Schwenkbewegung und Unwucht

Schwenkbewegung und Unwucht
Schwenkbewegung und Unwucht
Ein Körper bewegt sich, sobald sein Impulsinhalt ungleich Null ist. Analog dazu verursacht der Drehimpuls eine
Rotation. Die Rotation eines starren Körpers unterscheidet sich aber in zwei wesentlichen Punkten von der
Translation
1. der Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit wird durch einen Tensor vermittelt
2. die Drehungen bilden nur eine Gruppe und somit keinen Vektorraum wie die Verschiebungen
Nachfolgend wird zuerst ein kurzer Überblick über die Mechanik des starren Körpers gegeben. Danach wenden wir
uns der Schwenkbewegung eines Rotors zu. Im letzten Teil werden statische und dynamische Unwucht erklärt.
Lernziele
In dieser Vorlesung lernen Sie
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wie die Mechanik des starren Körpers strukturiert ist
worin sich die Mechanik der Rotation von der Mechanik der Translation unterscheidet
wie die Energiebilanz bezüglich eines starren Körpers formuliert wird
was man unter der Hauptachse eines starren Körpers versteht
• was eine Nutation ist
• wie das Drehmoment bei der Schwenkbewegung eines Kreisels mit der zugehörigen Winkelgeschwindigkeit und
dem Drehimpuls zusammenhängt
• wie die Präzessionsbewegung zustande kommt
• was der Unterschied zwischen statischer und dynamischer Unwucht ist
• wie man die Belastung der Lager bei einer Unwucht berechnet
starrer Körper
Die Mechanik des starren Körpers ist eines der Kernthemen der Ingenieurwissenschaften. Jeder Ingenieur sollte die
dieser Mechanik zugrunde liegende Struktur im Prinzip verstehen. Deshalb werden in diesem Abschnitt - aufbauend
auf den umfassenden Prinzipien der Physik der dynamischen Systeme - die Gesetze zur Mechanik des starren
Körpers nochmals zusammengefasst.
Grundgesetze
Ein starrer Körper speichert Impuls und Drehimpuls, wobei die Summe über die zugehörigen Strom- und
Quellenstärken die Änderungsraten des Inhalts festlegt. Die Stärken der Impulsströme bezüglich eines ausgewählten
Körpers nennt man Oberflächenkräfte, die Gewichtskraft bildet eine Impulsquelle
Im Gegensatz zum Impuls ist der Drehimpuls nicht lokalisierbar, d.h. es gibt weder Dichten noch Stromdichten.
Dennoch kann man bezüglich ganzer Bauteile eine zur Impulsbilanz analoge Drehimpulsbilanz formulieren
Reine Drehmomente (erster Term) entstehen durch die Einwirkung des elektromagnetischen Feldes, durch verdrehte
Wellen oder gebogene Balken. Solche Drehmomente lassen sich ersatzweise als Kräftepaare darstellen. Weitere
Drehmomente (zweiter Term) treten in Begleitung von Kräften auf. Sobald die Wirklinie einer Kraft nicht durch den
Massenmittelpunkt des Körpers geht, muss der Kraft ein Drehmoment zugeordnet werden (Hebelgesetz). Der
Betrag des zugeordneten Drehmoments ist gleich Kraft mal Abstand des Massenmittelpunktes von der Wirklinie der
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Kraft. Die Richtung des Drehmoments steht normal zu der Ebene, die von der Wirklinie und dem Massenmittelpunkt
aufgespannt wird. Die Zuordnung eines Drehmoments zu einem Kräftepaar bzw. zu einer Kraft und dem
Massenmittelpunkt beruht auf dem Umstand, dass ein seitwärts fliessender Impulsstrom immer eine
Drehimpulsquelle oder -senke induziert. Das einer Kraft zugeordneten Drehmoment verhält sich analog zur Leistung
dieser Kraft (zugeordneter Energiestrom)
• die Leistung einer Kraft wird zur Prozessleistung, sobald der zugehörige Impulsstrom eine
Geschwindigkeitsdifferenz "durchfällt"
• das einer Kraft zugeordnete Drehmoment wird zu einer Drehimpulsquelle, sobald der zugehörige Impulsstrom
quer zur Bezugsrichtung fliesst
Zu der Impulsbilanz gesellt sich das kapazitive Gesetz: der Impulsinhalt legt die Geschwindigkeit des
Massenmittelpunkts fest
Ein analoger, aber um einiges komplexerer Zusammenhang gilt zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit
oder
Das Massenträgheitsmoment J ist ein Tensor, kann also bezüglich des raumfesten Koordinatensystems (Weltsystem)
als 3x3-Matrize geschrieben werden.
