ÜBUNGSAUFGABEN Mathematik für Ökonomen II

Institut für
Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie
Universität Augsburg
ÜBUNGSAUFGABEN
zur Vorlesung
Mathematik für Ökonomen II
Sommersemester 2006
1
Aufgabe 51
Man gebe die rekursiv definierten Folgen (an ), (bn ) mit
2
an+1 = n+1
an
(a0 = 12 ) ,
bn+1 =
p
bn
(b1 = 2)
in expliziter Form an und überprüfe die Folgen auf Monotonie und Beschränktheit.
Aufgabe 52
Für die Folgen (an ), (bn), (cn ) mit n ∈ N und
2
− n13
(−1)n n3 + (n + 3)2
n
,
,
bn = √ an =
1 + n2 + 4n3
n n32 − n44
n 1
2
n
n 1 n+1
cn = (−1) 2
n2 +1
berechne man alle Häufungspunkte und Grenzwerte.
Aufgabe 53
Für die Folgen (an ), (bn), (cn ), (dn), (en ) mit n ∈ N und
√
n−n
,
an = √
n+n+1
√
3 n n − 1n
√ ,
bn =
n (2 + n)
cn = (an )2 , dn = an − bn ,
b
en = an
n
überprüfe man die Konvergenz und berechne gegebenenfalls die Grenzwerte.
Aufgabe 54
Oskars Freundin finanziert ihm das Studium. Sie möchte jedoch, dass Oskar zügig studiert, und
setzt folgende Zahlungen an Oskar fest:
Sie zahlt ihrem Freund in den ersten 4 Jahren des Studiums 1000 € pro Monat. Ab Beginn des
9. Semesters erhält Oskar einen Fixbetrag von 600 € pro Monat und im 1. Monat zusätzlich
300 €. Dieser Zusatzbetrag fällt jeden weiteren Monat um 5 % des Zusatzbetrages aus dem
Vormonat. Es wird angenommen, dass ein Semester sechs volle Monate dauert.
a) Stellen Sie die Folge (an ) der gesamten monatlichen Zahlungen auf, die die Freundin ab
Beginn des 9. Semesters an Oskar leistet.
b) Welchen Betrag erhält Oskar im letzten Monat des 12. Semesters?
c) Oskar weiß, dass er wenigstens 790 €/Monat zum Leben braucht. Wie lange kann Oskar
somit sein Studium insgesamt finanzieren, wenn er kein Geld anspart und ausgeschlossen wird, dass Oskar zu einer neuen, finanzstarken Freundin wechselt bzw. eine andere
Geldquelle für sich auftut?
2
Aufgabe 55
Ein Schüler möchte 10 Jahre für ein Auto sparen. Zu Beginn des ersten Jahres bringt er € 100,zur Bank. Nachdem die Bank mit ihm unabhängig von der Höhe der Folgezahlungen einen
jährlichen Zins von 5 % auf den jeweiligen Kontostand zu Jahresbeginn vereinbart, beschließt
der Schüler, seine Spareinlage zu Beginn eines jeden nachfolgenden Jahres gegenüber dem
Vorjahr um 5 % zu reduzieren.
Welchen Betrag hat der Schüler am Ende des 10. Jahres angespart?
Aufgabe 56
Eine Schätzung der gesamten Öl- und Gasreserven im norwegischen Festlandsockel zu Beginn
des Jahres 2003 betrug 13 Milliarden Tonnen. Die Förderung im selben Jahr lag bei 250 Millionen Tonnen.
a) Wann sind die Reserven erschöpft, wenn die Förderung auf demselben Niveau wie im
Jahr 2003 fortgesetzt wird?
b) Nehmen Sie an, dass die Förderung jedes Jahr um 2 % im Vergleich zum vorangegangenen Jahr reduziert wird, beginnend im Jahr 2004.
Wie lange werden die Reserven in diesem Fall reichen?
c) Wie ändert sich die Situation, wenn die jährliche Förderung um jeweils 10 Millionen
Tonnen gegenüber dem Vorjahr steigt, beginnend im Jahr 2004.
Wie lange werden die Reserven in diesem Fall reichen?
Aufgabe 57
a) Für welche k ∈ N konvergieren die Folgen (an ), (bn ), (cn ) mit
an =
3 (n10 −1)
,
2 (n+1)k
bn = a−1
n ,
cn = a2n ?
Geben Sie gegebenenfalls die entsprechenden Grenzwerte an.
b) Zeigen Sie, dass die Reihe (sn ) mit
n
s n = ∑ ai
i=1
für k ≧ 12 konvergiert und für k = 10 divergiert.
3
Aufgabe 58
a) Man überprüfe die Reihen (rn ), (sn), (tn) mit
n
n
i+1
rn = ∑ 53i−1 ,
2i
sn = ∑ 35i ,
i=1
i=0
n
tn = ∑ (2i)!
2(i!)
i=1
auf ihre Konvergenz und bestimme den Grenzwert lim rn .
n→∞
b) Überprüfen Sie mit Hilfe des Quotientenkriteriums, für welche a ∈ R die Reihen (rn ), (sn)
mit
n
rn =
∑a
−i
n
,
sn =
i=0
(a−1)i
∑ a(i+1)
i=0
konvergieren.
Aufgabe 59
Gegeben sind die Funktionen f1 , f2 von einer reellen Variablen mit:
f1 (x) =
4x + 1
,
2x − 1
f2 (x) =
x4 − 3x3 + 2x2
x−1
a) Für welche x ∈ R sind die Funktionen f1 , f2 definiert?
b) Man zerlege f1 additiv in ein Polynom und eine echt–gebrochen–rationale Funktion und
zeige damit, dass f1 für x > 12 streng monoton fällt (ohne Differentialrechnung).
c) Man zeige, dass f2 für alle x ≧ 2 streng monoton wächst (ohne Differentialrechnung).
d) Man zeige, dass weder f1 noch f2 eine globale Extremalstelle besitzt.
Aufgabe 60
Für die gebrochen–rationale Funktion f mit
f (x) =
1
(x − 1)2 (x2 + 1)
führe man eine Partialbruchzerlegung durch.
4
Aufgabe 61
Gegeben ist die Funktion f mit:
q
√
f (x) = (x + 1) (1 − x)
(≧ 0)
a) Für welche x ∈ R ist f definiert?
b) Man zeige ohne Differentialrechnung, dass f für x = 1 minimal und für x = 0 maximal
wird.
Aufgabe 62
Bei der Produktion eines Gutes wirken sich die mit steigenden Stückzahlen gewonnenen Produktionserfahrungen kostensenkend aus.
Die für eine Mengeneinheit (ME) des Produkts anfallenden Stückkosten k (in €/ME) hängen
von der Gesamtproduktionsmenge x folgendermaßen ab:
k(x) = a · xb
mit a, b ∈ R , x ≥ 1
Es wird nun folgendes beobachtet:
i. Die erste produzierte Einheit verursacht Kosten in Höhe von 160 €.
ii. Verdoppelt man die Produktionsmenge ausgehend von einer beliebigen Stückzahl, so sinken die Stückkosten um 20 % gegenüber dem Wert vor Stückzahlverdoppelung.
a) Bestimmen Sie die Parameter a und b der Funktion k .
b) Wie hoch muß die Gesamtproduktionsmenge sein, damit die gesamten Produktionskosten
80.000 € betragen?
Aufgabe 63
Gegeben sei die Funktion f mit:
1
f (x) = 2 x ln(−x)
a) Für welche x ∈ R ist f definiert?
b) Man zeige, dass f streng monoton fällt für x < −1.
5
Aufgabe 64
Man bestimme alle Extremalstellen der Funktion f : [−2π , 2π ] → R mit
π
f (x) = 2 sin x −
6
ohne Differentialrechnung.
Aufgabe 65
Untersuchen Sie die Funktion f : R → R mit:

