Theorie der Normalverteilung - minus-p

Die Normalverteilung (Seite 1)
1. Zielorientierung
In der Realität gibt es oft stochastische Größen, die nicht nur ganzzahlige Werte
annehmen. Beispielsweise die Länge von neugeborenen Babys. Dennoch zeigt die
Verteilung der Längen aller Babys, dass ein bestimmte Gesetzmäßigkeit dahinter
steckt. Die sogenannte Normalverteilung ist für einige Zufallsgrößen als
Modellierung geeignet. Es handelt sich um eine symmetrische Verteilung mit dem
Erwartungswert µ und der Standardabweichung σ.
Die Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufälliger Vorgänge wie:
zufällige Messfehler
zufällige Abweichungen vom Nennmaß bei der Fertigung von Werkstücken
Modellierung von Schadensdaten im Bereich mittlerer Schadenshöhen.
Die Normalverteilung heißt auch Gaußverteilung (nach Carl Friedrich Gauß) oder
Gaußsche Normalverteilung. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte (Graph) wird auch
Gauß-Funktion, Gauß-Kurve, Gauß-Glocke oder Glockenkurve genannt.
2. Die Definition der Normalverteilung
Die Normalverteilung, für die im Folgenden eine Definition angegeben wird, zählt
auch heute noch zu den bekanntesten und am häufigsten verwendeten
Verteilungen.
Definition: Eine stetige Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion
✩(x) =
1
2✜ $✤
$e
−
(x−✙) 2
2✤ 2
heißt normalverteilt mit den Parametern ✙ und ✤ .
Bemerkungen: Man nennt dann die Zufallsgröße X auch (✙; ✤ ) − normal −verteilt oder
kurz N(✙; ✤) − verteilt. Als Schreibweise verwendet man vielfach X i N(✙; ✤).
Die Funktionswerte der Dichtefunktion geben nicht die Wahrscheinlichkeit wieder.
Vielmehr ist die Fläche unter der Kurve zu betrachten. Integriert man beispielsweise
die Funktion ✩(x ) im Intervall [a,b], dann gibt der Wert des bestimmten Integrals die
Wahrscheinlichkeit an, mit der die Zufallsgröße X im Intervall [a,b] liegt.
Die Funktion ✩(x ) beschreibt also die Dichte der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sind
die Funktionswerte groß, dann ist auch die Wahrscheinlichkeit in diesem Bereich
groß. Aber die Funktionswerte selbst besitzen keine Aussagekraft.
P(a [ X [ b ) = P(a < X < b ) = [✂(x )] ba = ✂(b ) − ✂(a )
P(X [ c ) = P(X < c ) = ✂(c )
P(X m c ) = P(X > c ) = 1 − ✂(c )
Die Funktion ✂(x ) beschreibt also Stammfunktion der Dichtefunktion. Mit dieser
Stammfunktion kann dann die Wahrscheinlichkeit berechnet werden (in Analogie
zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung).
Die Normalverteilung (Seite 2)
3. Diese standardisierte Normalverteilung
Leider ist die Dichtefunktion der Normalverteilung nicht integrierbar. Die
Stammfunktion in geschlossener Form existiert leider nicht. Deshalb hat man sich
entschlossen, die Funktion numerisch zu integrieren und die Werte in Tabellen oder
im GTR abzuspeichern. Da es aber für jedes Paar Parameter ✙ und ✤ eine andere
Normalverteilung gibt, wäre es nicht möglich, für jede Normalverteilung diese
Tabelle anzulegen. Deshalb hat man sich eine spezielle ausgewählt und versucht
dann alle anderen auf diese anzuwenden.
Der wichtigste Spezialfall ist die standardisierte Normalverteilung. Sie besitzt den
Erwartungswert 0 und die Standardabweichung 1.
Schreibweise:
Dichtefunktion:
X i N(0; 1 ).
✩( x ) =
1 $ e − x22
2✜
Graph der Dichtefunktion ✩(x ) und der Stammfunktion Φ(x).
Bemerkung: Diese standardisierte Normalverteilung liegt in Tabellenform vor. Die
Werte der Stammfunktion können im Tafelwerk oder im GTR abgelesen werden.
Im GTR heißt die Funktion P(x).