Die momentane Position des Massenmittelpunktes ergibt sich aus der Geschwindigkeit durch eine Integration über
die Zeit
Die Orientierung des Körpers im Raum wird durch die orthonormale Drehmatrix R(t) beschrieben. Diese Matrix
transformiert die Komponenten eines Vektors vom Weltsystem in ein körperfestes System. Die Drehmatrix, die drei
frei wählbare Parameter besitzt, kann aus der Winkelgeschwindigkeit durch eine Integration über die Zeit ermittelt
werden. Um diese Integration auszuführen, benutzt man entweder die Euler-Parametrisierung oder in jüngster Zeit
vermehrt die Quaternionen, eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen.
Zusammenfassung: Die drei grundlegenden Schritte zur Formulierung der Mechanik des starren Körpers sind
1. Bilanz bezüglich Impuls und Drehimpuls aufstellen
2. mit Hilfe der Trägheit (träge Masse, Massenträgheitsmoment) Geschwindigkeit sowie Winkelgeschwindigkeit
berechnen
3. aus der Geschwindigkeit die Position des Massenmittelpunktes und aus der Winkelgeschwindigkeit die
Orientierung im Raum ermitteln.
Sie müssen die einzelnen Schritte nicht bis ins letzte Detail begreifen, sollten aber das ganze Verfahren dem Prinzip
nach verstehen.
Energie
Die Energiebilanz bezüglich des starren Körpers kann direkt aus der Impuls- und der Drehimpulsbilanz abgeleitet
werden. Man erhält dann folgende Vorschriften
1. jeder Kraft ist eine Leistung zuzuordnen
, wobei immer die Geschwindigkeit des
Kraftangriffspunktes (A) genommen werden muss
2. jedem nicht einer Kraft zugeordneten Drehmoment ist ebenfalls eine Leistung zuzuweisen
3. die Bewegungsenergie spaltet sich in eine kinetische Energie und eine Rotationsenergie
Schwenkbewegung und Unwucht
Nach diesen Klarstellungen kann die Energiebilanz bezüglich eines starren Körpers formuliert werden
Die Energiebilanz bringt hier keine zusätzlichen Informationen. Dennoch ist sie für das Verständnis hilfreich.
Werden mehrere starre Körper über Gelenke miteinander verbunden oder wird der Körper durch eine Führung
(Schiene, starre Achse) auf eine bestimmte Bahn gezwungen, lassen sich viele Probleme mit Hilfe der Energie
effizient formulieren und lösen.
Hauptachsen
Jeder starre Körper besitzt mindestens drei zueinander normal stehende Achsen (Hauptachsen), bezüglich denen die
Winkelgeschwindigkeit und der Drehimpuls in die gleiche Richtung zeigen
mit i =1, 2, 3
Die Hauptachsen-Trägheitsmomente werden oft der Grösse nach nummeriert
. So verläuft bei einem
Ziegelstein die erste Achse parallel zur längsten und die dritte Achse parallel zur kürzesten Kante. Schreibt man die
kinetische Energie in Funktion des Drehimpulses, wird ein zur Pirouette analoger Zusammenhang erkennbar
Je grösser das Massenträgheitsmoment, desto geringer die Energie bei gegebenem Drehimpuls.
Sind die Lage der Hauptachsen im Körper und die Grössen der drei zugehörigen Trägheitsmomente bekannt, lassen
sich die neun Komponenten des Trägheits-Tensors für eine beliebige Ausrichtung mittels einer Transformation
bestimmen. Dazu führt man ein körperfestes Koordinatensystem ein, dessen Achsen nach den Hauptachsen
ausgerichtet sind. Die Rotationsmatrix R(t), die aus der Winkelgeschwindigkeit zu berechnen ist, transformiert das
Weltsystem in das körpereigene System. Für das Massenträgheitsmoment gilt dann
Man beachte, dass die inverse Drehmatrix durch Transposition gebildet werden kann. Sobald die aktuelle
Darstellung des Massenträgheitsmoments bezüglich des Weltsystems bekannt ist, kann aus dem Drehimpulsinhalt
die Winkelgeschwindigkeit gerechnet werden.
