RECHENBEISPIELE ZUR VO SCHALTUNGSTECHNIK LVA: 354.019

RECHENBEISPIELE ZUR
VO SCHALTUNGSTECHNIK
LVA: 354.019
Kerstin Schneider
Horst Zimmermann
Dezember 2005
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis:
Beispiel 01: Transistor-Gegentaktendstufe
im B-Betrieb: Verlustleistung und
Dimensionierung der Kühlung
Beispiel 02: Transistor-Gegentaktendstufe
im AB-Betrieb
Beispiel 03: Subtrahierverstärker
Beispiel 04: Integrator
Beispiel 05: Hochpassfilter
Beispiel 06: Kompl. Rückkopplungsfaktor
Beispiel 07: Nullindikator
Beispiel 08: Spannungs/Strom-Interface
Beispiel 09: CMOS-Analog-Multiplexer
Beispiel 10: 1/f Rauschen bei OVs
Beispiel 11: Rauschen bei OVs – praktische
Größen
Beispiel 12: Elektrometerverstärker
Beispiel 13: Elektrometerverstärker 2
Beispiel 14: Pre- und Deemphasis
B01/1 – B01/8
B02/1 – B02/3
B03/1 – B03/4
B04/1 – B04/4
B05/1 – B05/4
B06/1 – B06/6
B07/1 – B07/4
B08/1 – B08/6
B09/1 – B09/3
B10/1 – B10/3
B11/1 – B11/3
B12/1 – B12/2
B13/1 – B13/6
B14/1 – B14/3
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beispiel 1
Beispiel 1
Transistor-Gegentakt-Endstufe im B-Betrieb:
Verlustleistung und Dimensionierung der
Kühlung
Eine Transistor-Gegentaktendstufe im B-Betrieb soll bei sinusförmiger
Aussteuerung an einen Lastwiderstand von 8Ω eine Leistung von 25
Watt
abgeben
können.
Bestimmen
Sie
die
notwendige
Versorgungsspannung der Schaltung bei symmetrischer Versorgung.
Errechnen Sie die in der Endstufe auftretende Verlustleistung und
ermitteln Sie den maximal zulässigen thermischen Widerstand Rth(KB-U)
des Kühlbleches. Als Endstufentransistoren werden BD243/BD244
verwendet. (→ Datenblätter)
Vorgangsweise:
1) Versorgungsspannung
2) Leiten Sie eine Gleichung für die bei sinusförmiger Aussteuerung in
einem der beiden Transistoren entstehende maximale
Verlustleistung ab.
3) Dimensionierung des Kühlkörpers.
Lösung:
1) Versorgungsspannung
PL =
uˆ 2
→ uˆ = … = 20V
2 ⋅ RL
UCE ,Re st ≈ 2… 3V
⇒ UB := 22V
B1/1
Beispiel 1
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
2) Maximale Verlustleistung eines Transistors:
• B-Betrieb
• sin-Aussteuerung
2
1.5
iT+
1
uT+(t)
1.5
+U
B
ia(t)
ua(t)
1
0.5
0.5
0
0
2
4
6
8
10
0
0
-0.5
2
-0.5
iT-
-1
-1
-1.5
-1.5
pvT + = uT + ( t ) ⋅ iT + ( t )
PvT +
1
=
T
T
2
∫ ⎡⎣U
0
B
− ua ( t ) ⎤⎦ ⋅ i a ( t ) dt
→ ua ( t ) = uˆa ⋅ sin(ωt ),
PvT +
1
=
T
T
ia ( t ) =
ua ( t )
RL
⎛ UB ⋅ uˆa
⎞
uˆa 2
2
sin(
)
sin
(
)
ω
ω
t
t
⋅
−
⋅
⎟dt
∫0 ⎜⎝ RL
RL
⎠
2
B1/2
4
6
8
10
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
T
2
∫
Beispiel 1
⎛ ωT ⎞
cos ⎜
T
1
2 ⎟⎠
⎝
=+
sin(ωt ) dt = −
ω
0
ω
π
⇑
ω = 2π f =
⇓
T
2
∫ sin (ωt ) dt =
2
0
⇒ PvT +
max
PvT +
max
ωT − sin(ωT )
T
=+
4ω
4
1 ⎛ UB ⋅ uˆa uˆa 2 ⎞
=
−
⎜
⎟
RL ⎝ π
4 ⎠
Mit uˆa =
PvT +
1
2π
T
=
2
π
⋅ UB ( = 0,637 ⋅ UB ; für maximale Transistor-Verlustleistung)
1 ⎛ 2 ⋅ UB 2 4 ⋅ UB 2 ⎞
− 2
⎜
π ⋅ 4 ⎟⎠
RL ⎝ π 2
1 UB 2
UB 2
= 2
≈ 0,1⋅
!
RL
π RL
In der Praxis tritt bei Musik nicht ständig
der ungünstigste Amplitudenfall auf.
B1/3
Beispiel 1
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
3) Dimensionierung eines Kühlbleches
Gegentakt-Endstufe/Kühlblech
+ UB
P=
L 25W
-UB
Beide Transistoren auf einem Kühlblech:
UB 2
PT ≈ 0,1⋅
= … = 6W pro Transistor
RL
PT ,ges = 12W
→ DatenblattϑG,max ( PTot )
entweder aus Diagramm:
oder aus dem thermischen
Widerstand:
max. Sperrschichttemp.
Tj,max=150°C
RθCJ,max=1,92K/W (siehe DB)
=> ϑG,max = T j ,max − PTot ⋅ RθCJ
ϑG,max = 150°C − 6W ⋅ 1,92 K
ϑG,max = 138,48°C
für PTot = 6W : ϑG,max ≈ 138,5°C
B1/4
W
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beispiel 1
„Thermisches-Ohm’sches Gesetz“
ϑ
U
Pth
I
Rth
R
Rth,G −U =
ϑG − ϑU
Pth
Rth,G→KB = 0,5K/W (Glimmerplättchen und Wärmeleitpaste, siehe
Vorlesung)
Es müssen 6W durch ein Glimmerplättchen abgeführt werden:
ϑG − Rth,G →KB ⋅ Pth = ϑKB
ϑKB = 138,5°C − 0,5 K
W
⋅ 6W = 135,5°C
Umgebungstemperatur : ϑU = 50°C
2 Transistoren sind montiert => vom Kühlblech müssen 12W abgeführt
werden
→ Rth,KB →U =
135,5°C − 50°C
= 7,125 K
W
12W
gewählt: Kühlblech SK 31, 50mm (siehe Datenblatt)
Ö Rth,KB→U ≈ 7,2K/W
B1/5
Beispiel 1
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Länge des Kühlblechs: 44,5mm (minimum)
B1/6
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Datenblätter
B1/7
Beispiel 1
Beispiel 1
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
SK 31 Aluminium Kühlkörper, schwarz eloxiert, TO 220
B1/8
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beispiel 2
Beispiel 2
Transistor-Gegentaktendstufe im AB-Betrieb
Ein Verstärker soll an einen Verbraucher mit RL=5Ω eine Sinusleistung
von 50W abgeben.
Bestimmen sie unter der Voraussetzung, dass die Transistoren T1’ und
T2’ eine Stromverstärkung von 30, T1 und T2 eine Stromverstärkung von
100 und T3 und T4 eine Stromverstärkung von 300 aufweisen, folgende
Werte:
a) Scheitelwerte der Ausgangsspannung und des Ausgangsstromes
b) Versorgungsspannung unter der Voraussetzung einer stabilen
Versorgung
c) Maximale Kollektorströme für die Transistoren T1, T1’ ,T2 ,T2’
d) Widerstandswerte für R1 bis R6
B2/1
Beispiel 2
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a)
2
⎛ Iˆ ⎞
Iˆ = 4,48 A
⎟ * R =>
P=⎜
⎝ 2⎠
Uˆ = 22,4V
b)
Der minimale Spannungsabfall an T1, T1’, T3 und R3 wird zur Bestimmung
der Versorgungsspannung herangezogen. UCE von T3 soll 0,9V nicht
unterschreiten.