2x



x
+3




3
f (x) =


(x + 2)2 − 2




 ln(ex+2 )
für x < −3
für x = −3
für −3 < x ≦ 0
für x > 0
auf Stetigkeit.
Aufgabe 66
a) Gegeben sei die rationale Funktion f mit
f (x) =
−x3 + x2 − x + 1
.
x2 − 1
Für welche x ∈ R ist die Funktion definiert, stetig, stetig fortsetzbar?
b) Für welche Konstanten a, b ∈ R ist die Funktion g mit
 √
 x + 1 − a für x ≧ −1
g (x) =
 2x + b
für x < −1
x2 +1
stetig?
Bestimmen Sie im Intervall [−1, 0 ] eine Nullstelle der Funktion g für a = 0.4
und b = 0.6 mit Hilfe des Zwischenwertsatzes bei einer maximalen Abweichung von
0.1 .
6
Aufgabe 67
Gegeben sei eine Produktionsfunktion f : R+ → R+ mit
y = f (x) = (0.5 + 0.5x−2)−0.5 ,
wobei x das Verhältnis von Kapital– zu Arbeitsinput und y das Verhältnis von Bruttosozialprodukt zu Arbeitsinput ausdrückt.
a) Man zeige, dass ein x ∈ [1, 1.2] existiert mit f (x) = 1.05.
b) Man bestimme einen x0 –Wert, der von einem x mit f (x) = 1.05 maximal um 0.05 abweicht, und interpretiere das Ergebnis.
Aufgabe 68
Gegeben sind die reellen Funktionen f1 , f2 , f3 : R → R mit:
√
f1 (x) = x3 x2 + 1
( √
x2 + x + 1 für x ≧ 0
f2 (x) =
x
für x < 0
(
x2 − 2x + 2 für x ≧ 1
f3 (x) =
ex−1
für x < 1
a) Für welche x ∈ R sind die Funktionen differenzierbar?
b) Man berechne gegebenenfalls die Differentialquotienten.
Aufgabe 69
Gegeben ist die reelle Funktion f : R → R mit:

