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ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE
PROF. DR. CHRISTINA BIRKENHAKE
Inhaltsverzeichnis
1. Minimum, Maximum und vollständige Induktion
1.1. Zahlen
2. Teilbarkeit
2.1. Teilbarkeitsrelation
2.2. Eigenschaften
2.3. Teilermengen
2.4. Ordnungsrelation: Teilbarkeit und Hassediagramme
3. Primzahlen
3.1. Einführung der Primzahlen in der Schule
3.2. Wieviele Primzahlen gibt es?
3.3. Sieb des Eratosthenes
3.4. Wie sind die Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlen
verteilt?
3.5. Primzahlformeln
3.6. Primfaktorzerlegung
3.7. Folgerungen aus dem Hauptsatz
3.8. Hassediagramme verfeinert
3.9. Primzahlkriterium und das Lemma von Euklid
4. Größter gemeinsamer Teiler (ggT ) und kleinstes gemeinsames
Vielfaches (kgV )
4.1. ggT und Teilermengen
4.2. Euklidischer Algorithmus
4.3. Vielfache des ggT und Linearkombinationen
4.4. Lineare Diophantische Gleichungen
4.5. kgV und Vielfachenmengen
5. Kongruenzen und Restklassen
5.1. Die Kongruenzrelation mod m
5.2. Kongruenz als Äquivalenzrelation
1
3
3
7
7
9
12
14
14
14
16
19
20
22
25
29
30
31
32
32
36
42
44
49
54
54
60
5.3. Algebraische Struktur von Z{mZ - Rechnen im System Z{mZ
5.4. Die Sätze von Euler, Fermat und der Chinesische Restsatz
6. Stellenwertsysteme
6.1. Verschiedene Stellenwertsysteme
6.2. Prinzip des Stellenwertsystems
6.3. Zahlen in verschiedenen Zahlsystemen
6.4. Rechnen in anderen Zahlsystemen
7. Dezimalbrüche
7.1. Gemeine Brüche und Dezimalbrüche
7.2. Kettenbrüche
8. Teilbarkeitsregeln
8.1. Endstellenregeln
8.2. Quersummenregeln
8.3. Weitere Teilbarkeitsregeln für Primzahlen
9. Vollkommene Zahlen
9.1. Beispiele und Definition
10. Fibonaccizahlen, Goldener Schnitt und Irrationalität
10.1. Das regelmäßige 5-Eck - Goldener Schnitt
10.2. Aperiodische Plasterungen
10.3. DIN-Norm für Papier
11. EAN, ISBN, PZN und IBAN
11.1. EAN im Supermarkt
11.2. ISBN
11.3. Die Pharmazentralnummer PZN
11.4. IBAN, Verfahren Modulo 97-10 (ISO 7064)
12. Kryptographie
12.1. Monoalphabetische Substitution
12.2. Polyalphabetische Substitution
13. RSA-Verschlüsselungssystem
2
63
72
79
79
83
85
87
88
88
98
102
102
105
108
110
110
114
116
119
120
122
122
126
128
130
133
133
136
137
Version vom 27. Juli 2016
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
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1. Minimum, Maximum und vollständige Induktion
1.1. Zahlen.
Natürliche Zahlen - Peano - Axiome Giuseppe Peano (1858-1932)
(1) 1 ist eine natürliche Zahl.
(1 P N)
1
(2) Jeder natürlichen Zahl n ist genau eine natürliche Zahl n zugeordnet,
die Nachfolger von n genannt wird.
(n1 “ n ` 1)
(3) 1 ist kein Nachfolger.
(n1 “ 1 ñ )
(4) Sind n und m verschiedene natürliche Zahlen, so sind auch ihre Nachfolger n1 und m1 verschieden.
(n ‰ m ñ n ` 1 ‰ m ` 1)
(5) Enthält eine Menge M natürlicher Zahlen 1 und folgt aus n P M stets
n1 P M , so besteht M aus allen natürlichen Zahlen.
(M “ N)
Uneinheitliche Notation: natürliche Zahlen mit oder ohne Null?
N “ t1, 2, 3, . . .u oder N “ t0, 1, 2, 3, . . .u
In mathematischen Abhandlungen je nach Vereinbarung!
In der Schule:
X Quadrat-Zeichenlegende: N “ Menge der natürlichen Zahlen
N0 “ Menge der nat. Zahlen einschließlich Null.
bsv, Mathematische Formeln kompakt:
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N “ t0, 1, 2, 3, . . .u und N˚ “ Nzt0u “ t1, 2, 3, . . .u.
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
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Eine Menge M heißt total geordnet, wenn für alle x, y, z P M gilt:
(1) x ď x,
(2) aus x ď y und y ď z folgt, daß auch x ď z,
(3) aus x ď y und y ď x folgt, daß x “ y.
Damit folgt, daß für je zwei Elemente x, y einer total geordneten Menge gilt:
xďy
oder x ě y
Beispiele: Die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen und die reellen Zahlen
sind total geordnet.
Satz 1.1 (Kleinstes Element - Wohlordnungsprinzip). Jede nicht leere Teilmenge T von N enthält eine kleinste Zahl m. Das heißt, für alle t P T gilt:
m ď t.
Beweis:
Da T nicht leer ist, gibt es ein Element n P T . Das erste Element der geordneten
Menge tp0q, 1, 2, . . . , n ´ 1, nu, daß auch in T enthalten ist, ist das gesuchte
kleinste Element.
Satz 1.2 (Induktion). Ist eine Aussage über eine natürliche Zahl wahr für
1) n “ 0 und wenn 2) die Wahrheit der Aussage für alle a ă n die Wahrheit
für n selber zur Folge hat, dann ist die Aussage für alle n P N wahr.
Daraus ergibt sich die Beweismethode der Vollständigen Induktion:
Es sei Apnq eine Aussage (abhängig von einer natürlichen Zahl n P N). Es ist zu
zeigen, daß Apnq für alle natürlichen Zahlen n ab einem gewissen Anfangswert
n0 gilt (d.h. für alle n ě n0 ). Dazu zeigt man:
(1) Induktionsanfang: Die Aussage Apn0 q ist wahr.
(2) Induktionsschritt: Man zeigt, daß aus der Gültigkeit von Apnq für irgendein n P N auch die Gültigkeit der Aussage für den Nachfolger n ` 1
von n folgt. (Aus Apnq ist wahr, folgt Apn ` 1q ist wahr!)
Version vom 27. Juli 2016
Beweis:
Es sei T die Menge der natürlichen Zahlen, für die die Aussage falsch ist. Nach
1) gilt 0 R T . Wenn T “ H, haben wir nichts zu zeigen. Wenn aber T nicht leer
ist, so hat es nach 1.1 ein kleinstes Element n ą 0. Da dann aber die Aussage
für alle natürlichen Zahlen p0q, 1, . . . , n ´ 1 (also für alle a ă n) gilt, so ist sie
nach Vorraussetzung 2) auch für n, damit würde folgen: n R T .
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Beispiel: Beweise die Summenformel mit vollständiger Induktion:
n
ÿ
n ¨ pn ` 1q
i “ 1 ` 2 ` 3 ` ¨¨¨ ` n “
@ nPN
2
i“1
(1)
Beweis:
Induktionsanfang: Zu Zeigen: Die Aussage (1) ist für n “ 1 richtig:
n“1
n ¨ pn ` 1q Ó 1 ¨ p1 ` 1q
“
“1 X
2
2
Induktionsschritt: Zu Zeigen:Aus der Gültigkeit von (1) für n folgt die für
n ¨ pn ` 1q
n ` 1: Angenommen es gilt 1 ` 2 ` 3 ` ¨ ¨ ¨ ` n “
für ein n P N.
2
loooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooon
Induktionsvorraussetzung
Dann folgt:
ò
pn ` 1q ¨ pn ` 2q
pn ` 1q ¨ n ` pn ` 1q ¨ 2
rn ` 1s ¨ prn ` 1s ` 1q
“
“
2
2
2
n ¨ pn ` 1q
“
` pn ` 1q (mit Ind. Vorraussetzung)
2
“ 1 ` 2 ` 3 ` ¨ ¨ ¨ ` n ` pn ` 1q Satz 1.3 (Maximumsprinzip). In jeder nicht leeren endlichen Menge reeller
Zahlen gibt es eine größte Zahl.
(Beachte: hier ist das Wort endlich wichtig! Gegenbeispiel: das offene Intervall
s0, 1r hat weder ein kleinstes noch ein größtes Element.)
Beweis:
Eine nicht leere endliche Menge reeller Zahlen hat notwendiger Weise die Form
ta1 , . . . , an u mit einem n P N.
Angenommen n P T , das heißt: jede n-elementige Menge (Ă R) besitzt ein Maximum. Ist nun M “ ta1 , . . . , an , an`1 u Ă R, so hat die Teilmenge ta1 , . . . , an u
ein größtes Element, OE an ist dieses Element. Da die reellen Zahlen total
geordnet sind, gilt entweder an`1 ą an , an`1 “ an oder an`1 ă an . Gleichheit
geht nicht, also ist im Fall an`1 ą an die Zahl an`1 das größte Element von
M oder im Fall an`1 ă an ist es an . Damit hat M in jedem Fall ein größtes
Element und folglich gilt n ` 1 P T . Induktiv folgt, daß T “ N, und damit die
Behauptung.
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Sei T die Menge natürlicher Zahlen n ě 1 mit der Eigenschaft:
Jede n-elementige Menge reeller Zahlen hat ein größtes Element.
Klar: 1 P T , denn jede Menge ta1 u, mit a1 P R, hat ein größtes Element!
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Natürliche Zahlen - Addition
Den Schülern bewußt machen, daß man die natürlichen Zahlen additiv erzeugen kann:
n “ 1looooooomooooooon
` 1 ` ¨¨¨ ` 1.
n Summanden
Die Addition ordnet stets zwei natürlichen Zahlen eine dritte zu:
n, m P N ñ n ` m “ k P N.
Subtraktion ist Gegenoperation zur Addition:
k ´ m “ n genau dann, wenn
n ` m “ k.
Insbesondere:
pn ` mq ´ m “ n.
Subtraktion hebt die Addition auf.
Problem , Substraktion geht nicht immer
m´n
P N falls n ą m
ñ Erweiterung auf Z
Natürliche Zahlen - Von der Addition zur Multiplikation
Wiederholte Addition der gleichen Zahl:
n¨m“m
` m ` ¨¨¨ ` m.
looooooooomooooooooon
n Summanden
Formulierung: n mal m
Problem Wo ist die Betonung?
m
` m ` ¨¨¨ ` m
looooooooomooooooooon
n mal m
oder
n
` n ` ¨¨¨ ` n
loooooooomoooooooon
n Summanden
m Summanden
Umgangssprache
Operatorauffassung :
¨m
n ÝÑ n ¨ m
Das wegen der Kommutativität der Multiplikation beides gleich ist, hilft den
Schülern wenig. Man muss es durch Übung und Beispiele klar machen. z.B. so:
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n mal m
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5·3
3·5
Natürliche Zahlen - Kommutativität der Multiplikation
Umkehroperation? ñ neue Relation: Teilerrelation
2. Teilbarkeit
2.1. Teilbarkeitsrelation.
Definition 2.1. Eine natürliche Zahl a ist genau dann Teiler der natürlichen
Zahl b, wenn eine natürliche Zahl q existiert, so daß
a ¨ q “ b.
Schreibweise: a | b (a teilt b)
sonst a | b (a teilt nicht b)
Beispiele:
2¨3“6
ñ 2 | 6 und 3 | 6
10 ¨ 7 “ 70
ñ 10 | 70 und 7 | 70
aber 5 | 21
und
denn 4 ¨ 5 “ 20 und 5 ¨ 5 “ 25
20 ă 21 ă 25
Wie kann man das aber beweisen?
Das wird mit Korollar 2 möglich sein!
Bemerkung 2.1.
(1) Null: Vorsicht bei Teilbarkeit:
‚ 0 | b für alle b P Nzt0u, denn q ¨ 0 “ 0 für alle q P N
‚ 0 | b impliziert ñ b “ 0!!!!
Null ist nur Teiler von Null!
‚ a | 0 für alle a P N, denn 0 ¨ a “ 0 für alle a P N
‚ 0 | 0, denn q ¨ 0 “ 0 für z.B. q “ 1 (und alle q P N!)
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Die letzte Begründung wird sicherlich von Schülern akzeptiert.
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(2)
(3)
(4)
(5)
Um diese Ausnahmen nicht immer gesondert auszuschließen, beschränkt
man sich auf N “ t1, 2, 3, . . .u bei Teilbarkeitsuntersuchungen (ohne
dies immer zu erwähnen!).
0 | 0 aber !!! 0 : 0 !!! ist nicht definiert!
Teilbarkeit wird mittels Multiplikation definiert (nicht via Division wie
bei G8)
‚ Vorteilhaft beim Beweisen
‚ Multiplikation (bei Schülern) einfacher als Division.
‚ Zusammenhang Teiler und Vielfache transparenter.
‚ Problem mit Division durch Null entfällt, keine Fallunterscheidungen nötig!
Teilen versus Dividieren:
‚ Beim Dividieren können von Null verschiedene Reste auftreten:
3 : 2 “ 1 ` 12
‚ Bei der Teilerfrage nicht: 2 | 3 aber 2 | 6 weil 2 ¨ 3 “ 6
und damit ñ 6 : 2 “ 3
‚ ñ Teilen ist eine Spezialfall des Dividierens!
‚ Die gesuchte Information ist verschieden:
Teilen: Frage ob eine Zahl (multiplikativ) in einer anderen Zahl
enthalten ist.
Dividieren: Frage wie oft eine Zahl in einer anderen enthalten
ist.
Teilbarkeitsbetrachtungen können auch auf die ganzen Zahlen
Z “ t. . . , ´3, ´2, ´1, 0, 1, 2, 3, . . .u erweitert werden. Ersetze N durch
Z in Definition 1 ( und etwas mit der Null aufpassen).
q ¨ a “ b bzw.
a|b
Bezeichnung: a | b kann auch als b ist Vielfaches von a gelesen werden.
Bemerkung 2.2. a ist genau dann Teiler von b, wenn b Vielfaches von a ist.
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Definition 2.2. Die Zahl b P N ist genau dann ein Vielfaches der Zahl
a P N, wenn es ein q P N gibt mit
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2.2. Eigenschaften.
Satz 2.3 (Teilbarkeitseigenschaften).
Für a, b, c, d P Z gilt:
(1) a | b und b | c ñ a | c
(2) a | b und b | a ñ |a| “ |b|
(3) a | b und c | d ñ a ¨ c | b ¨ d
Beweis:
(Transitivität)
({N : Symmetrie)
(1) a | b ñ a ¨ q1 “ b und b | c ñ b ¨ q2 “ c für q1 , q2 P Z
ñ c “ b ¨ q2 “ pa ¨ q1 q ¨ q2 “ a ¨ pq1 ¨ q2 q ñ a | c
(2) Es gibt q1 , q2 P Z mit 1.) a ¨ q1 “ b und 2.) b ¨ q2 “ a.
!
2.) in 1.): b “ a ¨ q1 “ pb ¨ q2 q ¨ q1 “ b ¨ q2 q1 “ b
Fall: b ‰ 0 ñ q2 q1 “ 1
Da q1 , q2 P Z ñ |q1 | “ |q2 | “ 1
ñ a “ ˘b ô |a| “ |b|.
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(3)
Fall: b “ 0
ñ a | 0 (sowieso) und 0 | a ñ a “ 0(Bem. 2.1: Null teilt nur Null)
a ¨ q1 “ b und c ¨ q2 “ d ñ a ¨ c ¨ pq1 ¨ q2 q “ b ¨ d
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Korollar 2.4. Für a, b P Z, a ‰ 0 gilt:
(1) a | b
(2) a | b
a | b ¨ d für alle d P Z
a ¨ d | b ¨ d für alle d P Z
ñ
ñ
Beweis:
Folgt aus dem Satz 2.3 (3) mit c “ 1 (für 1.) und c “ d (für 2.).
Satz 2.3 (3) hat kein additives Analogon, denn
2 | 6 und 3 | 15
aber ñ
p2 ` 3q “ 5 | 21 “ p6 ` 15q
Satz 2.5 (Teilen von Linearkombinationen).
a | b und
a|c
Für a, b, c P Z gilt:
a | prb ` scq
ñ
für alle r, s P Z. (d.h. a teilt jede ganzzahlige Linearkombination von b und c.)
Beweis:
Korollar ñ a | r ¨ b und a | s ¨ c für alle r, s P Z.
Also a ¨ q1 “ r ¨ b und a ¨ q2 “ s ¨ c für q1 ¨ q2 P Z.
ñ
a ¨ pq1 ` q2 q “ a ¨ q1 ` a ¨ q2 “ r ¨ b ` s ¨ c
ñ Beh.
Der Satz ist nicht umkehrbar, denn:
2 | p2 ¨ 3 ` 4 ¨ 5q aber 2 | 3 und 2 | 5
Aber:
Korollar 2.6.
Für a, b, c P Z gilt:
a|b
und a | c
ñ a|b ˘ c
5 | 21
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Nachtrag zum Beispiel aus Abschnitt 2.1:
Wie beweist man das Nicht Teiler Sein?
warum?
Beweis:
Z.B. durch Widerspruch: Annahme: 5 | 21
Es gilt sicher auch: 5 | 20, denn 5 ¨ 4 “ 20.
Korollar 2.6 ñ 5 | p21 ´ 20q “ 1
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Satz 2.7. Für a, b P Z gilt:
ˇ
a | b ô |a| ˇ |b|
Beweis:
a “ signpaq ¨ |a| und b “ signpbq ¨ |b|
a|b ô a ¨ q “ b
ô signpaq ¨ |a| ¨ q “ signpbq ¨ |b|
(¨signpbq)
ô |a| ¨ pq ¨ signpaq ¨ signpbqq “ |b|
ˇ
ô |a| ˇ |b|
?
Anwendung: 2 ist keine rationale Zahl.
Beweis:
?
Angenommen, 2 ist rational, also ein Bruch. Sei T die Menge der natürlichen
?
Zahlen n, so daß n ¨ 2 P N. Nach dem Satz über das kleinste Element (Wohl?
ordnungsprinzip Satz 1.1 ) hat T ein kleinstes Element n0 , also n0 ¨ 2 P N.
Dann:
weil:
1ă2ă4
?
1ă 2ă2
?
n0 ă n0 ¨ 2 ă 2n0
?
0ăn
2 ´ n0 ă n0
0¨
loooooomoooooon
(Wurzel ziehen)
| ¨ n0
| ´ n0
?
|¨ 2
PN
?
?
?
?
0 ă looooooomooooooon
pn0 ¨ 2 ´ n0 q ¨ 2 “ looooooomooooooon
2n0 ´ n0 ¨ 2 ă n0 ¨ 2
ăn0
PN
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?
Also ist pn0 ¨ 2 ´ n0 q ă n0 ein weiteres Element von T , das widerspricht der
?
Minimalität von n0 . Also ist T “ H und damit 2 irrational!
12
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2.3. Teilermengen.
Definition 2.3. Für eine natürliche Zahl a sei:
ˇ
Ta “ T paq “ tx P N ˇ x teilt au
die Menge aller Teiler von a.
Beispiele
T15 “ t1, 3, 5, 15u
T17 “ t1, 17u
Wegen 1 | a und a | a ñ t1, au Ď Ta .
Ta hat also immer mindestens 2 Elemente:
Bemerkung 2.8.
#Ta ě 2.
#Ta “ 2 ô a ist Primzahl.
(vgl. Definition 3.1)
Satz 2.9.
a P N, a ‰ 0
ñ
#Ta ď a
(a hat also höchsten a Teiler!)
Beweis:
Sei b P Ta ,
(also b | a).
ñ b ¨ q “ a für ein q P N.
insbesondere b, q ě 1
(da b, q P Nzt0u)
ñ1 ď b “ b ¨ 1 ď b ¨ q “ a
Kurz
1ďbďa
ñ Beh.
Bemerkung 2.10. Für a “ 0 gilt der Satz nicht, denn b ¨ 0 “ 0 für alle b P N
#T p0q “ 8
Sei a P N nicht Primzahl.
ñ es gibt Teiler: b | a, b ‰ 1 und b ‰ a
ñ es gibt q P N mit b ¨ q “ a
Erlaubt ist aber: q “ b
(q ‰ 1, q ‰ a)
Wegen b ¨ q “ a nennt man a auch zusammengesetzte Zahl.
Bemerkung 2.11.
‚ Die kleinste zusammengesetzte Zahl: ñ 4 “ 2 ¨ 2
T4 “ t1, 2, 4u.
‚ Die Zahl 1 ist weder Primzahl noch zusammengesetzte Zahl.
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ñ
13
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Wie findet man Teilermengen einer Zahl?
Nutze: - Teiler treten in Paaren auf: b ¨ q “ a
- Bei Quadratzahlen:
b2 “ a
Beispiele:
Paar: pb, qq
Paar: pb, bq
a “ 12:
b 1 2 3 4
ñ
q 12 6 4 3
T12 “ t1, 2, 3, 4, 6, 12u ñ #T12 “ 6
a “ 21:
b 1 3 7
ñ
q 21 7 3
T21 “ t1, 3, 7, 21u ñ #T21 “ 4
a “ 16:
b 1 2 4
ñ
q 16 8 4
T16 “ t1, 2, 4, 8, 16u ñ #T16 “ 5
Bemerkung 2.12. Quadratzahlen haben eine ungerade Anzahl von Teilern.
Nicht-Quadratzahlen haben eine gerade Anzahl von Teilern.
Satz 2.13. Für a, b P N gilt:
a | b ô Ta Ď Tb
Beweis:
” ñ ” Transitivität der Teilerrelation (Satz 2.3 (1))
ñ c | a und a | b ñ c | b ñ Ta Ď Tb .
”ð” a P Ta Ď Tb
ñ
a | b.
Beispiele: Teiler Bedingung
2
gerade Zahl bzw. letzte Ziffer ist gerade
3
3 | Quersumme
5
letzte Ziffer 0 oder 5
9
9 | Quersumme
n
2
Zahl der letzten n Ziffern ist durch 2n teilbar
5n
Zahl der letzten n Ziffern ist durch 5n teilbar
Das und mehr wird in einem späteren Abschnitt ausführlich behandelt!
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Teilbarkeitsregeln
Wann ist eine Zahl durch 2, 3, 4, . . . teilbar?
14
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
2.4. Ordnungsrelation: Teilbarkeit und Hassediagramme.
Satz 2.14. Die Teilbarkeitsrelation über N ist eine Ordnungsrelation, d.h. sie
ist:
reflexiv : a teilt a (a|a) für alle a P N.
transitiv : aus a|b und b|c folgt a|c, für a, b, c P N.
symmetrisch : aus a|b und b|a folgt a “ b.
Beweis:
‚ Reflexivität ist klar
‚ Transitivität war Inhalt von Satz 2.3 (1)
‚ Symmetrie: folgt aus Satz 2.3 (2): a | b und b | a ñ |a| “ |b|
mit N statt Z gilt: a “ b
Hassediagramme veranschaulichen Teilbarkeitszusammenhänge in Zahlenmengen:
Beispiele
(2) T8 “ t1, 2, 4, 8u 8
(1) M “ t1, 2, 3, 4, 5u 4 <
2<3 5
1
4
2
1
(3) T21 “ t1, 3, 7, 21u
3
}}
AA
(4) T25 “ t1, 5, 25u
21 A
A
25
7
5
1
(5) M “ t1, 3, 5, 9, 45u
(6) T70 “ t1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70u
1
}}
3. Primzahlen
Methode: Vervielfachungsmaschinen
Michael hat viele Vervielfachungsmaschinen:
¨2 ,
¨3 ,
¨4 ,. . .
Diese Maschinen verdoppeln, verdreifachen, vervierfachen etc..
Aufgabe: Michael soll 100 große Zahlen versechsfachen!
Problem: Maschine ¨6 ist defekt.
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3.1. Einführung der Primzahlen in der Schule.
15
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Lösung: Freund Andreas schlägt vor, die Maschinen ¨2 und ¨3 zu benutzen.
Frage 1 Warum?
Frage 2 Gibt es noch mehr überflüssige Maschinen?
Frage 3 Welche Maschinen sind unentbehrlich?
Methode: Rechtecke Legen
Gegeben 12 gleichgroße quadratische Plättchen.
Frage: Wie viele verschiedene Rechtecke können damit gelegt werden?
Variationen: Dabei müssen 1) alle Plättchen genutzt werden oder 2) nicht!
Wie ist das bei 13, 15 oder 20 Plättchen?
Gibt es auch Plättchenmengen, aus denen (wenn alle Teile benutzt werden
sollen) keine Rechtecke gebildet werden können?
Methode: Gefängniszellen
Ein Tyrann hat ein Gefängnis mit 1000 Einzelzellen und 1000 Wärtern.
Einmal im Jahr werden im Rahmen einer Amnestie Gefangene entlassen. Dabei
werden die Gefangenen nach folgender Methode ausgewählt:
Wärter 1 macht an jeder Tür ein Kreuz
Wärter 2 macht an jeder 2ten Tür ein Kreuz
Wärter 3 macht an jeder 3ten Tür eine Kreuz
..
.
Die Gefangenen hinter den Türen mit genau 2 Kreuzen werden entlassen.
Welche Zelltüren werden geöffnet?
Z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2 Kreuze:
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Ò Ò
Ò
Ò
ˆ
Version vom 27. Juli 2016
W
Ò
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Vergleich der Zugänge:
Vervielfachungsmaschinen: Betont die Eigenschaft der Primzahlen, 1)
(multiplikative) Bausteine aller natürlicher Zahlen zu sein und 2) Unzerlegbar zu sein.
Rechtecke Legen: Darstellung natürlicher Zahlen als Produkt von 2
Zahlen, enaktiv (durch Handlung), Zerlegbarkeit von Zahlen.
Gefängnis: Vielfache, Teilbarkeit, Anzahl der Teiler, Ergänzende Frage:
Wieviele und welche Wärter machen ein Kreuz an Tür Nummer n?
Charakteristika von Primzahlen:
‚ Primzahlen sind unzerlegbar
‚ Primzahlen sind die Bausteine der natürlichen Zahlen
‚ Primzahlen haben genau 2 Teiler
Sonderfall: Die Zahl 1 ist keine Primzahl! und natürlich auch nicht zerlegbar!!
Definition 3.1.
(1) Natürliche Zahlen, die genau 2 Teiler haben, heißen Primzahlen.
(2) Natürliche Zahlen, die mindestens 3 Teiler haben, heißen
zusammengesetzte Zahlen.
Achtung: Die Begriffe Teilbarkeit und Primzahlen betreffen die Verknüpfung:
Multiplikation
Bzgl. Addition gibt es in N nur ein unzerlegbares Element: die Zahl 1!!
Aber es gibt 8-viele unzerlegbare Elemente in N bzgl. der Multiplikation
ñ die 8-vielen Primzahlen.
Satz 3.1. Der kleinste von 1 verschiedene Teiler einer natürlichen Zahl a ą 1
ist eine Primzahl.
Beweis:
Fall 1: a ist Primzahl
ñ Ta “ t1, au
ñ
der kleinste Teiler ‰ 1 ist a
Fall 2: a ist zerlegbar
ñ t1, au Ă Ta
‰
ñ Beh.
Version vom 27. Juli 2016
3.2. Wieviele Primzahlen gibt es?
17
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Sei b P Ta zt1, au der kleinste Teiler.
Z.z. b ist Primzahl.
Klar, wegen der Transitivität der Teilbarkeitsrelation:
Wäre b keine Primzahl ñ D t ‰ 1 mit t|b,
ñ
ñ
1ătăb
t|a
Version vom 27. Juli 2016
t|b und b|a
t‰b
18
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Satz 3.2 (Euklid).
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis:
Annahme es gibt endlich viele Primzahlen:
Sei
ñ
(*)
p1 , p2 , p3 , . . . , pn
a :“ p1 ¨ p2 ¨ . . . ¨ pn ` 1 pP Nq
a ist keine Primzahl, da größer als jede Primzahl, a ą 1 und:
pi | a
für alle i “ 1, . . . , n
(weil Rest
1
)
pi
Sei p P Ta der kleinste Teiler ‰ 1
Aus (*) ñ p ‰ pi ,
i “ 1, . . . , n
Aber: Satz 3.1 ñ p ist Primzahl
Folgerung Zu jeder großen Primzahl gibt es stets eine noch größere - es gibt
keine größte Primzahl.
Jagd nach großen Primzahlen: Viele Internetseiten (z.B. www.primzahlen.de),
Version vom 27. Juli 2016
Bücher (Ribenboim,...), Strategien, Primzahlen zu erzeugen:
z.B. Mersennezahlen: 2n ´ 1
19
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3.3. Sieb des Eratosthenes.
Erathosthenes (* um 273 v. Chr. in Kyrene,† um 194 v. Chr. in Alexandria)
Mathematiker, Geograph, Astronom, Historiker, Philosoph, leitete die Bibliothek von Alexandria.
Berechnete unter anderem den Erdumfang und die Schiefe der Ekliptik.
Siebmethode, 10 Spalten
1
11
21
31
41
..
.
(1)
(2)
(3)
(4)
..
.
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
4
14
24
34
44
5
15
25
35
45
6
16
26
36
46
7
17
27
37
47
8
18
28
38
48
9
19
29
39
49
10
20
30
40
50
Streiche Zahl 1, da keine Primzahl
nächste Zahl ist 2, PZ, streiche alle Vielfachen von 2.
nächste Zahl ist 3, PZ, streiche alle Vielfachen.
nächste Zahl ist 5, PZ, streiche alle Vielfachen.
Siebmethode, 1 ` 6 Spalten
Satz 3.3.
2
8
14
20
26
32
38
44
..
.
3
9
15
21
27
33
39
45
4
10
16
22
28
34
40
46
5
11
17
23
29
35
41
47
6
12
18
24
30
36
42
48
7
13
19
25
31
37
43
49
Die Primzahlen ą 3 sind von der Form 6n ˘ 1 mit n P N.
Satz 3.4. Beim Sieben der natürlichen Zahlen ď n nach Eratosthenes reicht
?
es, die Vielfachen der Primzahlen ď n zu streichen.
Version vom 27. Juli 2016
1
20
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3.4. Wie sind die Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlen verteilt?
Primzahlen p und q mit Abstand |p ´ q| “ 2 heißen Primzahlzwillinge.
Weitere Beispiele für Primzahlzwillinge:
p9929, 9931q ,
2007:
p156 ¨ 5202 ´ 1, 156 ¨ 5202 ` 1q
looooooooooooooooooomooooooooooooooooooon
haben 144 Ziffern
195.000
p2.003.663.613 ¨ 2
˘ 1q
loooooooooooooooooomoooooooooooooooooon
haben 58.711 Ziffern
Sei 2300 Jahren bekannt: Es gibt 8-viele Primzahlen.
Offen (nicht bekannt): ob es endlich oder unendlich viele Primzahlzwillinge
gibt.