An R3 fällt eine Diodendurchlassspannung ab. UR3 = 0,7V
Ub+ = Ua + UBE,T1 + UBE,T1’ + UCE,T3 + UR3
Ub+ = (22,4 + 0,7 + 0,7 + 0,9 + 0,7)V = 25,4V
Aufgrund der Symmetrie der Schaltung ist Ub+ = - Ub-
c)
IC , T 1', max = Iˆa
Die maximale Kollektor-Emitter-Spannung tritt bei Vollaussteuerung auf:
UCE = Ub + Ua = 25,4V + 22,4 V = 47,8V
Mit IB =
IC
ergibt sich der maximale IC von T1 und T2 zu:
B
IC,T1 = IB,T1’ = 149 mA
B2/2
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beispiel 2
d)
An R1 und R2 fallen je 350mV ab. Um Übernahmeverzerrungen zu
vermeiden wird ein Ruhestrom von 30mA eingestellt.
UR1 0,35V
=
= 12Ω
I0
30mA
R1 = R 2 =
für T1 gilt:
IB max =
1 ⎛ 4,48 A 0,7V
+
⎜
100 ⎝ 30
12Ω
⎞
⎟ ≈ 2mA
⎠
der Strom durch die Konstantstromquellen T3 und T4 soll groß sein
gegenüber IBmax,T1
Ögewählt: IC,T3 = 10mA
R3 = R4 =
IB , T 3 =
UR 3
0,7V
=
= 70Ω
IC , T 3 10mA
IC , T 3 10mA
=
= 0,03mA
300
300
Ögewählt Iq = 0.3mA
R5 = R6 =
Ub − 2 * Uf 25,4V − 1,4V
=
= 80k Ω
Iq
0,3mA
B2/3
Beispiel 2
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B2/4
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Beispiel 3
Beispiel 3
Subtrahierverstärker
Eigenschaften der Subtrahierverstärkerschaltung zur Messung von
Differenzsignalen mit Gleichtaktstörungen
Keywords: Differenzverstärkung, Gleichtaktverstärkung,
Gleichtaktunterdrückung
OPV ideal
a) Berechnen Sie die Ausgangsspannung in Abhängigkeit von den
Eingangsspannungen mittels Superposition.
b) Wie groß sind Differenzverstärkung und Gleichtaktverstärkung?
c) Wie groß ist die Gleichtaktunterdrückung (Verhältnis von
Differenzverstärkung zu Gleichtaktverstärkung)?
d) R1=R3=R2=R4=10kΩ (Nennwert:
Wie groß ist die minimale Gleichtaktunterdrückung, wenn die
Widerstände eine Toleranz von 0,5% aufweisen?
e) R1=R3=10kΩ R2=R4=100kΩNennwert Toleranz 0,5%:
Wie wirkt sich die Erhöhung der Verstärkung auf die
Gleichtaktunterdrückung aus?
f) R1=R3=R2=R4=10kΩ, Toleranz vernachlässigbar
Wie groß ist die Gleichtaktunterdrückung, wenn der Subtrahierer von
unsymmetrischen Spannungsquellen mit einem Innenwiderstand von
100Ω bei Eingang 1 und 0Ω bei Eingang 2 angespeist wird?
g) R1=R3=R2=R4=10kΩ, Aussteuerbereich der OPV-Eingänge Up=Un = 10V ... 10V:
Wie groß ist der Gleichtakt-Aussteuerbereich der SubtrahierverstärkerEingänge?
B3/1
Beispiel 3
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
a)
Eingang 1:
Ue1 ≠ 0 , Ue 2 = 0 : Spannungsteiler und Elektrometerverstärker
Ua1 = Ue1
R + R3
R2
⋅ 4
R1 + R2
R3
Eingang 2:
Ue1 = 0 , Ue 2 ≠ 0 : Invertierender Verstärker
U a 2 = −U e 2
R4
R3
gesamt:
U a = U e1
R + R3
R
R 1 + R3 R 4
R
R2
− Ue2 4
⋅ 4
− U e 2 4 = U e1 4 ⋅
R3
R3 1 + R1 R2
R3
R1 + R2
R3
b)
Differenzspannung:
U d = U e1 − U e 2
Gleichtaktspannung:
U gl =
U e1 + U e 2
2
Das Ergebnis aus a) mit
U a = v d ⋅ U d + v gl ⋅ U gl
U e1 =
Ud
+ U gl
2
Ue 2 = −
ergibt:
⎞
⎛ 1 + R3 R 4 ⎞
R ⎛ 1 + R3 R 4
⎟⎟ ⋅ U d + 4 ⎜⎜
⎜⎜1 +
− 1⎟⎟ ⋅ U gl
R3 ⎝ 1 + R1 R2
⎠
⎝ 1 + R1 R2 ⎠
Ua =
1 R4
⋅
2 R3
vd =
1 R4 ⎛ 1 + R3 R4 ⎞
⎟
⎜1 +
2 R3 ⎜⎝ 1 + R1 R2 ⎟⎠
v gl =
⎞
R4 ⎛ 1 + R3 R4
⎜⎜
− 1⎟⎟
R3 ⎝ 1 + R1 R2
⎠
B3/2
Ud
+ U gl
2
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beispiel 3
Ziel: vgl = 0 ⇒ R1 R2 = R3 R 4
Anm.: Zusätzlich muss aber die Gleichtaktverstärkung des OPV
kompensiert werden.
c)
Die Gleichtaktunterdrückung drückt bei einer Differenzspannungsquelle
und überlagerten Gleichtaktstörungen die Abschwächung des
Störsignals gegenüber dem Nutzsignal aus.
vd
v gl
⎛ 1 + R3 R 4
⎞
⎜⎜
+ 1⎟⎟
⎝ 1 + R1 R2
⎠ = 1 R3 R 4 + 2 + R1 R2
=
2 R3 R 4 − R1 R2
⎞
R 4 ⎛ 1 + R3 R 4
⎜⎜
− 1⎟⎟
R3 ⎝ 1 + R1 R2
⎠
1 R4
2 R3
d)
Die maximale Abweichung tritt auf, wenn die Widerstandsverhältnisse
bei unterschiedlichen Grenzen liegen:
R1
R2
=
min
9,95
= 0,99
10,05
R3
R4
=
max
10,05
= 1,01
9,95
v d 1 2 + 1,01 + 0,99
= 100
=
v gl 2 1,01 − 0,99
e)
R1
R2
=
min
9,95
= 0,099
100,5
R3
R4
=
max
v d 1 2 + 0,101 + 0,099
=
= 550
v gl 2 0,101 − 0,099
B3/3
10,05
= 0,101
99,5
Beispiel 3
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
f)
Innenwiderstand wird zu R1 addiert
′
R1 = R1 + Ri
′
R1 10,1
=
= 1,01
R2 10,0
4,01
v d 1 2 + 1 + 1,01
=
=−
= −200,5
0,02
v gl 2 1 − 1,01
g)
U p = U e1 ⋅
R2
R1 + R2
⎛ R ⎞
U e1 = U p ⋅ ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ = 2 ⋅ U p = −20V…20V
R1 ⎠
⎝
Gleichtaktaussteuerung: Ue1 = Ue2
B3/4
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Beispiel 4
Beispiel 4
Integrator
Analyse der Integratorgrundschaltung mit den wichtigsten Quellen der
Abweichung (siehe Buch Elektrische Messtechnik S.126f).
