3.2 Linearkombination und lineare Unabhängigkeit von Vektoren

3.2
Linearkombination und lineare Unabhängigkeit
von Vektoren
3.2.1
Linearkombination von Vektoren
Geometrische Interpretation von Vektoren
R 2 : Paare reeller Zahlen
Punkte in x 1, x 2 − Ebene,
⎛ 4⎞
z.B. Punkt ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 3⎠
⎛ 4⎞
Vektor x = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 3⎠
⎛ 0⎞ ⎛ 4⎞
gerichtete Strecke (Länge, Richtung) auch ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝ 0⎠ ⎝ 3 ⎠
α ⋅ a;
a1 + a2
1
2
Kombination: z.B. 2a + b
R n : n-Tupel reeller Zahlen
Punkte im n-dimensionalen Raum
Vektoren der Dimension n
+ Struktur:
• Multiplikation mit Zahl
• Addition
• zusätzliche Eigenschaften
R n : n-dimensionaler Vektorraum
R1 - Gerade, R2 - Ebene, R3 - Raum
Humboldt-Universität zu Berlin • Fachgebiet Agrarpolitik
Mathe / Folien-Kap-3_2.doc / S. 1
Definition:
Sind Vektoren a 1 ,L , a k ∈ R n und k reelle Zahlen α 1 ,L , α k gegeben,
k
so nennt man den Vektor b = ∑ α i ai eine Linearkombination der
i =1
Vektoren a 1 ,L , a k
Beispiele:
1)
⎛ 4⎞
x = ⎜⎜ ⎟⎟ − LK von e1, e 2 ;
⎝ 3⎠
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
x = ⎜ 3 ⎟ − LK von e1, e 2 , e 3 ;
⎜ 4⎟
⎝ ⎠
⎛ 3⎞
⎛ 2⎞
a = ⎜⎜ ⎟⎟ b = ⎜⎜ ⎟⎟ Dann ist
⎝ 1⎠
⎝ 6⎠
x = 2a + 0,5b eine LK von a und b und andererseits ist
x = 7e1 + 5e 2 eine LK von e1 und e2.
Humboldt-Universität zu Berlin • Fachgebiet Agrarpolitik
Mathe / Folien-Kap-3_2.doc / S. 2
2)
Lineares Gleichungssystem (LGS)
2 x1 - x2 + 0,5 x3 + x4 = 6,4
-2 x3
= 0
x1
x3 +3 x4 = 10
- x1 -2 x2 +
äquivalente Vektor-Schreibweise:
⎛ 2⎞
⎛ − 1⎞
⎛ 0,5 ⎞
⎛ 1⎞
⎛ 6,4 ⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
1
x
0
x
2
x
0
x
0
+
+
−
+
=
⎜ ⎟ 1 ⎜
⎟ 2 ⎜
⎟ 3 ⎜ ⎟ 4 ⎜
⎟
⎜ − 1⎟
⎜ − 2⎟
⎜ 1⎟
⎜ 3⎟
⎜ 10 ⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
∈R
a1 ∈ R 3
a2 ∈ R 3
a3 ∈ R 3
a4 ∈ R3
b ∈ R3
Der Vektor b ist eine LK von a1, ..., a4.
Matrix-Schreibweise:
⎛ 2 − 1 0,5 1⎞
⎜
⎟
1
0
2
0
−
⎜
⎟
⎜−1 − 2
1 3 ⎟⎠
⎝
Koeffizientenmatrix A
⋅
A
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ x2 ⎟
⎜x ⎟
⎜⎜ 3 ⎟⎟
⎝ x4 ⎠
⋅
x
=
=
⎛ 6,4 ⎞
⎜
⎟
0
⎜
⎟
⎜ 10 ⎟
⎝
⎠
b
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3.2.2 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
Wir betrachten Systeme von Vektoren:
(1)
⎛ 2⎞
a1 = ⎜⎜ ⎟⎟,
⎝ 1⎠
⎛ 1⎞
a 2 = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 3⎠
Gibt es ein α mit a 1 = α ⋅ a 2 ?
→ Nein!
(Die Vektoren liegen auf
verschiedenen Geraden)!
(2)
⎛ 2⎞
a1 = ⎜⎜ ⎟⎟,
⎝ 1⎠
⎛ 1⎞
a2 = ⎜⎜ ⎟⎟,
⎝ 3⎠
⎛ 3⎞
a3 = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 4⎠
Lässt sich ein Vektor als LK der anderen Vektoren darstellen?
→ Ja!
a3
=
1 ⋅ a1
a1 + a 2 − 1 ⋅ a 3
+
=
1⋅ a2
⎛ 0⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 0⎠
=
0
Definition: Gegeben seien k Vektoren aus dem R n : a 1 , ..., a k .
Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn aus
der Darstellung
0 = α 1 ⋅ a1 + α 2 a 2 + ... + α k ⋅ ak folgt, dass
α 1 = α 2 = ... = α k = 0 gilt.
Sonst nennen wir die Vektoren linear abhängig.
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Bemerkungen:
1)
Die Bedingung in der Definition sagt aus, dass sich der
Null-Vektor nur auf die triviale Weise als LK der Vektoren
a 1 , ..., a k darstellen lässt.
2)
a 1 , ..., a k sind linear abhängig, wenn ein Vektor als LK
der übrigen darstellbar ist. Das heißt, es existiert ein
α i , i ∈ {1, ..., k} mit α i ≠ 0 .
3)
Eine Teilmenge von linear unabhängigen Vektoren ist auch
linear unabhängig.
Beispiele: (1), (2) (siehe oben)
n
Sei k > n, dann gilt: k-Vektoren im R (mehr als n Vektoren)
sind immer linear abhängig.
Die Einheitsvektoren
⎛ 1⎞
⎛ 0⎞
⎛ 0. ⎞
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
.
0
1
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜.⎟
⎜ .⎟
⎜ .⎟
⎜ 0⎟
⎜ 0⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜.⎟
⎜ ⎟
⎜ .⎟
e1 = ⎜ ⎟ , e 2 = ⎜ ⎟ , L , ei = ⎜ 1⎟
, L , en = ⎜ ⎟
.
⎜ ⎟
⎜.⎟
⎜ 0⎟
⎜ .⎟
⎜ .⎟
⎜ ⎟
⎜.⎟
⎜ ⎟
.
i-te
Koordinate
⎜ ⎟
⎜.⎟
⎜ ⎟
⎜ 0⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜.⎟
⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎝ 0⎠
⎝ 0⎠
⎝ 1⎠
n
des R sind linear unabhängig.
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