Trigonometrie - Math

Trigonometrie
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Trigonometrie
Teil 1 – Grundlagen
Lehrstoff
Trigonometrie
o
o
o
Definieren von sin α, cos α, tan α für 0° ≤ α ≤ 360°
Durchführen von Berechnungen an rechtwinkligen und allgemeinen Dreiecken,
an Figuren und Körpern (auch mittels Sinus- und Kosinus-Satz)
Kennenlernen von Polarkoordinaten
Inhalt
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Einführung
Ähnliche Dreiecke
Sinus, Cosinus, Tangens
Rechtwinklige Dreiecke berechnen
Ermitteln des Winkels aus dem Funktionswert
Gradmaße umrechnen
Zerlegen von allgemeinen Dreiecken in rechtwinklige Dreiecke
8. Sinus-Satz
9. Kosinus-Satz
……………….. 2
……………….. 4
……………….. 5
……………….. 6
……………….. 7
……………….. 7
……………….. 8
……………….. 9
……………….. 11
Voraussetzungen



Ähnlichkeit
Pythagoräischer Lehrsatz
Konstruktion von Dreiecken, Figuren und Schrägrissen ebener Körper
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30.01.2017
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1. Einführung
Mich überrascht immer wieder, mit welchem Gleichmut man über Fragen hinweggeht, ohne
nachzufragen, wie etwas funktioniert, warum etwas funktioniert oder was die Ursachen sind.
Nehmen wir etwa ein Navi.
Wie es funktioniert? Keine Ahnung.
Hauptsache wir können darüber lachen, weil ein Fahrer mit einem Großlaster den
Anweisungen blind vertraut hat und sich auf einem Waldweg mit 2,80 m Breite wiederfindet
und sein Gefährt 2,50 m breit ist.
Er hätte ja auch auf eine Straßenkarte schauen können. Ja sicher.
Aber wie zeichnet man eine Karte?
Wie findet man überhaupt Punkte in der Landschaft?
Wie genau kann man überhaupt Punkt in der Landschaft messen – und wie?
Auf 1 m, auf 1 cm genau, auf 1 mm genau?
Oder betrachten wir die ISS.
Die international Space Station.
Eine Besatzung von 50 Männern und Frauen umkreisen die Erde in einer durchschnittlichen
Höhe von 400 km mit rund 28 000 km/h.
Und ja, die möchten wieder auf die Erde kommen, zu ihren Familien und Kindern und andere
Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler wollen in der ISS arbeiten und forschen.
Schon klar, – man braucht das nicht wissen.
Man braucht auch nicht zu wissen, dass vor mehr als 2 200 Jahren Erathostenes den Umfang
der Erde mit einem Messfehler von 10 % berechnet hat oder al Biruni vor fast 1000 Jahren
den Radius der Erdkugel mit 6 339,6 km berechnete, was dem realen heutigen Wert am Äquator von
6378,1 km recht nahe kommt.
Als Kolumbus den Atlantik überquerte, waren seine Angaben über die Erde um 25 % zu klein.
Muss man nicht wissen.
Aber weh tut es auch nicht und wenn man weiß, dass in all diesen Geschichten von
Dreiecksberechnungen die Rede ist, dann beginnt man vielleicht zu verstehen, dass allein dieses
Teilgebiet der Mathematik riesige Auswirkungen auf unser Leben hat.
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Hinweise zum Skriptum
Das vorliegende Skriptum kann und soll keinen Unterricht ersetzen, da ein Lehrer viel genauer auf die
Kenntnisse und Fähigkeiten einer Schülerin oder eines Schülers eingehen kann.
Aber es kann und soll eine andere Sichtweise auf die Inhalte der Mathematik – hier auf die
Trigonometrie – ermöglichen.
Es soll einen Überblick verschaffen, wie die Probleme, die sich mit der Dreiecksberechnung ergeben,
gelöst werden können.
Dabei habe ich versucht, möglichst wenig an Vorwissen einzufordern.
Das Skriptum ist keine Ausarbeitung, die auswendig gelernt werden soll, sondern eine Hilfestellung,
wenn eine konkrete Aufgabe gelöst werden soll.
