Uebungsblatt 8

MAT 183: Stochastik für die Naturwissenschaften
FS 2008
Übungsblatt 8
Poisson-Approximation, Zentraler Grenzwertsatz, Gesetz der
grossen Zahlen
Abgabetermin: Mittwoch, 23. April 08, bzw. Freitag, 25. April 08, bei der Semesterassistentin oder beim Semesterassistenten in der jeweiligen Übungsstunde.
Die Poisson-Verteilung
Aufgabe 86 (3 Punkte):
Auf der Erde gibt es pro Jahr im Mittel ein Erdbeben mit einer Stärke 8 oder mehr auf
der Richterskala.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt es im nächsten Jahr mehr als zwei solche Erdbeben?
b) Wieviele Jahre im Zeitraum 2006 bis 2105 mit höchstens einem solch starken Erdbeben
können wir erwarten?
Hinweis: Die Anzahl Erdbeben pro Jahr soll Poisson-verteilt sein.
Aufgabe 87 (4 Punkte):
Konservendosen mit (angeblich) entsteinten Kirschen enthalten doch immer wieder einmal
eine Kirsche mit einem Stein. Wir nehmen an, die Zufallsgrösse
X =
Anzahl der Kirschen mit Stein pro Dose“
”
folge einer Poisson-Verteilung. Dabei hat es in den Dosen im Mittel 0.7 Kirschensteine.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat es in einer solchen Dose zwei oder mehr Kirschensteine?
b) Ich kaufe acht Dosen aufs Mal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält mindestens die
Hälfte der Dosen keinen Stein?
Der Fabrikant hat eine Produktionsanlage in Betrieb genommen, die besser arbeitet: Im
Mittel hat es nun nur noch 0.3 Steine pro Dose. Die neue Anlage liefert 75%, die alte
immer noch 25% der Produktion. Die beiden Dosensorten werden zufällig gemischt und
sind beim Kauf nicht zu unterscheiden.
c) Ich kaufe nun zufällig eine Dose. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält sie mindestens
einen Kirschenstein?
d) Ich habe eine Dose gekauft, die keinen Stein enthielt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
wurde sie in der alten Anlage produziert?
Aufgabe 88 (3 Punkte):
Der Dorfplatz ist mit 400 gleich grossen Steinplatten gepflastert. Nach der Fasnacht stellt
ein Kind fest, dass genau 10 Platten vollständig frei von Konfetti sind. Schätzen Sie die
Anzahl der Konfetti auf dem Dorfplatz.
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Aufgabe 89 (◦ ):
Nur wenige StudentInnen getrauen sich zu Prof. Ch. Xavier in die wöchentliche Sprechstunde. Wir nehmen nun an, die Zufallsgrösse
X =
Anzahl Studis, die in die wöchentliche Sprechstunde kommen“
”
sei Poisson-verteilt mit λ = 3.
a) Welches ist in diesem Zusammenhang die anschauliche Bedeutung der Zahl 3?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt niemand in die Sprechstunde?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommen fünf oder mehr Personen in die Sprechstunde?
d) Prof. Xavier hat beschlossen, pro Sprechstunde höchstens drei Personen zu betreuen.
Kommen mehr als drei, so schickt die Assistentin die restlichen weg. Die Zufallsgrösse Y
bezeichnet nun die Anzahl der unter diesen Umständen pro Sprechstunde zugelassenen
Studis. Wie gross ist der Erwartungswert von Y ?
Aufgabe 90 (4 Punkte):
Wir setzen voraus, dass die Anzahl G der Gäste pro Nacht, die in einer Berghütte
übernachten, einer Poisson-Verteilung folgt.
a) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei Personen übernachten, ist doppelt so gross
als jene, dass nur eine Person übernachtet. Bestimmen Sie den Erwartungswert von G.
b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass morgen Abend niemand übernachten
will?
c) In der Hütte hat es nur Matratzen für sechs Gäste. Wenn mehr kommen, müssen die
Überzähligen im Stroh nächtigen. Die Zufallsgrösse M bezeichnet die Anzahl der Gäste,
die auf einer Matratze schlafen können. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von M . (Vergleiche Aufgabe 89d))
Normalverteilung und Z-Transformation
Aufgabe 91 (3 Punkte):
Die Länge (in mm) von Raupen einer bestimmten Art sei normalverteilt mit µ = 30 und
σ = 5. Es werden 240 Raupen untersucht. Wieviele davon erwarten Sie a) mit einer Länge
≤ 25 mm, b) mit einer Länge zwischen 28 und 35 mm?
Aufgabe 92 (◦ ):
Die Körperlänge einer gewissen Gruppe von Schülerinnen ist normalverteilt. Man hat die
folgenden Informationen:
i) 14% aller Schülerinnen haben eine Körperlänge ≤ 145 cm.
ii) 4% aller Schülerinnen haben eine Körperlänge > 170 cm.
Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung dieser Verteilung.
Aufgabe 93 (3 Punkte):
Das Körpergewicht einer gemischten Gruppe von Erwachsenen ist normalverteilt. Man
kennt das Durchschnittsgewicht, es beträgt 70 kg. Ferner weiss man, dass 30% dieser
Leute schwerer als 75 kg sind.
a) Bestimmen Sie die Parameter µ und σ dieser Verteilung.
b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig herausgegriffene Person
zwischen 60 kg und 71 kg wiegt?
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Aufgabe 94 (4 Punkte):
Eine Maschine stellt Schrauben her, deren Länge normal verteilt ist mit µ = 40 mm (SollLänge) und σ = 1 mm. Schrauben, die entweder länger als 41 mm oder kürzer als 38 mm
sind, gehören zum Ausschuss. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat es in einer Packung von
20 Schrauben höchstens 2 Ausschuss-Stücke?
Poisson-Approximation und Zentraler Grenzwertsatz
Aufgabe 95 (4 Punkte):
Bei einer Fluggesellschaft kommt ein Gepäckstück mit der Wahrscheinlichkeit von 0.25%
nicht am richtigen Ort an. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 100
Gepäckstücken a) alle, b) 98 oder mehr richtig ankommen? Lösen Sie die Aufgabe sowohl
exakt mit der Binomialverteilung als auch näherungsweise mit der Poisson-Verteilung.
Aufgabe 96 (4 Punkte):
1% aller Fluggäste, die Plätze reservieren, erscheinen nicht. Die aus der vorhergehenden
Aufgabe bekannte Fluggesellschaft verkauft deshalb 100 Flugkarten für 97 verfügbare
Plätze. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommen alle Passagiere einen Sitzplatz? Lösen
Sie die Aufgabe sowohl mit der Binomialverteilung als auch mit der Poisson-Verteilung.
Hinweis: Betrachten Sie die Anzahl der nicht erscheinenden Passagiere unter den 100
Karteninhabern.
Aufgabe 97 (4 Punkte):
Ein unverfälschter Würfel wird 900 mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt
die totale Anzahl der Fünfer und Sechser zwischen 300 und 340 (Grenzen eingeschlossen)?
8. April 2008
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