 sin ax für x > 0
x
f (x) =
 b+x für x ≦ 0
1−x
und a, b 6= 0
a) Berechnen Sie für beliebige Konstante a, b 6= 0 die Grenzwerte lim f (x) und lim f (x) ,
x→∞
x→−∞
falls diese existieren.
b) Berechnen Sie die reellen Konstanten a, b 6= 0 so, dass die Funktion f mit f (0) = 1 für
alle x ∈ R stetig bzw. stetig fortsetzbar ist.
c) Zeigen Sie ohne Differentialrechnung, dass f mit a = b = 1 für x = 0 ein globales Maximum besitzt.
7
Aufgabe 70
Gegeben sei die rationale Funktion f : R → R mit
2
f (x) = x x+x+1
2 +1 .
a) Berechnen Sie alle Maximalstellen, Minimalstellen und Wendepunkte der Funktion.
b) Berechnen Sie die Werte f (−3) , f (−1) , f (0) , f (1) , f (3) und skizzieren Sie f (x) .
c) In welchen Bereichen ist die Funktion monoton wachsend bzw. fallend, konvex bzw.
konkav?
Aufgabe 71
Die kumulierte Nachfrage y nach Videorecordern in Abhängigkeit der Zeit t ≧ 1 wird durch die
sogenannte Gompertz-Funktionsgleichung
t
y(t) = 107 e−5(0.5)
prognostiziert.
a) Man skizziere die Funktion und gebe eine Interpretation.
b) Man berechne die Sättigungsgrenze lim y(t).
t→∞
c) Man zeige, dass die Änderungsrate der Nachfrage für alle t ≧ 1 positiv und monoton
fallend ist.
d) Man zeige, dass die Nachfrage für t ≦ 3 elastisch und für t ≧ 4 unelastisch ist.
8
Aufgabe 72
Gegeben sei eine Preisabsatzfunktion f : R+ → R+ mit
x = f (p) = 50 e−0.2 p .
Dabei entspricht p dem Preis, x dem Absatz eines Produktes.
a) Zeigen Sie, dass der Umsatz mit
u(p) = p f (p)
für p ≦ 5 monoton wächst bzw. für p ≧ 5 monoton fällt und für alle p ∈ [0, 10] konkav
ist.
b) Berechnen Sie die Änderungsrate ρ und die Elastizität ε des Umsatzes in Abhängigkeit
des Preises.
c) Bestätigen Sie Ihre in b) berechneten Ergebnisse mit Hilfe von Beispiel 9.21, Satz 9.22 c
und Satz 9.23 c des Lehrbuches.
Aufgabe 73
Das Mobilfunkunternehmen TELLO bietet seinen Kunden eine Beteiligung an der Gestaltung
des Gebührenmodells an.
Sei x ∈ R+ die Anzahl der telefonierten Minuten pro Monat und y ∈ R+ ein Parameter, der
vom Kunden zu Vertragsbeginn frei gewählt werden kann. Für die Gebühren G(x, y) gilt die
Funktionsgleichung
1
· x + 3 (y + 1)2 .
G(x, y) =
3 (y + 1)
a) Wie sollten Sie y ∈ R+ wählen, wenn Sie bei festem x = x0 Ihre Kosten minimieren
wollen?
b) Wie hoch sind nach Kostenminimierung die Grundgebühr sowie der Minutenpreis, wenn
Sie x = 144, 486 bzw. 900 Minuten im Monat telefonieren?
Aufgabe 74
Man untersuche die Funktion f : R → R mit
x
−2
f (x) = 5 e (x − 1) − 1
auf Monotonie und Konvexität.
Man bestimme alle Extremalstellen und Wendepunkte und skizziere den Verlauf der Funktion
für x ≧ 0.
9
Aufgabe 75
a) Für welche x ∈ R konvergieren die Potenzreihen (pn (x)), (qn (x)) mit
ii
n h
n
pn (x) = ∑ 23 (x − 1) , qn (x) = ∑ i(x + 1)i ?
i=0
i=0
b) Zur Funktion f mit f (x) = 2x bestimme man die Folge der Taylor–Polynome an der Stelle
x0 = 0 sowie den Konvergenzradius dieser Folge.
Aufgabe 76
Gegeben ist die Funktion f : R → R mit
(1)
f (x) = a2 x2 − 2a2 x + 1 .
a) Mit a ∈ R ist zunächst eine Konstante charakterisiert. Bestimmen Sie alle lokalen und
globalen Extremalstellen von f in Abhängigkeit von a .
b) Setzen Sie a = x in der Funktionsgleichung (1), und geben Sie die daraus resultierende
Funktion g : R → R in Abhängigkeit von x an.
c) Diskutieren Sie das Monotonie- und das Konvexitätsverhalten von g .
d) Berechnen Sie die Funktionswerte g(−1), g(0), g(0.5), g(1), g(1.5), g(2) und skizzieren
Sie die Funktion.
Aufgabe 77
Gegeben sei die CES–Produktionsfunktion (Constant Elasticity of Substitution function) mit
der Gleichung
1
−c − c
,
y = f (x1 , x2 ) = a (1 − b) x−c
+
b
x
1
2
der Proportionalitätskonstanten a > 0 , dem Verteilungsparameter b ∈ h0, 1i und dem Substitutionsparameter c > 0. Ferner stehen x1 > 0 für den Produktionsfaktor Arbeit, x2 > 0 für den
Produktionsfaktor Kapital und y für das Bruttosozialprodukt (vgl. auch Aufgabe 67).
