Pfadintegral

Kapitel III
Pfadintegral
60
III.1. KURZE ERINNERUNG IN DIE KLASSISCHE MECHANIK
Es soll eine alternative, vielleicht etwas intuitivere, Beschreibung der Quantenmechanik erarbeitet werden. Die folgenden Ausführungen orientieren sich an [Zee03,
Abschnitt I.2], [Ryd96, Abschnitt 5] und [Mar02, Abschnitt 16]. Wir beschränken uns
auf eindimensionale Probleme, die Verallgemeinerung auf mehrere Dimensionen führt
auf qualitativ nichts Neues.
III.1
Kurze Erinnerung in die klassische Mechanik
Ausgangspunkt ist die Beschreibung eines Systems zu jedem Zeitpunkt t durch eine
verallgemeinerte Koordinate q und eine verallgemeinerten Impuls p.
III.1.1
Hamiltonsche Beschreibung
Klassisch läßt sich das System durch die Hamiltonfunktion H(q, p, t) charakterisieren.
Die Dynamik wird beschreiben durch die Hamilton–Gleichungen
ṗ = −
III.1.2
∂H(q, p, t)
∂q
und q̇ =
∂H(q, p, t)
.
∂p
(III.1)
Beschreibung durch Lagrangefunktion
Eine äquivalente Beschreibung erfolgt mit der Lagrangefunktion
L(q, q̇, t) = p q̇ − H(p, q, t)
(III.2)
und der Bewegungsgleichung
∂L(q, q̇, t)
d ∂L(q, q̇, t)
=
.
dt
∂ q̇
∂q
(III.3)
Diese Gleichung ergibt sich, indem man die Wirkung
S[q] =
Ztf
dt L(q, q̇, t)
(III.4)
ti
61
III.1. KURZE ERINNERUNG IN DIE KLASSISCHE MECHANIK
minimiert. Hierbei bezeichnen ti bzw. tf die Anfangs- bzw. Endzeit. Lösen der Bewegungsgleichung führt für vorgegebene Randbedingungen auf eine eindeutige Funktion
q : t 7→ q(t) ,
(III.5)
die klassisch die zeitliche Evolution der Konfiguration des Systems beschreibt. q(t)
wird als Pfad bezeichnet.
III.1.3
Minimierung der Wirkung und Funktionalableitung
Die Wirkung ist ein Funktional, die jedem Pfad q eine Zahl zuweist,
S : q(t) 7→ S[q] ∈
R.
(III.6)
Wie findet man stationäre Pfade, die die Wirkung extremalisieren? Erinnern wir uns
an den Fall der Funktionen f : n → . Diese können (Differenzierbarkeit vorausgesetzt) entwickelt werden um jeden Punkt x,
R
f (x + δx) = f (x) +
R
1 ∂2f
∂f
(x) δxi +
(x) δxi δxj + . . . ,
xi
2 ∂xi ∂xj
(III.7)
Rn →
∂f
wobei die Summation über i und j impliziert wird. Hierbei bezeichnet df = ∂x
dxi :
i
n das Differential; Extrema bedingen df (x) = 0. Völlig analog ist es möglich, ein
Funktional F entwickeln,
Z
F [ϕ + δϕ] = F [ϕ] + dx F1 [ϕ](x) δϕ(x)
Z
1
dx dy F2 [ϕ](x, y) δϕ(x) δϕ(y) + . . . .
(III.8)
+
2
R
Die Fm hängen, wie beim gewöhnlichen Differential, von der ‘Stelle’ ϕ ab, an der man
differenziert, und man muß sie mit m δϕ’s ‘kontrahieren’, was ebenfalls analog ist zu
dem gewöhnlichen Differential. Üblicherweise bezeichnet man
δF
δϕ(x)
2
δ F
δϕ(x) δϕ(y)
:= F1 [ϕ](x) ,
(III.9a)
