2. Überblick Funktionen

Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 1
c 2016 A. Kersch
1
1.1
Funktionen
Grundbegri¤e
Bei fast allen physikalischen Vorgängen wird eine physikalische Größ
e von anderen abhängen. Besipielsweise
hängt die Körpergröß
e vom Alter ab, die Temperatur von der Jahreszeit und der Flächeninhalt eines Kreises
vom Radius. In vielen Fällen läß
t sich dieser Zusammenhang genau angeben, so z.B.
A = r2 , mit r Radius und A Flächeninhalt
In anderen Fällen gibt es keinen allgemeinen, formelhaften Zusammenhang, sondern einen experimentell
messbaren Zusammenhang wie die individuelle Körpergröß
e, die zu verschiedenen Zeitpunkten eindeutig
gemessen und in einer Tabelle notiert werden kann. Dieser Zusammenhang, eine Größ
e eindeutig in Abhängigkeit einer anderen zu kennen, ist der Begri¤ der Funktion.
Funktion Eine Funktion f ist eine Regel, die jedem Element x aus einer Menge X exakt ein Element,
genannt f (x) aus einer Menge Y .zuordnet. X ist der De…nitionsbereich und Y der Wertebereich der
Funktion, Y = ff (x) j x 2 Xg
f
f
: x 7! y = f (x)
: X!Y
Das Symbol, welches die Werte x repräsentiert, werden unabhängige Variable genannt, das Symbol,
welches die Werte f (x) repräsentiert, abhängige Variable..Ein Beispiel ist f (x) = x2 (De…nition der Regel),
das Symbol ”x” ist die unabhängige Variable, wenn der Zusammenhang in der Form y = x2 (Funktionsgleichung) geschrieben wird, ist y die abhängige Variable. Hinter unserem ersten Beispiel A = r2 steckt die
Funktion mit der Regel f (x) = x2 .
Funktions-Familien Um ähnliche Funktionen zu beschreiben, werden Funktions-Familien de…niert: hier
unterscheiden sich die Funktionsgleichungen nur durch einen oder einige Konstanten, die Funktions-Parameter
genannt werden. Ein Beispiel ist die Familie der Potenzfunktionen, also die Funktionen der Form f (x) = xn ,
wobei n eine positive, ganze Zahl ist. Ein anderes Beispiel ist die Funktions-Familie der quadratischen Funktionen f (x) = ax2 + bx + c, wobei a; b; c eine beliebige Zahlen sind.
Stückweise de…nierte Funktionen Funktionen können mit verschiedenen Gleichungen über verschiedenen Teilen des De…nitionsgebietes de…niert sein. Ein Beispiel ist der Betrag der linearen Funktion
f (x) = jxj
Hier hängt der Wert davon ab, ob x positiv oder negativ ist
f (x) =
x
falls
x falls
x 0
x<0
Eine derartige Funktion heiß
t stückweise de…niert.
Graph einer Funktion Wenn f eine Funktion mit De…nitionsmenge X ist, dann ist der Graph der
Funktion durch die Menge
f(x; y) j y = f (x) und x 2 Xg
gegeben. Anders ausgedrücht durch
f(x; f (x)) j x 2 Xg
Modellieren mit Funktionen Wenn ein Physiker über ein Modell eines realen Vorganges spricht, hat er
häu…g eine Funktion vor Augen, die zumindestens näherungsweise die Abhängigkeit einer Größ
e (abhängigen
Variablen) von einer anderen Größ
e (unabhängigen Variablen) beschreibt. Beispielsweise eine Funktion,
welche die Körpergröß
e als Funktion der Zeit beschreibt
Direkte und indirekte Proportionalität Zwei mathematische Modelle treten so häu…g in Wissenschaften
auf, dass sie besondere Namen erhalten haben Die direkt proportionale Abhängigkeit
y = kx
und die indirekt proportionale Abhängigkeit
y=
k
x
Hier ist k die Proportionalitätskonstante.
Andere häu…g vorkommende Abhängigkeiten Manchmal hängt eine abhängige Größ
e von mehr als
einer Größ
e ab. Z.B. wenn die Größ
en x, y, und z durch die Funktionsgleichung
z = kxy
verbunden sind, wobei k 6= 0 eine Konstante ist,sagen wir, daßz gemeinsam direkt proportional von x and
y abhängt. Genauso, wenn
k
z=
xy
sagen wir, daßz gemeinsam indirekt proportional von x und y abhängt. Ebenso
z=k
x
y
hängt z direkt proportional von x und indirekt proportional von y ab.
1.2
Transformationen von Funktionen
Hier wird untersucht, wie Transformationen den Graphen einer Funktion verändern. Dies wird Ihnen helfen,
Funktionsgraphen zu analysieren. Diese Transformationen sind Verschiebung, Re‡exion und Steckung.
