Erg 19

Blatt Nr 19.09
Mathematik Online - Übungen Blatt 19
Klasse 9
Dreieck
Grad: 10 Zeit: 20
Blatt 19
Geometrie
Quelle: eigen
Kapitel 7
Nummer: 1 0 2009010073
W
Sinus
Kl: 9X
Aufgabe 19.1.1: (Mit GTR) In einem allgemeinen Dreieck ABC sind a = 18.43, c = 11.79 und
b = 17.81 gegeben. Berechnen Sie den Winkel α (zur Probe wird eine maßstäbliche Konstruktion
empfohlen).
Parameter:
x1 = Erste Seite a des Dreiecks
x2 = Zweite Seite c des Dreiecks
x3 = Dritte Seite b des Dreiecks
x4 : Die Variablennamen werden abhängig von x4 permutiert.
Die drei Dreiecksseiten erfüllen die Dreiecksungleichung (keine Seite ist größer als die Summe der
beiden anderen): x1 + x2 < x3 , x2 + x3 < x1 und x3 + x1 < x2 .
In dieser Aufgabe sind x1 = 18.43 , x2 = 11.79, x3 = 17.81, x4 = 3
sowie xs1 = a, xs2 = c, xs3 = b, xs5 = α, xs6 = γ und xs7 = β.
Berechnet wurden die Winkel α = 73.889◦ , γ = 37.922◦ und β = 68.188◦ . Probe: α + β + γ = 180◦ .
Erklärung:
In allgemeinen Dreiecken gelten der
Sinussatz
a
sin(α)
=
sin(β)
b
und der Kosinussatz
cos(γ) =
a2 + b2 − c2
.
2·a·b
Die jeweiligen Sätze sind gewissen Kongruenzsätzen zugeordnet, das heißt, dass der jeweilige Satz
anwendbar ist, wenn die jeweiligen Größen im allgemeinen Dreieck gegeben sind. Der Sinussatz geht
bei wsw (eigentlich bei sww) und bei Ssw und der Kosinussatz geht bei sss, sws und auch bei Ssw.
Bei Ssw empfehle ich immer den Kosinussatz zu nehmen, weil die entstehende Mitternachtsformel
immer auch den zweiten Schnittpunkt des Konstruktionskreises liefert. Durch Probe (oder durch
Nachdenken) erkennen wir, welche der beiden Lösungen die richtige Seite ist. Nachdenken bedeutet:
α < 90◦ : Nimm die größere Lösung, bei α > 90◦ die kleinere. Sind bei einem Dreieck zwei Seiten
und der gegenüberliegende Winkel der kleineren Seite gegeben, so werden mit dem Kosinussatz beide
Lösungen berechnet (sofern diese existieren). Alle Probleme dieser Art können auch durch Berechnung
einer Höhe und nur mit den Beziehungen
sin(α) =
Gegenkathete
,
Hypotenuse
cos(α) =
Ankathete
Hypotenuse
oder
tan(α) =
Gegenkathete
Ankathete
(auswendig) berechnet werden (dies wird hier nicht durchgeführt).
Hier liegt der Fall sss vor. Die Berechnung ist hier nur mit Hilfe eines (nichtlinearen) Gleichungssystems
möglich.
Rechnung:
cos(α) =
c2 + b2 − a2
11.792 + 17.812 − 18.432
139.004 + 317.196 − 339.665
⇒ cos(α) =
≈
≈ 0.277
2·c·b
2 · 11.79 · 17.81
419.96
⇒
α ≈ cos−1 (0.277) ≈ 73.889◦
Angebotene Lösungen:
× 73.889◦
5
111.812◦
9
106.111◦
2
6
10
142.078◦
37.922◦
90◦
3
7
11
48.03◦
12.41◦
68.188◦
4
8
12
24.45◦
180◦
11.17◦
Fehlerinterpretation:
× 73.889◦
2
142.078◦
3
48.03◦
4
24.45◦
5
111.812◦
6
37.922◦
7
12.41◦
8
180◦
9
106.111◦
10
90◦
11
68.188◦
12
11.17◦
richtig
DF: Nebenwinkel angegeben (FNr 8)
DF: Seitenlängen addiert (FNr 10)
DF: Seitenlängen addiert bzw. subtrahiert (FNr 12)
DF: Nebenwinkel angegeben (FNr 9)
DF: γ berechnet (FNr 3)
DF: Seitenlängen addiert bzw. subtrahiert (FNr 11)
DF: Lösung geraten (FNr 6)
DF: Nebenwinkel angegeben (FNr 7)
DF: Lösung geraten (FNr 5)
DF: β berechnet (FNr 4)
DF: Seitenlängen addiert bzw. subtrahiert (FNr 13)
Klasse 9
Dreieck
Grad: 10 Zeit: 20
Blatt 19
Geometrie
Quelle: eigen
Kapitel 7
Nummer: 18 0 2009010075
W
Sinus
Kl: 9X
Aufgabe 19.1.2: (Mit GTR) In einem allgemeinen Dreieck ABC sind b = 25.293, c = 18.11 und
γ = 45.689◦ gegeben. Berechnen Sie den Winkel β (zur Probe wird eine maßstäbliche Konstruktion
empfohlen).
