20. Vorlesung

Quantenmechanik I
Sommersemester 2013
QM Web–Page
http://einrichtungen.physik.tu-muenchen.de/T30e/
teaching/ss13/qm1.d.html
Hinweise
☞ 1. Klausur vsl. am 01.08.2013, 15:00–16:30, 5510.EG.001 (MW
0001, Gustav–Niemann–Hörsaal), 5510.02.001 (MW 2001,
Rudolf–Diesel–Hörsaal)
Hinweise
☞ 1. Klausur vsl. am 01.08.2013, 15:00–16:30, 5510.EG.001 (MW
0001, Gustav–Niemann–Hörsaal), 5510.02.001 (MW 2001,
Rudolf–Diesel–Hörsaal)
☞ 2. Klausur vsl. am 02.10.2013, 09:00–10:30, 5510.EG.001 (MW
0001, Gustav–Niemann–Hörsaal)
Elektromagnetismus: Felder
☞ Felder
~
Elektrisches Feld E
~
Magnetisches Feld B
)
↔
~
Vektorpotential A
Skalarpotential φ
Elektromagnetismus: Felder
☞ Felder
~
Elektrisches Feld E
~
Magnetisches Feld B
~
E
=
~
B
=
~
1 ∂A
~
− ∇φ
c ∂t
~
~ ×A
∇
−
~
Vierer–Vektor (Aµ ) = (φ, A)
)
↔
~
Vektorpotential A
Skalarpotential φ
Elektromagnetismus: Felder
☞ Felder
~
Elektrisches Feld E
~
Magnetisches Feld B
~
E
=
~
B
=
~
1 ∂A
~
− ∇φ
c ∂t
~
~ ×A
∇
−
☞ Eichtransformation
~
A
φ
~′ = A
~ + ∇Λ
~
→ A
1 ∂
Λ
→ φ′ = φ −
c ∂t
)
↔
~
Vektorpotential A
Skalarpotential φ
Elektromagnetismus: Felder
☞ Felder
~
Elektrisches Feld E
~
Magnetisches Feld B
~
E
=
~
B
=
)
↔
~
Vektorpotential A
Skalarpotential φ
~
1 ∂A
~
− ∇φ
c ∂t
~
~ ×A
∇
−
☞ Eichtransformation
~
A
φ
~′ = A
~ + ∇Λ
~
→ A
1 ∂
Λ
→ φ′ = φ −
c ∂t
☞ Hamilton–Funktion: H =
2
q~
1 ~p − A(~
r, t) + q φ(~r, t)
2m
c
Ladung
QM mit elektromagnetischen Feldern
☞ Hamilton–Operator
H =
2
1 ~ q~
i ~ ∇ + A(~r, t) + q φ(~r, t)
2m
c
QM mit elektromagnetischen Feldern
☞ Hamilton–Operator
H =
2
1 ~ q~
i ~ ∇ + A(~r, t) + q φ(~r, t)
2m
c
☞ Schrödinger–Gleichung
i~
∂
Ψ(~r, t) = H Ψ(~r, t)
∂t
QM mit elektromagnetischen Feldern
☞ Hamilton–Operator
H =
2
1 ~ q~
i ~ ∇ + A(~r, t) + q φ(~r, t)
2m
c
☞ Schrödinger–Gleichung
i~
∂
Ψ(~r, t) = H Ψ(~r, t)
∂t
q2 ~ 2
~2 ~ 2 i q ~ ~ ~ ~ ~ A + q φ Ψ(~r, t)
∇ +
∇·A+A·∇ +
=
−
2m
2m c
2m c2
QM mit elektromagnetischen Feldern
☞ Hamilton–Operator
H =
2
1 ~ q~
i ~ ∇ + A(~r, t) + q φ(~r, t)
2m
c
☞ Schrödinger–Gleichung
i~
∂
