Mathematik für Biologen - Heinrich-Heine

Mathematik für Biologen
Prof. Dr. Rüdiger W. Braun
Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf
14. Dezember 2011
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
1
Binomialverteilung
Tabellen
2
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition
Unabhängigkeit
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Bayessche Formel
3
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Grundprinzipien
Binomialverteilung
Geometrische Verteilung
Poissonverteilung
4
Erwartungswert und Varianz
Erwartungswert
Varianz und Streuung
Rechenregeln
Erwartungswert und Varianz
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Beispiel Pharmapräparat
Beispiel: 47 Mäuse sind erkrankt
Ein Präparat mit Heilungswahrscheinlichkeit 88% wird
eingesetzt
Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 40 Mäuse
geheilt?
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 40 Mäuse geheilt werden,
wird gegeben durch die Binomialverteilung B47, 0.88 (40)
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 40 Mäuse geheilt
werden, beträgt
47
X
k=40
B47, 0.88 (k) = 1 −
39
X
k=0
B47, 0.88 (k)
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
B47, 0.88(k)
Graph von B47, 0.88
0.18
0.16
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00 0
10
20
k
30
40
Erwartungswert und Varianz
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Tabelle der Werte
r
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
p
0.
Pr
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
k=0 Bn, p (k)
0.85
00001
00002
00008
00029
00093
00274
00742
01832
04128
08463
15768
26660
40904
57047
72665
85309
93639
97931
99552
99952
Erwartungswert und Varianz
für n = 47
0.86
0.87
0.88
0.89
00001
00003
00012
00043
00137
00398
01060
02571
05663
11311
20441
33384
49285
65962
80597
91050
96887
99278
99917
00001
00005
00018
00063
00199
00573
01503
03578
07707
14978
26208
41238
58411
74830
87606
95379
98847
99856
00002
00007
00026
00091
00286
00817
02115
04946
10408
19651
33208
50182
67964
83128
93236
98178
99754
00001
00002
00010
00038
00130
00408
01156
02957
06792
13952
25538
41543
60042
77447
90248
97153
99582
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Pharmapräparat, Fortsetzung
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 40 Mäuse geheilt werden,
ist
39
X
1−
B47, 0.88 (k) = 1 − 0.19651 = 0.80349
k=0
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Nutzung von Zusatzinfo
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist eine Wahrscheinlichkeit
unter Berücksichtigung von Zusatzinformationen
Beispielsweise ist für einen 50-jährigen die Wahrscheinlichkeit,
80 Jahre zu werden, (etwas) höher als für ein Neugeborenes
Allgemein wird mit P(A|B) die Wahrscheinlichkeit von A
bezeichnet, wenn bereits bekannt ist, dass B eingetreten ist
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
bezeichnet man als bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der
Hypothese B
Die Hypothese B ist also vorausgesetzt (im Beispiel ist
jemand bereits 50 Jahre alt geworden)
Das Ereignis A ist das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit
interessiert (im Beispiel ist A das Ereignis, älter als 80 zu
werden)
Man bezeichnet P(A) auch als totale Wahrscheinlichkeit,
wenn man den Unterschied zu einer bedingten
Wahrscheinlichkeit verdeutlichen will
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Rechenregeln
P(A|B) ist eine Wahrscheinlichkeit für A, erfüllt also die
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
die wichtigste ist die Regel für die Wahrscheinlichkeit des
Komplementärereignisses
P(Ac |B) = 1 − P(A|B)
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Heuristische Begründung der Formel
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
unter der Hypothese B ist B sicher, also P(B|B) = 1; daher
wird durch P(B) geteilt
unter der Hypothese B sind diejenigen Elementarereignisse
von A, die nicht in B liegen, irrelevant; daher steht im Zähler
P(A ∩ B) und nicht P(A)