Keywords: Integratordrift, OPV-Offsetspannung, OPVEingangsruhestrom
OPV ideal:
Ermitteln Sie eine Beziehung für R und C, sodaß die gewünschte
Umsetzung von Rechteck auf Dreieck erzielt wird.
R = 100kΩ; OPV ideal:
Wie groß ist C zu wählen?
R = 100kΩ; C = 3,75nF; OPV ideal bis auf |Ie-| = 5nA:
Was geschieht mit dem Ausgang, wenn der Eingang offen gelassen
wird ?
R = 100kΩ; C = 3,75nF; OPV ideal bis auf |Ie-| = 5nA und |Uoff| =600μV:
Was geschieht mit dem Ausgang, wenn der Eingang
kurzgeschlossen wird?
R = 10kΩ; C = 37,5nF; OPV ideal bis auf |Ie-| = 5nA und |Uoff| = 600μV:
Wie wirkt sich die Änderung von R und C aus ?
R = 100kΩ; C = 3,75nF; OPV ideal bis auf |Ie-| = 5nA und |Uoff| = 600μV:
Mit einem Parallelwiderstand Rp (parallel zu C) soll die Schaltung
stabilisiert werden. Bei Ue = 0 V ist eine maximale
Ausgangsspannung von 20 mV zulässig. Wie groß muss Rp gewählt
werden?
R = 100kΩ; C = 3,75nF; Rp = 1,6MΩ; OPV ideal:
Wie groß ist die durch Rp verursachte Abweichung von |Ûa|
gegenüber dem gewünschten Wert?
B4/1
Beispiel 4
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a)
Für den Integrator gilt allgemein:
1
⎫
iC dt ⎪
∫
1
⎪
C
uedt
⎬ ua = −uC = −
RC ∫
ue ⎪
iC = i e =
R ⎪⎭
uC =
bei konstanter Eingangsspannung:
ΔUa =
2Ûa =
Ue
⋅ Δt
R ⋅C
Uˆ e
⋅ 1ms
R ⋅C
3
8
τ int = R ⋅ C = ms=375 μ s
b)
C=
τ
R
= 3,75nF
c)
Ie − = iC = C ⋅
du a
dt
du
I
5nA
V
= 1,3 an.
Die Ausgangsspannung steigt mit ⎛⎜ a ⎞⎟ = e − =
⎝ dt ⎠
B4/2
C
3,75nF
s
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d)
Worst case: Abweichungen addieren sich
IR =
U off
R
IC = IR + Ie − =
U off
+ Ie − =
R
600μV
+ 5 nA = 11 nA
100kΩ
11nA
V
⎛ du a ⎞ IC
= 2,93
⎜
⎟= =
s
⎝ dt ⎠ C 3,75nF
e)
IC =
600μV
+ 5nA = 65nA
10kΩ
65nA
V
⎛ du a ⎞ IC
= 1,73
⎜
⎟= =
s
⎝ dt ⎠ C 37,5nF
f)
stationärer Zustand:
IRp = IR + Ie − = 11nA
U Rp = U a − U off
R p,max =
U Rp
I Rp
=
=
20mV - 600μV = 19,4mV
19,4
MΩ = 1,76 MΩ
11
B4/3
Beispiel 4
Beispiel 4
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
g)
U a = −U e ⋅
Rp 1
Rp
1
j ⋅ω ⋅C
= −U e ⋅
⋅
(1 + j ⋅ ω ⋅ R p ⋅ C ) R
R
Parallelwiderstand ergibt Tiefpass mit der Sprungantwort:
ua (t ) = Ua 0 + (Ua∞
t
−
⎛
τ
⎜
− U a 0 ) ⋅ ⎜1 − e
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
τ = R p ⋅ C = 6ms
U a 0 = −Uˆ a
(
)
1ms
−
⎛
⎞
Uˆ a = Ua (1ms) = −Uˆ a + Ua∞ + Uˆ a ⋅ ⎜⎜1 − e τ ⎟⎟
⎝
⎠
−1ms τ
1− e
Uˆ a = U a∞ ⋅
1 + e −1ms τ
fiktiver (!) Endwert des Ladevorganges: Ua∞ = Ue ⋅ v 0 = 3V ⋅
−1 6
1− e
Uˆ a = 48 ⋅
= 3,991V anstelle von 4 V
1 + e −1 6
F (U a ) = −0,231%
B4/4
Rp
R
= 48V
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Beispiel 5
Beispiel 5
Hochpassfilter
Das Beispiel behandelt einen einfachen Entwurf eines aktiven
Hochpassfilters zur Unterdrückung des 50 Hz - Netzbrumms und die
Untersuchung der Abweichung einer Knickzugnäherung für den
Frequenzgang.
Keywords: Aktives Filter, Bode-Diagramm, Amplitudenabweichung,
Phasenabweichung
C1 = 8 nF; OPV ideal; Nutzfrequenzbereich = { 10 kHz ... 50 kHz };
a) Geben Sie die Verstärkung der Schaltung in allgemeiner Form in
Abhängigkeit von der Frequenz an.
b) Skizzieren Sie das Bode-Diagramm als Knickzugnäherung
c) Ermitteln Sie C2 so, dass im Nutzbereich ( f >> fg ) die Verstärkung v =
4 beträgt.
d) Wie muss R2 gewählt werden, damit der Netzbrumm gegenüber dem
Nutzbereich um mindestens 40 dB abgeschwächt wird ?
e) Geben Sie den Minimalwert der Verstärkung und die relative
Abweichung vom Sollwert (v=4) für den Nutzbereich an.
Wie groß ist die Schwankung der Verstärkung im Nutzbereich in dB ?
f) Wie groß ist die maximale Phasenabweichung im Nutzbereich? Bei
welcher Frequenz erreicht die Phasenabweichung 1°?
g) Wie groß ist die minimale Eingangsimpedanz der Schaltung im
Nutzbereich?