Parameter:
x1 = Erste Seite b des Dreiecks,
p
x1 wird so berechnet, dass das Dreieck stumpfwinklig wird: x1 > x23 + x22
x2 = Zweite Seite a des Dreiecks
x3 = Dritte Seite c des Dreiecks
x4 : Die Variablennamen werden abhängig von x4 permutiert.
In dieser Aufgabe sind x1 = 25.293, x2 = 17.02, x3 = 18.11, x4 = 2
sowie xs1 = b, xs2 = a, xs3 = c, xs5 = β, xs6 = α und xs7 = γ.
Berechnet wurden die Winkel β = 92.051◦ , α = 42.26◦ und γ = 45.689◦ . Probe: α + β + γ = 180◦ .
Erklärung:
In allgemeinen Dreiecken gelten der
Sinussatz
sin(α)
a
=
sin(β)
b
und der Kosinussatz
cos(γ) =
a2 + b2 − c2
.
2·a·b
Die jeweiligen Sätze sind gewissen Kongruenzsätzen zugeordnet, das heißt, dass der jeweilige Satz
anwendbar ist, wenn die jeweiligen Größen im allgemeinen Dreieck gegeben sind. Der Sinussatz geht
bei wsw (eigentlich bei sww) und bei Ssw und der Kosinussatz geht bei sss, sws und auch bei Ssw.
Bei Ssw empfehle ich immer den Kosinussatz zu nehmen, weil die entstehende Mitternachtsformel
immer auch den zweiten Schnittpunkt des Konstruktionskreises liefert. Durch Probe (oder durch
Nachdenken) erkennen wir, welche der beiden Lösungen die richtige Seite ist. Nachdenken bedeutet:
α < 90◦ : Nimm die größere Lösung, bei α > 90◦ die kleinere. Sind bei einem Dreieck zwei Seiten
und der gegenüberliegende Winkel der kleineren Seite gegeben, so werden mit dem Kosinussatz beide
Lösungen berechnet (sofern diese existieren). Alle Probleme dieser Art können auch durch Berechnung
einer Höhe und nur mit den Beziehungen
sin(α) =
Gegenkathete
,
Hypotenuse
cos(α) =
Ankathete
Hypotenuse
oder
tan(α) =
Gegenkathete
Ankathete
(auswendig) berechnet werden (dies wird hier nicht durchgeführt).
Hier liegt der Fall ssw vor, wobei der gegenüberliegende Winkel der kleineren Seite gegeben ist.
Es muss also mit mehreren Lösungen gerechnet werden. Die Anwendung des Sinussatzes kann diese
Problematik verschleiern.
Rechnung:
cos(γ) =
b2 + a2 − c2
2·b·a
a2 − 2 · b · a · cos(γ) + b2 − c2 = 0
⇒
⇒
a2 − 2 · a · 25.293 · cos(45.689◦ ) + 25.2932 − 18.112 = 0
⇒
a2 − 35.336 · a + 311.744 = 0
√
√
35.336 ± 1248.658 − 4 · 311.744
35.336 ± 1.681
a1,2 =
=
= 18.316 oder 17.02.
2
2
Es gibt also zwei Lösungen (die wir mit dem Kosinussatz berechnen).
cos(β1 ) =
a21 + c2 − b2
18.3162 + 18.112 − 25.2932
335.489 + 327.972 − 639.716
⇒ cos(β1 ) =
≈
2 · a1 · c
2 · 18.316 · 18.11
663.418
≈ 0.036
cos(β2 ) =
β1 ≈ cos−1 (0.036) ≈ 87.949◦
⇒
17.022 + 18.112 − 25.2932
289.68 + 327.972 − 639.716
a22 + c2 − b2
⇒ cos(β2 ) =
≈
2 · a2 · c
2 · 17.02 · 18.11
616.464
≈ −0.035
β2 ≈ cos−1 (−0.035) ≈ 92.051◦
⇒
β1 und β2 sind Nebenwinkel, das heißt: β1 + β2 = 180.