Nutation
Rotiert ein Körper um die Achse mit dem grössten Massenträgheitsmoment, ist seine Rotationsenergie bei
gegebenen Drehimpuls minimal. Bei einer Rotation um die Achse mit dem kleinsten Trägheitsmoment wird die
Energie maximal. Lässt man nun einen im Schwerpunkt drehbar gelagerten Körper frei rotieren (ohne Einwirkung
von Kräften und Drehmomenten), ist die Rotation um die Hauptachsen mit dem kleinsten und grössten
Trägheitsmoment stabil, weil es nur je eine Winkelgeschwindigkeit gibt, bei welcher Drehimpuls und Energie den
gegebenen Wert annehmen können. Versetzt man den Körper um eine andere Achse in Rotation, überstreicht die
Drehachse bei konstantem Drehimpuls und fester Rotationsenergie einen Kegel. Das Herumwirbeln der Drehachse
bei konstantem Drehimpuls nennt man Nutation. Eine Nutation setzt auch ein, falls man die Rotation bei der
mittleren Hauptachse beginnt. Die Rotation um die mittlere Hauptachse ist demnach instabil.
Die Erkenntnis, dass ein starrer Körper um mindestens zwei Achsen (bei Symmetrien können es mehr sein) stabil
rotieren kann, geht auf Leonhard Euler zurück und ist somit mindestens 200 Jahre alt. Deshalb waren die Ingenieure
bei der NASA äusserst erstaunt, als ihr erster Satellit, Explorer 1 [1], schon nach kurzer Zeit ins Trudeln kam und
schlussendlich quer zur Symmetrieachse rotierte. Nach dem Start wurde der Satellit um seine Längsachse, also um
die Achse mit dem kleinsten Massenträgheitsmoment in Rotation versetzt. In diesem Zustand ist die
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Rotationsenergie bei gegebenem Drehimpuls maximal. Weil die flexiblen Antennen danach durch Schwingungen
Energie dissipierten, ging der Satellit in den Zustand kleinster Rotationsenergie über. Und das ist bei gegebenem
Drehimpuls eine Achse mit dem maximalen Massenträgheitsmoment, also eine Achse quer zur Längsrichtung des
Satelliten.
konstante Bewegungsenergie
Wirkt eine Kraft normal zur Geschwindigkeit auf einen Körper ein, ändert sich sein Impuls, nicht aber seine Energie.
Es findet keine Energieaustausch statt, weil die Leistung der Kraft gleich Null ist. Analog verhält es sich mit einem
normal zur Winkelgeschwindigkeit stehenden Drehmoments.
Kreisbewegung
Eine gleichmässige Kreisbewegung erfordert eine Kraft, die normal zur
Geschwindigkeit steht und gegen das Kreiszentrum zeigt. Der Betrag
diese Normalkraft, die auch Zentripetalkraft heisst, ist proportional
zum Produkt aus dem Betrag von Impuls und Winkelgeschwindigkeit
Diese rein dynamische Formulierung lässt sich nun auch vektoriell
schreiben
Ändert der Impuls nur seine Richtung, nicht aber seinen Betrag, steht
die Änderungsrate und somit die resultierende Kraft normal zum
Impuls. In der Physik kennt man zwei Kräfte, die andauernd normal
zur Geschwindigkeit des Körpers stehen und folglich mit dem Körper
Impuls, aber keine Energie austauschen
Kraft, Impuls und Winkelgeschwindigkeit
Corioliskraft auf einen bewegten Körper im rotierenden
Bezugssystem:
Lorentzkraft auf eine bewegte Ladung im Magnetfeld:
Die Corioliskraft sorgt dafür, dass sich alle Hochdruckgebiete auf der Nordhalbkugel der Erde im Uhrzeigersinn
drehen. Das Magnetfeld der Erde lenkt die geladenen Teilchen (Ionen), die mit grosser Energie von der Sonne auf
uns zu fliegen, gegen die Pole ab. Dort erzeugen sie durch Stösse mit den Teilchen der Atmosphäre das Nordlicht.
