Mathematik für Biologen - Heinrich-Heine

Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
Mathematik für Biologen
Prof. Dr. Rüdiger W. Braun
Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf
16. Dezember 2011
Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
1
Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Binomialverteilung
Laplace-Verteilung
Geometrische Verteilung
Poissonverteilung
2
Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
Das Gesetz der seltenen Ereignisse
Das schwache Gesetz der großen Zahl
Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
Zusätzliche Rechenregeln für unabhängige Zufallsvariable
Produktformel für den Erwartungswert: X und Y seien
unabhängige Zufallsvariable. Dann
E (X · Y ) = E (X ) · E (Y )
Summenformel für die Varianz: X und Y seien unabhängige
Zufallsvariable. Dann
Var (X + Y ) = Var (X ) + Var (Y )
Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
Einzelnes ja/nein-Experiment
Zufallsvariable X nimmt mit Wahrscheinlichkeit p den Wert 1 und
mit Wahrscheinlichkeit 1 − p den Wert 0 an
E (X ) =
1
X
k · P(X = k)
k=0
= 0 · (1 − p) + 1 · p
=p
Var (X ) =
1
X
(k − E (X ))2 · P(X = k)
k=0
2
= p · (1 − p) + (1 − p)2 · p
= p · (1 − p) · (p + (1 − p))
= p · (1 − p)
Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
Erwartungswert der Binomialverteilung
X1 , X2 , . . . , Xn seien Zufallsvariable
jedes Xj nimmt mit Wahrscheinlichkeit p den Wert 1 und mit
Wahrscheinlichkeit 1 − p den Wert 0 an
Interpretation Xj = 1 ist “Erfolg”
Y = X1 + X2 + · · · + Xn ist die Anzahl der Erfolge
Y ist verteilt gemäß Bn,p
E (X1 ) = E (X2 ) = · · · = E (Xn ) = p
also E (Y ) = n · p
Der Erwartungswert einer Bn,p -verteilten Zufallsvariable
beträgt n · p
Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
Varianz der Binomialverteilung
X1 , X2 , . . . , Xn seien unabhängige Zufallsvariable
jedes Xj nimmt mit Wahrscheinlichkeit p den Wert 1 und mit
Wahrscheinlichkeit 1 − p den Wert 0 an
Y = X1 + X2 + · · · + Xn ist verteilt gemäß Bn,p
Var (X1 ) = Var (X2 ) = · · · = Var (Xn ) = p · (1 − p)
also Var (Y ) = n · p · (1 − p)
Die Varianz einer Bn,p -verteilten Zufallsvariable beträgt
n · p · (1 − p)
Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
B40,0.4(k)
Stabdiagramm der Binomialverteilung
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.000 5 10 15 20 25 30 35 40
k
Der Erwartungswert ist blau, alles innerhalb der
Standardabweichung ist grün
Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
Erwartungswert und Varianz: Beispiel Laplace-Verteilung
Die Zufallsvariable X sei Laplace-verteilt auf {1, 2, . . . , N}. Dann
E (X ) =
und
Var (X ) =
N +1
2
N2 − 1
12
Für den fairen Würfel gelten also
7
= 3.5
2
35
Var (X ) =
= 2.917
r 12
35
σ=
= 1.708
12
E (X ) =
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Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
Stabdiagramm Laplace-Verteilung
0.025
P ( X = k)
0.020
0.015
0.010
0.005
0.0000 5 10 15 20 25 30 35 40
k
Laplace-Verteilung auf {1, 2, . . . , 40}. Der Erwartungswert ist blau,
alles innerhalb der Standardabweichung ist grün.
Zufallsvariable und ihre Verteilungen
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Erwartungswert und Varianz für die geometrische
Verteilung
Die Zufallsvariable X sei Gp -verteilt. Dann
1
p
1−p
Var (X ) =
p2
E (X ) =
Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
Stabdiagramm geometrische Verteilung
0.05
G0.05(k)
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00 0
20
40
k
60
80
100
Geometrische Verteilung G0.05 . Der Erwartungswert ist blau, alles
innerhalb der Standardabweichung ist grün.
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Erwartungswert und Varianz für die Poissonverteilung
Die Zufallsvariable X sei Pλ -verteilt. Dann
E (X ) = λ
Var (X ) = λ
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P16(k)
Stabdiagramm Poissonverteilung
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.000
5 10 15 20 25 30 35 40
k
Poissonverteilung P16 . Der Erwartungswert ist blau, alles innerhalb
der Standardabweichung ist grün.
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Poissonverteilung
Es sei λ > 0. Die Poissonverteilung zum Parameter λ ist definiert
durch
λk −λ
Pλ (k) =
·e
k!
Unter den folgenden Voraussetzungen ist eine Zufallsvariable X
poissonverteilt zum Parameter λ:
X zählt das Auftreten eines Ereignisses pro Zähleinheit
Im Mittel treten λ Ereignisse pro Zähleinheit auf
Die Ereignisse beeinflussen sich nicht gegenseitig
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Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
Beispiel Tumor
Ein Tumor aus 160 Zellen wird bestrahlt
Im Mittel sterben 16 Tumorzellen pro Minute
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sterben 10 Zellen in der ersten
Minute?