Primzahldrillinge:
p3, 5, 7q sind die einzigen Primzahlentripel der Form pp, p ` 2, p ` 4q
Beweis:
Annahme 3 ă p, p ` 2, p ` 4 sind Primzahlen.
Da p prim ñ p “ 6m ˘ 1
Wenn p “ 6m ` 1
ñ
p ` 2 “ 6m ` 3
ñ
3|p ` 2
Wenn p “ 6m ´ 1
ñ
p ` 4 “ 6m ` 3
ñ
3|p ` 4
Primzahlfolgen der Form p, p ` 2, p ` 6 heißen Primzahldrillinge.
p41, 43, 47q
p107, 109, 113q
p10.014.491, 10.014.493, 10.014.497q
Es gibt bei großen Zahlen nicht nur immer wieder Primzahlhäufungen (wie die
Beispiele zeigen), aber auch beliebig lange Lücken:
Satz 3.5. Für alle n P N gibt es eine Primzahllücke der Länge n.
Version vom 27. Juli 2016
Beispiele
21
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(m.a.W.: für jedes n gibt es eine Folge von n aufeinanderfolgenden zusammengesetzten Zahlen.)
Beweis:
pn ` 1q! ` 2
pn ` 1q! ` 3
..
.
“ 2 ¨ 3 ¨ 4 ¨ ¨ ¨ pn ` 1q ` 2 hat Teiler
“ 2 ¨ 3 ¨ 4 ¨ ¨ ¨ pn ` 1q ` 3 hat Teiler
2
3
pn ` 1q! ` pn ` 1q “ 2 ¨ ¨ ¨ pn ` 1q ` pn ` 1q hat Teiler pn ` 1q
,
/
/
/
/
.
n Zahlen
/
/
/
/
-
Das sind insbesondere n aufeinanderfolgende zusammengesetzte Zahlen
ñ Beh.
Satz 3.6. Für n ě 3 liegt zwischen n und n! mindestens eine Primzahl.
Beweis:
Sei n P N, n ě 3
ñ
n! ´ 1 ě 3! ´ 1 “ 2 ¨ 3 ´ 1 “ 5 ą 1
ñ kleinster Teiler p ‰ 1 von n! ´ 1 ist eine Primzahl (vgl. Satz 3.1)
Dann:
p ď n! ´ 1 ă n!
Wir haben also eine Primzahl p ă n! gefunden.
Es gilt aber auch n ă p, denn:
2, 3, 4, . . . , n P Tn!
ñ
2, 3, 4, . . . , n R Tn!´1
ñ p ‰ 2, 3, 4, . . . , n ñ n ă p
ñ Beh.
Euler (1737): Neuer Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen mittels harmonischer Reihe.
Wdh.: Harmonische Reihe/Folge:
řn
1
i“1 i
divergiert für n Ñ 8.
Satz 3.7 (Euler).
1
PZ: pďn p
ř
lim
“1
lnplnpnqq
d.h. Zähler- und Nennerfunktion verhalten sich asymptotisch gleich!
Folgerung:
Satz 3.8 (Euler, um 1740).
ÿ
1
p
divergiert für n Ñ 8.
PZ: pďn
Πpxq :“ #tPrimzahlen p ď xu , für x P R
z.B. Πp1q “ 0,
Πp2q “ 1,
Πp3q “ 2,
Πp10q “ 4,
Πp17,3q “ Πp17q “ 7
Version vom 27. Juli 2016
nÑ8
22
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Legendre(1752-1833) stellte aufgrund empirischer Untersuchungen die Vermutung auf, daß:
x
Πpxq verhält sich asymptotisch gleich
ln x
Satz 3.9 (Primzahlsatz). (Hadamard und unabhängig Ch.de la Valleé Poussin, 1896)
Πpxq
lim x “ 1
xÑ8
ln x
3.5. Primzahlformeln.
Das Polynom
ppxq “ x2 ´ 79x ` 1601
pp39q “ pp40q “ 41,
pp38q “ pp41q “ 43,
pp37q “ pp42q “ 47,
pp36q “ pp43q “ 53
pp35q “ pp50q “ 151
. . . alles Primzahlen?
Satz 3.10. Kein Polynom ppxq “ an xn ` ¨ ¨ ¨ ` a1 x ` a0 vom Grad ě 1, ai P Z,
erfüllt
ppnq ist Primzahl für alle n P Z.
Beweis:
Sei ppxq “ an xn `. . . ein Polynom vom Grad n mit ganzzahligen Koeffizienten.
Z.z.: D m P Z mit ppmq ist zusammengesetzte Zahl!
Wenn a0 zusammengesetzte Zahl ñ pp0q “ a0 zusammengesetzt. X
Also Annahme: a0 PZ.
ppa0 ¨ mq “ an pa0 ¨ mqn ` an´1 pa0 ¨ mqn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` a1 pa0 ¨ mq ` a0
`
˘
n´1
n
“ a0 a
a
m
`
¨
¨
¨
`
a
m
`
1
n
1
0
loooooooooooooomoooooooooooooon
“:Apmq PZ
`
˘
“ a0 Apmq ` 1
Genauer:
Apmq “ an an´1
mn ` an´1 a0n´2 mn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` a1 m
0
Apmq ist also ein Polynom vom Grad n in der Variablen m.
Version vom 27. Juli 2016
ñ @ m P N gilt:
23
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
ñ Apmq hat höchstens n Nullstellen.
Also D m0 P N pbzw.in Zq mit Apm0 q ‰ 0
ñ
`
˘
ppm0 ¨ a0 q “ a0 loooooomoooooon
Apm0 q ` 1 ist zusammengesetzte Zahl
‰1
Satz 3.11. Seien a, b P N mit ggT pa, bq ą 1 und a ‰ 0, so kann für x P Z das
lineare Polynom ppxq “ a x ` b höchstens einen Primzahlwert annehmen.
Bemerkung 3.12. Vorgriff: ggT wird erst im nächsten Abschnitt definiert!
Wir haben gesehen, daß alle Primzahlen ą 3 von der Form 6n ˘ 1 sind! Das
widerspricht nicht dem Satz, denn ggT p6, 1q “ 1
Beweis:
Sei c :“ ggT pa, bq, nach Vorraussetzung: c ‰ 1
ñ a “ c ¨ a1 und b “ c ¨ b1 mit a1 , b1 P N und a1 ě 1.
ñ@z P Z
ppzq “ az ` b “ ca1 z ` cb1 “ cpa1 z ` b1 q
Das ist nur dann eine Primzahl, wenn a1 z ` b1 “ 1 und c eine Primzahl ist.
Da bleiben die folgenden Möglichkeiten:
(1) b1 “ 0
(2) b1 “ 1
(3) b1 ě 2
b1 ´ 1
ñ a1 ¨ z “ 1 ñ a1 “ z “ 1 und pp1q “ c PZ,
ñ b “ c ñ pp0q “ b “ c PZ,
ñ 1 ď b1 ´ 1 “ ´a1 z ñ z negativ und a1 | b1 ´ 1. Sei a1 ¨ q “
ñ pp´qq “ cp´a1 q ` b1 q “ c PZ.
‚
‚
‚
‚
ppxq “ 3x (also b “ 0 und a “ c PZ) hat Primzahlwert: pp1q “ 3
ppxq “ 12x ` 4 “ 4 p3x ` 1q hat nie Primzahlwerte ({N), denn c ‰ PZ
ppxq “ 12x ` 3 “ 3 p4x ` 1q hat den Primzahlwert: pp0q “ 3
ppxq “ 6x ` 15 “ 3 p2x ` 5q hat den Primzahlwert: pp´2q “ 3
Was ist, wenn ggT pa, bq “ 1?
Satz 3.13 (Dirichletscher Primzahlsatz). Zu jeder natürlichen Zahl b gibt es
unendlich viele Primzahlen der Form
p “ a mod b,
mit ggT pa, bq “ 1
Version vom 27. Juli 2016
Die 3 Fälle schliessen sich offensichtlich aus und jeweils gibt es genau den einen
angegebenen Primzahlwert.
Beispiele
24
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Alternative Formulierung Sind a, b P N mit ggT pa, bq “ 1, so gibt es 8viele Primzahlen der Form
a ˘ nb ,
nPN
Zum Beweis benötigt man Begriffe wie Dirchlet-Charakter, Zeta-Funktion und
L-Reihen ñ übersteigt Möglichkeiten der Elementaren Zahlentheorie.
Spezialfälle: a) a “ 1, b “ 2
ñ D 8 ´ viele Primzahlen: p “ 1 mod 2
ñ D 8 ´ viele Primzahlen:
p “ 1 ` 2n
Klar: jede Primzahl ‰ 2 ist von dieser Form.
b) In Satz 3.3 haben wir gesehen: Jede Primzahl ą 3 ist von der Form:
6n ˘ 1
ñ Fall a “ 1, b “ 6:
Aber:
mit n P N
p “ 1 ` 6n
6n ´ 1 “ 6pn ´ 1q ` 6 ´ 1 “ 6pn ´ 1q ` 5
ñ Satz 3.3 beinhaltet also die beiden Fälle: pa, bq “ p1, 6q und pa, bq “ p5, 6q.
Offene Primzahlprobleme
Goldbach’sche Vermutung: Jede gerade Zahl ą 2 läßt sich als Summe von zwei
Primzahlen darstellen.
(Nachgewiesen für alle n ď 4 ¨ 1017 .)
Wenn n ą 5 eine ungerade Zahl ist ñ n ´ 3 ą 2 ist eine gerade Zahl und
ebenso nach Goldbach Summe von zwei Primzahlen:
n ´ 3 “ p1 ` p 2
ñ
n “ 3 ` p1 ` p2 X
”Goldbach ð Euler”: Sei n ą 2 gerade.
Wenn n “ 4, ñ n “ 4 “ 2 ` 2, also Summe von 2 Primzahlen.
Wenn n “ 6, ñ n “ 6 “ 3 ` 3, also Summe von 2 Primzahlen.
Wenn n ě 8, nach Euler: n ` 2 “ p1 ` p2 ` p3 mit Primzahlen pi .
Version vom 27. Juli 2016
Äquivalent (Euler): Jede natürliche Zahl ą 5 ist Summe von drei Primzahlen.
Beweis:
”Goldbach ñ Euler”:
Wenn n ą 5 eine gerade Zahl ist ñ n ´ 2 ą 3 ą 2 ebenfalls gerade und nach
der Goldbach’schen Vermutung Summe von 2 Primzahlen:
n ´ 2 “ p 1 ` p2
ñ
n “ 2 ` p1 ` p2
25
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Wären p1 , p2 , p3 ą 2, so wären alle drei Primzahlen ungerade und dann auch
ihre Summe.
ñ OE p1 “ 2,
Primzahlen.
ñ n ` 2 “ 2 ` p2 ` p3 ñ n “ p2 ` p3 ist Summe von 2
3.6. Primfaktorzerlegung.
Beispiele
‚ Bei sehr hohen Zahlen ist das sehr mühsehlig:
z.B.
a “ 286.378.465
Finde PFZ, ist diese auch eindeutig?
In der Praxis heute ohne Rechnereinsatz kaum denkbar.
‚ Viererwelt:
V :“ t1, 4, 8, 12, 16, . . . , 4n, . . .u “ 4N Y t1u
V ist abgeschlossen bzgl. Multiplikation
ñ Teilbarkeitsuntersuchungen möglich:
Def: Für a, b P V, a |4 b (a ist V -Teiler von b) genau dann, wenn
a ¨ q “ b für ein q P V .
1o|mo
4 32
lo
on,
4loooooooomoooooooon
|4 32, 8 |4 32,
1¨32“32
4¨8“32
16
|4 32 ,
loomoon
16¨2“32, 2RV
32|
4 32
lo
omo
on
32¨1“32
ñ V ´Primzahlen möglich zu definieren:
Def.: Eine Zahl p P V heißt V -Primzahl, wenn sie genau 2 V -Teiler
hat: 1 und p.
Version vom 27. Juli 2016
Dann
26
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Dann:
TN p4q “ tp1, 4q, loomo
2 onu
TV p4q “ t1, 4u ñ V ´ P Z
RV
TV p8q “ t1, 8u ñ V ´ P Z
TN p8q “ tp1, 8q, ploo2,
4onqu
mo
RV
(da 4 ¨ 2 “ 8 und 2 R V ist 4 kein V -Teiler von 8)
TV p12q “ t1, 12u ñ V ´ P Z
6onqu
TN p12q “ tp1, 12q, ploo3,
4onq, ploo2,
mo
mo
RV
RV
(da 4 ¨ 3 “ 12 ist 4 kein V -Teiler von 12)
TN p24q “ tp1, 24q, p2, 12q, p3, 8q, p4, 6qu
TV p24q “ t1, 24u ñ V ´ P Z
ñ Primfaktorzerlegung in V :
Beispiel: a “ 96 eindeutige PFZ in V ??
TN p96q “ tp1, 96q, p2, 48q, p3, 32q, p4, 24q, p6, 16q, p8, 12qu
TV p96q “ tp1, 96q, p4, 24q, p8, 12qu
96 “ 8 ¨ 12 “ 4 ¨ 24
ñ
Da 4, 8, 12, 24 V-Primzahlen, hat 96 also 2 Primfaktorzerlegungen !!??
Eindeutigkeit???
Satz 3.14 (Existenz). Jede natürliche Zahl a ‰ 1 besitzt eine Primfaktorzerlegung (PFZ):
a “ p1 ¨ ¨ ¨ ps
Beweis:
Fall 1: a ist Primzahl
mit Primzahlen
pi , i “ 1, . . . , s,
sě1
ñ a “ a ist PFZ.
X
Klar: 1 ă p1 ă a und
p1 ¨ n1 “ a mit einem n1 P N,
Falls
n1 PZ X
Falls
n1 keine PZ: Sei p2 |n1 kleinster Teiler ‰ 1
ñ p2 PZ und n1 “ p2 ¨ n2 mit n2 P N,
ñ
1 ă n1 ă a.
1 ă n2 ă n1 .
a “ p1 ¨ n1 “ p1 ¨ p2 ¨ n2 ,
1 ă n2 ă n1 ă a
Version vom 27. Juli 2016
Fall 2: a zusammengesetzte Zahl: sei p1 |a der kleinste Teiler ‰ 1.
Satz 3.1 ñ p1 ist Primzahl.
27
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Nun wieder n2 entweder Primzahl ě 2 (und damit wären wir fertig) oder
zusammengesetzt . . .
Algorithmus muß abbrechen (d.h. ns´1 ist Primzahl ě 2 für ein s), denn es
gibt nur endlich viele natürliche Zahlen zwischen 1 und a.
Also
a “ p1 ¨ p2 ¨ . . . ¨ ps´1 ¨ lonomo
s´1
on
PZ
Mit ns´1 “: ps
ñ
a “ p1 ¨ ¨ ¨ ps
Satz 3.15 (Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie, Eindeutigkeit). Jede natürliche Zahl a ‰ 1 besitzt genau eine (bis auf die Reihenfolge (b.a.R.)
eindeutige) Primfaktorzerlegung.
Beweis:
Annahme: Es gibt ein n P N mit 2 Primfaktorzerlegungen.
Sei n die kleinste natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft (vgl. Wohlordnungsprinzip 1.1), dann gilt:
Alle natürlichen Zahlen kleiner n haben eine (b.a.R.) eindeutige PFZ . (2)
Sei p1 |n kleinster Teiler ‰ 1
Wie im Beweis von Satz 3.14 gibt es zu p1 eine PFZ:
n “ p1 ¨ p2 ¨ ¨ ¨ ps
(3)
Nach Annahme gibt es noch eine weitere PFZ:
(4)
Zwischenbehauptung: Die Mengen tp1 , p2 , p3 , . . . , ps u und tq1 , . . . , qt u sind
disjunkt:
Wäre z.B. pi P tq1 , . . . , qt u, z.B. pi “ qr , dann
n
q1 ¨ q 2 ¨ ¨ ¨ qt
_
_
“
“ looooooooomooooooooon
q1 ¨ q2 ¨ ¨ ¨ q r ¨ ¨ ¨ qt ă n
p 1 ¨ p2 ¨ ¨ ¨ pi ¨ ¨ ¨ ps “
pi
qr
hat eindeutige PFZ
ñ nach (2) müssten die beiden (äußeren) PFZ’en übereinstimmen ñ
_
_
tp1 , p2 , . . . , pi , . . . , ps u “ tq1 , q2 , . . . , q r , . . . , qt u
ñ
tp1 , p2 , p3 , . . . , ps u “ tq1 , q2 , . . . , qr , . . . , qt u
Widerspruch zur Annahme, daß die PFZ’en (3)‰(4).
ñ Zwischenbehauptung!
(pi “ qr hinzufügen:)
Version vom 27. Juli 2016
n “ q1 ¨ q2 ¨ ¨ ¨ qt
28
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
ñ insbesondere gilt: p1 R tq1 , . . . , qt u.
Setze
n “ p1 ¨ loomoon
p2 ¨ ¨ ¨ ps “ p 1 ¨ a
“:a
n “ q1 ¨ loomoon
q2 ¨ ¨ ¨ qt “ q1 ¨ b (dabei gilt b ą 1, denn sonst wäre n “ q1 PZ)
“:b
ñ
z :“ n ´ p1 ¨ b
( ñ z ă n)
ñ
z “ p1 ¨ a ´ p1 ¨ b “ p1 ¨ pa ´ bq
ñ p1 |z
(*)
z “ q1 ¨ b ´ p1 ¨ b “ pq1 ´ p1 q ¨ b
(**)
Da p1 ‰ q1 kleinster Teiler von n ñ p1 ă q1
ñ
z “ looomooon
pq1 ´ p1 q ¨ loomo
b on ą 1
ñ
1 ď q1 ´ p1 und es folgt:
1ăzăn
ą1
ě1
ñ PFZ von z ist eindeutig!
(*) und (**) ñ p1 Teiler von z “ pq1 ´ p1 q ¨ b “ pq1 ´ p1 q ¨ q2 ¨ ¨ ¨ qt
Da p1 R tq1 , . . . , qt u (nach der Zwischenbehauptung)
Da trivialerweise p1 |p1 ñ (mit Satz 2.5)
ñ p1 | pq1 ´ p1 q
p1 | pq1 ´ p1 q ` p1 “ q1
Bemerkung 3.16.
(1) Warum funktioniert der Satz nicht in der Viererwelt V ?
In der letzten Zeile des Beweises, beim Widerspruch:
p1 | pq1 ´ p1 q ` p1 “ q1
wird die Summenregel aus Satz 2.5 benutzt:
a|b
und
a|c
ñ
a|b ` c !
Diese Regel gilt nicht in V , denn z.B.:
4|4 4
aber 4|4 p4 ` 4q “ 8 “ 2 ¨ 4
(2) Die Primzahlen in einer Primfaktorzerlegung sind im Allgemeinen nicht
verschieden:
12 “ 2 ¨ 2 ¨ 3 “ 22 ¨ 3
Es ist üblich (wenn möglich), die Primzahlen der Größe nach zu ordnen
und Potenzschreibweise zu benutzen:
23 ¨ 32 ¨ 5 ¨ 112 “ 42.560
ñ normierte Primfaktorzerlegung !
Version vom 27. Juli 2016
4|4 4 und
29
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Schreibweise für Primfaktorzerlegungen:
8
ź
a“
pni i
i“1
meint ein Produkt, das formal über alle Primzahlen pi , mit
p1 ă p2 ă p3 ă ¨ ¨ ¨
läuft, beim dem aber nur endlich viele der natürlichen Zahlen ni ‰ 0 sind.
Damit handelt es sich also um ein endliches Produkt! z.B.:
8
ź
2
12 “ 2 ¨ 3 “
pni i “ 22 ¨ 31 ¨ 50 ¨ 70 ¨ ¨ ¨ alle ni “ 0 für i ě 3
i“1
Oft schreibt man aber auch direkt:
a“
s
ź
pni i
i“1
Ob als obere Grenze 8 oder s geschrieben wird, hängt vom Zusammenhang
ab. In beiden Fällen ist das Produkt aber immer endlich!
3.7. Folgerungen aus dem Hauptsatz.
Satz 3.17 (Teilbarkeitskriterium). Für natürliche Zahlen a, b mit PFZ:
ś8 mi
ś
ni
gilt:
a“ 8
i“1 pi
i“1 pi und b “
a|b
ni ď mi
ô
@iPN
Beweis:
” ñ ”:
Es gibt c P N mit a ¨ c “ b.
ś
ki
PFZ: c “ 8
i“1 pi
a¨c“
8
ź
pni i ¨
i“1
8
ź
pki i “
8
ź
!
pni i `ki “
i“1
i“1
8
ź
i
pm
i “ b
i“1
Aus der Eindeutigkeit der PFZ folgt die Gleichheit der Exponenten:
ni ď ni ` ki “ mi
Ò
ki ě0
@i
X
”ð”
ni ď m i
@i
ô
ki :“ mi ´ ni ě 0 @i
Version vom 27. Juli 2016
ñ
mit ki ě 0
30
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
dabei sind nur endlich viele ki ‰ 0, weil das für ni und mi gilt.
ś
ki
Sei c :“ 8
i“1 pi
a¨c“b
ñ
ñ
a|b
Korollar 3.18. Jeder Teiler a von b “
a“
s
ź
pn1 i
mit
śs
i“1
i
pm
ist von der Form:
i
0 ď ni ď mi
@i
i“1
ms
1
Satz 3.19. Die Anzahl der Teiler der natürlichen Zahl a “ pm
1 ¨ ¨ ¨ ps lautet:
#Ta “ pm1 ` 1q ¨ ¨ ¨ pms ` 1q
Beispiel a “ 70 “ 2 ¨ 5 ¨ 7 muß nach Satz 3.19
2 ¨ 2 ¨ 2 “ 8 Teiler haben:
T70 “ t1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70 u
Ò
Ò
Ò
Ò
2¨5 2¨7 5¨7 2¨5¨7
a “ 108 “ 4 ¨ 27 “ 22 ¨ 33
ñ
#T108 “ p2 ` 1q ¨ p3 ` 1q “ 12
T108 “ t1, 2, 3, lo
4,omo
6,o9n , 12,
18, 27, lo
36,
54
moon u
looomooon
omo
on , loo108
2 Faktoren
3 Faktoren
4 Faktoren 5 Faktoren
Beweis:
Es gibt mi ` 1 Zahlen 0 ď ni ď mi .
a “ pm Primzahlpotenz: Hassediagramm als vertikale Teilerkette:
‚
pm
‚
pm´1
‚
p2
‚
p1 “ p
‚
1
a “ pm q n Hassediagramm in Parallelogrammstruktur:
Version vom 27. Juli 2016
3.8. Hassediagramme verfeinert.
31
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
‚p
‚p
m qn
m
‚q
2
‚p A
AA
n
pq
‚ A
‚q2
AA
kkkk
ooo
k
o
k
o
k
kk
ooo
q kk
‚
‚p B
m
BB
mmm
mmm
1 m
‚
a “ pm q n ru Hassediagramm in Kubusstruktur:
pqr
‚ E
m
EE
mmm
m
EE
m
mm
EE
m
m
m
E
m
mm
m
pr
‚ A
‚rq
mm
AA
m
m
AA
mmm
AA
mmm
m
m
A
mm
mmm
‚r
‚p A
‚q
mmm
m
AA
m
AA
mmm
AA
mmm
m
m
A
m
mmm
‚1
Mit mehr als drei Primfaktoren geht es nicht mehr!!
3.9. Primzahlkriterium und das Lemma von Euklid.
Satz 3.20 (Primzahlkriterium). Eine natürliche Zahl p ą 1 ist genau dann
eine Primzahl, wenn für alle a, b P N gilt:
Beweis:
PZ ” ñ ” (5):
p | a oder p | b
(5)
Sei p ą 1 Primzahl und es gelte p | a ¨ b
ñ p kommt in der PFZ von a ¨ b vor.
Wegen der Eindeutigkeit der PFZ kommt p in der PFZ von a oder b oder von
beiden vor.
ñ p | a oder
p | b.
Version vom 27. Juli 2016
Aus p | a ¨ b folgt
32
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
(5) ” ñ ” PZ: Es gelte (5) für p, d.h. falls p | a ¨ b für irgendwelche a, b P N,
so folgt: p | a oder p | b
z.Z.: p ist Primzahl
Wäre p zusammengesetzte Zahl (nicht PZ) ñ p “ a ¨ b mit natürlichen Zahlen
1 ă a, b ă p
ñ
p|a ¨ b
(5)
ñ p | a oder p | b
Widerspruch zu
a, b ă p
Bemerkung 3.21. Das Primzahlkriterium gilt nicht in der Viererwelt V :
Gegenbeispiel:
4 ist V -Primzahl
4|4 96 “
8omo
¨ 12
lo
on
Zerlegung in V
aber
4 |4 8 und
4 |4 12
Die Implikation ” ñ ” vom Primzahlkriterium hat einen Namen:
Satz 3.22 (Lemma von Euklid).
p
Primzahl und
p|a ¨ b
ñ
p | a oder
p|b
Bemerkung 3.23. Wir haben das Lemma von Euklid (bzw. das Primzahlkriterium) aus dem Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie gefolgert. Aber es
gilt sogar:
Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie ô Lemma von Euklid
4. Größter gemeinsamer Teiler (ggT ) und kleinstes
gemeinsames Vielfaches (kgV )
Einführung des ggT über Teilermengen:
Beispiel
T18 “ t1, 2, 3, 6, 9, 18u
T24 “ t1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24u
T18 X T24 “ t1, 2, 3, 6u “ tgemeinsame Teiler von 18 und 24u
!
“ T6
Offenbar ist der Durchschnitt dieser Teilermengen wieder eine Teilermenge.
Version vom 27. Juli 2016
4.1. ggT und Teilermengen.
33
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Gilt das auch für die Vereinigung?
T18 Y T24 “ t1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24u
Das ist offenbar keine Teilermenge, da z. B. 18 | 24.
Wir werden im Folgenden sehen, daß das allgemein so gilt.
Definition 4.1. Für zwei
größte gemeinsame Teiler
natürliche
Zahlen
a
und
b
ist
der
ggT pa, bq
das Maximum der Schnittmenge Ta X Tb .
Bemerkung 4.1.
(1) Der Name größter gemeinsamer Teiler ist selbsterklärend.
(2) Macht diese Definition Sinn?
Ja! Mit Ta und Tb ist auch die Schnittmenge Ta X Tb endlich.
Außerdem ist Ta XTb ‰ H, da 1 P Ta XTb . Nach dem Maximumsprinzip
(Satz 2.5) hat jede endliche, nichtleere Menge ein größtes Element. Es
gibt also immer einen ggT .
(3) Da 1 P Ta für alle a P N, gilt:
Aus #Ta X Tb “ 1
ñ folgt
Ta X Tb “ t1u
In diesem Fall: ggT pa, bq “ 1 und man sagt: a und b sind teilerfremd.
(4) Analog läßt sich der ggT von drei, vier oder mehr natürlichen Zahlen
definieren: a1 , a2 , . . . , as P N:
ggT pa1 , a2 , . . . , as q :“ größtes Element von Ta1 X Ta2 X ¨ ¨ ¨ X Tas
(5) Erweiterung des Begriffs auf die ganzen Zahlen:
pa, bq ‰ p0, 0q (nicht beide gleichzeitig gleich 0).
Sei ”d” die größte ganze Zahl mit d|a und d|b.
Dann heißt/ist d “ ggT pa, bq.
Klar:
d P N, denn mit d | a auch ´d | a und maxp˘dq P N!
Klar:
ggT pa, bq “ ggT p|a|, |b|q
Insbesondere: ggT ě 1.
Version vom 27. Juli 2016
Seien a, b P Z,
34
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Satz 4.2.
Für alle a, b P N gilt:
(1)
ggT p1, aq “ 1
(2) Aus a|b folgt ggT pa, bq “ a
Wie findet man den ggT ?
Bei nicht zu großen Zahlen (in der Schule) z.B. mittels Venn-Diagrammen:
T12
3
1
6
16
2
T16
ñ
8
ggT p12, 16q “ 4
4
12
ggT in Schulbüchern: Hier Aufgabe aus [XQuadrat (5), p.219]:
Miriam besucht ihren Onkel, der ist Fliesenleger. Der muß einen großen rechteckigen Saal der Größe 252 dm ˆ98 dm mit quadratischen Fliesen einer Größe
auslegen. Zur Wahl stehen die Fliesengrößen
15 ˆ 15 cm2
25 ˆ 25 cm2
35 ˆ 35 cm2
40 ˆ 40 cm2
Wie bestimmt man den ggT ?
Hilfe: Primfaktorzerlegung:
Beispiel:
a “ 120 “ 2 ¨ 60 “ 22 ¨ 30 “ 23 ¨ 15 “ 23 ¨ 3 ¨ 5
b “ 3500 “ 35 ¨ 100 “ 3 ¨ 7 ¨ 102 “ 22 ¨ 53 ¨ 7
ñ
ggT pa, bq “ 22 ¨ 5 “ 20
Version vom 27. Juli 2016
Miriam hilft ihrem Onkel bei der Wahl, weil sie gut rechnen kann.
Dazu gibt es keine weitere Anleitung. Sie als Lehrer müssen sich selber ausdenken, was Sie daraus machen. Was würden Sie machen? ñ Übung.
35
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
b=3500
5
5
2
2
2
a=120
3
ñ
5
ggT pa, bq “ 2¨2¨5
7
Satz 4.3. Für natürliche Zahlen a und b mit Primfaktorzerlegungen
8
8
ź
ź
i
a“
pm
b
“
pni i mit mi , ni P N
i
i“1
i“1
ist der größte gemeinsame Teiler:
ggT pa, bq “
8
ź
minpmi ,ni q
pi
i“1
wobei minpmi , ni q das Minimum der Zahlen mi , ni bezeichnet.
Beweis:
ś
minpmi ,ni q
Sei d :“ 8
i“1 pi
Satz 3.17
Teilbarkeitskriterium
Weil
minpmi , ni q ď mi
Weil
minpmi , ni q ď ni ñ
ñ
d|a
d|b
ist also gemeinsamer Teiler von a und b.
ś
ki
gilt umgekehrt:
Andererseits: für c P Ta X Tb , c “ 8
i“1 pi
d P Ta X Tb
ki ď mi
ñ
und ki ď ni
ki ď minpmi , ni q für alle i
ñ c | d ñ c ď d ñ d ist größter gemeinsamer Teiler.
Folgerung: Für alle a, b, n P N gilt:
ggT pn ¨ a, n ¨ bq “ n ¨ ggT pa, bq
Spezialfall: Falls a|b ñ ggT pa, bq “ a.
Beweis:
ś
ś8 ni
ś8 ki
mi
Sei a “ 8
p
,
b
“
p
und
n
“
pi .
i
i
i“1
i“1
ś8 ki `m
ś8 i“1ki `n
1
Dann gilt n ¨ a “ i“1 pi
, n ¨ b “ i“1 pi 1 .
