Kap. 10 weiter weiter (Teil III) Stichproben

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Was kann man über die Stichproben-Verteilung der Differenz bzw. Summe der
Mittelwerte aus zwei Gesamtheiten sagen?
Wenn die Verteilungen der Stichproben-Mittelwerte X aus der einen Gesamtheit bzw.
die Verteilung der Stichproben-Mittelwerte Y aus der anderen Gesamtheit
normalverteilt sind und die Stichproben aus den beiden Gesamtheiten unabhängig
voneinander sind, dann muss nach dem Additionssatz der Normalverteilung die
Verteilung der Summe der Stichproben-Mittelwerte W = X + Y bzw. der Differenz
D = X – Y auch normalverteilt sein.
Ferner folgen nach den Sätzen über den Erwartungswert bzw. Varianz einer Summe von
zwei Zufallsvariablen folgende Beziehungen:
µW = µ X + µY
σ
2
W
= σ
2
X
+ σ
2
Y
bzw.
µ D = µ X − µY
bzw.
σ
2
D
= σ
2
X
+ σ
2
Y
Folglich kann nach den beiden Theoremen aus Abschnitt 10.3) und dem Zentralen
Grenzwertssatz das folgende Theorem formuliert werden.
Theorem: Stichproben-Verteilung für die Differenz zweier Mittelwerte
Seien N 1 bzw. N 2 die Größen von unabhängigen Stichproben aus zwei Gesamtheiten
mit den Mittelwerten µ 1 bzw. µ 2 und den Varianzen σ 12 bzw. σ 22 . Dann ist die
Stichproben-Verteilung für die Differenz der Mittelwerte X und Y d.h. D = X – Y ,
annähernd normalverteilt mit folgendem Mittelwert und folgender Varianz.
und
µ D = δ = µ1 − µ 2
σ
2
D
=
σ 12
N1
+
σ 22
N2
Und daher gehorcht
D
Z =
(X
δ
− Y
)−
σ 12
N1
(µ1
+
− µ2
)
σ 22
N2
der Standard-Normal-Verteilung.
1
"
#
$
Bei Stichproben-Größen N 1 bzw. N 2 (N 1 30 bzw. N 2 30 ) aus zwei
Gesamtheiten entspricht die Verteilung der Differenz der Stichproben-Mittelwerte
unabhängig von der Verteilung der Grundgesamtheit ungefähr einer Normalverteilung
mit dem Mittelwert µ D und der Varianz σ 2 .
D
Falls die beiden Gesamtheiten normalverteilt sind, so ist die StichprobenVerteilung der Differenz der Mittelwerte schon für kleine Stichproben-Umfänge N 1
bzw. N 2 (d.h. N 1
30 bzw. N 2
30 ) normalverteilt.
Die folgenden Abbildungen zeigen die schematische Vorgehensweise bei der
Beweisführung des obigen Theorems:
Verteilung der Stichproben-Mittelwerte
aus der zweiten Gesamtheit
Verteilung der Stichproben-Mittelwerte
aus der ersten Gesamtheit
f( y )
f( x )
σ 2X =
0
σ12
σ 2Y =
N1
0
x
µX = µ 1
σ 22
N2
µY = µ 2
y
Verteilung der Differenz der StichprobenMittelwerte aus den beiden Gesamtheiten
f ( x ; y ) = f( x ) · f ( y )
f( d )
y
σD = σ ²X + σ ²Y
D= X – Y
d
µY
µX
0
x
µD = µX – µY
(z)
Z=
D – µD
σD
z
0
2
%
&
'
Leiten Sie mit Hilfe der beiden Theoremen aus Abschnitt 10.3) und dem zentralen
Grenzwertssatz das obige Theorem her.
()*
$
" *
+
Für die Produktion von Fernsehern hat eine Firma Flüssigkristallanzeigen (LCD) bei zwei
verschiedenen Herstellern A bzw. B bestellt. Die Lebensdauer der LCDs sei eine
normalverteilte Zufallsvariable. Die mittlere Lebensdauer der LCDs vom Hersteller A bzw.
B sind µ A = 6,2 [Jahre] bzw. µ B = 6,0 [Jahre] und die Standardabweichungen
betragen σ A = 0,8 [Jahre] bzw. σ B = 0,7 [Jahre].
,
*$ Die Lebensdauern der LCDs der beiden Hersteller dürfen als unabhängig
voneinander betrachtet werden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Stichprobe von 5 LCD’s aus
Hersteller A eine mittlere Lebensdauer hat, die mindestens 1 Jahr über die mittlere
Lebensdauer einer zufälligen Stichprobe von 8 LCD’s aus Hersteller B ist?