Was wäre pasSiert, wenn wir den Sinussatz angewendet hätten?
sin(β)
sin(γ)
⇔
=
b
c
sin(β)
⇔
β
⇒
=
=
sin(β)
sin(45.689◦ )
=
25.293
· sin(45.689◦ )
18.11
sin−1 (0.999)
≈
25.293
18.11
=
0.999
87.949◦
Wie ist das zu erklären? Tatsächlich gibt es zwei (verschiedene) Winkel β1 und β2 , für die sin(β1 ) =
sin(β2 ) = 0.999. Für die Winkel gilt β2 = 180◦ − β1 . In unserem Falle ist β2 = 92.051◦ . Der Winkel β2
ist der gesuchte Winkel. Deshalb ist es sicherer den Kosinussatz zu verwenden.
Angebotene Lösungen:
87.949◦
× 87.949◦ oder 92.051◦
7
45.689◦ oder 134.311◦
10
45.689◦
1
2
5
8
11
17.02◦ oder 162.98◦
92.051◦
42.26◦
42.26◦ oder 45.689◦
3
6
9
12
92.051◦ oder 42.26◦
17.02◦
42.26◦ oder 137.74◦
92.051◦ oder 45.689◦
Fehlerinterpretation:
87.949◦
2
17.02◦ oder 162.98◦
3
92.051◦ oder 42.26◦
× 87.949◦ oder 92.051◦
5
92.051◦
6
17.02◦
7
45.689◦ oder 134.311◦
8
42.26◦
9
42.26◦ oder 137.74◦
10
45.689◦
11
42.26◦ oder 45.689◦
12
92.051◦ oder 45.689◦
1
Klasse 9
Dreieck
Grad: 10 Zeit: 20
DF: zweite Lösung vergessen (FNr 3)
DF: a berechnet (FNr 13)
DF: β und α berechnet (FNr 5)
richtig
DF: zweite Lösung vergessen (FNr 2)
DF: a berechnet (FNr 12)
DF: γ und Nebenwinkel berechnet (FNr 11)
DF: α berechnet (FNr 8)
DF: α und Nebenwinkel berechnet (FNr 10)
DF: γ berechnet (FNr 9)
DF: α und γ berechnet (FNr 6)
DF: β und γ berechnet (FNr 4)
Blatt 19
Geometrie
Quelle: eigen
Kapitel 7
Nummer: 46 0 2009010074
W
Sinus
Kl: 9X
Aufgabe 19.1.3: (Mit GTR) In einem allgemeinen Dreieck ABC sind a = 25.277, b = 12.81 und
γ = 40.914◦ gegeben. Berechnen Sie den Winkel α (zur Probe wird eine maßstäbliche Konstruktion
empfohlen).
Parameter:
x1 = Erste Seite a des Dreiecks,
p
x1 wird so berechnet, dass das Dreieck stumpfwinklig wird: x1 > x23 + x22 .
x2 = Zweite Seite b des Dreiecks
x3 = Dritte Seite c des Dreiecks
x4 : Die Variablennamen werden abhängig von x4 permutiert.
Die drei Dreiecksseiten erfüllen die Dreiecksungleichung (keine Seite ist größer als die Summe der
beiden anderen): x1 + x2 < x3 , x2 + x3 < x1 und x3 + x1 < x2 .
In dieser Aufgabe sind x1 = 25.277, x2 = 12.81, x3 = 17.71, x4 = 1
sowie xs1 = a, xs2 = b, xs3 = c, xs5 = α, xs6 = β und xs7 = γ.
Berechnet wurden die Winkel α = 110.81◦ , β = 28.276◦ und γ = 40.914◦ . Probe: α + β + γ = 180◦ .
Erklärung:
In allgemeinen Dreiecken gelten der
Sinussatz
sin(α)
a
=
sin(β)
b
und der Kosinussatz
cos(γ) =
a2 + b2 − c2
.
2·a·b
Die jeweiligen Sätze sind gewissen Kongruenzsätzen zugeordnet, das heißt, dass der jeweilige Satz
anwendbar ist, wenn die jeweiligen Größen im allgemeinen Dreieck gegeben sind. Der Sinussatz geht
bei wsw (eigentlich bei sww) und bei Ssw und der Kosinussatz geht bei sss, sws und auch bei Ssw.
