Blatt 1 - public.fh-wolfenbuettel.de

Bachelor BEE
Statistik
Übung: Blatt 1
Ostfalia - Hochschule
für angewandte Wissenschaften
Fakultät Versorgungstechnik
Aufgabe (1.1):
Gegeben sei die folgende Messreihe:
Nr.
pH-Werte
1-10 6.4 6.3 6.7 6.5 6.2 6.1 6.9
11-20 6.5 6.7 6.6 6.3 6.5 6.7 6.4
6.5
6.5
6.7
6.8
6.3
6.6
• Bestimmen Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten der Messreihe.
• Visualisieren Sie die Daten in einem Stabdiagramm.
• Bestimmen Sie die absoluten und relativen Summenhäufigkeiten der Messreihe.
• Visualisieren Sie die Daten in einem Stabdiagramm.
• Bestimmen Sie den Modalwert, den Quartilsabstand, die Spannbreite, den arithmetischen Mittelwert, die empirische Standardabweichung und Varianz der Messreihe.
• Visualisieren Sie die Daten in einem Stabdiagramm und tragen Sie die Kenngrößen
in dem Diagramm ab. Stellen Sie die Daten ebenfalls in einem Kastendiagramm
dar.
• Bilden Sie k Klassen der Messreihe und visualisieren Sie die Daten in einem Histogramm. Begründen Sie die Anzahl der Klassen und die Aufteilung.
Aufgabe (1.2):
Gegeben sei die folgende Messreihe:
Nr.
1-10 36.4 46.3 36.7
11-20 41.5 40.7 39.6
36.5
38.3
pH-Werte
42.2 40.1
42.5 40.7
39.9
39.4
38.5
38.5
39.7
37.8
37.3
36.9
• Bestimmen Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten der Messreihe.
• Bestimmen Sie die absoluten und relativen Summenhäufigkeiten der Messreihe.
• Bestimmen Sie den Modalwert, den Quartilsabstand, die Spannbreite, den arithmetischen Mittelwert, die empirische Standardabweichung und Varianz der Messreihe.
• Visualisieren Sie die Daten in einem Stabdiagramm und tragen Sie die Kenngrößen
in dem Diagramm ab. Stellen Sie die Daten ebenfalls in einem Kastendiagramm
dar.
2
Statistik, Ostfalia, Fakultät Versorgungstechnik
Aufgabe (1.3):
Mit einem festgelegten Analyseverfahren wird die Konzentration eines Parameters bei
einer vorgegebenen Probe mehrfach untersucht. Bestimmen Sie den Modalwert, den
Quartilsabstand, die Spannbreite, den aritmethischen Mittelwert, die empirische Standardabweichung und Varianz der drei Messreihen. Könnte ein Ausreißer in den Messreihen vorliegen?
Die Daten lauten:
Messwerte
Messreihe
1
5.24, 5.22, 5.35, 5.13, 5.29, 5.32, 5.31, 5.28, 5.35
2
5.24, 5.22, 5.35, 5.12, 5.29, 5.32, 5.31, 5.28, 5.35
3
5.24, 5.22, 5.35, 5.12, 5.19, 5.19, 5.29, 5.32, 5.31, 5.35
Visualisieren Sie die Daten.
(Lösung:1
Messreihe 1:
5.1300
5.2200
5.3100
5.3200
5.2400
5.3500
5.2800
5.3500
5.2900
arithmetischer Mittelwert:5.2767
Median:5.29
Modalwert:5.35
Spannbreite:0.22
Standardabweichung:0.070711
Varianz:0.005
0.25-Quantil: 5.24
0.75-Quantil: 5.32
Quartilabstand: 0.08
Messreihe 2:
5.1200
5.2200
5.3100
5.3200
5.2400
5.3500
5.2800
5.3500
5.2900
arithmetischer Mittelwert:5.2756
Median:5.29
Modalwert:5.35
Spannbreite:0.23
Standardabweichung:0.073333
Varianz:0.0053778
0.25-Quantil: 5.24
0.75-Quantil: 5.32
Quartilabstand: 0.08
Messreihe 3:
5.1200
5.1900
5.2900
5.3100
5.1900
5.3200
5.2200
5.3500
5.2400
5.3500
arithmetischer Mittelwert:5.258
Median:5.265
Modalwert:5.19, 5.35
Spannbreite:0.23
Standardabweichung:0.07786
Varianz:0.0060622
0.25-Quantil: 5.19
0.75-Quantil: 5.32
Quartilabstand: 0.13
)
1
Alle Lösungsangaben ohne Gewähr. Kleine Abweichungen zu den Tafelwerten sind möglich, da die
meisten Aufgaben mit MatLab gelöst wurden.
