Experimentalphysik 1 Skript

Experimentalphysik A
Professor Weiÿ
Abschrift von Matthias Blaicher
Graken von Daniela Mockler
12. Februar 2009
1
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
I
Einführung
8
1
Was ist Physik
8
2
Teilgebiete der Physik
8
3
Aktuelle Forschungsgebiete
9
4
Physikalische Gröÿen & Maÿeinheiten
9
5
Basisgröÿen und Basiseinheiten
9
6
Zeitmessung
Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
6.2
Messung kurzer Zeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
6.3
6.2.1
Sekundenpendel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
6.2.2
Schwingquarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
6.2.3
Cäsium-Atomuhr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Messung langer Zeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
6.3.1
Radioaktiver Zerfall
11
6.3.2
Messen
6.3.3
14
6.3.4
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C-Methode
14
C-Zerfall .
Groÿe Abstände
7.1.1
7.2
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sinussatz der Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kleine Abstände
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messfehler
12
12
13
13
8.1
Fehlerfortpanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
8.2
Mathematischer Einschub: Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . .
14
II Kinematik des Massepunkts
9
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Längenmessung
7.1
8
10
6.1
14
Bewegung im eindimensionalen Raum
15
10 Bewegung im dreidimensionalen Raum
17
11 Würfe im Gravitationsfeld der Erde.
18
2
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
12 Kreisbewegungen
19
12.1 Allgemeine Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
12.2 Gleichförmige Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
13 Zusammenfassung
20
III Newtonsche Axiome
20
14 Trägheitsprinzip
20
14.1 Historisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
14.2 Bewegte Bezugsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
14.2.1 Koordinatentransformation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
14.4 Grenzen der Galilei-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
14.3 Intertialsystem
14.5 Aktionsprinzip
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6 Reaktionsprinzip
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.7 Von Massen und Kräften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.7.1 Hook'sches Gesetz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
22
22
22
14.7.2 Zerlegung von Kräften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
14.7.3 Kräfte in der Natur
24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 Gravitation
25
15.1 In der Nähe der Erdoberäche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
15.1.1 Mathematischer Einschub: Taylor Reihe . . . . . . . . . . . . . .
26
15.2 Feier Fall
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Verlangsamter Fall
26
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
15.3.1 Schiefe Ebene (ohne Reibung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
15.3.2 Feste Rolle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Bestimmung der Gravitationskonstante
15.5 Fadenpenden
γ
27
. . . . . . . . . . . . . . . . .
27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
15.5.1 Lösungsansatz der DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
15.6 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
16 Kontaktkräfte
32
16.1 Typische Kraft-Abstandsabhängigkeit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
16.2 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
16.2.1 Haftreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
16.2.2 Gleitreibung
34
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.3 Rollreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 Strömungswiderstand
34
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
16.3.1 Stoksche Reibung, viskose Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
16.3.2 Newtonsche-Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
17 Zentralbewegungen
36
3
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
17.1 Gleichförmige Kreisbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
17.1.1 Beispiel: Satelliten-Kreisbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
17.2 Mathematischer Einschub: Vektoren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
17.2.1 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
17.2.2 Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
17.2.3 Rechenregeln
38
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3 Vektor der Winkelgeschwindigkeit
ω
~
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
17.5.1 Zeitliche Änderung des Drehimpulses . . . . . . . . . . . . . . . .
41
17.4 Beschleunigte Kreisbewegung
17.5 Drehimpuls
18 Die Kepler'schen Gesetze
42
18.1 1. Keplergesetz: Ellipsensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.1 Die Ellipse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
42
18.2 2. Keplergesetz: Flächensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
18.2.1 Erklärung Newtons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
18.3 3. Keplergesetz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
18.3.1 Erklärung Newtons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
19 Scheinkräfte
44
19.1 Freier Fall im beschleunigten System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
19.2 Beispiel: Fadenpendel
45
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3 Rotierende Bezugsysteme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
19.3.1 Zentrifugalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
19.3.2 Corioliskraft
47
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20 Erhaltungssätze
48
20.1 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
20.1.1 Wegintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
20.1.2 Hubarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
20.2 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
20.3 Kinetische Energie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
20.4 Potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
20.5 Energieerhaltungssatz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
20.6 Mathematischer Einschub: Gradient, Rotation Divergenz . . . . . . . . .
53
20.7 Äquipotentialächen
53
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21 Graviation II
54
IV Mechanik starrer Körper
55
22 Kräfte am starren Körper
55
22.1 Kräftepaare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
22.2 Gleichgewichtsbedingung der Statik
57
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
22.3 Mechanische Energie eines starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
22.4 Potentielle Energie bezgl. Erdanziehung
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
22.5 Gleichgewichtslagen (x0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
23 Kinetische Energie
58
23.1 Berechnung der Rotationsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
23.2 Harmonischer Oszillator für Drehbewegungen . . . . . . . . . . . . . . .
59
24 Trägheitsmomenten einfacher Körper
60
24.1 Vollzylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
24.1.1 Symmetrieachse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
24.1.2 Restliche Achsen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
24.2 Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
24.3 Hohlzylinder
62
24.4 Kugel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.4.1 Vollkugel
62
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
24.4.2 Kugelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
24.5 Quader
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25 Satz von Steiner
64
25.1 Beispiel: Kreisscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26 Trägheitstensor
26.1 Starre Körper aus
64
65
66
mi
Massepunkten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
26.2 Starrer, kontinuierlicher Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
26.3 Trägheitsmoment eines Quaders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
26.3.1 Experiment: Schuhkarton in freier Rotation . . . . . . . . . . . .
70
26.4 Wahl beliebiger Achsen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
27 Roationsenergie
71
28 Kreiselbewegung
72
28.1 Kräftefreier Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
28.1.1 Spezialfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
28.1.2 Allgemeiner Fall
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
28.2 Nutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
28.3 Bewegung im rotierenden System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
28.4 Kreisel mit äuÿerem Drehmoment, Präzession . . . . . . . . . . . . . . .
74
28.4.1 Präzession der Erde
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
28.5 Die kleinste Einheit des Drehimpulses in der Natur . . . . . . . . . . . .
75
28.5.1 Bahnimpuls des Elektrons im Atom. . . . . . . . . . . . . . . . .
75
28.5.2 Eigenimpuls von Elementarteilchen, Spin
. . . . . . . . . . . . .
75
28.5.3 Drehimpulsänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
V Mechanik deformierbarer Körper
76
29 Generelle Eigenschaften
76
29.1 Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29.2 Flüssigkeiten
76
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
29.3 Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
29.4 Kristaline Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
29.5 Spannung und Drehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
29.5.1 Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29.6 Spannung und Deformation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29.6.1 Hooksches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29.7 Plastische Verformung
78
79
79
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
29.7.1 Relaxation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
29.8 Elastische Energie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
30 Mechanische Hysterese
83
30.1 Spezielle Geometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
30.2 Torsion eines runden Stabes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
31 Ruhende Flüssigkeiten und Gase
84
31.1 Hydraulik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
31.2 Oberäche einer roterenden Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
31.3 Schweredruck in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
32 Schweredruck in Gasen
86
32.1 Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33 Grenzächenphänomene
88
88
33.1 Oberächenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
33.1.1 Benetzung und Kapillarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
33.1.2 Kapillarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
33.1.3 Aktuelle Forschung, Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
34 Strömende Flüssigkeiten und Gase
34.1 Strömung idealer Flüssigkeiten
90
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
34.1.1 Stationäre Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
35 Oszillator
92
35.1 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35.2 Periodische aber nichtharmonische Schwingung
35.2.1 Fourieranalyse
92
. . . . . . . . . . . . . .
92
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
35.3 Gekoppelte Oszillator, Eigenschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
35.3.1 3 gekoppelte Oszillator (3-dimensional)
93
. . . . . . . . . . . . . .
93
35.3.2 N gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
36 Nichtlineare Systeme und Chaos
93
6
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
36.1 Knickpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI Relativität
93
94
37 Körper mit Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit
94
38 Masse und Energie
96
38.1 Ruhemasse
38.2 Was heiÿt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E = mc2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
96
96
2 TEILGEBIETE DER PHYSIK
Teil I
Einführung
1 Was ist Physik
Grundlagenwissenschaft der unbelebten Natur
•
quantitative Beschreibung
•
Mathematik als Sprache
•
empirische Wissenschaft, Gesetze sind nicht beweisbar im Sinne der Mathematik
Vorgehensweise:
•
Beobachtung
•
Abstraktion, Modellsysteme
•
Gesetzmäÿigkeiten erstellen & überprüfen
•
Wechselspiel zwischen experimenteller und theoretischer Physik
Erhaltungsgröÿen in abgeschlossenen Systemen
•
Energie
•
Impuls
•
Drehimpuls
•
Ladung
2 Teilgebiete der Physik
Klassische Mechanik Bewegung massebehafteter Körper bei Einwirkung von Kräften
Quantenmechanik Verhalten von Mikroobjekten mit kleinen Massen
Thermodynamik Systeme mit vielen Teilchen
Elektrodynamik Physik elektromechanischer Felder und ihre Auswirkung
nden Anwendung in z.B. Atomphysik, Optik, Festkörperphysik,... und weiteren Ingenieurswissenschaften
8
5 BASISGRÖßEN UND BASISEINHEITEN
3 Aktuelle Forschungsgebiete
•
Elementarteilchenphysik, Hochenergiephysik, Kernphysik, Atomphysik, Molekülphysik (physik. Chemie)
•
Plasmaphysik
•
Festkörperphysik
Oberächenphysik
Nanowissenschaften
•
Biophysik
•
Geophysik
•
Meterologie
•
Astrophysik, Astroteilchenphysik
4 Physikalische Gröÿen & Maÿeinheiten
Nicht Raten - Messen!
Zustand und Eigenschaften physikalischer Systeme und Vorgänge werden durch physikalische Gröÿen beschrieben, z.B. Zeit, Temperatur, Kraft. Jede physikalische Gröÿe ist
mathematisch eine Variable. Sie kann verschiedene Werte annehmen und ist durch
eine Maÿzahl und ihre Einheit gegeben.
physikalische Gröÿe = Zahl·Einheit
5 Basisgröÿen und Basiseinheiten
Das SI-System (Système International d'Unités)
Länge
m
Meter
Masse
kg
Kilogramm
Zeit
s
Sekunde
el. Stromstärke
A
Ampere
thermo.dyn. Temperatur
K
Kelvin
Stomenge
mol
Mol
Lichtstärke
cd
Candela
+ abgeleite Einheiten
z.B. Geschwindigkeit
+ dezimale Vielfache
9
6 ZEITMESSUNG
Solche Festlegungen und Überwachungen, sowie die Schaung von Messstandards und
Messvorschriften sind hoheitliche Aufgaben. In Deutschland: Physikalisch-Technische
Bundesanstalt (PTB) in Braunschweig (z.B. Atomuhr) und Berlin (z.B. Temperaturskala).
6 Zeitmessung
6.1 Allgemein
Abzählen von periodischen Vorgängen. Periodendauer
T;
Frequenz
ν =
|{z}
1
T
[s−1 ];
nü
1 1s = 1 Hz
(Herz)
6.2 Messung kurzer Zeiten
6.2.1 Sekundenpendel
50. Breitengrad: Pendellänge
0, 994 m ⇒
T
2
= 1s
6.2.2 Schwingquarz
T
typisch im Bereich von
10−7 s; ν ∼ 10 MHz.
Abweichungen:∼
wendung z.B. in Uhren.
6.2.3 Cäsium-Atomuhr
ν=
1
T
∼ 9, 19 · 109 Hz
6.3 Messung langer Zeiten
astronomische Einheiten: Stunde, Tag, Jahr...
10
0, 2 ms
pro Tag. Ver-
6.3 Messung langer Zeiten
6 ZEITMESSUNG
6.3.1 Radioaktiver Zerfall
instabile Atomkerne zerfallen statisch, es gibt aber charakteristische Gesetzmäÿigkeiten.
N(t)
t
= N0 · e − τ
N Zahl der noch vorhanden instabilen Kerne
N0
τ
Zahl der bei
Man muss
t
t=0
durch
vorhandenen instabielen Kerne.
τ
teilen, da sonst eine Einheit als Exponent von e steht. Dort
darf aber nur eine Zahl (Ohne Einheit) stehen!
Mittlere Lebensdauer hängt von dem Zerfallsprozess ab
10−9 s . . . 109 Jahren.
6.3.2 Messen
Zerfälle pro Zeitintervall = Aktiviät
Dierentialgleichung und Lösung:
dN(t)
dt
dN(t)
dt
1
t
= − N0 e− /τ
τ
1
= − N(t)
τ
Aktivität ist also proportional zur Zahl der vorhandenen radioaktiven Kerne.
11
7 LÄNGENMESSUNG
6.3.3 14 C-Methode
Radioaktives
14
C
wird in der Athmosphäre durch Höhenstrahlung ständig erzeugt,
zerfällt aber ständig wieder
⇒
Gleichgewicht der
14
C-Konzentration,
14
C-Menge
stant. (Man geht dabei davon aus, dass der Gehalt an
CO2 der Luft ist zeitlich konC und CO2 in der Athmosphäre
im
14
& die Höhenstrahlung vor Millionen von Jahren dem heute entspricht.)
C/12 C-Verhältnis der Luft ein. In toten
14
Organismen wird der Austausch mit der Luft gestoppt. Das
C/12 C-Verhältnis nimmt
⇒in
lebenden Organismen stellt sich das
14
in ihnen exponentiell ab.
6.3.4 14 C-Zerfall
14
6 C
−
−→ 14
7 N+e +
n→p
ν̄e
Elektron-Antineutrino
7 Längenmessung
•
Messstab
7.1 Groÿe Abstände
Triangulieren, Carl Friedrich Gauÿ (1777-1855)
7.1.1 Sinussatz der Geometrie
b
a
c
=
=
α + β + γ = 180◦
sin γ
sin β
sin α
Basislänge
c
und zwei angrenzende Winkel
α, β
bis astronomische Entfernungen.
12
messen,
a
und
b
ausrechnen. Dies gilt
7.2 Kleine Abstände
8 MESSFEHLER
7.2 Kleine Abstände
1
100
•
Feinmechanik, z.B. Mikrometerschraube (bis
•
optische Methoden
•
Interferometrie, Überlagerung kohärenter Lichtquellen (LASER)
Auösungsgrenze
•
∼halbe
Wellenlänge,
mm = 10 µm)
∼ 200 nm
Rastertunnelmikroskopie. bis atomaren Bereich
8 Messfehler
Messfehler sind unvermeidbar. Werden unterschieden in
symetrische Fehler , durch Analyse des Messvorgangs erfassbar
statistische Fehler , durch Wiederholung erfassbar
Beispiel: Histogramm der Messung, z.B. Zeit
t
arithmetischer Mittelwert
htivon
N -Einzelmessungen:
hti =
N
1 X
ti
N i=1
v u
u N ht2 i − hti2
2 − N hti
t
(t
−
hti)
t
i=1 i
i=1 i
=
=
σ=
N −1
N −1
N −1
q
2
Standardabweichung des Messwerts, Varianz σ . Für groÿe N gilt σ =
ht2 i − hti
s
PN
2
s
PN
13
2
8.1 Fehlerfortpanzung
8 MESSFEHLER
8.1 Fehlerfortpanzung
Analyse notwendig, falls die zu bestimmende physikalische Gröÿe
durch die Messung der Gröÿen
hGi =
σG
=
x, y, z, . . .
G = G (x, y, z, . . .)
ermittelt wird.
G (hxi , hyi , hzi , . . .)
v
u
2
u ∂G 2
∂G
t
2
σ +
σ2 + . . .
∂x hxi x
∂y hyi y
∂G ∂G
∂x , ∂y . . . partielle Ableitung der Funktion
x, y, . . . an der Stelle hxi , hyi , . . ..
Wobei
G (x, y, . . .)
nach den Variablen
8.2 Mathematischer Einschub: Partielle Ableitung
Sei
x
f
eine Funktion
einer
nach dieser Variablen
Variablen (z.B.
f0 =
Sei
f
eine Funktion
partielle Ableitung
x),
so ist die Ableitung von
f
an der Stelle
x
mehrer
∂f
∂x (auch
f (x + ∆x) − f (x)
df (x)
= lim
∆x→0
dx
∆x
Variablen (x, y, z, . . . , t),
fx0 )
f = f (x, y, z, . . . , t),
so ist die
deniert durch
f (x + ∆x, y, z, . . . , t) − f (x, y, z, . . . , t)
∂f
= lim
∂x ∆x→0
∆x
d.h. Änderungen von
f
bezüglich
einer
Variablen wird betrachtet, die anderen Vari-
ablen werden festgehalten. Rechenregeln wie bei gewöhnlichen Ableitungen.
Example 1.
u = ax2 − by
Regenrinne
∂u
∂x
∂u
∂y
=
2xy
z
= −b
Teil II
Kinematik des Massepunkts
Mechanik betrachtet das Verhalten von massebehafteten Körpern unter dem Einuss
von Kräften:
14
9 BEWEGUNG IM EINDIMENSIONALEN RAUM
Statik Körper in Ruhe
Kinematik, Dynamik Körper in Bewegung
nicht die Ursache von Kräften erklären. Fundamental ist die Newtonsche Bewegungsgleichung. Ermöglicht die Beschreibung des Verhaltens realer Körper
Mechanik kann
- im Prinzip alles von der Billiardkugel, Achterbahn, KFZ-Knautschzone, turbolente
Strömungen in Gasen oder Flüssigkeiten.
Wir betrachten zunächst einen drastisch idealisierten Körper mit Masse
m ohne räum-
liche Ausdehnung. Seine Bewegung (Kinematik) ist vollständig beschrieben durch
die Angabe des Orts (z.B. im kartesischen Koordinatensystem) und dessen Zeitabhängigkeit.
~r =
x(t) y(t) z(t)
9 Bewegung im eindimensionalen Raum
Zunächst soll die Bewegung eindimensional untersucht werden, d.h. eine Koordinate
x = x(t)
reicht aus.
15
9 BEWEGUNG IM EINDIMENSIONALEN RAUM
Geschwindigkeit ist ebenfalls zeitabhängig
v(t) =
∆x
x(t + ∆t)
=
∆t
∆t
im Grenzwert wird aus dem Dierenquotienten ein Dierentialquotient
v(t) =
aus
x(t)
lässt sich also
Umkehrung
v(t)
v(t) −→ x(t)
m
dx
[v] =
dt
s
errechnen.
durch Integration
ˆ
t
v(t0 )dt0
x(t) = x0
t0
Anfangsbedingung
x0 = x(t = 0)
muss bekannt sein.
t0 =
umbenannte
Variable
16
10 BEWEGUNG IM DREIDIMENSIONALEN RAUM
Denition 2.
Impuls des Massepunktes
p=m·v
[p] = kg
m
s
Beschleunigung Änderungung der Geschwindigkeit
Bremsen Beschleunigung mit negativem Wert.
TODO:FINISH THIS CHAPTER
10 Bewegung im dreidimensionalen Raum
Es gelten die kartesischen Koordinaten.
Gröÿe
Denition
Ort (Ortsvektor)
Impuls
~r(t) = x(t) y(t) z(t)
d
~v (t) = dt
~r(t)
p~(t) = m~v (t)
Beschleunigung
~a(t) =
Geschwindigkeit
d~
v (t)
dt
d2 ~
r (t)
dt2
=
Die vektorielle Schreibweise steht abkürzend für die
nenten.
=
vx
vy
vz
=
~a =
ax
ay
az
=
~v
dx
dt
dvx
dt
getrennte Ableitung der Kompody
dt
dvy
dt
dz
dt
dvz
dt
wichtige Festellung: Die Bewegungsabläufe in den drei Raumkoordinaten sind untereinander nicht abhängig! Ungestörte Überlagerung der Bewegung
Remark 3.
Die Zeitableitung eines Vektors liegt tangential zu seiner Bahnkurve.
∆~r
∆t
=
~v (t)
=
~r(t + ∆t) − ~r(t)
∆t
∆~r
lim
∆t→0 ∆t
17
11 WÜRFE IM GRAVITATIONSFELD DER ERDE.
11 Würfe im Gravitationsfeld der Erde.
Wahl des Koordinatensystems
x-Richtung horizontal
z-Richtung vertikal
Es gilt ~
a
=
0
zum Zeitpunkt
0 −g . Anfangsbedingungen ~r0 = x0 y0 z0 , ~v = v0x v0y
=0
t = t0 = 0. Jede Komponente kann zeitunabhängig integriert werden!