Ψ(~r, t) = H Ψ(~r, t)
∂t
q2 ~ 2
~2 ~ 2 i q ~ ~ ~ ~ ~ A + q φ Ψ(~r, t)
∇ +
∇·A+A·∇ +
=
−
2m
2m c
2m c2
~ = 0
~ ·A
Eichung: ∇
QM mit elektromagnetischen Feldern
☞ Hamilton–Operator
H =
2
1 ~ q~
i ~ ∇ + A(~r, t) + q φ(~r, t)
2m
c
☞ Schrödinger–Gleichung
i~
∂
Ψ(~r, t) = H Ψ(~r, t)
∂t
q2 ~ 2
~2 ~ 2 i q ~ ~ ~ ~ ~ A + q φ Ψ(~r, t)
∇ +
∇·A+A·∇ +
=
−
2m
2m c
2m c2
~2
iq~ ~ ~
q2 ~ 2
A + q φ Ψ(~r, t)
=
−
∆+
A·∇+
2m
mc
2m c2
QM mit elektromagnetischen Feldern
☞ Hamilton–Operator
H =
2
1 ~ q~
i ~ ∇ + A(~r, t) + q φ(~r, t)
2m
c
☞ Schrödinger–Gleichung
i~
∂
Ψ(~r, t) = H Ψ(~r, t)
∂t
q2 ~ 2
~2 ~ 2 i q ~ ~ ~ ~ ~ A + q φ Ψ(~r, t)
∇ +
∇·A+A·∇ +
=
−
2m
2m c
2m c2
~2
iq~ ~ ~
q2 ~ 2
A + q φ Ψ(~r, t)
=
−
∆+
A·∇+
2m
mc
2m c2
~ und φ zeitunabhänging sind folgt die stationäre
☞ Falls A
Schrödinger–Gleichung
H ψ(~r) = E ψ(~r)
Eichinvarianz
☞ Schrödinger–Gleichung invariant unter
~ x, t) → A
~ ′ (~x, t) = A(~
~ x, t) + ∇Λ(~
~ x, t)
A(~
1 ∂
φ(~x, t) → φ′ (~x, t) = φ −
Λ(~x, t)
c∂t
ie
Ψ(~x, t) → Ψ′ (~x, t) = exp
Λ(~x, t) Ψ(~x, t)
~c
mit beliebiger Funktion Λ(~x, t)
Eichinvarianz
☞ Schrödinger–Gleichung invariant unter
~ x, t) → A
~ ′ (~x, t) = A(~
~ x, t) + ∇Λ(~
~ x, t)
A(~
1 ∂
φ(~x, t) → φ′ (~x, t) = φ −
Λ(~x, t)
c∂t
ie
Ψ(~x, t) → Ψ′ (~x, t) = exp
Λ(~x, t) Ψ(~x, t)
~c
mit beliebiger Funktion Λ(~x, t)
☞ Wahrscheinlichkeitsdichte ρ = |Ψ|2 invariant
Bewegung im konstanten Magnetfeld
☞ Konstantes Magnetfeld
φ ≡ 0 und
~
~ = − 1 (~r × B)
A
2
Bewegung im konstanten Magnetfeld
☞ Konstantes Magnetfeld
φ ≡ 0 und
~
~ = − 1 (~r × B)
A
2
Bewegung im konstanten Magnetfeld
☞ Konstantes Magnetfeld
φ ≡ 0 und
~
~ = − 1 (~r × B)
A
2
~2≃0
☞ Näherung für schwache Felder : A
E ψ(~r)
=
h
−
i
~2
iq~
~ ψ(~r)
~ ·B
∆+
(~r × ∇)
2m
2m c | {z }
~
= ~i L
Bewegung im konstanten Magnetfeld
☞ Konstantes Magnetfeld
φ ≡ 0 und
~
~ = − 1 (~r × B)
A
2
~2≃0
☞ Näherung für schwache Felder : A
E ψ(~r)
=
=
h
i
~2
iq~
~ ψ(~r)
~ ·B
∆+
(~r × ∇)
2m
2m c
h ~2
q ~ ~i
L · B ψ(~r)
∆−
−
2m
2m c
−
Bewegung im konstanten Magnetfeld
☞ Konstantes Magnetfeld
φ ≡ 0 und
~