B5/1
Beispiel 5
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a)
1
f
1
j⋅
+ j ⋅ ω ⋅ C2
Z2
fg
R
j ⋅ ω ⋅ C1
j ⋅ 2πf ⋅ R2 ⋅ C1
C
=− 2
v =−
=−
=−
=− 1⋅
1
1
f
1 + j ⋅ 2πf ⋅ R2 ⋅ C2
Z1
C2
1+ j ⋅
+ j ⋅ ω ⋅ C2
fg
j ⋅ ω ⋅ C1
R2
mit
fg =
1
2π ⋅ R2 ⋅ C2
b)
f << fg :v → 2π ⋅ f ⋅ R2C1 , Steigung: 20 dB / Dekade;
f >> fg :
v →
C1
;
C2
ϕ 0 = 270° = −90°
ϕ ∞ = −180°
(180° Phasendrehung durch OPV-Beschaltung mit zwei
Kondensatoren)
B5/2
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beispiel 5
c)
C2 =
C1
= 2nF
v∞
d)
j⋅
U
v [dB] = 20lg 2
U1
40 dB ⇒ 100 fach
v=
f
fg
C1
⋅
C2 1 + j ⋅ f
fg
f50
f
j ⋅ 10 k
fg
fg
⋅ 100 =
f
f
1 + j ⋅ 50
1 + j ⋅ 10 k
fg
fg
j⋅
50
fg
50 2
1+ 2
fg
R2 =
⋅ 100 =
10 4
fg
10 8
1+ 2
fg
, 1+
10 8
fg
2
= 4+
10 4
fg
2
,
9,999 ⋅ 10 7
fg
2
=3
fg = 5,77 kHz
1
1
=
= 13,8kΩ
ωg ⋅ C2 2π ⋅ 5770s -1 ⋅ 2nF
e)
10k
C
C
C
1,734 j
5,77k
= 1⋅
= 1 ⋅ 0,8663 = v min = 3,465
v (10kHz ) = 1 ⋅
10k
C2 1 + 1,734 j C2
C2
1+ j ⋅
5,77k
j⋅
50k
C
C
8,671j
5,77k
v ( 50kHz ) = 1 ⋅
= 1⋅
=
C2 1 + j ⋅ 50k
C2 1 + 8,671j
5,77k
j⋅
=
C1
⋅ 0,9934 = v max = 3,974
C2
B5/3
Beispiel 5
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Δv [dB] = 20 lg
v max
= 1,189dB
v min
f)
maximale Phasenabweichung bei minimaler Frequenz
10k ⎞
⎛
j⋅
⎜
⎟
⎛
1,734 j ⎞
5,77k ⎟
⎜
⎟⎟ = −90° − arctan(1,734 ) = −150°
= arg⎜⎜ −
ϕ (v (10kHz )) = arg −
⎜
10k ⎟
1
1
,
734
j
+
⎝
⎠
⎜ 1 + j ⋅ 5,77k ⎟
⎝
⎠
⎛ x + jy ⎞
arg ⎜
⎟ = arg( x + jy ) − arg(a + jb )
⎝ a + jb ⎠
Δϕ = −150 + 180 = 30°
1° Phasenabweichung bei -179°
f j
⎛
⎞
⎛
j⋅ f
f
fg
⎛ ⎛ f ⎞⎞
⎜
⎟
⎜
g
=
−
=
−
ϕ ⎜v ⎜
arg
arg
⎟
⎟
⎜ 1+ j ⋅ f ⎟
⎜ 1+ f
⎝ ⎝ fg ⎠ ⎠
⎜
⎟
⎜
f
fg
g ⎠
⎝
⎝
⎛
⎞
= −90° − arctan ⎜ f ⎟ = −179°
⎝ fg ⎠
⎛
ϕ ⎜⎜1 + j ⋅
⎝
f
fg
⎞
⎟
=
⎟
j⎟
⎠
⎞
⎟ = 89°
⎟
⎠
f = tan(89°) ⋅ fg = 57,29 ⋅ fg = 330,6kHz
g)
Ze =
1
j ω ⋅ C1
Ze,min =
⇒
Minimum bei maximaler Frequenz
1
= 398 Ω
2π ⋅ 50kHz ⋅ 8 nF
B5/4
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beispiel 6
Beispiel 6
Komplexer Rückkopplungsfaktor
Berechnen Sie allgemein den Rückkopplungsfaktor β bzw. seinen
Kehrwert der folgenden Schaltung:
R2
Ua
Ue
Un
C
R1
Zeichnen Sie den Verlauf von 1/β in ein Bodediagramm ein und ermitteln
Sie graphisch die Schleifenverstärkung als Funktion der Frequenz
R1=1kΩ, R2=9kΩ, C=1µF
a) für einen (sonst idealen) OV mit vg=105
b) für einen OV mit: v g =
10 4
1+ j
ω
ωg
mit ωg = 100s −1
c) Ist die Schaltung stabil? Berechnen Sie die Phasenreserve.
d) In welchen Fällen (variieren Sie die Werte für die Kapazität) ist
Stabilität gegeben?
B6/1
Beispiel 6
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Rückkopplungsfaktor β:
1
u
j ωC
=
β= n =
ua R || 1 + R
1
2
j ωC
R1
1 + j ωR1C
R1
β=
=
R1
( R1 + R2 ) + jωR1R2C
R2 +
1 + j ωR1C
R1 ||
⎛
⎞
R1
⎜ R1 || C = 1 + j ωR1C ⎟
⎝
⎠
R1
1
⋅
,
R1 + R2 1 + j ⋅ ω
β=
ωg
ωg =
1
1
=
R1 ⋅ R2
⋅C R ⋅C
R1 + R2
mit
β0 für DC
(ω ↔ 2π f )
β0 =
1
= 0,1
9 +1
( = −20dB )
ωg =
1
= 1,11⋅ 103 s −1
−6
3
0,9 ⋅ 10 ⋅ 1⋅ 10
R = R1 || R2 =
B6/2
R1 ⋅ R2
R1 + R2
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
a) sonst idealer OPV mit vg=105(=100dB)
| vg | ,| 1/β| ,| vs|
[dB]
100
OPV. | vg |
80
1
β
60
40
| vs|
20
-20
ωg
10
100
3
10
4
10
-40
5
10
lg(ω)
β
ϕ(vg ),ϕ(1/β),ϕ(vs)
[°]
+ 90
ϕ 1
β
+ 45
10
100
3
10
104
105
-45
| vs|
lg(ω)
-90
ϕ(vs)=ϕ(OPV)−ϕ(1/β)
B6/3
Beispiel 6
Beispiel 6
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
b) OPV mit 1 Knick bei vg0=104, ωgOPV=100 s-1
| vg | ,| 1/β| ,| vs|
[dB]
100
OPV. | vg |
80
60
1
β
40
20
-20
ωg
10
100
3
10
| vs|
4
5
10
10
-40
lg(ω)
β
ϕ(vg ),ϕ(1/β),ϕ(vs)
[°]
+ 90
ϕ 1
β
+ 45
10
100
3
10
104
105
lg(ω)
-45
ϕ(vg )
-90
-135
ϕ(vs)=ϕ(OPV)−ϕ(1/β)
-180
c)
v s = v gOPV ⋅ β =
= vg0 ⋅
1
1+ j ω
ωgOPV
⋅ β0 ⋅
1
1+ j ω
=1
ωg
B6/4
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beispiel 6
v s = 1 bei 10530 s −1
ϕ (v s ) 10530s ≈ − 174°
−1
Ö phase margin ≈ 6°
Die Schaltung wird starke Schwingneigung zeigen; die Schwingungen
werden (wenn auch nach langer Zeit) abklingen.
d)
Variation von C:
ωg ,β =
1
= 1111s −1
( R1 // R2 ) ⋅
C
↓ ↓
1k Ω 9k Ω
↓
1μ F
900 Ω
→ durch Variation von C kann die Knickfrequenz des Rückkoppelfaktors
β so verschoben werden, dass v g und
1
β
einander unter einem Winkel
<40dB/Dek (= <90° bei gleichem Maßstab auf beiden Achsen im
Diagramm) schneiden.
gewünschte Grenzfrequenz: ωg,β = 105s-1
ωg, β =
1
900 * C
=> C=11nF
B6/5
Beispiel 6
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
| vg | ,| 1/β| ,| vs|
[dB]
100
OPV. | vg |
80
1
β
60
40
20
-20
10
100
3
10
4
10
5
lg(ω)
10
| vs|
-40
ϕ(vg ),ϕ(1/β),ϕ(vs)
[°]
+ 90
ϕ 1
β
+ 45
10
100
3
10
4
10
5
10
lg(ω)
-45
ϕ(vg )
-90
-135
ϕ(vs)=ϕ(OPV)−ϕ(1/β)
45°
-180
B6/6
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beispiel 7
Beispiel 7
Nullindikator
Für ein lineares Drehspulinstrument mit Mittenstellung soll ein Verstärker
mit nichtlinearer Kennlinie entworfen werden.
Keywords: Verstärker mit Knickkennlinie
B7/1
Beispiel 7
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
geforderte Verstärkerkennlinie:
Ue
0V
± 10 mV
Ua
0V
∓ 2,5 V
± 100 mV
± 1V
∓4V
∓5V
Uref1 = 10V, Uref2 = -10V
Eingangswiderstand des Nullindikators: Re = 1 kΩ
Man dimensioniere die Widerstände für die geforderte Kennlinie. Die
Spannung an den Dioden im leitenden Zustand soll idealisiert mit 0,5 V
und der OPV ideal angenommen werden.