Bei Ssw empfehle ich immer den Kosinussatz zu nehmen, weil die entstehende Mitternachtsformel
immer auch den zweiten Schnittpunkt des Konstruktionskreises liefert. Durch Probe (oder durch
Nachdenken) erkennen wir, welche der beiden Lösungen die richtige Seite ist. Nachdenken bedeutet:
α < 90◦ : Nimm die größere Lösung, bei α > 90◦ die kleinere. Sind bei einem Dreieck zwei Seiten
und der gegenüberliegende Winkel der kleineren Seite gegeben, so werden mit dem Kosinussatz beide
Lösungen berechnet (sofern diese existieren). Alle Probleme dieser Art können auch durch Berechnung
einer Höhe und nur mit den Beziehungen
sin(α) =
Gegenkathete
,
Hypotenuse
Ankathete
Hypotenuse
cos(α) =
oder
tan(α) =
Gegenkathete
Ankathete
(auswendig) berechnet werden (dies wird hier nicht durchgeführt).
Hier liegt der Fall sws vor. Die Berechnung von α mit Kosinussatz oder Sinussatz setzt die Berechnung
der dritten Seite voraus.
Rechnung:
cos(γ) =
c =
a2 + b2 − c2
2·a·b
⇒
p
a2 + b2 − 2 · a · b · cos(γ)
c =
⇒
p
√
25.2772 + 12.812 − 2 · 25.277 · 12.81 · cos(40.914◦ ) ≈
638.94 + 164.096 − 647.604 · 0.756
√
≈
313.644 ≈ 17.71
cos(α) =
b2 + c2 − a2
12.812 + 17.712 − 25.2772
164.096 + 313.644 − 638.94
⇒ cos(α) =
≈
≈ −0.354
2·b·c
2 · 12.81 · 17.71
453.73
⇒
α ≈ cos−1 (−0.354) ≈ 110.81◦
Anmerkung: Der Winkel α hätte ebenso mit dem Sinussatz berechnet werden können. Dies ist aber
gar nicht so leicht, wie es scheint:
sin(α)
sin(γ)
⇔
=
a
c
sin(α)
⇔
α
⇒
=
≈
sin(α)
sin(40.914)
=
25.277
· sin(40.914)
17.71
sin−1 (0.935)
≈
25.277
17.71
≈
0.935
69.19◦
Wie ist das zu erklären? Tatsächlich gibt es zwei (verschiedene) Winkel α1 und α2 , für die sin(α1 ) =
sin(α2 ) = 0.935. Für die Winkel gilt α2 = 180◦ − α1 . In unserem Falle ist α2 = 110.81◦ . Der Winkel
α2 ist der gesuchte Winkel. Deshalb ist es sicherer den Kosinussatz zu verwenden.
Angebotene Lösungen:
139.086◦
× 110.81◦
9
20.377◦
1
Fehlerinterpretation:
2
6
10
69.19◦
90◦
180◦
3
7
11
30.177◦
55.797◦
28.276◦
4
8
12
40.914◦
5.243◦
151.724◦
139.086◦
2
69.19◦
3
30.177◦
4
40.914◦
× 110.81◦
6
90◦
7
55.797◦
8
5.243◦
9
20.377◦
10
180◦
11
28.276◦
12
151.724◦
DF: Nebenwinkel angegeben (FNr 9)
DF: Nebenwinkel angegeben (FNr 7)
DF: Seitenlängen addiert bzw. subtrahiert (FNr 12)
DF: γ berechnet (FNr 4)
richtig
DF: Lösung geraten (FNr 5)
DF: Seitenlängen addiert (FNr 10)
DF: Seitenlängen addiert bzw. subtrahiert (FNr 13)
DF: Seitenlängen addiert bzw. subtrahiert (FNr 11)
DF: Lösung geraten (FNr 6)
DF: β berechnet (FNr 3)
DF: Nebenwinkel angegeben (FNr 8)
Klasse 9
Dreieck
Grad: 10 Zeit: 20
Blatt 19
Geometrie
Quelle: eigen
1
Kapitel 7
Nummer: 118 0 2009010076
W
Sinus
Kl: 9X
Aufgabe 19.1.4: (Mit GTR) In einem allgemeinen Dreieck ABC sind c = 18.02, α = 42.34◦ und
β = 67.588◦ gegeben. Berechnen Sie die Seite b (zur Probe wird eine maßstäbliche Konstruktion
empfohlen).