 

x0 + v0x t
x(t)

y0
~r(t) =  y(t)  = 
1 2
z(t)
z0 + v0z t − 2 gt
Die Zeit ist für alle Komponenten gleich und lässt sich daher elimieren, man erhält für
z(x)
Wurfparabeln. Mit
x0 = z0 = 0
und
|~v0 | = v0
18
v0z
12 KREISBEWEGUNGEN
−g 2 v0z
2 x + v x
2v0x
0x
z=
dz
dx
=0
folgt
xmax =
Wurfhöhe
aus
Wurfweite
2xmax = 2v0xg v0z =
2α = 90◦ , α = 45◦
v0x v0z
,
g
zmax =
v02
g 2 sin α cos α
2
v0z
2g
v02
g
=
sin 2α.
Maximale Wurfweite bei
12 Kreisbewegungen
12.1 Allgemeine Kreisbewegung
Mittelpunkt bei
Winkel wird im
x = 0, y = 0.
Bogenmaÿ
Radius
R,
Radiusvektor
~ =
R
R cos ϕ
R sin ϕ
.
gemessen
ϕ=
Bogenlänge
Radius
Einheit: rad, Radiant. Eigentlich ohne Einheit
m
m
.
1 rad ,
360◦
2π
= 57, 3◦
2π , 360◦
12.2 Gleichförmige Kreisbewegung
Die zeitliche Zunahme des Winkels ist konstant.
rad
1
s meist s .
[ω] =
Für
ϕ
gilt
~
ϕ = ωt, R
dϕ
dt
= ω
(Winkelgeschwindigkeit)
ϕ
läuft mit
ω
um den Mittelpunkt. Wir wählen
~ =
R
Periodendauer, Umlaufzeit (wenn
R cos ωt
R sin ωt
ωt = 2π ): T =
1
Frequenz, Zahl der Umläufe pro Zekunde. T
ϕ(t = 0) = 0:
2π
ω
=ν=
ω
2π (bei dieser Schreibweise ist
ω
im Bogenmaÿ)
Geschwindigkeit, komponentenweise dierenzieren z.B.
gential,
vx =
~ . |~v | = v = ωR
d.h. ~
v⊥R
d~
v
~ , |~a| = a = ω 2 R =
v , ~a ↓↑ R
dt ⊥ ~
Kreismittelpunkt und heiÿt Zentripetalbeschleunigung.
Beschleunigung,
Zeitl.
Entwick-
lung des Winkels
~a =
19
dx
dt
= −R sin ωt. ~v
ωv =
v2
R.
~a
tan-
zeigt zum
14 TRÄGHEITSPRINZIP
13 Zusammenfassung
Ort
~r(t)
d
Geschwindigkeit dt ~
r(t)
= ~v (t)
d2
r(t)
Beschleunigung dt2 ~
=
d
v (t)
dt ~
= ~a(t)
Unabhängigkeitsprinzip
Teil III
Newtonsche Axiome
Bisher:
Jetzt:
Kinematik eines Massepunkts beschreibt dessen Bewegungsablauf
~r(t).
Dynamik, Ursache für einen bestimmten Bewegungsablauf. (z.B. Wurfpara-
beln, Planetenbahnen). Zentrale Begrie sind hierbei:
Kraft, Masse
14 Axiom 1 - Trägheitsprinzip (Galilei)
Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter,
wenn keine resultierende Kraft auf ihn einwirkt.~
v
P
= const. ∨~v = 0 falls F~ = i F~i = 0.
14.1 Historisches
Was ist die natürliche Bewegung eines Körpers ohne Einwirkung?
Galilei
→ ~v = const.
Newton
Beschleunigungen werden von Kräften verursacht. ~
a
= 0 ⇔ F~ = 0 ⇒Kräftefreies
System
14.2 Bewegte Bezugsysteme
Alle Bewegungen laufen wie gewohnt ab, wenn das Bezugsystem sich mit konstanter
Geschwindigkeit bewegt.
20
14.3 Intertialsystem
14 TRÄGHEITSPRINZIP
Für P gilt von S aus gesehen:
~v = ~v 0 + ~vs
(Überlagerungsprinzip)
14.2.1 Koordinatentransformation
x0 = x − v s t
y0 = y
z0 = z
t0 = t