Eingangswiderstand:
R1 = Re = 1k Ω
B7/2
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Bereich 1:
Ue ∈ ± [0V ...10mV ] , Ua ∈ ∓ [0V ...2,5V ]
Verstärkung:
v1 =
ΔUa1
2,5V
=−
= −250
10mV
ΔUe1
Invertierender Verstärker:
v1 = −
⇒
R2
= −250, R1 = Re = 1k Ω
R1
R2 = −v1 ⋅ R1 = 250 k Ω
→
Bereich 2:
Ue ∈ ± [10mV ...100mV ] , Ua ∈ ∓ [ 2,5V ...4V ]
v2 = −
Δua 2
1,5V
=−
= −16,67
90mV
Δue 2
B7/3
Beispiel 7
Beispiel 7
v2 = −
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
R2 R4
R1
→
R2 R4 = 16,67 k Ω
R4 = 17,86 k Ω
→
Bereich 3:
Ue ∈ ± [100mV ...1V ], Ua ∈ ∓ [ 4V ...5V ]
Δu
1
v = − a3 = −
= −1,11
3
Δu
0,9
e3
v3 = −
R2 R4 R6
R1
→
→
R2 R4 R6 = 1,11 k Ω
R6 = 1,19 k Ω
Berechnung von R3 aus den Spannungen an R3 und R4 im Knickpunkt
UaK1:
IR 3 = IR 4 , Uc = −UD1 ≈ −0,5V , Ua = UaK 1 = −2,5V
UR3
U R4
=
Uref 1 + UD1 10,5V R3
→
=
=
−UaK 1 − UD1
R4
2V
R3 =
UR3
U R4
⋅ R4 = 93,77 k Ω
Berechnung von R5 aus den Spannungen an R5 und R6 im Knickpunkt
UaK2:
IR 5 = IR 6 , Ud = −UD 2 ≈ −0,5V , Ua = UaK 2 = −4V
UR5
UR6
=
Uref 1 + UD 2
10,5V R5
=
=
−UaK 2 − UD 2
3,5V
R6
→
R5 =
UR5
UR6
Wegen der Symmetrie der Schaltung gilt: Ri ' = Ri
B7/4
⋅ R6 = 3,57k Ω
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beispiel 8
Beispiel 8
Spannungs/Strom-Interface
Eine Standardschaltung für eine spannungsgesteuerte Stromquelle wird
in Hinsicht auf ihre Funktion und ihre Quellen der Abweichung analysiert.
Schlagworte: OPV-Offset, OPV-Eingangsstrom,
Widerstandseigenerwärmung, OPV-Temperaturdrift
Uref = 10 V; RS = 156,25 Ω; US = 50 V;
Ue1= 0 ... 10 V, Ue2= 0 V, oder
Ue1= 0 V, Ue2= 0 ... 5 V,
a) Welcher Ausgangsstrom IL kann mit der Schaltung erzeugt werden?
(idealer OPV, Vernachlässigung des Transistorbasisstroms)
b) Wie groß ist der maximale Lastwiderstand?
B8/1
Beispiel 8
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
c) Welche Abweichungen von der Sollcharakteristik entstehen durch die
Eingangsoffsetspannung des Operationsverstärkers?
d) Welche Abweichungen von der Sollcharakteristik entstehen durch den
Eingangsruhestrom des Operationsverstärkers?
e) Welche Abweichungen von der Sollcharakteristik entstehen durch den
Basisstrom des Transistors? Wie kann die Abweichung durch ein
Abgleichelement korrigiert werden? Was bewirkt die Verwendung
eines FET?
f) Welche maximalen Abweichungen von der Sollcharakteristik
entstehen durch die Erwärmung des Widerstandes RS, wenn sein
Wärmewiderstand Rth = 320K/W und der Temperaturkoeffizient TKR =
50ppm/K beträgt? Auf welchen Wert wird die Abweichung reduziert,
wenn man zwei doppelt (vier viermal) so große Widerstände parallel
schaltet?
g) Wenn der Transistor mit dem Operationsverstärker integriert ist,
erwärmt sich der Konverter durch die Verlustleistung des Transistors.
Welche maximalen Abweichungen von der Sollcharakteristik
entstehen dabei aufgrund der Temperaturdrift der OPVEingangsgrößen bei einem Wärmewiderstand Rth = 100K/W, einer
Drift der Eingangsoffsetspannung TKUed0=20µV/K und einem
Eingangsruhestrom Ie0(25°C) = 10pA, Verdoppplung je 10K?
B8/2
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beispiel 8
a)
Das Eingangsnetzwerk ist linear. Die Spannung am nicht invertierenden
OPV-Eingang ergibt sich als Summe der geteilten Eingangsspannungen
(durch Superposition):
1
1
U p = Uref
⋅
+
15k
16,25k
1+
1+
10k || 20k
(10k || 20k + 16,25k ) || 5k
+ U e1
1
1
+ Ue 2
20k
10k
1+
1+
(15k || 5k + 16,25k ) || 10k
(15k || 5k + 16,25k ) || 20k
U p = 0,0625 ⋅ Uref + 0,25 ⋅ Ue1 + 0,5 ⋅ Ue 2
Der OPV arbeitet als Regler und stellt die Spannung am Widerstand
RS auf den Wert der Spannung am nicht invertierenden OPV-Eingang
ein. Bei Vernachlässigung des Basisstroms und idealem OPV ergibt
sich für den Ausgangsstrom:
U
IL = p
RS
mA
mA
mA
⋅ Uref + 1,6
⋅ Ue1 + 3,2
⋅ Ue 2 =
V
V
V
mA
mA
= 4mA + 1,6
⋅ Ue1 + 3,2
⋅ Ue 2
V
V
IL = 0,4
IL = 4..20mA
b)
Die maximale Spannung an der Last wird begrenzt durch die Sättigung
des Transistors.
US − IL max ⋅ ( RL + RS ) > UCEsat
US − UCEsat > IL max ⋅ ( RL + RS ) →
RL <
US − UCEsat
− RS
IL max
mit einer typischen Sättigungsspannung von 0.2V:
RL < 2,334k Ω
B8/3
Beispiel 8
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
c)
Eine Offsetspannung des OPV bewirkt eine Änderung der Spannung
an RS um denselben Betrag.
URs = U p − Uoff
IL =
U p − Uoff
RS
Offsetabweichung am Ausgangsstrom: ΔIL =
Uoff
RS
d)
Ein konstanter Strom in den nicht invertierenden Eingang bewirkt eine
Belastung des Widerstandsnetzwerkes am positiven OPV-Eingang.
Alle Eingangsspannungen werden null gesetzt.
ΔU p = −Ri ⋅ Ie 0
ΔIL =
ΔU p
RS
=−
Ri = 20k || 20k || 10k = 5kΩ
Ri
⋅ Ie 0 = −32 ⋅ Ie 0
RS
Die Spannung an RS wird durch den OPV konstant gehalten. Ein
konstanter Strom in den invertierenden Eingang führt daher zu einer
Erhöhung des Ausgangsstromes.