Schwenkbewegung und Unwucht
Schwenkbewegung
Steht
das
einwirkende
Drehmoment
normal
zur
Winkelgeschwindigkeit, ist die Leistung des Drehmoments gleich Null
und der Körper ändert seine Rotationsenergie nicht. So kann jedes
schwenkbar gelagerte Rad seinen Drehimpuls bei konstant gehaltener
Rotationsenergie ändern. Dazu muss die Achse des rotierenden Rads
gedreht werden. Formal gilt ein zur Kreisbewegung analoger
Zusammenhang
Mit ωS ist die Winkelgeschwindigkeit der Schwenkbewegung und
Kreisel schwenkt im Gegenuhrzeigersinn
nicht etwa die Winkelgeschwindigkeit des sich drehenden Rades
gemeint. Die Formel verknüpft drei Grössen, wobei zwei, das
Drehmoment und die Winkelgeschwindigkeit der Schwenkbewegung, wahlweise als ursächlich angesehen werden
können. Eine Schwierigkeit bei der Anwendung dieser Formel ist die Regel der rechten Hand, die bei allen drei
Grössen und beim Vektorprodukt angewendet werden muss
• Drehimpuls: Finger der rechten Hand um das Rad in Rotationsrichtung legen; Daumen zeigt die Richtung des
Drehimpulses an
• Winkelgeschwindigkeit der Schwenkbewegung: Finger der rechten Hand in die Ebene legen, in welche die Achse
des Rades gekippt wird; Daumen zeigt in Richtung der Winkelgeschwindigkeit der Schwenkbewegung
• Drehmoment: Finger der rechten Hand in Wirkrichtung des Drehmoments legen; Daumen zeigt in Richtung des
Drehmoments (Schraube anziehen)
• Vektorprodukt: Daumen parallel zur Winkelgeschwindigkeit der Schwenkbewegung legen; Zeigefinger nach dem
Drehimpuls ausrichten; Mittelfinger zeigt in Richtung des Drehmoments.
Trägt man alle drei Vektoren (Drehimpuls, Winkelgeschwindigkeit der Schwenkbewegung, Drehmoment) in eine
Skizze ein, ist die Anwendung des Vektorprodukts keine grosse Hexerei.
Beispiel Motorrad: Die Frage eines Yamaha-Fahrers [2] zeigt die Problematik der Kurvenfahrt mit einem Motorrad:
"Wenn ich eine Linkskurve einleiten will, drücke ich den Lenker auf der linken Seite nach vorne. Das Vorderrad
zeigt also von der Zentrallinie abweichend nach rechts. Dadurch verschiebt sich der Schwerpunkt nach links und das
Motorrad fährt eine Linkskurve. Wenn ich jetzt aber besonders langsam fahre (zum Beispiel bei der Fahrübung, wo
man eine 8 fahren muss - kennen sicher noch einige von der praktischen Prüfung), dann funktioniert das Ganze
umgekehrt. Sprich wenn ich nach links fahren möchte ist der Lenker auch ganz nach links eingeschlagen. Wie
funktioniert es also eigentlich, dass das Motorrad eine Kurve fahren kann?"
Wäre die Erklärung mit dem Schwerpunkt richtig, müsst sie auch beim Skibob oder Snowbike funktionieren. Mit
diesen Geräten fährt man auch mit hoher Geschwindigkeit in eine Kurve. Der entscheidende Effekt kommt aber vom
Drehimpuls des Vorderrades. Drückt man den Lenker links nach vorn, wirkt ein nach unten gerichtetes Drehmoment
auf das Vorderrad ein. Weil der Drehimpuls nach links zeigt, kippt das Rad nach links und der Töff neigt sich auf die
richtige Seite. Zur Überprüfung dieses Zusammenhangs lege man den Daumen parallel zur Winkelgeschwindigkeit
der Schwenkbewegung, also nach hinten. Der Zeigfinger, welcher in Richtung des Drehimpulses anzeigt, weist nach
links. Daraus ergibt sich ein nach unten gerichtetes Drehmoment. Und dieses Moment erzeugt der Fahrer, indem er
den Lenker mit der linken Hand nach vorne drückt.
