118 Die deutsche „Glücksspirale“ ist ebenso wie die
österreichische „Jokerzahl“ eine Nummernlotterie, bei
der die Ziffern einer Zahl einzeln gezogen werden. Die
Gewinnzahl der Glücksspirale hatte ursprünglich sieben
Stellen, die bei den ersten Ausspielungen Ende der 1960er
Jahre wie folgt bestimmt wurden:
In einer einzigen großen Trommel befanden sich je sieben Kugeln mit den Ziffern von Null
bis Neun, also insgesamt 70 Kugeln, von denen sieben gezogen wurden. Da jede Ziffer
gleich oft vorhanden ist, sei die Wahrscheinlichkeit für jede siebenstellige Zahl gleich
hoch, argumentierten die Verantwortlichen. Warum wurde dieses System auf das heutige
umgestellt, bei dem bei jedem Durchgang aus zehn Ziffern eine gezogen wird? Begründe.
178
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8.3.6 Poisson-Verteilung
8.119 Schneide einen Rosinenstriezel in beliebig viele gleich breite
Scheiben. Zähle die Rosinenstückchen in jeder Scheibe. Wie
viele davon sind im Mittel in jeder Scheibe?
In der Qualitätssicherung werden oft gleichartige Einheiten auf die
Anzahl der Fehler pro Einheit untersucht.
Kennt man die mittlere Fehleranzahl ␮ pro Einheit, also den Erwartungswert, kann man die
Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl x an Fehlern pro Einheit durch die so genannte
Poisson-Verteilung angeben. Das heißt, dass allein die Kenntnis von ␮ ausreicht, um die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Fehleranzahl pro Einheit anzugeben. Diese Verteilung wurde
von Siméon Poisson (französischer Physiker, 1781 – 1840) als Grenzfall der Binomialverteilung
mit n → ∞ und p → 0 hergeleitet.
Poisson-Verteilung
␮x
fp(x; ␮) = P(X = x) = __
x!
␮ ... Erwartungswert
für x∊⺞
Die Poisson-Verteilung hat eine bemerkenswerte Eigenschaft, die sich als sehr nützlich für
die Praxis erweist. Sind zB in einem Produktionsprozess die Merkmale pro Einheit Poissonverteilt mit dem Erwartungswert ␮ und werden diese Einheiten zu Packungen von n Einheiten
zusammengefasst, dann ist die Anzahl der Fehler pro Packung ebenfalls Poisson-verteilt mit dem
Erwartungswert n · ␮ (Additionssatz der Poisson-Verteilung).
Additionssatz der Poisson-Verteilung
Die Zufallsvariablen X1, X2 ... Xn sind Poisson-verteilt mit den Mittelwerten ␮1, ␮2 ... ␮n.
Dann ist auch die Summe X = X1 + X2 + ... + Xn Poisson-verteilt mit dem Erwartungswert
␮ = ␮1 + ␮2 + ... + ␮n.
8.120 In einem Bürohaus aus Stahlbeton wird die elektromagnetische Strahlung so
abgeschirmt, dass Handys zeitweise einen schlechten Empfang haben. Die Angestellten
haben empirisch ermittelt, dass die Anzahl der Störungen Poisson-verteilt ist mit einem
Erwartungswert von ␮ = 1,2 Störungen pro Stunde. Berechne die Wahrscheinlichkeit,
dass in einer Stunde 1) keine Störung auftritt. 2) mehr als zwei Störungen auftreten.
Lösung:
1) ␮ = 1,2; x = 0
1,20 –1,2
P(X = 0) = ___
= 0,301... 30 %
0! · e
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 30 %.
2) P(X ⬎ 2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)] =
1,20 –1,2 1,2
___1 · e–1,2 + 1,2
___2 · e–1,2
= 1 – ___
·
e
+
0!
1!
2!
= 1 – [0,301... + 0,361... + 0,216...]
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 12 %.
[
]
179
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Näherung für die Binomialverteilung
Für große n und kleine p kann die Binomialverteilung durch die Poisson-Verteilung genähert
werden. Für den Erwartungswert gilt ␮ = n · p. Diese Näherung ist sinnvoll für p ⭐ 0,1 und
n ⭓ 100, sie hat in Zeiten des Technologieeinsatzes aber an Bedeutung verloren.