ΔIL = Ie 0
gesamt:
ΔIL = −31⋅ Ie 0
B8/4
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beispiel 8
e)
IE =
Up
RS
IL = IC =
Up ⎛ B ⎞
⋅
RS ⎜⎝ B + 1 ⎟⎠
Verstärkungsabweichung und nichtlineare Abweichung, da B = B ( IC )
näherungsweise Verstärkungsabweichung: IL = IC =
Uref
RS
⎛ B ⎞
⋅⎜
⎟
⎝ B + 1⎠
Verstärkungskorrektur z.B. durch Widerstand parallel zu RS (für
B~100: R ~100RS) keine Abweichung bei FET (Eingangsstrom gleich
Null, Drainstrom gleich Sourcestrom)
f)
Erwärmung des Widerstandes:
ΔT = P ⋅ Rth = RS ⋅ I 2 ⋅ Rth = 156,25 ⋅ 202 ⋅ 10−6 ⋅ 320K = 20K
ΔRS R S = TKR ⋅ ΔT = TKR ⋅ RS ⋅ IL 2 ⋅ Rth = 0,1%
ΔIL IL = −ΔRS R S = −0,1%
Parallelschalten von n Widerständen, (Voraussetzung: freie
Wärmeabgabe für jeden einzelnen Widerstand, nicht zu nahe)
2
1
⎛I ⎞
ΔRS R S = TKR ⋅ ΔT = TKR ⋅ nRS ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ Rth = TKR ⋅ RS ⋅ I 2 ⋅ Rth
n
⎝n⎠
ein Widerstand: ΔIL IL = −0,1%
2 Widerstände parallel: ΔIL IL = −0,05%
4 Widerstände parallel: ΔIL IL = −0,025%
B8/5
Beispiel 8
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
g)
maximale Verlustleistung des Transistors bei maximaler KollektorEmitterspannung (minimaler Lastwiderstand=0)
P = (US − RS ⋅ IL ) ⋅ IL mit IL = 4..20mA
Pmax = 937,5mW
ΔT = P ⋅ Rth = 93,75K unter Vernachlässigung der OPV-Verluste
ΔUed 0 = ΔT ⋅ TKUed 0 = 93,75 ⋅ 20 ⋅ 10−6 V = 1,875mV
Ie 0 (118,75°C ) = 0,01⋅ 10−9 ⋅ 2
ΔIe 0 = 6,64nA
93,75
10
A = 0,01⋅ 10 −9 ⋅ 664 A=6,64nA
(Anm.: offenbar FET-OPV)
Da keine Information über das Vorzeichen des Eingangsruhestromes vorliegt, muss der schlechteste Fall betrachtet werden.
ΔIL =
ΔUed 0
ΔUed 0
+ −32 ⋅ ΔIe 0 + ΔIe 0 =
+ 33 ⋅ ΔIe 0 =
RS
RS
= 12 μ A+0,219 μ A=12,22 μ A
B8/6
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beispiel 9
Beispiel 9
CMOS-Analog-Multiplexer
Das Beispiel behandelt Eigenschaften von CMOS-Analog-Schaltern (z.
B.: DG506A) und ihren Einfluß auf einen invertierenden Verstärker
R1
..
.
..
.
Verstärker 1
Verstärker 2
a) Welche maximalen Abweichungen vom Betrag der Sollverstärkung 1
entstehen durch den Widerstand RS der Analogschalter für die beiden
Schaltungen bei einer Versorgungsspannung US = ±15V (T=25°C)?
b) Auf welchen Wert können die Abweichungen
Verstärkungskorrektur reduziert werden?
durch
eine
c) Welche zusätzlichen Abweichungen entstehen schätzungsweise bei
einer Temperaturerhöhung auf 75°C?
d) Durch welche Maßnahmen lässt sich der Einfluss
Leitwiderstandes der Analogschalter weitgehend eliminieren?
des
e) Welche qualitative Abweichung der Ausgangsspannung entsteht durch
einen konstanten Leckstrom der Schalter?
B9/1
Beispiel 9
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
a)
Der Widerstand des Schalters ändert sich mit der Gate-SourceSpannung und der Versorgungsspannung.
Für beide Verstärker gilt:
v =
R2
R1 + RS
Verstärker 1:
RS max = 230 Ω
v min =
(Schalter-VD zwischen -10V und +10V)
R2
10kΩ
=
= 0,9775
R1 + RS max 10,23kΩ
F = -2,22 %
Verstärker 2:
RS max = 190 Ω
v min =
(Schalter-VD immer auf ca. 0V)
R2
10kΩ
=
= 0,981
R1 + RS max 10,19kΩ
F = -1,86 %
B9/2
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
b)
Beispiel 9
Da beim ersten Verstärker die Kanalspannung des Schalters ±10V
überstreicht, ergibt sich eine Variation des Schalterwiderstandes von:
RS = 190… 230 Ω
ΔRS = 40 Ω
dv
R2
=−
2
dRS
( R1 + RS )
dv
dRS
dR
=−
≈− S
v
R1 + RS
R1
F = -0,4 %
Beim zweiten Verstärker ist die Variation des Widerstandes sehr viel
kleiner (auch abhängig von der OPV-Leerlaufverstärkung). Durch eine
Verstärkungskorrektur kann die Abweichung für den gesamten
Eingangsspannungsbereich größtenteils eliminiert werden.
c)
ΔRS ≈
75 Ω
= 37,5 Ω
2
F = -0,375 %
d)
• Einfügen eines Analogschalters in den Rückkopplungszweig zur
Kompensation
• Einfügen eines Spannungspuffers zwischen Multiplexer und
Inverter
e)
Offsetfehler
B9/3
Beispiel 9
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
B9/4
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beispiel 10
Beispiel 10
1/f Rauschen bei Operationsverstärkern
Benützen Sie die folgende Abbildung zur Herleitung
Eingangsrauschspannung UN und des Eingangsrauschstromes IN.
20 log|u|
[dB]
40
30
20
10
|un|
1/f- Rauschen (Funkelrauschen)
-10 dB/Dekade
weißes Rauschen
0,1
1k 10k
1 10 100
fcu
1. f << fcu:
Abfall mit –10dB/Dekade = tan α
1
1
log u = log K − log f → u = K ⋅
2
f
B10/1
der
Beispiel 10
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beweis:
bzw . log ( f2 ) = log10 + log ( f1 )
f2 = 10 ⋅ f1
→ log ( f2 ) − log ( f1 ) = 1
u1 = K ⋅
1
1
→ 20log ( u1 ) = 20log ( K ) − 20 ⋅ log ( f1 )
2
f1
= 20log ( K ) − 10log ( f1 )
u2 = K ⋅
1
1
=K⋅
10 ⋅ f1
f2
→ 20log ( u2 ) = 20log ( K ) − 10log (10f1 ) =
= 20log ( K ) − 10log (10 ) − 10log ( f1 )
tan α =
=
u2 ( dB ) − u1 ( dB )
=
log ( f2 ) − log ( f1 )
20log ( K ) − 10log ( f1 ) − 10 − 20log ( K ) + 10log ( f1 )
log ( f2 ) − log ( f1 )
= −10dB / Dekade
Definition der Konstanten:
f = fcu :→ u = un
un = K ⋅
1
→ K = un ⋅ fcu
fcu
⇒ u = un ⋅
fcu
f
2. f>>fcu:
u = un
konstant, f-unabhängig → „weißes“ Rauschen
1. und 2.: zusammengesetzte Teilfunktionen (~ PI-Glied)
⎛
f ⎞
u = un ⎜ 1 + cu ⎟ Rauschspannungsdichte nV / Hz
⎜
f ⎟⎠
⎝
B10/2
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beispiel 10
Die Rauschleistungsdichte ist das Betragsquadrat:
fcu ⎞
⎛
u ² = un ² ⎜ 1 + ⎟
f ⎠
⎝
(die Rauschanteile sind unabhängig => der
gemischt-quadratische Term entfällt)
Die Rauschleistung erhält man durch Integration:
fH
U =
2
n
fH
⎛
∫ u ²df = u ² ∫ ⎜⎝1 +
n
fL
fL
= un ²( f + fcu ln(f ) )
fH
fL
fcu ⎞
⎟df =
f ⎠
⎛
⎛ fH ⎞ ⎞
= un ² ⎜ B + fcu ln ⎜ ⎟ ⎟
⎝ fL ⎠ ⎠
⎝
Die Rauschspannung (RMS) ist dann:
⎛ fH ⎞
Un = un fcu ln ⎜ ⎟ + B
⎝ fL ⎠
Analog für den Rauschstrom (RMS):
⎛ fH ⎞
In = in fci ln ⎜ ⎟ + B
⎝ fL ⎠
mit
B=fH-fL
fcu,fci
un,in
Bandbreite
Eckfrequenzen des 1/f – Rauschens
spektrale Rauschspannungs-/-stromdichte des weißen
Rauschanteiles [nV / Hz , pA / Hz ]
B10/3
Beispiel 10
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
B10/4
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beispiel 11
Beispiel 11
Rauschen bei OVs – praktische Größen
Berechnen Sie mit Hilfe der Tabelle EN und IN für eine Bandbreite von
20Hz – 20 kHz wenn die angegebenen OVs verwendet werden.
