MTG Grundwissen Mathematik 10. Klasse 1 Der Kreis und der

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Grundwissen Mathematik
10. Klasse
1 Der Kreis und der Kreissektor
Umfang eines Kreises mit Radius r: u = 2 r π
Fläche eines Kreises mit Radius r: A = r²π
1.1 Der Kreissektor
Bogenlänge eines Kreisessektors mit Radius r und
Mittelpunktswinkel µ :
µ
bSektor =
2rπ
360°
Fläche eines Kreisessektors mit Radius r und
Mittelpunktswinkel µ:
µ
r²π
ASektor =
360°
Aufgaben:
Lösungsidee: Trage das gleichseitige Dreieck mit Seitenlänge 4a ein (Innenwinkel: 60°!).
U = 2πa + 2b60° =
14
πa
3
Höhe im gleichseitigen Dreieck hier: h =
1
3 ⋅ 4a
2
 19

A = AKreis + 2 ⋅ ASektor − ADreieck = a2  π − 4 3 
3

2 Die Kugel
Berechne jeweils den Durchmesser einer Kugel mit
a) d = 15,9 cm
625 cm²
b) d = 2 ⋅
c) d = 2 ⋅
4π
3
= 14,1 cm
3 ⋅ 900 cm³
4π
d) Mit 1,2 ⋅ 512 cm³ =
= 12,0 cm
4
r³π gilt: d = 10,5 cm
3
3 Sinus-; Kosinus- und Tangenswerte für beliebige Winkel
1. Zurückführung auf den I. Quadranten
Berechne durch Zurückführung auf spitze Winkel.
a)
1110°= 3·360°+30°
sin 1110°=0,5
b)
1140°= 3·360°+60°
cos 1140°=0,5
c)
1485°= 4·360°+45°
tan 1485°=1
d)
765°=2·360°+45°
1
sin 765°=
2
2
e)
1110°= 4·360°+60°
tan 1500°= 3
2. Gleichungen
Bestimme sämtliche Lösungen für 0° ≤ φ <360°. Runde auf eine Dezimale.
a) sin φ = -1
b) cos φ = 1
c) tan φ = 1
φ = 270°
φ = 0°
φ = 45°
φ = 360°
f) sin φ = -0,5
φ = 210°
φ = 330°
g) cos φ =
1
3
2
φ = 60°
φ = 300°
4 Das Bogenmaß am Einheitskreis
Aufgabe:
Vervollständige die folgende Tabelle
d) sin φ =
1
3
2
e) tan φ =
φ = 60°
φ = 60°
φ = 225°
φ = 120°
φ = 240°
h) tan φ = 4
i) sin φ = -
φ = 76,0°
φ = 256,0°
1
2
2
k) cos φ =
φ = 225°
φ = 45°
φ = 315°
φ = 315°
3
1
2
2
5 Sinusfunktion
Aufgabe:
Skizziere den Graphen der Funktion f(x) = 1,5 sin 2 (x +
π
2
)
5 Die bedingte Wahrscheinlichkeit
Aufgabe
Mache Menschen haben Schwierigkeiten, die
Farbe Rot von Grün zu unterscheiden. Die
Vierfeldertafel beschreibt die Verteilung der
Farbfehlsichtigkeit unter 1000 Personen. Eine
Person wird zufällig ausgewählt.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
die Person farbenfehlsichtig ist?
b)
Berechne die WSK der Farbenfehlsichtigkeit, wenn man zusätzlich weiß, dass
es sich um eine Frau handelt?
Nicht farben- Farben
fehlsichtig
fehlsichtig
Männer 460
Frauen
498
40
2
Lösung:
42
= 4,2 %
1000
2
= 0,4 %
b) PF ( FS ) =
500
a) P(FS) =
7 Lineares und exponentielles Wachstum
Aufgabe:
Die Römerin Pecunia legte zur Zeit von Christi Geburt auf der „Bank von Rom“ 100 Sesternen zu
einem Zinssatz von 3% an. Die Zinsen sollen jeweils am Jahresende zu gleichen Bedingungen
angelegt werden.
Ihr Freund Stupidus legt bei der „Römische Sparkasse“ auch 100 Sesternen zum Zinssatz von
5% an und lässt sich die Zinsen jeweils zum Jahresende ausbezahlen, die er zu Hause
aufbewahrt.
a) Welchen Betrag hat Pecunia nach 15 Jahren auf der Bank?
f(x) = 100 · 1,03x; f(15) = 100 · 1,0315= 155,80 Sesternen
b) Auf welchen Betrag sind zu diesem Zeitpunkt die 100 Sesternen von Stupidus zusammen mit
den zu Hause aufbewahrten Zinsen angewachsen?