8.121 Eine Schule hat 730 Studierende. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau sechs
Studierende am 24. Dezember geboren wurden,
1) mit der Poisson-Verteilung und 2) mit der Binomialverteilung.
Lösung:
1
1) n = 730, p = ___
365 und x = 6
1
␮ = n · p = 730 · ___
365 = 2
6
64
· e–2 = 0,012 029...
P(X = 6) = 2__ · e–2 = ___
6!
720
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 1,20 %.
724
730 ___
1 6 364
2) P(X = 6) =
· 365
· ___
= 0,011 947...
365
6
Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 1,19 %.
( )(
) ( )
Technologieeinsatz: Poisson-Verteilung
TI-Nspire
Wahrscheinlichkeitsfunktion ... poissPdf(␭,x) mit ␭ = ␮
Verteilungsfunktion P(a ⭐ X ⭐ b) ... poissCdf(␭,a,b)
Mathcad
Wahrscheinlichkeitsfunktion ... dpois(x,␮)
Verteilungsfunktion P(X ⭐ x) ... ppois(x,␮)
Tabellenkalkulationsprogramm (zB: Excel 2010)
Zur Berechnung steht die Funktion POISSON.VERT(x;␮;k) zur Verfügung. k steht
für kumuliert, ist k = 0, so erhält man die Wahrscheinlichkeitsfunktion, bei k = 1 die
Verteilungsfunktion.
8.122 Bei einer Versicherungsgesellschaft weiß man aus Erfahrung, dass im Mittel 20 ‰ der
Versicherten pro Jahr in einen Unfall verwickelt sind. Der Versicherungsbestand beträgt
3 000 Kunden. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 50 Personen
während eines Jahrs in einen Unfall verwickelt werden.
180
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8.123 In einer Telefonzentrale gehen im Schnitt sechs Anrufe in zehn Minuten ein. Herr Specht
beginnt seinen Dienst um 11:00. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er zwischen 11:30
und 11:40
a) genau neun Anrufe erhält.
c) mehr als drei Anrufe erhält.
b) mindestens vier Anrufe erhält.
d) zwischen neun und zwölf Anrufe erhält.
8.124 In einem bestimmten Gebiet in den USA gibt es im Mittel fünf Tornados pro Jahr. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es im nächsten Jahr sechs sein werden?
8.125 Eine Autovermietung weiß, dass im Mittel 3,6 Autos pro Tag vermietet werden. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag folgende Anzahl vermietet wird?
a) 2 oder weniger
b) 3 bis 7
c) Keines
d) Genau eines
8.126 Eine Maschine verpackt Büroklammern zu 1 000 Stück. Die Anzahl der fehlerhaften
Klammern pro Packung ist Poisson-verteilt mit einem Erwartungswert von ␮ = 5. Gib die
Wahrscheinlichkeit an, dass in einer Packung höchstens drei fehlerhafte Klammern sind.
8.127 Auf einer Leiterplatte für Chips sind im Mittel zwei Lötstellen defekt. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, eine Leiterplatte mit weniger als zwei defekten Lötstellen zu kaufen?
8.128 Bei einem Vermittlungsbüro für Weihnachtsmänner gehen üblicherweise in den Tagen
vor Weihnachten im Mittel acht Anfragen pro Stunde ein. Überlege, was wahrscheinlicher
ist: 8 Anrufe in der Stunde oder 64 Anrufe an einem 8-Stunden Tag? Überprüfe durch
Rechnung und interpretiere das Ergebnis.
8.129 Eine Creme wird mit n Himbeeren vermischt und auf 12 Portionen aufgeteilt. Berechne,
wie viele Himbeeren man nehmen muss, damit die Wahrscheinlichkeit, dass in jeder
Portion mindestens eine Himbeere ist, größer als 90 % ist.
Verwende dafür 1) die Poisson-Verteilung und 2) die Binomialverteilung.
8.130 In der Serviceabteilung geht man bei der Erstellung der Dienstpläne davon aus, dass die
Serviceleistung „Prozessortausch“ im Mittel siebenmal pro Monat nachgefragt wird.
1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Monat weniger als fünfmal nach
einem Prozessortausch verlangt wird?
2) Wie viele Nachfragen nach einem Prozessortausch muss man bei der Planung berücksichtigen, wenn die Wahrscheinlichkeit, zu wenig eingeplant zu haben, unter 5 % sein soll?