Gallilei-Transformation



vx0
=
ẋ0 = vx − vs
vy0
=
vy
vz0
=
vz
a0x
=
v̇x0 = v̇x = ax
a0y
=
ay
a0z
=
az
Beschleunigungen sind im System
s
und
s0
gleich. Im Bezugsystem mit
~v =
const
gelten die Nwtonschen Gesetze!
14.3 Intertialsystem
Von lat. inertia = Trägheit. Beschleunigte Bezugsysteme sind
keine
Inertialsysteme.
Kraft nötig um eine Position im beschleunigten System zu halten.
14.4 Grenzen der Galilei-Transformation
Zeit ist
nicht
absolut, muss mittransformiert werden beim Wechsel von einem System
zum anderen. Unwichtig solange
v, v 0 , vs Lichtgeschwindigkeit.
21
14.5 Aktionsprinzip
14 TRÄGHEITSPRINZIP
14.5 Axiom 2 - Aktionsprinzip (Das Newtonsche Axiom)
Masse
und
Kräfte treten immer paarweise auf. Übt Körper A auf den Körper B eine Kraft
F~AB
Die
Beschleunigung
eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner
direkt proportional zur resultierenden
Kraft, die auf ihn wirkt.
~a ∝ F~
1
|~a| ∝
m
F~
~a =
m
F~
Allgemeiner mit Impuls
= m · ~a
p~ = m~v
d
F~ = p~
dt
14.6 Axiom 3 - Reaktionsprinzip
aus, so wirkt eine gleich groÿe, entgegengesetzt gerichtetete Kraft von Körper B auf
Körper A.
F~AB = −F~BA
14.7 Von Massen und Kräften
F~ = m~a
F~
nötig, um
m
Eigenschaft von Körpern, sich einer Beschleunigung zu widersetzen.
~v
zu verändern,
F~ k ~a
Masse
14.7.1 Hook'sches Gesetz
Kräfte lassen sich messen z.B. mit Federwage.
22
Träge
14.7 Von Massen und Kräften
14 TRÄGHEITSPRINZIP
1. Alles in Ruhe
P
i
2.
Fi = 0,
also
F~Rück = −F~schwer
x ∝ Fschwer
Denition 4.
Hook'sches Gesetz
F~Rück = −Dx
14.7.2 Zerlegung von Kräften
Kräfte lassen sich vektoriell zerlegen und addieren.
Example 5.
Rolle auf schiefer Ebene, mit Federwaage festhalten.
Gewichtskraft zerlegbar in Komponenten
⊥
und
k
F~G = F~N + F~T
F~N
F~T
Normalenkraft
Tangentialkraft
23
zur Unterlage.
14.7 Von Massen und Kräften
P
i
Fi = 0 wegen Beschleunigung a = 0 (Statik). Experiment zeigt: FT = 12 FG
Example 6.
Bei
14 TRÄGHEITSPRINZIP
◦
muss
bei
30◦ .
Kraftdreieck mit Seilen
P ~
i Fi = 0
F~3 + F~4 + F~5 = 0. Bei 90◦ gilt
2
2
2
von Fi : 5 = 3 + 4 (Pythagoras)
sein (Statik). Daher
Verhältnis der Kräfte, d.h. für die Beträge
für das
Remark 7. Mit Rollen wird die Kraftrichtung geändert, nicht der Betrag. Rollenlager
müssen die Umlenkkraft aufbringen.
14.7.3 Kräfte in der Natur
Es gibt 4 fundamentale Kräfte, oder Wechselwirkungen
1. Gravitation
2. Elektromagnetische Wechselwirkung
z.b. Coulombkraft, Lorentzkraft, auch Kontaktkräfte, die bei Berührung von Körpern auftreten (Reibung, Druck)
3. Starke Wechselwirkung
→Bindung
zwischen Kernbausteinen
24
15 GRAVITATION
4. Schwache Wechselwirkung
→Umwandlung,
Zerfall von Elementarteilchen
15 Gravitation
Newton's gröÿte Entdeckung: Das universelle
Gravitationsgesetz.
m1 m2 ~r
F~ = γ
r2 |~r|
mit
γ ≈ 6.674 · 10−11
m3
kg·s2 =Gravitationskonstante.
15.1 In der Nähe der Erdoberäche
FG = ms g
FG entspricht
dem Gewicht, die Schwerkraft eines Körpers mit der schweren Masse
mit
g=γ
Fläche mit
g = const.:
ms
mErde
m
= 9, 81 2 ≈ const.
2
rErde
s
Geoid (,verbeulte Birne)
F
= γ
= γ
=
ME ms
r2
ME ms
= gms (T aylor)
2
(RE + h)
γME
ms
2
2 · RE
1 + RhE
1
2
1 + RhE
h3
h
h2
= gms 1 − 2
+ 3 2 − 4 2 + ...
RE
RE
RE
r2 -Abhängigkeit? Ist vernachlässigbar, falls r − RE RE .
1
1
−8
−8
RE = 6371 km, vgl. z.B. 6371
mit
. Also ein
2 = 2, 4637 · 10
6372 = 24629 · 10
−5
relativer Fehler von nur 3, 2 · 10
.
Frage: Wo bleibt die
25
15.2 Feier Fall
15 GRAVITATION
15.1.1 Mathematischer Einschub: Enwicklung einer Funktion in einer Taylor
Reihe
Eine Funktion
y = f (x),
die stetig ist, und alle Ableitungen für
x=a
besitzt, kann in
vielen Fällen als Summe einer Potenzreihe geschrieben werden.
2
f (x) = f (a)+
z.B.
1
um
(1+x)2
x3
x5
x7
3! + 5! − 7!
f (x) =
sin x = x −
3
n
x−a 0
(x − a) 00
(x − a) 000
(x − a) (n)
f (a)+
f (a)+
f (a)+. . .+
f (a)+. . .
1!
2!
3!
n!
x = a = 0: f (x) = 1 − 2x + 2x2 − 4x2 − 4x3 + 5x4 . . .;
...
15.2 Feier Fall
FG zum Erdmittelpunkt
E
. Nach dem 2.
ms . FG = ms g , g = γ M
R2
Alle Körper werden mit ihrer Gewichtskraft (Schwerkraft)
gezogen aufgrund ihrer
schweren
Masse
E
Newtonschen Axiom (Bewegungsgleichung; Körper widersetzt sich mit seiner trägen
Masse
mT
a=g
gilt nur, wenn
zierung:
der Beschleunigung
mS −mT
ms
a)
mS = mT ,
< 10−12
gilt
FG = mT a. → a =
dies ist das
15.3 Verlangsamter Fall
15.3.1 Schiefe Ebene (ohne Reibung)
a = g sin α
(mit
mS = mT )
26
FG
mT
=
Äquivalenzprinzip.
ms
mT
· g.
Experimentelle Veri-
15.4 Bestimmung der Gravitationskonstante γ
15 GRAVITATION
15.3.2 Feste Rolle
F
mges
a
=
(m1 − m2 ) g
= m1 + m2
=
=
F
mges
m1 − m2
·g
m1 + m2
15.4 Bestimmung der Gravitationskonstante γ
Versuchsaufbau (Sicht von oben)
Stab mit den Massen
m1
hat einen Spiegel und hängt an einem Draht.
27
15.4 Bestimmung der Gravitationskonstante γ
15 GRAVITATION
Experimentelle Daten
m1
=
0, 015 kg
m2
=
1, 5 kg
R
=
0, 05 m
r
=
0, 04 m
α
=
13, 75 m
Zum Spiegel
Erleuterung
In der Ausgangsstellung neutralisieren sich die Gravitationskräfte. Dann
werden die Massen
m2
2
F = γ mr1 m
=m·a
2
und die Massen
auf den Abstand
m1
r
a=γ
mit
α=
x
R und
2α =
zu den Massen
m1 gebracht.
Dann wirkt
werden beschleunigt mit
m2
r2
x̃
α folgt für die Beschleunigung des Lichtpunkts
Wand.
ã = a
28
2x
R
¨
ã = x̃
an der
15.4 Bestimmung der Gravitationskonstante γ
Experiment
messe
ã ⇒ a ⇒ γ .
x̃
ã
⇒a
exp:
15 GRAVITATION
t = 90 s
5 · 2 cm = 0, 1 m
1 2
=
ãt
2
0, 2 m
2x̃
=
=
2
t2
(90 s)
m
= 2, 5 · 10−5 2
s
=
2x̃
m 0, 05 m
= 2, 5 · 10−5 2 ·
2
t
s 27, 5 m
−8 m
4, 5 · 10
s2
= ã ·
=
2
⇒γ
=
=
Literaturwert
4, 5 · 10−8 sm2 · (0, 04 m)
ar2
=
m2
1, 5 kg
3
m
4, 8 · 10−11
kg · s2
γ = 6.673 · 10−11
m3
kg·s2
29
15.5 Fadenpenden
15 GRAVITATION
15.5 Fadenpenden
Es wirken Seilkraft und Gravitation. Für die rücktreibende Kraft gilt
Fr
F
a
=
FG sin α
=
ms g sin α
=
mT a
=
mT lα̈
=
ẍ = lα̈
mS g sin α
−
mT
=
Durch
sin α
ist dies eine schwierige Dierentialgleichung als Bewegungsgleichung. Für
kleine Auslenkungen gilt als Näherung
sin α = α
mit
α
15.5.1 Lösungsansatz der DGL
α
=
ω
=
α0 sin(ωt + ϕ0 )
2π
T
30
im Bogenmaÿ.
15.6 Harmonischer Oszillator
mit beliebiger Zeitphase
α
und
α̈
ϕ0 ,
15 GRAVITATION
je nach Anfangsbedingung.
α̇
=
−α0 ω cos (ωt + ϕ0 )
α̈
=
−α0 ω 2 sin (ωt + ϕ0 )
in Dierentialgleichung einsetzen, und
α0
und
sin (ωt + ϕ0 )
kürzen sich raus,
es bleibt:
−ω 2 +
Experiment
mS g
·
mT l
=
ω
=
Apfel, Stahlkugel, Handy
0
r
→Alle
⇒ mS
=
Denition 8.
g
l
mT
=
g
l
Kreisfrequenz
r
ω=
ω
r
Körper verhalten sich gleich.
r
ω
mS
·
mT
g
l
ist die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich die Phase von
zu verwechseln mit
α̇,
sin (ωt + ϕ0 ) ändert. Nicht
der Winkelgeschwindigkeit des Pendels.
15.6 Harmonischer Oszillator
Wichtigstes Objekt in der Physik. Mechanische Realisierung durch träge Masse an
masseloser Feder bei Gültigkeit des Hook'schen Gesetzes.
31
16 KONTAKTKRÄFTE
FG
D , statisch. Für
bewirkt eine
Anhängen einer Masse bewirkt Auslenkung der Feder um
neue Ruhelage sei
F = −Dx.
x = 0.
Eine Auslenkung aus
x=0
um
x
∆x =
Rückstellkräft
Nach dem 2. Axiom gilt für die Bewegungsgleichung
F
= ma
−Dx = ma
mẍ − Dx =
Denition 9.
0
Dierentialgleichung des harmonischen Oszillators, ohne Reibung, ohne
Anregung
mẍ + Dx = 0
Lösungen sind sin- oder cos-Zeitfunktionen z.B.
und
ẍ
folgt, dass
ω2 =
r
ω=
z.B. Messung von
ω
x = x0 sin (ωt + ϕ0 )
einsetzen von
x
D
m
oder
T
D
m
bei gegbener Mass erlaubt die Bestimmung von
D
(oder
umgekehrt).
16 Kontaktkräfte
Berührung führt immer zu Verschiebung von Atomen und damit zu Rückstellkräften.
16.1 Typische Kraft-Abstandsabhängigkeit
Für kleine Auslenkungen um den Gleichgewichtsabstand gilt
F (x) = −c (x − x0 )
32
16.2 Reibung
16 KONTAKTKRÄFTE
Dies ist die mikroskopische Ursache für das
Hook'sche Gesetz. Kontaktkräfte (z.B. Zug-
graft im Seil, Reibung, Stöÿe zwischen Gasatomen, ...) werden durch Coulombkräfte
verursacht. Sie bestimmen die Wechselwirkung der Elektronen untereinander und mit
den Atomkernen. Zum vollen Verständnis wird die Quantenmechanik benötigt.
16.2 Reibung
technisch wichtig, wissenschaftlich schwierig. Hier: makroskopische Beschreibung, die
der allgemeinen Erfahrung entspricht.
16.2.1 Haftreibung
Körper wird durch eingesetzte Kraft
nicht
beschleunigt.
a = 0 ⇔ F~ = −F~HR
FHR
hat einen maximalen Wert.
FHR,max = µH FN
µH
Haftreibungszahl
FN
Normal, Auagekraft
FHR
⊥Unterlage
ist unabhängig von makroskopischer Auageäche, abhängig von der Struktur
der Oberäche.
Versuch
33
16.3 Strömungswiderstand
16 KONTAKTKRÄFTE
16.2.2 Gleitreibung
Gleitreibung
exponentiell
FGR = µG FN
µG < µH
Gleitreibung ist unabhängig von Geschwindigkeit und Auageäche.
16.2.3 Rollreibung
µR < µG
Wichtig:
F~HR , F~GR , F~RR ⊥ F~N
Example 10.
und sind der Bewegungsrichtung entgegengesetzt.
Schiefe Ebene
bis zu einem Grenzwinkel haftet der der Körper
F~HR
FHR
=
−F~T
=
µH FN
=
µH FG cos α
wenn er gleitet, gilt:
F
ma
= ma = FT − FGR
= FG (sin α − µG cos α)
16.3 Strömungswiderstand
Geschwindigkeitsabhängig in einer im Allgemeinen komplizierten Weise. Mögliche Darstellung:
FR = bv n
mit
n = 1 . . . 2. b
enthält die Geometrie des Körpers und Fluid-Parameter.
34
16.3 Strömungswiderstand
16 KONTAKTKRÄFTE
16.3.1 Stoksche Reibung, viskose Reibung
bei ausreichend kleiner Geschwindigkeit
FR
F~R
∝
v
=
[γ]
=
−γ~v
kg
s
Kugel
γ = 6πηR
η
Viskosität
[η] =
R
Kugelradius
kg
s·t
16.3.2 Newtonsche-Reibung
bei schneller Bewegung.
FR
FR
∝ v2
1
=
cw ρAv 2
2
ρ
Dichte des Fluids
A
Querschnittsäche des Körpers
cW
Widerstandskoezient, hängt von der Form des Körpers ab.
35
17 ZENTRALBEWEGUNGEN
17 Zentralbewegungen
17.1 Gleichförmige Kreisbewegungen
mit
ω = const. Wir wissen, dass dies eine Beschleunigung erfordert, die zum Kreismit-
telpunkt gerichtet ist. Ihr Betrag ist
a = ω2 r =
v2
= ωv, ~a ⊥ ~v
r
Nach dem 2. Axiom ist dann eine Kraft nötig, die zum Kreismittelpunkt zeigt, mit
dem Betrag
FZP = mω 2 r.
Denition 11.
Zentripetalkraft
FZP = mω 2 r
17.1.1 Beispiel: Satelliten-Kreisbahn um die Erde
FZP
mω 2 r
2π
T
= FG
ME · m
= γ
r2
ME
= γ 3
r
Folgt für die Umlaufzeit:
T2 =
Spionage-Satelliten
4π 2 r3
·
γ
ME
mit Höhe über der Erdoberäche von ca.
100 km
(d.h. endliche
Lebensdauer wegen Luftreibung). Die Bahnebene ist gegen Äquator gekippt
ωSpion ωErde
Geostationär
steht über einem festen Punkt des Äquators
ωSatellit = ωErde
→den Vektor der
~ -Feld, ~v sind polaren
E
Wie kann also die Orientierung der Kreisbahn angegeben werden?
Winkelgeschwindigkeit ω
~. ω
~
ist ein
achsialer Vektor
Vektoren).
36
(Kraft,
17.2 Mathematischer Einschub: Vektoren
17 ZENTRALBEWEGUNGEN
17.2 Mathematischer Einschub: Vektoren
17.2.1 Skalarprodukt
Denition 12.
Skalarprodukt oder Punktprodukt. Das Ergebnis ist ein Skalar
~a · ~b
~a =
~b =
~a · ~b =
ax
ay
az
bx
by
bz
ax
ay
az
·
bx
by
bz
= ax bx + ay by + az bz
= |~a| · ~b · cos ϑ
Senkrechte Vektoren
Es gilt die Orthogonalitätsbedingung
~a · ~b = 0
Parallele Vektoren
~a
k
~a
~a · ~a = |~a|2
= a2
37
17.2 Mathematischer Einschub: Vektoren
17 ZENTRALBEWEGUNGEN
17.2.2 Kreuzprodukt
Denition 13.
Kreuzprodukt oder Vektorprodukt