Übungsbeispiele sind im Buch genügend zu finden.
Aber wie man zu einer Formel oder Lösungsweg kommt, kann in einem Schulbuch auch wegen der
Begrenzung auf eine bestimmte Seitenzahl nicht in allen hinreichend Fällen erklärt werden.
Einige Punkte können in diesem Skriptum nicht ausreichend aufgearbeitet werden, da dafür der
Funktionsbegriff fehlt. Dies muss unter dem Kapitel Funktionen noch näher erläutert werden.
Euklid von Alexandria war ein griechischer Mathematiker.
Er lebte vermutlich von 360 bis 290 v. Chr. in Griechenland, zeitweise in Alexandria und lehrte dort Geometrie.
Euklid ist Verfasser des einflussreichsten und ältesten Mathematikbuches aller Zeiten.
Als berühmtester Mathematiker der Antike war Euklid auch zu seinen Lebzeiten schon bis über die Landesgrenzen
bekannt.
Der ägyptische König Ptolemäus I. bat Euklid darum seinen Sohn in Mathematik zu unterrichten.
Der Sohn tat sich scheinbar mit dem Erlernen des Lehrstoffes schwer. Daraufhin fragte der König Euklid, ob er die
Mathematik seinem Sohn nicht auf eine leichtere Art und Weise vermitteln könnte. Euklid antwortete:
Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik.
Dieser Satz gilt auch heute uneingeschränkt.
Daran ändern kein Computer, kein Taschenrechner und kein superschlaues Mathematikprogramm
etwas.
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2. Ähnliche Dreiecke
Dreiecke lassen sich recht einfach konstruieren, wenn man 3 Bestimmungsstücke hat.
Hat man nur drei Winkel, kann man zwar auch ein Dreieck konstruieren, aber da man nicht weiß, wie
groß es ist, kann man zwar kein ganz bestimmtes Dreieck zeichnen, dafür aber unendlich viele, die
alle ähnlich sind.
In Dreiecken die einander ähnlich sind, sind entsprechende Winkel gleich.
Damit es ein bisschen einfacher wird, betrachten wir rechtwinklige Dreiecke.
Mit γ = 90° kann man sehr einfach ähnliche Dreiecke zeichnen.
B
β
c
a
a1
γ
C
c1
α
b
A
b1
Wir haben zwei ähnliche Dreiecke. Das blaue Dreieck mit den Seiten a, b und c
und das grüne Dreieck mit den Seiten a1, b1 und c1.
Das grüne Dreieck ist halb so groß wie das blaue.
Blaues Dreieck:
Grünes Dreieck:
a = 2,8 cm, b = 7,4 cm, c = 7,912 cm
a1 = 1,4 cm, b1 = 3,7 cm, c1 = 3,956 cm
Wenn man nun in den einzelnen Dreiecken Seitenverhältnisse bildet, sieht man folgendes:
𝑎
2,8
a : b = 𝑏 = =7,4 = 0,378
𝑎
2,8
a : c = 𝑐 = =7,912 = 0,354
𝑏
7,4
b : c = 𝑐 = =7,912 = 0,935
𝑎
1,4
a1 : b1 = 𝑏1 = =3,7 = 0,378
1
𝑎
1,4
a1 : c1 = 𝑐 1 = =3,956 = 0,354
1
𝑏
3,7
b1 : c1 = 𝑐1 = =3,956 = 0,935
1
Die Seitenverhältnisse entsprechender Seiten sind in ähnlichen Dreiecken immer gleich.
 Diesen Satz werden wir im Folgenden brauchen.
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3. Sinus, Kosinus, Tangens
Dreiecke lassen sich recht einfach konstruieren, wenn zwei von drei Bestimmungsstücken bekannt sind und
wenigstens die Länge einer Seite bekannt ist.
Mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatzes kann man in einem rechtwinkligen Dreieck die dritte Seite berechnen,
wenn zwei Seiten gegeben sind.
In einem Dreieck – vor allem wenn es sehr groß ist – lassen sich Winkel sehr viel genauer messen.
Längen sind viel schwieriger zu messen und es braucht meist einen größeren Aufwand.