~ = − 1 (~r × B)
A
2
~2≃0
☞ Näherung für schwache Felder : A
E ψ(~r)
h
i
~2
iq~
~ ψ(~r)
~ ·B
∆+
(~r × ∇)
2m
2m c
h ~2
q ~ ~i
L · B ψ(~r)
∆−
=
−
2m
2m c
h ~2
i
~ ψ(~r)
=:
−
∆ + ~µ · B
2m
=
−
magnetisches Moment ~µ =
−q ~
L
2m c
Zeemann–Effekt (I)
☞ Coulomb–Potential des H–Atoms
V = − e φ(~r) = −
e2
r
Zeemann–Effekt (I)
☞ Coulomb–Potential des H–Atoms
V = − e φ(~r) = −
e2
r
☞ Konstantes schwaches Magnetfeld
~ = (0, 0, B) = B · ~ez
B
Zeemann–Effekt (I)
☞ Coulomb–Potential des H–Atoms
V = − e φ(~r) = −
e2
r
☞ Konstantes schwaches Magnetfeld
~ = (0, 0, B) = B · ~ez
B
y
~µ =
~
eL
2m c
Zeemann–Effekt (I)
☞ Coulomb–Potential des H–Atoms
V = − e φ(~r) = −
e2
r
☞ Konstantes schwaches Magnetfeld
~ = (0, 0, B) = B · ~ez
B
y
~µ =
~
eL
2m c
☞ Hamilton-Operator
~
H = H 0 + ~µ · B
mit
H0
~2 ∂
= −
2m r2 ∂r
L2
e2
2 ∂
r
+
−
∂r
2m r2
r
Zeemann-Effekt (II)
☞ Schrödinger–Gleichung
H |n, ℓ, mℓ i = H 0 |n, ℓ, mℓ i +
eB
Lz |n, ℓ, mℓ i = E |n, ℓ, mℓ i
2m c
Zeemann-Effekt (II)
☞ Schrödinger–Gleichung
H |n, ℓ, mℓ i = H 0 |n, ℓ, mℓ i +
eB
Lz |n, ℓ, mℓ i = E |n, ℓ, mℓ i
2m c
☞ |n, ℓ, mℓ i sind bereits Eigenzustände, denn
Lz |n, ℓ, mℓ i = ~ mℓ |n, ℓ, mℓ i
Zeemann-Effekt (II)
☞ Schrödinger–Gleichung
H |n, ℓ, mℓ i = H 0 |n, ℓ, mℓ i +
eB
Lz |n, ℓ, mℓ i = E |n, ℓ, mℓ i
2m c
☞ |n, ℓ, mℓ i sind bereits Eigenzustände, denn
Lz |n, ℓ, mℓ i = ~ mℓ |n, ℓ, mℓ i
➥ Energie–Eigenwerte
eB~
mℓ |n, ℓ, mℓ i
H |n, ℓ, mℓ i = E0n +
2m c
E0n = −
Ry
n2
Larmor-Frequenz ωL =
eB
2m c
Zeemann–Effekt (III)
E
n=3
n=2
n=1
ℓ=0
B=0
Zeemann–Effekt (III)
E
n=3
n=2
n=1
ℓ=0
B=0
B,0
Zeemann–Effekt (III)
E
n=3
n=2
n=1
ℓ=0
B=0
B,0
ℓ=1
B=0
Zeemann–Effekt (III)
E
ℓ=0
B=0
B,0
ℓ=1
B=0
B,0
mℓ
n=3
1
0
−1
n=2
1
0
−1
n=1
Zeemann–Effekt (III)
E
ℓ=0
B=0
B,0
ℓ=1
B=0
B,0
mℓ
n=3
1
0
−1
n=2
1
0
−1
n=1
∆E = ~ ωL
Zeemann–Effekt (III)
E
ℓ=0
B=0
B,0
ℓ=1
B=0
B,0
mℓ
n=3
1
0
−1
n=2
1
0
−1
n=1
ℓ=2
B=0
∆E = ~ ωL
Zeemann–Effekt (III)
E
ℓ=0
B=0
B,0
ℓ=1
B=0
B,0
mℓ
n=3
1
0
−1
n=2
1
0
−1
n=1
ℓ=2
B=0
B,0
mℓ
2
1
0
−1
−2
∆E = ~ ωL
Rotationsgruppe
☞ Rotation in 3D
~r ′ = R ~r bzw.