(vgl. Satz 4.12)
Version vom 27. Juli 2016
ñ
36
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Weil minpki ` mi , ki ` ni q “ ki ` minpmi , ni q folgt:
ggT pn ¨ a, n ¨ bq “
8
ź
i“1
8
ź
“
minpki `mi ,ki `mi q
pi
8
ź
“
k `minpmi ,ni q
pi i
i“1
pki i ¨
i“1
8
ź
minpmi ,ni q
pi
“ n ¨ ggT pa, bq
i“1
4.2. Euklidischer Algorithmus.
Satz 4.4 (Teilen mit Rest). Für natürliche Zahlen a, b, b ‰ 0 gibt es eindeutig
bestimmte Zahlen q, r P N0 , so daß
a“q¨b`r
mit 0 ď r ă b
Beispiele:
(1) Sie brauchen mehrere Kabelstücke der gleichen Länge (z.B. b “ 3). Dazu kaufen Sie eine Kabelrolle mit a “ 20 m Kabel. Wieviele Kabelstücke
bekommen Sie daraus und wie lang ist der Rest?
20 “ 6 ¨ 3 ` 2
Ò
a
Ò
q
Ò
b
Ò
r
(2) Rad abrollen
Umfang b
b
b
b
b
r
Wieviele ganze Umdrehungen passen auf eine Strecke der Länge a, wie
groß ist das Reststück r?
V :“ ts ¨ b | s ¨ b ď a , s P N0 u “ tn P N0 | n ď a , b | nu
sei die Menge aller Vielfachen von b kleiner gleich a.
0PV
Klar:
ñ
V ‰H
#V ď a ` 1 ă 8
(im Fall b “ 1 ñ V “ t0, 1, 2, . . . , au)
da V Ă t0, 1, 2, . . . , au
Version vom 27. Juli 2016
Beweis:
37
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Sei q ¨ b P V das größte Element.
ñ
ñ
q¨b ď
a
ă pq ` 1q ¨ b
0“q¨b´q¨b ď a
´ q ¨ b ă pq ` 1q ¨ b ´ q ¨ b “ b
looomooon
“:r
0 ď
r
ă b
a “ q¨b`r
ñ
und
Damit ist die Existenz von q und r nachgewiesen.
Eindeutigkeit:
Angenommen es gibt ein zweites solches Paar pq 1 , r1 q
ñ
a “ q ¨ b ` r “ q 1 ¨ b ` r1
Falls r “ r1 :
q ¨ b “ q1 ¨ b
ñ
q “ q1
ñ
(da b ‰ 0)
Falls r ‰ r1 : OE r ă r1
ñ
0
0
0
0
ă r1 ´ r
ă
r1
ă pa ´ q 1 bq ´ pa ´ qbq
ă qb ´ q 1 b “ pq ´ q 1 qb
ă q ´ q 1 und q ´ q 1
ă
ă
ă
ă
b
b
b
1
denn q ´ q 1 ist eine ganze Zahl!
Teilen mit Rest gilt auch für negative Zahlen a:
Korollar 4.5. Für ganze Zahlen a P Z und b ě 1 gibt es eindeutig bestimmte
Zahlen q, r P Z, so daß
a“q¨b`r
mit 0 ď r ă b
Für ´a “ |a| ą 0 gilt nach Satz 4.4:
´a “ q 1 ¨ b ` r1
mit 0 ď r1 ă b und q 1 P N
(q 1 , r1 eindeutig).
Wenn r1 “ 0, dann
1
a “ ´q 1 ¨ b “ lo
p´q
0 on X
omooqn ¨ b ` loomo
“:q
“:r
Version vom 27. Juli 2016
Beweis:
Es reicht, den Fall a ă 0 zu betrachten!
38
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Sonst gilt
´ r1 q
a “ ´q 1 ¨ b ´ r1 “ ´q 1 ¨ b ´ b ` b ´ r1 “ loooomoooon
p´q 1 ´ 1q ¨ b ` pb
loomoon
“:r
“:q
Klar, wegen 0 ď r1 ă b
0 ă b ´ r1 “ r ă b
ô
Der Satz liefert eine Methode, den ggT und alle anderen gemeinsamen Teiler
ohne PFZ zu finden:
Beispiel: a “ 564, b “ 80
Division mit Rest: 564 “ 7 ¨ 80 ` 4
Sei t P T564 X T80 ein beliebiger Teiler
ñ
t|564 und t|80
ñ
t|4
ñ
ô
t| p564 ´ 7 ¨ 80q “ 4
ñ
t P T4
T564 X T80
ñ t P T80 X T4
T80 X T4
Ď
“
Ò
da T4 ĎT80
T4 “ t1, 2, 4u
(*)
Die Mengen sind sogar gleich:
s P T80 X T4 “ T4
aus 564 “ 7 ¨ 80 ` 4 ñ
ñ
s|564
T80 X T4 Ď T564
klar T80 X T4 Ď T80
ñ
aus (*) ñ
ñ
Satz 4.6.
gilt
T80 X T4 Ď T564 X T80
T564 X T80 “ T80 X T4 “ T4 “ t1, 2, 4u
ggT p564, 80q “ 4
Seien a, b P N und a “ q ¨ b ` r mit q, r P N und 0 ď r ă b. Dann
Beweis:
”Ď” Sei t P Ta X Tb
Aus a ´ q ¨ b “ r ñ
Ò
t|a
”Ě”
Sei
Ò
t |b
t|r
ñ t P Tb X Tr
s P Tb X Tr
Aus a “ q ¨ b ` r
Ò
s |b
Ò
s|r
ñ
s|a
ñ s P Ta X Tb
Version vom 27. Juli 2016
Ta X Tb “ Tb X Tr
39
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Folgerung für den ggT :
Korollar 4.7. Für natürliche Zahlen a, b mit a “ q ¨ b ` r,
0 ď r ă b gilt:
ggT pa, bq “ ggT pb, rq “ ggT pb, a ´ q ¨ bq
Beispiel:
ggT p582, 72q “ ggT p72, 6q
NR: 582 “ 8 ¨ 72 ` 6
“6
72 “ 12 ¨ 6 ñ 6|72
Satz 4.8 (Euklidischer Algorithmus). Seien a, b P N mit a ą b. Induktiv
werde die Division mit Rest durchgeführt:
Schritt 1
a
Schritt 2
b
Schritt 3
r1
Schritt k
“ eqe1e¨eee b `nn r1
n
reeeeee
vnnn
“eeeeqe2e¨ ee r1 `nn r2
n
reee
vnnn
“ q3 ¨
..
.
rn´1
0 ď r1 ă b
mit
0 ď r2 ă r1
` r3 mit
0 ď r3 ă r2
rk´2 “ qk ¨ rk´1 ` rk mit
..
.
Es gibt einen kleinsten Rest ‰ 0:
rn´2
r2
mit
0 ď rk ă rk´1
rn :“ mintr1 , r2 , . . .u, d.h.:
qn ¨ gggg rn´1
` nn rn
g
n
g
g
g
g
nnn
gg
g
n
g
n
g
g
n
vnn
g
s ggg
0 ď rn ă rn´1
“
“
qn`1 ¨
rn
0
`
Der Algorithmus bricht also am Schritt n ` 1 ab prn`1 “ 0q. Insbesondere gilt:
und
ggT pa, bq “ rn
Beweis:
Aus Satz 4.4 (Teilen mit Rest) folgt:
r1 ą r2 ą r3 ą ¨ ¨ ¨ ą 0
Darum muß irgendwann 0 erreicht werden:
Also
Sei rn ‰ 0 und rn`1 “ 0
rn´1 “ qn`1 ¨ rn ` rn`1
Ò
“0
Version vom 27. Juli 2016
Ta X Tb “ Trn
40
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Satz 4.6
Ta X Tb
ñ
“
Tb X Tr1
“ Tr1 X Tr2
(a “ q1 b ` r1 )
(b “ q2 r1 ` r2 )
..
.
“ Trn X lo
Tormo
n`1
on “ Trn
“T0 “N
ñ
ggT pa, bq “ maxpTrn q “ rn
Beispiele
1) a “ 1008 und b “ 840
1008 “ 1 ¨ 840 ` 168
840 “ 5 ¨ 168 ` 0
(r1 “ 168)
(r2 “ 0)
ggT p1008, 840q “ 168
2) a “ 2940 und b “ 1617
2940 “ 1 ¨ 1617 ` 1323
(r1 “ 1323)
1617 “ 1 ¨ 1323 ` 294
(r2 “ 294)
1323 “ 4 ¨ 294 ` 147
(r3 “ 147)
294 “ 2 ¨ 147
ggT p lo2940
omoon , lo1617
omoon q “ 147
20¨147
11¨147
3) Kürze und schreibe als gemischte Zahl:
hkkggT
ikkj
3381821
1333 ¨ 2537
1333
3
“ ... “
“
“ 190 `
17759
7 ¨ lo2537
7
7
omoon
ggT
Version vom 27. Juli 2016
ñ
( ñ r4 “ 0)
41
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Nebenrechnung:
(TR: 3381821 SHIFT ˜R 17759)
3381821 “ 190 ¨ 17759 ` 7611
17759 “ 2 ¨ 7611 ` 2537
(Ñ
190 ; R “ 7611)
“q
“r
7611 “ 3 ¨ 2537
ggT “ 2537
ñ
sowie 1333 “ 190 ¨ 7 ` 3
(vergleiche TR)
Nun werden auch die Teilermengen-Beziehungen klarer:
Korollar 4.9. Für natürliche Zahlen a, b gilt:
Ta X Tb “ TggT pa,bq
Beweis:
Konsequenz aus dem Euklidischen Algorithmus:
Ta X Tb “ Trn`1
“
Ò
ggT pa,bq“rn`1
TggT pa,bq
Für Schüler:
Korollar 4.10. Jeder Teiler von a und b ist auch Teiler von ggT pa, bq.
ggT von mehr als zwei Zahlen:
Korollar 4.11. Für a, b, c P N gilt:
ggT pa, b, cq “ ggT p ggT pa, bq, cq
+
t | a)
ñ t|ggT pa, bq
ñ
t | b
t|c
t | ggT pggT pa, bq, cq
Beispiel
ggT p3792, 5640, 5274q “ ¨ ¨ ¨ “ ggT p24, 5274q “ ¨ ¨ ¨ “ 6
Version vom 27. Juli 2016
Beweis:
Sei t Teiler von a, b und c :
42
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
NR mit TR:
,
` 1848/
/
/
/
` 96 .
ñ
` 24 /
/
/
/
`
0 ,
5274 “ 219 ¨ 24 ` 18/
.
ñ
24 “ 1 ¨ 18 ` 6
/
18 “
3¨6
` 0
5640
3792
1848
96
“ 1 ¨ 3792
“ 2 ¨ 1848
“ 19 ¨ 96
“ 4 ¨ 24
ggT p3792, 5640q “ 24
ggT p5274, 24q “ 6
4.3. Vielfache des ggT und Linearkombinationen.
Ziel: Den ggT als Linearkombination darstellen, zum Beispiel:
ggT p24, 16q “ 8 “ 1 ¨ 24 ´ 1 ¨ 16
ggT p48, 9q “ 3 “ 1 ¨ 48 ´ 5 ¨ 9
ggT p2940, 1617q “ 147 “????
Satz 4.12.
Für a, b P N gibt es ganze Zahlen x und y mit:
ggT pa, bq “ x ¨ a ` y ¨ b
Beweis:
Benutze den Euklidischen Algorithmus: falls a ą b:
a “ q 1 ¨ b ` r1
ñ
r1 “ a ´ qi ¨ b
b “ q2 ¨ r1 ` r2
ñ
r2 “ b ´ q2 ¨ r1 “ b ´ q2 pa ´ q1 ¨ bq
r1 “ q3 ¨ r2 ` r3
ñ
r3 “
“ ´q2 ¨ a ` pq1 q2 ` 1qb
r1
´ q3 ¨
r2
Ò
Ò
LK
von
a,b
ñ
LK
von a,b
looooooooooooooomooooooooooooooon
LK von a,b
ñ
rn “
Ò
ggT
rn´2
´ qn ¨
rn´1
Ò
Ò
LK
von
a,b
ñ
LK
von a,b
looooooooooooooomooooooooooooooon
LK von a,b
Bemerkung 4.13.
(1) Satz 4.12 ist eine reine Existenzaussage bzgl. x und
y, so daß ggT pa, bq “ xa ` yb. Diese Z-Linearkombination ist nicht
eindeutig:
z.B.:
ggT p3, 6q “ 3 “ p´1q ¨ 3 ` 1 ¨ 6 “ p´3q ¨ 3 ` 2 ¨ 6
Version vom 27. Juli 2016
rn´2 “ qn ¨ rn´1 ` rn
43
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Klar: a ¨ x ` b ¨ y “ looomooon
ggT pa, bq ist eine affine Geradengleichung: jec
der Schnittpunkt dieser Geraden mit dem Gitter Z2 ergibt eine ZLinearkombination.
(2) Den Satz kann man auf mehr als zwei Zahlen erweitern.
(3) Der Beweis des Satzes ist konstruktiv:
Beispiel:
(vgl. Beispiel oben)
ggT p2940, 1617q “ 147 “ 5 ¨ 2940 ´ 9 ¨ 1617
p1q 2940 “ 1 ¨ 1617 ` 1323
p2q 1617 “ 1 ¨ 1323 ` 294
p3q 1323 “ 4 ¨ 294 ` 147
p4q
ñ
294 “ 2 ¨ 147
147 “ 1323 ´ 4 ¨ 294
(mit (3))
“ 1323 ´ 4 ¨ p1617 ´ 1323q “ 5 ¨ 1323 ´ 4 ¨ 1617
(mit (2))
“ 5 ¨ p2940 ´ 1617q ´ 4 ¨ 1617
(mit (1))
TR
“ 5 ¨ 2940 ´ 9 ¨ 1617 “ 147
Probe
Satz 4.14. Jede ganzzahlige Linearkombination von a und b (a, b P N) ist ein
Z-Vielfaches von ggT pa, bq, d.h. für alle x, y P Z gibt es ein z P Z, so daß
x ¨ a ` y ¨ b “ z ¨ ggT pa, bq
Beweis:
Betrachte x ¨ a ` y ¨ b mit x, y P Z beliebig.
Aus ggT pa, bq | a und ggT pa, bq | b
ñ
ggT pa, bq | x ¨ a ` y ¨ b. ñ Beh.
Version vom 27. Juli 2016
Sei
ggT pa, bq “ x ¨ a ` y ¨ b mit a, b P N, x, y P Z
Dann gilt für alle z P Z: z ¨ ggT pa, bq “ z ¨ x ¨ a ` z ¨ y ¨ b
D.h. alle Vielfachen von ggT pa, bq sind auch Z-Linearkombinationen von a und
b. Das gilt auch umgekehrt:
44
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Satz 4.15. Für alle natürlichen Zahlen a, b gibt es ganze Zahlen x, y, so daß
ggT pa, bq “ x ¨ a ` y ¨ b
Hierbei ist ggT pa, bq die kleinste natürliche Zahl, die sich als ZLinearkombination von a und b darstellen läßt. Eine ganze Zahl c ist
genau dann Z-Linearkombination von a und b, wenn c Vielfaches{Z von
ggT pa, bq ist.
Beispiel:
ggT p3792, 5640q “ 24
ñ es gibt x, y P Z mit
Aber
x ¨ 3792 ` y ¨ 5640 “
x ¨ 3792 ` y ¨ 5640 “ 24
25
oder 26 oder 27...
ist über Z nicht lösbar.
Spezialfall: a und b sind teilerfremd:
Satz 4.16. Aus teilerfremden natürlichen Zahlen a und b (also ggT pa, bq “ 1)
läßt sich jede ganze Zahl linearkombinieren, d.h. für alle z P Z gibt es x, y P Z
mit
x¨a`y¨b“z
Beispiel:
ggT p5, 3q “ 1 und 2 ¨ 5 ´ 3 ¨ 3 “ 1
für z P Z beliebig: p2zq ¨ 5 ´ p3zq ¨ 3 “ z
!!
4.4. Lineare Diophantische Gleichungen.
(Diophant von Alexandria, ca 250 n. Chr.)
Sorte 1:
13,00 e pro Stk.
Sorte 2:
19,00 e pro Stk.
Wieviele Geschenke können damit von jeder Sorte gekauft werden?
Definition 4.2. Eine Gleichung ax ` by “ c mit a, b P N und c P Z heißt
lineare Diophantische Gleichung mit zwei Variablen, falls man als Lösungen
nur Elemente px, yq P Z ˆ Z zuläßt.
Version vom 27. Juli 2016
Beispiel:
Eine Firma will für 1000 e zwei Sorten von Werbegeschenken kaufen:
45
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Allgemeiner: Eine Diophantische Gleichung ist eine Gleichung der Form:
F px1 , . . . , xn q “ 0
(6)
mit einem Polynom F P Zrx1 , . . . , xn s und der Frage der Lösbarkeit von (6)
über Z.
Umformulierung von Satz 4.15 :
Satz 4.17. Die lineare diophantische Gleichung ax ` by “ c ist genau dann
lösbar, wenn ggT pa, bq | c.
Beispiel
Wegen ggT p13, 19q “ 1 ñ
x ¨ 13 ` y ¨ 19 “ 1000
ist lösbar über Z!!
Mit Euklidischem Algorithmus:
19 “ 1 ¨ 13 ` 6
ô
6 “ 19 ´ 1 ¨ 13
13 “ 2 ¨ 6 ` 1
ô
1 “ 13 ´ 2 ¨ 6
6“1¨6
“ 13 ´ 2p19 ´ 13q “ 3 ¨ 13´2 ¨ 19
Also px, yq “ p3, ´2q ist Lösung von 13x ` 19y “ 1.
ñ p3000, ´2000q ist Lösung von 13x ` 19y “ 1000
ñ Lösung unbrauchbar - weil eine Zahl negativ!!!
Gibt es Lösungen über N???
Ein bischen Geometrie:
13x ` 19y “ 1000 Geradengleichung!!
Notwendige Vorraussetzung für Lösungen über N:
ersten Quadranten laufen.
Gerade muß durch den
Dazu: wie/wo liegt diese Gerade: Realschule 8te Klasse: Geraden
y “ mx ` t
Version vom 27. Juli 2016
Wie finden wir Lösungen über N???
46
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Hier:
y“´
1000
13
¨x`
19
19
Nullstelle: y “ 0
1000
« 52, 63
19
13
m“´
ñ fallend
19
13x ` 19 ¨ 0 “ 1000
,
ñ
t“
x“
1000
« 76, 92
13
Wenn es eine Lösung px, yq P N ˆ N gibt, dann:
0 ď x ă 76,
0 ď y ă 52
Lösungen z.B. empirisch mit Geogebra suchen:
74 ¨ 13 ` 2 ¨ 19 “ 1000
ñ p74, 2q
55 ¨ 13 ` 15 ¨ 19 “ 1000
ñ p55, 15q
36 ¨ 13 ` 28 ¨ 19 “ 1000
ñ p36, 28q
Aus einer Lösung auf alle Lösungen schließen:
Satz 4.18. Sei px0 , y0 q P Z ˆ Z eine Lösung der diophantischen Gleichung
ax`by “ c mit teilerfremden natürlichen Zahlen a und b, dann ist jede weitere
Lösung von der Form:
px0 ` t ¨ b, y0 ´ t ¨ aq
mit t P Z
Bemerkung:
Was, wenn a, b nicht teilerfremd sind?
Also sei ggT pa, bq ‰ 1!
ñ
a1 :“
a
,
ggT pa,bq
b1 :“
b
,
ggT pa,bq
c1 :“
c
ggT pa,bq
ggT pa, bq | c.
PZ
ñ
ax ` by “ c ist äquivalent zu a1 x ` b1 y “ c1 (hat damit die gleichen
Lösungen) und das ist eine lineare diophantische Gleichung mit a1 , b1 teilerfremd,
ñ
mit einer Lösung px0 , y0 q sind alle weiteren Lösungen:
px0 ` t ¨ b1 , y0 ´ t ¨ a1 q
Version vom 27. Juli 2016
4.17
Wenn ax ` by “ c eine Lösung{Z hat, dann ñ
47
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Beweis:
Geometrisch:
´ ¯
´ ¯
ax`by “ c ist eine Gerade G und xy00 P Z2 ein Punkt auf G: ñ xy00 P GXZ2
Analytische Geometrie:
´ ¯ ´ ¯
´ ¯ ´ ¯
x
x0
a
a
¨
“
c
“
y
y0
b
b ¨
´ ¯ ”´ ¯ ´ ¯ı
x
x0
a
ô
“0
y ´
y0
b ¨
´ ¯
´ ¯
a
ñ G ist die affine Gerade orthogonal: K zu b und durch den Punkt xy00
looooomooooon
ˆ
R¨
˙
b
´a
! ´ ¯ ´ ¯)
! ´ ¯ ´ ¯)
b
b
R ´a
` xy00 X Z ˆ Z “ Z ¨ ´a
` xy00
(da a, b, x0 , y0 P Z)
!´
¯ ˇ
)
ˇ
t¨b`x0
“
t
P
Z
ˇ
´t¨a`y0
Version vom 27. Juli 2016
Beweis:
48
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Algebraischer Beweis:
1) Z.z.:
px0 ` tb, y0 ´ tzq ist für alle t P R eine Lösung!
Überprüfen durch Einsetzen:
apx0 ` tbq ` bpy0 ´ taq “ ax
´ baq “ c
0 ` by0 ` tpab
loooomoooon
loooomoooon
“c
“0
2) Z.z.: Es gibt keine weitere Lösungen ô alle Lösungen sind von der vorgegebenen Form:
Sei also px1 , y1 q eine weitere Lösung
ñ
ax1 ` by1 “ c
Weiterhin gilt aber: ax0 ` by0 “ c
Subtraktion:
apx1 ´ x0 q ` bpy1 ´ y0 q “ 0
apx1 ´ x0 q “ bpy0 ´ y1 q
ggT pa, bq “ 1 ñ
a |py0 ´ y1 q
ñ a ¨ t “ y0 ´ y1
y1 “ y0 ´ at
ñ
aus (*) folgt außerdem:
ô
(*)
apx1 ´ x0 q “ b ¨ a ¨ t
|¨
1
a
x 1 ´ x0 “ b ¨ t
ô
x1 “ x0 ` b ¨ t
Zurück zum Werbegeschenk-Beispiel:
Wir hatten die unbrauchbare Lösung:
p3000, ´2000q “ px0 , y0 q von 13x ` 19y “ 1000
Jede Lösung ist von der Form:
p3000 ` t ¨ 19, ´2000 ´ t ¨ 13q,
Damit x, y ě 0 muß gelten:
tPZ
Version vom 27. Juli 2016
49
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
3000
0 ď 3000 ` t ¨ 19 ô ´3000 ď 19 ¨ t ô lo
´omo
ď t ô ´157 ď t
19on
«´157,89
2000
0 ď ´2000 ´ t ¨ 13 ô 13 ¨ t ď ´2000 ô t ď lo
´omo
ô t ď ´154
13on
«´153,85
ñ
´157 ď t ď ´154 ñ
t “ ´157, ´156, ´155, ´154
t “ ´157
ñ p3000 ´ 157 ¨ 19, ´2000 ` 157 ¨ 13q
“ p17, 41q
t “ ´156
ñ p3000 ´ 156 ¨ 19, ´2000 ` 156 ¨ 13q
“ p36, 28q
t “ ´155
ñ p3000 ´ 155 ¨ 19, ´2000 ` 155 ¨ 13q
“ p55, 15q
t “ ´154
ñ p3000 ´ 154 ¨ 19, ´2000 ` 154 ¨ 13q
“ p74, 2q
Nun wissen wir, das das alle Lösungen sind.
4.5. kgV und Vielfachenmengen.
Definition 4.3. Für a P Nzt0u ist die Vielfachenmenge von a die Menge:
ˇ
(
Va “ x P Nzt0u ˇ a | x
Beispiel:
V1 “ t1, 2, 3, . . .u “ N
V2 “ t2, 4, 6, . . .u “ 2N
(Menge der Geraden Zahlen)
V3 “ t3, 6, 9, . . .u
(Vielfache von 3)
Bemerkung
Vielfachenmengen haben stets 8-viele Elemente:
Dagegen sind die Teilermengen Ta stets endlich.
Beispiele
V2 “ t2, 4, 6, 8, 10, 12, . . .u
ñ
V2 X V3 “
V3 “ t3, 6, 9, 12, . . .u
t6, 12, 18, . . .u
looooooomooooooon
gemeinsame Vielfache von 2 und 3
Version vom 27. Juli 2016
#Va “ 8
50
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Definition 4.4. Für a, b P N heißen die Elemente der Schnittmenge
ˇ
(
Va X Vb “ x P Nzt0u ˇ a | x und b | x
gemeinsame Vielfache von a und b. Das kleinste Element von Va X Vb heißt
kleinstes gemeinsames Vielfaches: kgV pa, bq.
Bemerkungen
(1) Zu a und b P N gibt es immer gemeinsame Vielfache, d.h. Va X Vb ‰ H,
denn
a ¨ b P Va X Vb
Va¨b Ď Va X Vb
ñ
(7)
Es gibt also sogar 8-viele gemeinsame Vielfache.
(2) Folgerung (7) folgt aus:
Aus v P Va X Vb folgt Vv Ď Va X Vb
Denn: wenn v P Va X Vb , gilt 1): a | v und b | v, und 2) gilt für x P Vv ,
daß v | x. Transitivität der Teilerrelation impliziert, daß auch: a | x und
b | x. Damit x P Va X Vb
(3) Verallgemeinerung auf drei oder mehr Zahlen: für a, b, c, . . . P N gilt:
`
˘
kgV pa, b, c, . . .q “ min Va X Vb X Vc X . . .
Bsp.:
a “ 6,
b “ 8,
c “ 15
V6 “ t6, 12, 18, 24, 30, . . .u
V8 “ t8, 16, 24, 32, . . .u
V15 “ t15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, . . .u
(120 “ 6 ¨ 20 “ 8 ¨ 15)
Ò Ò
6 8
(4) Verwendung von Venndiagrammen:
V2
8
.....
2
4
12
6
18
.....
3
V3
9
15
.....
ñ
V2 X V3 “ V6
Version vom 27. Juli 2016
kgV p6, 8q “ 24 und kgV p6, 8, 15q “ 120
51
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
V2
2
4
V6
8
14
6 12
18 ..... 16
10
ñ
V6 Ă V2
.....
Satz 4.19. Für a, b P N gilt
Va X Vb “ VkgV pa,bq
Beweis:
Sei k :“ kgV pa, bq.
”Ě”: (Folgt auch aus Bemerkung (2)! Hier noch einmal der Vollständigkeit
halber.)
Sei y P Vk
z.z.: y P Va X Vb
ñ k | y,
aber weil k “ kgV pa, bq, gilt auch a | k und b | k
Transitivität der Teilerrelation ñ a | y und b | y
”Ď”:
Es gilt a | k und b | k.
also y P Va X Vb
(*)
Sei x P Va X Vb , also ein gemeinsames Vielfaches von a und b.
Klar, dann ist x ě k “ kgV pa, bq.
Division mit Rest: Es gibt eindeutig bestimmte Zahlen q, r P N, 0 ď r ă k:
x“q¨k`r
Mit (*) ñ
ñ
Aber
ñ
a | x und b | x
a | x ´ qk “ r
r P Va X Vb
und
b | x ´ qk “ r
ñ r ist ein gemeinsames Vielfaches von a und b.
r ă k “ kgV pa, bq
ñ
x“q¨k
ñ
ñ
r “ 0!
x P VkgV pa,bq
Der kgV kann mit Hilfe der Primfaktorzerlegung gefunden werden:
Version vom 27. Juli 2016
Aus x P Va X Vb
52
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Beispiel: kgV p120, 315q “?
120 “ 10 ¨ 12 “ 2 ¨ 5 ¨ 4 ¨ 3 “ 23 ¨ 3 ¨ 5
315 “ 5 ¨ 63 “ 5 ¨ 3 ¨ 21 “ 5 ¨ 3 ¨ 3 ¨ 7 “ 32 ¨ 5 ¨ 7
ñ
kgV “ 23 ¨ 32 ¨ 5 ¨ 7 “ 2520
Satz 4.20.
(1) Für a “
ś8
i“1
i
pm
und b “
i
ś8
i“1
pni i gilt:
8
ź
kgV pa, bq “
maxpmi .ni q
pi
i“1
(2) Für a, b, n P N gilt:
kgV pn ¨ a, n ¨ bq “ n ¨ kgV pa, bq.
Beweis:
ś
ki
(1) Sei k “ 8
i“1 pi ein gemeinsames Vielfaches von a und b. Da dann a und
b jeweils Teiler von k sind, folgt nach Satz 3.17:
mi ď ki
und
ni ď ki
.
Die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft ist offensichtlich
(2) Œ: n “ pj eine Primzahl, dann
pj ¨ a “
m `1
pj j
8
ź
¨
i
pm
i
und pj ¨ b “
n `1
pj j
maxpmi ,ni q
ś8
i“1
8
ź
¨
pi
.
pni i
i“1
i‰j
i“1
i‰j
Da aber maxpmj ` 1, nj ` 1q “ maxpmj , nj q ` 1 folgt
kgV ppj ¨ a, pj ¨ bq “
maxpmj `1,nj `1q
pj
8
ź
¨
maxpmi .ni q
pi
“ pj ¨
i“1
i‰j
8
ź
maxpmi ,ni q
pi
i“1
Beispiel:
||
||
10¨12 5¨63
“ 3 ¨ 5 ¨ kgV p2 ¨ 4, 3 ¨ 7q
Ò
Ò
teilerfremd
“ 3 ¨ 5 ¨ 2 ¨ 4 ¨ 3 ¨ 7 “ 23 ¨ 32 ¨ 5 ¨ 7 “ 2520
Beispiel zum Zusammenhang von kgV und ggT :
Version vom 27. Juli 2016
kgV p 120 , 315q “ 5 ¨ kgV p2 ¨ 12, 63q “ 5 ¨ kgV p2 ¨ 3 ¨ 4, 3 ¨ 21q
53
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Sei a “ 4 und b “ 12
ñ
ñ
4 | 12
+
ggT p4, 12q “ 4
kgV p4, 12q “ 12
ñ
ggT ¨ kgV “ 4 ¨ 12 “ a ¨ b
ggT pa, bq “ a)
kgV pa, bq “ b
ñ
ggT pa, bq ¨ kgV pa, bq “ a ¨ b
Allgemeiner:
a|b ñ
Noch allgemeiner gilt:
Satz 4.21.
Für a, b P N gilt:
ggT pa, bq ¨ kgV pa, bq “ a ¨ b.