Das Problem besteht also darin, aus zwei Bestimmungsstücken eines Dreiecks (Winkel bzw. Seiten), die dritte
Größe zu berechnen.
Wir wissen, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Seitenverhältnisse bei einem bestimmten Winkel gleich
sind.
Einem bestimmten Winkel ist eine ganz bestimmt Verhältniszahl zugeordnet.
Dem rechten Winkel liegt immer die Hypotenuse gegenüber.
Dazu werden zunächst die Katheten in Bezug auf die Winkel α und β genauer bezeichnet.
Die Kathete, die direkt am Winkel anliegt, nennt man Ankathete.
Die Kathete, die dem Winkel gegenüber liegt, nennt man Gegenkathete.
Gegenkathete von α
α
Ankathete von α
α
Einige Seitenverhältnisse haben eigene Namen.
Sinus (sin) nennt man das Verhältnis Gegenkathete zu Hypotenuse:
sin α =
𝐺𝑒𝑔𝑒𝑛𝑘𝑎𝑡ℎ𝑒𝑡𝑒 𝑣𝑜𝑛 𝛼
𝐻𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒
Cosinus (cos) nennt man das Verhältnis Ankathete zu Hypotenuse:
cos α =
𝐴𝑛𝑘𝑎𝑡ℎ𝑒𝑡𝑒 𝑣𝑜𝑛 𝛼
𝐻𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒
Tangens (tan) nennt man das Verhältnis Gegenkathete zu Ankathete:
tan α =
𝐺𝑒𝑔𝑒𝑛𝑘𝑎𝑡ℎ𝑒𝑡𝑒 𝑣𝑜𝑛 𝛼
𝐴𝑛𝑘𝑎𝑡ℎ𝑒𝑡𝑒 𝑣𝑜𝑛 𝛼
Damit kennen wir die wichtigsten Begriffe für die Berechnung von rechtwinkligen Dreiecken,
wenn nicht nur zwei Seiten, sondern eine Seite und ein Winkel gegeben ist.
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Was wir noch nicht kennen, ist der Zusammenhang zwischen den Verhältniszahlen und den ihnen
zugeordneten Winkeln.
Diese Verhältniszahlen für die einzelnen Winkel können wir noch nicht berechnen.
Aber es gibt Tabellen, in denen für Winkel die zugehörigen Werte für Sinus, Kosinus und Tangens angegeben
sind.
In dieser Tabelle sind die Werte für Sinus, Cosinus und Tangens
für 30° und 31° mit einer Schrittweite von 10 zu 10 Winkelminuten
aufgelistet.
Derartige Tabellen sind heute überholt, denn mit fast jedem
Taschenrechner oder Tabellenkalkulationsprogramm können die
Werte einfach abgelesen werden.
Ein Hinweis:
Beim Taschenrechner unter Windows kann man unter
drei verschiedenen Einstellungen für Winkel wählen:
o Deg
o Rad
o Grad
Deg ist sind die gewöhnlichen Gradzahlen:
360° ist der Vollkreis, 90° ist der rechte Winkel.
Rad ist die Einstellung für das Bogenmass.
Es entspricht der Länge des Bogens am Kreissektors des Einheitskreises (r = 1).
Die Einstellung Grad ist in der Schule ungebräuchlich.
Bei dieser Einstellung handelt es sich um Neugrad oder Gon.
Ein Vollkreis hat 400 Gon.
Es ist nun möglich, rechtwinklige Dreiecke zu berechnen.
4. Rechtwinklige Dreiecke berechnen
Beispiel:
In einem rechtwinkligen Dreieck ( = 90°) mit  = 31° misst die Hypotenuse 2,50 m.
Berechne die Länge der Kathete a!
a
Skizze:
 sin  =
|.c
C
c
γ
b

c . sin  = a
a
a = c . sin 
β
α
2,5 . sin 31° = 1,29
a
=
1,29 m
c
A
B
 Da die Gegenkathete a gesucht und die Hypotenuse gegeben ist, verwende sin !
 Forme die Gleichung um!
 Achte darauf, dass auf deinem TR DEG bzw. D („degrees“) eingestellt ist!
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Beispiel: In einem rechtwinkligen Dreieck ( = 90°) ist b = 5 cm und  = 50°.