 
x′
x
 y′  = R  y 
z′
z
Rotationsgruppe
☞ Rotation in 3D
~r ′ = R ~r bzw.


 
x′
x
 y′  = R  y 
z′
z
☞ 3 unabhängige Rotationen
Rx (ϕ)
Ry (ψ)
Rz (ϑ)

1
0
0
=  0 cos ϕ sin ϕ
0 − sin ϕ cos ϕ

cos ψ 0 − sin ψ
1
0
=  0
sin ψ 0 cos ψ

cos ϑ sin ϑ 0
=  − sin ϑ cos ϑ 0
0
0
1






Algebra der Dreh–Gruppe
☞ Generatoren
Jx
:=
Jy
:=
Jz
:=

0
1 dRx  0
=
i dϕ ϕ=0
0

0
1 dRy  0
=
i dψ ψ=0
−i

0
1 dRz  i
=
i dϑ ϑ=0
0

0 0
0 −i 
i 0

0 i
0 0 
0 0

−i 0
0 0 
0 0
Algebra der Dreh–Gruppe
☞ Generatoren
Jx
:=
Jy
:=
Jz
:=

0
1 dRx  0
=
i dϕ ϕ=0
0

0
1 dRy  0
=
i dψ ψ=0
−i

0
1 dRz  i
=
i dϑ ϑ=0
0
☞ Kommutatorrelationen
[Ji , Jj ] = i εijk Jk

0 0
0 −i 
i 0

0 i
0 0 
0 0

−i 0
0 0 
0 0
Generatoren und endliche Drehungen
☞ Endliche Drehungen um Koordinatenachsen
Rx (ϕ)
Ry (ψ)
Rz (ϑ)
= exp i Jx ϕ
= exp i Jy ψ
= exp i Jz ϑ
Generatoren und endliche Drehungen
☞ Endliche Drehungen um Koordinatenachsen
Rx (ϕ)
Ry (ψ)
Rz (ϑ)
= exp i Jx ϕ
= exp i Jy ψ
= exp i Jz ϑ
☞ Beliebige Drehungen
~ · ϑ)
~ ,
R~n (ϑ) = exp(i J
~ = n
~ ·ϑ
ϑ
SU(2)
☞ Definition
Matrix–Gruppe SU(2)
=
unitäre 2 × 2–Matrizen U mit Determinante 1
SU(2)
☞ Definition
Matrix–Gruppe SU(2)
=
unitäre 2 × 2–Matrizen U mit Determinante 1
☞ Mögliche Parametrisierung
a
b
U =
−b∗ a∗
mit
|a|2 + |b|2 = 1
⇐⇒
det U = 1
Spinoren
☞ U wirkt auf C2
χ
→ Uχ
†
→ χ† U †
χ
Spinoren
☞ U wirkt auf C2
χ
→ Uχ
†
→ χ† U †
χ
☞
C2 Koordinaten
χ =
χ†
=

χ1

χ2
„Spinoren“

[χ∗1 , χ∗2 ]
Spinoren
☞ U wirkt auf C2
χ
→ Uχ
†
→ χ† U †
χ
☞
C2 Koordinaten
χ =
χ†
=

χ1

χ2
„Spinoren“

[χ∗1 , χ∗2 ]
☞ Bemerkung:
χ1
χ =
χ2
und
ε χ∗ =
0 −1
1 0
besitzen gleiches Transformationsverhalten
χ∗1
χ∗2
=
−χ∗2
χ∗1
Generatoren der U(2)
☞ Entwicklung von U(2)–Transformationen
U(2) ∋ U(t) =
12 + i t T + O(t2 )
Generatoren der U(2)
☞ Entwicklung von U(2)–Transformationen
U(2) ∋ U(t) =
☞ Unitarität
!
U † (t) U(t) =
12
12 + i t T + O(t2 )
Generatoren der U(2)
☞ Entwicklung von U(2)–Transformationen
U(2) ∋ U(t) =
12 + i t T + O(t2 )
☞ Unitarität
!
U † (t) U(t) =
12
y 12 + i t (T − T† ) + O(t2 ) =
!
12
Generatoren der U(2)
☞ Entwicklung von U(2)–Transformationen
U(2) ∋ U(t) =
12 + i t T + O(t2 )
☞ Unitarität
!
U † (t) U(t) =
12
y 12 + i t (T − T† ) + O(t2 ) =
!
12
➥ Generatoren hermitesch
T† = T
T =
a
c
b
d
 ∗
a