:= F2 [ϕ](x, y) ,
(III.9b)
..
.
Beispiele:
1. Läßt sich das Funktional schreiben in der Form
Zt+
F [ϕ] =
dt ℓ(t, ϕ(t), ϕ̇(t)) ,
(III.10)
t−
62
III.1. KURZE ERINNERUNG IN DIE KLASSISCHE MECHANIK
so liefert eine Taylorentwicklung
Zt+ n o
dt ℓ t, ϕ(t) + h(t), ϕ̇(t) + ḣ(t) − ℓ t, ϕ(t), ϕ̇(t)
F [ϕ + h] − F [ϕ] =
t−
Zt+
∂ℓ t, ϕ(t), ϕ̇(t) · h(t)
=
dt ℓ t, ϕ(t), ϕ̇(t) +
∂ϕ
t−
∂ℓ t, ϕ(t), ϕ̇(t) · ḣ(t) − ℓ t, ϕ(t), ϕ̇(t)
+
∂ ϕ̇
+ O khk2 + O kḣk2
Zt+ ∂ℓ
∂ℓ =
t, ϕ(t), ϕ̇(t) · h(t) +
t, ϕ(t), ϕ̇(t) · ḣ(t)
dt
∂ϕ
∂ ϕ̇
t−
+ O khk2 + O kḣk2
Zt+ ∂ℓ
d ∂ℓ =
dt
t, ϕ(t), ϕ̇(t) −
t, ϕ(t), ϕ̇(t) · h(t)
∂ϕ
dt ∂ ϕ̇
t−
t+
∂ℓ t, ϕ(t), ϕ̇(t) · h(t)
+
∂ ϕ̇
t
−
2
2
+ O khk + O kḣk .
Hierbei ist kf k2 =
ab,
δF
δϕ(t)
=
R t+
t−
(III.11)
dt |f (t)|2 . Daraus liest man die Funktionalableitung
d ∂ℓ ∂ℓ t, ϕ(t), ϕ̇(t) −
t, ϕ(t), ϕ̇(t)
∂ϕ
dt ∂ ϕ̇
∂ℓ
t, ϕ(t), ϕ̇(t) [δ(t − t+ ) − δ(t − t− )] .
+
∂ ϕ̇
δF
δϕ
(III.12)
D.h., die (Euler–Lagrange) Bewegungsgleichungen (III.3) ergeben sich, indem
man die erste Funktionalableitung der Wirkung nach q bildet (und die Randterme bei t± ) Null setzt.
2. Ein besonders einfaches Funktional ist dasjenige, das einer Funktion ϕ ihren
Wert an der Stelle x0 zuordnet,
ϕ 7→ ϕ(x0 ) .
(III.13)
Dieses Funktional kann geschrieben werden als
Z
ϕ 7→
dx δ(x − x0 ) ϕ(x) .
63
(III.14)
III.2. PROPAGATOR UND PFADINTEGRAL
Dies führt auf die gebräuchliche Aussage
δϕ(x)
= δ(x − y) .
δϕ(y)
(III.15)
3. Hängt ein Funktional von einem Parameter y ab und läßt es sich darstellen mit
Integral über den sog. Kern K(y, ·),
Fy [ϕ] =
Z
dx′ K(y, x′ ) ϕ(x′ ) ,
(III.16)
so ist die Funktionalableitung ebenfalls abhängig vom Parameter y und es gilt
δFy [ϕ]
= K(y, x) .
δϕ(x)
(III.17)
III.2
Propagator und Pfadintegral
III.2.1
Propagator in einer Dimension
In der Quantenmechanik geht man von q bzw. p zu den Operatoren q bzw. p mit
den entsprechenden Vertauschungsrelationen über. Der Zustand wird charakterisiert
durch die Wellenfunktion, die mit dem entsprechenden (zeitabhängigen) Zustand im
Schrödingerbild, |ψ(t)iS , geschrieben werden kann als
ψ(q, t) = hq, ψ(t)iS .
(III.18)
Der entsprechende Heisenberg–Zustand |ψiH geht (für zeitunabhängige Hamilton–
Operatoren H) aus dem Schrödinger–Zustand |ψ(t)iS hervor über
i
|ψ(t)iS = exp − H t |ψiH .
(III.19)
~
Für unsere Diskussion ist es hilfreich, ‘Vektoren’ |q, ti zu definieren durch
i
|q, ti = exp + H t |qi ,
~
(III.20)
wo |qi die üblichen Ortseigenszustände bezeichnen. Die |q, ti ‘erben’ einige Eigenschaften von den |qi, insbesondere bilden diese zu jeder Zeit t einen vollständigen Satz an
Ortseigenzuständen, und man hat
q |q, ti = q |q, ti .