Beispiel Wendezeiger: Der Wendezeiger (Turn Indicator) ist ein Kreiselinstrument, das die Winkelgeschwindigkeit
des Flugzeuges um die Hochachse anzeigt. Der halbkardanisch gelagerte Kreisel rotiert parallel zur Querachse des
Flugzeuges. Nun kann der Käfig, der den Kreisel lagert, um eine parallel zum Flugzeug gerichtete Achse gedreht
werden. Diese Drehung ist mit einer Rückstellfeder gekoppelt. Weist der Drehimpulsvektor des Kreisels vom Pilot
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aus gesehen nach rechts und dreht sich das Flugzeug um die Hochachse nach links, muss ein nach vorne weisendes
Drehmoment auf den Kreisel einwirken, damit dieser die Drehbewegung des Flugzeuges mitmacht. Dazu kippt die
Kreiselachse leicht nach links, bis die Feder stark genug gespannt ist. Die Stärke der Kippbewegung zeigt so die
Grösse der Winkelgeschwindigkeit an.
Beispiel Strahltriebwerk: Fan, Kompressor und Turbine eines Strahltriebwerkes rotieren mit hoher Drehzahl und
speichern entsprechend viel Drehimpuls. Fliegt nun ein Flugzeug eine Kurve, muss ein grosses Drehmoment auf das
Triebwerk einwirken, damit sich dieses mit dem Flugzeug dreht. Das Drehmoment steht normal zum Triebwerk und
liegt in der Kurvenebene drin. Eine schnelle Rotation um die Querachse (unsanfte Landung oder Looping) belastet
die Aufhängung der Triebwerke eher noch stärker als der Kurvenflug.
Präzession
Wirkt auf einen Kreisel über längere Zeit ein Drehmoment ein, das
normal zum Drehimpuls gerichtet ist, setzt gemäss der weiter oben
aufgeführten Formel eine Schwenkbewegung ein. Die Kreiselachse
überstreicht dann den Mantel eines Kegels. Diese Bewegung nennt
man Präzession. Im Demonstrationsexperiment zur Präzession (die
Skizze zeigt ein etwas anderes Experiment) belastet man einen
kardanisch aufgehängten, horizontal rotierenden Kreisel mit einem
seitlich angebrachten Zusatzkörper. Die Gewichtskraft dieses
Zusatzkörpers erzeugt dann über die Hebelwirkung ein Drehmoment M
auf den Kreisel. Weil dieses Drehmoment die Schwenkbewegung
mitmacht, stellt sich eine stationäre Präzessionsbewegung ein. Die
Präzessionsperiode ist gleich
Präzession
Im Demonstrationsversuch hängt man den Zusatzkörper an die anfangs ruhende Achse. Der Kreisel kippt dann
zuerst nach unten, um dann in eine Präzessionsbewegung überzugehen, die von einer gedämpften Nutation
überlagert wird. Mit der Kippbewegung stellt der Kreisel Drehimpuls für die Präzessionsbewegung zur Verfügung.
Würde keine Reibung auftreten, käme der Kreisel nach jeder Nutationsperiode in horizontaler Lage wieder zur Ruhe.
Um die Nutation zu verhindern, stösst man beim Aufhängen des Zusatzkörpers den Kreisel so weg, dass er von
Anfang an den für die Präzession notwendigen Drehimpuls besitzt. Dann dreht sich der Kreisel anfänglich
horizontal. Infolge der Reibung wird er sich dennoch immer stärker vertikal ausrichten.
Beispiel Präzession der Erde: Mond und Sonne wirken mit je einem periodisch anschwellenden Drehmoment auf
die Erde ein und versuchen sie aufzurichten. Ursache dieser Einwirkung ist "Äquatorwulst", die rotationsbedingte
Abplattung der Erde. Auf diese Einwirkung reagiert die Erde mit einer lunisolaren Präzession. Die Erdachse benötigt
für einen einzigen Umlauf auf dem Präzessionskegel zwischen 25.700 und 25.800 Jahre. Dieser Zeitraum wird auch
platonisches Jahr genannt. Weil unser Kalender an den Frühlingspunkt (Äquinoktium) gebunden ist, verschieben
sich die Monate infolge der Präzession etwa alle 2000 Jahre um ein Sternzeichen.