 

ax
bx
~a × ~b =  ay  ×  by 
az
bz


ay bz − az by
=  az bx − ax bz 
ax by − ay bx
= |~a| · ~b · sin ϑ
17.2.3 Rechenregeln
~a × ~b × ~c = (~a · ~c) ~b − ~a · ~b ~c
Beweis durch Ergänzungstricks z.B.
+ax bx cx − ax bx cx
~a · ~b = ~b ·~a
~a × ~b = − ~b × ~a
Multiplikation mit einem Skalar A
A ~a · ~b
= (A~a) · ~b = ~a · A~b
A ~a × ~b
= (A~a) × ~b = ~a × A~b
Doppelte Produkte
~a · ~b · ~c
6
=
~a · ~b · ~c
~a × ~b × ~c
6
=
~a × ~b × ~c
Distributivgesetz
~a · ~b + ~c
= ~a · ~b + ~a · ~c
~a × ~b + ~c
= ~a × ~b + ~a × ~c
38
17.3 Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω
~
17 ZENTRALBEWEGUNGEN
Dierentiation
d
d
~a ± ~b
dt
dt
d
d
= ~a A + A ~a
dt
dt
d
d~
~
= b ~a + ~a b
dt
dt
d~a ~ d~b
=
×b+
× ~a
dt
dt
d ~a ± ~b
dt
d
(A~a)
dt
d
~a · ~b
dt
d ~a × ~b
dt
=
17.3 Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω
~
•
parallel zur Drehachse
•
senkrecht zu
•
Betrag
ω=
~v
dϕ
dt
=
dϕ ds
·
→ |~
ω| =
ds |{z}
dt
|{z}
r
v
r
v
Im allgemeinen gilt
~v = ω
~ × ~r
daraus
ω
~ = ...
durch
~r × ~v
mit
= ~r × (~
ω × ~r)
=
ω
~ (~r · ~r) − ~r (~r · ω
~)
=
ω
~ r2 − 0
=
1
(~r × ~v )
r2
~r ⊥ ω
~
⇒ω
~
Für die Zentripetalbeschleunigung bei
ω
~ = const.
~aZP
folgt
ω
~ × ~v
−ω 2~r
=
=
17.4 Beschleunigte Kreisbewegung
Winkelbeschleunigung
α=
dω
dt
=
Positive Beschleunigung
α
~ ↑↑ ω
~
negative Beschleunigung
~a ↓↑ ω
~
d2 ϕ
dt2 ,
h
i
rad
, s12 . Auch
s2
α
~
ist ein achsialer Vektor
(Bremsvorgang)
Verknüpft ist die Tangentialbeschleunigung
liegt, ändert sich die Bahnebene.
39
~atan = α
~ × ~r.
Falls
α
~
nicht parallel zu
ω
~
17.5 Drehimpuls
17 ZENTRALBEWEGUNGEN
17.5 Drehimpuls
Dynamische Gröÿe auf einen Raumpunkt bezogen.
Denition 14.
Drehimpuls
~ = ~r × p~
L
Beispiel 1: geradliniger Vorbeiug mit
p~ = const.
d.h.
F~ = 0
Von oben gesehen
~ = ~r × p~ = const.
⇒L
Ohne äuÿere Einüsse ist der Drehimpuls erhaltend
40
17.5 Drehimpuls
17 ZENTRALBEWEGUNGEN
Beispiel 2: Kreisbewegung
~ = ~r × p~
L
= ~r × (m~v )
= ~r × (m~
ω × ~r)
=
m~r × (~
ω × ~r)
=
m (~
ω (~r · ~r) − ~r (~
ω · ~r))
= mr2 ω
~
~ = mr2 ω
L
~
Drehimpuls
ähnlich
=
Trägheitsmoment
· Winkelgeschw.
p~ = m · ~v .
17.5.1 Zeitliche Änderung des Drehimpulses
~
dL
dt
d
(~r × p~)
dt
d~
p
d~r
× p~ + ~r ×
=
dt
dt
~r × F
= ~v × m~v +
| {z }
| {z }
=
=0
=Drehmoment M
Man kann also nur eine Impulsänderung machen, wenn man Kraft aufwendet.
Denition 15.
Drehmoment
~
M
Drehmoment
= ~r × F~
=
Hebelarm
× Kraft
Drehmoment bewirkt eine Änderung des Drehimpulses.
X
~
dL
~i
M
=
dt
i
Falls äuÿeres Drehmoment
M <0
→
dies gilt insbesonder für
~
dL
~ = const.
=0 L
dt
Zentralbewegungen,
immer auf einen Punkt gerichtet.
41
dabei ist eine Kraft (Beschleunigung)
18 DIE KEPLER'SCHEN GESETZE
F~
↓↑ ~r
~a ↓↑ ~r
~
→M
~
→L
=
~r × F~ = 0
=
const.
Es gilt:
1. Bahn verläuft in einer Ebene.
2. der vom Beschlunigungszentrum ausgehende Ortsvektor überstreicht in gleichen
Zeitabschnitten gleiche Flächen. (Flächensatz, 2. Kepler'sches Gesetz)
18 Die Kepler'schen Gesetze
•
beschreiben die Planetenbahnen
•
sind begründet auf genauen Messungen von Tycho Brahe
•
wurden von Kepler (1571-1630)
vor
den Erkenntnissen von Newton aufgestellt
18.1 1. Keplergesetz: Ellipsensatz
Die Planeten bewegen sich um die Sonne auf Ellipsenbahnen, die Sonne steht im Brennpunkt dieser Ellipse.
18.1.1 Die Ellipse
Normalform
x2
a2
+
y2
b2
=1
42
18.2 2. Keplergesetz: Flächensatz
Es gilt:r
18 DIE KEPLER'SCHEN GESETZE
+ r0 = 2a
Polarkoordinaten
r=
a(1−ε2 )
1−ε cos ϕ
Bemerkungen:
•
alle Planetenbahnen leigen nahezu in
•
Drehsinn ist gleich
⇒Gemeinsam
•
einer
Ebene
entstanden.
Exzentrität klein:
εErde
εVenus
εMerkur
εPluto
=0,0167
=0,0068
=0,206
=0,25
18.2 2. Keplergesetz: Flächensatz
Die Verbindungslinie (Fahrstrahl) von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen
Zeiten gleiche Flächen
18.2.1 Erklärung Newtons
In
dt
überstrichene Dreiecksäche
~
dA
~
dA
=
=
=
~
L
~
konstant wegen Zentralkraft (M
1
(~r × ~v dt)
2
1
(~r × m~v dt)
2m
1 ~
Ldt
2m
√
~
= ~r × F~ = 0) → ddtA = const. ,→ Flächensatz
43
18.3 3. Keplergesetz
19 SCHEINKRÄFTE
18.3 3. Keplergesetz
Vergleich der Bahnen verschiedener Planeten ergibt: Das Quadrat der Umlaufdauer
eines Planeten ist proportional zur 3. Potenz der Länge der groÿen Halbachse seiner
Bahn,
T 2 ∝ a3
2
a3
18 m
=
3,
35
·
10
= CSonne
T2
s2
18.3.1 Erklärung Newtons
m
·m
Sonne Planet ; für elliptische Bahnen mathematisch etwas
r2
aufwendig, bei Annahme von Kreisbahnen einfach. Siehe auch Satellit
Gravitationsgesetz
F =γ
4π 2
1
T2
1
=
=
=
3
r
γ
MSonne
C
19 Trägheitskräfte, Scheinkräfte
treten in beschleunigten Bezugsystemen auf. Ursache ist die Trägheit der Körper. Zur
Erinnerung: Newton's Gesetze gelten in Inertialsystemen mit
44
v = const.
19.1 Freier Fall im beschleunigten System
19 SCHEINKRÄFTE
19.1 Freier Fall im beschleunigten System
~a =
a0
0
0
→Beschleunigung
nur in x-Richtung
Bei Anwendung des Aktionsprinzips (2. Axiom) im beschleunigten System muss zur
Beschreibung der Bewegung eine zusätzliche Kraft eingeführt werden - die Scheinkraft,
Trägheitskraft.
Hier:
F~Schein = −m~a
19.2 Beispiel: Fadenpendel
Sicht aus Inertialsystemen
45
19.3 Rotierende Bezugsysteme
19 SCHEINKRÄFTE
Beschleunigung der Pendelmasse wird durch die horizontale Komponente der Scheinkraft
aufgebracht.
Sicht aus beschleunigtem System
Pendel ist in Ruhe aber schief !
F~Schein = −m~a
nötig, damit
P ~
i Fi = 0
19.3 Scheinkräfte in rotierenden Nicht-Inertialsystemen
Wir beschränken uns auf
ω = 0,
bei gleichmäÿiger Kreisbewegung des Bezugsystems.
19.3.1 Zentrifugalkraft
Ruhendes Objekt im rotierenden System.
v 0 = 0.
46
19.3 Rotierende Bezugsysteme
19 SCHEINKRÄFTE
Sicht aus Inertialsystemen
F~ZP = −mω 2~r. Wird durch die horizontale Komponente der Seilkraft
F~Seil + F~G = F~ZP
Zentripetalkraft
aufgebracht:
Sicht aus beschleunigtem System
Pendel ruht, aber schief !
F~ZF
so, dass
P ~
2 2
~
r
i Fi = 0. FZF = mω ~
heiÿt
Zentrifugalkraft
19.3.2 Corioliskraft
Bewegtes Objekt im rotierenden System (v
0
6= 0) ⇒Zentrifugalkraft
Ablenkende Scheinkraft ohne Herleitung:
F~C
=
2m (~v 0 × ω)
=
2mv 0 ω sin ∠ (~v 0 , ω
~)
TODO: Add Foucaultisches Pendel
47
+
Corioliskraft.
20 ERHALTUNGSSÄTZE
20 Erhaltungssätze
20.1 Arbeit
Denition 16.
Arbeit (physikalische Denition). Wirkt eine Kraft
F~
auf einen ma-
teriellen Punkt oder Körper und verschiebt ihn dabei um eine Weglänge
die Kraft den
Zustand
Denition 17.
∆~r,
so hat
des Körpers verändert, sie hat Arbeit verrichtet.
Arbeit (mechanische Denition).
∆W
= |F~ | · |∆~r| · cos ∠ F~ , ∆~r
dW
= F~ · d~r
20.1.1 Wegintegral
dierentielle Formulierung ist nötig, wenn sich
Weg sich ändern.
48
~
F oder Winkel zwischen Kraft und
20.1 Arbeit
Arbeit eines Wegs von
20 ERHALTUNGSSÄTZE
~r1
nach
~r2
ˆ
W12
~
r2
=
dW
~
r1
ˆ ~r2
=
F~ d~r
~
r1
[W ]
=
Nm
=
kg·m2
s2
=J
Dieses Integral wird auch als Wegintegral bezeichnet.
20.1.2 Hubarbeit gegen Gewichtskraft
Direktes lotrechtes Heben
F
=
mg
=
h2 − h1
ˆ h2
mgdh
=
mgh
h =
W12
h1
Heben auf reibungsfreier schiefen Ebene
F
∆r
⇒ W12
= mg sin α
h2 − h1
=
sin α
= mgh
Absichtlich komplizierter Weg im Halbkreis
49
20.2 Leistung
20 ERHALTUNGSSÄTZE
Parametrisierung des Weges

h
~r(t) =
2
t

sin t
 t = 0...π
0
1 − cos t
ist hierbei nicht unbedingt die Zeit.