Ein allgemeiner Zustand läßt sich nach diesen Zuständen entwickeln, die Projektion
eines Heisenberg–Zustands |ψiH auf |q, ti liefert den Wert der Wellenfunktion an der
(verallgemeinerten) Koordinate q zum Zeitpunkt t,
ψ(q, t) = hq, t|ψiH ,
(III.21)
64
III.2. PROPAGATOR UND PFADINTEGRAL
mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsinterpretation. Des Weiteren ergibt sich
das übliche Verhalten
i
(III.22)
ψ(q, t) = hq, t|ψiH = exp − H t ψ(q, 0)
~
Propagator. Der (eindimensionale) Propagator, den wir hier mit K bezeichnen wollen, trans”
portiert“ die Wellenfunktion ψ von einem Zeitpunkt ti zu einem Zeitpunkt tf ,
Z
ψ(qf , tf ) =
dqi K(qf , tf ; qi , ti ) ψ(qi , ti ) .
|ψ|2
t=t
t=t
f
i
Durch Einschieben der Eins erhält man
ψ(qf , tf ) = hqf , tf |ψi
Z
=
dqi hqf , tf |qi , ti i hqi , ti |ψi .
|
{z
} | {z }
=K(qf ,tf ;qi ,ti ) =ψ(qi ,ti )
Durch Vergleich dieser Relationen sieht man,
dass der quantenmechanische Propagator K identisch ist mit der Übergangsamplitude, d.h.
K(q ′ , t′ ; q, t) = q ′ , t′ |q, t ,
q
(III.23)
Klassisch hingegen weist man einem Teilchen eine Koordnate q zu, und kann man
bei spezifizierten Anfangsbedingungen genau einen Pfad finden, welchen das System
durchläuft.
Ziel der folgenden Diskussion ist es, die beiden Beschreibungen zueinander in Bezug
zu setzen. Wir werden sehen, dass die quantenmechanische Dynamik als das simultane Durchlaufen mehrerer Pfade interpretiert werden kann, wobei jedem Pfad eine
Wahrscheinlichkeit dafür zugeordnet wird, durchlaufen zu werden.
Beispiel: Zur Illustration betrachten wir das Doppelspalt–Experiment (Abbildung III.1).1
Ein Elektron kann an, ausgehend von der Quelle Q, an den Ort qf entweder über den
Spalt a oder b gelangen. Die Übergangsamplitude ist die Superposition zweier Amplituden, d.h. die Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Auffinden von Elektronen zur
Zeit tf and der Stelle qf ergibt sich zu
Z
W =
dt0 K(qf , tf ; Q, t0 ) =
Z
dt0 [K(qf , tf ; a, ta ) K(a, ta ; Q, t0 ) + K(qf , tf ; b, tb ) K(b, tb ; Q, t0 )] .
Die Übergangswahrscheinlichkeit |K(qf , tf ; Q, t0 )|2 enthält dann Interferenzterme. Dies
liefert das vertraute Interferenzbild.
1
Dieses Experiment wird natürlich in drei (Raum-)Dimensionen durchgeführt.
65
III.2. PROPAGATOR UND PFADINTEGRAL
;Q
K (a, ta
Quelle
, t0)
a
K (qf , t
f ; a, t )
a
qf
Q
K (b, t
b
b ; Q, t )
0
, tf
K (q f
; b, t b
)
Abbildung III.1: Doppelspaltexperiment. Wir betrachten Elektronen mit einer scharfen Impulsverteilung, so dass die zurückgelegte Entfernung proportional zu einer Zeit–Differenz ist.
Propagator eines freien Teilchens.
Dimension ist