Unwucht
Rotierende Maschinenelemente wie Räder, Propeller oder Turbinen müssen ausgewuchtet sein, damit die Lager nicht
unnötig belastet werden. Man unterscheidet zwischen statischer und dynamischer Unwucht. Bei der statischen
Unwucht ändert sich der Impuls und bei der dynamischen der Drehimpuls bei konstant gehaltener
Bewegungsenergie. Zur Erklärung dieses Phänomens gehen wir von einer ausgewuchteten Scheibe aus, die entlang
des Umfangs mehrere, achsenparallele Gewindelöcher aufweist. In diese Bohrungen können kurze Schrauben
Schwenkbewegung und Unwucht
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eingedreht werden, um so gezielt eine Unwucht zu erzeugen.
statische Unwucht
Dreht man zwei kurze Schrauben (Masse mS) von beiden Seiten in das
gleiche Gewindeloch, verschiebt sich der Massenmittelpunkt des
Gesamtsystems weg von der Scheibenachse. Der Impulsinhalt von
rotierender Scheibe und Schrauben ist gleich gross wie der eines
punktförmigen Körpers gleicher Masse, der sich im Abstand rMMP auf
einer Kreisbahn um die Achse bewegt
statische und dynamische Unwucht
Damit sich der Impulsinhalt synchron mit der Drehung ändert, muss
von den Lagern eine Kraft einwirken
Die Lagerkraft steigt quadratisch mit der Drehzahl. Deshalb müssen schnell drehende Körper speziell gut
ausgewuchtet sein.
dynamische Unwucht
Befestigt man die Schrauben so in zwei gegenüber liegenden Löchern, dass ihre Köpfe auf je einer Seite der Scheibe
heraus ragen, entsteht eine dynamische Unwucht. Obwohl der Massenmittelpunkt des Gesamtsystems weiterhin auf
der Drehachse liegt, werden die Lager mit zunehmender Drehzahl belastet. Zur Analyse bilden wir den
Bahndrehimpuls der beiden Schrauben. Dieser Bahndrehimpuls steht leicht schief zur Scheibenachse und bewegt
sich auf einem Kreiskegel. Nun bleibt die zur Drehachse (Winkelgeschwindigkeit) parallele Komponente des
Drehimpulses erhalten. Die Radialkomponente wird dagegen durch die Drehbewegung herum gewirbelt, macht also
eine andauernde Schwenkbewegung. Das zugehörige Drehmoment, das von den Lagern aufgebracht werden muss,
ist gleich
wobei zS den Abstand der Massenmittelpunkte der Schrauben von der Symmetrieebene der Scheibe misst. Nun kann
man jedem drehbar gelagerten Körper bezüglich der gegebenen Achse ein Deviations- oder Zentrifugalmoment JD
zuschreiben, das den Zusammenhang zwischen Radialkomponente des Drehimpulses und Winkelgeschwindigkeit
beschreibt
Das Drehmoment, das von den Lagern auf den Körper einwirken muss, um dessen Drehachse zu stabilisieren, ist
dann gleich
Hält man die Achse eines rotierenden Körpers mit Hilfe von zwei Lagern stabil und misst je eine Komponente der
Lagerkräfte, erhält man zwei zeitabhängige Signale. Aus diesen Lagerkräften können die resultierende Kraft und das
resultierende Drehmoment berechnet werden. Beide Grössen nehmen quadratisch mit der Drehzahl zu. Die
resultierende Kraft ist zudem proportional zum Abstand des Schwerpunkts von der Drehachse und das Drehmoment
nimmt linear mit dem Deviationsmoment zu.
Schwenkbewegung und Unwucht
Kontrollfragen
1.
2.
3.
4.
5.
Formulieren Sie die Impuls- und die Drehimpulsbilanz bezüglich eines starren Körpers mit Ihren eigenen Worten.
Worin unterscheidet sich die Drehmechanik von der Translationsmechanik?