Beweis:
ś
ś
mi
ni
Sei a “ 8
und b “ 8
i“1 pi
i“1 pi
ggT pa, bq “
kgV pa, bq “
8
ź
i“1
8
ź
minpmi ,ni q
pi
maxpmi ,ni q
pi
i“1
sicher gilt:
ñ
minpmi , ni q ` maxpmi , ni q “ mi ` ni
ggT pa, bq ¨ kgV pa, bq “
8
ź
pmin`max
i
8
ź
“
i“1
i `ni
“a¨b
pm
i
i“1
Korollar 4.22. Für teilerfremde a, b P N gilt:
kgV pa, bq “ a ¨ b
kgV pa, bq “
Hassediagramm eignen sich zur
Beispiele:#
1,
3, 5, 9,
a) T225 “
225, 75, 45, 25,
a¨b
ggT pa, bq
Bestimmung/Darstellung von ggT und kgV :
+
15
15
Version vom 27. Juli 2016
Bemerkung 4.23. Mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus’ kann man den
ggT bestimmen. Zusammen mit Satz 4.21 so auch das kgV :
54
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
225
45
9
ggT p45, 75q “ 15
75
15
3
T45 X T75 “ t1, 3, 5, 15u
25
kgV p45, 75q “ 225
5
ggT p25, 45, 75q “ 5
1
T25 X T45 X T75 “ t5, 1u
b) a “ 18, b “ 24 gesucht ggT und kgV :
kgV(18,24)
72
18
9
24
36
6
3
T18 “ t1, 2, 3, 6, 9, 18u
und
T24 “ t1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24u
8
12
4
2
ggT(18,24)
1
5. Kongruenzen und Restklassen
5.1. Die Kongruenzrelation
mod m.
Verschiedene Zugänge:
(1) (Division mit Rest) Bei der Division mit Rest (z.B. durch 6) können 2
Fälle auftreten: gleiche oder ungleiche Reste:
+
´40 “ ´7 ¨ 6 ` 2
´16 “ ´3 ¨ 6 ` 2
14 “ 2 ¨ 6 ` 2
,
/
.
33 ” 21
#
33 ” 3
21 ” 3
ñ
Rest 3 ñ
ñ
$
’
& ´40 ” 2
Rest 2 ñ
´16 ” 2
’
%
14 ” 2
/
-
mod 6 und
´ 40”16 ” 14
mod 6
mod 6
mod 6
mod 6
mod 6
mod 6
oder ungleiche Reste:
34 “ 5 ¨ 6 ` 4
27 “ 4 ¨ 6 ` 3
ñ
´41 “ ´7 ¨ 6 ` 1
´16 “ ´3 ¨ 6 ` 2
34 ı 27 und
+
ñ verschiedene Reste
´ 41 ı ´16
mod 6
Version vom 27. Juli 2016
ñ
33 “ 5 ¨ 6 ` 3
21 “ 3 ¨ 6 ` 3
55
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
(2) Unterschied?
21 ` 2 ¨ 6 “ 33
21 und 33 unterscheiden sich also um ein Vielfaches von 6:
21 ” 33
ñ
Analog, aus:
mod 6
´ 16 ` 4 ¨ 6 “ 8
folgt ´ 16 ” 8
mod 6
(3) Differenz:
33 ´ 21 “ 12 “ 2 ¨ 6
#
33 ” 21
33 ” 21
#
´40 ” ´16 mod 4
´40 ” ´16 mod 6
ñ
´40 ´ p´16q “ 16 ´ 40 “ ´24 “ ´4 ¨ 6
ñ
mod 2
mod 6
Vergleich der Zugänge:
(1) Betonung auf Division mit Rest (Euklidischem Algorithmus), insbesondere Betonung auf den Rest: gleiche oder ungleiche Reste, Frage nach:
Was ist der Rest:
´40 ”? mod 6
(2) Zahlen sind kongruent mod 6, wenn sie sich um eine ganzzahliges
Vielfaches von 6 unterscheiden. Aufgabe: Finde viele Zahlen, die zu
´40 kongruent sind:
´40, ´40 ` 6 “ ´34, ´40 ` 2 ¨ 6 “ ´28, . . .
Also die Fragestellung:
mod 6
(3) Betonung auf die Differenz der Zahlen und deren Vielfachen-Eigenschaft.
Nahe liegende Frage: bezüglich welcher Zahlen sind 33 und 21 kongruent:
33 ” 21 mod ?
Definition 5.1. Seien a und b ganze Zahlen und m P N. Man sagt
a ist kongruent b modulo m (a ” b mod m) genau dann, wenn m | a ´ b.
Ist a nicht kongruent b modulo m, so sagt man auch
a ist inkongruent b modulo m (a ı b mod m).
Die Zahl m heißt Modul, der Ausdruck a ” b mod m heißt Kongruenz.
Version vom 27. Juli 2016
?” 2
56
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Bemerkung 5.1.
(1) Die Definition folgt dem Zugang (3).
(2) Die Bedingung m P N ist keine Einschränkung, denn
m|a ´ b
ô
´m | a ´ b
Die folgenden Sätze zeigen die Äquivalenz der drei Zugänge.
Satz 5.2. Für a, b P Z und m P N gilt:
a ” b mod m ô a und b haben bei Division durch m denselben Rest.
Beweis:
” ñ ”:
Es gelte also: a ” b mod m
nach Definition ñ
m|a ´ b
Division (durch m) mit Rest auf a und b anwenden:
Wegen Korollar 4.5 gilt das, egal ob a, b positiv oder negativ!!
a “ q 1 ¨ m ` r1
0 ď r1 ă m
b “ q 2 ¨ m ` r2
0 ď r2 ă m
mit eindeutigen Zahlen ri , qi .
Subtrahiere die beiden Gleichungen:
aomo
´ obn “ loooooomoooooon
pq1 ´ q2 q ¨ m ` r1 ´ r2
lo
|
m
ñ
|
m
m | looooooooooooomooooooooooooon
pa ´ bq ´ pq1 ´ q2 q ¨ m
ñ
m | r1 ´ r2
ñ
0 ď |r1 ´ r2 | ă m
(*)
“r1 ´r2
aber
0 ď ri ă m
(**)
(*) und (**) ñ r1 ´ r2 “ 0 ô r1 “ r2
a “ q1 m ` r
b “ q2 m ` r
ñ
mit qi P Z und 0 ď r ă m
a ´ b “ pq1 ´ q2 q ¨ m
ñ
m|a ´ b
Satz 5.3. Für a, b P Z und m P N gilt:
a ” b mod m genau dann, wenn sich a und b um ein ganzzahliges Vielfaches
von m unterscheiden (d.h. es gibt ein q P Z mit a “ b ` q ¨ m).
Version vom 27. Juli 2016
”ð”:
57
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Beweis:
a ” b mod m ô
m | pa ´ bq
(Def. von Kongruenz)
ô
es gibt ein q P Z mit m ¨ q “ a ´ b
ô
a“b`m¨q
(Def. von Teiler)
für ein q P Z
Bemerkung 5.4. Die in den drei Zugängen dargestellten Wege zur Kongruenz
sind damit äquivalent. Das heißt auch für uns, wir können uns im Unterricht
für den Weg entscheiden, der am besten in unser Konzept passt!
Wie rechnet man mit Kongruenzen?
Satz 5.5. Seien a ” b mod m und c ” d mod m. Dann gilt:
(1) a ˘ c ” b ˘ d mod m
(2) a ¨ c ” b ¨ d mod m
Beweis:
Nach Vorraussetzung: m | pa ´ bq und m | pc ´ dq
(1) m | looooooooomooooooooon
pa ´ bq ˘ pc ´ dq “ pa ˘ cq ´ pb ˘ dq
“a´b˘c¯d
ñ
pa ˘ cq ” pb ˘ dq mod m
(2)
m | pa ´ bq ñ m | pa ´ bq ¨ c
ñ m | pa´bq¨c`pc´dq¨b “ ac´bc`cb´db “ ac´db
m | pc ´ dq ñ m | pc ´ dq ¨ b
ac ” bd mod m
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ñ
58
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Beispiele
37 ” 17
12 ” 2
mod 5
mod 5
49 ” 19
ñ
Ò
37`12
25 ” 15
ñ
Ò
37´12
Ò
37¨12
über Kreuz:
(”`”)
mod 5
(”´”)
Ò
17´2
444 ” 34
ñ
mod 5
Ò
17`2
mod 5
(” ¨ ”)
Ò
17¨2
74 ” 204
Ò
37¨2
mod 5
(” ¨ ”)
Ò
17¨12
Spezialfälle für d “ c:
Korollar 5.6. Sei a ” b mod m. Dann gilt für alle c P Z:
(1)
(2)
Beispiel:
a ˘ c ” b ˘ c mod m
a ¨ c ” b ¨ c mod m
86 ” 60
mod 13
`100
ñ
186 ” 160
mod 13
¨3
558 ” 480
mod 13
ñ
Korollar 5.7. Aus a ” b mod m
(denn 60 ` 2 ¨ 13 “ 60 ` 26 “ 86)
folgt an ” bn mod m für alle n P N.
Hier gilt auch n “ 0, denn trivialerweise: a0 “ 1
mod m
”
1 “ b0 .
!
a ” b mod 0 ô 0 | a ´ b ô a ´ b “ 0 ô a “ b
Konsequenz für das Rechnen mit Kongruenzen: Kongruenzen lassen Äquivalenzumformungen (analog zu den Äquivalenzumformungen von Gleichungen)
bzgl. der Verknüpfungen
2
`2 ,
,2 ´2
und
2 2
zu. Vorsicht ist nur bei der Division ˜ geboten:
¨
Version vom 27. Juli 2016
Bemerkung 5.8. Kongruenzen verhalten sich anscheinend ähnlich wie Gleichungen. Gleichungen sind ein Spezialfall von Kongruenzen: die Kongruenz
modulo 0:
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Satz 5.9.
z ¨ a ” z ¨ b mod m
a ” b mod
ñ
m
ggT pz, mq
Beispiel
88 ” 52
mod 12
4 ¨ 22 ” 4 ¨ 13
mod 12
22 ” 13
12
4
ñ
”
aber: 22 13
mod
(denn 88 ´ 52 “ 36 “ 3 ¨ 12)
ˇ
(ˇ ˜ 4, ggT p4, 12q “ 4)
“3
mod 12
Beweis:
z ¨ a ” z ¨ b mod m
ô
m | pz ¨ a ´ z ¨ bq “ z ¨ pa ´ bq
ô
m ¨ q “ z ¨ pa ´ bq
ô
m
d on
loomo
ˇ
(für ein q P Z ˇ ˜ ggT
pz, mq)
loooomoooon
“d
¨q “
z
d on
loomo
PZ
PZ
ñ
ˇ
m ˇ z
¨ pa ´ bq
d ˇ d
ˇ
mˇ
pa ´ bq
dˇ
ô
a ” b mod
ô
¨ pa ´ bq
(da ggT p md , dz q “ 1)
m
d
Wenn ggT pz, mq “ 1, dann:
z ¨ a ” z ¨ b mod m
ô
a”b
mod m
Beispiele
(1)
180 “ 5 ¨ 36 ” lo
5omo
¨ 24
on mod 12
“120
ñ
36 ” 24
mod 12
(und ggT p5, 12q “ 1)
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Korollar 5.10.
60
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(2) Aber:
24 ” 6
ggT p3, 6q “ 3
Satz 5.9
ñ
mod 6
3¨8”3¨2
mod 6
8”2
6
3
mod
aber es gilt auch: 8 ” 2
“2
mod 6
5.2. Kongruenz als Äquivalenzrelation.
Satz 5.11. Die Kongruenzrelation modulo m ist für jeden Modul m P N eine
Äquivalenzrelation in Z, d.h. für alle a, b, c P Z gilt:
(1) a ” a mod m
(Reflexivität)
(2) Aus a ” b mod m folgt b ” a mod m
(Symmetrie)
(3) Aus a ” b mod m und b ” c mod m folgt a ” c mod m
(Transitivität)
Beweis:
(1) a ´ a “ 0 “ m ¨ 0
(2)
m | pa ´ bq
ô
ñ
m | pa ´ aq
m¨q “a´b
ô
m ¨ p´qq “ b ´ a
ô
m | pb ´ aq
ô
b ” a mod m
(3) m | pa ´ bq und m | pb ´ cq ñ m teilt auch die Summe:
ñ
m | pa ´ bq ` pb ´ cq “ pa ´ cq
ô
a ” c mod m
Sei m P N fest gewählt. Für
`
˘
ā :“ Rm paq :“ t z P Z
Restklassen(einteilung)
Restklassen Z{mZ p“: Rm q
a P Z sei:
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ z ” a mod m u “ tz “ a ` n ¨ m ˇ n P Z u
die Restklasse von a modulo m. Die Zahl a heißt Repräsentant der Restklasse.
Der Repräsentant ist nicht eindeutig, es gibt 8-viele Repräsentanten einer
Restklasse.
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Äquivalenzrelation ñ
Allgemein:
Speziell:
Kongruenzrelation modulo m ñ
61
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Beispiel: m “ 3
ˇ
a “ 0 ñ 0̄ “ tz P Z ˇ z
ˇ
a “ 1 ñ 1̄ “ tz P Z ˇ z
ˇ
a “ 2 ñ 2̄ “ tz P Z ˇ z
ˇ
a “ 3 ñ 3̄ “ tz P Z ˇ z
Insbesondere gilt:
Satz 5.12.
”0
mod 3u “ t. . . , ´6, ´3, 0, 3, 6, . . .u “ 3Z
”1
mod 3u “ t. . . , ´5, ´2, 1, 4, 7, . . .u “ 1 ` 3Z
”2
mod 3u “ t. . . , ´4, ´1, 2, 5, 8, . . .u “ 2 ` 3Z
”3
mod 3u “ t. . . , ´9, ´6, ´3, 0, 3, 6, . . .u “ 0̄
a P ā “ Rm paq
Sei m P N. Für a, b P Z gilt:
´
¯
ā “ b̄
bzw. Rm paq “ Rm pbq ô
Beweis:
” ñ ”: Es gelte ā “ b̄
Aus a P ā “ b̄ folgt a P b̄
a ” b mod m
ñ a ” b mod m.
”ð”: Sei a ” b mod m.
Z.z.: ā “ b̄ (als Mengen!)
Fall: ā Ď b̄:
Sei z P ā ñ
z ” a mod m
(nach Def.)
Wegen a ” b mod m und der Transitivität folgt:
z ” b mod m
ñ
z P b̄
ñ
ā Ď b̄
Fall: ā Ě b̄:
Wie oben bei Fall: ā Ď b̄ mit Symmetrie:
a ” b mod m ô b ” a mod m
(1) Für alle a P Z gilt: ā “ Rm paq ‰ H
(2) Für alle a, b P Z gilt entweder: ā “ b̄ oder ā X b̄ “ H
(3) Für alle z P Z gibt es ein a P Z mit z P ā
Beweis:
(1) Da a P ā “ Rm paq für alle a P Z folgt ñ
ā ‰ H @ a P Z.
(2) Seien a, b P Z:
Zwei Fälle: a ” b mod m oder a ı b mod m
Falls a ” b mod m
Satz 5.12
ô
ā “ b̄
Falls a ı b mod m: z.z.: ā X b̄ “ H (als Menge)
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Satz 5.13.
62
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Durch Widerspruch ñ Annahme: ā X b̄ ‰ H
ñ es gibt ein z P ā X b̄
Wegen z P ā
ñ
z ” a mod m
Wegen z P b̄
ñ
z ” b mod m
Transitivität
ñ
Symmetrie
ô
a ” z mod m
a ” z ” b mod m
Also ā und b̄ disjunkt.
(3) Klar, wähle z.B. z selber: z P z̄
Folgerung: Die Menge Z der ganzen Zahlen wird bei gegebenen Modul m in
disjunkte Teilmengen ā “ Rm paq zerlegt.
Beispiel: m “ 3
Start
Z:
...
´5
´2
...
´4
´1
...
´3
0
4
G
2 5
7
10
... o
1̄
8
...
... o
2̄
3
9
...
... o
0̄
1
6
p“ ´1q
Die 3 Streifen entsprechen den Restklassen 0̄, 1̄ und 2̄, dabei sind 0, 1 und 2
Repräsentanten.
Wieviel Restklassen modulo m gibt es?
Satz 5.14. Sei m P N. Es gibt genau m verschiedene Restklassen modulo m:
0̄ , 1̄ , . . . , m´1
Bemerkung 5.15.
(1) Es müssen nicht die Repäsentanten 0, 1, 2, . . . , m ´ 1
sein, diese werden aber gerne genommen.
(2) Aus Sätzen 5.13 und 5.14 folgt:
0̄ Ÿ 1̄ Ÿ 2̄ Ÿ ¨ ¨ ¨ Ÿm´1 “ Z
Beweis:
Von Satz 5.14: Es reicht zu zeigen, daß jede Restklasse modulo m einen Repräsentanten zwischen 0 und m ´ 1 hat:
Sei a P Z
ñ
Restklasse ā “ Rm paq
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p“m̄q
63
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Euklidischer Algorithmus: es gibt eindeutig bestimmte Zahlen q P Z und r mit
0 ď r ă m, so daß:
a“q¨m`r
ñ
a”r
mod m
ô
ā “ r̄
mit r P t0, 1, 2, . . . , m ´ 1u
Die Restklassen modulo m bilden die Menge:
` ˘
Z{mZ :“ Rm “ t0̄, 1̄, 2̄, . . . , m´1u
‚ Z{mZ ist eine Menge von Mengen!
‚ Z{mZ wird als Menge der m ”Symbole”: 0̄, 1̄, . . . , m´1 aufgefasst. Dabei ”vergisst” man, daß 0̄, 1̄, . . . , m´1 Mengen sind, aber nicht ihre
Eigenschaften.
‚ Z{mZ wird Restsystem modulo m (oder auch Restklassenmenge) genannt.
Beispiele:
Z{3Z “ R3 “ t0̄, 1̄, 2̄u
und
Z{4Z “ R4 “ t0̄, 1̄, 2̄, 3̄u
5.3. Algebraische Struktur von Z{mZ - Rechnen im System Z{mZ.
Wir führen eine Addition ‘ und eine Multiplikation d in Z{mZ ein:
Für ā, b̄ P Z{mZ sei:
ā ‘ b̄ :“ a`b
ā d b̄ :“ a¨b
Restklassenaddition
Restklassenmultiplikation
Satz 5.16. Die Restklassenverknüpfungen ‘ und d in Z{mZ sind wohldefiniert.
Beweis:
1) ā, b̄ P Z{mZ bedeutet, daß a, b P Z.
Hier sind Addition a ` b P Z und Multiplikation a ¨ b P Z definiert.
Damit gilt für die Restklassen: a`b, a ¨ b P Z{mZ.
2) Unabhängigkeit von der Wahl des Repräsentanten:
Seien:
ā “ ā1
(also a, a1 P Z mit a ” a1 mod m) und
Version vom 27. Juli 2016
Warum ist das vernünftig?
64
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b̄ “ b̄1
Z.z.:
(also b, b1 P Z mit b ” b1 mod m).
(i)
ā ‘ b̄ “ ā1 ‘ b̄1 und (ii)
Aber: m | a ´ a1
ñ
ā d b̄ “ ā1 d b̄1
und m | b ´ b1
m | loooooooooomoooooooooon
pa ´ a1 q ` pb ´ b1 q
(*)
a ` b ” a1 ` b 1
ñ
mod m
“pa`bq´pa1 ´b1 q
ô ā ‘ b̄ “ ā1 ‘ b̄1
ñ piq
Aus (*) folgt: a “ a1 ` m ¨ q1 und b “ b1 ` m ¨ q2
ñ
a ¨ b “ pa1 ` m ¨ q1 q ¨ pb1 ` m ¨ q2 q
“ a1 ¨ b1 ` m ¨ q1 b1 ` mq2 a1 ` m2 q1 q2
“ a1 ¨ b1 ` m ¨ p˚q
ñ
ô
a ¨ b ” a1 ¨ b 1
ā d b̄ “ ā1 d b̄1
mod m
ñ piiq
Beispiele
in R5 “ Z{5Z gilt: 3̄ ‘ 4̄ “ 7̄ “ 2̄
3̄ d 4̄ “ 12 “ 2̄
in R7 “ Z{7Z gilt: 3̄ ‘ 4̄ “ 7̄ “ 0̄
3̄ d 4̄ “ 12 “ 5̄
Z{5Z :
0̄
1̄
2̄
3̄
4̄
d
und
0̄
1̄
2̄
3̄
4̄
0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄
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Verknüpfungstafeln:
‘ 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄
65
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Die algebraische Struktur der Restklassenmengen:
˘
`
Satz 5.17. lo
Z{mZ
omoon, ‘, d ist ein kommutativer Ring (mit Einselement).
Rm
`
˘
Gruppe: M, ` ist eine Gruppe, wenn gilt:
(1) es gibt ein neutrales Element e “ 0 :
(”Nichts” der Addition)
Ò
bei `
m`e“e`m“m
für alle
mPM
(2) Inverses Element: für alle m P M gibt es ein Inverses m1 , d.h.:
m ` m1 “ m1 ` m “ e
(3) Assoziativität: für alle m, n, p P M gilt pm ` nq ` p “ m ` pn ` pq.
(macht erst die Schreibweise: m ` n ` p möglich!)
Wenn auch noch
Gruppe
hkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkj
Wiederholung/Exkurs: Sei M eine Menge und ` : M ˆ M Ñ M und
¨ : M ˆ M Ñ M Verknüpfungen.
(4) Kommutativität: für alle n, m P M gilt: n ` m “ m ` n
`
˘
gilt, dann heißt M, ` kommutative oder abelsche Gruppe.
`
˘
` ˘
Beispiel: Z, ` ist eine kommutative Gruppe, N nein, Z, ¨ auch nein, weil
` ˘
Inverse fehlen, aber Q, ¨ ist eine abelsche Gruppe. Rotationsgruppen: endliche abelsche Gruppen, Dieedergruppen: endliche nicht abelsche Gruppen.
und zusätzlich gilt:
(5) Distributivität: für alle m, n, p P M gilt:
pm ` nq ¨ p “ m ¨ p ` n ¨ p und p ¨ pm ` nq “ p ¨ m ` p ¨ n
Wenn zusätzlich gilt:
(6) Kommutativität der Multiplikation: für alle n, m P M gilt:
n¨m“m¨n
Version vom 27. Juli 2016
Ring: Ein Ring ist eine Menge M mit 2 Verknüpfungen (meist ` und ¨ be`
˘
zeichnet), also M, `, ¨ , wenn gilt:
`
˘
‚ M, ` ist eine kommutative Gruppe, es gilt also (1). . . (4).
`
˘
‚ M, ¨ hat ein neutrales Element (vgl. (1), bei Multiplikation Einselement 1 genannt) und erfüllt die Assoziativität (3)
66
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
`
˘
dann heißt M, `, ¨ kommutativer Ring (mit Eins).
`
˘
Bemerkung: Es gibt auch Ringe ohne Eins, dann ist M, ¨ eine Halbgruppe,
kommt selten vor!!
Beweis:
(Von Satz 5.17)
(1) Neutrales Element bzgl. ‘: 0̄ tuts, denn für alle ā P Z{mZ gilt:
ā ‘ 0̄ “ a ` 0 “ ā “ 0 ` a “ 0̄ ‘ ā
(2) Inverses Element: Sei ā P Z{mZ. Beh: ā1 “ ´a
ā ‘ ā1 “ a ‘ ´a “ a ` p´aq “ 0̄
ā1 ‘ ā “ . . . “ 0̄
(3) Assoziativität: ā, b̄, c̄ P Z{mZ, also a, b, c P Z:
`
˘
`
˘
ā‘b̄ ‘c̄ “ a ` b‘c̄ “ pa ` bq ` c
“
a ` pb ` cq “ ā‘b ` c “ ā‘ b̄‘c̄
Ò
Assoziativität
von Z
(4) Kommutatives Element: folgt aus der Kommutativität von Z:
ā ‘ b̄ “ a ` b “ b ` a “ b̄ ‘ ā
`
˘
Damit ist Z{mZ, ‘ eine kommutative Gruppe.
Nun zur Multiplikation d :
Einselement: Beh.: 1̄ ist ein Einselement: Für alle ā P Z{mZ gilt:
1̄ d ā “ 1 ¨ a “ a ¨ 1 “ ā d 1̄
(5) Distributivität: ā, b̄, c̄ P Z{mZ:
`
˘
`
˘
ā ‘ b̄ d c̄ “ a ` b d c̄ “ pa ` bq ¨ c “ a ¨ c ` b ¨ c “ ā d c̄ ‘ b̄ d c̄
(6) Kommutativität von d: ā d b̄ “ a ¨ b “ b ¨ a “ b̄ d ā
Beispiel
(
(1) Z{5Z “ 0̄, 1̄, 2̄, 3̄, 4̄
neutrales Element der Addition: 0̄
(vgl. Verkn. Tafel)
neutrales Element der Multiplikation: 1̄
Kommutativität von ‘ und d sehen wir an der Symmetrie der Verknüpfungstafel.
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õ
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Inverse Elemente der Addition:
0̄1 “ 0̄
´1̄ “ 1̄1 “ ´1 “ 4̄
denn 1̄ ‘ 4̄ “ 5̄ “ 0̄
´2̄ “ 2̄1 “ ´2 “ 3̄
3̄1 “ ´3 “ 2̄
4̄1 “ ´4 “ 1̄
0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄
0̄
Wo sieht man das in der Verknüpfungstafel? Suche Paa1̄
re, die die 0̄ erzeugen!
2̄
3̄
4̄
0̄
1̄
2̄
3̄
4̄
Inverse der Multiplikation? Ja, Paare die in der Tafel d
eine 1̄ erzeugen.
0̄
´1
1̄ d 1̄ “ 1̄ ñ 1̄
“ 1̄
1̄
´1
2̄ d 3̄ “ 1̄ ñ 2̄
“ 3̄
2̄
...
...
ñ 3̄´1 “ 2̄
3̄
´1
4̄ d 4̄ “ 1̄ ñ 4̄
“ 4̄
4̄
0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄
0̄
0̄
0̄
0̄
0̄
1̄
2̄
3̄
4̄
0̄
0̄
1̄
2̄
3̄
4̄
2̄
3̄
4̄
0̄
1̄
0̄
2̄
4̄
1̄
3̄
3̄
4̄
0̄
1̄
2̄
0̄
3̄
1̄
4̄
2̄
4̄
0̄
1̄
2̄
3̄
0̄
4̄
3̄
2̄
1̄
Version vom 27. Juli 2016
‘
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(2) Z{6Z ñ 0̄ neutrales Element der Addition, 1̄ Einselement.
‘ 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ 5̄
d 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ 5̄
0̄ 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ 5̄
1̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ 5̄ 0̄
und
2̄ 2̄ 3̄ 4̄ 5̄ 0̄ 1̄
3̄ 3̄ 4̄ 5̄ 0̄ 1̄ 2̄
4̄ 4̄ 5̄ 0̄ 1̄ 2̄ 3̄
5̄ 5̄ 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄
Inverse der Addition:
z.B.: ´5̄ “ 1̄, denn 5̄ ‘ 1̄ “ 0̄
0̄ 0̄ 0̄ 0̄ 0̄ 0̄ 0̄
1̄ 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ 5̄
2̄ 0̄ 2̄ 4̄ 0̄ 2̄ 4̄
3̄ 0̄ 3̄ 0̄ 3̄ 0̄ 3̄
4̄ 0̄ 4̄ 2̄ 0̄ 4̄ 2̄
5̄ 0̄ 5̄ 4̄ 3̄ 2̄ 1̄
Inverse der Multiplikation:
1̄´1 “ 1̄, 5̄´1 “ 5̄
Neu: Nullteiler:
3̄ d 2̄ “ 0̄ und 4̄ d 3̄ “ 0̄
`
˘
Satz 5.18. Z{mZ, d enthält genau dann Nullteiler, wenn m eine zusammengesetzte Zahl ist.
Beweis:
”ð”: Sei m “ a ¨ b mit 1 ă a ă m also auch 1 ă b ă m
ñ
ā d b̄ “ a ¨ b “ m̄ “ 0̄
P Z{mZ
`
˘
” ñ ”: Umgekehrt: Z{mZ, d enthalte Nullteiler, d.h.
D ā, b̄ P Z{mZzt0̄u mit ā d b̄ “ 0̄
ô a ¨ b “ 0̄
ô
m | loooomoooon
pa ¨ b ´ 0q
ô
m|a ¨ b
a¨b
ñ
a ” 0 mod 1
ñ
0̄ “ R1 p0q “ Z
für alle a P Z
und
R1 “ Z{1Z “ t0̄u trivialer Fall!!!
Ein Ring ohne Nullteiler heißt Integritätsring.
Korollar 5.19. Für m ą 1 gilt:
Rm “ Z{mZ ist Integritätsring ô m ist Primzahl
Gibt es auch Inverse der Multiplikation?
Version vom 27. Juli 2016
Da
ā ‰ 0̄ ñ m | a ´ 0 ñ m | a
Analog m|b
Also m | a ¨ b, aber m | a und m|b. Aus dem Primzahlkriterium 3.20 folgt ñ m
ist keine Primzahl sondern zusammengesetzte Zahl!
(oder m “ 1!!)
Fall m “ 1: Für alle a P Z gilt a ¨ 1 “ a ¨ m “ 0 ` a ¨ m
69
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Satz 5.20. ā P Z{mZ hat genau dann ein multiplikativ Inverses (ā´1 exisiert), wenn ggT pa, mq “ 1.
Beweis:
ā´1 P Z{mZ existiert ô ā´1 “ s̄
mit s P Z,
OE :
ô s̄ ¨ ā “ 1̄
ô s¨a”1
1ďsăm
(mit s̄ P Z{mZ)
mod m
(mit s P Z)
ô s¨a“1`t¨m
(mit s, t P Z)
ô s¨a´t¨m“1
(mit s, t P Z)
ô die lineare diophantische Gleichung s ¨ a ´ t ¨ m “ 1 ist lösbar in Z
ô ggT pa, mq | 1
(vgl. Satz 4.17)
ô ggT pa, mq “ 1
Korollar 5.21. Seien a, b P N mit ggT pa, bq “ 1. Dann ist die Kongruenz
a ¨ x ” 1 mod b lösbar.
Ring Ñ Körper???
Wdh. zu Körpern: Q, R, C sind Körper (mit ` und ¨).
Was brauchen wir noch, um aus einem Ring einen Körper zu machen?
ñ Wir brauchen noch Inverse der Multiplikation:
`
˘
Sei wie zuvor: M, `, ¨ eine kommutativer Ring. Es gelte ferner:
(7) Inverses Element der Multiplikation: für alle a P M zt0u gibt es ein Inverses a´1 , so daß:
(Wegen der Kommutativität gilt auch a´1 ¨ a “ 1)
Ein kommutativer Ring, der auch (7) erfüllt, heißt Körper.
Intergriätsring ô Körper??