()*
$
Gesamtheit A : µ A = 6,2 ; σ A = 0,8
Stichprobenumfang aus A: NA = 5
Gesamtheit B : µ B = 6,0 ; σ B = 0,7
Stichprobenumfang aus B: NB = 8
Da die beiden Gesamtheiten normalverteilt sind, sind die Verteilung der StichprobenMittelwerte aus den beiden Gesamtheiten auch normalverteilt, obwohl beide
Stichprobengrößen < 30 sind.
3
Mittelwert und Standardabweichung der Verteilung der Differenzen der StichprobenMittelwerte:
µ D = δ = µ A – µ B = 0,2
;
σ
D
=
σ A2
NA
+
σ B2
= 0,435
NB
Standardisierte Zufallsvariable:
d0 − δ
z0 =
σ
2
A
NA
+
=
σ B2
1 − 0,2
0 , 435
= 1,84
NB
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist:
(
P D > 1
)=
(
1 − P D ≤ 1
)
= 1 − P ( Z ≤ 1, 84
) = 1 − Φ ( 1, 84 )
= 1 – 0,9671 = 0,0329
-
.&*
/
*
& &
Ähnlich zum vorigen Abschnitt, kann man die Stichproben-Verteilung der Differenz der
Varianzen aus zwei Gesamtheiten untersuchen. Leider ist diese Verteilung recht
kompliziert. Dagegen lässt sich die Stichproben-Verteilung des Verhältnisses der
Varianzen leichter ermitteln.
Sind z.B. die Varianzen zweier unabhängigen Stichproben fast gleich, dann liegt das
Verhältnis aus den beiden Varianzen dicht bei 1. Um zu bestimmen, ob das Verhältnis
zweier unabhängigen Stichproben-Varianzen zu klein oder zu groß ist, verwenden wir die
F-Verteilung, die durch das folgende Theorem gegeben ist.
Theorem
Seien N 1 bzw. N 2 die Größen von unabhängigen Stichproben aus zwei
normalverteilten Gesamtheiten mit den Varianzen σ 12 bzw. σ 22 Dann gehorcht die
Stichproben-Verteilung für das Verhältnis der Varianzen S12 und S22
S 12
F =
S 22
σ 12
σ 22
=
S 12 ⋅ σ 22
S 22 ⋅ σ 12
einer F-Verteilung mit den Freiheitsgeraden ν 1 = N 1 – 1 und ν 2 = N 2 – 1
4
"
#
Im Anhang befindet sich eine Tabelle mit den Werten der Verteilungsfunktion
Fν ; ν ( f ) der F-Verteilung für beliebige f ≥ 0.
1
2
fν
1 ; ν2
(f)
ν1 = 1 ;
ν2 = 1
ν1 = 10 ;
ν2 = 20
ν1 = 5 ;
ν2 = 4
f
%
&
& Bestimmen Sie für ν 1 = 10 und ν 2 = 20 aus der Tabelle der F-Verteilung die
Wahrscheinlichkeit F 10 ; 20 ( 3 , 372 )
Bestimmen Sie für ν 1 = 10 und ν 2 = 20 aus der Tabelle der F-Verteilung die Grenze
f 0 für α = 0,05. ,
*$ α = 1 − Fν ; ν ( f 0 )
1
()*
2
$
" *
0
Falls zwei unabhängige Stichproben der Größen 7 bzw. 13 aus zwei normalverteilte
Gesamtheiten mit den Varianzen 10 bzw. 10 gezogen werden, wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit,
& dass die Varianz der ersten Stichprobe höchstens 3-mal so groß wie die Varianz der
zweiten Stichprobe ist?
dass die Varianz der ersten Stichprobe mindestens 3-mal so groß wie die Varianz der
zweiten Stichprobe ist?
5
()*
$
Varianz der ersten Gesamtheit: σ 12 = 10 ;
Stichprobenumfang aus der ersten Gesamtheit: N 1 = 7
Varianz der zweiten Gesamtheit σ 22 = 10 ;
Stichprobenumfang aus der zweiten Gesamtheit: N 2 = 13
Anzahl der Freiheitsgeraden:
ν1 = N1–1 = 7 – 1 =6 ;
Mit
f0 =
s 12
s 22
= 3
ν 2 = N 2 – 1 = 13 – 1 = 12
ergibt sich:
s 12 ⋅ σ 22
s 22 ⋅ σ 12
=
s 12
s 22
f
⋅
ν1 ; ν2
σ 22
= 3 ⋅
σ 12
10
10
= 3
(f)
ν1 = 6 ;
F
ν1 ; ν2
(f
ν2 = 12
0
)
α
f
f
0
=3
Also sind die gesuchten Wahrscheinlichkeiten:
&
P( F ≤ 3
) = F 6 ; 12 ( 3 ) = 0 , 95
α = P ( F > 3 ) = 1 − F 6 ; 12 ( 3 ) = 0 , 05
6