Formulieren Sie die Energiebilanz bezüglich eines starren Körpers mit Ihren eigenen Worten.
Wie muss man einen Ziegelstein hochwerfen, damit er stabil rotiert?
Sie halten die beiden Enden der Achse eines rotierenden Rades mit den Händen fest. Überlegen Sie sich, was
passiert, wenn man das eine Ende der Achse gegen sich zieht? die Achse einseitig nach oben drückt? Die Antwort
können Sie im Versuch herausfinden, aber achten Sie auf Ihre Finger.
6. Wieso verschieben sich die Sternzeichen gegen den Kalender?
7. Wie unterscheiden sich dynamische und statische Unwucht?
8. Wie verändert sich bei einer Unwucht die Belastung der Lager mit steigender Drehzahl?
Antworten zu den Kontrollfragen
1. Die Summe über alle Kräfte (Oberflächenkräfte und Gewichtskraft) verursacht die Änderungsrate des
Impulsinhalts. Die Summe über alle Drehmomente (reine und einer Kraft zugeordnete) verursacht die
Änderungsrate des Drehimpulsinhalts.
2. In der Drehmechanik ist die Trägheit kein Skalar wie die Masse sondern ein Tensor. Die Drehbewegungen bilden
nur eine Gruppe und keinen Vektorraum wie die Verschiebungen.
3. Die Summe über die Leistungen aller Kräfte (Oberflächenkräfte und Gewichtskraft) plus die Summe über die
Leistungen aller reinen Drehmomente (ohne die einer Kraft zugeordneten Drehmomente) sind gleich der
Änderungsrate der kinetischen und der Rotationsenergie.
4. Der Ziegelstein muss so geworfen werden, dass er um eine Achse parallel zu kürzesten Kante (grösstes
Massenträgheitsmoment) oder zur längsten Kante (kleinstes Massenträgheitsmoment) rotiert.
5. Ohne Skizze werden Sie kaum auf die richtige Lösung kommen: zeichnen Sie den Vektor des Drehimpulses ein,
markieren Sie die Einwirkung, das Drehmoment, mit einem weiteren Pfeil; die Winkelgeschwindigkeit der
Schwenkbewegung muss dann die oben formulierte Gesetzmässigkeit erfüllen.
6. Sonne und Mond versuchen die Achse der Erde aufzurichten. Diese reagiert mit einer Präzessionsbewegung.
Weil sich der Kalender am Frühlingspunkt (Schnittpunkt der Ekliptik mit dem Äquator) orientiert, wandern die
Monate über die Sternzeichen.
7. Bei der statischen Unwucht liegt der Massenmittelpunkt nicht auf der Drehachse. Deshalb ändert sich der
Impulsinhalt periodisch, wodurch die Lager mit einer umlaufenden Kraft belastet werden. Bei der dynamischen
Unwucht liegt die Drehachse nicht auf einer Hauptachse des Körpers. Deshalb ändert sich der Drehimpulsinhalt
periodisch, wodurch die Lager mit einem umlaufenden Drehmoment belastet werden.
8. Lagerkraft und Lagerdrehmoment nehmen quadratisch mit der Drehzahl zu.
Links
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Videoaufzeichnung [3]
Unwucht [4] auf Youtube
Schwenkbewegung [5] auf Youtube
Kurzfassung auf Youtube [6]
Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014
Physik und Systemwissenschaft in Aviatik
8
Schwenkbewegung und Unwucht
Quellennachweise
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Explorer_1
http:/ / r6club. de/
https:/ / cast. switch. ch/ vod/ clips/ ni0ec0pdg/ link_box
http:/ / www. youtube. com/ watch?v=LdexQo-xmOg
http:/ / www. youtube. com/ watch?v=o1_4Pbb2r5Q
http:/ / www. youtube. com/ watch?v=eGpk9m1VcZE
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Quelle(n) und Bearbeiter des/der Artikel(s)
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Bild:Präzession.png Quelle: http://systemdesign.ch/index.php?title=Datei:Präzession.png Lizenz: unbekannt Bearbeiter: Admin
Bild:Unwucht Scheibe.png Quelle: http://systemdesign.ch/index.php?title=Datei:Unwucht_Scheibe.png Lizenz: unbekannt Bearbeiter: Admin
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