Vertikale Verschiebung Betrachten Sie folgenden Graphen einer Funktion
y = f (x)
Wie sieht der Graph von y = f (x) + 3 aus? Und der Graph von y = f (x)
3?
y = f (x) + 2
Horizontale Verschiebung von Graphen
die ähnliche Frage bei y = f (x 3)
y = f (x)
2
Nun ist die Frage, wie der Graph von y = f (x + 3) aussieht,
y = f (x + 2)
y = f (x
Wenn c
0, wird der Graph der Funktion y = f (x
nach rechts um c.
2)
c) erhalten durch Verschieben von y = f (x)
Wenn c
0, wird der Graph der Funktion y = f (x + c) erhalten durch Verschieben von y = f (x)
nach links um c.
Spiegelung von Graphen Die nächste Frage ist, wie y = f (x) aussieht. Hier handelt es sich um den
Graphen, der in y-Richtung, also an der x-Achse gespiegelt wird:
y=
f (x)
Der Graph y = f ( x) entspricht der Spiegelung in -Richtung an der y-Achse:
y = f ( x)
Der Graph der Funktion y =
x-Achse erhalten.
f (x) wird aus dem Graphen von y = f (x) durch Spiegelung an der
Der Graph der Funktion y = f ( x) wird aus dem Graphen von y = f (x) durch Spiegelung an der
y-Achse erhalten.
Vertikales Strecken und Stauchen von Graphen Wie sieht der Graph von y = af (x) aus, wenn
a ist eine positive Konstante? Hierbei handelt es sich um eine Streckung oder Stauchung in y-Richtung,
ausgehend von der -Achse:
y = 2f (x)
y = 12 f (x)
Der Graph der Funktion y = af (x), mit a > 1, wird aus dem Graphen von y = f (x) durch vertikale
Streckung in y-Richtung um den Faktor a erhalten
Der Graph der Funktion y = af (x), mit a < 1 aber a > 0, wird aus dem Graphen von y = f (x) durch
vertikale Stauchung in y-Richtung um den Faktor a erhalten.
Horizontales Strecken und Stauchen von Graphen Schliesslich, wie sieht der Graph von y = f (ax)
aus? Hier ist die Streckung oder Stauchung in der x-Richtung, ausgehend von der y-Achse:
y=f
y = f (2x)
1
2x
Gerade und ungerade Funktionen
Eine Funktion f (x) ist gerade, wenn
f ( x) = f (x) für alle x aus dem De…nitionsbereich
Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur y-Achse.
Eine Funktion f (x) ist ungerade, wenn
f ( x) =
f (x) für alle x aus dem De…nitionsbereich
Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.
f ( x) = f (x)
f ( x) = f (x)
Ein-eindeutige Funktion
De…nition 1 Eine Funktion f mit De…nitionsbereich X ist ein-eindeutig, wenn keine zwei Argumente aus
X denselben Wert haben, d.h.
f (x1 ) 6= f (x2 )
wenn x1 6= x2
Eine Funktion ist ein-eindeutig genau dann, wenn keine horizontale Linie den Graphen mehr als einmal
schneidet
8
6
4
2
-4
-2
0
2
4
ein-eindeutige und nicht
ein-eindeutige Funktion
Inverse Funktion
De…nition 2 Sei f eine ein-eindeutige Funktion mit De…nitionsbereich X und Werteberich Y . Dann heisst
die inverse Funktion f 1 und hat einen De…nitionsbereich Y , einen Wertebereich X und ist de…niert
durch
f 1 (y) = x , f (x) = y
für jedes y aus Y .
Wenn also f eine inverse Funktion hat, gilt,
f
1
(f (x)) = x
und
f f
1
(y) = y
für alle x aus dem De…nitionsbereich von f und alle y aus dem Wertebereich von f .
Es gilt ausserdem: eine Funktion f ist genau dann umkehrbar, wenn sie streng monoton (steigend
oder fallend) ist. Ist die Funktion streng monoton, so ist auch die Umkehrfunktion streng monoton. Die
Umkehrung einer Funktion lässt sich rechnerisch durchführen
y
=
y
=
4
3
3
x+3
) x = (y 3)
umbenennen y = (x
3
4
4
p
1 2
4y keine Funktion
x nicht ein-eindeutig ) x =
4
(1/4)x^2
-6
-4
6
6
4
4
2
2
-2
2
4
6
-6
-4
-2
umbenennen
2
-2
-2
(4/3)x+3-4
-4
-6
-6
ein-eindeutige und nicht
ein-eindeutige Funktion
3)
4
y=
p
4x
6
Invertierung der Funktionen, nur
stueckweise moeglich
Der Graph der inversen Funktion ergibt sich durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden („Vertauschen von x und y Achse”).