Zwei Modelle sind angemessen
Binomialverteilung
Poissonverteilung
Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
Beispiel Tumor: Rechnung mit Binomialverteilung
Modell: 160 unabhängige ja/nein-Experimente
Erfolg : Tod der Tumorzelle
Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall p = 0.1
Anzahl der Erfolge verteilt gemäß B160, 0.1
Antwort:
160
B160, 0.1 (10) =
· 0.110 · 0.9150 = 0.03113
10
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Beispiel Tumor: Rechnung mit Poissonverteilung
Modell: seltenes Ereignis, das im Mittel 16 mal pro Minute
auftritt
Parameter der Poissonverteilung ist λ = 16
Anzahl der Ereignisse pro Zähleinheit ist verteilt gemäß P16
Antwort
1610 −16
e
= 0.03410
10!
Zum Vergleich B160, 0.1 (10) = 0.03113
P16 (10) =
Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.000 5 10 15 20 25 30 35 40
k
P16(k)
B160,0.1(k)
Vergleich Binomial- und Poissonverteilung
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.000
5 10 15 20 25 30 35 40
k
Beide beschreiben einen Prozess mit 16 Erfolgen im Mittel. Der
Unterschied ist, dass beim Poissonprozess die Anzahl der Erfolge
potenziell unbeschränkt ist.
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Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
Vergleich Binomial- und Poissonverteilung, Fortsetzung
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.000 5 10 15 20 25 30 35 40
k
P16(k)
B40,0.4(k)
B40, 0.4 und P16 besitzen ebenfalls beide den Erwartungswert 16
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.000
5 10 15 20 25 30 35 40
k
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Gesetz der seltenen Ereignisse
Die Poisson-Verteilung Pλ mit λ = n · p ist eine sehr gute
Annäherung an die Binomialverteilung Bn,p , falls n ≥ 100 und
n · p ≤ 10.
Im Beispiel waren
n = 160
p = 0.1
Die Annäherung ist daher nur gut
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Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
Messwiederholungen
Warum erhöhen mehrere Messungen die Genauigkeit?
Warum braucht man 100-mal so viele Messungen, um die
Genauigkeit zu verzehnfachen?
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Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
Rechenregeln für den Erwartungswert
Für jede Zahl c und jede Zufallsvariable X ist
E (c · X ) = c · E (X )
Für Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn ist
E (X1 + · · · + Xn ) = E (X1 ) + · · · + E (Xn )
X und Y unabhängige Zufallsvariable. Dann
E (X · Y ) = E (X ) · E (Y )
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Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
Rechenregeln für die Varianz
Für jede Zahl a und jede Zufallsvariable X gilt
Var (a + X ) = Var (X )
Für Zahl c und jede Zufallsvariable X gilt
Var (c · X ) = c 2 · Var (X )
X und Y unabhängige Zufallsvariable. Dann
Var (X + Y ) = Var (X ) + Var (Y )
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Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
Zwei unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariable
X1 und X2 seien unabhängige Zufallsvariable, die derselben
Verteilung gehorchen (also z. B. Messwiederholungen). Sei
Y = 21 (X1 + X2 ) der Durchschnittswert
Der Erwartungswert von X1 heiße µ, also E (X1 ) = E (X2 ) = µ
Die Streuung von X1 heiße σ, also Var (X1 ) = Var (X2 ) = σ2
E (Y ) = 21 (E (X1 ) + E (X2 )) = µ
2
2
Var (Y ) = 12 Var (X1 ) + 12 Var (X2 ) = 14 σ2 + 14 σ2 = 12 σ2
σ
Also ist √ die Streuung von Y
2
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Das schwache Gesetz der großen Zahl
“Mit ausreichend vielen Messwiederholungen lässt sich jede
Genauigkeit erreichen”
Präziser: X1 , . . . , Xn unabhängig, alle mit derselben Verteilung
µ = E (X1 ) = · · · = E (Xn ) und
σ2 = Var (X1 ) = · · · = Var (Xn )
1
Y = (X1 + · · · + Xn )
n
Y ist das arithmetische Mittel der X1 , X2 , . . . , Xn
Dann E (Y ) = µ und die Streuung von Y beträgt
σ
σY = √
n
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Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
Messwiederholungen: Beispiel
0 10 20 30 40 0 10 20 30 40
k
Links: Poissonverteilung P16 , Streuung ist 4
Rechts: Durchschnittswerte aus zehn P16 -verteilten
Zufallsvariablen, Streuung ist
4
√ = 1.26
10
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Gesetz der seltenen Ereignisse und Gesetz der großen Zahl
Beispiel: α-Strahler
Ein Geigerzähler registriert pro Sekunde ungefähr
25 α-Teilchen
Dieser Wert soll so genau bestimmt werden, dass die Streuung
des Mittelwerts Y unter 2.0 liegt
Wie viele Einzelversuche von einer Sekunde Dauer sind
erforderlich?
Zur Versuchsplanung genügt eine grobe Schätzung von λ. Wir
verwenden λ = 25
Var
√ (Pλ ) = λ. Also hat jeder Einzelversuch die Streuung
25 = 5
Gleichung
5
√ = 2.0
n
Also
√
∼6
n = 2.5 und n =