Der Propagator eines freien Teilchens in einer
i
hx, t|y, 0i = K0 (x, t; y, 0) = hx| exp − H 0 t |yi ,
~
(III.24)
wobei
H0 =
p2
2m
ist und |xi ≡ |x, 0i gesetzt wurde. Explizit berechnet man K0 über
i p2
K0 (x, t; y, 0) = hx| exp −
t |yi
~ 2m
Z
Z
′ i p2
′
t |p′ i
p ,y
=
dp dp
hx|pi
hp| exp −
| {z }
~ 2m
| {z }
|
{z
} √ 1 −i p′ y/~
= √ 1 ei p x/~
2π~
i p2 t
2m
=e− ~
Z
dp i p (x−y) − i p2 t
e~
e ~ 2m
2π ~
r
i
h m
m
=
exp i
(x − y)2 .
2π i ~ t
2~ t
=
=
2π ~
e
δ(p−p′ )
(III.25)
Dieses Resultat ist konsistent mit dem drei–dimensionalen freien Propagator (II.131),
und es gilt
G0 ~x ′ − ~x, t′ − t
=
3
Y
K(x′i , t′ ; xi , t) .
i=1
66
III.2. PROPAGATOR UND PFADINTEGRAL
Im letzten Schritt in der Rechnung (III.25) wurden zwei Schritte durchgeführt: zum
Einen die Redefinition der Impulsvariablen, so dass der Integrand geschrieben werden
kann als
exp(−i α pe2 ) · exp(−i pe-unabhängige Konstante) ,
und zum Anderen das Integral über die oszillierende Funktion exp(−i α pe2 ) ausgeführt.
Der zweite Schritt wird nun etwas genauer diskutiert.
Analytische Fortsetzung von Gaußschen Integralen.
tegral
I(α) =
Z∞
−∞
Wir betrachten das In-
dq exp −i α q 2 .
(III.26)
Dies ist ein Integral in der komplexen Ebene entlang der gestrichelten Linie in Abbildung III.2, d.h. mit der Substitution q = e−i π/4 z gilt
Z
−iπ/4
I(α) = lim e
dz exp −α z 2 .
(III.27)
R→∞
e
C(R)
Der Integrand ist holomorph, und man kann daher (solange das Integral konvergiert)
die Integrationskontour beliebig modifizieren ohne den Wert des Integrals zu ändern.
Wir wählen die Kontour C(R) (siehe Abbildung III.2).
Im z
π/4
R
Re z
e
Abbildung III.2: Integrations–Kontouren C(R)
(gestrichelte Linie) und C(R) (durchgezogene
Linie) für das Integral I(α).
67
III.2. PROPAGATOR UND PFADINTEGRAL
I(α) =
lim e−iπ/4
R→∞
Z
C(R)
dz exp −α z 2 .
(III.28)
Es läßt sich leicht überprüfen, dass die Integrale über die beiden Bögen dür große R
gegen 0 gehen. Es gilt daher
Z∞
−iπ/4
I(α) = e
dz exp −α z
−∞
2
−iπ/4
= e
r
π
=
α
r
π
.
iα
(III.29)
Das bedeutet, dass man allgemein Integrale dieser Bauart durch analytische Fortsetzung berechnen kann. Insbesondere erhält man mit analogen Überlegungen für
0 ≤ arg β ≤ π/2 die Relation
Z∞
dq exp −β q
−∞
2
=
r
π
.
β
(III.30)
Dies impliziert
I(α)
= lim
Z∞
εց0
−∞
Z∞
= lim
εց0
−∞
dq exp −i (α − i ε) q 2
dq exp −i α q 2 − ε q 2 .
(III.31)
Hier sieht man, dass der ε–Term die offensichtliche Konvergenz des Integrals bewirkt.
Wegen
Z
ψ(qf , tf ) =
dqi K(qf , tf ; qi , ti ) ψ(qi , ti )
Z
Z
=
dqi dq K(qf , tf ; q, t) K(q, t; qi , ti ) ψ(qi , ti )
Segmentierung.
gilt für tf > t > ti