Klar, ein Körper ist immer auch ein Integritätsring, da er keine Nullteiler außer
Null selber haben kann. Umgekehrt ist die Eigenschaft, ein Intergritätsring zu
sein, also keine Nullteiler zu haben, eine notwendige Vorraussetzung dafür, ein
Körper zu sein. Aber diese Eigenschaft ist nicht hinreichend. Gegenbeispiel: Die
Version vom 27. Juli 2016
a ¨ a´1 “ 1 Ð Einselement=neutrales Element der Multiplikation
70
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
ganzen Zahlen Z bilden mit Addition und Multiplikation einen Integritätsring,
aber kein Element ‰ 0 oder ˘1 ist invertierbar in Z.
Bei den Restklassen modulo m passiert das aber nicht, sobald keine Nullteiler,
dann auch sogleich Körper!
Das folgt aus der allgemeineren Tatsache, daß Integritätsringe mit endlich
vielen Elementen immer auch Körper sind.
`
˘
Satz 5.22. Z{pZ, ‘, d ist genau dann ein Körper, wenn p eine Primzahl
ist.
Beweis:
”ð”: Sei p Primzahl.
`
˘
Korollar 5.19 ñ Z{pZ, ‘, d ist Integritätsring.
Z.z.: (7) jedes von Null verschiedene Element hat ein multiplikativ Inverses!
Sei ā P Z{pZzt0̄u, also a P Z, OE: 0 ă a ă p
Wir suchen das Inverse: ā´1
Da p Primzahl
a|p
ñ
ñ ggT pa, pq “ 1
ñ Es gibt x, y P Z mit
!
x ¨ a ` y ¨ p “ ggT pa, pq “ 1
ô
x¨a“1´y¨p
ñ
x¨a”1
ô
x̄ ¨ ā “ 1
ô
mod p
(in Z{pZ)
x̄ “ ā´1
(das gesuchte Inverse)
” ñ ”: Z{pZ sei ein Körper. Z.Z.: p ist Primzahl
Satz 5.20: die Zahlen (Repräsentanten der Elemente von Z{mZ) 1, 2, 3, . . . p´1
sind zu p teilerfremd:
ggT pa, pq “ 1 @ a “ 1, 2, . . . , p ´ 1 ñ Tp “ t1, pu ñ p ist Primzahl. Bemerkung 5.23. Das Inverse eines Elementes ā P Z{mZ findet man mit
Hilfe des Euklidischen Algorithmus’ bzw. durch Lösen der linearen diophantischen Gleichung:
x¨a`y¨m“1
ñ
ā´1 “ x̄
Version vom 27. Juli 2016
Z{pZ Körper ñ jedes Element ā ‰ 0̄ hat ein Inverses.
71
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Beispiel: Bestimme 7̄´1 P Z{12Z:
7¨x”1
mod 12 ô
7x ` 12y “ 1
12 “ 1 ¨ 7 ` 5
(5 “ 12 ´ 7)
7“1¨5`2
(2 “ 7 ´ 5)
5“2¨2`1
ñ
1“5´2¨2
“ 5 ´ 2 ¨ p7 ´ 5q “ 3 ¨ 5 ´ 2 ¨ 7
“ 3 ¨ p12 ´ 7q ´ 2 ¨ 7
“ 3 ¨ 12 ´ 5 ¨ 7
ô
7 ¨ p´5q “ 1 ´ 3 ¨ 12
ô
7 ¨ p´5q ” 1
ô
mod 12
7̄ d p´5q “ 1̄
(in Z{12Z)
ñ 7̄´1 “ ´5 “ 7̄ P Z{12Z
Klar: 7 ¨ 7 “ 72 “ 49 “ 1 ` 48 “ 1 ` 4 ¨ 12 ” 1 mod 12
Bemerkungen:
Version vom 27. Juli 2016
(1) in Z{pZ, mit einer Primzahl p, haben alle Elemente ‰ 0 ein multiplikatives Inverses ñ ā P Z{pZ, ā ‰ 0 dann existiert ā´1 P Z{pZ.
(2) in Z{mZ, m beliebig, haben genau die Elemente ā ‰ 0 mit ggT pa, mq “
1 ein Inverses ā´1 .
(vgl. Multiplikationstafel von R6 “ Z{6Z: nur 5 ist zu 6 teilerfremd!
ñ nur 5̄´1 “ 5̄ existiert, sogar selbstinvers!)
72
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
5.4. Die Sätze von Euler, Fermat und der Chinesische Restsatz.
ˇ
(
Eulersche ϕ-Funktion: ϕpmq :“ # x P t1, 2, . . . , mu ˇ ggT px, mq “ 1
loϕp1q
omoon “ 1, loϕp2q
omoon “ 1, loϕp3q
omoon “ 2, loϕp4q
omoon “ 2, loϕp5q
omoon “ 4,
t1u
t1u
t1,2u
t1,3u
t1,2,3,4u
ϕp10q
loϕp6q
omoon “ 2, loϕp7q
omoon “ 6, loϕp8q
omoon “ 4, loϕp9q
omoon “ 6, lo
omoon “ 4
t1,5u
t1,2,3,4,5,6u
t1,3,5,7u
t1,2,4,5,7,8u
t1,3,7,9u
ñ Offensichtlich gilt für Primzahlen p: ϕppq “ p ´ 1
(denn t1, 2, . . . , p ´ 1u sind zu p teilerfremd!)
ñ ϕpmq hat was mit der Anzahl der invertierbare Elemente in Z{mZ zu tun,
was?
Klar, ϕpmq ist genau die Anzahl der invertierbaren Elemente in Z{mZ (vgl.
Satz 5.20)
Satz 5.24 (Eulerscher Satz). Für alle teilerfremden Zahlen a, m P N gilt:
aϕpmq ” 1 mod m
Das ist äquivalent ausgedrückt:
āϕpmq “ 1̄
in Z{mZ
Beispiele (1) m “ 7, (also ϕp7q “ 6) ñ für alle a P N mit ggT pa, mq “ 1
gilt
a6 ” 1
mod 7
ô
7 | a6 ´ 1
Insbesondere:
7 | lo
26omo
´o1n,
“0
7|
“63
6
5 omo
´o1n
lo
7 | lo
36omo
´o1n ,
,
7 | lo
46omo
´o1n ,
“728“7¨104
6
7 | 6 ´ 1,
“4095“7¨585
6
7 | 8 ´ 1, . . .
“15.624“7¨2232
ñ unendlichviele Teilbarkeitsaussagen!
(2) Frage nach dem Rest:
z.B. Was ist der Rest von 281 bei der Division durch 5?
Umformulierung der Frage:
281 ”? mod 5 ???
Version vom 27. Juli 2016
7 | lo
16omo
´o1n,
73
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Aber
` ˘4 ` ˘ϕp5q
280 “ 24¨20 “ 220 “ 220
Satz 5.24
”
1
ñ
Beweis:
Sei m P N
mod 5
da
ggT p220 , 5q “ 1
281 “ 2 ¨ 280 ” 2 ¨ 1 ” 2
mod 5
ñ nach Definition gibt es genau ϕpmq zu m teilerfremde Zahlen:
1 ď r1 ă r2 ă r3 ă ¨ ¨ ¨ ă rϕpmq ă m
Ihre Restklassen:
r1 , r2 , . . . , rϕpmq P Z{mZ
sind genau die invertierbaren Elemente von Z{mZ.
ˇ
ˇ
1 ď ˇri ´ rj ˇ ă m
Da 1 ď ri ă m ñ für alle i ‰ j gilt:
ñ
ñ
m|ri ´ rj
ñ
ri ı rj
mod m @i ‰ j
ñ r1 , r2 , . . . , rϕpmq
paarweise verschieden
)
!
˚
r1 , r2 , . . . , rϕpmq “ Rm
“ pZ{mZq˚ = Gruppe der invertierbaren Elemente.
Sei nun a P N teilerfremd zu m.
Dann gilt
(1)
(2)
ari ist teilerfremd zu m für alle i “ 1, . . . , ϕpmq
˚
für alle i ‰ j,
ari ‰ arj in Rm
(denn sonst würde m die Differenz teilen:
m | ari ´ arj “
a
pr
i ´ rj q
looomooon
Ò
ggT pa,mq“1
Ò
m| pri ´rj q
ñ
˚
ari P Rm
q
ñ
ñ
˚
in Rm
ar1 ¨ ar2 ¨ . . . ¨ arϕpmq “ r1 ¨ r2 ¨ . . . ¨ rϕpmq
par1 q ¨ par2 q ¨ . . . ¨ parϕpmq q ” r1 ¨ r2 ¨ . . . ¨ rϕpmq
mod m
aϕpmq ¨ pr1 ¨ r2 ¨ . . . ¨ rϕpmq q ” pr1 ¨ r2 ¨ . . . ¨ rϕpmq q mod m
ñ aϕpmq ” 1 mod m
da r1 ¨ . . . ¨ rϕpmq teilerfremd zu m, dürfen wir dadurch teilen, vgl. Korollar 5.10
Version vom 27. Juli 2016
ñ ar1 , ar2 , . . . , arϕpmq sind paarweise verschiedene invertierbare Elemente
˚
von Rm
!
) !
)
ñ
ar1 , ar2 , . . . , arϕpmq “ r1 , r2 , . . . , rϕpmq
74
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Satz 5.25 (Kleiner Satz von Fermat). Ist a P N und p eine Primzahl die a
nicht teilt (p|a oder ggT pp, aq “ 1), so gilt
ap´1 ” 1
mod p
Beweis:
Direkte Folgerung aus ϕppq “ p ´ 1.
Korollar 5.26. Für jede Primzahl p und a P N gilt:
ap ” a mod p
Beweis:
Wenn ggT pa, pq “ 1 ist das eine Folgerung aus dem Kleinen Fermat’schen Satz.
Wenn ggT pa, pq ‰ 1, also ggT pa, pq “ p
ñ
a ” 0 mod p
ñp|a
und damit auch an ” 0 mod p
Also ist in diesem Fall die Aussage trivial!
Satz 5.27.
Für alle natürlichen Zahlen n P N gilt
ř
d|n
ϕpdq “ n.
Beweis
Für jeden Teiler d P Tn definiere die Menge
Cd :“ t x P t1, 2, . . . , nu | ggT px, nq “ du.
Damit gilt: wenn x P t1, . . . , nu, dann x P Cd mit d :“ ggT px, nq,.
D.h. jedes x P t1, . . . , nu ist eindeutig in einem Cd enthalten.
ď
Cd “ t1, 2, 3, . . . , nu
d|n
Zahlenbeispiel: n “ 12 “ 22 ¨ 3, dann T12 “ t1, 2, 3, 4, 6, 12u und
ϕp12q “ 4
C2 “ t1 ď x ď 12 | ggT px, 12q “ 2u “ t2, 10 “ 2 ¨ 5u
ϕp 12
“ 6q “ 2
2
C3 “ t1 ď x ď 12 | ggT px, 12q “ 3u “ t3, 9u
ϕp 12
“ 4q “ 2
3
C4 “ t1 ď x ď 12 | ggT px, 12q “ 4u “ t4, 8 “ 2 ¨ 4u
ϕp 12
“ 3q “ 3 ´ 1 “ 2
4
C6 “ t1 ď x ď 12 | ggT px, 12q “ 6u “ t6u
“ 2q “ 2 ´ 1 “ 1
ϕp 12
6
C12 “ t1 ď x ď 12 | ggT px, 12q “ 12u “ t12u
Sicherlich sind die Mengen Cd für verschiedene Teiler d von n disjunkt:
ď
¨ Cd “ t1, 2, 3, . . . , nu
d|n
ϕp1q “ 1
Version vom 27. Juli 2016
C1 “ t1 ď x ď 12 | ggT px, 12q “ 1u “ t1, 5, 7, 11u
75
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Ausserdem gilt
#Cd “ #t x P t1, 2, . . . , nu | ggT px, nq “ du (somit d | x bzw. x “ d ¨ y)
n
“ #t y P t1, 2, . . . , u | looooooooomooooooooon
ggT pd ¨ y, nq “ du
(da d | n)
d
q“1
ggT py, n
d
“ϕ
´n¯
d
Schließlich folgt:
ď
ÿ
ÿ ´n¯
n “ #t1, 2, 3, . . . , nu “ # ¨ Cd “
#Cd “
ϕ
d
d|n
d|n
d|n
ÿ
“
ϕpdq
Ò
d|n
durch Umsummieren
Satz 5.28. Für jede Primzahl p und jedes n P N gilt:
ˆ
˙
1
n
n
ϕ pp q “ p ¨ 1 ´
“ pn´1 ¨ pp ´ 1q
p
Beweis Nach Satz 5.27 gilt
ÿ
pn “
ϕpdq “ ϕp1q ` ϕppq ` ϕpp2 q ` ¨ ¨ ¨ ` ϕppn q
d | pn
pn´1 “ ϕp1q ` ϕppq ` ϕpp2 q ` ¨ ¨ ¨ ` ϕppn´1 q
pn ´ pn´1 “ ϕppn q
Version vom 27. Juli 2016
ñ
76
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Handbuch der Arithmetik des Chinesen Sun-Tzu, vor ca. 2000 Jahren:
Es soll eine Anzahl von Dingen gezählt werden. Zählt man sie zu je drei, dann
bleiben zwei übrig. Zählt man sie zu je fünf, dann bleiben drei übrig. Zählt
man sie zu je sieben, dann bleiben zwei übrig. Wie viele sind es??
Was ist gemeint?
x”2
mod 3
x”3
mod 5
x”2
mod 7
Zur Lösung:
x”2
mod 3
ñ x P t. . . , ´1, 2, 5, 8, . . .u
x”3
mod 5
ñ x P t. . . , ´2, 3, 8, 13 . . .u
x”2
mod 7
ñ x P t. . . , ´5, 2, 9, 16, . . .u
Satz 5.29 (Chinesischer Restsatz). Seien m1 , m2 , . . . , mk paarweise teilerfremde natürliche Zahlen und a1 , a2 , . . . , ak P Z. Das System linearer Kongruenzen:
x ” a1
mod m1
..
.
x ” ak
mod mk
Beweis
(der Beweis ist konstruktiv!)
Lösbarkeit: Setze:
m :“ m1 ¨ m2 ¨ ¨ ¨ mk
m
_
qi :“
“ m1 ¨ ¨ ¨ mi ¨ ¨ ¨ mk
mi
mi paarweise teilerfremd ñ
ggT pmi , qi q “ 1
ô
q¯i P Z{mi Z invertierbar
Version vom 27. Juli 2016
ist lösbar. Alle Lösungen sind kongruent modulo m :“ m1 ¨ m2 ¨ ¨ ¨ mk , d.h. die
Restklasse x̄ der Lösung x ist in Z{mZ eindeutig.
77
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
ñ qi ¨ z ” 1 mod mi
ist lösbar (vgl. Korollar 5.21)
1
1
Sei qi eine Lösung, d.h. qi ist eine Repräsentant von q¯i ´1 P Z{mi Z
qi ¨ qi1 ” 1
mod mi
für i “ 1, 2, . . . , k
Sei
x :“ a1 ¨ q1 ¨ q11 ` a2 ¨ q2 ¨ q21 ` ¨ ¨ ¨ ` ak ¨ qk ¨ qk1
Modulo mi gilt:
x “ a1 ¨ q1 ¨ q11 ` a2 ¨ q2 ¨ q21 ` ¨ ¨ ¨ ` ai ¨ qi ¨ qi1 ` ¨ ¨ ¨ ` ak ¨ qk ¨ qk1
|
mi
|
mi
” ai ¨ qi ¨ qi1
Ò
ggT pqi ,mi q“1
|
mi
mod mi
da qi ¨ qi1 ” 1
” ai
Das geht für alle i “ 1, . . . , k, damit ist x eine Lösung.
Eindeutigkeit:
Sei y eine weitere Lösung:
ñ
ñ
x ” ai
mod mi
x”y
mod mi
und y ” ai
mod mi
(für i=1,. . . ,k)
(für i=1,. . . ,k)
ñ
mi | px ´ yq
(für i=1,. . . ,k)
ñ
m | px ´ yq
da die mi paarweise teilerfremd
ñ
x”y
ô
x̄ “ ȳ
mod m
in Z{mZ
x”1
mod 3
(i=1)
x”3
mod 7
(i=2)
x”5
mod 11
(i=3)
ñ
m “ 3 ¨ 7 ¨ 11 “ 231
ñ
q1 “ 3 ¨ 7 ¨ 11 “ 77,
_
_
q2 “ 3 ¨ 7 ¨ 11 “ 33,
q3 “ 3 ¨ 7 “ 21
Version vom 27. Juli 2016
Beispiel: Sei
78
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Finde Repräsentanten qi1 von q¯i ´1 (modulo mi ):
i “ 1 : in Z{3Z :
q¯1 “ 77 “ 3 ¨ 25 ` 2 “ 2̄,
selbstinvers ñ q11 “ 2
i “ 2 : in Z{7Z :
q¯2 “ 33 “ 7 ¨ 4 ` 5 “ 5̄,
5̄ ¨ 3̄ “ 15 “ 1̄ ñ q21 “ 3
i “ 3 : in Z{11Z :
10 ¨ 10 “ 99 ` 1 “ 1̄ ñ q31 “ 10
q¯3 “ 21 “ 10,
x “ a1 ¨ q1 ¨ q11 ` ¨ ¨ ¨ “ 1 ¨
77, nicht 2
Ó
77
¨2 ` 3 ¨ 33 ¨ 3 ` 5 ¨ 21 ¨ 10
“ 1501 “ 6 ¨ 231 ` 115
(in der Formel sind die qi ’s nicht unabhängig vom Repräsentanten, denn es
wird benutzt, daß z. B. m2 “ 7 die Zahl q1 “ 77 teilt, aber 7|2! )
ñ
Probe:
x̄ “ 115
in
R231 “ Rm “ Z{231Z
115 “ 38 ¨ 3 ` 1 ” 1
mod 3
X
115 “ 16 ¨ 7 ` 3 ” 3
mod 7
X
115 “ 10 ¨ 11 ` 5 ” 5
mod 11
X
Zurück zur Euler-ϕ-Funktion:
Satz 5.30. Für teilerfremde Zahlen n und m gilt:
ϕpmq ¨ ϕpnq “ ϕpm ¨ nq
(1)
(2)
(3)
(4)
Merkur und Venus,
Merkur und Erde,
Venus und Erde
Merkur, Venus und Erde
irgendwann gleichzeitig auf dem Radius R befinden? Wenn ja, wann ist das?
Vgl. Geogebra: Bahnschleifen
Zur Lösung dieses Problems:
Merkur befindet sich immer nach 15 ` nM ¨ 88 Tagen auf R, endsprechend
befindet sich Venus immer nach 43 ` nV ¨ 225 und die Erde nach 100 ` nE ¨
Version vom 27. Juli 2016
Beweis:
Noch ohne Beweis, bei Beweis wird der Chinesische Restsatz benutzt!
Beispiel aus der Astronomie
Die drei inneren Planeten unseres Sonnensystems: Merkur, Venus und Erde
haben Umlaufzeiten von (gerundet) 88, 225 und 365 Tagen um die Sonne.
Angenommen, ein Bahnradius R wird von Merkur in 15, von der Venus in 43
und von der Erde in 100 Tagen erreicht. Kann es sein, daß sich
79
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
356 Tagen auf R. Also müsen zur Lösung von (1)-(4) Systeme von Linearen
Kongruenzen gelöst werden:
(1)
(2)
(3)
(4)
Merkur und Venus: x ” 15 mod 88
und
x ” 43 mod 225
Merkur und Erde: x ” 15 mod 88
und
x ” 100 mod 365
Venus und Erde: x ” 43 mod 225
und
x ” 100 mod 365
Merkur, Venus und Erde:
x ” 15 mod 88,
x ” 43 mod 225
und
x ” 100 mod 365
Da 88 “ 23 ¨ 11, 225 “ 32 ¨ 552
und 365 paarweise teilerfremd.
Zu (1):
und 365 “ 5 ¨ 73 sind die Moduln 88, 225
x ” 15
mod 88
(i=1)
x ” 43
mod 225
(i=2)
ñ
m “ 88 ¨ 225 “ 19800
ñ
q1 “ 88 ¨ 225 “ 225,
_
_
q2 “ 88 ¨ 225 “ 88,
Repräsentanten qi1 von q¯i ´1 (modulo mi )?
9 ¨ 225 ´ 23 ¨ 88 “ 1
i “ 1 : in Z{88Z :
q¯1 “ 225,
9 ¨ 225 “ 1 ñ q11 “ 9
i “ 2 : in Z{225Z :
q¯2 “ 88,
202 ¨ 88 “ 1̄ ñ q21 “ 202
x “ a1 ¨ q1 ¨ q11 ` ¨ ¨ ¨ “ 15 ¨ 225 ¨ 9 ` 43 ¨ 88 ¨ 202
“ 794 743 “ 40 ¨ 19800 ` 2743
Probe:
2743 “ 31 ¨ 88 ` 15
Also in 2743 Tagen (« 7, 5 Jahre) sind Merkur und Venus auf einem Bahnradius!
6. Stellenwertsysteme
6.1. Verschiedene Stellenwertsysteme.
Sumerer im 3ten Jt v.Chr., Baylon im 2ten Jt. v.Chr., Sexagesimalsystem: Stellenwertsystem (Positionssystem) mit Basis 60, die Zahlensymbole
in Keilschrift:
Version vom 27. Juli 2016
2743 “ 12 ¨ 225 ` 43
80
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
0
1
5
10
20
Bemerkenswert und innovativ: ein Zeichen für Null! (seit Ptolemaius 150 n.Chr.)
Das sexagesimale Postionssystem war außerordentlich leistungsfähig und allen späteren Zahlensystemen der Antike überlegen. Daher wurde es u.a. von
den griechisch-hellenistischen Mathematikern dort verwendet, wo viele ausgiebige Rechnungen durchgeführt werden mussten, insbesondere in der Astronomie [Wußing, 6000 Jahre Mathematik, Eine kulturgeschichtliche Zeitreise,
Berlin/Heidelberg, (2008), p. 130]
Die babylonische Schreibweise hatte auch Nachteile. Daß man zwischen 1 und
60 in der Schreibweise keinen Unterschied machen kann, ist für den täglichen
Gebrauch nicht allzu schlimm, weil die Grössenordnung meistens sowieso bekannt ist (wir wissen ja auch, wenn im Schaufenster die Zahl 30 auf einer
Bluse steht, dass es sich nicht um 30 Pfennig handelt); aber bei rein theoretischen Aufgaben kann es doch unangenehm sein. Noch unangenehmer ist es,
wenn man in der Schreibweise zwischen 1, 0, 30 und 1,30 nicht unterscheiden konnte, weil die Null nicht existierte. Um diese Schwierigkeit zu beheben,
hat man später ein eigenes Zeichen für den leeren Platz zwischen zwei Ziffern
eingeführt, zum Beispiel:
⏟
⏟
33
30
→ 33∙60 + 30 = 2010
Der Griechische Astronom Ptolemaios (150 n. Chr.), der immer sexagesimal
rechnete, braucht das Zeichen 0 für Null, auch am Ende einer Zahl. Das gab
dem sexagesimalen Postionssystem den letzten Schliff: dadurch wurde es fast
gleichwertig mit unserem dezimalen Positionssystem. Ptolemaios schreibt zwar
die ganzen Zahlen dezimal und nur die Brüche sexagesimal, aber das spielt keine große Rolle, da er fast nie große ganze Zahlen braucht. Die starke Überlegenheit der sexagesimalen Bruchrechnung war der Grund, dass die Astronomen
Version vom 27. Juli 2016
= 1, 0, 4 (60- iger Syst.)= 3604 (10-er Syst.) .
81
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
immer mit Sexagesimalbrüchen rechneten: daher stammen auch unsere Minuten und Sekunden. [van der Waerden, Erwachende Wissenschaft II, p. 62-63]
02 ; 10 ; 0 ; 5
10
33
;20 20
Zahlenbeispiele:
2
;
0
;
15
⏟
⏟
33
30
2 ; →0 ;33∙60
0 ; + 30 = 2010
33
33
2
;
;
0
;
;
20
32
15
; 0 ;0 ;
; 20
. . .2haben
babylonische33Einflüsse
mit Langzeitwirkung auf Kulturtraditionen Europas gewirkt. Etliche unserer Maßeinheiten zur Messung der Zeit u.ä. leiten
; Positionssystem
32
sich vom33
babylonischen
ab:
2
;
0
;
15
‚ Sexagesimale Zeitmaße: Die Sexagesimal-Zählung strukturiert die Einteilung das Tagesrhythmus in kleinere Zeiteinheiten: Tag + Nacht (24 “
2 ˆ 6 bzw. 2 ˆ 12 Stunden), 1 Stunde (60 “ 6 ˆ 10 Minuten), 1 Minute
33
;
32
(60 “ ˆ10 Sekunden).
‚ Sexagesimale Bogen und Winkelmaße: z.B. Gradeinteilung (360˝ “ 6 ˆ
60 Gradeinheiten).
Vigesimalsystem: Zahlsystem mit Basis 20, in der Sprache enthalten z.B.
in Asien (Chepang, Ainu, Tschuktschisch), Ozeanien (Drehu, Daga, MangapMbula), Amerika (Zoque, Yukatekisch, Warao, Caribe), Afrika (Igbo, Yoruba,
Kana, und die Niger-Kongo-Sprache Diola-Fogny).
Duales- bzw. Binäres System: Computer!
Dezimalsysteme: Zum erstem mal in Indien im 6. Jhd. n. Chr. nachgewiesen.
Auch in Mittelamerika (Bibri, Nahuatl)
Version vom 27. Juli 2016
[H. Haarmann, Weltgeschichte der Zahlen, C.H.Beck-Wissen (2008), auch für
weiteres:]
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
82
8 Jhd. n. Chr.:dezimales System + arabische Ziffern wurde nach Europa eingeführt, es dauerte aber noch einige Jahrhunderte, bi es sich in Europa durchsetzte. Einen wichtige Beitrag dazu lieferte Adam Ries (1492-1559) mit seinen
Rechenbüchern.
Vigesimal-dezimales Mischsystem
In vielen Sprachen, deren Zahlwortsysteme Vigesimal- und Dezimalsystem erkennen lassen, z.B. in Französischen: im Bereich 80 ´ 99 gilt die 20-er Ordung,
z.B. quatre-vingt-dix-huit: 4 ˆ 20 ` 10 ` 8 “ 98 .
Version vom 27. Juli 2016
Fünfer-Zwanziger Mischsystem Mittelamerika: Aztekisch:
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
83
6.2. Prinzip des Stellenwertsystems.
Stellenwertsystem der Basis b:
‚ b Symbole/Ziffern nötig
‚ Wert einer Ziffer gibt Anzahl der Bündel der betreffenden Mächtigkeit
an.
‚ Stellung/Position der Ziffer gibt an, um welche Mächtigkeit es sich
handelt.
Beispiel: Analyse des Dezimalsystems:
‚ Zehn Ziffern: 0, 1, 2, . . . , 9
‚ Mächtigkeiten: Zehnerpotenzen 10n
‚ Wert einer Ziffer gibt Anzahl der Bündel der betreffenden Mächtigkeit
an.
‚ Stellung/Position der Ziffer gibt an, um welche Mächtigkeit es sich
handelt.
Beispiele
(1) 51037 “ 5 ¨ 104 ` 1 ¨ 103 ` 0 ¨ 102 ` 3 ¨ 101 ` 7 ¨ 100
(2) 5555 hier bedeutet die Ziffer 5 je nach Position Einer, Zehner, Hunderter oder Tausender!
Hat man das Prinzip verstanden, so läßt es sich leicht auf andere Basen übertragen:
Basis 2:
Dezimalsystem
Dualsystem
Algorithmus: suche größte 2er-Potenz, die ď 25, hier: 16 “ 24 ă 25 ă 32 “ 25 .
da 25 “ 1 ¨ 16 ` 9 mache nun mit 9 so weiter: 9 “ 8 ` 1 “ 23 ` 1. etc.
Beachte: im Dualsystem gibt es nur die Ziffern 0 und 1!
Allgemein:
‚ Ist die Basis b ă 10 ñ die Ziffern 0, 1, . . . , b ´ 1 reichen für die Darstellung der Zahlen aus. Natürlich können auch neue Ziffern erfunden
werden.
Version vom 27. Juli 2016
Ì
2510
“ 1 ¨ 24 ` 1 ¨ 23 ` 0 ¨ 22 ` 0 ¨ 21 ` 1 ¨ 20 “ 11001Ì
2
84
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
‚ Ist die Basis b ą 10, so brauchen wir neue Symbole, z.B.: im Duodezimalsystem ô Basis b “ 12, setzte z :“ 10 und e “ 11:
Ì
“ 11 ¨ 124 ` 4 ¨ 123 ` 10 ¨ 122 ` 0 ¨ 121 ` 11 ¨ 120
e 4 z 0 e 12
| | | | |
4 3 2 1 0
“ 11 ¨ 124 ` 4 ¨ 123 ` 10 ¨ 122 ` 11 “
Ì
“ 236459
“ 23645910
Ohne die neuen Ziffern z und e ließe sich die Zahl nicht eindeutig schreiben:
besser
Ì
Ì
“ 11 4 12 0 1112
“ p11q 4 p12q 0 p11q
e 4 z 0 e12
Die Zahl 25 im Duodezimalsystem:
Ì
25 “ 2 ¨ 12 ` 1 “ 2112
Fragen:
‚ Warum findet man sehr häufig auf der Welt das Dezimalsystem?
Schon immer haben Menschen ihr Zehn Finger als ”Taschenrechner”
benutzt.
‚ Kann man jede natürliche Zahl als Basis für ein Stellenwertsystem benutzen?
Ja, vgl. nächsten Satz.
Satz 6.1. Sei b P Nzt1u. Jede Zahl a P N läßt sich eindeutig in der Form
a “ kn bn ` kn´1 bn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` k1 b ` k0
mit ki P N0 , kn ‰ 0 und 0 ď ki ă b für i “ 0, 1, . . . , n darstellen.
a “ q0 ¨ b ` k0 ,
0 ď k0 ă b, q0 P N
q0 “ q1 ¨ b ` k1 ,
0 ď k1 ă b, q1 P N
q1 “ q2 ¨ b ` k2
..
.
.. ..
. .
ñ
a ą q 0 ą q1 ą q2 ¨ ¨ ¨ ą 0
ñ der Algorithmus muss abbrechen, d.h. es gibt ein n P N mit qn “ 0.
Version vom 27. Juli 2016
Beweis
Eindeutigkeit der Division mit Rest impliziert:
85
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Die letzten Schritte lauten somit:
qn´2 “ qn´1 ¨ b ` kn´1 ,
0 ď kn´1 ă b, qn´1 P N
qn´1 “ qn ¨ b ` kn “ kn
||
0
Sukzessives Einsetzen:
a “ q0 ¨ b ` k0
“ pq1 ¨ b ` k1 q ¨ b ` k0 “ q1 b2 ` k1 b ` k0
“ pq2 b ` k2 qb2 ` k1 b ` k0 “ q2 b3 ` k2 b2 ` k1 ` k0
..
.