Aufgabe: Welche der Funktionen ist umkehrbar ?
a) y
= x2
d) y
=
sin x
b) y = x3
e) y = tan x
2x 3
x 1
f) y = cos x
c) y =
(1)
1.3
Lineare Funktionen
Funktionen, deren Funktionsgleichung in die Form y = mx + b umgewandelt werden können, heiß
en lineare
Funktionen. Ihr Graph ist eine Gerade. Sie schneidet die y-Achse im Punkt P (0 j b) und besitzt die
Steigung m. Der Wert b heiß
t auch y-Achsenabschnitt.
Der Schnittpunkt (eines Graphen) einer linearen Funktion mit der x-Achse heisst Nullstelle. Die Nullstelle wird wie folgt berechnet: y = f (x) = 0 ) x = N ullstelle.
Aufgabe: Skizziere die Geraden und berechne die Nullstelle
a) y = 3x + 1
b) y = 3
2x
c) y =
1
x+1
3
(2)
Eine weitere Aufgabe besteht darin, mit zwei gegebenen Punkten P1 (x1 ; y1 ) und P2 (x2 ; y2 ) die Geradengleichung aufzustellen. Dies geschieht durch Bestimmung der Steigung
m=
das kann nach y aufgelöst werden
y=
y
x
y1
y2
=
x1
x2
y2
x2
y1
(x
x1
y1
x1
x1 ) + y1
Aufgabe: Bestimme die Geradengleichungen
y
y
2
-2
2
2
-2
x
-2
a)
y
2
2
-2
x
-2
2
x
-2
b)
c)
Die Nullstelle einer Geraden entsprechen dem Schnittpunkt der Geraden mit der Horizontalen y = 0 x+0.
Es stellt sich die allgemeinere Frage nach dem Schnittpunkt zweier Geraden. Es gilt: zwei Geraden haben
genau einen Schnittpunkt, wenn ihre Steigungen unterschiedlich sind. Die Rechnung zur Bestimmung des
Schnittpunktes sieht wie folgt aus
Gerade 1: y = m1 x+y1
Gerade 2: y = m2 x+y2
Schnittpunkt:
m1 x+y1 = m2 x+y2
)
x=
y2
m2
y1
m1
Aufgabe: Bestimme die Schnittpunkte durch eine Berechnung und durch eine Skizze
a) f (x) = 3x + 1 g(x) =
1
x
4
3
2
(3)
1.4
Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion, ein Polynom zweiten Grades, besitzt eine Funktionsgleichung der Form
y
y
-4
= f (x) = ax2 + bx + c
= f (x) = a (x
-2
Normalform
2
d) + e
Scheitelpunktform
8
8
6
6
4
4
2
2
0
2
-2
4
0
y = 12 x2
2
y=
1
2
4
6
2
(x
2) + 1
Aufgabe: Bringe die quadratischen Funktionen auf die Scheitelpunktform. Skizziere den FunktionsGrafen
1
a) f (x) = x2 + 4x + 1
b) g(x) = x2 x + 1
c) h(x) = x2 2x + 2
(4)
3
Die quadratische Funktion hat nicht immer eine reelle Nullstelle (komplexe Nullstellen werden später besprochen). Die exisstenz von Nullstellen läß
t sich einfach am Graphen der Funktion ablesen. Die Nullstellen
lassen sich am eiinfachsten in der Scheitelpunktsform …nden. Sei die quadratische Funktion gegeben
y
=
a (x
) (x
2
d) + e = 0
e
2
d) =
a
Die (reelle) Wurzel kann nunn berechnet werden, wenn
e=a positiv ist
r
e
= 0)x d=
a
r
e
) x1;2 = d
a
e
a
Falls die quadratische Funktion in der Normalform gegeben ist, sind die Nullstellen
y
b2
= ax2 + bx + c = 0
4ac = 0 ) x1;2 =
b
p
b2
2a
4ac
3
4
6
4
2
-3
-2
-1
1
2
-2
Quadratische Funktionen mit zwei, einer und
keiner Nullstelle
5
Falls die quadratische Funktion ein oder zwei Nullstellen x1 ; x2 hat, lässt sie sich in der Faktordarstellung
schreiben
y = f (x) = a (x x1 ) (x x2 )
Faktordarstellung
Aufgabe: Berechne die Nullstellen x1 ; x2 der Funktionen und stelle die Funktion in der Faktordarstellung dar f (x) = a(x x1 )(x x2 )
a) f (x) = x2
1.5
x
2
x2 + 2x + 8
b) g(x) =
1 2
x
2
c) h(x) =
3x
4
(5)
Polynome
Im Allgemeinen nennen wir eine Funktion der Form
f (x) = an xn + an
1x
n 1
+ :::a1 x1 + x0
eine Polynomfunktion oder kurz Polynom, die Zahlen ai nennt man die Koe¢ zienten. n ist der Grad
des Polynoms. Bei den Polynomen interessieren uns häu…g die Nullstellen. Als einfaches Beispiel zunächst
die Parabeln höheren Grades
y
y
y
y
2
2
2
2
1
1
1
1
0
0
x
-1
0
x
-1
-2
-2
-1
0
-1
-2
y=x2
1
2
Parabel 2. Grades
0
x
-2
-1
0
-1
-2
y=x3
1
2
x
-2
y=x4
-2
Parabel 3. Grades
-1
0
y=x
y=x2
y=x3
y=x4
1
2
-2
-1
Parabel 4. Grades
0
1
2
Parabeln
Für den algemeinen Fall betrachten wir als Beispiel folgendes Polynom 5. Grades:
x5 + 3x4
f (x) =
y
y
1
-1
x3
3x2 + 2x + a
1
1
2
x
y
y
-1
1
1
1
2
x
-1
1
2
x
-1
1
-1
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-2
(a) a =
1
(b)
a=
0:2
(c)
a=0
(d)
2
x
a = 0:5
Bei geringfügiger Änderung des Polynoms durch den Wert von a (führt zur vertikalen Verschiebung)
ändert sich die Anzahl der Nullstellen von 1 auf 5,4,3.