Berechne die Länge der Kathete a!
b
Skizze:
.a 
tan  
a
a . tan  = b
 : tan 
C
γ
b
a
β
α
A
c
B
a
b
tan 

5
= 4,195
tan 50
a = 4,2 cm
Ü: Da  > 45°, ist b > a
 Da eine Kathete gegeben und die andere Kathete gesucht ist, verwende tan !
 Forme die Gleichung um!
 Achte darauf, dass auf deinem TR DEG bzw. D eingestellt ist!
5. Ermitteln des Winkels aus dem Funktionswert
Mit dem TR kann man aus dem Funktionswert sin , cos  bzw. tan 
-1
-1
-1
auch den zugehörigen Winkel  ermitteln. Dazu benötigen wir den Befehl sin oder cos oder tan .
Dazu dient die Tastenfolge:
2nd
sin
bzw. 2nd
cos
bzw. 2nd
tan
Anmerkung:
-1
-1
-1
Die Schreibweise sin , cos , tan wird zwar verwendet, ist aber mathematisch falsch.
Korrekt heißen die Umkehrfunktionen von
sin
asin
(Arkussinus)
cos
acos (Arkuscosinus)
tan
atan
(Arcustangens)
Auf manchen TR erhält man mit folgender Tastenfolge aus dem Funktionswert
den gesuchten Winkel:
INV
sin
bzw. INV
cos
bzw. INV
tan
Die Ergebnisse bei diesen Tastenfolgen werden am TR in DEG- bzw.
D- Einstellung in Dezimalgrad angegeben.
Z. B.: 36.5 bedeutet 35,5° = 35° 30‘
Dezimalgrad in Grad, Minuten und Sekunden umzurechnen





der ganzzahlige Anteil des Dezimalgrads entspricht dem Grad-Wert
den Nachkommaanteil mit 60 multiplizieren
der ganzzahlige Anteil entspricht dem Minuten-Wert
den Nachkommaanteil mit 60 multiplizieren
das Ergebnis entspricht dem Sekunden-Wert
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Beispiel:
Rechne 52,12525° in Grad, Minute und Sekunde um.
Grad = 52°
0,12525 · 60 = 7,515
| Nachkommaanteil mit 60 multiplizieren
Minuten = 7‘
0,515 · 60 = 30,9
| Nachkommaanteil mit 60 multiplizieren
Sekunden = 30,9“
52,12525° = 52° 7‘ 30,9“
Grad, Minuten und Sekunden in Dezimalgrad umzurechnen




Sekunden durch 60 dividieren
Minuten hinzuaddieren
Ergebnis durch 60 dividieren
Grad hinzuaddieren
Beispiel:
52° 7‘ 30,9“ =
= ((( 30,9“/60) + 7‘)/60) + 52°
= (( 0,515‘ + 7‘)/60) + 52°
= 0,12525° + 52°
= 52,12525°
7. Zerlegung von allgemeinen Dreiecken in rechtwinklige Dreiecke
C
hc
c
A
H
B
Die Höhen eines Dreiecks gehen durch die Eckpunkte und stehen auf die gegenüberliegenden
Seiten normal (die Höhen schließen einen rechten Winkel mit den Seiten ein).
Die Höhe hc zerlegt das Dreieck ABC in die beiden rechtwinkligen Dreiecke AHC
und in das Dreieck HBC.
Damit lassen sich beliebige Dreiecke in rechteckige Dreiecke zerlegen und Seiten und Winkel
berechnen.
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8. Sinus-Satz
Um die Dreiecksberechnungen nicht nur auf rechtwinklige Dreiecke zu beschränken,
wäre es günstig, eine Möglichkeit zur Berechnung allgemeiner Dreiecke zu haben.
C
γ
b
c
α
A
a
hc
c
β
H
B
Wir zerlegen das Dreieck ABC durch die Höhe hc in zwei
rechtwinklige Dreiecke.