a) Man berechne die partiellen Grenzproduktivitäten der beiden Faktoren und zeige, dass
diese positiv sind.
∂x
b) Man berechne die Grenzrate der Substitution ∂ x1 .
2
c) Man berechne die partiellen Elastizitäten der Faktoren und zeige, dass die CES–Funktion
homogen vom Grade 1 ist.
d) Man kann zeigen, dass die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung fx1 x1 (x1 , x2 ) und
fx2 x2 (x1 , x2 ) negativ sind. Geben Sie für diese Aussage eine ökonomische Interpretation.
10
Aufgabe 78
a) Man bestimme alle Extremalstellen der Funktion f : R3 → R mit
f (x1 , x2 , x3 ) = x31 + x22 − 3x21 x2 + x23 .
b) Man berechne die Veränderung
∆ f (100, 200, 300) = f (100 + ∆x1 , 200 + ∆x2 , 300 + ∆x3 ) − f (100, 200, 300)
mit ∆x1 = ∆x2 = ∆x3 = 1 näherungsweise mit Hilfe des totalen Differentials und vergleiche das Ergebnis mit dem exakten Wert.
Aufgabe 79
Für ein Produkt, das ein monopolistischer Anbieter auf den Markt bringen möchte, gelte die
Preis–Absatz–Beziehung
√
x = 100 − p + q ,
wobei p den Preis, x die Absatzquantität und q die Werbekosten bezeichnen. Ferner sind die
Produktionskosten durch
c(x) = 40x + 500
gegeben.
a) Skizzieren Sie in der (x, q)–Ebene die Punktmenge, die zu einem positiven Preis führt.
b) Man berechne den Preis p, das Werbebudget q und die Absatzquantität x so, dass der
Gewinn lokal maximal wird, und gebe den maximalen Gewinn an.
Aufgabe 80
Bestimmen Sie zur Funktion f : R2 → R mit
f (x, y) = x3 − x2 · ln (y2 + 1) − 3x
a) den Funktionswert f (−1, 0),
b) den Gradienten,
c) die Hesse–Matrix,
d) alle Nullstellen des Gradienten,
e) die Definitheitseigenschaft der Hesse–Matrix
in jeder Nullstelle des Gradienten,
f) eine lokale Maximalstelle.
11
Aufgabe 81
Zwischen dem Preis x und dem Absatz y eines Gutes wird eine lineare Beziehung der Form
y = a + bx vermutet. Folgende Daten wurden beobachtet:
y
10
9
7
5
4
3
x
20 22 24 26 28 30
a) Mit Hilfe der Daten schätze man a und b nach der KQ–Methode auf zwei Kommastellen.
b) Mit Hilfe von a) prognostiziere man den Absatz y bei einem Preis von x = 25 .
Aufgabe 82
Zeigen Sie, dass die Funktion f : R3 → R mit
f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + x2 + x3
unter der Nebenbedingung x21 + x22 + x23 = r2 mit r > 0 genau ein globales Maximum und ein
globales Minimum besitzt. Wie verändert sich die Lösung, wenn zusätzlich x2 = x3 erfüllt sein
soll.
Aufgabe 83
Ein Teegroßhändler will seinen Tee in quaderförmigen Blechdosen mit quadratischer Grundund Deckfläche auf den Markt bringen.
Welche Abmessungen müssen die Blechdosen haben, damit bei einem Volumen von 1 Liter
(= 1000 cm3 ) ein möglichst geringer Blechverbrauch anfällt.
12
Aufgabe 84
Ein Student möchte mit Freunden seine bestandene Mathematikprüfung mit Bier (x1 ) zum Preis
von 2 €, Schnaps (x2 ) zum Preis von 20 € und Zigaretten (x3 ) zum Preis von 4 € pro Einheit
feiern. Insgesamt veranschlagt er einen Betrag von 120 €. Ferner bewertet er den Nutzen eines
Einkaufs durch die Funktion f mit
f (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 x3
und möchte diesen Nutzen maximieren.
a) Man zeige, dass die nach Satz 10.40 berechnete Hessematrix indefinit ist.
b) Man löse das gegebene Nutzenmaximierungsproblem mit Budgetrestriktion mit Hilfe variabler Lagrange–Multiplikatoren (Satz 10.42).
Aufgabe 85
Man bestimme die Stammfunktionen der Funktionen f1 , f2 , f3 , f4 , f5 mit:
1 2
f1 (x) = 2x + + 2 − cos x + e−2x
x x
f2 (x) = (x2 + x) cos x
x2 − 1
für
(x3 − 3x + 2)n
1
f4 (x) = 3
x −x
p
2
2
f5 (x) = x ex + 1 · ex
f3 (x) =
n = 1, 2
Aufgabe 86
Für die in Aufgabe 85 angegebenen Funktionen berechne man
Z2
π
f1 (x)dx ,
Z2
f2 (x)dx ,
f4 (x)dx .
−2
0
1
Z−4
Aufgabe 87
Man berechne die bestimmten Integrale
Z2π
x sin xdx ,
0
und interpretiere die erhaltenen Ergebnisse.
Z2π
0
| x sin x | dx
13
Aufgabe 88
Gegeben sei eine Grenzkostenfunktion