Dazu lassen sich allgemein folgende Aussagen formulieren:
Jedes Polynom vom Grad n > 1 hat höchstens n Nullstellen
Jedes Polynom vom Grad n mit n ungerade hat mindestens 1 Nullstelle
Wenn ein Polynom f (x) vom Grad n > 1 eine Nullstelle in a hat, d.h. f (a) = 0, dann läß
t sich durch
Polynomdivision ein g(x) = f (x)=(x a) …nden, so daßf (x) = (x a)g(x)
Ein Beispiel ist das Polynom in (c), welches sich vollständig in sogenannte Linearfaktoren zerlegen läß
t
f (x)
=
x5 + 3x4
x3
=
(x
1)2 x(x + 1)
2)(x
3x2 + 2x
Später,wenn wir die komplexen Zahlen kennenlernen, werden wir sehen, das ein Polynom vom Grad n genau
n Nullstellen hat, die allerdings komplex sein können (Fundamentalsatz der Algebra).
1.6
Hyperbeln
Unter einer Hyperbel vom Grad n versteht man Funktionen vom Typ
f (x) =
a
xn
Diese sind ein Spezialfall von rationalen Funktionen (siehe unten). Die Hyperbel 1. Grades ist bereits bei
der indirekten Proportionalität aufgetaucht. Hyperbeln haben einen Pol bei x = 0 und eine Asymptote bei
y = 0. Bei ungeradem Grad gibt es beim Pol einen Vorzeichenwechsel.
y
y
y
y
2
2
2
2
1
1
1
1
0
0
x
-1
0
x
-1
-2
-2
-1
0
1
Hyperbel 1. Grades
1.7
-1
-2
y=1/x
2
0
x
-2
-1
0
-1
-2
y=1/x2
1
2
Hyperbel 2. Grades
x
-2
-1
0
1
Hyperbel 3. Grades
y=1/x
y=1/x2
y=1/x3
-2
y=1/x3
2
-2
-1
0
1
2
Hyperbeln
Rationale Funktionen
Nun konstruieren wir Funktionen als Quotienten von zwei Polynomen. Ein Beispiel ist durch ein Polynom
vom Grad 3 im Nenner und vom Grad 3 im Nenner gegeben
f (x) =
x2 + 1 (2x
3 (x
1)
2
1) (x + 1)
y
4
2
-4
-2
2
-2
-4
4
x
Der Zähler hat 1 reelle Nullstelle bei 0:5 und der Nenner hat 3 reelle Nullstellen, zweimal bei +1 und
einmal bei 1. Daraus ergibt sich eine Nullstelle des Quotienten und Singularitäten (Pole) bei +1 und 1.
Im Allgemeinen nennt man eine Funktion
f (x) =
a(x)
an xn + an 1 xn 1 + ::: + a1 x + a0
=
b(x)
bm xm + bm 1 xm 1 + ::: + b1 x + b0
eine rationale Funktion. Wir können hier annehmen, dass a() und b(x) keine gemeinsamen Nullstellen
haben, da diese ja nach dem Faktorsatz faktorisiert und dividiert werden können. Unter diesen Voraussetzungen sind die Nullstellen von f (x) durch die Nullstellen von a(x) gegeben. Die Nullstellen von b(x)
hingegen de…nieren die Pole von f (x). Wenn n 5 m gibt es eine waagerechte Asymptote. Wenn n = m hat
diese den Wert y = an =bn , ansonsten y = 0.