C C
b
A
α
β
H H
Rechtwinkliges Dreieck AHC
sin α =
a
hc
ℎ𝑐
𝑏
Rechtwinkliges Dreieck HBC
sin β =
hc = sin α ∙ b
B
ℎ𝑐
𝑎
hc = sin β ∙ a
Aus beiden Gleichungen erhalten wir durch Gleichsetzen
sin α ∙ b = sin β ∙ a
Durch Umformen erhalten wird die etwas leichter zu merkende Form
sin α
𝑎
=
sin b
𝑏
Damit haben wir den Sinus-Satz erhalten.
Mit seiner Hilfe lassen sich die meisten Aufgaben zur Berechnung von allgemeinen Dreiecken mit
spitzwinkeligen Dreiecken (0° < α < 90°) lösen.
Wir müssen noch untersuchen, ob der Sinussatz auch für
stumpfwinklige Dreiecke (90° < α < 180°)gilt.
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Wir ergänzen das stumpfwinklige Dreieck ABC durch die Höhe hc zu einem
rechtwinkligen Dreieck HBC.
C
a
hc
b
α
H
180 – α
β
c
A
Rechtwinkliges Dreieck HBC
sin β =
B
Rechtwinkliges Dreieck HAC
ℎ𝑐
𝑎
sin (180° – α) =
hc = sin β ∙ a
ℎ𝑐
𝑏
hc = sin (180° – α) ∙ b
Hinweis:
sin (180° – α) = sin α
Der Beweis dafür wird später gebracht.
hc = sin β ∙ a
hc = sin α ∙ b
Aus beiden Gleichungen erhalten wir durch Gleichsetzen
sin α ∙ b = sin β ∙ a
Durch Umformen erhalten wir wieder die Form
sin α
𝑎
=
sin b
𝑏
Damit haben wir gezeigt, dass der Sinus-Satz auch für stumpfwinklige Dreiecke gilt..
Obige Gleichung können wir umformen zu
a
𝑏
=
sin α
sin 𝛽
Es gilt:
In jedem Dreieck ist das Verhältnis der Längen zweier Dreiecksseiten
gleich dem Verhältnis der Sinuswerte gegenüberliegender Winkel.
a
𝑏
Vers. 1.0
sin α
= sin 𝛽
a
𝑐
sin α
= sin 𝛾
b
𝑐
sin 𝛽
= sin 𝛾
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9. Kosinus-Satz
Bei der Berechnung von Dreiecken fehlen noch zwei Fälle, in denen man mit dem pythagoreischen
Lehrsatz oder dem Sinus-Satz nicht weiterkommt.
1. Wenn man in einem Dreieck die Längen zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel
kennt (SWS)
2. Wenn man von einem Dreieck die Längen der drei Seiten kennt.
Auch hier muss man die beiden Fälle, ob es sich um ein spitzwinkliges oder stumpfwinkliges Dreieck
handelt, unterscheiden.
C
a1
γ
H
b
a2
ha
c
A
cos γ =
c
𝑎1
𝑏
B
a1 = b ∙ cos γ
Auf das Dreieck AHC der pythagoreische Lehrsatz angewendet.
𝑎12 + ℎ𝑎2 = 𝑏 2
ℎ𝑎2 = 𝑏 2 – 𝑎12
es ist
und
a1 = b ∙ cos γ
𝑎12 = 𝑏 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾
ℎ𝑎2 = 𝑏 2 –𝑏 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾
a1 + a2 = a
a2 = a – b · cos γ
Dreieck ABH
c2 = ℎ𝑎2 + 𝑎22
= 𝑏 2 – 𝑏 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 + (a – b ∙ cos γ)2
= 𝑏 2 – 𝑏 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 + a2 – 2ab ∙ cos γ + b2 cos2γ
| Binomische Formel
= b2 + a2 – 2ab ∙ cos γ
c2 = b2 + a2 – 2ab ∙ cos γ
Kosinus-Satz
a2 = b2 + c2 – 2bc · cos α
b2 = a2 + c2 – 2ac · cos β
Ohne hier den Beweis auch für stumpfwinklige Dreiecke zu führen, möchte ich festhalten, dass der
Kosinus-Satz auch für stumpfwinklige Dreiecke gilt.
Damit können wir Berechnungen an rechtwinkligen und allgemeinen Dreiecken,
an Figuren und Körpern durchführen.
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