K(qf , tf ; qi , ti ) =
Z
dq K(qf , tf ; q, t) K(q, t; qi , ti ) .
68
(III.32)
III.2. PROPAGATOR UND PFADINTEGRAL
Anschaulich greift man für festes t alle q–Werte
ab. Damit summiert man über alle Pfade, die
über dieses (q, t) führen. Im Gegensatz zur klastf−
•
sischen Theorie tragen alle Pfade bei, d.h. nicht
nur der klassische, der sich als Lösung der Bet
wegungsgleichungen ergibt. Im Folgenden wird
diskutiert, mit welchem Gewicht ein gewisser
ti− •
Pfad beiträgt. Dazu muss man insbesondere die
|
q|f
Koordinate q öfters ‘abgreifen’.
qi
q
Den in (III.32) vollzogenen Prozeß kann man offensichtlich iterieren, d.h. man kann
folgende Zerglegung durchführen:
i
hqf , t|qi , 0i = hqf | exp − H t |qi i
~
Z
Z
i
=
dq1 . . . dqn hqf | exp − H ε |qn i ·
~
i
i
(III.33)
· hqn | exp − H ε |qn−1 i · · · hq1 | exp − H ε |qi i .
~
~
Dabei haben wir [0, t] in n+1 Zeitinterval(tk , qk )
le der Länge ε = t/(n + 1) zerlegt. Der Vor- q
(t, qf )
•
(0,
q
)
i
teil dieser Segmentierung zeigt sich erst bei
•
• •
•
• •
der Betrachtung zeitabhängiger Operatoren
•
•
•
•
H(t). Haben wir ein H, welcher auf jedem
der Segmentzeitintervalle [tk , tk+1 ] (0 ≤ k ≤
tn+1 = t
tk
t0 = 0
n) konstant ist, so ist (III.33) richtig, obwohl
die erste Identität voraussetzt, dass H auf
[0, t] konstant ist. Später werden wir n → ∞ gehen lassen, um zeitabhängige H(t) zu
betrachten.
Durch die Unterteilung wird die Amplitude für die Wahrscheinlichkeit des Übergangs entlang des diskreten Pfades zum Produkt von Übergangsamplituden,
i
W (qf , t; qi , 0) = hqf | exp − H ε |qn i ·
~
i
i
(III.34)
· hqn | exp − H ε |qn−1 i · · · hq1 | exp − H ε |qi i .
~
~
III.2.2
Pfadintegral
Wir betrachten nun einen Hamilton–Operator der Form
H =
p2
+ V (q) = H 0 + V (q)
2m
(III.35)
in einer Dimension.
69
III.2. PROPAGATOR UND PFADINTEGRAL
Die Segmentierung erweist sich nun vorteilhaft, denn der Operator exp (−i H ε)
kann umgeschrieben werden als
i
i
i
= exp − ε H 0 exp − ε V (q) + O(ε2 ) .
(III.36)
exp − ε H
~
~
~
Später wird der Fall n → ∞, d.h. ε → 0, untersucht, so dass man die Terme ∝ ε2
vernachlässigen kann. Es ergibt sich für die Matrixelemente also näherungsweise
i
i
hqk | exp − ε H |qk−1 i = hqk | exp − ε (H 0 + V (q)) |qk−1 i
~
~
i
i
≃
hqk | exp − ε H 0 exp − ε V (q) |qk−1 i
~
~
i
i
=
hqk | exp − ε H 0 |qk−1 i · e− ~ ε V (qk−1 )
~
r
i
i m
m
(III.25)
2
exp
(qk − qk−1 ) · e− ~ ε V (qk−1 )
=
2π i ~ ε
~ 2ε
#)
(
" r
m
i
m qk − qk−1 2
=
− V (qk−1 )
.
(III.37)
exp
ε
2πi ~ ε
~
2
ε
Im Grenzfall n → ∞ ⇐⇒ ε → 0 wird die Näherung besser bzw. exakt. Es ergibt sich
Z
Z
m (n+1)/2
·
K(qf , t; qi , ti ) = lim dq1 . . . dqn
n→∞
2πi ~ ε