Aufgabe: Ordnen Sie folgende rationale Funktionen den Graphen zu, begründen Sie
x4 + 1
x3 + x
x4 1
(d)
2x3 8x
(a)
y
-4
x3 + 1
4x2
(c) 2
3
x
4x
x +1
x5 + 1
x2
(e)
(f)
5x3 20x
2x 2
(b)
y
y
4
4
4
2
2
2
-2
2
4
-2
x
-4
-2
2
-4
-4
-2
4
2
2
2
-4
4
x
-4
-2
2
4
-2
-4
(iv)
2
4
y
4
2
x
(iii)
y
-2
4
-4
4
-2
2
-2
(ii)
y
1.8
x
-4
(i)
-4
4
-2
x
-4
-2
-2
x
-4
(v)
(vi)
Potenz Funktionen und Wurzelfunktionen
Die Bausteine der Polynome und rationalen Funktionen sind die Potenzfunktionen vom Grad n
f (x) = xn
Die Potenzfunktionen mit gerader Potenz n sind nur stückweise (nämlich im positiven Halbraum) monoton
und damit invertierbar. Wir betrachten daher nur den positiven Halbraum (d.h. x = 0) und suchen nach
der inversen Funktion.
Im
Fall ist dies die inverse Funktion zu f (x) = x2 . Diese kennen wir bereits, die Wurzelfunkp einfachsten
p
tion x = 2 x. Es gilt daher
p
p 2
x2 =
x =1
p
Für eine höhere Parabel vom Grad n gibt es dementsprechend die höhere Wurzelfunktion n x oder n-te
Wurzel. Es gilt
p
p n
n
xn = n x = 1
Es bietet sich an, folgende Schreibweise zu verwenden:
p
1
p
1
n
n
x = xn
weil n xn = (xn ) n = x n = 1
p
n
und
n
x
1
n
= xn
=1
Wichtig ist, dass hier im allgemeinen das Argument x der Potenzfunktion oder Wurzelfunktion positiv sein
muss (ausser bei ungeradem, ganzzahligen Exponenten).
5 y
y
5 y
y=x2
y=x1/2
2
4
4
3
3
2
2
1
1
y=x2
y=x3
y=x4
y=x1/2
y=x1/3
y=x1/4
1
0
x
-1
y=x
y=x2
y=x3
y=x4
-2
-2
-1
0
1
0
2
Parabeln
0
1
2
3
4
0
0
Wurzelfunktion
1
2
3
4
hoehere Wurzeln
Die Potenzfunktion f (x) = xn hat auf den ersten Blick eine Ähnlichkeit mit den folgenden Exponentialfunktionen f (x) = ax . Man beachte die andere Position der unabhängigen Variablen x. Ansonsten sind
beide Formelausdrücke den Rechenregeln für Potenzen unterworfen.
1.9
Exponential Funktionen
Zwei der wichtigsten Funktionen in der Mathematik und in den physikalischen Anwendungen sind die Exponential Funktion
f (x) = ax
oder etwas allgemeiner
f (x) = c abx
und ihre inverse Funktion, die logarithmische Funktion
g(x) = loga x
oder etwas allgemeiner
g(x) =
1
x
loga
b
c
Diese Funktionen werden insbesondere benötigt, um Zerfalls-und Wachstumsprozesse zu beschreben, die in
Physik, Chemie, Biologie und Wirtschaft auftreten. Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion von der
Form
f (x) = ax
wobei a eine positive Konstante ist. Sie kann wie folgt de…niert werden:
1. Wenn x = n, eine positive, ganze Zahl ist
an = a
| a {z
n Faktoren
2. Wenn x = 0; dann ist a0 = 1.
3. Wenn x =
a}
n eine negative, damit n eine positive ganze Zahl ist
a
n
=
1
an
4. Wenn x eine rationale Zahl ist, d.h., x =
p
, mit p und q positiven ganzen Zahlen und q > 0, dann
q
p
p
ax = a q = q ap
5. Wenn x eine irrationale Zahl ist, ist, ax als folgender Grenzwert de…niert
ax = lim ar
r rational
r!x
Dies macht f (x) = ax zu einer stetigen Funktion. Eine besondere Rolle spielt die Eponentialfunktion mit
der irrationalen Eulerschen Zahl e = 2:71828::: als Basis. Diese Basis e kommt in physikalischen Gesetzen vor,
da diese meistens Lösungen von Di¤erentialgleichungen sind. Darauf wird später ausführlich eingegangen.
In numerischen Rechnungen wird meistens die Basis 10 verwendet („Exponentialschreibweise von Zahlen
im 10er System”), um groß
e Zahlen kompakt auszudrücken. Zur ausgezeichneten Rolle der Basis e sei auf
folgende Eigenschaft hingewiesen (ohne Beweis): Unter den Potenzfunktionen ax liegt nur ex oberhalb der
linearen Funktion 1 + x. So liegen z.B. 2x und 4x teilweise darunter.