cos t
h
d~r
=  0 
dt
2
sin t
Denition 18.
Parametrisches Wegintegral
ˆ
~
r2
W12 =
ˆ
F~ (~r) dr =
~
r1
~
r2
~
r1
d~r
F~ (~r(t)) · dt
dt
Aus der Denition des parametrischen Wegintegrals und
F~ =
0
0
mg
folgt
ˆ
W12
=
=
=
=
Note
.
19
Das Arbeitsintegral ist
π
h
mg
sin t dt
2
0
h
π
mg [− cos]0
2
h
mg (1 − (−1))
2
mgh
wegunabhängig
für
konservative Kraftfelder.
Add Ortsunabhängige Kräfte wie Federrückstellkraft.
20.2 Leistung
Leistung ist deniert als Arbeit pro Zeiteinheit
Denition 20.
P =
∆W
∆t .
Leistung
P
=
[P ]
=
dW (t)
= F~ · ~v
dt
Nm
= W (Watt)
s
20.3 Kinetische Energie
Verknüpfung von Arbeit mit dem 2. Newtonschen Axiom. Massepunkt hat momentan
am Ort
~r
den Impuls
p~ = m~v .
Kraft bewirkt Impulsänderung
d~
p = F~ dt
50
20.4 Potentielle Energie
Positionsänderung ist
mit
d~r = ~v dt.
20 ERHALTUNGSSÄTZE
Eliminierung von
dt:
~v · d~
p − F~ d~r = 0
p~ · d~
p ~
− F d~r = 0
m
d (~
p · p~) = d~
p · p~ + p~d~
p = 2~
p · dp folgt
2
p
− F~ · d~r = 0
d
2m
Zwei dierentielle Gröÿen deren Summe konstant bleibt.
Denition 21.
Kinetische Energie
Ekin =
dEkin = d
p2
2m
p2
1
= mv 2
2m
2
ist die Änderung der kinetischen Energie längs der Wegstrecke
Einwirkung der Kraft
d~r
bei
F~ .
20.4 Potentielle Energie
Man könnte die bei obrigen Beispielen eingesetzte Arbeit zur Beschleunigung einer
Masse nutzen
Gespannte Feder
kann die Arbeit
Angehobene Masse
´
−Dx dx
kann die Arbeit
´
verrichten
−mg dz
Oenbar besitzen die beide Systeme durch die von auÿen an ihnen verrichtete Arbeit
die Eigenschaft, selbst wieder Arbeit verrichten zu können. Diese Eigenschaft heiÿt
potentielle Energie.
Angehobene Masse
gespannte Feder
Epot = mgh
Epot = 21 Dx2
20.5 Energieerhaltungssatz
Die verschiedenen Energieformen können ineinander umgewandelt werden.
Denition 22.
Energieerhaltungssatz der Mechanik
Ekin + Epot = const.
Verluste durch Reibung sind nicht berücksichtigt, bzw. in einem abgeschlossenen System ist die Gesamtenergie eine Erhaltungsgröÿe. Dies schlieÿt die durch Reibungsverluste entstehende Wärmeenergie mit ein.
51
20.5 Energieerhaltungssatz
20 ERHALTUNGSSÄTZE
Beispiel: harmonischer Oszillator
x0
Epot
=
Ekin
=
Egesamt
=
1
Dx2
2
1
mv 2
2
Epot + Ekin = const.
ist die maximale Auslenkung (Amplitude)
Eges =
Energieerhaltungssatz ist ein
1
Dx0 = Epot,max = Ekin,max
2
mächtiges Prinzip,
erlaubt oft erhebliche Vereinfachung
bei Berechnung von Bewegungsabläufen.
Note
.
23
Energieerhaltung
⇔konservative
Kräfte
⇔rot F~ = 0 ⇔F~ (~r) = −grad Epot
Beispiel: Gewichtskraft
F~
rot F~
=
F~G =
=
0
F~
=
−grad( mgz )
|{z}
0
0
−mg
=Epot
→
Beispiel: Gravitationskraft
konservatives Kraftfeld
Siehe mathematischen Einschub.
52
20.6 Mathematischer Einschub: Gradient, Rotation Divergenz
20 ERHALTUNGSSÄTZE
F~
=
−γ
rot F~
F~
=
0
=
m1 m2
· r̂
r2
m1 m2
−grad(−γ
)
| {zr }
=Epot
→
Beispiel: Reibungskraft
konservatives Kraftfeld
ist nicht konservativ, hängt nicht in eindeutiger Weise vom
Ort ab, lässt sich nicht als Gradientenfeld eines skalaren Potentials darstellen.
20.6 Mathematischer Einschub: Gradient, Rotation Divergenz
To be continued; momentarily please refer to the mighty Nolting :)
20.7 Äquipotentialächen
Äquipotentialächen bezeichnen Orte gleicher potentieller Energie. Deniert durch
Epot (~r) = const.
Beispiel: Gravitationspotential
z.B. der Sonne (auch Coulomb-Potential)
Epot
=
φSonne
=
=
φ, Epot
∝
mSonne mP lanet
r
Epot
mP lanet
mSonne
−γ
r
−γ
−
1
r
53
21 GRAVIATION II
Richtung der Kraft
linien
→Kraftlinien
F~ = −grad Epot
ist stets senkrecht zu den Äquipotentialächen/-
21 Gravitation II - ausgedehnte Masseverteilungen
N anderen Massen ist berechenbar als
m0 aus der Umgebung der N Massen nach
~0 = F~01 + F~02 + · · · + F~0N gilt:
bringen. Wegen F
ˆ ∞
ˆ ∞
ˆ ∞
W =
F~01 d~r +
F~02 d~r + . . . +
F~0N d~r
~
r0
~
r0
~
r0
m2
mN
m1
= γm0
+
+ ... +
r1
r2
rN
Potentielle Energie einer Mase
m0
im Feld von
Arbeit, die verrichtet werden muss, um
Unendlich zu
Epot,m0
=
−m0 γ
n
X
mi
i=1
ri
bei kontinuierlicher Masserverteilung (Massenelemente
ˆ
Epot,m0 = −m0 γ
oder
54
dm
r
dm
im Abstand
r)
22 KRÄFTE AM STARREN KÖRPER
Denition 24.
Gravitationspotential der Massenverteilung
ˆ
Epot,m0 = −m0 γ
V
Dichte
ρ(~r)
ρ(~r)
ρ(~r)
dV
r
ist ortsabhängig. Auswertung eines solchen Integrals erfordert Computer.
Analytisch geht es nur bei einfachen Geometrien.
To be continued
Teil IV
Mechanik starrer Körper
Bewegungen eines ausgedehnten starren Körpers ist aus Translation und Rotation
zusammengesetzt.
Bisher
hatten wir nur Massepunkte betrachtet, mit der Ausdehnung Null. Dabei
haben wir gelernt:
Drehimpuls
~ = ~r × p~, L
~ = mr2 ω
L
~ = Θ~
ω
Trägheitsmoment
Θ = mr2
Erot = 21 mr2 ϕ̇ = 21 Θω 2
~ = ~r × F~
Drehmoment M
~
dL
~
Dynamik
=M
Rotationsenergie
dt
Jetzt
viele Massepunkte, die starr verbunden sind, Form ändert sich nicht unter
Einuss der Kräfte.
22 Kräfte am starren Körper
55
22.1 Kräftepaare
Der Angrispunkt
22 KRÄFTE AM STARREN KÖRPER
P
einer Kraft
F
kann beliebig entlang ihrer Wirkungslinie ver-
schoben werden.
Fact 25. Kräfte die am starren Körper angreifen, sind linienüchtig.
22.1 Kräftepaare
F~1 = F~2 mit F~1 + F~2 = 0. Kräftepaar erzeugt keine
d~
p
dt = 0, übt aber ein Drehmoment aus.
~1
M
~
M2
mit
= ~r1 × F~1
= ~r2 × F~2
Translationsbewegung, da
P ~
i Fi =
bezüglich beliebigen Nullpunkt
F~2 = −F~1
Die Richtung von
M
~1 +M
~2
M
= ~r1 × F~1 − ~r2 × F~1
M
=
M
=
(~r1 − ~r2 ) × F~1
zeigt in die Zeichenebene hinein. Betrag
M = F ·s mit s =Abstand
der beiden Wirkungslinien
Fact 26. Das Kräftepaar darf am starren Körper bebliebig verschoben werden. Das
Drehmoment und seine Wirkung ändern sich dabei nicht.
~
• M
~
• M
• F~ ,
~
• M
ist nicht an einen bestimmten Punkt gebunden
ist ein freier Vektor
linienüchtig, ist ein gebundener Vektor
bewirkt eine Winkelbeschleunigung des Körpers um seinen Schwerpunkt.
56
22.2 Gleichgewichtsbedingung der Statik 22 KRÄFTE AM STARREN KÖRPER
22.2 Gleichgewichtsbedingung der Statik
Denition 27.
Resultierende äuÿere Kraft und resultierendes Drehmoment müssen
Null sein.
X
X
F~a
=
0
~a
M
=
0
22.3 Mechanische Energie eines starren Körpers
Schwerpunkt
~rs =
P
ri
i mi ·~
P
, Massenelemente
i mi
mi
bei kontinuierlicher Massenverteilung
˝
~rs
m
ρ (~r) · ~r dx dy dz
m
˚
=
ρ (~r) dx dy dz (Körper)
=
ρ (~r) = ρ
ˆ
1
F~ dV
~rs =
V v
falls Dichte homogen
˚
ˆ
dV =
ˆ
dx dy dz =
22.4 Potentielle Energie bezgl. Erdanziehung
Lageenergie bezüglich des Schwerpunkts
Epot =
X
S
mi gzi = mgzs
i
22.5 Gleichgewichtslagen (x0 )
57
3
d x
23 KINETISCHE ENERGIE
Bei kleinen Auslenkungen
Stabile Lage
Labile Lage
Körper kehrt zurück, S wird angehoben.
Körper entfernt sich weiter, S senkt sich.
23 Kinetische Energie
d~ri
dt
= ~vs + ~vi0
~vi
=
~vi
=
Die Geschwindigkeit eines Massepunkts
erpunkts
rs
Ekin
d~rs
d~r0
+ i
dt
dt
mi
setzt sich also aus der Bewegung des Schw-
und der Relativgeschwindigeschwindigkeit des Massepunkts
=
X1
2
i
=
X1
2
i
=
1
2
d~ri
dt
d~r0
d~rs
+ i
dt
dt
mi
d~rs
dt
zu diesem.
2
mi
mi
2 X
i
2
1X
mi +
mi ·
2 i
d~ri0
dt
2
+
d~rs X d~ri
mi
dt i
dt
|
{z
}
=0 nach def. von S
Ekin
Ekin
=
1X
1
mv 2 +
2 s 2
mi vi02
i
trans
rot
= Ekin
+ Ekin
23.1 Berechnung der Rotationsenergie
mi dreht sich um eine Achse
P2 mit gleicher Winkelgeschwindigkeit
P durch
rot
2
viP = ωriP damit Mkin
= 12
m
r
i
iP ω mit (Massen-)Trägheitsmoment ΘP
i
Massepunkt
ω
d.h.
58
23.2 Harmonischer Oszillator für Drehbewegungen
23 KINETISCHE ENERGIE
des Körper bezüglich der Drehachse
ΘP
X
=
ˆ
2
mi riP
i
ˆ
rP2 dm
=
ρ (~r) rp2 dV
=
V
rot
Ekin
Das Trägheitsmoment
Θ
1
ϑP ω 2
2
=
gibt die Massenverteilung des Körpers bzgl. einer Drehachse
an und damit die Trägheit gegenüber der Winkelbeschleunigung.
ϑ
kann in dynamischen Experimenten bestimmt werden gemäÿ der Bewegungsgle-
ichung
M
=
d
dL
~ = ~r × F~
= Θω, M
dt
dt
M
=
Θω̇ = Θϕ̈
Beispiel:
M
Beispiel
=
const.
ϕ̈ =
const.
ϕ =
1 2
αt
2
Θ
M
α
=
=α
Schneckenfeder bei Hookschem Gesetz
→rückstellendes
M = −D∗ ϕ
D∗
ist Winkelrichtgröÿe
Denition 28.
Drehschwingung
→ D∗ ϕ = Θϕ̈
23.2 Harmonischer Oszillator für Drehbewegungen
Lösung der Dierentialgleichung für die Drehschwingung
−D∗ ϕ = Θϕ̈
59
Moment.
24 TRÄGHEITSMOMENTEN EINFACHER KÖRPER
ergibt die Lösungen:
ϕ =
ϕ0 sin (ω0 t + . . .)
ϕ =
ϕ0 cos (ω0 t + . . .)
r
Hantelform
→siehe
Kreischreibenform
ω0
=
T
=
2π
D∗
Θ
r
Θ
D∗
Übungen
Finish this small part...
24 Beispiele von Trägheitsmomenten einfacher
Körper
24.1 Vollzylinder
24.1.1 Symmetrieachse
60
24.1 Vollzylinder
24 TRÄGHEITSMOMENTEN EINFACHER KÖRPER
ˆ
Θ
r2 dm
=
ˆ
r2 ρ dV
ˆ
= ρ r2 dV
=
dV
= rdϕdrdh (Zylinderkoordinaten)
ˆ
Θ
(ρ homogen)
h
ˆ
2π
ˆ
R
r3 dr dϕ dz
= ρ
0
ˆ
0
0
R
r3 dr
= ρ2πh
0
1
= ρ2πh r4
4
1 4
= ρ2πh R
4
mit
ρ=
m
V
=
R
0
m
πR2 h
ΘVollzylinder,z =
1
mR2 = ΘKreisscheibe,z
2
24.1.2 Restliche Achsen
(Ohne Rechnung)
Θx = Θy =
1
1
mR2 + mh2
4
2
Experimentell: Kreisscheibe
√
T1
Θz
=2→
= 2 = 1, 41
Θx
T2
61
24.2 Rohr
24 TRÄGHEITSMOMENTEN EINFACHER KÖRPER
24.2 Rohr
(Vgl. Metallwalze, hohl)
Θz = mR2
Θx = Θy =
1
1
mR2 + mh2
2
2
24.3 Hohlzylinder
Θz
=
Θx = Θy
=
1
2
m (ra − ri )
2 1
1
m ra2 + ri2 + h2
4
3
24.4 Kugel
24.4.1 Vollkugel
Diese Rechnung ist von mir vom Übungsblatt 10
62
24.4 Kugel
24 TRÄGHEITSMOMENTEN EINFACHER KÖRPER
ˆ
x2 + y 2 dV
Θ=ρ
V
Einsetzen der Kugelkoordinaten
x
= r sin ϑ cos ϕ
y
= r sin ϑ sin ϕ
z
= r cos ϑ
und der Funktionsdeterminaten
dV = r2 sin ϑ dr dϑ dϕ
einsetzen in
x2 + y 2
ergibt
r2 sin2 ϑ cos2 ϕ + r2 sin2 ϑ sin2 ϕ = r2 sin2 ϑ
daher gilt für das Integral
ˆ
Θ
=
=
π
ˆ
π
ˆ
2π
r4 sin3 ϑ dr dϑ dϕ
0
5
ˆ
R
= ρ
0
π
0
2π
ˆ ˆ
R
ρ
sin3 ϑ dϑ dϕ
5
0
ˆ π0
2
5
πρR
sin3 ϑ dϑ
5
0
π
sin2 (x) 2
sin x dx =
−
−
cos x
3
3
0
2
2
=
− −
3
3
4
=
3
ˆ π
2
5
πρR
Θ =
sin3 ϑ dϑ
5
0
2 4
2
2
=
· πρR5 = ρV R2 = mR2
5 3
5
5
3
0
24.4.2 Kugelschale
Θx = Θy = Θz =
63
2
mR2
5
24.5 Quader
25 SATZ VON STEINER
24.5 Quader
Rechnung folgt später.
Θx
=
Θy
=
Θz
=
1
m b2 + h2
12
1
m l2 + h2
12
1
m l2 + b2
12
25 Satz von Steiner
Denition 29.
Ist
Θs
Satz von Steiner
das Trägheitsmoment eines Körpers bezüglich einer Achse
erpunkt
s,
so ist das Trägheitsmoment
Achse B die Summe
bezüglich
Θs
ΘB
plus dem Trägheitsmoment der in
B.
64
A durch seinen Schw-
bezüglich einer dazu parallel liegenden
S
vereinten Gesamtmasse
25.1 Beispiel: Kreisscheibe
25 SATZ VON STEINER
ˆ
ΘB
=
ˆ
2
~rB
dm
2
(~rA + ~a) dm
ˆ
ˆ
ˆ
2
=
~rA dm + 2 ~rA~a dm + a2 dm
ˆ
= Θs + 2~a rA dm + a2 m
{z
}
|
=
=0 def. S.P.
ϑB
= ϑS + ma2
25.1 Beispiel: Kreisscheibe
65
26 TRÄGHEITSTENSOR
Θs
=
ΘB
=
1
mR2
2
1
mR2 + mR2
2
3
mR3 + 3ϑs
2
=
26 Trägheitstensor
Bei Drehbewegungen von Massepunkten oder bei rotationssymmetrischen Körpern gilt
~ = Θ~
L
ω , Θ = mr2
ˆ
oder
ρ (~r) r2 dV
Θ=
V
d.h.
~
L
und
ω
~
Allgemeinen
sind parallel (bei geeigneter Wahl des Koordinatenssytems) dies ist im
nicht
der Fall.
z.B. schiefe Hantel, rotiert mit Winkel
α
gekippt gegen
ω
~ -Vektor
~ = ~r1 × p~1 + ~r2 × p~2
L
~ läuft auf einem Kegel um ω
~ ist somit nicht konstant, dies erfordert entsprechende
L
~. L
Lagerkräfte, bzw. Drehmomente.
Der Trägheitstensor beschreibt die Körperträgheit so, dass sein Drehimpuls für beliebige Rotationsachsen berechnet werden kann.
66
26.1 Starre Körper aus mi Massepunkten
26 TRÄGHEITSTENSOR
26.1 Starre Körper aus mi Massepunkten
X
~ =
L
~ri × p~i
i
X
=
mi~ri × ~vi
mit ~
vi
=ω
~ × ~ri
i
X
=
mi~ri × (~
ω × ~ri )
i

X
=
i

 2

mi ω
~ ri − ~ri (~
ri · ω
~ )
| {z }
i.A.6=0
26.2 Starrer, kontinuierlicher Körper
ˆ
~ =
L
r2 ω
~ − ~r (~r · ω
~ ) dm dm = ρdV
K örper
ˆ
~x
L
2
r ω
~ x − x (xωx + yωy + zωz ) dm
ˆ
ˆ
ˆ
2
2
=
r − x dm · ωx − xy dm · ωy − xz dm · ωz
| {z }
=
y 2 −z 2
=
Θxx ωx + Θxy ωy + Θxz ωz
ˆ
~y
L
2
r ω
~ y − y (xωx + yωy + zωz ) dm
ˆ
ˆ
ˆ
=
r2 − y 2 dm · ωy − xy dm · ωx − y 2 dm · ωz
| {z }
=
x2 +z 2
=
Θyy ωy + Θxy ωx + Θyz ωz
ˆ
~Z
L
2
r ω
~ z − z (xωx + yωy + zωz ) dm
ˆ
ˆ
ˆ
=
r2 − z 2 dm · ωz − zx dm · ωx − zy dm · ωy
| {z }
=
x2 +y 2
=
Θzz ωz + Θxz ωy + Θyz ωz
67
26.3 Trägheitsmoment eines Quaders
26 TRÄGHEITSTENSOR
in Matrixschreibweise


Lx
 Ly 
Lz
Θ
=

 