" #
2
n
i X

m qj+1 − qj
exp
ε
− V (qj )
. (III.38)
~

2
ε
j=0
Der Exponent n + 1 des Faktors 2πim~ ε ergibt sich, da n + 1 Übergangsamplituden
zwischen den n qk s auftreten. Wir setzen als Pfadintegral
Z
Z
Z
m (n+1)/2
f
Dq := lim dq1 . . . dqn
.
(III.39)
n→∞
2πi ~ ε
Jetzt betrachten wir Funktionen q(t) mit
wobei tk = ε · k .
q(tk ) = qk
Ein Pfad besitzt die Darstellung q(t). Für einen solchen Pfad gilt im Limes n → ∞
mit δt = ε = t/n
" " #
#
n
n
X
X
m qj+1 − qj 2
m q(tj+1 ) − q(tj ) 2
ε
i
δt
− V (qj ) = i
− V (q(tj )
2
ε
2
δt
j=0
n→∞
−−−→ i
j=0
Zt
0
dτ
hm
2
i
q̇ 2 (τ ) − V q(τ ) .
(III.40)
Die Wahrscheinlichkeitsamplitude für den Übergang (qi , 0) → (qf , t) ist also klassisch
ein Pfadintegral
70
III.3. STÖRUNGSTHEORIE
K(qf , t; qi , 0) =
Z
f exp
Dq
i
~
Z
t
0
dτ L q(τ ), q̇(τ )
.
(III.41)
Der Ausdruck ist äquivalent zu
K(qf , t; qi , 0) = N
Hierbei ist
Z
Dq :=
lim
n→∞
Z
Z
Dq exp
dq1 . . .
Z
i
S[q] .
~
(III.42)
dqn ,
N bezeichnet eine ‘Normierungskonstante’.
Interpretation: Wir sehen also, dass man
tf−
•
die Amplitude für den Übergang qi → qf
erhält, indem man über alle Pfade im Konfigurationsraum summiert, wobei jeder Pfad
t
i
S[q]
~
erhält.
als Gewichtsfaktor die Phase e
Klassisch durchläuft das System gerade
ti− •
einen Pfad; nämlich den mit stationärer
|
q|f
qi
q
Wirkung. Dies bedeutet, dass sich die Phase entlang des Weges nicht ändert, wenn man den Weg infinitesimal ändert.
Der klassische Pfad gibt den dominanten Beitrag zur Übergangsamplitude. Die anderen Pfade erhalten unterschiedliche Phasen, so dass sich die entsprechenden Beiträge
in gewissem Sinne wegmitteln.
Bemerkung: Man kann das Wegmitteln analog zu der Situation bei dem Gaußschen
Integral (III.26) verstehen, dessen Konvergenz auch als Wegmitteln von Beiträgen mit
verschiedenen Phasen augefaßt werden kann.
III.3
Störungstheorie
Wir betrachten den Fall
H = H 0 + V (q, t) ,
(III.43)
71
III.3. STÖRUNGSTHEORIE
wobei V in einem gewissen, später zu spezifizierenden Sinn klein sein soll. Es ergibt
sich für den Propagator