8.131 Im Mittel macht der Clown Enrico einen Fehler während seiner Jongliernummer. Bei der
letzten Vorstellung sind vier Fehler passiert. Ist dies noch als zufälliges Ereignis erklärbar
oder muss es andere Gründe geben? Formuliere deine Überlegungen.
8.132 Ein Geschäft verkauft von Laptops eines bestimmten Modells im Schnitt drei Stück pro
Woche.
1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in einer bestimmten Woche folgende Anzahl an
Laptops zu verkaufen: genau einen, mindestens zwei, höchstens drei, mehr als vier?
2) Wie wahrscheinlich ist der Verkauf von mehr als 20 Stück im Monat?
3) Wie viele müssen am Beginn eines Monats gelagert werden, um mit 95 % Sicherheit
keinen Engpass zu haben, wenn während des Monats nicht nachbestellt werden kann?
8.133 Leite die Formel für die Poisson-Verteilung als Grenzfall der Binomialverteilung her.
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Vermischte Aufgaben zu diskreten Verteilungen
8.134 An einem Helpdesk werden pro Minute im Schnitt 1,4 Anfragen registriert. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, dass folgende Anzahl von Anfragen eingeht?
a) mehr als zwei in einer Minute
c) mindestens 80 in einer Stunde
b) mehr als zehn in fünf Minuten
d) höchstens 45 in einer Stunde
8.135 Es leiden im Mittel 8 von 100 Männern und 1 von 200 Frauen an Dyschromasie
(Farbenfehlsichtigkeit). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
1) unter 30 Männern höchstens einen farbenfehlsichtigen Mann anzutreffen?
2) unter 20 Frauen mindestens eine farbenfehlsichtige Frau anzutreffen?
8.136 In einem Bahnhof werden die an Samstagnachmittagen eintreffenden Einzelreisenden
und die Familien gezählt. In einer Minute treffen im Mittel 7,5 Einzelpersonen und zwei
Familien ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
1) in einer Minute sechs oder weniger Einzelreisende eintreffen?
2) in einer Minute drei oder mehr Familien eintreffen?
3) Warum ist die Anzahl der Einzelreisenden, die den Bahnhof in einer Minute im Mittel
verlassen, nicht Poisson-verteilt?
8.137 Das bekannteste Blutgruppensystem, das A-B-0-System mit den Gruppen A, B, AB und 0
wurde von Karl Landsteiner (österreichischer Arzt, 1868 – 1943, Nobelpreis 1930)
entwickelt. Er entdeckte auch die nach Rhesusaffen benannten Rhesusfaktoren „Rh+“
und „Rh–“. Die folgende Tabelle zeigt die Häufigkeit des Auftretens von vier dieser
Blutgruppen bei in Österreich lebenden Menschen.
Blutgruppe
Anteil
AB, Rh–
1
___
100
B, Rh+
3
__
25
A, Rh+
_1
3
0, Rh+
3
__
10
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass
1) unter 50 Personen genau zehn mit der Blutgruppe B, Rh+ sind.
2) dass unter 10 Personen höchstens eine Person mit der Blutgruppe AB, Rh– ist.
3) unter 30 Personen mindestens 15 Personen mit der Blutgruppe 0, Rh+ sind.
b) Berechne, wie viele Spender man mindestens benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens eine Person mit der Blutgruppe AB, Rh– zu finden.
8.138 Auf einer kleinen Insel mit 250 Einwohnerinnen und Einwohnern wurden die gleichen
Erhebungen und Berechnungen wie in 8.137 durchgeführt. Können die Aufgaben nun mit
der gleichen Methode wie in 8.137 gelöst werden? Begründe deine Antwort.
8.139 Ein Rouletterad ist in 37 Sektoren unterteilt, die mit 0 bis 36 beschriftet sind.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel bei 10-maligem Drehen öfters auf
ein gerades als auf ein ungerades Feld fällt?
b) Wie oft muss das Rad gedreht werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von
mindestens 99 % die Kugel mindestens einmal auf „13“ fällt?
c) Die Kugel fällt dreimal hintereinander auf das gleiche Feld. Könnte die
Roulettemaschine manipuliert sein? Begründe deine Antwort.
8.140 Welche Parameter eines Zufallsexperiments sind bei der Binomialverteilung konstant und
bei der hypergeometrischen Verteilung veränderlich?
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