X - Methodenlehre - Johannes Gutenberg
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Statistik & Methodenlehre e ode e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 ((Raum 06-206)) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. g Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike } [email protected] http://psymet03.sowi.uni-mainz.de/methods/ SS 2010 Fachbereich Sozialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz Statistik & Methodenlehre e ode e e Erwartungswert Varianz Diskrete Zufallsverteilungen Diskrete Verteilungen Stetige Verteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen g Numerische Beschreibung: Kennwerte Als Kennwert Al K t bezeichnet b i h t man ein i statistisches t ti ti h Maß, das eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über zumeist nur eine Zahl beschreibt Kennwerte dienen damit der Informationsreduktion Kennwerte charakterisieren lediglich bestimmte Eigenschaften der gegebenen Verteilung, sie bedeuten also einen Informationsverlust Statistik & Methodenlehre e ode e e Erwartungswert Varianz Diskrete Zufallsverteilungen Diskrete Verteilungen Stetige Verteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen g Numerische Beschreibung: Erwartungswert Die Lage g der Wahrscheinlichkeitsverteilung g einer Zufallsvariablen X wird durch den Erwartungswert von X, geschrieben als E(X), charakterisiert. Oft wird E(X) alternativ als μ („mü“) bezeichnet Der Erwartungswert kann als Maß verstanden werden, das den Schwerpunkt einer Verteilung kennzeichnet. Der Erwartungswert ist für die theoretische W h h i li hk it Wahrscheinlichkeitsverteilung t il das, d was der d Mittelwert Mitt l t für fü die empirische Häufigkeitsverteilung ist. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen erfordert keine Beobachtungen, sondern bezieht sich auf die theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung. Statistik & Methodenlehre e ode e e Erwartungswert Varianz Diskrete Zufallsverteilungen Diskrete Verteilungen Stetige Verteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen g Numerische Beschreibung: Erwartungswert Für eine diskrete Zufallsvariable X mit endlich vielen Ausprägungen x1,…, xk und Wahrscheinlichkeiten pi = p(X=xi) ergibt sich der Erwartungswert über k E ( X ) = μ = ∑ xi pi i=1 μ kann als gewichtetes Mittel der möglichen Realisationen einer Zufallsvariablen aufgefasst werden, wobei die Wahrscheinlichkeiten die Gewichte darstellen. Statistik & Methodenlehre e ode e e Erwartungswert Varianz Diskrete Zufallsverteilungen Diskrete Verteilungen Stetige Verteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen g Numerische Beschreibung: Varianz Die Breite der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X wird durch die Varianz von X, geschrieben σ²(X), charakterisiert. Oft wird σ²(X) abgekürzt zu σ² („sigma Quadrat“). Die Varianz kann als Maß verstanden werden, die die Ausdehnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert herum beschreibt. Die Varianz einer Zufallsvariablen erfordert keine Beobachtungen, sondern bezieht sich auf die theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung. Statistik & Methodenlehre e ode e e Erwartungswert Varianz Diskrete Zufallsverteilungen Diskrete Verteilungen Stetige Verteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen g Numerische Beschreibung: Varianz Für eine Fü i diskrete di k t Zufallsvariable Z f ll i bl X mit it endlich dli h vielen i l Ausprägungen x1,…, xk und Wahrscheinlichkeiten pi = p(X=xi) ergibt sich die Varianz über k σ ( X ) = σ = ∑ pi ( xi − μ ) 2 2 2 i=1 σ² kann als gewichtetes Mittel der quadrierten Abweichungen der möglichen Realisationen einer Zufallsvariablen zum Erwartungswert aufgefasst werden, wobei die Wahrscheinlichkeiten die Gewichte darstellen. Statistik & Methodenlehre e ode e e Erwartungswert Varianz Diskrete Zufallsverteilungen Diskrete Verteilungen Stetige Verteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen g Numerische Beschreibung: Standardabweichung Die Varianz erfüllt nicht die Forderung der Proportionalität bei der Multiplikation der Zufallsvariablen mit einem festen Wert a. E gilt Es ilt also l nicht i ht σ ²(a ⋅ X ) = a ⋅ σ ( X ) sondern statt dessen σ ²(a ⋅ X ) = a 2 ⋅ σ ( X ) Dieses Problem wird durch Wurzelziehen beseitigt beseitigt. Man erhält so die Standardabweichung σ(X), abgekürzt einfach σ („sigma“). σ (X ) = σ = σ 2 Statistik & Methodenlehre e ode e e Erwartungswert Varianz Diskrete Zufallsverteilungen Diskrete Verteilungen Stetige Verteilungen Diskrete Wk-Verteilungen g Einfache Rechenregeln für Erwartungswerte Für eine binomialverteilte Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung f(m, n, p) gilt 1. μ = n · p Erwartungswert 2. σ² = n · p · q Varianz 3. σ = n · p · q Standardabweichung Nur für X(Ω)={0,1} Statistik & Methodenlehre e ode e e Erwartungswert Varianz Diskrete Zufallsverteilungen Diskrete Verteilungen Stetige Verteilungen Diskrete Wk-Verteilungen g Einfache Rechenregeln für Erwartungswerte Für eine poisssonverteilte Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung f(λ, n) gilt 1. μ = λ Erwartungswert 2. σ² = λ · (1-λ/n) → λ Varianz 3. σ = λ Standardabw. für große n (siehe 2.) Nur für X(Ω)={0,1} Statistik & Methodenlehre e ode e e Relevante Excel Funktionen Erwartungswerte • SUMMENPRODUKT() • WURZEL()