Statistik, Ostfalia, Fakultät Versorgungstechnik
3
Aufgabe (1.4):
Nehmen Sie einem Würfel und werfen Sie n = 20 mal. Berechnen Sie den arithmetischen
Mittelwert, die empirische Standardabweichung und die relativen Häufigkeiten. Visualisieren Sie die Daten. Nehmen Sie nun zwei Würfel und werfen Sie n = 20 mal. Berechnen
Sie den arithmetischen Mittelwert, die empirische Standardabweichung und die relativen
Häufigkeiten. Visualisieren Sie die Daten. Was stellen Sie fest?
Aufgabe (1.5):
Programmieren Sie in MatLab für eine Messreihe bestehend aus n Werten folgende
Kenngrößen:
a) arithmetische Mittelwert.
b) Median.
c) die Spannbreite.
d) oberes und unteres Quantil.
e) Quartilsabstand.
f) empirische Standardabweichung.
g) empirische Varianz.
(Hinweis: mean, median, std, var)
Aufgabe (1.6):
Für den idealen Würfel gilt, jede Augenzahl hat die gleiche diskrete Wahrscheinlichkeit von
p = 1/6. Berechnen Sie für den Würfel den Erwartungswert und die Standardabweichung.
Aufgabe (1.7):
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Standardnormalverteilung an, und
zeichnen Sie die Funktion auf dem Intervall [-4,4]. Geben Sie einen beliebigen Bereich an,
für den Sie einen Flächenwert von 0.7 erhalten.
Aufgabe (1.8):
Es sei die Zufallsvariable X standardnormalverteilt. Bestimmen Sie
a) P(−1 ≤ X ≤ 1)
b) P(−2 ≤ X ≤ 2)
c) P(−3 ≤ X ≤ 3)
d) P(−4 ≤ X ≤ 4)
e) P(0 ≤ X ≤ 1.42)
f) P(−0.73 ≤ X ≤ 0)
g) P(−1.37 ≤ X ≤ 2.01)
h) P(0.65 ≤ X ≤ 1.26)
i) P(X ≥ 1.13)
(Lösung: a) 0.6827 b) 0.9545 c) 0.9973 d) 0.9999 e) 0.4222 f) 0.2673 g) 0.8924
h) 0.1540 i) 0.1292)
Aufgabe (1.9):
Die Lufttemperatur T im Juni sei normalverteilt mit Mittelwert 20◦ C und Standardabweichung 3◦ C. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lufttemperatur zwischen
21◦ C und 26◦ C liegt? Fertigen Sie eine Skizze an.
(Lösung: 0.3467)
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4
Aufgabe (1.10):
Die Lufttemperatur T im Juni sei normalverteilt mit Mittelwert 21.5◦ C und Standardabweichung 3.2◦ C. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lufttemperatur zwischen
20.1◦ C und 23.6◦ C liegt?
(Lösung: 0.4133)
Aufgabe (1.11):
Die Lufttemperatur T im Juni sei normalverteilt mit Mittelwert 20◦ C und Standardabweichung 3◦ C.
a) Welcher Anteil der Lufttemperaturen ist kleiner als 18◦ C?
b) Welcher Anteil der Lufttemperaturen ist größer als 22◦ C?
c) Welcher Anteil der Lufttemperaturen liegt zwischen 16◦ C und 23◦ C?
d) Welche Lufttemperatur liegt vor, wenn darunter 30% aller Temperaturen liegen?
e) Zwischen welchen zwei Lufttemperaturwerten liegen 85% aller Temperaturen?