y2
1
-1
1
x
x
x
x
1 + x (fett), e (linie), 2 , 4 (gestrichelt)
Bemerkung: Am Taschenrechner und in Computersprachen taucht die Schreibweise 2E+3 (beispielsweise)
auf. 2 ist hier der Vorfaktor, E bedeutet Exponent (und NICHT Euler’sche Zahl). Es wird grundsätzlich 10
als Basis verwendet. Die Zahl bedeutet daher
2E+3 = 2
1.9.1
103 = 2000
Allgemeine Eigenschaften
Theorem 3 Wenn a > 0 und a 6= 1, dann ist f (x) = ax eine stetige Funktion mit dem De…nitionsbereich
R = ( 1; 1) und Wertebereich (0; 1). Insbesondere ist, ax > 0 für alle x. Wenn 0 < a < 1, dann ist
f (x) = ax eine fallende Funktion; wenn a > 1, dann ist f eine steigende Funktion. Wenn a, b > 0 und x,
y 2 R, gilt
ax
(ax )y = axy
(ab)x = ax bx
ax+y = ax ay
ax y = y
a
Die Exponentialfunktion schneidet die y-Achse im Punkt P (0; 1). Es folgt der Graph der Eponentialfunktionen ax mit den Basen e (rot), 10 (blau), und 21 (grün).Die Exponentialfunktion ax wächst für a > 1 und
fällt für 0 < a < 1.
1.10
Logarithmusfunktionen
Logarithmieren ist die Umkehrung des Potenzieren. Die Exponentialfunktion ist invertierbar, da sie streng
monoton (steigend oder fallend) ist. Die Logarithmusfunktion lässt sich daher einfach durch Spiegelung an
der 1. Winkelhalbierenden erzeugen.
)
De…nition Sei a eine positive Zahl mit a 6= 1. Die logarithmische Funktion mit Basis a, bezeichnet
mit loga , ist de…niert durch
loga x = y () ay = x
In Worten: loga x ist der Exponent zur Basis a, um x zu erhalten.
Eigenschaften des Logarithmus
Erläuterung
Eigenschaft
loga 1 = 0
Die Basis a muss um die Potenz 0 erhoben werden, um 1 zu erhalten
loga a = 1
Die Basis a muss um die Potenz 1 erhoben werden, um a zu erhalten
Die Basis a muss um die Potenz x erhoben werden, um ax zu erhalten
loga ax = x
loga x
a
=x
loga x ist die Potenz um die a erhoben werden muss, um x.zu erhalten
Einige Basen werden besonders oft verwendet
Der Logarithmus zur Basis 10 heisst dekadischer Logarithmus und wird machmal mit lg und machmal mit log (z.B. hier) bezeichnet. Er wird zur Darstellung groß
er und kleiner Zahlen verwendet.
Der Logarithmus zur Basis e heisst natürlicher Logarithmus und wird meistens mit ln aber in
manchen Computersprachen leider mit log (z.B. hier) bezeichnet. Er wird zur Darstellung physikalischer Gesetze verwendet.
Der Logarithmus zur Basis 2 heisst dyadischer Logarithmus und wird meistens mit ld bezeichnet.
Er tritt in der Informatik auf.
y
y
y
y
2
2
2
2
1
1
1
1
0
0
x
-1
-2
-1
-1
0
1
Exponentialfunktion
2
-2
0
x
-1
y=ex
y=10x
y=2-x
-2 y=e-x
y=10-x
y=ex
y=e-x
-2
0
x
y=2x
-1
y=ex
y=ln(x)
-2
-1
0
1
Exponentialfunktion
2
x
y=2x
-2
-1
y=ex
y=10x
y=log2(x)
y=ln(x)
y=log(x)
-2
0
1
nat. Logarithmus
2
-2
-1
0
1
Logarithmen
2
Rechenregeln und Umrechnen der Basis Sei a eine positive Zahl mit a 6= 1. Sei x > 0; y > 0; und sei
ausserdem r eine reelle Zahl.
Der Logarithmus von einem Produkt von Zahlen ist die Summe der Logarithmen der Zahlen.
loga (xy) = loga x + loga y
Der Logarithmus von einem Quotient von Zahlen ist die Di¤erenz der Logarithmen der Zahlen
loga
x
y
= loga x
loga y
Der Logarithmus der Potenz einer Zahl ist der Exponent multipliziert mit dem Logarithmus der Zahl.
loga (xr ) = r loga x
Basiswechsel von a nach b:.
logb x
=
weil für y
=
loga by
=
loga x
loga b
logb x gilt: by = x )
loga x ) y loga b = loga x ) y = logb x =
loga x
loga b
Um von der Basis a zur Basis b zu wechseln, reicht es daher loga b.zu kennen. Ein Beispiel wäre hier die
Umrechnung von einem dekadischen Logarithmus auf den natürlichen Logarithmus. Sei die Zahl x = 100 als
dekadischer Logarithmus gegeben, also log 100 = 2. Mit log10 e = 0:43429::: ergibt sich
logb x =
log10 100
2
=
= 4:6052:::
log10 e
0:43429:::
Da auf dem Taschenrechner log und ln zur Verfügung stehen, muss in Logarithmen-Gleichungen mit irgendwelchen Basen demzufolge auf die Basis 10 oder e gewechselt werden, um ein numerisches Ergebnis zu
erzielen..