“ qn´1 bn ` kn´1 bn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` k1 b ` k0
||
kn
Warum Stellenwertsysteme behandeln?
‚ Unterscheidung Zahl und Zahlwort wird thematisiert.
Z.B. Bedeutung vermeindlich besonderer Zahlen (z.B. Geburtstage)
wird relativiert:
‚ Computer arbeiten im Dualsystem: Basis 2
‚ Verständnis des Babylonischen Sexagezimalsystems und der daraus abgeleiteten Zeit- und Winkelmaße.
‚ Das Verständnis des Stellenwertsystems fördert auch das Verständnis
von Dezimalbrüchen und Teilbarkeitsregeln.
‚ Polynome mit Koeffizienten aus N.
6.3. Zahlen in verschiedenen Zahlsystemen.
Vorgänger und Nachfolger:
Beispiel: Basis 3: N “ Neuner, D “ Dreier, E “ Einser
Version vom 27. Juli 2016
Ì
Ì
20 “ 2010
“ 2 ¨ 9 ` 2 “ 22Ì
9 “ 1 ¨ 11 ` 9 “ 1911
86
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Nachfolger:
d.h.
N D
E
N D E
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ
ÝÑ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ `1
ˆ
2 1 2
2 1 2`1
Umbündeln
«
N D E
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 2 0
Ì
212Ì
3 hat den Nachfolger 220 3
Vorgänger:
N D E
N D E
ist
keine
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ hier
ÝÑ
Umbündelung nötig.
ˆ
ˆ ´1 ˆ
2 1 2
2 1 1
Aber beim folgenden Beispiel:
Vorgänger mit
:
Umbündelung
N D E
ˆ ˆ
ˆ
2 1 0
Umbündeln
«
N D
ˆ
ˆ
2
0
E
N D E
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ÝÑ
´1
ˆ
ˆ
ˆ
2 0 2
2`1
Basis 2: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001,
...
Basis 3: 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21,
22, 100, 101,. . .
Basis 4: 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13,
20,
21, 22,. . .
Basis 5: 1, 2, 3,
4, 10, 11, 12,
13,
14, 20,. . .
Basis 10: 1, 2, 3,
4,
5,
6,
7,
8,
9, 10,. . .
Folgerung: Man muß zwischen einer Zahl und ihrem Zahlwort bzw. Zahlzeichen unterscheiden. Z.B. Anzahl der Finger einer Hand ist Fünf als Zahlwort
und hat viele Zahlzeichen, beispielsweise:
Ì
510
“ 10Ì5 “ 11Ì4 “ 12Ì3 “ 101Ì2
Wie übersetzt man die Zahlzeichen eines Systems in ein anderes?
Dezimalsystem ñ b-System: Division mit Rest b.
Version vom 27. Juli 2016
Durch fortgesetzte Nachfolgerbildung, beginnend mit der Zahl 1, erhält man
die Zählreihen bezüglich beliebiger Basen:
87
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Beispiel b “ 12:
(TR: 8924 ˜ R 12 = )
Ì
8924 “ 892410
“ 743 ¨ 12 ` 8
k0 “ 8
743 “ 61 ¨ 12 ` 11
k1 “ 11 “ e
61 “ 5 ¨ 12 ` 1
k2 “ 1
5 “ 0 ¨ 12 ` 5
k3 “ 5
ó
Algorithmus bricht ab
61
` hkkkkikkkkj
˘
ñ 8924 “ p5 ¨ 12 ` 1q ¨ 12 ` 11 ¨ 12 ` 8 “ 5 ¨ 123 ` 1 ¨ 122 ` 11 ¨ 12 ` 8
Ì
“ 5 1 p11q 812
“ 51e8
Alternativ die intuitive Methode: Suche größte 12-er Potenz kleiner-gleich 8924
durch ausprobieren:
123 “ 1728 ă 8924 ă 20736 “ 124
8924
“ 5 ¨ 123 ` 284
8924 ˜ 123 “ 5, . . . ñ 8924 ´ 5 ¨ 123 “ 284
284 “ 1 ¨ 122 ` 140
284 ˜ 122 “ 1, . . . etc.
140 “ 11 ¨ 12 ` 8
8 “ 8 ¨ 120 “ 8 ¨ 1
b-System ñ Dezimalsystem (an Polynome denken)
6.4. Rechnen in anderen Zahlsystemen.
Addition: Dazu ist eine Additionstabelle der Zahlen 0 bis b ´ 1 hilfreich.
Vergleich mit Addition im Dezimalsystem:
Version vom 27. Juli 2016
3
2
1
0
Ì
3714Ì
8 “ 3 ¨ 8 ` 7 ¨ 8 ` 1 ¨ 8 ` 4 ¨ 8 “ 199610
88
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
9128
e
`
1072
“
?
“ 9 ¨ 103
`1 ¨ 102
`2 ¨ 10
`8 ¨ 100
`1 ¨ 103
`0 ¨ 102
`7 ¨ 101
`2 ¨ 100
spaltenweise addieren
“ 10 ¨ 103
`1 ¨ 103
`9 ¨ 10i 1
`10 ¨ 100
umbündeln
`10 ¨ 101
`1¨104
`1¨101
“ 1 ¨ 104
`0 ¨ 103
`1 ¨ 10h 2
“ 1 ¨ 104
`0 ¨ 103
`2 ¨ 102
`0 ¨ 101
`0 ¨ 100
“1
0
2
0
0
Basis 4:
`1¨103
Ì
232Ì
4 ` 223 4 “?
‘4
`0 ¨ 100
umbündeln
0 1 2 3
0
1
2
3
Additionstabelle:
7. Dezimalbrüche
7.1. Gemeine Brüche und Dezimalbrüche.
Bezeichungen:
7
8
gemeiner Bruch
0,875
Dezimalbruch
(1) Rechnen mit Verhältnissen.
(2) Bekannt aus dem Sprachgebrauch: Ein Viertel Pfund ..., ein halbes
Kilo..., Halb/ Viertel-Finale, dreiviertel 2 Uhr, etc..
(3) Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten,
(4) Äquivalentsumformungen, Algebra, Einfache Rechenoperationen bei Multiplikation und Division, Ableitungen!
(5) (Anschauliche) Grundlage für Dezimalbrüche.
Vorteile der Dezimalbrüche:
Version vom 27. Juli 2016
Vorteile gemeiner Brüche:
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
89
Version vom 27. Juli 2016
(1) Starke Verbreitung im täglichen Leben, z.B. im Umgang mit Geld.
(2) Enger Zusammenhang der Schreibweise mit den ganzen Zahlen.
(3) Einfache Rechenoperationen bei Addition, Subtraktion und Größenvergleich.
(4) Eindeutigkeit der Schreibweise:
7
35
0,875 “ “
“ ...
8
40
Problem: 0,88 ‰ 0,875
(5) Einfache Schreibweise bei gewöhnlicher Textverarbeitung.
90
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Umformung gemeiner Brüche in Dezimalbrüche:
Brüche mit Zehnerpotenz im Nenner:
3
“ 0,3 ;
10
Divisionsalgorithmus:
53
“ 0,53
100
5 ˜ 11 “ 0, 4 5 4 5 . . . “ 0,45
50
44
6 0
5 5
5 0
4 4
6 0
5 5
..
.
5 ˜ 8 “ 0, 6 2 5
50
48
20
16
40
40
0
5
ñ
“ 0,625
8
5
ñ
“ 0,45
11
Stellenwerttafeln: E=Einer, z=Zehntel, h=Hundertstel, etc.
Hintergrund: Division
E
5 “
z
50 “ 10 ¨ 5 “
h
20 “ 10 ¨ 2 “
t
40 “ 10 ¨ 4 “
mit Rest
0 ¨ 8
6 ¨ 8
2 ¨ 8
5 ¨ 8
Ò
In der grauen Spalte kann man die
`
`
`
`
5
2
4
0
Dezimalbruchentwicklung ablesen.
Version vom 27. Juli 2016
E z h t
E z h t
5
˜ 8 “ 0 6 2 5
5 0
4 8
2 0
1 6
4 0
4 0
0
91
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Weitere Verallgemeinerung dieser Rechnung
m
n
sei ein vollständig gekürzter (also ggT pm, nq “ 1) echter (also 1 ď m ă n)
Bruch. Wiederholte Division mit Rest:
E
z
h
t
m
10 ¨ r0
10 ¨ r1
10 ¨ r2
r0
r1
r2
r3
0 ď r0 “ m ă n
0 ď r1 ă n
0 ď r2 ă n
0 ď r3 ă n
qk ¨ n ` rk
Ò
0 ď qi ă 10 für alle i.
0 ď rk ă n
“
“
“
“
..
.
0
q1
q2
q3
n
n
n
n
¨
¨
¨
¨
`
`
`
`
10 ¨ rk´1 “
Behauptung:
Beweis:
Annahme qi ě 10 für ein i
10 ¨ ri´1 “ qi ¨ n ` ri
ô
0 “ qi ¨ n ´ 10 ¨ ri´1 ` ri
ô
0 ě 10 ¨ n ´ 10 ¨ ri´1 ` ri
(weil qi ¨ n ě 10 ¨ n)
“ 10 ¨ pn
´ ri´1 q ` loomo
ri on ą 0
loooomoooon
ą0
ě0
m “ 0 ¨ n ` r0
q1
“0¨n`
¨n`
10
q1
¨n`
“0¨n`
10
..
.
“0¨n`
r1
10
q2
r2
¨
n
`
102
102
(r0 “
q1
10
¨n`
r1
)
10
(r1 “
q2
10
¨n`
r2
)
10
(r2 “
q3
10
¨n`
r3
)
10
q2
q3
qk
rk
q1
¨ n ` 2 ¨ n ` 3 ¨ n ` ¨¨¨ ` k ¨ n ` k
10
10
10
10
10
ô
m
q1
q2
q3
qk
rk
“
` 2 ` 3 ` ¨¨¨ ` k ` k
n
10 10
10
10
10 ¨ n
!
“ 0,q1 q2 q3 ¨ ¨ ¨ qk ¨ ¨ ¨
Wegen der Eindeutigkeit der Division mit Rest, ist diese Schreibweise bzw.
dieser Dezimalbruch ebenfalls eindeutig!
Version vom 27. Juli 2016
Dezimalbruchentwicklung:
92
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Die Dezimalbruchentwicklung des echten, vollständig gekürzten Bruches
heißt
m
n
‚ endlich, wenn qi “ 0 für alle i ě i0 für ein i0 P N.
‚ periodisch, wenn es p und i0 P N gibt, so daß für alle i ě i0 gilt:
qi`p “ qi .
Wenn dabei i0 “ 1 ñ reinperiodische Dezimalbruchentwicklung
Wenn dabei i0 ą 1 ñ gemischtperiodische Dezimalbruchentwicklung
Im Folgenden entwickeln wir Kriterien dafür, das Dezimalbruchzerlegungen
endlich, reinperiodisch oder gemischtperiodisch sind.
Satz 7.1. Der vollständig gekürzte, echte Bruch
liche Dezimalbruchentwicklung, wenn
m
n
hat genau dann eine end-
n “ 2a ¨ 5b
In diesem Fall hat die Dezimalbruchentwicklung genau s “ maxpa, bq Stellen.
m
n
Kurz:
Beweis:
”ð”:
endlich ô n hat nur Primfaktoren aus t2, 5u
“:z
hkkkkkkkikkkkkkkj
m
m
2s´a ¨ 5s´b ¨ m
z
2s´a ¨ 5s´b ¨ m
“ a b “ s´a s´b a b “
“
n
2 ¨5
2
¨5 ¨2 ¨5
2s ¨ 5s
10s
z
Da z P N, hat 10s eine endliche Dezimalbruchentwicklung.
Diese hat genau s “ Exponent von 10s Dezimalstellen, denn nach Vorraussetzung und Konstruktion gilt entweder: s ´ a “ 0 oder s ´ b “ 0 und somit 10|z.
” ñ ”:
m
habe eine endliche Dezimalbruchentwicklung der Länge s:
n
ñ
0
,q1 q2 ¨ ¨ ¨ qs
0 ď qi ă 10 , qs ‰ 0
Ò
da măn
Version vom 27. Juli 2016
m
“
n
m ¨ 10s
s
s´1
“ q1 q2 ¨ ¨ ¨ qs “ qloooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooon
` ¨ ¨ ¨ ` qs´1 ¨ 10 ` qs
1 ¨ 10 ` q2 10
n
PN
da ggT pm, nq “ 1)
ñ
s
und 10n¨m P N
n | 10s
93
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Beispiel:
1
1
“ 10
1024
2
“ 0,0009765625
1
1
“ 3
125
5
“ 0,008
endlicher Dezimalbr. mit 10 Stellen
endlicher Dezimalbr. mit 3 Stellen
37
37
“ 3 “ 0,296
125
5
Bemerkung Die Aussage:
hat endliche Dezimalbruchentwicklung. ô Der Nenner hat nur Primfaktoren aus t2, 5u.
gilt auch für ungekürzte Brüche. Allerdings kann man dann aus n “ 2a 5b nicht
die Anzahl der Dezimalstellen ablesen.
Satz 7.2. Sei m
ein vollständig gekürzter, echter Bruch. Die Dezimalbruchn
m
entwicklung von n ist genau dann reinperiodisch, wenn ggT pn, 10q “ 1.
Beweis:
Wiederholte Division
führt:
m “ 0 ¨
10 ¨ r0 “ q1 ¨
10 ¨ r1 “ q2 ¨
..
.
mit Rest, die wie oben zur Dezimalbruchentwicklung
n ` r0
n ` r1
n ` r2
0 ď r0 “ m ă n
0 ď r1 ă n
0 ď r2 ă n
10 ¨ rk´1 “ qk ¨ n ` rk
Annahme: m
nicht endlich!
n
0 ď rk ă n
Kann es dann sein, daß ri0 “ 0 für einen Index i0 ?
Wäre ri0 “ 0, so folgte :
10 ¨ ri0 ´1 “ qi0 ¨ n ` loormo
i0 on
“0
10 ¨ 0 “ 10 ¨ ri0 “ qi0 `1 ¨ n ` ri0 `1 “ 0 ¨ n ` 0
ñ
qi0 `1 “ 0
Version vom 27. Juli 2016
m
n
dito
94
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
damit sind alle folgenden Schritte auch “ 0 und die Dezimalbruchentwicklung
ist endlich!
Also gilt: 0 ă ri ă n @ i
Also, m.a.W.: ri P t1, 2, . . . , n´1u @i, also gibt es nur endlich viele Möglichkeiten. ñ irgendwann muss eine Zahl ein zweites Mal vorkommen: z.B.:
ri0 “ rp`i0
für Indices 1 ď i0 , p
Dabei sei i0 der kleinste Index mit dieser Eigenschaft!
~
Dann sieht der Algorithmus folgendermaßen aus:
..
.
10 ¨ ri0 ´1 “
qi0
¨ n `
ri0
10 ¨ ri0 “
..
.
qi0 `1
¨ n `
ri0 `1
10 ¨ rp`i0 ´1 “
qp`i0
¨ n `
rp`i0
p˚q
“ qp`i0 ¨ n ` ri0
p˚˚q
10 ¨ ri0 “ qp`i0 `1 ¨ n ` rp`i0 `1 “ qi0 `1 ¨ n ` ri0 `1
Ò
qi0 `1
Ò
ri0 `1
..
.
Nach p Schritten wiederholt sich also alles! Insbesondere wiederholen sich auch
die qi1 s:
qp`i0 `1 “ qi0 `1
qp`i0 `2 “ qi0 `2
. . . etc.
Es bleibt z.z.:
Dezimalbruchzerlegung rein periodisch ô ggT pn, 10q “ 1
2
ð2 :
Dazu betrachte die Differenz der Gleichungen (*) und (**):
10 ¨ pri0 ´1 ´ rp`i0 ´1 q “ pqi0 ´ qp`i0 q ¨ n ` loooomoooon
ri0 ´ rp`i0
“0
aus: ggT pn, 10q “ 1
mit: 0 ă ri0 ´1 , rp`i0 ´1 ă n
ñ
n | pri0 ´1 ´ rp`i0 ´1 q
ñ
ri0 ´1 ´ rp`i0 ´1 “ 0
ô
ri0 ´1 “ rp`i0 ´1
Nach Voraussetzung ~ war aber i0 der kleinste Index, der sich wiederholt. Also
muss i0 “ 0 gelten und schon der erste Rest (und alle folgenden) wiederholt
sich, m.a.W.: die Dezimalbruchenrwicklung ist reinperiodisch!
Version vom 27. Juli 2016
n | 10 ¨ pri0 ´1 ´ rp`i0 ´1 q
ñ
95
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
” ñ ”: Sei
m
n
reinperiodisch:
m
“ 0,q1 q2 ¨ ¨ ¨ qs
n
m
¨ 10s “ qloooomoooon
1 q2 ¨ ¨ ¨ qs ,q1 q2 ¨ ¨ ¨ qs
n
|
´z
“:z
m
! m
¨ 10s ´ z “ 0,q1 q2 ¨ ¨ ¨ qs “
n´
n
¯
m
¨ 10s ´ 1 “ z
n ´
¯
ô m ¨ 10s ´ 1 “ z ¨ n
´
¯
s
ñ n | m ¨ 10 ´ 1
´
¯
weil ggT pm, nq “ 1 ñ n | 10s ´ 1
ô
(*)
10s ´ 1 ist ungerade ñ 2|10s ´ 1
ebenfalls gilt sicherlich auch: 5|10s ´ 1
ñ
ggT p10s ´ 1, 10q “ 1
p˚q ñ
ggT pn, 10q “ 1
Bemerkung 7.3. Sobald die ri ’s sich im Algorithmus wiederholen, endet die,
bzw. beginnt eine neue Periode, die qi ’s können sich natürlich zuvor schon
wiederholen.
Beispiele:
“ 0,3
denn:
101 ´ 1 “ 9 “ 3 ¨ 3
Periodenlänge 1
1
333
“ 0,003
denn:
103 ´ 1 “ 999 “ 333 ¨ 3
Aber 333|102 ´ 1 “ 99
Periodenlänge 3
1 “
10 ¨ 1 “
1
10 ¨ 1
10 ¨ 10
10 ¨ 100
0
3
“
“
“
“
¨ 3 `
¨ 3 `
0
0
0
3
¨
¨
¨
¨
333
333
333
333
1
1
` 1
` 10
` 100
` 1
Version vom 27. Juli 2016
1
3
96
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
1
7
“ 0,142857
denn:
106 ´ 1 “ 142857 ¨ 7
Aber 7|105 ´ 1
Periodenlänge 6
5
7
“ 0,714285
1
10 ¨ 1
10 ¨ 3
10 ¨ 2
10 ¨ 6
10 ¨ 4
10 ¨ 5
“
“
“
“
“
“
“
0
1
4
2
8
5
7
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
7
7
7
7
7
7
7
`
`
`
`
`
`
`
1
3
2
6
4
5
1
5
10 ¨ 5
10 ¨ 1
10 ¨ 3
10 ¨ 2
10 ¨ 6
10 ¨ 4
“
“
“
“
“
“
“
0
7
1
4
2
8
5
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
7
7
7
7
7
7
7
`
`
`
`
`
`
`
5
1
3
2
6
4
5
denn:
ebenfalls Periodenlänge 6
Satz 7.4. Die kleinste Zahl s P N mit n | p10s ´ 1q ist die Periodenlänge des
.
gekürzten, echten, und reinperiodischen Bruchs m
n
Bemerkung 7.5. Die Periodenlänge hängt nur vom Nenner, nicht vom Zähler
des gekürzten Bruches ab!
n | p10s ´ 1q. Dann gilt
m ¨ p10s ´ 1q “ n ¨ z
m
¨ p10s ´ 1q “ z
n
m
m
¨ 10s “ z `
n
n
Mit
m
n
(für ein z P N)
“ 0, q1 q2 ¨ ¨ ¨ , ist das äquivalent zu:
q1 q2 ¨ ¨ ¨ qs , qs`1 qs`2 . . . “ z, q1 q2 ¨ ¨ ¨
ñ
q1 q 2 ¨ ¨ ¨ qs “ z
und qs`i “ qi
(für i ě 1)
Version vom 27. Juli 2016
Beweis:
m
sei reinperiodisch und s P N die kleinste Zahl mit
n
auch n | m ¨ p10s ´ 1q und damit:
97
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Beispiele: Konstruiere einen Bruch zu vorgegebener Periode und Periodenlänge:
(1) Periode: z “ 173 und damit Periodenlänge s “ 3. Nun wie im Beweis:
m 3
p10 ´ 1q “ z “ 173
n
m
173
173
ô
“ 3
“
“ 0,173
n
10 ´ 1
999
(2) Periode: z “ 173 aber nun mit Periodenlänge s “ 4.
173
173
m
“
“ 4
“ 0,0173
n
10 ´ 1
9999
ô
(3) Ziffernfolge 3712:
Periodenlänge: s “ 4 ñ
3712
104 ´1
“
3712
9999
Periodenlänge: s “ 6 ñ
3712
106 ´1
“
3712
999999
Aber wenn: s “ 2 ñ
3712
102 ´1
“
3712
99
“ 0,3712
“ 0,003712
“ 37,46
Wiederholung:
m
echter, vollständig gekürzter Bruch (also ggT pm, nq “ 1 und m ă n).
n
alle Primteiler von n aus t2, 5u
ggT pn, 10q “ 1
Welcher Fall bleibt übrig?
Wenn:
m
n
m
n
endlich
reinperiodisch
n hat Teiler aus t2, 5u und noch zusätzlich andere Primteiler:
Die Periodenlänge von
m
n
ist gleich der von
1
.
n2
Beispiel:
n “ 15 “ 5 ¨ 3
Ò
n1
m“8
Ò
n2
n1 “ 5 | 10 “ 101
n2 “ 3 | 101 ´ 1 “ 9
t “ 1 Vorziffer
ñ s “ 1 Periodenlänge
Version vom 27. Juli 2016
Satz 7.6. Der vollständig gekürzte echte Bruch m
besitzt genau dann ein
ne gemischt-periodische Dezimalbruchentwicklung (mit t Vorziffern), wenn
n “ n1 ¨ n2 mit n1 | 10t (dabei ist t minimal mit dieser Eigenschaft) und
ggT pn2 , 10q “ 1.
98
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Dezimalbruchentwicklung:
8 “ 0 ¨ 15 ` 8
10 ¨ 8 “ 5 ¨ 15 ` 5
10 ¨ 5 “ 3 ¨ 15 ` 5
ñ
8
“ 0,53
15
Beweis:
Aus n1 | 10t folgt: n1 ¨ q “ 10t für einen Teiler q P N von 10t .
m
m
m¨q
1 m¨q
“
“ t
“ t¨
n
n1 ¨ n2
10 ¨ n2
10
n2
Aus q P T10t und ggT pn2 , 10q “ 1 folgt ggT pn2 , qq “ 1
ist vollst. gekürzt und hat eine reinperiodische Dezimalbruchentwickñ m¨q
n2
lung.
ñ m¨q
“ q0 , q1 q 2 ¨ ¨ ¨ qs
n2
Daraus folgt:
(q0 P N kann aus mehreren Ziffern bestehen)
1 m¨q
¨
“ 0, 0loomoon
¨ ¨ ¨ q0 q1 q2 ¨ ¨ ¨ qs
10t n2
t Stellen
Umkehrung ohne Beweis!
7.2. Kettenbrüche.
Beispiel
3
“2`
und weiter?
“2`
1
4`
1
“2`
3
2
1
2
1
4 ` 1`1 1
1
1` 12
1
“2`
4 ` 1`1 1
1
nichts passiert weiter, weil
2
3
2
1
4`
1
4`
2
ein Stammbruch ist.
Der Algorithmus bricht ab, sobald man einen Stammbruch erhält!
Version vom 27. Juli 2016
31
3
“2`
14
14
1
“ 2 ` 14 “ 2 `
99
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Die Kettenbruchdarstellung von 31
wird zum Teil auch durch die Folge r2, 4, 1, 2s
14
abgekürzt, man kann also abkürzen:
31
1
statt
“2`
“ r2, 4, 1, 2s
14
4 ` 1`1 1
2
Den Kettenbruch kann auch mittels des Euklidischen Algorithmus’ berechnet
werden:
31
( 14
“2`
31 “ 2 ¨ 14 ` 3
3
( 14
“
14 “ 4 ¨ 3 ` 2
1
14
3
1
3
)
14
“
1
4` 23
)
“
1
1` 12
)
3“ 1 ¨2`1
( 32 “
2“ 2 ¨1`0
(bei Rest 0 bricht es ab)
3
2
Bemerkung 7.7. Dieser Algorithmus läßt sich auf jede positive rationale Zahl
anwenden und bricht immer ab. (wg. Euklidischem Algorithmus)
Bedeutung: Die Kettenbruchdarstellung approximiert den gegebenen Bruch
31
(hier im Beispiel 14
) schrittweise immer besser:
Approximation Kettenbruch
31
14
2
31
14
1-te von
31
14
2`
1
4
2-te von
31
14
2`
1
4` 11
3-te von
31
14
2`
31
14
1
4`
1
1` 1
2
´2“
3
14
« 0,214
1
´ p2 ` 41 q “ ´ 28
« ´0,0357
31
14
´ p2 `
1
4` 11
31
14
q“
´ p2 `
1
70
« 0,0143
1
4`
1
1` 1
2
q“0
Version vom 27. Juli 2016
0-te von
Differenz/Ungenauigkeit
100
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Anwendung: Kalender
1 tropisches Jahr: 365d 5h 48min 45,8s
Der ”Teil-Tag” soll durch einen Bruch approximiert werden:
ˆ
˙
1
48 45,8
h
min
s
5 48 45,8 “
5`
` 2
24
60
60
ˆ
˙
48 45 ` 45
1
5`
`
“
24
60
602
“
(”Tage”)
104629
52 ¨ 602 ` 48 ¨ 60 ¨ 5 ` 45 ¨ 5 ` 4
“
2
24 ¨ 60 ¨ 5
432000
Kettenbruchentwicklung via Euklidischem Algorithmus:
Division mit Rest
Approximation
0-te 104629 “ 0 ¨ 432000 ` 104629
0
0`
1
4
1-te
432000 “ 4 ¨ 104629 ` 13484
2-te
104629 “ 7 ¨ 13484 ` 10241
3-te
13484 “ 1 ¨ 10241 ` 3243
4-te
10241 “ 3 ¨ 3243 ` 512
..
.
5-te
3243 “ 6 ¨ 512 ` 171
..
.
6-te
512 “ 2 ¨ 171 ` 170
..
.
7-te
171 “ 1 ¨ 170 ` 1
0`
1
0`
4`
Interpretation:
1
7` 1
1
1
4` 7`
1
..
. ...`
Es folgt:
104629
“
432000
4`
1
4` 17
1
1
1` 170
1
1
7`
1
1`
1
3`
6`
2`
1
1
1
1
1` 170
Version vom 27. Juli 2016
Nr.
101
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
104629
432000
1-te Approx.:
104629
432000
2-te Approx.:
«
..
.
5-te Approx
1
4` 17
«
“
1
4
Julianischer Kalender mit einem
Schalttag alle 4 Jahre
7
29
..
.
104629
432000
«
1
4`
“
1
7`
1
194
801
« 0,2422 ñ gregorianischer Kalender
1` 1 1
3` 6
Version vom 27. Juli 2016
In 400 Jahren summiert sich dieser Bruchteil eines Tages auf:
194
¨ 400 « 96,8789 « 97 Tage
801
Sinnvollerweise muss es also in 400 Jahren mit je 365 Tagen zusätzlich 97
Schalttage geben um bestmöglich 400 tropische Jahre auszumachen. Das wird
im Gregorianischen Kalender realisiert: jedes vierte Jahr einen Schalttag machen 100 Schalttage in 400 Jahren, aber die Jahrhundertregel (nur die Jahrhunderte ” 0 mod 4 sind Schaltjahre) bewirkt, daß unter den vier JahrhundertJahren innerhalb 400 Jahren nur ein Jahrhundert-Jahr Schaltjahr ist, drei
Schaltjahre/Tage fallen also weg, also gibt es im Gregorianischen Kalender
innerhalb 400 Jahren nur 97 Schaltjahre/Tage.
102
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
8. Teilbarkeitsregeln
WDH. Für a, b, c, d P Z und t P N gilt:
,
/
/
/
.
a ” b mod t/
Addition von Kongruenzen:
ñ
a ` c ” b ` d mod t
c ¨ a ” c ¨ b mod t
/
/
/
c ” d mod t/
Multiplikation von Kongruenzen
a ” b mod t
ñ
Potenzieren von Kongruenzen
a ” b mod t
ñ an ” bn mod t @n P N
Zusätzlich gilt
$
&a “ q ¨ t ` r
1
a ” b mod t ô
%b “ q2 ¨ t ` r
das heißt, sind a und b kongruent modulo t, so haben sie bei Division durch
t denselben Rest r. Für Teilbarkeitsuntersuchungen bezüglich einer Zahl t gilt
damit:
a ” b mod t ô a und b haben dieselben Teilbarkeitseigenschaften bzgl. t
Anders formuliert:
Wenn a ” b mod t, so gilt: a ist genau dann durch t teilbar, wenn auch b
durch t teilbar ist.
8.1. Endstellenregeln.
Schreibweise:
analog:
m
n´1
zn zn´1 . . . z1 z0 “ zn ¨ 10 ` zn´1 ¨ 10
0
¨ ¨ ¨ z1 ¨ 10 ` z0 ¨ 10 “
n
ÿ
i“0
für Ziffern 0 ď zi ď 9,
i “ 0, . . . , n,
zn ‰ 0.
Satz 8.1. zn zn´1 ¨ ¨ ¨ z1 z0 ” zo mod t für alle Teiler t von 10.
zi ¨ 10i
Version vom 27. Juli 2016
65 432 “ 6 ¨ 104 ` 5 ¨ 103 ` 4 ¨ 102 ` 3 ¨ 10 ` 2
103
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Folgerung
Eine natürliche Zahl z (Basis 10) ist genau dann durch 2 (bzw. 5, bzw. 10)
teilbar, wenn ihre Endziffer z0 durch 2 (bzw.5, bzw. 10) teilbar ist.
Beweis:
Es gilt
10 ” 0
mod t ô t | p10 ´ 0q “ 10
ô t P t1, 2, 5, 10u “ T10
ñ
ñ
n
ÿ
ñ
ñ
zn zn´1 ¨ ¨ ¨ z1 z0 “
i“1
n
ÿ
10i ” 0
mod t für
t P T10
und i ě 1
zi ¨ 10i ” 0
mod t für
t P T10
und i ě 1
zi ¨ 10i ” 0
mod t für
t P T10
und i ě 1
i
zi ¨ 10 “
i“0
n
ÿ
z1 ¨ 10i ` z0 ” z0
mod t
i“1
Geht das auch in anderen Stellenwertsystemen?
Sei b ą 1 eine Basis eines Stellenwertsystems.