(symmetrisch um den Mittelwert verteilt)
(Lösung: a) 25.25% b) 25.25% c) 75.01% d) 18.43◦ C e) [15.68◦ C,24.32◦ C])
Aufgabe (1.12):
Die Lufttemperatur T im August sei normalverteilt mit Mittelwert 27◦ C und Standardabweichung 2.4◦ C.
a) Welcher Anteil der Lufttemperaturen ist kleiner als 18◦ C?
b) Welcher Anteil der Lufttemperaturen ist größer als 30◦ C?
c) Welcher Anteil der Lufttemperaturen liegt zwischen 20◦ C und 30◦ C?
d) Welche Lufttemperatur liegt vor, wenn darunter 30% aller Temperaturen liegen?
e) Zwischen welchen zwei Lufttemperaturwerten liegen 75% aller Temperaturen?
(symmetrisch um den Mittelwert verteilt)
(Lösung: a) 0.01% b) 10.56% c) 89.26% d) 25.74◦ C e) [24.24◦ C,29.76◦ C])
Aufgabe (1.13):
Das Gewicht von 800 Schülern sei normalverteilt mit Erwartungswert 66 kg und
Standardabweichung 5 kg. Bestimmen Sie die Anzahl von Schülern mit einem Gewicht
a) zwischen 65 und 70 kg.
b) über 72 kg.
c) unter 62 kg.
(Lösung: a) 294 b) 92 c) 169 )
Aufgabe (1.14):
Das Gewicht von 750 Schülern sei normalverteilt mit Erwartungswert 70 kg und
Standardabweichung 7 kg. Bestimmen Sie die Anzahl von Schülern mit einem Gewicht
a) zwischen 65 und 75 kg.
b) über 72 kg.
c) unter 60 kg.
(Lösung: a) 197 b) 291 c) 57 )
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5
Aufgabe (1.15):
Bei Bestimmungen von Phenol in einem Abwasser werden normalverteilte Werte mit
einem Mittelwert von µ=0.7 µg/l und einer Standardabweichung von σ=0.05 µg/l
gefunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer weiteren Messung eine Phenolkonzentration im Bereich von 0.71 bis 0.75 µg/l anzutreffen? Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, bei einer weiteren Messung eine Phenolkonzentration über 0.8 µg/l
anzutreffen? Erstellen Sie eine Skizze.
(Lösung: a) 0.2621 b) 0.0228)
Aufgabe (1.16):
Bei Bestimmungen von Phenol in einem Abwasser werden normalverteilte Werte
mit einem Mittelwert von µ=0.74 µg/l und einer Standardabweichung von σ=0.08
µg/l gefunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer weiteren Messung eine
Phenolkonzentration im Bereich von 0.72 bis 0.75 µg/l anzutreffen? Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, bei einer weiteren Messung eine Phenolkonzentration über 0.8 µg/l
anzutreffen? Erstellen Sie eine Skizze.
(Lösung: a) 0.1484 b) 0.2266)
Aufgabe (1.17):
Für eine technische Messgröße X sei ein Sollwert von 152 mit Toleranzen ±5 vorgegeben.
(Schreibweise N(µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariable)
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt ein Messwert außerhalb der Toleranzen,
falls X eine N(152,4)-verteilte Zufallsvariable ist?
b) Wie ändert sich das Resultat, falls nur Toleranzen ±1 zugelassen sind?
c) Wie groß muss die Toleranz gewählt werden, damit die Wahrscheinlichkeit 50%
beträgt?
(Lösung: a) 0.0124 b) 0.6171 c) ± 1.3490 )
Aufgabe (1.18):
Eine Apparatur füllt X1 Gramm eines pulverförmigen Medikaments in X2 Gramm
schwere Röhrchen. Die Zufallsvariablen X1 und X2 seien stochastisch unabhängig und
näherungsweise N(50,1)- bzw. N(20,0.5)-verteilt.
(Schreibweise N(µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariable)
a) Wie ist die Zufallsvariable X = X1 +X2 näherungsweise verteilt?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt das Gewicht X eines gefüllten Röhrchens
zwischen 68 g und 72 g?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein gefülltes Röhrchen leichter als 68 g?
(Lösung: a) N(70,1.5), b) 0.8975, c) 0.0512)