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Begriffsklärung
Im Wattenmeer kommen Europäische Austern und Chinesische
Austern vor. Kurgäste können die beiden Arten nur schwer
auseinander halten. Ein zufällig ausgewählter Kurgast findet
zufällig eine Auster. Zwei Ereignisse interessieren
A : “es handelt sich um eine europäische Auster”
B : “der Finder hält sie für eine europäische Auster”
Dann ist P(B|A) die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig
gefundene europäische Auster auch als solche erkannt wird,
und P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass man dem Finder
glauben kann, wenn er behauptet, eine europäische Auster
gefunden zu haben
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Beispiel zur bedingten Wahrscheinlichkeit
Sei Em50 das Ereignis, dass ein männliches Neugeborenes ein
Alter von mindestens 50 Jahren erreichen wird; laut
(österreichischer) Sterbetafel ist P(Em50 ) = 0.919
für 80 Jahre P(Em80 ) = 0.365
für weibliche Neugeborene P(Ew 50 ) = 0.958 und
P(Ew 80 ) = 0.566
dann wegen Em50 ∩ Em80 = Em80
P(Em80 |Em50 ) =
0.365
= 0.397
0.919
P(Ew 80 |Ew 50 ) =
0.566
= 0.591
0.958
und
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Produktformel
P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B)
Insbesondere sind A und B genau dann unabhängig, wenn
P(A|B) = P(A)
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Bekannt:
totale Wahrscheinlichkeit P(B) und damit auch P(B c )
bedingte Wahrscheinlichkeiten P(A|B) und P(A|B c )
Gesucht: totale Wahrscheinlichkeit P(A)
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B c )
= P(A|B) · P(B) + P(A|B c ) · P(B c )
= P(A|B) · P(B) + P(A|B c ) · (1 − P(B))
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Röntgenreihenuntersuchung auf TB
In den 1960-er Jahren wurden Röntgenreihenuntersuchungen
durchgeführt. Beispielhafte Daten:
bei 94% aller Erkrankten schlägt der Test an
bei 1% der Gesunden schlägt der Test an
99.8% aller Probanden sind gesund
Welches Ereignis nennen wir A und welches B?
B ist das Ereignis, dessen totale Wahrscheinlichkeit bekannt
ist
Zufällig herausgegriffener Proband
A : “Verdacht auf TB”
B : “an TB erkrankt”
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Röntgenreihenuntersuchungen, Fortsetzung
P(B) = 0.002 (totale Wahrscheinlichkeit)
P(A|B) = 0.94 (bedingte Wahrscheinlichkeit)
P(A|B c ) = 0.01 (bedingte Wahrscheinlichkeit)
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
P(A) = P(A|B) · P(B) + P(A|B c ) · P(B c )
= 0.94 · 0.002 + 0.01 · 0.998
= 0.00188 + 0.00998
= 0.01186
1.186% aller Probanden verlassen die Untersuchung mit einem
Verdacht
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Bayessche Formel
Bekannt:
totale Wahrscheinlichkeit P(B)
bedingte Wahrscheinlichkeiten P(A|B) und P(A|B c )
totale Wahrscheinlichkeit P(A) aus dem Satz von der totalen
Wahrscheinlichkeit
Gesucht: bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A)
P(B|A) =
P(A|B) · P(B)
P(A)
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Röntgenreihenuntersuchung, Fortsetzung
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Kranker nicht
endeckt?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Verdachtsdiagnose
falsch?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine falsche Diagnose
gestellt?
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
erste Frage
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Kranker nicht endeckt?
P(Ac |B) = 1 − P(A|B) = 1 − 0.94 = 0.06
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kranker für gesund gehalten wird,
beträgt 6%
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
zweite Frage
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Verdachtsdiagnose falsch?
P(B c |A) = 1 − P(B|A)
P(A|B) · P(B)
=1−
P(A)
0.94 · 0.002
=1−
0.01186
= 1 − 0.1585
= 0.8415
Wer mit Verdachtsdiagnose aus der Röntgenreihenuntersuchung
kam, war mit nahezu 85% Wahrscheinlichkeit gesund.
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
dritte Frage
Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt es zu einer Fehldiagnose?