√


3 · x für x ∈ [0, 100]


30
für x ∈ [100, 400] .
c ′ (x) =



√
 600
für x ∈ [400, 900]
x
Die fixen Kosten betragen c (0) = 1000 .
Bestimmen Sie dazu eine stetige Gesamtkostenfunktion c (x) und berechnen Sie die Gesamtkosten für x = 100, x = 150 und x = 625 .
Aufgabe 89
Der momentane Umsatz eines Produktes zum Zeitpunkt t sei durch die Funktion u : R+ → R+
mit
t
u(t) = 1000(t + 1) e− 2
gegeben.
a) Man skizziere die Funktion u im Planungszeitraum [0, 10] und berechne den Gesamtumsatz in [0, T ] .
b) Man ermittle den Gesamtumsatz für T = 10 und T → ∞ .
Aufgabe 90
Für ein Produkt sollen die Kosten- und Umsatzentwicklungen in Abhängigkeit der Zeit t ≧ 0
betrachtet werden. Dabei wurden für die Veränderung der Kosten k(t) bzw. des Umsatzes u(t)
die Beziehungen
k′ (t) =
100
d k(t)
=
dt
t +1
bzw.
u′ (t) =
d u(t)
1000
=
dt
(t + 1)2
für alle t ≧ 0
ermittelt.
a) Zeigen Sie, dass die Kosten k(t) und der Umsatz u(t) für t ≧ 0 monoton wachsen, während
der Gewinn g(t) = u(t) − k(t) für t ≦ 9 monoton wächst und für t ≧ 9 monoton fällt.
b) Berechnen Sie die bestimmten Integrale
k9 =
Z9
′
k (t) d t ,
u9 =
0
Z9
0
u′ (t) d t ,
g9 = u9 − k9
und interpretieren Sie diese Ergebnisse.
c) Zeigen Sie, dass es eine obere Integrationsgrenze z ≧ 9 mit gz = 0 gibt (keine Berechnung
erforderlich).