 ∗
d
mit
 b∗

 ∗
c
=
=
=
=
a
d
c
b
Generatoren der SU(2)
☞ Determinanten–Bedingung
det exp(M) = exp tr M
y
Tr T = 0
Generatoren der SU(2)
☞ Determinanten–Bedingung
det exp(M) = exp tr M
y
Tr T = 0
☞ Darstellung
T =
a
c
b
−a
 ∗
 a
b∗
mit
 ∗
c
= a
= c
= b
Generatoren der SU(2)
☞ Determinanten–Bedingung
det exp(M) = exp tr M
y
Tr T = 0
☞ Darstellung
T =
a
c
b
−a
 ∗
 a
b∗
mit
 ∗
c
= a
= c
= b
☞ 3 reelle Parameter bzw. 3 linear unabhängige SU(2)
Generatoren
Pauli–Matrizen
☞ Mögliche Basis der Generatoren
Ti = σi /2
Pauli–Matrizen
☞ Mögliche Basis der Generatoren
Ti = σi /2
☞ Pauli–Matrizen
σx
σy
σz
=
=
=
0 1
1 0
0 −i
i 0
1 0
0 −1
Eigenschaften der Pauli–Matrizen
1
Kommutations–Relationen
[σi , σj ] = 2i εijk σk
Eigenschaften der Pauli–Matrizen
1
2
Kommutations–Relationen
[σi , σj ] = 2i εijk σk
σ2x = σ2y = σ2z =
1
Eigenschaften der Pauli–Matrizen
1
2
3
Kommutations–Relationen
[σi , σj ] = 2i εijk σk
σ2x = σ2y = σ2z =
1
Anti–Kommutations–Relationen
{σi , σj } := σi σj + σj σi = 2 1 δij
Eigenschaften der Pauli–Matrizen
1
2
3
Kommutations–Relationen
[σi , σj ] = 2i εijk σk
σ2x = σ2y = σ2z =
1
Anti–Kommutations–Relationen
{σi , σj } := σi σj + σj σi = 2 1 δij
4
σi · σj =
1
1
[σi , σj ] + {σi , σj } = i εijk σk + 1 δij
2
2
Eigenschaften der Pauli–Matrizen
1
2
3
Kommutations–Relationen
[σi , σj ] = 2i εijk σk
σ2x = σ2y = σ2z =
1
Anti–Kommutations–Relationen
{σi , σj } := σi σj + σj σi = 2 1 δij
4
5
σi · σj =
1
1
[σi , σj ] + {σi , σj } = i εijk σk + 1 δij
2
2
Spurfreiheit
tr(σx ) = tr(σy ) = tr(σz ) = 0
Eigenschaften der Pauli–Matrizen
1
2
3
Kommutations–Relationen
[σi , σj ] = 2i εijk σk
σ2x = σ2y = σ2z =
1
Anti–Kommutations–Relationen
{σi , σj } := σi σj + σj σi = 2 1 δij
4
5
6
σi · σj =
1
1
[σi , σj ] + {σi , σj } = i εijk σk + 1 δij
2
2
Spurfreiheit
tr(σx ) = tr(σy ) = tr(σz ) = 0
det(σx ) = det(σy ) = det(σz ) = − 1
Zusammenhang SU(2) ↔ SO(3)
☞ Vertauschungsrelationen der SU(2) Generatoren
Ti , Tj
=
σk
1
σi , σj = i εijk
4
2
Zusammenhang SU(2) ↔ SO(3)
☞ Vertauschungsrelationen der SU(2) Generatoren
Ti , Tj
=
σk
1
σi , σj = i εijk
4
2
= Vertauschungsrelationen der SO(3) Generatoren
Zusammenhang SU(2) ↔ SO(3)
☞ Vertauschungsrelationen der SU(2) Generatoren
Ti , Tj
=
σk
1
σi , σj = i εijk
4
2
= Vertauschungsrelationen der SO(3) Generatoren
➥ Postuliere Zusammenhang
~ ↔ exp i ϑ
~·σ
~ ·J
~
∈ SU(2)
SO(3) ∋ exp i ϑ
2
Zusammenhang SU(2) ↔ SO(3)
☞ Vertauschungsrelationen der SU(2) Generatoren
Ti , Tj
=
σk
1
σi , σj = i εijk
4
2
= Vertauschungsrelationen der SO(3) Generatoren
➥ Postuliere Zusammenhang
~ ↔ exp i ϑ
~·σ
~ ·J
~
∈ SU(2)
SO(3) ∋ exp i ϑ
2
d.h.
~ ~x
~·J
~x → exp −i ϑ
↔
ψ↑
ψ↓
→ exp
i~
ψ↑
ϑ·σ
~
ψ↓
2
Transformationsverhalten von Vektoren
☞ Orthogonale Transformation eines Vektorfeldes
~ ~x
~ ~v exp −i ϑ
~ ·J
~ ·J
~v(~x) → ~v ′ (~x ′ ) = exp i ϑ
Transformationsverhalten von Vektoren
☞ Orthogonale Transformation eines Vektorfeldes
~ ~x
~ ~v exp −i ϑ
~ ·J
~ ·J
~v(~x) → ~v ′ (~x ′ ) = exp i ϑ
y
vy
~v
vx
x
Transformationsverhalten von Vektoren
☞ Orthogonale Transformation eines Vektorfeldes
~ ~x
~ ~v exp −i ϑ
~ ·J
~ ·J
~v(~x) → ~v ′ (~x ′ ) = exp i ϑ
y
vy
→
→
→
→
→
→
→
→
→
~v
vx
x
~v ′
y′
v′x
v′y
x′
Transformationsverhalten von Spinorfeldern
☞ SU(2) Transformation eines Spinorfeldes