Θxx Θxy Θxz
ωx
=  Θyx Θyy Θyz  ·  ωy 
Θzx Θzy Θzz
ωz
{z
}
|
=Θ(Trägheitstensor)
=
ist eine 3x3 Matrix mit axialen Trägheitsmomenten (Diagonalelemente)
Θxx , Θyy , Θzz
und Deviationsmomente
Θ
Θxy
=
Θyx
Θyz
=
Θzy
Θxz
=
Θzx
symmetrische
ist eine
Matrix, kann durch Hauptachsentransformation in Diago=
1
nalform gebracht werden.
26.3 Trägheitsmoment eines Quaders
Achsen durch den Schwerpunkt
1 Nichtdiagonalelemente = 0
68
26.3 Trägheitsmoment eines Quaders
ˆ
Θxx
=
c
2
− 2c
=
=
=
Θxy
=
=
=
=
ˆ
b
2
a
2
− 2b
y 2 + z 2 dx dy dz
−a
2
c !
1 3 2
·c+b z
ρa
2
− 2b
− 2c
!
3 3 !
b
c c 3 c 3
m
b
c
− −
+
− −
a
V
3
2
3
3
2
2
m
c 2 3 b 2 3
b +
c
a
abc
3 23
3 23
m 2
b + c2
12
˚
−ρ
xy dx dy dz
=
ˆ
ρ
26 TRÄGHEITSTENSOR
1 3
y
3
2b
a b c
1 2 2
1 2 2
m 1 2 2
−
x
y
y
V 2
2
−a
− 2b 2
− 2c
2
!
2
−a
m 1 a 2
−
−
...
abc 2
2
2
0
bei der Wahl des Koordinatensystems der Achsen wird der Trägheitstensor diagonal
 2
b + c2
m
0
Θ=
=
12
0
0
a2 + c2
0

0

0
2
2
a +c
Die gewählten Achsen sind Hauptträgheitsachen. Für Rotation um Hauptträgheitsachsen gilt
~ = Θω
~ kω
L
~, L
~
=
und diese
ω
~
sind Eigenvektoren von
Θ
=
z.B.
ω
~
in y-Richtung

0
ω
~ y =  ωy 
0
m
~ =
~ kω
L
a2 + c2 ω
~ L
~
12

69
26.4 Wahl beliebiger Achsen
Für Körper mit
a>b>c
26 TRÄGHEITSTENSOR
gilt
Θxx
=
Θyy
=
Θzz
=
Θzz
>
m 2
b + c2 = Θmin
12
m 2
a + c2
12
m 2
a + b2 = Θmax
12
Θyy > Θxx
Stabile, freie Rotation ist nur möglich um die Achse des gröÿten oder kleinsten Trägheitsmoment.
26.3.1 Experiment: Schuhkarton in freier Rotation
Finish experiments
26.4 Wahl beliebiger Achsen
Der Trägheitstensor hängt von der Wahl der Achsen ab:
ˆ
Θxx
=
=
=
a
ˆ
b
y 2 + z 2 dx dy dz
0
0
c3
m b3
ac + ab
V
3
3
m abc 2
b + c2
3 abc
ρ
Satz von Steiner, zur Übung
˚
Θxy
=
−ρ
=
−
=
xy dx dy dz
m 1 21 2
a b c
abc 2 2
m
− ab
4
.
.
.

Θ =
=


b2 +c2
3
− ab
4
− ac
4
70
− ab
4
a2 +c2
3
− bc
4

− ac
4

− bc

4
b2 +a2
3
27 ROATIONSENERGIE
Θ
=
ist hier nicht diagonalisiert, aber symmetrisch, lässt sich daher diagonalisieren.
Fact 30. Der Trägheitstensor eines beliebig geformten, starren Körpers lässt sich diagonalisieren und besitzt drei aufeinander senkrechte Hauptachsen.
27 Roationsenergie
rot
Ekin
=
=
=
=
=
=
=
rot
Ekin
=
1X
mi~vi2
2 i
1X
2
m1 (~
ω × ~r)
2 i
ˆ
1
2
(~
ω × ~r) dm
2

2
ˆ
ω z − ωz y
1  y
ωz x − ωx z  dm
2
ωx y − ωy x
ˆ
i
1 h
2
2
2
(ωy z − ωz y) + (ωz x − ωx z) + (ωx y − ωy x) dm
2
1
Θxx ωx2 + Θyy ωy2 + Θzz ωz2 − 2Θxy ωx ωy − 2Θyz ωy ωz − 2Θxz ωx ωz
2
1
ω
~ · Θω
~
=
2
1
ω
~ · Θω
~
=
2
Die Flächen konstanter Energie
besonders klar, falls
Θ
=
rot
Ekin
dargestellt im
ω
~ -Raum
sind Ellipsoide. Dies ist
diagonal.
rot
Ekin
=
=
Durch die Hauptträgheitsmomente
1
ω
~ · Θω
~
=
2
1
Θa ωa2 + Θb ωb2 + Θc ωc2
2
Θa , Θb , Θc (Trägheitsellipsoid)
sind die Rotation-
seigenschaften eines Körpers vollständig beschreiben.
Es kann zwischen drei Fällen unterschieden werden:
1. FallsΘa
6= Θb 6= Θc
handelt es sich um einen unsymetrischen Körper
2. zwei Hauptachsenmomente sind gleich
⇒
Körper hat Figurenachsen. Besitzt
eine ausgezeichnete Haupträgheitsachse.
3. Falls
Θa = Θ b = Θ c
handelt es sich um ein bezüglich der Drehbewegung
kugelssymetrischen Körper. Jede Achse durch Schwerpunkt ist Hauptträgheitsachse.
71
28 KREISELBEWEGUNG
28 Kreiselbewegung
Wir betrachten Drehbewegungen, bei denen sich die Drehachse bei frei bewegen kann.
Hier nur symmetrische Kreisel. Figurenachse sei c-Achse.

Θa
Θ= 0
=
0
0
Θb
0

0
0 
Θc
28.1 Kräftefreier Kreisel
bei Unterstützung im Schwerpunkt S treten keine Drehmomente auf.
Bilder Kreisel
~
dL
~ =0→L
~ = const.
=M
dt
28.1.1 Spezialfall
Figurenachse
~
~c k L
oder
~c k ω
~
Anwendung zum Beispiel im Kreiselkompass.
28.1.2 Allgemeiner Fall
ω
~
nicht parallel zu
ω
~
und
~c
~c → ~c
rotieren um feste
und
ω
~ sind
nicht raumfest. Es gilt:
~ = const., Erot = const.
L
~ -Achse →Nutation
L
28.2 Nutation
Kräftefreier Kreisel,
~ 2 = const., L2 + L2 + L2 =
~ = const. L
~ = const. →|L|
M =0→L
a
c
b
const
Drehimpulskugel
~
L
Epot = const.
Energieellipsoid.
muss beide Figuren gleichzeitig erfüllen.
im Hauptachsensystem des Kreisels.
~
L
~
L
liegt auf Schnittebene. Energieellipsoid
ist fest, also muss der Kreisel so rotieren, dass
der Trägheitstensor und damit die Figurenachse
72
~ rotiert.
~c um L
28.3 Bewegung im rotierenden System
28 KREISELBEWEGUNG
Aus der Energieerhaltung folgt:
Erot
Skalarprodukt: Projektion von
→momentane
Drehachse
ω
~
ω
~
auf
~,
L
=
const.
=
1
~
ω
~ ·L
2
wobei Richtung von
läuft auf einem Kegel um
~
L
konstant ist. (bild5)
~.
L
(bild6, Rastpolkegel & nutationskegel&gangpolkegel)
Gangpolkegel, rollt auf Rastpolkegel ab. Berührungslinie ist
Figurenachse um den festen Drehimpulsvektor
~
L
heiÿt
ω
~ -Achse.
Nutation.
Rotation der
28.3 Kreiselbewegung im rotierenden Bezugsystem
Im Inertialsystem war die Bewegunsgleichung
system?
~
dL
dt
~ . Bewegungsgleichung im Kreisel=M
Bild 7,drehende bezugsysteme .
Transformation
d~r
d~r0
=
+ω
~ × ~r0
dt
dt
analog:
~0
dL
~
+ω
~ ×L
dt
d 0 Θω
~ +ω
~ × Θ0 ω
~
=
dt =
~
dL
dt
=
~
M
=
Ma
=
Θa ω̇a + (Θc − Θb ) ωb ωc
Mb
=
Θb ω̇b + (Θa − Θc ) ωa ωc
Mc
=
Θc ω̇c + (Θb − Θa ) ωa ωb
In Komponenten
73
28.4 Kreisel mit äuÿerem Drehmoment, Präzession
28 KREISELBEWEGUNG
Eulersche Kreiselgleichung. Drehmomentfreier, symmetrischer Kreisel:
~
M
=
Θa
=
ω̇a
ω̇b
ω̇c
mit Abkürzung
Ω≡
Θc
Θa
→ ωc
− 1 ωc
0
Θ
b
Θc
ωb ωc
=
1−
Θa
Θc
=
− 1 ωc ωa
Θa
= 0
=
const.!
ω̇a
=
−Ωωb
ω̇b
=
Ωωa
ω̇c
=
0
Dies sind die Bewegungsgleichungen. Ansatz mit
ωa
= A cos Ωt
ωb
= A sin Ωt
ωc
= c
Einsetzen zeigt dass dies eine Lösung ist. Im rotierenden Bewegungssystem, vom
Kreisel aus gesehen, dreht sich
const., müssen
In
O0 :
ω
~
und
~c
ω
~
und
~
L
um die
c-Achse,
die Figurenachse. Da
relativ zueinander fest stehen.
Bild 8
Im Inertialsystem ist
Nutation
~ = const. ω
L
~
und
~c
drehen sich gemeinsam um
Bild 9
28.4 Kreisel mit äuÿerem Drehmoment, Präzession
~ 6= 0 → L
~
M
nicht konstant. Insbesondere durch Gravitation.
Beispiel Rad
Bild 10
Drehmoment durch einseitige Aufhängung
~
M
~
M
~ L
= ~r × F~G
~
⊥ L
=
74
const.
~
L
ωc =
28.5 Die kleinste Einheit des Drehimpulses in der Natur28 KREISELBEWEGUNG
aber Richtung von
~
L
ändert sich.
Bild 10
dL
L
dL 1
·
dt L
=
dϕ
=
dϕ
= ωp
dt
Präzessionsfrequenz
ωp =
M
M
=
L
Θω
~ =ω
~
M
~p × L
28.4.1 Präzession der Erde
Bild 12,Sonne,Erde,mond und sterne
Massewulst infolge von
ωE .
Wegen F1 > F2
y Präzession mit
resultiert ein Drehmoment, das die
ω
2π ≈ 26000 a → verschiebt den Frühlingspunkt schon verschoben: Sternbilder der Tierkreiszeichen seit der Benennung vor
2000
1
≈ 2000 a um 26000
≈ 13
≈ 1 Monat. Problem für Astrologen?
Erdoberäche ausrichten will.
28.5 Die kleinste Einheit des Drehimpulses in der Natur
Drehimpuls treten nur in halb- oder ganzahligen Vielfachen der Einheit
1, 054 · 10
−34
2
kg ms . Drehimpulsquantisierung,
Beispiel Molekülrotation (ganzzahlige
h = Planck'sche
~ =
h
2π
=
Konstante.
~).
28.5.1 Bahnimpuls des Elektrons im Atom.
Ganzzahlige Vielfache von
~.
28.5.2 Eigenimpuls von Elementarteilchen, Spin
Proton, Elektron, Neutron, . . .
→
halbzahlig:
75
|sz | = 21 ~.
Einstellungen:
1
2 ~ oder
− 12 ~
29 GENERELLE EIGENSCHAFTEN
28.5.3 Drehimpulsänderung
sind nur in Einheiten von
~ möglich! Durch Einstrahlung von von elektromagnetischen
1~.
Wellen (Licht, Mikrowelle), das Strahlungselemtarteilchen Proton hat Drehimpuls
In abgeschlossenen Systemen ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröÿe.
In der Mikrowelt z.B.
β -Zerfall
des Neutrons.
n
→ p + e− + Neutrino
Drehimpuls
1
2
1 1 1
+ −
2 2 2
Teil V
Mechanik deformierbarer
Körper
29 Generelle Eigenschaften
29.1 Festkörper
makroskopisch
Volumen und Form eines Festkörpers bestimmt. Volumen- und forme-
lastisch bei kleinen Kräften.
mikroskopisch
Atom, Ionen sind dicht gepackt und meist regelmäÿig angeordnet. d.h.
kristaline Festkörper. z.B. Metalle, Ionenkristalle oder Quarz (SiO2 ).
Unregelmäÿige Anordnung:
Amorphe Festkörper z.B. Gläser (SiO2 ) auch metallis-
che (z.B. Zr59 Ti3 Cu20 Ni8 Al10 oder Pd30 Zr70 )
29.2 Flüssigkeiten
makroskopisch
bestimmtes Volumen, Form unbestimmt. Volumenelastisch, aber kann
keine Scherkräfte aufnehmen.
mikroskopisch
Atome, Moleküle sind unregelmäÿig angeordnet, häuge Platzwech-
sel, fast so dicht wie Festkörper.
76
29.3 Gase
29 GENERELLE EIGENSCHAFTEN
29.3 Gase
makroskopisch
mikroskopisch
kein Eigenvolumen, keine Form, stark kompressibel.
Atome, Moleküle haben sehr groÿe Abstände und hohe Geschwindigkeit-
en
29.4 Kristaline Festkörper
sind aus geometrisch regelmetrisch angeordneten Bausteinen aufgebaut. Sogenannte
Elementarzellen Bild 13, Elementarzelle
3-diemensional regelmäÿig fortgesetzt.
je nach Symetrie unterscheidet man 7 Kristallsysteme (s. Übung)
= b = c, α = β = γ = 90◦
•
kubisch (a
•
tetragonal
•
orthorhombisch
•
hexagonal (a
•
monoklin
•
trigonal (rhomboedisch)
•
triklin
)
= b, α = β = 90◦ , γ = 60◦ )
Elementarzellen enthalten
wenige
(1. . .
einige
(5. . . 20
viele
(1000. . .
Atome. Anordnung kann weitere Symetrieelemente enthalten (Drehungen, Spiegelungen. . . ). Insgesamt 230 verschiedene Kombinationen - die 230 Raumgruppen
Eigenschaften
(Elektrisch, dielektrisch, magnetisch, optisch, thermische und elek-
trische Leitfähigkeit)
einkristalliner
Festkörpersind anisotrop.
meistens sind Festkörper aus vielen kleinen Kristalliten aufgebaut mit unterscheidlichen Orientierungen.
Makroskopische Eigenschaften von
per sind
isotrop.
polykristallinen Festkörper
77
oder
amorphen Festkör-
29.5 Spannung und Drehnung
29 GENERELLE EIGENSCHAFTEN
29.5 Spannung und Drehnung
Kurzer Ausug in die Kontinuumsmechanik.
29.5.1 Spannung
Spannung =
Kraft
, mit Beachtung der Richtungen
Fläche
Bild 14: Oberäche mit Normalenvektor, und Kraftvektor und die Aufteilung des
Kraftvektors auf Komponenten des Normalenvektors.
Normalkomponenten
dFn
ergibt Normalenspannung
σ=
Tangentialkomponente
dFz
dFn
dA
ergibt Tangentialspannung/Schubspannung
τ=
3-diemensionaler Festkörper
dFt
dA
Würfelförmiges Körperelement
Bild 15: Körperelement mit 3 Normalenspannungen
Drei Normalenspannungen
erst
F ! F ).
σx , σy , σz
F alleine bringt nichts,
τxy , τxz , τyx , τyz , τzx , τzy auch gegenüberliege-
auch gegeüberliegenden
Sechs Schubspannungen
nend.
Erster Index: Schnittebene
Zweiter Index: Wirkunsrichtung
damit der Würfel nicht rotiert, muss das resultierende Drehmoment verschieden sein.
Bild 16: Drehmomente
→
τxy
=
τyx
τxz
=
τzx
τyz
=
τzy
Spannungszustand als Matrixgeschrieben