Umrechnen der Basis der Potenzfunktion Damit ist es nun auch möglich, die Basis der Potenzfunktion
zu wechseln, zunächst von a auf e. Hier muss ln a berechenbar sein
ax
weil für y
y
= ex ln a
= ax gilt:
x
= eln y ) ax = eln a = ex ln a
oder allgemeiner von a auf b, hier muss logb a berechenbar sein.
x
y = blogb y ) ax = blogb a = bx logb a
Ein Beispiel sei die Umrechnung einer Potenz von a = 10 in eine Potenz von b = e
102 = e2 loge 10 = e2
2:3026:::
= e4:6052:::
Ein anderes Beispiel sei die Umwandlung eines "natürlichen Exponentenen" in eine "Zehnerpotenz"
e20 = 1020 log10 e = 1020
0:43429:::
= 108:6858:::
Der Mathematiker Laplace sagte zu der groß
en Arbeiteerleichterung, welche durch das Ersetzen von Multiplikationen von Zahlen durch Additionen der Logarithmen von Zahlen (aus Logarithmentabellen) entsteht:
„Durch die Arbeitserleichterung infolge der Verwendung von Logarithmen wird das Leben der Astronomen
verdoppelt”.
1.11
In der Physik wichtige weitere Funktionen
Arrhenius-Aktivierung: Aus der Hyperbel und der Exponentialfunktion zusammengesetzt ist die ArrheniusFunktion
f (x) = e 1=x
bzw.
f (x) = ae b=x
Sie beschreibt die Zunahme der Reaktionsgeschwindigkeit chemischer Reaktionen mit der Temperatur. Dabei
entspricht x der Temperatur und b der Aktivierungsenergie. Die Reaktionsgeschwindigkeit steigt mit der
Temperatur an und sättigt bei einem asymptotischen Wert von a. Bei kleinem b, also kleiner Aktivierungsenergie, wird die Sättigung früher erreicht.
1
0.8
0.6
0.4
y=e-0.1/x
y=e-0.3/x
y=e-1/x
y=e-3/x
0.2
0
0
1
2
3
4
5
Arrhenius-Aktivierung
Gauss-Funktion
Gauss-Funktion
Aus der quadratischen Funktion und der Exponentialfunktion zusammengesetzt ist die
f (x) = e
x2
bzw.
f (x) = ae
x2 =(2
2
)
Sie beschreibt die Häu…gkeit von zufälligen Messergebnissen um einen Mittelwert, hier Null. Dabei entspricht
x dem gemessenen Wert und der Streubreite.
1
1
2
y=e-x
2
y=(2π)-1/2e-x /2
1
2/(2σ2)
y=(2πσ)-1/2e-x
σ=2
σ=1
σ=0.5
σ=0.25
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0.8
0
0
-2
-1
0
1
Gauss-Funktion
2
2
y=e-x
2
y=xe-x
2
y=x2e-x
-2
-1
0
1
Gauss-Funktion
2
0
1
2
Momente der Gauss-Fkt.
1.12
Winkelfunktionen
Die trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen) beschreiben Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck in Abhängigkeit eines Winkels des Dreiecks. Dabei heiß
t die Seite gegenüber dem Winkel
Gegenkathete, die am Winkel liegende Seite Ankathete. Die Seite gegeüber dem rechten Winkel heiß
t
Hypotenuse.
Seiten im Dreieck
1
einer vollständigen Umdrehung gegen den Uhrzeigersinn (math.
360
1
Drehrichtung). Ein Radiant ist de…niert als der Anteil
einer vollständigen Umrehung. Achten Sie bei
2
ihrem Taschenrechner auf die Einstellung (deg oder rad)
De…nition:
1 =
Ein Grad ist de…niert als
180
1 rad =
rad
180
Die Winkelfunktionen sind wie folgt de…niert
sin = Gegenkathete
Hyp othenuse
tan = Gegenkathete
Ankathete
ausserdem gilt:
Pythagoras
gerade Funktion
ungerade Funktionen
Phasenverschiebungen
Ankathete
cos = Hyp
othenuse
Ankathete
cot = Gegenkathete
sin2 + cos2 = 1
cos( ) = cos
sin( ) = sin
tan( ) = tan
sin + 2 = cos
cos + 2 = sin
sin (
) = sin
cos (
) = cos
Funktionswerte für elementare Winkel
Aufgabe: Erklären Sie die Funktionswerte für die elementaren Winkel für sin und cos
Grad
0
rad
0
sin
0
cos
1
tan
0
cot
1
sec
1
csc
1
30
45
60
6
1
p2
3
2
p
3
3
p
3
p
2 3
3
4
p
2
p2
2
2
3
p
3
2
1
2
p
3
p
3
3
2
1
1
p
2
p
2
2
p
2 3
3
90
180
2
1
0
0
1
270
3
2
360
1
0
2
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Winkelfunktionen ausgedrückt durch Winkel aus dem ersten Quadranten n sei hier eine positive,
ganze Zahl
sin
cos
tan
cot
sec
csc
sin
+ cos
tan
cot
+ sec
csc
90
+ cos
sin
cot
tan
csc
+ sec
180
sin
cos
tan
cot
sec
csc
270
cos
sin
cot
tan
csc
sec
n (360)
sin
+ cos
tan
cot
+ sec
csc
Aufgabe: Berechnen Sie ohne Taschenrechner folgende Winkelfunktionen
a) sin
a)
2
3
b) sin (3 )
=0:86603
2
3
c) sin
b) 0
c)
=
d) cos
0:86603
d)
3
4
=
e) tan (7 )
0:707 11
e) 0
f) tan
f)
7
4
=
1
Mit Hilfe des Pythagoras läß
t sich jede Winkelfunktion durch eine andere ausdrücken, allerdings nur dann,
wenn alle beteiligten Funktionen ein-eindeutig sind. Das ist im Intervall [0; =2] der Fall.