~ ~x
~ ·J
exp
−i
ϑ
ψ
↑
ψ↑ (~x)
~ ·σ

~ 
→ exp 2i ϑ
ψ↓ (~x)
~ ~x
~ ·J
ψ↓ exp −i ϑ
SU(2) Transformation
Rotation der Koordinaten
Transformationsverhalten von Spinorfeldern
☞ SU(2) Transformation eines Spinorfeldes


~ ~x
~ ·J
exp
−i
ϑ
ψ
↑
ψ↑ (~x)
~ ·σ

~ 
→ exp 2i ϑ
ψ↓ (~x)
~ ~x
~ ·J
ψ↓ exp −i ϑ
SU(2) Transformation
Rotation der Koordinaten
☞ „Zweideutigkeit“
i
0
ϑ/2
cos ϑ/2 sin ϑ/2
exp
ϑσ2
= exp
=
−ϑ/2
0
− sin ϑ/2 cos ϑ/2
2
Transformationsverhalten von Spinorfeldern
☞ SU(2) Transformation eines Spinorfeldes


~ ~x
~ ·J
exp
−i
ϑ
ψ
↑
ψ↑ (~x)
~ ·σ

~ 
→ exp 2i ϑ
ψ↓ (~x)
~ ~x
~ ·J
ψ↓ exp −i ϑ
SU(2) Transformation
Rotation der Koordinaten
☞ „Zweideutigkeit“
i
0
ϑ/2
cos ϑ/2 sin ϑ/2
exp
ϑσ2
= exp
=
−ϑ/2
0
− sin ϑ/2 cos ϑ/2
2


cos ϑ 0 sin ϑ
0
1
0 
exp i ϑ J2 = 
− sin ϑ 0 cos ϑ
Transformationsverhalten von Spinorfeldern
☞ SU(2) Transformation eines Spinorfeldes


~ ~x
~ ·J
exp
−i
ϑ
ψ
↑
ψ↑ (~x)
~ ·σ

~ 
→ exp 2i ϑ
ψ↓ (~x)
~ ~x
~ ·J
ψ↓ exp −i ϑ
SU(2) Transformation
Rotation der Koordinaten
☞ „Zweideutigkeit“
i
0
ϑ/2
cos ϑ/2 sin ϑ/2
exp
ϑσ2
= exp
=
−ϑ/2
0
− sin ϑ/2 cos ϑ/2
2