σxx
S = σij =  σyx
=
σzx
σxy
σyy
σzy

σxz
σyz 
σzz
Dies ist der Spannungstensor (Symetrisch) (eng. stress-tensor). Aus Schreibsymetrie:
τxy
→
σxy
usw
σx
→
σxx
usw
78
29.6 Spannung und Deformation
Drehung
29 GENERELLE EIGENSCHAFTEN
Würfelförmiges Körperelement.
Scherung
εxx
=
εzz
=
Bild 17: Whatever?
δx
x
δz
z
Bild 18: Scherung z.B. Verschiebung der z-ortientierten Fläche um
εzy =
δy
δy
= tan α ≈ α
z
reltative Gröÿe, dimensionslos.
Deformationszustand als Matrix geschrieben:

εkl
εxx
=  εyx
εzx
εxy
εyy
εzy

εxz
εyz 
εzz
Verzerrungs- oder Deformationstensor (Symmetrisch
⇔ ohne starre Rotation oder Ver-
schiebung) (eng. strain-tensor)
29.6 Verknüpfung von Spannung und Deformation
im lineraren Bereich, d.h. interatomares Potential ist harmonisch.
Bild 18:
Epot
29.6.1 Hooksches Gesetz
C
Spannung
=
σij
=
Elastizitätsmodulu
(Stetigkeit)
ist Tensor 4. Stufe,
· Deformation
Cijkl · εkl
81 = 9 × 9 Elemente
rechte Seite Einsteinsche Summenkonvention: Über doppelt auftretende Indizes wird
summiert. z.B.
σij
und
• →
εkl
σ12 =
P3
k=1
P3
l=1
C12kl εkl .
sind symmetrische Tensoren (2. Stufe)
jeweils 6 verschiedene Elemente
• →Cijkl
lässt sich als
6×6
Matrix darstellen, die wiederum symmetrisch ist
(Voigt'sche Notation)
• →Cijkl
kann 21 verschiedene Modulu haben. Nötig für trikline Festkörper.
79
29.6 Spannung und Deformation
29 GENERELLE EIGENSCHAFTEN
Reduktion durch Symmetrie auf
•
3 verschiedene Elastizitätsmodulu bei kubischen Kristallen.
•
2 verschiedene bei
isotropen
Festkörpern
In der Praxis (Werkstokunde) unterscheidet Verformungsarten: Dehnung, Querdehnung,
allseitige Komposition, Scherung. Werkstoeigenschaften sind im Allgemeinen isotrop,
d.h. 2 unabhängige elastische Modulu.
Dehnung
Bild 19:Zylinder
σ
=
=
σ
E
=
Fn
A
δl
l
E
ist der Elastizitätsmodul oder E-Modul (eng. Young's modulu)
Querdehnung
Bild 20: Zylinder der 2.
q =
δd
d
relative Dickenänderung, ist proportional zur Dehnung
q = −µ
µ
ist Querdehnungs- oder Poisson-Zahl.
µ
ist positv
< 0.5.
Im E-Modul ist
Querdehnung enthalten.
Betrachte
Volumenänderung
δV
eines Stabs mit quadratischem Querschnitt
und Länge l.
Bild 21: Stab
δV
2
(d − δd) · (l + δl) − d2 l
2
=
d2 − 2dδd + (δd) · (l + δl) − d2 l
=
≈D
= d2 δl − 2dlδd − 2dδdδl
≈0
Relative Volumenänderung
δV
V
=
=
=
damit
δV
V
≥0
bei Zugspannung, muss
δV
δl
δd
=
−2
2
d l l
d
δl
δd l
1−2
l
d δl
(2 − 2µ)
µ ≤ 0, 5
80
(d × d)
29.6 Spannung und Deformation
Allseitige Kompression
29 GENERELLE EIGENSCHAFTEN
(auch für Flüssigkeiten und Gase)
Bild 22: Würfel mit Kraft auf alle Seiten
Isotope Druckbeanspruchung
σ = −δp
aus
δV
= 3 (1 − 2µ)
V
folgt mit
σ
E
=
= − δp
E
δV
V
3 (1 − 2µ)
σp
1
= − δp
K
= −κδp
= −
δp = −K
δV
V
Dies ist das Hooksche Gesetz
K
Kompressionsmodul, beschreibt Druckänderung
Volumenänderung
κ
=
− δV
V
δp,
die für eine relative
nötig ist.
1
K
Scherung
Schubspannung
Scherwinkel
τ=
Ft
A
α
Hookes Gesetz
τ = Gα
Es gilt
G=
mit
0 < µ < 0, 5
E
2 (1 + µ)
folgt
E
E
<G<
3
2
Die elastischen Modulu (E, G, . . . ) und Festigkeitskennzahlen (σB ,
B ,. . . )
sind ma-
terialspezisch und hängen im Allgemeinen von der Vorbehandlung des Werkstos
ab.
81
29.7 Plastische Verformung
29 GENERELLE EIGENSCHAFTEN
Beispiele
µ
E
E,
K
G
B 2
σB 3
Einheiten
GN/m
GN/m^2
GN/m^2
Al (rein)
72
0,34
75
27
0,5
0.013
Messing
100
0,38
125
36
0,05
0,55
V2A Stahl
195
0,28
170
80
0,45
0,7
µ,
GN/m^2
K, G sind angegeben bei Gültigkeit des Hookschen Gesetzes
29.7 Plastische Verformung
Spannungs-Dehnungs-Diagramm
dσ
A Proportionalitätsgrenze, bis dahin gilt Hooksches Gesetz, Steigung d
=E
A-B nichtlinearer, elastischer Bereich
B Elastizitätsgrenze
B-C plastischer Bereich, nach Entlastung bleibt Dehnung nährungsweise erhalten.
C Steckgrenze. Maximal erreichbare Spannung, heiÿt Zugfestigkeit
σG (danach geht's
bergab)
D Bruch, Bruchdehnung
B
plastische Verformung erfolgt ohne Volumenänderung. Mechanismus: Wandern bestimmter Gitterdefekte, sog. Versetzungen.
29.7.1 Relaxation
anelastischer Eekt durch Nachwirkung innerer Freiheitsgrade. z.B. Nylonfaden.
Diagramme
Relaxation lässt sich am einfachten Fall durch Anteil
Zeitkonstanten
Ursache
rel ∝ e−t/τ
beschreiben mit
τ
Umorientierung von Atomen, Molekülen.
hängig. z.B. thermisch aktivierter Prozess
τ = τ0 eEA /(kb T )
EA
Aktivierungsenergie
kb T
thermische Energie
kb
Bolzmann-Konstante
82
τ
ist i.A. stark temperaturab-
29.8 Elastische Energie
30 MECHANISCHE HYSTERESE
29.8 Elastische Energie
z.B. bei Drehung
Arbeit ist
dW
= F · dl
= σAldε
ˆ
allgemein
W =V
→gespeicherte
dεσ
elastische Energie pro Volumen im Hookschen Bereich gilt
Epot
1
= Eε2
V
2
oder bei Scherung
1
Epot
= Gα2
V
2
30 Mechanische Hysterese
bei platische Verformung oder Relaxation
Doller Graph von Hysterese
˛
Energieverlust pro Zyklus
W =
σdε
i.A. frequenzabhängig.
30.1 Spezielle Geometrien
Verbiegung eines Stabes mit der Länge
h,
Dicke
d,
Breite
b
Doller Stab mit Zugspannung
Oberseite Zugspannung
Unterseite Druckspannung
E-Modul ist maÿgeblich (ohne Rechnung):
F =
E d3 b
· 3
|4 {zL }
=Federk. d. Geometrie
Dies ist auch das Hooksches Gesetz.
83
· xL
σ = Eε
30.2 Torsion eines runden Stabes 31 RUHENDE FLÜSSIGKEITEN UND GASE
30.2 Torsion eines runden Stabes
Bild: Doller Stab wird gedreht
Schubspannung erzeugende Deformation. Drehmoment (Siehe Übung)
M=
R4
π
2G l
= D∗
π R4
G ϕ
2
l
Winkelrichtgröÿe
D ∝ G · R4
⇒Torsion
abhängig vom Radius.
Experiment
Kupferstäbchen mit Radius
R1
R2
4
=
3 mm
und
4 mm
4
4
≈ 3, 2
3
31 Ruhende Flüssigkeiten und Gase
Hydrostatik und Aerostatik. Flüssigkeiten und Gase besitzen keine Schersteigkeit (bei
ausreichend langsamen Vorgängen), nur nach Normalspannung, genannt Druck
p
=
[p]
=
p
Fn
A
N
= P a (Pascal)
m2
Kraft steht senkrecht auf allen Oberäche (z.B. auf Gefäÿwänden). Entsprechend gibt
es nur noch eine elastische Konstante: Kompressionsmodul
Näherungsweise: relative Volumenänderung
δV
V proportional zur Druckänderung
δV
1
= −κδp = δp
V
K
κ
Kompressivität
K
Kompressionsmodul
K
Zahlenbeispiel
Cu
140
Hg
27
Wasser
2
Ethanol
0,9
84
K
δp:
31.1 Hydraulik
Fluessigkeiten
31 RUHENDE FLÜSSIGKEITEN UND GASE
lassen sich bei gleichem Druck um Faktor 10 bis 100 stärker zusam-
mendrücken.
Gase
k
ist typischerweise
103
bis
10x
kleiner als bei Flüssigkeiten, hängt stark von
der Temperatur und Druck ab.
31.1 Hydraulik
Wegen fehlender Schersteigkeit und der geringen Kompressivität werden Flüssigkeiten
zur räumlichen Kraftübertragung verwenden, z.B. Hebebühne.
Elitäre Hebebühne
p=
Um eine Last
F2
eine Höhe
∆x2
F1
F2
=
A1
A2
anzuheben, ist
W = F2 ∆x2 = F1 ∆x1
nötig, daher
∆x1
A2
=
∆x2
A1
die geringere Kraft
F1
muss über einen längeren Weg ausgeübt werden, so dass das
verschobene Flüssigkeitsvolumen
∆x1 A1 = ∆x2 A2
31.2 Oberäche einer roterenden Flüssigkeit
ist ein Rotationsparabolid. Wegen fehlender Schersteigkeit steht die Oberäche einer
Flüssigkeit immer senkrecht zu der an den Molekülen angreifenden Kraft. (Stehende
Flüssigkeit hat eine horizontale Oberäche, senkrecht zur Graviation.)
Dekadente Flüssigkeit in rotierendem Topf mit terroristisch falschen Angaben
Zentrifugalkraft und die Gewichtskraft wirken auf Teilchen der masse an der Oberäche. Gleichgewicht ist dann erreicht, wenn die Oberäche senkrecht zur resultierenden Kräft steht.
Tangente an der Oberäche:
tan α
=
⇒y
=
dx
mω 2 x
=
dy
mg
2
1ω 2
x
2 g
85
31.3 Schweredruck in Flüssigkeiten
32 SCHWEREDRUCK IN GASEN
31.3 Schweredruck in Flüssigkeiten
Druck aufgrund des Eigengewichts
Flüssigkeitssäule
Flüssigkeitssäule der Höhe
h,
Querschnittsäche
A
und der Dichte
ρ=
m
V ; Kompress-
ibilität wird vernachlässigt.
Kraft auf Boden
F
=
pA = p0 A + mg
=
p0 A + ρAhg
⇒p
=
p0 + ρgh
Linear mit Höhe abhängig.
Anwendung
•
oenes Flüssigkeitsmanometer, Druckdierenz
•
geschlossenes Flüssigkeitsbarometer, zur Messung des Absolutdruckes z.B. der
Atmosphäre
p − p0 = ρgh
mit
ρ
Finish
32 Schweredruck in Gasen
Kompressibilität ist groÿ, darf nicht vernachlässigt werden. Für eine feste Gasmenge
gilt
V ∝
1
p
oder
V · p = const.
Dies ist das Boyle-Mariottsches Gesetz.
Gültig bei konstanter Temperatur und exakt nur für ideales Gas. Aus
V
⇒
=
const.
p
dV
dp
=
−
dV
V
=
1
− dp
p
κ =
const.
p2
1
1
=
K
κ
86
=−
V
p
32 SCHWEREDRUCK IN GASEN
aus
p
ρ
V ∝
1
p mit
= const. =
ρ=
m
V
ρ∝p
p0
ρ0 Referenzausgangswerte
Unter dem Einuss der Schwerkraft ist die Dichte proportional zum Druck durch die
darüber stehende Luftsäule und nimmt daher mit zunehmender Höhe ab.
Kongret grasses Bild von Luftsäule
dp = −ρ · g · dh
mit
ρ=
⇒ dp = − ρp00 gp dh ⇒
dp
dp
ρ0
p0
·p
= − ρp00 gp
Lösung dieser Dierentialgleichung ist eine
e-Funktion.
p0 · e
Barometrische Höhenformel
ρ g
− p0 h
0
p
=
ρ
= ρ0 · e −
ρ0 g
p0 h
kg
288, 15 K (entspricht 15 ◦ C): ρ0 = 1, 293 m
2
p0
h0 = ρ0 g = 7, 962 km.
Für Normatmosphäre bei
erhält man als Höhe
und
p0 = 10, 325 Pa
Barometrische Höhenformel mit Temperaturkorrektur:
p = 1, 013 · 105 Pa 1 −
5,255
6, 5
·h
288 km
Kleiner aber feiner Zusatz: Boltzmann-Faktor nochmal zum Exponenten
ρ0 g
p0
·h
mit
dem idealen Gasgesetz: (Physik III)
p · V = m · RT
n
Stomenge
R
universelle Gaskonstante