Das ist eine totale Wahrscheinlichkeit, nämlich
P(A ∩ B c ) + P(Ac ∩ B) = P(A|B c ) · P(B c ) + P(Ac |B) · P(B)
= 0.06 · 0.002 + 0.01 · 0.998
= 0.0101
Die Wahrscheinlichkeit einer Fehldiagnose beträgt 1.01%
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Zufallsvariable
Zufallsexperiment wird durchgeführt, dessen Ergebnis ein
Wert ist
Das ist der Wert der Zufallsvariablen
Zufallsvariablen heißen meist X , Y
Mathematisch ausgedrückt: Eine Zufallsvariable ordnet jedem
Elementarereignis ω eine Zahl X (ω) zu
Beispiel 10-facher Wurf eines fairen Würfels: Die Anzahl der
Sechsen definiert eine Zufallsvariable X
Zufallsvariable lenken den Blick auf die interessanten Daten,
indem sie die Elementarereignisse ausblenden
Eine Zufallsvariable heißt diskret, wenn alle ihre Werte ganze
Zahlen sind
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Interpretation
Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariable X
Ereignisraum Ω
Elementarereignis ω
Wert X (ω)
Experiment
Messvorrichtung
Menge aller möglichen Versuchsabläufe
beobachteter Versuchsablauf
beobachteter Messwert
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Schreibweisen
X eine Zufallsvariable auf Ω. Wir schreiben zur Abkürzung (hierbei
sind a und b irgendwelche Zahlen):
{X = a} = {alle Elementarereignisse ω, für die X (ω) = a}
{X ≤ a} = {alle Elementarereignisse ω, für die X (ω) ≤ a}
{a < X ≤ b} = {alle Elementarereignisse ω, für die a < X (ω) ≤ b}
usw.
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Beispiel zur Schreibweise
Dreifacher Wurf einer fairen Münze, also Ω = {A, Z }3
X bezeichne die Anzahl der Würfe mit “Adler”. Dann kann X
die Zahlen 0,1,2 und 3 annehmen
{X = 2} = {(A, A, Z ), (A, Z , A), (Z , A, A)}
3
P(X = 2) = = 0.375
8
Statt P(X = 2) schreibt man auch PX (2)
Dann ist PX eine Verteilung auf den ganzen Zahlen
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Binomialverteilung als PX
Beispiel Ω = “Serien von n ja/nein-Experimenten”
Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall sei p
X zählt die Zahl der Erfolge
P(X = k) = PX (k) = Bn,p (k)
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Geometrische Verteilung
Die geometrische Verteilung modelliert Wartezeiten in getakteten
Modellen
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Geometrische Verteilung, Beispiel
Wurf eines fairen Würfels:
Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall p =
1
6
Die Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Wurf eine Sechs fällt,
ist
1
= 0.1667
6
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Sechs im zweiten Wurf
fällt, ist
5 1
· = 0.1389
6 6
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Beispiel, Fortsetzung
Wurf eines fairen Würfels:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Sechs im dritten Wurf
fällt, ist
2
1
5
· = 0.1157
6
6
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Sechs im k-ten Wurf
fällt, ist
k−1
5
1
·
6
6
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Geometrische Verteilung: Definition
Die geometrische Verteilung zum Parameter p wird gegeben durch
Gp (k) = (1 − p)k−1 · p
In einem ja/nein-Experiments, bei dem die
Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall gleich p ist, gebe die
Zufallsvariable X die Nummer des Zugs mit dem ersten Erfolg an.
Dann ist X verteilt gemäß Gp .
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
G1/6(k)
Stabdiagramm von G1/6
0.18 W'keit für erste 6 im k-ten Wurf
0.16
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.000 2 4 6 8 10 12 14
k
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Poissonverteilung
Die Poissonverteilung modelliert seltene Ereignisse
Selten bedeutet, dass sich die Einzelereignisse nicht beeinflussen
Es sei λ > 0. Die Poissonverteilung zum Parameter λ ist definiert
durch
λk −λ
·e
Pλ (k) =
k!
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Poissonverteilung, Bedeutung
Unter den folgenden Voraussetzungen ist eine Zufallsvariable X
poissonverteilt zum Parameter λ:
X zählt das Auftreten eines Ereignisses pro Zähleinheit
Im Mittel treten λ Ereignisse pro Zähleinheit auf
Die Ereignisse beeinflussen sich nicht gegenseitig
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Beispiel: α-Strahlung
Versuchsaufbau:
Wir beobachten die Einschläge von α-Teilchen in eine Zelle
Im Mittel gebe es einen Einschlag alle 10 Minuten, also
6 Einschläge pro Stunde.
Welcher Prozentsatz der Zellen übersteht eine Stunde ohne
Einschlag?
Es ist λ = 6, und wir suchen den Wert von Pλ für k = 0
Pλ (0) =
λ0 −λ
e = e −6 = 0.002479
0!