1
1
sin(x)
0.5
3
cos(x)
3
tan(x)
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
cot(x)
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
π/2
0
π
3π/2
-3
-1
2π
π/2
0
Sinus
π
3π/2
2π
0
π/2
π
3π/2
2π
-3
0
Tangens
Cosinus
π/2
π
3π/2
Cotangens
Aufgabe: Drücken Sie a) cos durch sin aus, b) tan durch sin aus, c) cos durch tan aus
a) cos x
=
c) tan x
=
)
p
sin x
sin x
=p
cos x
1 sin2 x
p
sin x
1 cos2 x
1 cos2 x
=
) tan2 x =
cos x
cos x
cos2 x
1
tan2 x cos2 x + cos2 x = 1 ) cos2 x =
1 + tan2 x
+
1
sin2 x
b) tan x =
Additionsgesetze: Die Herleitung der folgenden Formeln geht mit komplexen Zahlen sehr einfach, daher
hier ohne Beweis
sin ('
) = sin ' cos
cos ' sin
cos ('
) = cos ' cos
sin ' sin
tan ('
)=
tan ' tan
1 tan ' tan
Sonderfälle die auch anhand des Funktionsgraphen bewiesen werden können
sin ' +
cos ' +
sin
cos
2
2
2
2
= cos '
=
sin '
' = cos '
' = sin '
2π
Spezialfälle für doppelte und halbe Winkel, die sich aus den Additionsgesetzen ergeben
sin 2' = 2 sin ' cos '
sin2 ' = 2 cos2 '
cos 2' = cos2 '
2 sin2 '
1=1
2 tan '
1 tan2 '
r
'
1 cos '
sin =
(Vorzeichen je nach Quadrant)
2
2
r
'
1 + cos '
(Vorzeichen je nach Quadrant)
cos =
2
2
r
'
1 cos '
1 cos '
sin '
tan =
=
=
(Vorzeichen je nach Quadrant)
2
sin '
1 + cos '
1 + cos '
tan 2' =
Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen Die Umkehrfunktionen von sin, cos, und tan lassen sich in
einem eingeschränkten De…nitionsbereich de…nieren: in
2 ; 2 ist der sin ein-eindeutig und invertierbar, in
[0; ] ist der cos ein-eindeutig und invertierbar und in
;
2 2 ist der tan ein-eindeutig und invertierbar. Die
Arkus-Funktionen kommen auch daher relativ häu…g in der Physik vor, weil sie sich als Stammfunktionen
von Integralen ergeben (siehe später).
1
1
sin(x)
0.5
3
cos(x)
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
cot(x)
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
π/2
0
π
3π/2
-3
-1
2π
0
Sinus
π/2
π/2
π
3π/2
π
-π/2
π/2
acos(x)
0.5
1
Arcus-Sinus
3π/2
-0.5
0
0.5
Arcus-Cosinus
0
π/2
1
π
atan(x)
b) arctan ( 3x)
3π/2
2π
acot(x)
π/2
0
-3
-2
-1
0
1
Arcus-Tangens
2
3
-3
-2
-1
c) arccos (1 + x)
0
1
2
Arcus-Cotangens
Aufgabe: Skizzieren Sie die Graphen der nachfolgenden Funktionen
a) arcsin (2x)
π
Cotangens
-π/2
-1
-3
2π
0
0
0
π
Tangens
π/2
0
-0.5
π/2
0
2π
Cosinus
asin(x)
-1
3
tan(x)
d) arctan 1
x2
3
y
y
2
y4
2
y
2
2
-1
1
x
-5
5
-5
x
-2
-2
arcsin(x) und arcsin(2x)
-1
-2
arctan(x) und arctan(3x)
arcsin(x) und arcsin(2x)
1
x
-2
arctan(x) und arctan(1