für
J
R = 8, 31 mol
K
n = 1 mol
pVmol
mmol
p
ρ
mit
NA = 6, 022 · 1023
=
RT
=
RT
(Avogatro-Konstante), erhält man die Bolzmann-Konstante
kB
pmmolekül
ρ
=
R
J
= 1, 38 · 10−23
NA
K
= kB T
87
32.1 Auftrieb
ρ0
p0
=
ρ
p
=
mM olekül
kB T
33 GRENZFLÄCHENPHÄNOMENE
⇒ρ = ρ0 e
−
mmolekül ·gh
kB T
mit
mmolekül ·gh
kB T
=
∆E
kB T (Boltzmann-Faktor)
Der Boltzmann-Faktor gibt den Bruchteil von Molekülen an, die im Gleichgewicht mit
der thermischen Energie
kB T
einen energetisch höheren Zustand einnehmen.
32.1 Auftrieb
≡ FA
auf einen in Flüssigkeiten oder Gass eingetauchten Körper (VK ,ρK )
FA = F2 − F1 = p2 A − p1 A
p0
fällt raus
FA = ρf l · g(h2 − h1 ) · A
{z
}
|
Vk
Auftriebskraft=Gewichtskraft der verträngten Flüssigkeit.
⇒ Archimedisches
Prinzip
Gesamtkraft auf den Körper
FG − FA = g (ρK − ρf l ) VK
FG > FA sinkt
g · ρf l Vverträngt
bei
der Körper. Bei
FG < F A
Schweben: Vorsicht, wenn das Fluid Gas ist:
ρf l
steigt der Körper bis
g · ρk VK =
hängt von der Höhe ab!
33 Grenzächenphänomene
33.1 Oberächenspannung
Grenzäche Flüssigkeit/Gas
Molekülen an der der Oberäche haben wenige Nachbarn, sind schwächer gebunden
und haben höhere potentielle Energie.
⇒Arbeit
erforderlich um die Oberäche zu vergröÿern.
⇒Flüssigkeitsoberächen
sind Minimalächen, z.B. ist eine Kugelform bei gegebenem
Volumen energetisch am günstigen.
Die Zahl der Oberächenmoleküle wächst linear mit der Oberäche:
dW ∝ dA
88
33.1 Oberächenspannung
dA
33 GRENZFLÄCHENPHÄNOMENE
ist Oberächenvergröÿerung.
Oberächenspannung
z.B. Wasser
N
σ ≈ 0, 07 m
,
σ
=
[σ]
=
Quecksilber
dW
dA
N
m
N
σ ≈ 0, 5 m
.
Hängt stark von Reinheit und Tem-
peratur ab.
σ
ist unabhängig von der Fläche
A⇒
Unterschied zur elasatischen Membran.
dW
=
σ · dA
=
σ
· 2b} · dx
| {z
F
Messmethode für
Beispiel
σ,
Rückstellkraft
F
ist unabhängig von
A.
Oberächedruck einer Flüssigkeitskugel oder Gaskugel in Flüssigkeit. Um
Kugel zu vergröÿern, ist Volumenarbeit erforderlich
dWv
= pdV
4 2
=
πr
3
4
= p πr2 dr
3
V
dW
dient zur Vergröÿerung der Oberäche
dWOF
=
σdA
A = 4πr2
dA
= 8πr
dr
Oberächendruck
Seifenblase
∝
dWOF
=
σ8πrdr
p
=
2σ
r
1
r , durch Oberächenspannung verursacht.
2 Oberächen:
p=
4σ
r
89
34 STRÖMENDE FLÜSSIGKEITEN UND GASE
33.1.1 Benetzung und Kapillarität
Flüssigkeiten im Kontakt mit fester Oberäche.
Benetzung, falls
Kohäsionskräfte
der Flüssigkeitsmoleküle untereinander
kleiner
sind
als die Adhäsionskräfte der Moleküle an den Festkörper.
Keine Benetzung, falls Kohäsionskräfte > Adhäsionskräfte
Benetzung:
3 Grenzächenspannungen im Gleichgewicht, damit Randlinie ruht
Denition 31.
Kapillaritätsgesetz
σ13 − σ23 = σ12 cos α
σ13 − σ23
Haftspannung
Unvollständige Benetzung
Vollständige Benetzung
σ
Randwinkel
0<α<
π
2
σ13 − σ23 > σ12 , α → 0
33.1.2 Kapillarität
σ
bewirkt
Fσ ,
die eine Flüssigkeitssäule mit Gewicht
Fσ
⇔ hSteighöhe
FG
anheben kann.
=
σl = 2πrσ = σ12 cos α · 2πr
=
FG = mf l g = V ρg = πr2 hρg
=
2σ12 cos α
σgr
33.1.3 Aktuelle Forschung, Anwendungen
Bei Rauigkeiten der festen Oberäche im sub-µm-Bereich erfolgt keine Bentztung, auch
bei üssig/fest Materialkombinationen, die üblicherweise benetzen.
Lotus-Eekt
34 Strömende Flüssigkeiten und Gase
Hydrodynamik, inkompressible Flüssigkeiten und Gase bei
Aerostatik, kompressible Strömungen
90
v vSchall
34.1 Strömung idealer Flüssigkeiten
34 STRÖMENDE FLÜSSIGKEITEN UND GASE
34.1 Strömung idealer Flüssigkeiten
34.1.1 Stationäre Strömung
Einfachster Fall: Stationäre Strömung. Geschwindigkeitsfeld ist zwar ortsabhängig,
aber nicht zeitabhängig. Inkompressibel und reibungsfrei.
Rohrverängung
die Masse
Denition 32.
∆t ieÿt
ρ1 = ρ2 = ρ
Zum Zeitintervall
ρ2 A2 v2 ∆t
aus. Mit
links die Masse
ρ1 A1 v1 ∆t
ein und rechts
Kontinuitätsgleichung
A1 v 1 = A2 v 2
(A↓heiÿt v%, E
%)
Beim Durchschieben von
∆V = A1 ∆x1 = A2 ∆x2
wird links die eine Arbeit
∆W1 = F1 ∆x1 = p1 A1 ∆x1 = A2 ∆x2
verrichtet. Damit wird zum Teil der Gegendruck
p2
überwunden.
∆W2 = F2 ∆x2 = p2 A2 ∆x2 = A1 ∆x1
Dierenz
∆W1 − ∆W2
bewirkt Zuwachs an kinetischer Energie.
(p1 − p2 ) ∆V
=
1
p1 + ρv12
2
=
1
ρ∆V v22 − v12 (Energiesatz)
2
1
p2 + ρv22 (Energiedichten)
2
oder
Denition 33.
Bernoulli'sche Gleichung
1
p + ρv 2 = p0 = const.
2
Summe aus statischem Druck
den gleichen Wert
p0 ,
p und dynamischen Druck (Standdruck) 21 ρv 2 hat überall
dem Druck, der in der ruhenden Flüssigkeit herrschen würde.
Falls die Röhre nicht horizontal liegt, muss noch potentielle Energiedichte berücksichtigt werden
1
p + ρv 2 + ρgh = pges = const.
2
91
35 OSZILLATOR
35 Oszillator
35.1 Erzwungene Schwingung
inhomogene Dierentialgleichung, linear
ϕ̈ + 2γ ϕ̇ + ω02 ϕ = k · eiωE t
ωE
Errergerfrequenz
Ansatz
ϕ = c · eiωE t . c
komplex
c = a + ib.
Amplitude
|c| =
√
a2 + b2 .
Phasenlage gegenüber der Anregung
tan ϑ
→0
ϕ = ceiωE t
Im c
Re c
=
für ω
→0
ist partikulare Lösung
Allgemeine Lösung
ϕallg
=
ϕhom + ϕpart
ϕhom
=
|c| · e−γt eiϕ0 eiωt
35.2 Periodische aber nichtharmonische Schwingung
35.2.1 Fourieranalyse
Grundkreisfrequenz
ω = 2π T1
∞
y (t) =
a0 X
+
(ak cos (kωt) + bk sin (kωt))
2
k=1
k=1
Grundschwingung (1. Harmonische)
k=2
erste Oberschwingung (2. Harmonische)
k=3
zweite Oberschwingung (3. Harmonische)
ak , bk
= Fourierkoezienten
92
35.3 Gekoppelte Oszillator, Eigenschwingungen
36 NICHTLINEARE SYSTEME UND CHAOS
z.B. Rechteckfunktion
y (t) ∝ sin ωt +
1
1
sin 3ωt + sin ωt
3
5
35.3 Gekoppelte Oszillator, Eigenschwingungen
z.b. zwei gekoppelte Pendel
d2 x1
+ ω02 x1 +
dt2
d2 x2
+ ω02 x2 +
dt2
D
(x1 − x2 )
m
D
(x2 − x1 )
m
=
0
=
0
Suche Eigenmoden (stationäre Schwingungsformen) und Eigenfrequenzen. Hier:
Gleichphasig
Gegenphasige
Allgemein
x1 (t) = x2 (t) → ωa = ω0
D
x1 (t) = −x2 (t) → ωb2 = ω02 + 2 m
Überlagerung der beiden Eigenmoden resultiert in Schwebung.
35.3.1 3 gekoppelte Oszillator (3-dimensional)
3 longitudinale Moden. 2x3 transversale Moden.
35.3.2 N gekoppelte Oszillatoren
3N
Eigenschwingungen. Wird für
36 Nichtlineare Systeme und Chaos
36.1 Knickpendel
zwei Stäbe, jede Länge
Auslenkungen
α
l.
Gekoppelte Bewegungsgleichung ohne Herleitung für kleine
π
2
9
α̈ + ω02 α +
8
9 2
β̈ + ω0 β +
8
93
3
β̈
8
3
α̈
8
=
0
=
0
37 KÖRPER MIT GESCHWINDIGKEIT NAHE DER
LICHTGESCHWINDIGKEIT
Groÿes Auslenkungen ergeben hochgradig nichtlineare gekoppelte Dierentialgleichung.
Grundsätzlich berechenbar, aber winzige Unterschiede in den Anfangsbedingung bewirken nach kurzer Zeit groÿe Unterscheide im Bewegungsablauf. Deterministisches
Chaos. Übergang stationäre Lösungen
↔chaotische
Lösungen, wird bestimmt durch
Lyaponov-Exponenten charakterisierbar.
(Nach HJ Leisi, klassische Physik I)
Teil VI
Relativität
E = hν
Für Photonen (Lichtquanten) gilt
und
p =
hν
c
=
h
λ mit
h
= Planksche
Wirkungsquantum.
De Broglie's Postulat (1913):
h
λ
p=
soll auch für Materieteilchen gelten!
λ=
h
mv
Bestätigung 1927 durch Davisson und Germer. Beugung von Elektronen an Kristalloberächen.
Heisenbergebergsche Unschärferelation
∆x · ∆p > h
Ort und Impuls (Geschwindigkeit) können nicht gleichzeitig genau bestimmt werden.
37 Körper mit Geschwindigkeit nahe der
Lichtgeschwindigkeit
falls alle Geschwindigkeiten klein sind, sind beim Wechsel von einem Inertialsystem in
ein anderes die Galileitransformation.
x0K
= xK − vt
0
yK
= yK
0
zK
0
= zK
t
= t
94
37 KÖRPER MIT GESCHWINDIGKEIT NAHE DER
LICHTGESCHWINDIGKEIT
Insbesondere ist die Zeit absolut.
Einstein 1905 Reltativitätsprinzip
Alle physikalischen Gesetze sind gleich in Bezugsystemen, die sich mit konstanter
Geschwindigkeit relativ zueinender bewegen.
Postulat 2
Die Lichtgeschwindigkeit (c) im Vakuum ist unabhängig von der Geschwindigkeit der
Lichtquelle. (Michelson-Moreley-Experiment)
Die Lorentz-Transformation
x0
y
0
z0
= γ (x − vt)
= y
t
= z
vx = γ t− 2
c
γ
=
0
1
q
1−
v2
c2
1. Maxwell-Gleichungen sind invariant
2. Raum und Zeit sind untereinander verknüpft
3. Maximale Geschwindigkeit der Signalübertragung ist
Zeitdilatation
∆
∆t = γ∆t0
Eigenzeit
Längenkontraktion
l0
c
l=
l0
γ
Eigenlänge
Geschwindigkeitsaddition
u=
u0 +v
0
1+ uc0v
Dopplereekt
longitudinal
ν=ν
q
c−v
c+v
relativer Abstand wird gröÿer.
Symmetrisch bezüglich Quelle und Empfänger im Gegensatz zum Dopplereekt bei
Schallwellen.
95
38 MASSE UND ENERGIE
ν0 = ν
transversal
p
1 − β2
Zeitdilatation
38 Masse und Energie
38.1 Ruhemasse
m = √m0
1−β 2
= γm0 = Ruhemasse
relativistischer Impuls
p = mν = γm0 v
und
F =
dp
dt
38.2 Was heiÿt E = mc2
multipliziere
m
mit
c2
mc2
=
m c2
q 0
2
1 − vc2
m0 c2
subtrahiere

mc2 − m0 c2
für
= m0 c2  q
v c gilt
1
q
=
2
1 − vc2
→ mc2 − m0 c2
=
1+

1
1−
v2
c2
− 1
1 v2
+ ...
2 c2
m0 v 2
= Ekin (Newton)
2
E = mc2 ist die
m
Gesamtenergie. E0 = m0 c ist die Ruheenergie (innere Energie). Aus m = q 0 2 und
v
Einstein:
auch im relativistischen Fall ist
Ekin = mc2 − m0 c2
und
2
1− c2
p = mv
folgt damit
m2 c4
E2
= p2 c2 + m20 c4
= p2 c2 + E02
Dies ist der relativistische Energiesatz
96
38.2 Was heiÿt E = mc2
Beispiel
38 MASSE UND ENERGIE
Gesamtenergie sei doppelt so groÿ wie Ruheenergie oder kinetische Energie
sei gleich der Ruheenergie.
E
E0
=
→v
=
m
1
=2=γ= q
m0
1−
√
c
3 ≈ 0, 87c
2
97
v2
c2