(
( pA /
un nV / Hz
in
fcu ( Hz )
Hz
)
)
fci ( Hz )
B=fH-fL
fcu,fci
un,in
LM 741
NE 5534
40
4
0,25
0,6
200
90
1500
200
Bandbreite = 19.980 Hz
Eckfrequenzen des 1/f – Rauschens
spektrale äquivalente Eingangs-Rauschspannungs-/
-stromdichte des weißen Rauschanteiles
[nV /
Hz , pA / Hz
]
Die Dichte des Rauschspannungsquadrat ist das Betragsquadrat:
f ⎞
2
⎛
u = un2 ⎜ 1 + cu ⎟
f ⎠
⎝
Die Rauschspannungsquadrat erhält man durch Integration:
fH
fH
⎛
fH
⎛f
f ⎞
2
2
2 ⎛
Un = ∫ u df = un ∫ ⎜ 1 + cu ⎟df = un2 ( f + fcu ln ( f ) ) = un2 ⎜⎜ B + fcu ln ⎜ H
fL
f ⎠
⎝ fL
fL
fL ⎝
⎝
Die Rauschspannung (RMS) ist dann:
⎛f
Un = un ⋅ fcu ⋅ ln ⎜ H
⎝ fL
⎞
⎟+B
⎠
Analog für den Rauschstrom (RMS):
⎛f ⎞
I n = in ⋅ f ci ⋅ ln⎜⎜ H ⎟⎟ + B
⎝ fL ⎠
B11/1
⎞⎞
⎟ ⎟⎟
⎠⎠
Beispiel 11
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Rauschen bei OVs – praktische Größen
f
Un ( B ) = un ⋅ fcu ⋅ ln ⎛⎜ H ⎞⎟ + B
⎝ fL ⎠
f
In (B ) = i n ⋅ fci ⋅ ln ⎛⎜ H ⎞⎟ + B
⎝ fL ⎠
LM 741:
nV
⎛ 20000 ⎞
⋅ 200 ⋅ ln ⎜
⎟ + 19980 ⋅ Hz = 5,86 μV
20
Hz
⎝
⎠
pA
In = 0,25
⋅ 1500 ⋅ ln (1000 ) + 19980 ⋅ Hz = 43,55 pA
Hz
En = 40
NE 5534:
nV
En = 4
⋅ 90 ⋅ ln (1000 ) + 19980 ⋅ Hz = 574,13nV
Hz
pA
In = 0,6
⋅ 200 ⋅ ln (1000 ) + 19980 ⋅ Hz = 87,7 pA
Hz
Abbildung 1: Äquiv. Eingangs-Rauschspannungsquadrat für LM 741 und NE 5534
B11/2
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Abbildung 2: Äquiv. Eingangs-Rauschstromquadrat für LM 741 und NE 5534
B11/3
Beispiel 11
Beispiel 11
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
B11/4
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beispiel 12
Beispiel 12
Elektrometerverstärker
Gegeben sei ein Elektrometerverstärker, der durch eine Quelle mit
rauschendem Innenwiderstand angesteuert wird. Das OV-Rauschen wird
durch eine Rauschstromquelle zwischen den Eingängen und eine
Rauschspannungsquelle in Serie dazu beschrieben.
R2
R1
a) Geben Sie das Rausch-Ersatzschaltbild der Schaltung an.
b) Kombinieren Sie alle Rauschanteile zu einer
Rauschersatzspannungsquelle am Eingang.
a)
2
uRg
uni2
ini
R2
uR22
R1
uR21
B12/1
Beispiel 12
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Rg
ini
2
uRg
R1//R2
2
ni
u
uR21||R2
b)
un²
vr
F= 1
LEISTUNGEN DER UNKORRELIERTEN QUELLEN ADDIEREN!
un2 = uR2 g + uni2 + uR2 1// R 2 + i ni2 ( Rg + ( R1 // R2 ) )
2
Mischterme fallen nicht
weg, da der Strom durch
alle 3 Widerstände fließt!
mit
2
URg
= 4kTBRg
UR2 1// R 2 = 4kTB ( R1 // R2 )
uni2 , i ni2 → OPV-Rauschen/Datenblatt
B12/2
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beispiel 13
Beispiel 13
Elektrometerverstärker 2
Im
Beispiel
B12
wurde
das
Rauschersatzschaltbild
eines
Elektrometerverstärkers
ermittelt.
Gegeben
sei
nun
eine
Elektrometerverstärker – Schaltung mit einem OV des Typs AD 711. Die
Schaltung wird durch eine Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand
Rg=1kΩ angesteuert.
a) Berechnen Sie zu den im Datenblatt gegebenen Rauschdaten (P1 bei
10 Hz … P4 bei 10 kHz) eine passende Eingangs-RauschdichteVerteilungsfunktion über der Frequenz (mit einer Knickfrequenz
fg , un∞ ).
b) Berechnen Sie für die Rauschdichte- Verteilungsfunktion aus Punkt a)
die Rauschspannung am Eingang des OVs für den Frequenzbereich
0,1 Hz bis 10 Hz.
c) Berechnen Sie für eine Verstärkung von vr=100 den Widerstand R1 für
R2=10kΩ.
d) Berechnen Sie für den Frequenzbereich 10 Hz bis 1 kHz die
Eingangsrauschspannung (allgemeine Gleichung, dann einsetzen).
e) Berechnen Sie für den Frequenzbereich aus Punkt d) die Rauschzahl
des Verstärkers.
f) Wie könnte man die Rauschzahl der Gesamtschaltung verbessern?
Ist für die gegebene Quelle ein OV mit FET-Eingängen die optimale
Lösung?