Man findet Sie hier:
OPTN
>
PROB
>
P(
Beispiel:
P(1) = 0,84134 ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße X kleiner als oder
kleiner gleich 1 ist.
P(X [ 1 ) = P(X < 1 ) = ✂(1 ) = 0, 84134
P(3) - P(2) = 0,0214 ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße X zwischen
den Werten 2 und 3 liegt.
P(2 [ X [ 3 ) = P(2 < X < 3 ) = 0, 0214
Einzelne Werte spielen bei der Normalverteilung keine Rolle, da jeder einzelne Wert
mit der Wahrscheinlichkeit 0 angenommen wird.
Die Normalverteilung (Seite 3)
Beispiele zum Ablesen mit Hilfe des GTR:
P(X < 1 ) = 0, 8413
P(X [ 1, 23 ) = 0, 8907
P(X > 1, 23 ) = 0, 1903
P(X [ −0, 55 ) = 0, 2912
P(−1 [ X [ 1 ) = 0, 6827
P(−2 < X < 2 ) = 0, 9545
Jetzt stellt sich die Frage, wie man andere Normalverteilungen berechnet. Dazu
muss man im Prinzip ein beliebige Normalverteilung so verschieben und stauchen,
dass sie der standardisierten Normalverteilung entspricht.
Satz: Ist X eine normalverteilte Zufallsgröße mit den Parametern µ und σ, dann ist
X−✙
die Zufallsgröße Y = ✤ die ebenfalls normalverteilt mit µ = 0 und σ =1.
Es gilt dann:
P(X [ k ) = ✂
P(a [ X [ b ) = ✂
k−✙
✤
b−✙
a−✙
−✂ ✤
✤
Bemerkung: Mit diesem Satz können wir also jede Normalverteilung auf die
standardisierte Normalverteilung zurückführen.
Beispiel einer Normalverteilung mit µ = 180 mm und σ = 0,5 mm
Die Längen vom Holzschrauben einer bestimmten Sorte sind normalverteilt mit dem
Erwartungswert 180 mm und der Standardabweichung 0,5 mm.
X i N(180; 1, 5 )
Auftrag: Stellen Sie die Dichtefunktion mit dem GTR dar.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schraube
kürzer als 180,4 mm
kürzer als 179,93 mm
länger als 181 mm
länger als 182 mm ist.
maximal 0,4 mm vom Erwartungswert abweicht.
mindestens 1,2 mm vom Erwartungswert abweicht.
länger als 179,2 mm, aber kürzer als 180,5 mm ist.
Die Normalverteilung (Seite 4)
Lösungen mit GTR:
P(X < 180, 4 ) = ✂
P(X < 179, 93 ) = ✂
180, 4 − 180
= ✂(0, 8 ) = 0, 78814
0, 5
179, 93 − 180
= ✂(−0, 14 ) = 0, 44433
0, 5
P(X > 181 ) = 1 − P(X [ 181 ) = 1 − ✂ 181 − 180 = 1 − ✂(2 )
0, 5
= 1 − 0, 9772 = 0, 0228
P(X > 182 ) = 1 − ✂(4 ) = 1 − 1, 0000 = 0
P(179, 6 [ X [ 180, 4 ) = ✂(0, 8 ) − ✂(−0, 8 ) = 2✂(0, 8 ) − 1 = 0, 5762
P(178, 8 < X < 181, 2 ) = ✂(2, 4 ) − ✂(−2, 4 ) = 2✂(2, 4 ) − 1 = 0, 9836
P( X − 180 > 1, 2 ) = 0, 0164
4. Zusammenfassung & Ausblick
Sie können jetzt jede beliebig normalverteilte Zufallsgröße untersuchen. Zuerst
standardisieren Sie die Zufallsgröße und danach berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit mit der Tabelle oder dem GTR. Wichtig ist, dass Sie nicht
erkennen müssen, ob es sich um eine normalverteilte Zufallsgröße handelt. Diese
Information ist immer im Text angegeben.
Interessant sind auch Aufgaben, in denen die Wahrscheinlichkeit gegeben ist, und
eine andere Größe gesucht ist. Beispielsweise könnte der Erwartungswert oder die
Standardabweichung gesucht sein.