Parameter:
x1 = Erste Seite c des Dreiecks,
x2 = Zweite Seite a des Dreiecks
x3 = Dritte Seite b des Dreiecks
x4 : Die Variablennamen werden abhängig von x4 permutiert.
Die drei Dreiecksseiten erfüllen die Dreiecksungleichung (keine Seite ist größer als die Summe der
beiden anderen): x1 + x2 < x3 , x2 + x3 < x1 und x3 + x1 < x2 .
In dieser Aufgabe sind x1 = 18.02 , x2 = 12.91, x3 = 17.72, x4 = 4
sowie xs1 = c, xs2 = a, xs3 = b, xs5 = γ, xs6 = α und xs7 = β.
Berechnet wurden die Winkel γ = 70.072◦ , α = 42.34◦ und β = 67.588◦ . Probe: α + β + γ = 180◦ .
Erklärung:
In allgemeinen Dreiecken gelten der
Sinussatz
sin(α)
a
=
sin(β)
b
und der Kosinussatz
cos(γ) =
a2 + b2 − c2
.
2·a·b
Die jeweiligen Sätze sind gewissen Kongruenzsätzen zugeordnet, das heißt, dass der jeweilige Satz
anwendbar ist, wenn die jeweiligen Größen im allgemeinen Dreieck gegeben sind. Der Sinussatz geht
bei wsw (eigentlich bei sww) und bei Ssw und der Kosinussatz geht bei sss, sws und auch bei Ssw.
Bei Ssw empfehle ich immer den Kosinussatz zu nehmen, weil die entstehende Mitternachtsformel
immer auch den zweiten Schnittpunkt des Konstruktionskreises liefert. Durch Probe (oder durch
Nachdenken) erkennen wir, welche der beiden Lösungen die richtige Seite ist. Nachdenken bedeutet:
α < 90◦ : Nimm die größere Lösung, bei α > 90◦ die kleinere. Sind bei einem Dreieck zwei Seiten
und der gegenüberliegende Winkel der kleineren Seite gegeben, so werden mit dem Kosinussatz beide
Lösungen berechnet (sofern diese existieren). Alle Probleme dieser Art können auch durch Berechnung
einer Höhe und nur mit den Beziehungen
sin(α) =
Gegenkathete
,
Hypotenuse
cos(α) =
Ankathete
Hypotenuse
oder
tan(α) =
Gegenkathete
Ankathete
(auswendig) berechnet werden (dies wird hier nicht durchgeführt).
Hier liegt der Fall wsw (eigentlich sww) vor. Damit muss der Sinussatz angewendet werden.
Rechnung:
γ = 180◦ − α − β = 70.072◦ . Mit dem Sinussatz ergibt sich:
sin(β)
sin(γ)
⇔
b
c
=
b
sin(67.588◦ )
sin(70.072◦ )
=
b
18.02
sin(67.588◦ )
· 18.02
sin(70.072◦ )
≈
17.72
⇒
=
Angebotene Lösungen:
1
5
9
12.91
18.02
13.21
2
6
10
70.072
13.129
48.65
3
12.61
× 17.72
11
25.153
4
8
12
18.325
24.734
22.83
Fehlerinterpretation:
12.91
70.072
3
12.61
4
18.325
5
18.02
6
13.129
× 17.72
8
24.734
9
13.21
10
48.65
11
25.153
12
22.83
1
2
DF: Falsche Winkel verwendet (FNr 8)
DF: γ berechnet (FNr 5)
DF: Seitenlängen addiert bzw. subtrahiert (FNr 15)
DF: Falsche Winkel verwendet (FNr 7)
DF: c berechnet (FNr 2)
DF: Falsche Winkel verwendet (FNr 11)
richtig
DF: Falsche Winkel verwendet (FNr 10)
DF: Seitenlängen addiert bzw. subtrahiert (FNr 13)
DF: Seitenlängen addiert (FNr 12)
DF: Falsche Winkel verwendet (FNr 9)
DF: Seitenlängen addiert bzw. subtrahiert (FNr 14)
Allgemeine Hinweise:
Bei weiteren Fragen, wenden Sie sich bitte an W. Schmid ([email protected]) .
Weitere Hinweise finden Sie auf unserer Veranstaltungswebseite unter: http://www.mathe3.de.vu