B13/1
Beispiel 13
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
a)
log
nV
70
Hz
60
50
40
P1
P2
8
30
un
P3
P4
20
10
0
0,01
0,1
1
10
100
fg
1000
10000 100000
logHz
⎛ f ⎞
uni2 = uni2∞ ⎜ 1 + g ⎟
f ⎠
⎝
f1un21 = uni2∞ ( f1 + fg )
f4un24 = un22∞ ( f4 + fg )
→u
2∞
ni
f4un24 − f1un21 10 4 ⋅ 0,256 ⋅ 10 −15 − 10 ⋅ 2,025 ⋅ 10 −15 2
=
=
V / Hz
f4 − f1
104 − 10
uni2∞ = 0,254 ⋅ 10 −15V 2 / Hz
uni∞ = 15,94nV / Hz
⎛ u2
⎞
→ fg = f1 ⎜ 2n∞1 − 1⎟ = 69,7Hz = 70Hz
⎝ un
⎠
B13/2
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
f=10Hz
f=100Hz
f=1kHz
f=10kHz
B13/3
Beispiel 13
Beispiel 13
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
b)
⎡
f ⎤
U = ∫ un2df = uni2∞ ⎢( fo − fu ) + fg ln o ⎥
fu ⎦
⎣
fu
fo = 10Hz
2
n
fo
fu = 0,1Hz
Un2 = 0,254 ⋅ 10−15 [9,9 + 70ln100] = 0,0844 ⋅ 10−12V 2
un = 0,3 μV
rms !
c)
R2 = 10k Ω
v r = 100
R1 = 990k Ω
R1 // R2 = 9,9k Ω
R1
R2
d)
Rausch-ESB: Un2 auf Eingang bezogen
2
ini
uRg2
R1//R2
2
uni
2
= 4kTRg = 1,6 ⋅ 10−17 V
uRg
2
uR1//R2
2
Hz
uR21 // R2 = 4kT ( R1 // R2 )
B13/4
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
2
un2 = uRg
+ uni2 + uR21 // R2 + i ni2 ( Rg + ( R1 // R2 ) )
Beispiel 13
2
f0 = 1kHz, fu = 10Hz, B = f0 − f4 = 990Hz
2
⎛
f ⎞
2
Un2 = uRg
B + un∞ 2 ⎜ B + fg ln o ⎟ + uR21IIR2 B + i ni2 B ( Rg + ( R1 // R2 ) )
fu ⎠
⎝
(B13.1)
Un2 = 4,9 ⋅ 10−13V 2
Un = 7 ⋅ 10 −7V
e)
2
Unges
5,06 ⋅ 10 −13
F=
=⋅
= 32
4kTBRg
1,58 ⋅ 10−14
FdB = 10log F = 15dB
1
F = 1+
4kT
2
⎡⎛
R1 || R2 ) ⎞ 2 un2∞ ⎛ fg fo ⎞ ⎤ R1 || R2
(
⎢⎜ Rg + 2 ⋅ R1 || R2 +
⎟ ⋅ i ni +
⎜ 1 + ln ⎟ ⎥ +
⎟
Rg
Rg ⎝
B fu ⎠ ⎥
Rg
⎢⎣⎜⎝
⎠
⎦
f)
Optimierung von F in Abhängigkeit von Rg:
dF
=0
dRg
Rgopt =
→
Rg
opt
⎛ f ⎛ ´f ⎞ ⎞
2
4kT (R1 || R2 ) + un∞ 2 ⎜ 1 + g ln ⎜ o ⎟ ⎟ + ( R1 || R2 ) ⋅ i ni 2
B ⎝ fu ⎠ ⎠
⎝
= 2,21M Ω
i ni 2
für Rg=1kΩ besser BIP-OV verwenden!
B13/5
Beispiel 13
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Rgopt in Gl. (B13.1) einsetzen:
Un2 = 3,6 ⋅ 10 −11V 2
4kTBRgopt = 2,53 ⋅ 10−11V 2
2
⎛
−17 V
2
,
⎜ Rg = 1k Ω : uRg = 1,6 ⋅ 10
Hz
⎝
Fopt = 1,0279
⎞
2
URg
= 1,584 ⋅ 10 −14V 2 ⎟
⎠
Fopt ,dB = 0,12dB
Das Rauschspannungsquadrat ist dabei aber 73 mal größer!
!!MINIMALES F HEISST NICHT MINIMALES RAUSCHEN!!
B13/6
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
Beispiel 14
Beispiel 14
Pre- und Deemphasis
Welche Verbesserung des Signal-Rausch-Leistungsverhältnisses wird
beim UKW-Rundfunk (angenommene NF-Bandbreite 16 kHz) durch die
Vorverzerrung im Empfänger erreicht, wenn dafür RC-Filter erster
Ordnung mit einer Zeitkonstanten τ=75 μs verwendet werden. Welche
äquivalente Rauschbandbreite (weißes Rauschen) ergibt sich für den
Tiefpass im Empfänger.
(Die
äquivalente
Rauschbandbreite
eines
Filters
mit
der
Übertragungsfunktion H (ω) ist identisch gleich der Bandbreite eines
Vergleichsfilters, das eine rechteckförmige Übertragungsfunktion der
Höhe H (0) hat und dessen Ausgang dieselbe Rauschleistung liefert wie
das betrachtete Filter.)
N0
Hv(ω)
S1
N2
+
Übertragung
S2
Verstärkung
Entzerrung
Bandbreite B
VorVerstärkung
verzerrung Bandbreite B
S1.....unverzerrtes Sendesignal
S2….rückgewonnenes Empfangssignal
Es soll möglichst S1=S2 erreicht werden.
2
2
Übertragungsfunktion Übertragungsfunktion
→
⋅
=1
der Vorverzerrung
der Entzerrung
Es gilt:
S(
1 ω)
S(
2 ω)
H(ω)
Leistungsdichte
am Eingang
Leistungsdichte
am Ausgang
S2 = S1 ⋅ H
B14/1
2
Beispiel 14
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
In unserem Fall wird also das Signal unverzerrt übertragen.
Das Rauschsignal N0 durchläuft das Entzerrungsfilter. Es wird weißes
Rauschen
mit
konstanter
spektraler
Rauschleistungsdichte
Sxx = konst = N0G vorausgesetzt.
Das Vorverzerrungsfilter ist ein Hochpass 1. Ordnung, für den EntzerrerTiefpass erhält man:
He ( jf ) =
2
He =
1
1+ j
1
2
f
fg
⇒ He =
⎛ f ⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ fg ⎠
2
1
f
mit x =
2
1+ x
fg
Die Rauschleistung am Ausgang N2 erhält man aus:
N2 = ∫ Syydf = ∫ Sxx ⋅ H df = ∫ N0G
2
B
B
B
B / fg
N2 = ... = N0G ⋅ fg
∫
0
1
df
1+ x2
⎛B⎞
1
=
⋅
⋅
⋅
dx
G
N
f
arctan
g
⎜⎜ ⎟⎟
0
1+ x2
⎝ fg ⎠
Ohne Entzerrung wäre die Rauschleistung am Ausgang:
N2' = G ⋅ N0B
Die Verbesserung des SNR ist dann:
N ( mit )
1 SNR ( ohne )
fg
B
=
= 2
= ⋅ arctan
A
SNR ( mit )
N2 ( ohne ) B
fg
↑
S(mit ) = S(ohne )
B14/2
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
⇒ B = 16kHz, fg =
Beispiel 14
1
1
=
= 2,12kHz
2π ⋅ τ 2π ⋅ 75 μ s
1
B
⎛B⎞
= 7,55; arctan ⎜ ⎟ = 1,44 rad = 82,5°;
= 0,19
fg
A
⎝ fg ⎠
Verbesserung A = 5,24 =ˆ 7,2dB
Äquivalente Rauschbandbreite:
Bandbreite eines fiktiven Filters mit rechteckförmiger Übertragungsfunktion, aus dem die gleiche Rauschleistung herauskommt.
(Eingangssignal = weißes Rauschen).
fg
⎛B⎞
N 2 = G ⋅ N 0 ⋅ fg ⋅ arctan ⎜ ⎟
⎝ fg ⎠
N 2 := G ⋅ N 0 ⋅ fä
fä
=> fä
⎛B⎞
fä = fg ⋅ arctan ⎜ ⎟ = 3,05kHz
⎝ fg ⎠
B14/3
B
Beispiel 14
Rechenbeispiele zur VO Schaltungstechnik, LVA: 354.019
B14/4