cos ϑ 0 sin ϑ
0
1
0 
exp i ϑ J2 = 
− sin ϑ 0 cos ϑ
i
↔
exp
2π σ2
= − 12
exp(i 2π J2 ) = 12
2
Stern–Gerlach–Versuch
☞ Schrödinger–Gleichung
~2
~
−
∆−~µ · B ψ(~r) = E ψ(~r)
2m
relatives Vorzeichen gegenüber Zeemann-Effekt (Ag+ )
Stern–Gerlach–Versuch
☞ Schrödinger–Gleichung
~2
~
−
∆−~µ · B ψ(~r) = E ψ(~r)
2m
☞ Kraft im inhomogenen Magnetfeld
~ = ∇
~ ≃ µz ∂Bz ~ez
~ ~µ · B
F
∂z
Stern–Gerlach–Versuch
☞ Schrödinger–Gleichung
~2
~
−
∆−~µ · B ψ(~r) = E ψ(~r)
2m
☞ Kraft im inhomogenen Magnetfeld
~ = ∇
~ ≃ µz ∂Bz ~ez
~ ~µ · B
F
∂z
bisher: ~µ =
~
eL
2m c
Stern–Gerlach–Versuch
Ag–Strahl
e−
erwartet
+
Ag
inhomogenes Magnetfeld
Stern–Gerlach–Versuch
gemessen
Ag–Strahl
e−
Ag+
gemessen
inhomogenes Magnetfeld
Interpretation des Stern–Gerlach–Versuchs
☞ Spin–Operator
~s = (sx , sy , sz )
Interpretation des Stern–Gerlach–Versuchs
☞ Spin–Operator
~s = (sx , sy , sz )
☞ Hamilton–Operator
H = −
~2
~
∆ + ~µSpin · B
2m
mit
~µ = −
q ~
L
2m c
→
~µSpin = − g
q ~
S
2m c
Faktor g ≃ 2
ℓ = 1 vs. Spin
☞ Wasserstoff–Atom
Lz = m ~ mit
ℓ = 0 y
ℓ = 1 y
− ℓ ≤ m ≤ +ℓ
m = 0 , d.h. 1 Wert
m = − 1, 0, 1 , d.h. 3 Werte
ℓ = 1 vs. Spin
☞ Wasserstoff–Atom
Lz = m ~ mit
− ℓ ≤ m ≤ +ℓ
m = 0 , d.h. 1 Wert
m = − 1, 0, 1 , d.h. 3 Werte
ℓ = 0 y
ℓ = 1 y
☞ Setze (formal) ℓ =
y sz = ±
1
2
~,
1
2
d.h. 2 Werte
ℓ = 1 vs. Spin
☞ Wasserstoff–Atom
Lz = m ~ mit
− ℓ ≤ m ≤ +ℓ
m = 0 , d.h. 1 Wert
m = − 1, 0, 1 , d.h. 3 Werte
ℓ = 0 y
ℓ = 1 y
☞ Setze (formal) ℓ =
y sz = ±
1
2
~,
1
2
d.h. 2 Werte
➥ Zwei Eigenzustände
sz |ψspin i = sz |ψspin i
ℓ = 1 vs. Spin
☞ Wasserstoff–Atom
Lz = m ~ mit
− ℓ ≤ m ≤ +ℓ
m = 0 , d.h. 1 Wert
m = − 1, 0, 1 , d.h. 3 Werte
ℓ = 0 y
ℓ = 1 y
☞ Setze (formal) ℓ =
y sz = ±
1
2
~,
1
2
d.h. 2 Werte
➥ Zwei Eigenzustände
sz |ψspin i = sz |ψspin i
☞ Notation
|ψspin i =
b |↑i oder |↓i
Spinor–Darstellung
☞ Pauli–Spinoren
1
0
oder
0
1
Spinor–Darstellung
☞ Pauli–Spinoren
1
0
oder
0
1
☞ Darstellung der Basis–Spin–Zustände durch Pauli–Spinoren
1
0
|↑i bzw. |↓i wird dargestellt durch
bzw.
0
1
Spinor–Darstellung
☞ Pauli–Spinoren
1
0
oder
0
1
☞ Darstellung der Basis–Spin–Zustände durch Pauli–Spinoren
1
0
|↑i bzw. |↓i wird dargestellt durch
bzw.
0
1
☞ Übliche Schreibweise
1
0
|↑i =
und |↓i =
0
1
Spinor–Darstellung
☞ Pauli–Spinoren
1
0
oder
0
1
☞ Darstellung der Basis–Spin–Zustände durch Pauli–Spinoren
1
0
|↑i bzw. |↓i wird dargestellt durch
bzw.
0
1
☞ Übliche Schreibweise
1
0
|↑i =
und |↓i =
0
1
☞ Darstellung der Spin–Operatoren durch Pauli–Matrizen
sx =
~
σx
2
;
sy =
~
σy
2
;
sz =
~
σz
2