Nur ungefähr jede 400-te Zelle bleibt unbeschädigt
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
P 6 ( k)
Stabdiagramm von P6
0.18
0.16
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00 0
2
4
6
k
8 10 12 14
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Erwartungswert
Der Erwartungswert ist derjenige Wert, den man im Mittel
beobachten würde, wenn man das Experiment sehr oft wiederholt.
Bei einer Lotterie ist der Erwartungswert der Betrag, bei dem die
Lotterie fair wäre, bei dem also weder der Spieler noch der
Betreiber langfristig Geld verdienen würde.
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Spiel 77
Klasse
I
II
III
IV
V
VI
VII
Ziffern
7
6
5
4
3
2
1
Gewinn
177 777.00e
77 777.00e
7 777.00e
777.00e
77.00e
17.00e
5.00e
P(X = k)
0.000 000 1
0.000 001 0
0.000 010 0
0.000 100 0
0.001 000 0
0.010 000 0
0.100 000 0
E (X ) = 0.998e
k · P(X = k)
0.018e
0.078e
0.078e
0.078e
0.077e
0.170e
0.500e
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Variante des Spiels 77
Der Einsatz beträgt 2.50e. Bei welchem Hauptgewinn wäre
das Spiel fair?
Hauptgewinn sei J. Dann
E (X ) = 0.000 000 1 · J + 0.000 001 · 77 7777
+ 0.000 01 · 7 777 + 0.000 1 · 777
+ 0.001 · 77 + 0.01 · 17 + 0.1 · 5
= 0.000 000 1 · J + 0.980
Das soll gleich 2.50 sein. Also 0.000 000 1 · J = 1.52
J=
1.52
= 15 200 000
0.000 000 1
Spiel 77 ist fair bei einem Hauptgewinn von 15.2 Millionen e
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert
X eine diskrete Zufallsvariable
Der Erwartungswert von X ist
X
E (X ) =
P(X = k) · k
k
Die Summe läuft über alle Werte k von X
Erwartungswert und Varianz
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Beispiel: Würfel
Sei X die Augenzahl eines fairen Würfels.
1
1
1
1
1
1
·1+ ·2+ ·3+ ·4+ ·5+ ·6
6
6
6
6
6
6
21
7
=
= = 3.5
6
2
E (X ) =
Im Mittel zeigt ein fairer Würfel 3.5 Augen
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Varianz und Streuung
Die Varianz einer Zufallsvariablen X ist definiert als
Var (X ) =
∞
X
(k − µ)2 · P(X = k)
k=0
wobei µ = E (X ).
Die Standardabweichung oder Streuung von X ist definiert als die
Wurzel aus der Varianz
p
σ = Var (X )
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Gleicher Erwartungswert, unterschiedliche Streuung
0 10 20 30 40 0 10 20 30 40
k
Links: Verteilung X1 mit E (X1 ) = 16 und σ = 4
Rechts: Verteilung X2 mit E (X2 ) = 16 und σ = 1.26
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Modell vs. Datensatz
Datensatz
arithmetisches Mittel
empirische Varianz
Stichprobenstreuung
Modell
Erwartungswert
Varianz
Streuung
Erwartungswert und Varianz
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Rechenregeln
Rechenregeln für den Erwartungswert
Für jede Zahl c und jede Zufallsvariable X ist
E (c · X ) = c · E (X )
Für Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn ist
E (X1 + · · · + Xn ) = E (X1 ) + · · · + E (Xn )
Rechenregeln für die Varianz
Für jede Zahl a und jede Zufallsvariable X gilt
Var (a + X ) = Var (X )
Für Zahl c und jede Zufallsvariable X gilt
Var (c · X ) = c 2 · Var (X )
Für jede Zufallsvariable X gilt Var (X ) = E (X 2 ) − E (X )2
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Zwei diskrete Zufallsvariable X und Y sind stochastisch
unabhängig, wenn für alle möglichen Werte k und m
P(X = k, Y = m) = P(X = k) · P(Y = m)
Die Unabhängigkeit muss durch die Versuchsplanung gesichert
werden
Binomialverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Diskrete Zufallsvariable und ihre Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
Zusätzliche Rechenregeln für unabhängige Zufallsvariable
Produktformel für den Erwartungswert: X und Y seien
unabhängige Zufallsvariable. Dann
E (X · Y ) = E (X ) · E (Y )
Summenformel für die Varianz: X und Y seien unabhängige
Zufallsvariable. Dann
Var (X + Y ) = Var (X ) + Var (Y )