ñ
b”0
mod t @ t P Tb
Eine Zahl im b-System:
zÌb “
n
ÿ
zi bi “ zn zn´1 ¨ ¨ ¨ z1 z0
mit 0 ď zi ă b
i“0
ñ
zÌb “
n
ÿ
zi bi ` z0 ” z0
mod t für t P Tb
Korollar 8.2. Eine natürliche Zahl zÌ
b (dargestellt mittels der Basis b ą 1)
ist genau dann durch einen Teiler t von b teilbar, wenn ihre Endziffer z0 durch
t teilbar ist.
Beispiel: b “ 8
Untersuche ob 4 die Zahl 152Ì
8 teilt!
2
1
152Ì
8 “ 1¨8 `5¨8 `2 ” 2
mod 4
aber 4|2 !!
Neue Frage: Welche Zahlen sind durch 4 teilbar?
da
4|8
Version vom 27. Juli 2016
i“1
104
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Dazu
z0 P V4 Y t0u,
z0 ă 8
ñ z0 P t0, 4u
Also alle Zahlen mit den Endziffern 0 oder 4 sind durch 4 teilbar.
und 4 | 154Ì
4 | 150Ì
b
8
z.B.:
Translation ins Dezimalsystem:
2
150Ì
8 “ 8 ` 5 ¨ 8 ` 0 “ 104 “ 4 ¨ 26 X
Beispiel: b “ 6, t “ 3
Endziffern z0 ă 6 mit 3 | z0 ñ z0 P t0, 3u
3 | 570Ì
6,
ñ
3 | 573Ì
6
aber
3|571Ì
6,
3|572Ì
6,
3|574Ì
6,
3|575Ì
6
Endstellenregeln 2ter Ordnung
Es geht um die Teilbarkeit von Teilern von 100 “ 102 bzw. t P Tb2 im b-System.
Dazu:
100 “ 102 ” 0
mod t @t P T102
bzw. b2 ” 0
mod t @t P Tb2
Satz 8.3 (Basis 10).
zn zn´1 ¨ ¨ ¨ z1 z0 “
n
ÿ
zi 10i ” z1 ¨ 10 ` z0 “ z1 z0
mod t @t P T102
i“0
Damit gilt: Eine Zahl z P N ist genau dann durch einen Teiler t von 100
teilbar, wenn ihre aus den letzten beiden Ziffern gebildete zweistellige Zahl (im
Dezimalsystem!!) durch t teilbar ist:
ô
t | z1 z0
Insbesondere folgen daraus die bekannten Teilbarkeitsregeln für 4 “ 22 und
25 “ 52 !
Satz 8.3 hat auch wieder ein Analogon für die beliebige Basis b!
Umformulierung für t “ 22 “ 4:
ř
Eine natürliche Zahl z “ ni“0 zi 10i ist genau dann durch 4 teilbar, wenn
2z1 ` z0 durch 4 teilbar ist.
Version vom 27. Juli 2016
t | zn zn´1 ¨ ¨ ¨ z1 z0
105
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Beweis:
nach Satz 8.3 gilt:
4 | z ô 4 | z1 ¨ 10 ` z0
ô z1 ¨ 10 ` z0 ” 0
ô z1 ¨ 2 ` z0 ” 0
mod 4
mod 4
(da 10 ” 2
mod 4)
Endstellenregeln 3ter Ordnung
Aus 1000 “ 103 ” 0 mod t für alls t P T103 folgt analog:
t|z “
n
ÿ
zi 10i “ zn zn´1 ¨ ¨ ¨ z1 z0
ô
t | z2 z1 z0 “ z2 ¨100`z1 ¨10`z0
@t P T103
i“0
Analoges kann man auch wieder im Stellenwertsystem zur Basis b ą 1 formulieren!
8.2. Quersummenregeln.
Schritt 1 Gebe Deinem Mitspieler eine Streichholzschachtel mit mindestens 10
Hölzern.
Schritt 2 Lasse den Mitspieler die Hölzer zählen (er soll die Anzahl geheimhalten!) die Anzahl ist eine Zahl n zwischen 10 und 38. Dann gilt
n “ z1 ¨ 10 ` z0 mit z1 P t1, 2, 3u und z0 P t0, 1, . . . , 9u
Schritt 3 Fordere den Mitspieler auf: Bilde die Quersumme Qpnq (nicht verraten)
Qpnq “ z1 ` z0
Schritt 4 Fordere den Mitspieler auf: Entferne Qpnq Hölzer aus der Schachtel
Schritt 5 Behauptung: Du kannst nun (ohne abzuzählen) abschätzen, wieviele
Hölzer noch in der Schachtel sind!
Die Anzahl ist n´Qpnq “ pz1 ¨10`z0 q´pz1 `z0 q “ z1 ¨10´z1 “ z1 ¨9,
Da z1 P t1, 2, 3u, können es nur 9, 18 odet 27 Hölzer sein.
Teilbarkeit durch 3 und 9:
ř
Satz 8.4. Eine natürliche Zahl z “ ni“0 zi ¨ 10i ist genau dann durch einen
ř
Teiler t von 9 teilbar, wenn ihre Quersumme ni“0 z i durch t teilbar ist.
Version vom 27. Juli 2016
Streichholzspiel:
106
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Beweis t P T9 “ t1, 3, 9u, also t “ 3 oder 9, da 1 uninteressant.
Aus
10 ” 9 ` 1 p“ 3 ¨ 3 ` 1q
10 ” 1
mod t
10i ” 1
mod t
für i P N0
zi ¨ 10i ” zi
mod t
für i P N0
ñ
ñ
ñ
z“
folgt
n
ÿ
zi 10i ”
i“0
n
ÿ
zi
mod t
i“0
Läßt sich die Idee des Beweises verallgemeinern?
Ja, benutze:
102 “ 99 ` 1 ” 1
mod t
für t P T99
und schreibe:
z“
n
ÿ
zi 10i “ . . . ` pz2j`1 ¨ 10 ` z2j q ¨ 102j ` ¨ ¨ ¨ ` pz3 ¨ 10 ` z2 q ¨ 102 ` pz1 ¨ 10 ` z0 q
i“0
” . . . ` pz2j`1 ¨ 10 ` z2j q ` ¨ ¨ ¨ ` pz3 ¨ 10 ` z2 q ` pz1 ¨ 10 ` z0 q mod t
für t P T99
“ .loooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooon
. . pz2j`1 z2j q ` ¨ ¨ ¨ ` pz3 z2 q ` pz1 z2 q
Quersumme 2ter Ordnung
738514 ” 73 ` 85 ` 14
“ 172
” 1 ` 72
“ 73
Aber t|73
ñ
t|738514
mod t
mod t
Version vom 27. Juli 2016
Korollar 8.5. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch einen Teiler t von
99 teilbar, wenn ihre Quersumme 2-ter Ordnung durch t teilbar ist.
Da T99 “ t1, 3, 9, 11u erhalten wir damit insbesondere eine Teilbarkeitsregel
für 11!!
Beispiel: Sei t P t1, 3, 9, 11u
107
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Weitere Verallgemeinerungen:
1000 “ 103 “ 999 ` 1 ñ Teilbarkeitsregeln für Teiler von 999 mittels
Quersumme 3-ter Ordnung.
Da 999 “ 33 ¨ 37 liefet das z.B. Teilbarkeitsregel für 37.
..
.
Alternierende Quersummenregeln:
z“
n
ÿ
i
zi 10
alternierende Quersumme
ñ
1
Q pzq :“
i“0
Beispiel:
n
ÿ
p´1qi zi
i“0
Q1 p3712q “ ´3 ` 7 ´ 1 ` 2 “ 5
Satz 8.6.
11 teilt z
ô
11 teilt Q1 pzq
Beweis
10 “ 11 ´ 1 ” ´1
mod 11
.. ..
. .
z“
n
ÿ
i“0
zi 10i ”
n
ÿ
zi p´1qi “ Q1 pzq mod 11
i“0
11
13846173 ” ´1 ` 3 ´ 8 ` 4 ´ 6 ` 1 ´ 7 ` 3 “ ´11 ” 0
ñ
Verallgemeinerungen
Idee: 100 “ 102 “ 101 ´ 1 ” ´1 mod 101
Da 101 PZ, liefert das nur Teilbarkeitsregeln für 101.
mod 11
11 | 13846173
Version vom 27. Juli 2016
Beispiel:
108
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Aber 1001 “ 7 ¨ 11 ¨ 13 liefert Teilbarkeitsregeln für 7 und 13 und eine weitere
für 11:
103 “ 1001 ´ 1 ” ´1
mod t
(für t P T1001 )
..
.
z “ ¨ ¨ ¨ ` pz5 102 ` z4 10 ` z3 q ¨ p103 q1 ` pz2 102 ` z1 10 ` z0 q ¨ p103 q0
” ¨ ¨ ¨ ` pz5 102 ` z4 10 ` z3 q ¨ p´1q1 ` pz2 102 ` z1 10 ` z0 q ¨ p´1q0
mod t
“ loooooooooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooooooooon
¨ ¨ ¨ ´ pz5 102 ` z4 10 ` z3 q ` pz2 102 ` z1 10 ` z0 q
alternierende Quersumme 3-ter Ordnung
Korollar 8.7. Für t P T1001 gilt:
t teilt z ô t teilt die alternierende Quersumme 3-ter Ordnung von z
Beispiel: t “ 7
loo681
moon loo359
moon loo126
moon ” `681 ´ 359 ` 126
mod 7
“ 448
“ 64 ¨ 7 ” 0
mod 7
ñ
7 | 681 359 126
Bemerkung: Auch hier gibt es Verallgemeinerungen auf andere Stellenwertsysteme.
Teilbarkeit durch 7:
Beispiel: Frage: ist 65 625 durch 7 teilbar?
6 5 6 2 5
´
1 0
10 “ 2 ¨ 5
6 5 5 2
´
4
4 “ 2¨2
6 5 1
´
2
2 “ 2¨1
6 3
“9 ¨ 7
Also auch 7 | 65 625
Beschreibung:
(1) Streiche letzte Ziffer ñ Stellen verschieben sich nach rechts!
(2) Subtrahiere (von der neuen Zahl) das Doppelte der gestrichenen Ziffer.
(3) Wenn nötig beginne mit Algorithmus von neuem.
Version vom 27. Juli 2016
8.3. Weitere Teilbarkeitsregeln für Primzahlen.
109
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Warum, was passiert hier??
Benutzt werden folgende Aussagen:
20 ` 1 “ 21 ” 0
z ¨ 10 ” 0
mod 7
ô
mod 7
z”0
(8)
mod 7
(9)
(9) in Worten: z ¨ 10 ist genau dann durch 7 teilbar, wenn z durch 7 teilbar ist.
65 625 “ 6 ¨ 104 ` 5 ¨ 103 ` 6 ¨ 102 ` 2 ¨ 10 ` 5
hkkkikkkj
“ 6 ¨ 104 ` 5 ¨ 103 ` 6looooooooomooooooooon
¨ 102 ´ 2 ¨ 5 ¨ 10 ` 2 ¨ 10 `
“5¨102
(Schritt 1)
hkkkikkkj
ploooooomoooooon
2 ¨ 5 ¨ 10 `5q
p20`1q¨5“21¨5”0
mod 7
” 6 ¨ 104 ` 5 ¨ 103 ` 5 ¨ 102 ` 2 ¨ 10 mod 7
´
¯
“ 6looooooooooooooooomooooooooooooooooon
¨ 103 ` 5 ¨ 102 ` 5 ¨ 101 ` 2 ¨ 10 “ z1 ¨ 10 “ 6 552 ¨ 10
“:z1 “6 552
mit (9) 65 625 ” 0
mod 7
z1 ” 0 mod 7
hkkkikkkj
hkkkikkkj
z1 “ 6 552 “ 6 ¨ 103 ` 5 ¨ 102 ` 5loooooooomoooooooon
¨ 10 ´ 2 ¨ 2 ¨ 10 ` ploooooomoooooon
2 ¨ 2 ¨ 10 `2q
ô
1¨10
3
21¨2”0
(Schritt 2)
mod 7
2
” 6 ¨ 10 ` 5 ¨ 10 ` 1 ¨ 10 mod 7
´
¯
2
1
“ loooooooooomoooooooooon
6 ¨ 10 ` 5 ¨ 10 ` 1 ¨ 10 “ z2 ¨ 10
“:z2 “651
mit (9) z1 ” z2 ¨ 10 ” 0
mod 7 ô z ” 0
hkkikkj hkkikkj 2
z2 “ 6 ¨ 102 ` 5 ¨ 10 ´ 2 ¨ 10 `plooooomooooon
2 ¨ 10 `1q
“21”0
mod 7
(Schritt 3)
mod 7
2
” 6 ¨ 10 ` 3 ¨ 10 mod 7
`
˘
“ 6loooomoooon
¨ 10 ` 3 ¨ 10 “ 63 ¨ 10 “ 9 ¨ 7 ¨ 10 ” 0
mod 7
(oder:)
z3 “ loooooooomoooooooon
6 ¨ 10 ´ 3 ¨ 2 ¨ 10 ` 3loooooomoooooon
¨ 2 ¨ 10 ` 3
“0
”0
“3¨21”0
mod 7
mod 7
Teilbarkeit durch 11
Beispiele: Untersuche ob 11 ein Teiler von 4785 bzw. 4766 ist:
Version vom 27. Juli 2016
“:z3
110
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
4
7 8 5
´ 5
ˇ
4 7 3
ñ ja! ˇˇ
´ 3
ˇ
11 | 4785 ˇ
4 4
´ 4
0
Warum, was passiert hier?? Benutze
z ¨ 10 ” 0
4
7
´
4 7
´ 0
4 7
6 6
6
0
Aus 11|47 ñ
nein! 11|4766
wie oben:
mod 11
ô
z”0
mod 11
(10)
4785 ” p4785 ´ 5 ¨ 11q mod 11
“ 4730 “ 473 ¨ 10
473 ” 473 ´ 3 ¨ 11
mod 11
“ 44 “ 4 ¨ 11 ” 0
( wegen (10) genügt es 473 zu untersuchen)
mod 11
Weitere Verallgemeinerungen möglich!! (vgl. [P], p. 181)
9. Vollkommene Zahlen
9.1. Beispiele und Definition.
T6 “ t1, 2, 3, 6u
Summe der Teiler
ř
iPT6
i “ 1 ` 2 ` 3 ` 6 “ 12 “ 2 ¨ 6
Weitere Zahlen mit dieser Eigenschaft:
ř
28 :
iPT28 i “ 1 ` 2 ` 4 ` 7 ` 14 ` 28 “ 4 ¨ 14 “ 2 ¨ 28
Aber das gilt nicht immer:
Version vom 27. Juli 2016
Beispiel
Zahl 6 :
111
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
3:
ř
4:
ř
5:
ř
7:
ř
8:
..
.
ř
iPT3
iPT4
iPT5
iPT7
iPT8
ř
12 :
iPT12
i “1`3“4
ă
2¨3
i “1`2`4“7
ă
2¨4
i “1`5“6
ă
2¨5
i “1`7“8
ă
2¨7
i “ 1 ` 2 ` 4 ` 8 “ 15
ă
2¨8
i “ 1 ` 2 ` 3 ` 4 ` 6 ` 12 “ 28 ą 2 ¨ 12
Eine Zahl n P N heißt vollkommen, wenn die Summe ihrer positiver Teiler
gleich 2 ¨ n ist, d.h.
ÿ
i“2¨n
iPTn
ř
n heißt defizient, wenn iPTn i ă 2 ¨ n
ř
n heißt abundant, wenn iPTn i ą 2 ¨ n
Satz 9.1 (Satz von Euklid (ca 300 v.Chr.)).
ist 2p´1 p2p ´ 1q eine vollkommene Zahl.
Beweis:
Sei n “ 2p´1 p2p ´ 1q mit 2p ´ 1 PZ.
,
/
p
T2p ´1 “ t1, 2 ´ 1u weil PZ .
1
2
p´1
T2p´1 “ t1, 2 , 2 , . . . , 2
ñ
ñ
Ist 2p ´ 1 eine Primzahl, dann
2p´1 und 2p ´ 1 sind teilerfremd
/
u -
Tn “ T2p´1 p2p ´1q “ t1, 2, 22 , . . . , 2p´1 ,
1p2p ´ 1q, 2p2p ´ 1q, 22 p2p ´ 1q, . . . , 2p´1 p2p ´ 1qu
iPTn
(
((((
1`
2`
22(`(¨ ¨ ¨ ` 2p´1 q ` p1 ` 2 ` 22 ` ¨ ¨ ¨ ` 2p´1 qp2p
´1q
i “ p(
((
((
“ p1 ` 2 ` 22 ` ¨ ¨ ¨ ` 2p´1 q2p
p´1
ÿ
“
k“0
p
2i ¨ 2p
2 ´1 p
¨ 2 “ p2p ´ 1q ¨ 2p
2´1
“ 2 ¨ 2p´1 p2p ´ 1q “ 2 ¨ n
“
(geometrische Reihe
řp´1
k“0
ř
i
( s´1
k“0 q “
2i )
q s ´1
)
q´1
Version vom 27. Juli 2016
ÿ
ñ
112
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Ist 2 ´ 1 eine
p
p
Satz 9.2 (Notwendige Bedingung für 2 ´ 1 “ Primzahl).
Primzahl, so auch p.
Beweis:
Beweis durch Widerspruch: z.z.: Ist p zusammengesetzte Zahl, so auch 2p ´ 1.
Schreibe die zusammengesetzte Zahl p als nichttriviales Produkt: p “ a ¨ b mit
1 ă a, b ă p.
Wir wollen folgendes benutzen:
s´1
ÿ
qk “
k“1
qs ´ 1
q´1
ô
pq ´ 1q
s´1
ÿ
qk “ qs ´ 1
k“0
a
Mit q “ 2 und s “ b:
˜
¸
b´1
ÿ
p2a ´ 1q ¨
p2a qk “ p2a qb ´ 1 “ 2a¨b ´ 1 “ 2p ´ 1
k“0
loooooooooooomoooooooooooon
zusammengesetzt!
Die linke Seite ist eine zusammengesetzte Zahl, also auch die rechte Seite der
Gleichung!
M.a.W.:
p zusammengesetzt ñ
2p ´ 1 zusammengesetzt!
Umkehrung von Euklid:
Ist n eine gerade vollkommene Zahl, so gilt
n “ 2p´1 p2p ´ 1q und
Beweis:
n gerade ñ n “ 2p´1 ¨ u,
Dann gilt sicherlich p ą 1.
Wäre u “ 1 ñ
2p ´ 1 ist Primzahl.
mit u P N ungerade, also ggT pn, 2q “ 1
n “ 2p´1
ñ
Tn “ T2p´1 “ t1, 2, 22 , 23 , . . . , 2p´1 u
ÿ
ñ
tPTn
t“
p´1
ÿ
2i “
i“0
Widerspruch zu n vollkommen!!!
Also u ‰ 1.
2p ´ 1
“ 2p ´ 1 ă 2p “ 2 ¨ 2p´1 “ 2n
‰
2´1
Version vom 27. Juli 2016
Satz 9.3 (Euler, 18 Jd.).
113
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Sei
t P Tn “ T2p´1 u
t “ 2i ¨ d
˜
¸
ÿ
ÿ
t“
d ¨ p1 ` 2 ` ¨ ¨ ¨ ` 2p´1 q
(mit d | u und i ď p ´ 1)
ñ
ñ
tPTn
dPTu
˜
¸
ÿ
¨ p2p ´ 1q
d
“
(wieder geometrische Reihe benutzt)
dPTu
“ 2 ¨ n “ 2p ¨ u
Also
(da n vollkommen)
˜
¸
ÿ
d
¨ p2p ´ 1q “ 2p ¨ u
(11)
dPTu
Aber:
ÿ
d “ loomoon
1 ` ¨¨¨ ` u “ s ` u ą u
dPTu
für ein s ě 1
“:s
Aus Gleichung (11) wird dann:
pu ` sq ¨ p2p ´ 1q “ 2p ¨ u
u
¨ 2p ´ u ` s ¨ p2p
ô
´ 1q “ 2p¨
u
u “ p2p ´ 1q ¨ s
ô
ñ
wäre s ‰ 1
ñ
s | u und s ă u
(denn 2p ´ 1 ą 21 ´ 1 “ 1)
ÿ
u`s“
d “ 1 ` ¨¨¨ ` s ` ¨¨¨ ` u ą s ` u
dPTu
ñ
s“1
ÿ
ñ
d“u`1
ñ
u Primzahl
dPTu
ñ
u “ p2p ´ 1q ¨ s “ 2p ´ 1 Primzahl
Zusammenfassung:
Satz 9.4 (Euler-Euklid). Eine gerade Zahl n ist genau dann vollkommen,
wenn sie von der folgenden Form ist:
n “ 2p´1 p2p ´ 1q
mit einer Primzahl 2p ´ 1
Version vom 27. Juli 2016
114
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
10. Fibonaccizahlen, Goldener Schnitt und Irrationalität
Die Sache mit den Kaninchen:
Ein neu geborenens Kaninchenpaar wirft von Ende des zweiten Lebensmonats
an jeden Monat ein Paar Junge
Satz 10.1 (Rekursionsformel der Fibonacci-Zahlen).
f1 “ 1
f2 “ 2
fn “ fn´2 ` fn´1
Die Folge beginnt mit:
r1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .s
/
1
1
nnn
nnn
1
1
rrr
r
r
r
nnn
rrr
nnn
2
1
1
rr
rr
r
r
r
r
rr
rr
nnn
rrr
rrr
nnn
3
3
1
1
rr
rr
rr
r
r
r
r
r
r
rr
rr
rr
nnn
rrr
rrr
rrr
nnn
6
4
1
r1
r4
rrr rrrrr
rr
rr
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
rr
rr
rrr
rrr
5
10 r 10
5
1
rrr rrrr
rr
r
r
r
r
r
rr
rrr
rr
rrr
20
15
6
15
6
1
rr
rr
r
r
r
r
rr
rr
rrr
rr
7
21
35
35
21
||
f1 “ 1
f2 “ 1
/ f3 “ 2
/ f4 “ 3
/ f5 “ 5
/ f6 “ 8
/ f7 “ 13
/ f8 “ 21
/ f9 “ 34
/
1
1
7
1
ϕ ist der unendliche Kettenbruch:
ϕ :“ 1 `
1
1`
1`
?
1
5
“ r1, 1, . . .s “
`
« 1,62 . . .
2
2
Beh.
1
1
1`¨¨¨
Satz 10.2.
qn “
fn`2
fn`1
Version vom 27. Juli 2016
Fibonaccizahlen und ϕ
115
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Beweis:
Durch Induktion:
n“0:
f2
f1
“
1
1
“ 1 “ q0
n“1:
f3
f2
“
2
1
“ 2 “ q1
n ´ 1 ñ n : Vor.: qn´1 “
qn
fn`1
fn
“ 1`
1 Ind.Vor.
“
qn´1
1`
fn
fn`1
“
fn`1 `fn RF fn`2
“ fn`1
fn`1
Satz 10.3.
ϕ “ lim qn “
nÑ8
? ¯
1´
1 ` 5 “ Goldener Schnitt
2
Beweis:
Wegen der Kettenbruchdarstellung von ϕ gilt:
1`
ñ
ô
1
“ϕ
ϕ
| ¨ϕ
ϕ ` 1 “ ϕ2
ϕ2 ´ ϕ ´ 1 “ 0
x1{2
Da ϕ ą 0 folgt ϕ “ x1 “
1
2
`
1
“ ˘
2
c
1
“ ˘
2
c
1`
1
`1
4
(Lösung mit pq-Formel)
? ¯
5
1´
“
1˘ 5
4
2
? ˘
5 .
Korollar 10.4. Der Goldene Schnitt ϕ ist die positive Lösung der quadratischen algebraischen Gleichung:
Insbesondere ist ϕ ist eine algebraische Zahl.
Satz 10.5.
ϕn “ fn´1 ` fn ϕ
Beweis:
Beweis durch vollständige Induktion:
n“2
ϕ2 “ 1 ` ϕ “ f1 ` f2 ϕ.
für
ně2
Version vom 27. Juli 2016
ϕ2 “ ϕ ` 1
116
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Der Induktionsschritt n ´ 1 Ñ n:
ϕn “ ϕn´1 ¨ ϕ
“ pfn´2 ` fn´1 ϕqϕ
(nach Induktionsvoraussetzung)
“ fn´2 ϕ ` fn´1 ϕ2 “ fn´2 ϕ ` fn´1 p1 ` ϕq
“ fn´1 ` pfn´1 ` fn´2 qϕ “ fn´1 ` fn ϕ
Ebenso gibt es eine Rekursionsformel für die negativen ϕ-Potenzen
Satz 10.6.
1
“ p´1qn pfn`1 ´ fn ϕq für n ě 1.
n
ϕ
10.1. Das regelmäßige 5-Eck - Goldener Schnitt.
Es gibt kein gemeinsames Maß für die Diagonale und Seite des regelmäßigen
Fünfecks.
D.h. Die Diagonale und die Seite sind inkommensurabel!
d₁
d₁
a
a
ñ Folge pdn , an qnPN
Annahme:
d“n¨e
Beweis:
Hintereinander Einsetzen :
“ a1 ` d 1
d1 “ a1 ` d2 a1 ą “ a2 ` d2
..
..
.
.
a₁
a
“ a ` d1
a“m¨e
mit n, m P N.
Version vom 27. Juli 2016
d
d
117
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
d1 “ d ´ a “ n1 ¨ e
a1 “ a ´ d1 “ m1 ¨ e
d2 “ d1 ´ a1 “ n2 ¨ e
a2 “ a1 ´ d2 “ m2 ¨ e
..
.
..
.
mit ni , mi P N.
Aber: Die Zahlen dn und an werden bei jedem Schritt mehr als die Hälfte
kleiner:
dn
an
dn`1 ă
an`1 ă .
2
2
ñ Irgendwann gilt:
dn ă e
an ă e
für ein
n P N.
Goldener Schnitt: Was hat das mit dem Goldenen Schnitt zu tun?
Der Goldene Schnitt ist ein Streckenverhältnis:
~
x
1
|
|
#
|
Drei Längen:
Lang L “ 1 ` x, Mittel M “ x, Kurz S “ 1
Mit der folgendermaßen vorgeschriebenen Relation der Verhältnisse:
L
M
“
M
S
x2 ´ x ´ 1 “ 0
x1{2 “
1˘
?
?
1`4
1˘ 5
“
2
2
es muss ` heißen, da negative Lösungen für Strecken keinen Sinn machen
?
1` 5
Lösung: M “ L ´ K “ x “
“: ϕ » 1, 618 . . . .
2
Version vom 27. Juli 2016
1`x
x
“
x
1
1 ` x “ x2
118
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Für 0 ă M ă L gilt: M teilt L im goldenen Schnitt, wenn:
`
˘
L
M
L“ϕ¨M
ô
“ϕ
ô M “ ϕ ¨ pL
´ Mq ô
“ϕ
looomooon
M
L´M
K
M=a
Zusammenhang zum Fünfeck:
K “ d1 “ d ´ a “ L ´ M
Strahlensatz:
K=d₁
L
M
“
M
K
L
d
dn
“ “
“ϕ
M
a
an
L=d
M=a
Annahme: ϕ “
p
P Q, also
q
ñ
ϕ“
ñ
d
p
“ϕ“
a
q
ñ
d
a
“
p
q
Sei e :“
?
1` 5
2
?
1` 5
2
a
d
“
p
q
irrational????
wäre rational!
Version vom 27. Juli 2016
Warum ist ϕ “
119
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Dann gilt:
a“p¨e
und
d“q¨e
Also muss ϕ und damit auch
ñ d, e sind kommensurabel
?
5 irrational sein!
10.2. Aperiodische Plasterungen.
Penrose (1973):
2 Fliesen:
Kite und Dart
Seitenverhältnisse:
Goldener Schnitt ϕ
Verlegevorschrift: Lege
Punkte aneinander
Penrose Pflaster
(1) Mit elementaren Argumenten läßt sich zeigen, daß diese Penrosepflaster
immer aperiodisch sind
(2) Es gibt 8-viele verschiedene Penrose Pflaster, von einem kleinen Ausschnitt aus lässt sich aber nicht feststellen, welches man hat
1966: Robert Berger erfindet ein nichtperiodische Parkett mit 20 426
Grundbausteinen. Diese kann er darauf noch auf 104 Elemente reduzieren.
1971: Raphael Robinson: Nichtperiodisches Parkett mit 6 Grundbausteinen.
1973: Unabhängig von Robinson erfindet Roger Penrose ebenfalls ein
nicht-periodische Parkett mit 6 Grundbausteinen, diesen kann er sogar
auf 2 Bausteine Kite und Dart reduzieren.
1982: Dany Shechtman und Kollegen entdecken nicht-periodische Kristallformationen in einer Aluminium-Mangan-Legierung Quasikristalle .
ñ Nobelpreis 2011
Version vom 27. Juli 2016
Nichtperiodische Parkette
120
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
10.3. DIN-Norm für Papier.
Die DIN-Papier Norm
Kravatte falten
ñ Was sagt uns das?
ñ die kange Seite ist so lang wie die Diagonale des Quadrates über
der kurzen Seite:
?
ñ
l “ 2¨k
Genauere Untersuchung der DIN-Norm:
k₀
DIN A0
DIN A0
DIN A1
DIN A2
DIN A3
DIN A1
DIN A4
l₀
DIN A2
DIN A4
DIN A3
Die Seiten ln und kn sind ein weiteres Beispiel inkommensurabler Zahlenpaare.
li
0
l0
1
l1 “ k0
..
.
ki
Fi “ F pAiq “ li ¨ ki
`
k0
k1 “
l0
2
..
.
n ` 1 ln`1 “ kn kn`1 “
1 “ 20
pm2 q später
1
F
2 0
“ 2´1 F0
..
.
ln
2
2´pn`1q F0
˘
Version vom 27. Juli 2016
i
121
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Darüberhinaus: Seitenverhältnisse konstant:
ln
ln`1
kn
2kn
“
“ ` ln ˘ “
kn
kn`1
ln
2
ln2 “ 2kn2
ln “
ñ
?
2 ¨ kn
Warum sind l0 und k0 inkommensurabel?
Annahmen sie wären kommensurabel: Dann gibt es eine Einheitslänge e und
natürliche Zahlen n0 , m0 P N mit:
l0 “ m0 ¨ e,
k0 “ n0 ¨ e.
Aber
l2n “ k2n´1 “ 2´1 l2n´2 “ ¨ ¨ ¨ “ 2´n l0 “
l0
2n
1
k0
k2n “ l2n´1 “ 2´1 k2n´2 “ ¨ ¨ ¨ “ 2´n k0 “ n
2
2
mit ungeraden Indices geht das natürlich analog:
k0
2n
l0
1
k2n`1 “ l2n “ 2´1 k2n´1 “ ¨ ¨ ¨ “ 2´n k1 “ 2´pn`1q l0 “ n`1
2
2
Kann man die Größen ln und kn auch explizit angeben? Dazu müssen
wir l0 und k0 kennen. Erst hier brauchen wir die Information/Definition:
F0 :“ 1 m2 .
