Die Kreisevolvente - Heldermann

Datei: C:\VTeX\TD\MATHEM\Kreisevolvente.tex 13. November 2007
Die Kreisevolvente
Die Kreisevolvente entsteht durch Abwicklung der Kreistangenten. Wahlt man als Start-Tangente
die Tangente an den obersten Kreispunkt A und lat die Tangente dann nach links auf dem
Kreis abrollen, so bewegt sich der Punkt A , wenn man ihn zugleich als Tangentenpunkt auat,
auf einer Kurve, der sogenannten Kreisevolvente, und der Kreis ist die zugehorige sogenannte
Evolute. 1) Hat die Tangente den Kreispunkt B erreicht, so ist sie um den Winkel ϕ abgerollt, und
der Punkt A hat den Punkt C auf der Evolvente erreicht. Es ist klar, da die Strecke BC die
Lange ϕ hat, jedenfalls solange der Einheitskreis zur Diskussion steht und kein Radius r 6= 1 in
die Betrachtungen einbezogen werden mu, denn genau diese Lange entspricht dem Kreisbogen,
den die Tangente beim Abrollen auf dem Weg vom Beruhrungspunkt A zum Beruhrungspunkt
B zur
ucklegt.
C
A StartTangente
Α
B
D j
F
N
G
H
Um die Parameterdarstellung der Kreisevolvente zu gewinnen, betrachte man das Dreieck
4BCD . Die x -Koordinate x(ϕ) des Evolventenpunktes C erhalt man aus der x -Koordinate des
Punktes B plus der Strecke BD . Letztere hat die Lange ϕ cos ϕ , denn der Winkel ]CBD ist
gleich ϕ und die Strecke BC hat die Lange ϕ . Entsprechendes gilt fur die y -Koordinate y(ϕ)
Die Evolute ist uberdies die sogenannte Enveloppe (Hullkurve) ihrer Tangenten und zugleich die
Enveloppe der Normalen der Evolvente.
1)
1 Datei: C:\VTeX\TD\MATHEM\Kreisevolvente.tex 13. November 2007
des Evolventenpunktes C . Mithin lautet die Parameterdarstellung der obigen Kreisevolvente
x(ϕ) = cos( π2 + ϕ) + ϕ cos ϕ = ϕ cos ϕ − sin ϕ ,
y(ϕ) = sin( π2 + ϕ) + ϕ sin ϕ = cos ϕ + ϕ sin ϕ .
(1)
Die Strecke GH ist ein Abschnitt der Tangente an den Kreis im Punkte G . Sobald die Tangente
beim Abrollen diesen Punkt erreicht hat, ist GH = 3π
2 . Weil es Evolventenzirkel gibt, die
die Kreisevolvente zeichnen, bedeutet das, da man mit Hilfe eines solchen Zirkels den Kreis
quadrieren kann.
Die Lange Strecke %(ϕ) = CN lat sich aus den Koordinaten der Punkte C und F berechnen.
Gema (1) gilt fur diese Koordinaten
Cx(ϕ) = − sin ϕ + ϕ cos ϕ,
Fx(ϕ) = − sin ϕ + ϕ cos ϕ,
Cy(ϕ) = cos ϕ + ϕ sin ϕ ,
Fy(ϕ) = 0 .
(2)
Demzufolge erhalten wir
p
(− sin ϕ + ϕ cos ϕ)2 + (cos ϕ + ϕ sin ϕ)2
q
=
sin2 ϕ − 2ϕ sin ϕ cos ϕ + ϕ2 cos2 ϕ + cos2 ϕ + 2ϕ sin ϕ cos ϕ + ϕ2 sin2 ϕ
p
=
1 + ϕ2 .
%(ϕ) =
(3)
Ferner ist aus der Zeichnung unmittelbar
α = ]CN A = ]N CF
(4)
abzulesen. Die Koordinaten von C liefern daher
α = arctan
FN
|ϕ cos ϕ − sin ϕ|
sin α
= arctan
= arctan
,
cos α
cos ϕ + ϕ sin ϕ
CF
worin die Betragsstriche der Ungleichung ϕ cos ϕ − sin ϕ < 0 geschuldet sind.
2 (5)