f(x) = 100 + 5 · x; f(15) = 100 + 5 · 15 = 175 Sesternen
c) Wie hoch wäre das Vermögen der Erben Ende dieses Jahres in beiden Fällen, wenn die
Geldanlage gleich geblieben wäre?
Pecunia f(2009) = 100 · 1,032009= 6,2 · 10 27 Sesternen
Stupidus f(2009) = 100 + 5 · 2009 = 10145 Sesternen
7.1 Die Exponentialfunktion f(x) = ax (a > 0; a
≠ 1)
In jedem Koordinatensystem findest du zwei Funktionen aus einer „Funktionsfamilie“. Erläutere
nun, wie der eine Graph aus dem anderen Graphen hervorgeht, und bestimme die Gleichungen der
zugehörigen Funktionen.
a)
b)
y
y
x
0
rot: f(x) = 2x
0
rot: f(x) = 4x
x
schwarz: f(x) = -2 – 1
1
schwarz: f(x) = −  
4
Spieglung an der x-Achse und Verschiebung um 1
nach unten
Spiegelung an der x- und der y-Achse
x
7.2 Der Logarithmus
1. Fasse zusammen und vereinfache – falls möglich.
b) log2 x
a) 1
c) 0
d) 0
2. Drücke durch einen einzigen Logarithmusterm aus.
a) log6
d) log2
ab
c
m3
n4
b) log2
e) log2
m
np
m2
n2
c) log2 (m5 n2)
f) log6
a 2b 3
c4
x
8 Funktionen
Aufgaben zur Polynomdivision
(a) (x3 – x2 – 4x + 4) : (x – 1) = x² - 4
(b) (x3 + 3x2 – 4) : (x2 + x – 2) = x + 2
(c) (4x2 + 4x + 1) : (6x + 3) =
(d) (– 4x3 + 8x2 + 23x) : (9x2 – 18x + 9) = − 49 x +
3x
( x − 1) 2
(e) (15x3 – 3x + 5x4 – 11x2 + 2) : (5x2 – 1) = x² + 3x - 2
(f) (x5 – 1) : (x – 1) = x4 + x³ + x² + x + 1
(g) (2x3 – x2) : (x3 + x2) = 2 −
3
x +1
Grober Verlauf des Graphen ganzrationaler Funktionen
Lösung I: f(x) = x3 - 16x
a) D = IR
b) SP mit der y-Achse: x = 0; Sy(0/0)
SP mit der x-Achse = Nullstellen (NST): N1(0/0); N2(-4/0); N3(4/0) einfache NST
c) lim f(x) = +∞ und lim f(x) = -∞
x → +∞
x → −∞
d)
-4
4
Lösung II: f(x) = x3 - 6x2 + 9x
a) D = IR
b) SP mit der y-Achse: x = 0; Sy(0/0)
SP mit der x-Achse = Nullstellen (NST):
N1(0/0) einfache NST;
3
c)
N2(3/0) doppelte NST
lim f(x) = +∞ und lim f(x) = -∞
x → +∞
x → −∞
d) siehe Skizze
Lösung III: f(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6
a) D = IR
b) SP mit der y-Achse: x = 0; Sy(0/6)
SP mit der x-Achse = Nullstellen (NST):
N1(-2/0); N2(1/0); N3(3/0) einfache NST
c) lim f(x) = +∞ und lim f(x) = -∞
x → +∞
x → −∞
d) siehe Skizze
Lösung IV:
f(x) = x5 – x4 – 13x3 + 13x2 + 36x – 36
a) D = IR
b) SP mit der y-Achse: x = 0; Sy(0/-36)
SP mit der x-Achse = Nullstellen (NST):
N1(-6/0); N2(-4/0); N3(2/0); N4(4/0);
N5(6/0) einfache NST
c) lim f(x) = +∞ und lim f(x) = -∞
x → +∞
x → −∞
d) siehe Skizze
9 Der Grenzwert oder das Verhalten im „Unendlichen“
Bestimme für die folgenden Funktionen das Grenzverhalten für x → ±∞ .
a)
f(x) = 2 +
3
x
b)
lim f(x) = 2
x → −∞
lim f(x) = 2
x → +∞
d)
f(x) = (3x + 1) ⋅ cos x
e)
lim f(x) = - ∞
lim f(x) = ∞
sin x
x³
lim f(x) = 0
x → −∞
lim f(x) = 0
x → +∞
3
−x
2
lim f(x) = ∞
x → +∞
f)
2x²
x+1
lim f(x) = - ∞
x → −∞
lim f(x) = ∞
x → +∞
f(x) =
6x − 1
4x² + 2
lim f(x) = 0
x → −∞
lim f(x) = ∞
f(x) =
x
lim f(x) = 0
lim f(x) = 0
x → +∞
h)
f(x) = 3 ⋅ 2
x → −∞
x → −∞
x → +∞
f(x) =
f(x) = x
c)
lim f(x) = - ∞
x → −∞
g)
−2x + 3
3x + 5
−2
lim f(x) =
x → −∞
3
−2
lim f(x) =
x → +∞
3
f(x) =
x → +∞
i)
f(x) =
8x² − x
4x² + 2x
lim f(x) = 2
x → −∞
lim f(x) = 2
x → +∞