Version vom 27. Juli 2016
l2n`1 “ k2n “ 2´1 l2n´1 “ ¨ ¨ ¨ “ 2´n l0 “ 2´n k0 “
122
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Zusammen mit ln “
?
2 ¨ kn folgt:
l0 ¨ k0 “ 1 m2
1
1
“?
l0
2 ¨ k0
1
1
k02 “ ? “ 2´ 2
2
1
1
k0 “ 2´ 4 “ ?
4
2
?
?
1
1
2
4
´ 14
2
4 “
l0 “ ?
“
2
“
2
2
4
2
k0 “
ñ
Ein bisschen Einsetzen und Rechnerei liefert:
?
4
1´2n
2n`1
2
1
?
ñ
ln “ ?
m“2 4 m
kn “ ?
m “ 2´ 4 m
2 n
4
2 n
2
2¨ 2
Probe:
DIN A4:
l4 “ 2
1´2¨4
4
7
m “ 2´ 4 m “ 0, 2973 m “ 29, 73 cm
9
und k4 “ 2´ 4 m “ 0, 2102 m “ 21, 02 cm
Die Irrationalität von
zeigen!
?
2 läßt sich nun analog wie beim goldenen Schnitt
11. EAN, ISBN, PZN und IBAN
11.1. EAN im Supermarkt.
Bad Brückenauer Mineralwasser
4 001784 015309
Seitenbacher Müsli
4 008391 041721
Appel Heringsfilet
4 020500 966015
Gemeinsamkeiten:
‚ 13 Ziffern
‚ Anfangsziffer 4 oder bzw. 40
Version vom 27. Juli 2016
EAN = Europäische Artikelnummer
Beispiele
123
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Bedeutung der Ziffern
z.B. Iglo Schlemmerfilet:
405
6100
04221
7
Ò
Ò
Ò
Ò
Ländernr. Betriebsnummer Artikelnummer Prüfziffer
Bemerkung: Es gibt einige besondere Produkte mit nur 8 Ziffern!
EAN wurde in den 1970-ger Jahren eingeführt.
In USA: 12-ziffriger UPC-Code.
Beide Codes sind kompatibel:
0 ` UPC “ EAN
Was ist die EAN-Prüfziffer?
Beim Schreiben einer Zahlenfolge passieren, wie beim Schreiben eines Textes,
verschiedene Fehler:
‚
‚
‚
‚
falsche Ziffer - falscher Buchstabe
Zahlendreher
eine Ziffer zuviel oder zuwenig
Beschädigung des Codes
Bei Worten/Texten läßt sich der richtige Text meistens erraten,
bei Zahlenfolgen aber nicht ñ Problem!!
Zur Fehlerentdeckung dient die Prüfziffer. Die EAN hat 13 Ziffern: z1 z2 z3 . . . z12 z13 :
z1 z2 z3
loomoon
z4 . . . z7
loomoon
zlooomooon
8 . . . z12
Ländernr.
Betriebsnr.
Artikelnr.
z13 ” ´pz1 ` z3 ` z5 ` z7 ` z9 ` z11 ` 3 ¨ pz2 ` z4 ` z6 ` z8 ` z10 ` z12 qq
mod 10
Für die Vollständige EAN gilt dann:
Prüfsumme S :“ z1 ` z3 ` z5 ` z7 ` z9 ` z11 ` 3 ¨ pz2 ` z4 ` z6 ` z8 ` z10 ` z12 q ` z13
”0
mod 10
Version vom 27. Juli 2016
Definiere dann die Prüfziffer 0 ď z13 ă 10 mit:
124
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Überprüfung einer vollständigen EAN auf ihre Korrektheit:
Code wird akzeptiert, falls: S ” 0
mod 10
Beispiele (1)
4
0
5
6
1
0
0
0
4
2
2
1
Ó ˆ1 Ó ˆ3 Ó ˆ1 Ó ˆ3 Ó ˆ1 Ó ˆ3 Ó ˆ1 Ó ˆ3 Ó ˆ1 Ó ˆ3 Ó ˆ1 Ó ˆ3
4`
0`
5`
18`
1`
0`
Prüfsumme :
0`
50 ” 0
0`
4`
6`
2`
`3
7
Ó ˆ1
`7 “ 50
mod 10 X
(2)
4
0 2
Ó
1
3
7
Ó ˆ3
4`
5
0 0 1
Ó ˆ3
2` 3`
3` 21`
7
Ó ˆ3
5`
3`
“ 60 ” 0
0
Ó ˆ3 Ó
7` 12`
S`
ÿ
4
0
“ 60
z13 “ 60
mod 10
ñ
X
ñ Prüfgerät akzeptiert die Nummer!
Häufigkeit der verschiedenen Fehlertypen:
Z.B. beim Eintippen der Ziffer: 4711
(1) eine Ziffer falsch
Beispiel
Häufigkeit
4712
60%
471 oder 47111
25%
(3) zwei oder mehr Ziffern falsch
4822
8%
(4) Zahlendreher
7411
5%
(5) Vertauschen von Blöcken
1147
1%
(2) zuviel/zuwenig Ziffern
Hilft die Prüfziffer, diese Fehler zu entdecken?
Satz 11.1. Die Eingabe genau einer falschen Ziffer wird durch die Prüfziffer
stets erkannt.
Beweis:
Wenn genau eine Ziffer falsch ist ñ drei Möglichkeiten:
Version vom 27. Juli 2016
Fehlertyp
125
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(1) Die falsche Ziffer ist unter den Zahlen mit ungeraden Indices: tz1 , z3 , z5 , z7 , z9 , z11 u
(2) Die falsche Ziffer ist unter den Zahlen mit geraden Indices: tz2 , z4 , z6 , z8 , z10 , z12 u
(3) Die Prüfziffer z13 ist falsch.
Fall (1): Sei ẑi mit 1 ď i ď 11 ungerade, die falsche Ziffer. Also ẑi ‰ zi und da
beide Zahlen zwischen 0 und 9 liegen gilt:
ẑi ı zi
mod 10
Damit wird eine falsche Prüfsumme Ŝ berechnet:
Ŝ :“ z1 ` ¨ ¨ ¨ ` ẑi ` ¨ ¨ ¨ ` z11 ` z13 ` 3 ¨ pz2 ` z4 ` z6 ` z8 ` z10 ` z12 q
“ z1 ` ¨ ¨ ¨ ` zi ` ¨ ¨ ¨ ` z11 ` z13 ` 3 ¨ pz2 ` z4 ` z6 ` z8 ` z10 ` z12 q ` pẑi ´ zi q
” 0 ` pẑi ´ zi q ı 0
mod 10
ñ Fehler wird entdeckt!
Fall (2): Sei ẑi mit 2 ď i ď 12 gerade, die falsche Ziffer. Also ẑi ‰ zi und da
beide Zahlen zwischen 0 und 9 liegen gilt:
ẑi ´ zi ı 0
mod 10
ñ
3pẑi ´ zi q ı 0
mod 10
Damit wird eine falsche Prüfsumme Ŝ berechnet:
Ŝ :“ z1 ` ¨ ¨ ¨ ` z11 ` z13 ` 3 ¨ pz2 ` ¨ ¨ ¨ ` ẑi ` ¨ ¨ ¨ ` z12 q
” 3pẑi ´ zi q ı 0
mod 10
ñ Fehler wird entdeckt!
Fall (3): Prüfziffer falsch, klar wird erkannt!
Diese Fehler werden nicht notwendigerweise erkannt:
Beispiel:
richtige EAN: 4 008391 041721
falsche EAN: 4 018291 041721
Prüfsummen:
Ŝ ´ S “ 4 ` 1 ` 2 ` 1 ` 4 ` 7 ` 3p0 ` 8 ` 9 ` 0 ` 1 ` 2q
´ p4 ` 0 ` 3 ` 1 ` 4 ` 7 ` 3p0 ` 8 ` 9 ` 0 ` 1 ` 2qq
“1`2´0´3“0
Version vom 27. Juli 2016
Werden auch Fehler mit zwei falschen Ziffern erkannt?
126
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
ñ Fehler wird nicht entdeckt!
Drehfehler
Satz 11.2. Die einzigen Drehfehler benachbarter Ziffern zi , zi`1 , die nicht
entdeckt werden, sind diejenigen mit:
zi ” zi`1
mod 5
Beweis:
EANfalsch : z1 z2 z3 . . . lo
zoi`1
mozoni . . . z12 z13
Drehfehler
Wenn i gerade:
SEANfalsch “ z1 ` ¨ ¨ ¨ ` zi ` . . . ` z13 ` 3 ¨ pz2 ` ¨ ¨ ¨ ` zi`1 ` . . . ` z12 q
“ zlooooooooooooooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooooooooooooon
1 ` ¨ ¨ ¨ ` zi`1 ` . . . ` z13 ` 3 ¨ pz2 ` ¨ ¨ ¨ ` zi ` . . . ` z12 q
S von korrekter EAN ”0
mod 10
` zi ` 3zi`1 ´ zi`1 ´ 3zi
” `zi ` 3zi`1 ´ zi`1 ´ 3zi “ 2pzi`1 ´ zi q mod 10
Fehler wird genau dann nicht entdeckt, wenn:
ô
mod 10
2pzi`1 ´ zi q ” 0
mod 10
zi`1 ´ zi ” 0
mod 5
(durch 2 teilen)
(weil
10
ggT p2,10q
“
10
2
“ 5)
Wenn i ungerader Index ist, analoge Rechnung.
Das läßt sich natürlich auf andere nicht benachbarte Drehfehler erweitern,
dann aber viele Fallunterscheidungen. Aber, Drehfehler sind eigentlich immer
benachbart!
11.2. ISBN.
Version vom 27. Juli 2016
ô
SEANfalsch ” 0
127
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Quelle: Sakurambo, English Wikipedia
Vor 2007 ISBN-10 : 10 Ziffern
Nach 2007 ISBN-10 : 13 Ziffern
Beispiel: Ende 2006 erschien: Franke, M., Didaktik der Geometrie in der
Grundschule, mit den 2 ISBN Nummern:
ISBN-10:
3-8274-1511-X
ISBN-13: 978-3-8274-1511-0
ISBN-13 funktioniert analog EAN!
Gruppennr
Verlagsnr.
Titelnummer
Prüfziffer
Ó
Ó
Ó
Ó
3
-
8274
-
1511
-
X
Gruppennummer 3: deutschprachiger Raum (Deutschland, Österreich, Schweiz)
(Die Gruppennummer kann auch mehrere Stellen haben, z.B. 82-Norwegen, 84Spanien, 88-Italien, 956-Chile. . . . Entsprechend hat die Verlagsnummer dann
weniger Stellen.)
Prüfziffer: römisch X “ 10
ř
Prüfsumme :
Version vom 27. Juli 2016
Bedeutung der Ziffern bei ISBN-10:
128
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
ÿ
:“ 3 ¨ 10 ` 8 ¨ 9 ` 2 ¨ 8 ` 7 ¨ 7 ` 4 ¨ 6 ` 1 ¨ 5 ` 5 ¨ 4 ` 1 ¨ 3 ` 1 ¨ 2 ` X ¨ 1
“ 30 ` 72 ` 16 ` 49 ` 24 ` 5 ` 20 ` 3 ` 2 ` 10
“ 231 “ 21 ¨ 11
” 0 mod 11
ř
Wenn ” 0 mod 11 wird die ISBN akzeptiert!
Allgemeine Beschreibung
ISBN-10: z10 ´ z9 z8 z7 z6 ´ z5 z4 z3 z2 ´ z1
Prüfziffer:
z1 :” ´ pz10 ¨ 10 ` z9 ¨ 9 ` . . . ` z2 ¨ 2q mod 11
ist also eine Ziffer 0 ď z1 ď 10 und statt 10 schreibt man römisch X
ř
Prüfsumme:
:“ z10 ¨ 10 ` z9 ¨ 9 ` . . . ` z2 ¨ 2 ` z1 ¨ 1
Die ISBN wird akzeptiert, wenn die Prüfzumme kongruent 0 modulo 11 ist,
denn dann:
ÿ
” 0 mod 11
ô
ô
0 ” z10 ¨ 10 ` z9 ¨ 9 ` . . . ` z2 ¨ 2 ` z1 ¨ 1
z1 ” ´ pz10 ¨ 10 ` z9 ¨ 9 ` . . . ` z2 ¨ 2q
mod 11
mod 11
(wie es sein soll!)
Satz 11.3.
‚ Das ISBN Prüfverfahren deckt alle Fehler auf, bei denen genau eine
Ziffer falsch ist.
‚ Fehler mit genau 2 falschen Ziffern werden nicht immer entdeckt.
‚ Alle Drehfehler (benachbart oder nicht) werden entdeckt.
‚ Vertauschungen benachbarter 2-er Blöcke werden häufig entdeckt.
Die Pharmazentralnummer PZN ist eine siebenstellige Ziffernfolge:
6 Ziffern + Prüfziffer:
a1 a2 a3 a4 a5 a6 p
Prüfsumme: S :“ 2 ¨ a1 ` 3 ¨ a2 ` 4 ¨ a3 ` 5 ¨ a4 ` 6 ¨ a5 ` 7 ¨ a6
Prüfziffer:
p :” S mod 11
oder äquivalent: Die Prüfnummer ist der Rest beim Teilen der Prüfsumme mit
Rest durch 11 ñ
S “ b ¨ 11 ` p
mit 0 ď p ď 10
Version vom 27. Juli 2016
11.3. Die Pharmazentralnummer PZN.
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
129
Beispiel: PZN - 3414966
Auf Korrektheit überprüfen:
2 ¨ 3 ` 3 ¨ 4 ` 4 ¨ 1 ` 5 ¨ 4 ` 6 ¨ 9 ` 6 ¨ 6 “ 138 “ 12 ¨ 11 ` 7 ” 6
mod 11 X
Version vom 27. Juli 2016
da p “ 6!!
130
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11.4. IBAN, Verfahren Modulo 97-10 (ISO 7064).
IBAN (=International Bank Account Number) zusammen mit BIC (= Bank
Identifier Code) bilden die international einheitlichen Daten zur Identifizierung
eines Kontos, die im Rahmen von SEPA (Single Euro Payments Area) zum nationalen und internationalen Zahlungsverkehr benötigt werden. IBAN-Pflicht:
1. Februar 2016 (letzte Frist)
Format der BIC:
XXXX
XXX
loomoon looXX
moon looXX
moon lo
omoon
Bankcode Ländercode Ortscode
Filiale
Beispiel: VR Bank Nürnberg:
BIC: GENO DE F1 N02
BLZ: 760 60 618
Format der IBAN: maximal 34 Alphanummerische Zeichen:
αo1mo
αo2n lopo1mo
po2n
lo
Land
k
1 k2 ¨ ¨ ¨ k30
looooomooooon
Prüfzahl Kontoidentifikation
Für Deutschland gilt:
DE lopo1mo
po2n loooomoooon
b1 b2 ¨ ¨ ¨ b8 looooomooooon
k1 k2 ¨ ¨ ¨ k10
Prüfzahl
Bankleitzahl
Kontonummer
Berechnung einer IBAN bzw. der Prüfziffer(n)
Verfahren Modulo 97-10 (ISO 7064)
Beispiel:
BLZ: 760 60 618
Kontonummer: 218561
(ist eine zulässige Kn.)
Kontonummer hat 6 Stellen, mit Nullen zu 10 Stellen ergänzen ñ
IBAN: DE p1 p2 7606 0618 0000 2185 61
DE 00 7606 0618 0000 2185 61
Umstellen 7606 0618 0000 2185 61 DE 00
Ersetze Buchstaben durch Zahlen: A=10, B=11, C=12, D=13. . .
7606 0618 0000 2185 6113 1400
Version vom 27. Juli 2016
Zur Berechnung der Prüfziffern setzt man diese zunächst gleich 00
131
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Teilen mit Rest modulo 97
7606 0618 0000 2185 6113 1400 ” 31
mod 97
98 ´ 31 “ 67 “: p1 p2
Problem Mein Taschenrechner macht Folgendes:
7606 0618 0000 2185 6113 1400 ˜R ñ 7,8413 ¨ 1021
Hilfsmethode
9 Ziffern
hkkkkkikkkkkj
7606 0618 0000 2185 6113 1400 “ 760606180
looooomooooon 000 2185 6113 1400
”80
mod 97
” 80 000 2185 6313 1400
mod 97
7 Ziffern
hkkkkikkkkj
“ 8000021
loooomoooon 85 6113 1400
”43
mod 97
” 43 85 6112 1300
mod 97
7 Ziffern
hkkkkikkkkj
“ 4385611
loooomoooon 3 1400
”47
mod 97
” 47 2 1300
mod 97
7 Ziffern
hkkkkikkkkj
“ 4731400
loooomoooon
”31
” 31
mod 97
mod 97
Prüfzahl: 98 ´ 31 “ 67
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Prüfziffern auf 00 setzen
α1 α2 p1 p2 nach hinten umstellen
Buchstaben durch Zahlen ersetzen: A=10, B=11, C=12, D=13. . .
R = Rest modulo 97 berechnen
Prüfzahl p1 p2 “ 98 ´ R
Version vom 27. Juli 2016
IBAN: DE 67 7606 0618 0000 2185 61
132
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Prüfung einer IBAN auf Korrektheit
IBAN: DE 67 7606 0618 0000 2185 61
Umstellen und Buchstaben ersetzen:
7606 0618 0000 2185 6113 1467 ” 1
mod 97 ñ korrekt
Klar, denn
ñ
mod 97
7606 0618 0000 2185 6113 1467 ” 31 ` 67 “ 98 ” 1
mod 97
Version vom 27. Juli 2016
7606 0618 0000 2185 6113 1400 ” 31
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
133
12. Kryptographie
12.1. Monoalphabetische Substitution.
Hierbei werden den Buchstaben des Alphabets A (Klartextalphabet) eindeutig
die Buchstaben eines Geheimtextalphabets G zugeordnet (angeblich schon von
Julius Cäsar angewandt). Der Code bzw. die Codierung oder Verschlüsselung
ist die Abbildung:
κ : A ÝÑ G
Der Schlüssel ist die Umkehrabbildung:
κ´1 : G ÝÑ A
In diesem Abschnitt gilt:
G“A
Methode 1: Zyklische Vertauschung
A “ tα1 , α2 , . . . , αd u und κn pαi q “ αi`n
wobei der Index modulo d zu verstehen ist, also eigentlich αi “ αī
Beispiel: A “ unser Alphabet, n “ 3:
Klartextalphabet
A B C D ... W X Y Z
Geheimtextalphabet D E F G . . . Z A B C
Hat das Alphabet A genau d (hier d “ 26) Elemente, so gibt es nur d ´ 1 (bzw.
25) Verschlüsselungen dieser Art.
Methode 2: Multiplikation statt Addition im Index:
A “ tα1 , α2 , . . . , αd u und κm pαi q “ αi¨m
Beispiel: m “ 2 und A “ tA, B, . . . Zu, also d “ 26
A ABCDEFGH I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
G BDFH J LNPR T V X Z B D F H J L N P R T V X Z
Problem: die Abbildung ist nicht injektiv!!
Verallgemeinerung:
Wenn ggT pm, dq ‰ 1, dann ist κm nicht injektiv und hat keine Umkehrabbildung, kommt also nicht in Frage.
Version vom 27. Juli 2016
Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
134
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Wenn ggT pm, dq “ 1, dann ist κm injektiv, aber es gibt nicht allzu viele neue
Verschlüsselungen, nämlich
ϕpdq ´ 1
(bzw. ϕp26q ´ 1 “ ϕp13q ¨ ϕp2q ´ 1 “ 12 ¨ 1 ´ 1 “ 11q
(ϕpdq ´ 1, weil ϕpdq die Anzahl der Möglichkeiten für m mit ggT pm, dq “ 1,
aber m “ 1 bedeutet die Identität, fällt also heraus.)
Die Methode ist also auch ziemlich unsicher, weil die wenigen Möglichkeiten
einfach und schnell durchgeprüft werden können.
Methode 3: Multiplikation und Addition kombinieren:
G “ A “ tα1 , α2 , . . . , αd u und κm,n pαi q “ αi¨m`n
Davon gibt es nach dem oben gesagten ϕpdq Möglichkeiten für m, so daß
ggT pm, dq “ 1, sowie d Möglichkeiten für n, aber κ1,1 “ id fällt heraus, also insgeamt gibt es
ϕpdqd ´ 1
Möglichkeiten
(bzw. ϕp26q ¨ 26 ´ 1 “ 12 ¨ 26 ´ 1 “ 311).
Entschlüsselung von einem mit κm,n codiertem Text
Beispiel: d “ 26 (also A “ tA, B, . . . Zu) und pm, nq “ p3, 17q, also κ3,17 .
Behauptung: κ´1
3,17 “ κ9,3 .
9 ¨ p3 ¨ i ` 17q ` 3 “ 27 ¨ i ` 9 ¨ 17 ` 33 “
27
¨ i ` 156 ” i
Ò
1 mod 26
κ9,3 ˝ κ3,17 pαi q “ α9¨p3¨i`17q`3 “ αi
mod 26
Ò
6¨26
(für alle i)
m1 ¨ pi ¨ m ` nq ` n1 ” i
mod d
Dann gilt sicher
κm1 ,n1 ˝ κm,n “ id
Satz 12.1. κm,n ist genau dann invertierbar, wenn ggT pm, dq “ 1. Dann gilt
ferner
κ´1
m,n “ κm1 ,n1
mit m1 , n1 P Z, so daß m1 “ m´1 in Z{dZ und n1 ” ´m1 ¨ n mod d.
Version vom 27. Juli 2016
Allgemein:
Angenommen es gibt m1 , n1 , so daß für alle Indices i P t1, . . . , du gilt:
135
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Beweis:
κm,n ist genau dann invertierbar, wenn es m1 , n1 gibt mit:
m1 ¨ pi ¨ m ` nq ` n1 ” i
mod d @i
(*)
Aber
m1 ¨ pi ¨ m ` nq ` n1 “ m1 m ¨ i ` pm1 n ` n1 q
also (*) gilt genau dann, wenn:
m1 m ” 1 und m1 n ` n1 ” 0
mod d
Damit m1 bzw. m´1 P Z{dZ existiert, muss ggT pm, dq “ 1 gelten!
Beispiel d “ 26 und pm, nq “ p3, 2q, also κ3,2 :
Da ggT p3, 26q “ 1 ist κ3,2 invertierbar. Aber:
κ3,2 pα12 q “ α3¨12`2 “ α38 “ α12
Also hat κ3,2 Fixpunkte und ist damit ungeeignet für eine Verschlüsselung!
Wann hat κm,n Fixpunkte?
Offenbar gilt:
κm,n pαi q “ αi
ô
m¨i`n”i
mod d
ô d | pmi ` n ´ iq “ pm ´ 1qi ` n
(für ein spezielles i)
(für dieses i)
Das läßt sich nur in Spezialfällen weiter untersuchen:
Beispiel d “ 26 und ggT pm, 26q “ 1
Aus ggT pm, 26q “ 1 folgt, daß m ungerade ist, somit sind pm ´ 1q und pm ´ 1qi
für alle i gerade. Wenn nun n ungerade wäre, dann wäre pm ´ 1qi ` n ungerade
und damit kein Vielfaches der geraden Zahl 26.
Folgerung: Wenn d “ 26, ggT pm, 26q “ 1 und n ungerade ist, dann ist
κm,n invertierbar und fixpunktfrei!
Je mehr Codes zur Verfügung stehen, desto schwieriger bzw. langsamer wird
es, alle Möglichkeiten durchzuprobieren, um den richtigen Schlüssel zu finden.
Mit den obigen Methoden gibt es aber nicht viele Codes, weniger als 311 im
Fall d “ 26.
Version vom 27. Juli 2016
26 | pmi ` n ´ iq “ pm ´ 1qi ` n
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
136
Weitere Verallgemeinerung: man permutiert die Buchstaben des Alphabets
nicht nur linear, wie oben beschrieben, sondern läßt alle denkbaren Permutationen
der d Buchstaben zu. Dann erhöht sich die Anzahl der Möglichkeiten auf d!
Codes!
Aber auch diese vielen Codes lassen sich relativ einfach (mit Rechnereinsatz)
entschlüsseln (d.h. den richtigen Schlüssel finden), wenn man zusätzliche Eigenschaften eines Textes, wie zum Beispiel Buchstabenhäufigkeiten (z.B. e, n,
i,. . . ) und Häufigkeiten von Buchstaben-Kombinationen ( z.B. qu, sch, st, ch
. . . ) in Abhängigkeit von der Sprache natürlich, berücksichtigt. Denn diese
Buchstaben- und Kombinationen findet man dann auch im Geheimtext und
kann so auf gewisse Buchstaben zurüchschließen.
12.2. Polyalphabetische Substitution.
Hierbei werden in Folge n verschiedene Codes κ1 , . . . , κn auf die Buchstaben
des Klartextes angewandt:
Wenn z.B. wieder A “ tA, B, . . . , Zu, erfolgt die Verschlüsselung von einem
Klartext folgendermaßen:
Klartext: dies ist ein code . . . er kann sicher entschluesselt werden . . .
Version vom 27. Juli 2016
Geheimtext: κ1 (d) κ2 (i) κ3 (e) κ4 (s) κ5 ( i) κ6 (s) κ7 (t) κ8 ( e) κ9 (i) κ10 (n) κ11 (c)
κ12 (o) κ13 (d) κ14 (e) κ15 . . . κn´3 (e) κn´2 (r) κn´1 ( k) κn (a) κ1 (n) κ2 (n) κ3 ( s) κ4 (i)
κ5 (c) κ6 (h) κ7 (e) κ8 (r) κ9 (e) κ10 (n) κ11 (t) κ12 (s) κ13 (c) κ14 (h) κ15 (l) κ16 (u) κ17
(e) κ18 (s) κ19 (s) κ20 (e) κ21 (l) κ22 (t). . .
Die Anzahl n der Codes κi heißt Periodenlänge. Die Anzahl der möglichen
Codes bzw. Schlüssel ist damit p26!qn .
Kennt man die Periodenlänge, so ist eine Entschlüßelung einfacher. Darauf
bemüht man Methoden wie bei der monoalphabethischen Substitution.
137
Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
13. RSA-Verschlüsselungssystem
Das RSA-Verschlüsselungssystem ist ein 1978 entwickeltes Verfahren. Benannt
nach seinen Autoren R. Rivest, A. Shamir und L.Adleman.
Vorgehensweise:
Eine Sender A will dem Empfänger B eine verschlüsselte Nachricht übermitteln.
(1) Der Empfänger B bestimmt zwei mindestens 100-ziffrige Primzahlen p
und q.
(2)
n :“ p ¨ q
(3) Die Anzahl der zu n teilerfremden natürlichen Zahlen ist (vgl. Satz 5.30
in Abschnitt 5.4):
ϕpnq “ ϕpp ¨ qq “ ϕppq ¨ ϕpqq “ pp ´ 1q ¨ pq ´ 1q
(4) Sei 1 ă s ă ϕpnq eine zu ϕpnq teilerfremde Zahl (also ggT ps, ϕpnqq “ 1).
Z.B. tuts eine Primzahl s ą maxpp, qq, denn diese teilt weder pp ´ 1q
noch q ´ 1 !
(5) Bestimme die natürliche Zahl 1 ă t ă ϕpnq mit:
s¨t”1
mod ϕpnq
ô
t̄ “ s̄´1
Verwende dazu den Euklidischen Algorithmus wie in Kapitel 5.
(6) Zur folgenden Ver- und Entschlüsselung werden nur die Zahlen s, t und
n benutzt. B veröffentlicht die Zahlen s und n.
Die Zahl t wird geheimgehalten!!
Üblich ist z.B. der ASCII-Code (American Standard Code for
Information Interchange), eine 7 oder 8 Bit Zeichencodierung (27 “
128 Zeichen können so kodiert werden, die deutschen Umlaute gibt
es nicht, aber diverse Sonderzeichen, so gilt z.B. A “ 1000001, B “
1000010 und C “ 1000011).
Man zerlegt die Ziffernfolge Z in gleichlange Ziffernblöcke
Z “ Z1 , Z2 , . . . , Zk
Version vom 27. Juli 2016
Die Zahlen p, q und ϕpnq werden nicht mehr gebraucht und sinnvollerweise vernichtet.
(7) Der Sender A verwandelt den Klartext samt Satzzeichen in eine Ziffernfolge Z.
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Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie
Die Länge dieser Ziffernblöcke sei ď 100. Damit alle Ziffernblöcke gleich
lang sind muss des letzte Block Zk unter Umständen geeignet aufgefüllt
werden.
(8) Verschlüsselung: A kennt die zur Verschlüsselung notwendigen Zahlen s und n von B (da öffentlich). Nun werden die Zi durch Ci für
i “ 1, 2, . . . , k ersetzt, wobei:
Zis ” Ci
mod n
mit 1 ă Ci ă n
A übermittelt die Ziffernfolge C1 , C2 , . . . , Ck an B.
(9) B kann mit Hilfe der Zahl t den Code entschlüsseln, also die Ziffernblöcke Zi zurückgewinnen, denn:
?
Cit ” pZis qt “ Zis¨t ” Zi
mod n
Beweis von Zis¨t ”Zi mod n
Nach Vorraussetzung haben p und q mindestens 100 Stellen, aber
alle Zi haben weniger als 100 Stellen. Somit gilt Zi R tp, qu. Da p und
q Primzahlen sind gilt:
Tn “ Tp¨q “ t1, p, q, p¨q u
ñ Zi R Tn
ñ ggT pZi , nq “ 1
||
n
Nach dem Eulerschen Satz (Abschnitt 5.4) gilt somit:
ϕpnq
Zi
”1
mod n
Andererseits gilt nach Wahl von s, t und n:
ô
ñ
mod ϕpnq
s ¨ t “ 1 ` b ¨ ϕpnq
Zis¨t “ Z 1`b¨ϕpnq
(für ein b P N)
´
¯b
ϕpnq
“ Zi ¨ Zi
” Zi
mod n
|||
1
Fazit: B muss einfach die Blöcke Ci mit t potenzieren um so die Zi
zurückzugewinnen.
Die Sicherheit des RSA-Verfahrens beruht auf dem immensen Zeitaufwand,
große Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Denn zur Bestimmung des
Version vom 27. Juli 2016
s¨t”1
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geheimen Decodierschlüssels t muß die Kongruenz
s¨t”1
mod ϕpnq
Version vom 27. Juli 2016
gelöst werden. Weil aber p, q, ϕpnq “ pp ´ 1q ¨ pq ´ 1q und zudem t geheim
gehalten wurde, ist die Zerlegung n “ p ¨ q der bekannten Zahl n in ihre beiden
Primfaktoren p und q nötig. Aber das ist auch für leistungsstarke Rechner sehr
zeitaufwendig.