Z
Ztf 1

i
m q̇(t)2 − V (q(t), t) 
hqf , tt |qi , ti i = N Dq exp 
dt
~
2
Z
ti
Z
m (n+1)/2
dq1 . . . dqn
n→∞
2πi ~ ε

" #
2
n

i X
m qj+1 − qj
ε
− V (qj , tj )
exp

~
2
ε
j=0


" 2 #
Z
Z
n
i X
m (n+1)/2
m qj+1 − qj
= lim dq1 . . . dqn
exp
ε
·
n→∞
~

2πi ~ ε
2
ε
j=0
(
)
n
i X
exp − ε
V (qj , tj ) .
(III.44)
~
=
lim
k=0
Der Term in der letzten Zeile kann entwickelt werden,
)
(
n
n
i X
i X
V (qj , tj )
= 1− ε
V (qk , tk )
exp − ε
~
~
k=0
k=0
n
( i ε)2 X
V (qk , tk ) V (qℓ , tℓ ) + . . . . (III.45)
+ ~
2!
k,ℓ=0
Durch Einsetzen der Entwicklung erhält man eine Entwicklung für den Propagator,
K = K0 + K1 + K2 + . . . ,
wobei
Z
(III.46)
Z
m (n+1)/2
dq1 . . . dqn
n→∞
2πi ~ ε


"
2 #
n
 i X m q
j+1 − qj
exp − ε
 ~

2
ε
j=0
r
i m (qf − qi )2
m
exp
= θ(tf − ti )
2πi ~ (tf − ti )
~ 2 (tf − ti )
K0 =
lim
der freie Propagator ist. Für K1 erhält man
Z
n
X
ε dqk
K1 = lim
n→∞
Z
k=0
dqn . . .
Z
dqk+1
(III.47)


" #
n
i X
m qj+1 − qj 2 
m (n−k+1)/2
exp
ε

~
2πi ~ ε
2
ε
j=k
72
III.3. STÖRUNGSTHEORIE
−i
V (qk , tk )
~
Z
Z
dqk−1 . . . dq1
i
= −
~
Ztf
ti
dt
Z
m
2πi ~ ε
k/2

i

" 2 #
k−1
X
m qj+1 − qj
exp
ε
~

2
ε
j=0
dq K0 (qf , tf ; q, t) V (q, t) K0 (q, t; qi , ti )
Diesen Ausdruck kann man folgendermaßen interV
pretieren: Das Teilchen propagiert frei von (qi , ti ) bis
zum Raumzeitpunkt (q, t). Dort wirkt dann das PoK0
tential V . Anschließend propagiert das Teilchen weiter frei bis nach (qf , tf ). Es wird über alle möglichen
•
(qi , ti )
Wechselwirkungspunkte (q, t) summiert.
Die Terme zweiter Ordnung in V sind in K2 enthalten,
1
K2 (qf , tf ; qi , ti ) = − 2
~
Ztf
ti
dt1
Ztf
dt2
Z∞
−∞
ti
dq1
Z∞
(III.48)
•
(q, t)
K0
•
(qf , tf )
dq2 ·
−∞
K0 (qf , tf ; q2 , t2 ) V (q2 , t2 ) K0 (q2 , t2 ; q1 , t1 ) V (q1 , t1 ) K0 (q1 , t1 ; qi , ti ) .(III.49)
Die Interpretation verläuft wie bei K1 : Das
V
(q2 , t2 )
Teilchen propagiert frei von (qi , ti ) bis zum Raum•
K0
zeitpunkt (q1 , t1 ). Dort wirkt dann zum ersten
•
(q1 , t1 ) K0
(qf , tf )
Mal das Potential V . Nach einer weiteren Pro•
pagation nach (q2 , t2 ) wirkt V zum zweiten mal.
K0
•
V
(qi , ti )
Anschließend propagiert das Teilchen weiter frei
bis nach (qf , tf ).
Die weiteren Terme in der Störungsreihe (III.46) erhält man analog.
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