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Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\ro\Si05\Andy\tephys\Bahm\SprungAntwKetteHochp2.doc, S. 1/4
Homepage: http://www.home.hs-karlsruhe.de/~kero0001/
Sprungantworten einer Kette identischer Hochpässe,
Vergleich analytisch-numerisch
u1
E
C
R
u2
C
y1 y1
R
u3
y2
u4
y2 C
R
y3
u5
y3 C
u6
y4 C
R
y4
R
y5
y5 C
y6
R
y6
Motivation:
Das in diesem Text behandelte Beispiel ist eins der wenigen Beispiele, bei denen die
analytische Mathematik auch Systeme höherer Ordnung berechnen kann. Allerdings ist
das hier mit gewissen Schwierigkeiten verbunden. Diese werden in diesem Text
behandelt.
Eine ähnliche Problematik ergibt sich bei einer Kette von identischen Tiefpässen. Das wird in folgendem Link
behandelt:
http://www.home.hs-karlsruhe.de/~kero0001/Sprungantwort/SprungantwPT1Glieder_2.pdf
Download: http://www.home.hs-karlsruhe.de/~kero0001/Sprungantwort/Sprungantwort.zip
Die obige Schaltung ist eine Kette von identischen Hochpässen. Infolge der Operationsverstärker, die als
Spannungsfolger geschaltet sind, werden die an den Widerständen R entstehenden Spannungen y1…y6 durch
die nachfolgenden Glieder nicht belastet. Die Zeitkonstante ist T=R*C.
Die Übertragungsfunktion des ersten Gliedes ergibt sich mit komplexer Rechnung wie folgt:
y1/E = R/(R+ 1/(j*w*C)) = j*w*R*C/(j*w*R*C + 1). Mit der Abkürzung s=j*w und der Zeitkonstante
T=R*C wird daraus
y1/E= T*s/(T*s+1)
Da die einzelnen Glieder gleich sind, ist die Übertragungsfunktion der gesamten Kette dieser Ausdruck hoch 6:
Y6/E= ( T*s/(T*s+1) )6
Aufstellen und analytisches Lösen
der Differentialgleichungen der Hochpasskette
Für das erste Glied ist der Strom durch den Widerstand (E-u1)/R. Dieser Strom ist gleich dem
Kondensatorstrom, also C*du1/dt = (E-u1)/R. Mir R multipliziert und R*C=T gesetzt ergibt sich die DGL für
u1:
T*du1/dt + u1 =E. Die homogene Lösung (also für E=0) ist y1h = A*exp(-t/T). Die partikuläre Lösung u1p ist
offensichtlich y1p = E, denn E ist eine Konstante. Die allgemeine Lösung ist die Summe aus der homogenen
und der Partikulärlösung, also u1= A*exp(-t/T) + E. Die Konstante A ergibt sich aus der Anfangsbedingung für
t=0: u1(0)= A*1+E. Mit u1(0) =0 wird daraus 0 = A+E, also A= -E. Folglich ist u1= -E*exp(-t/T) +E oder die
bekannte Formel für die Sprungantwort eines Tiefpasses u1= E*(1-exp(-t/T)). Gesucht ist für den Hochpass der
obigen Schaltung die Spannung y1 am Widerstand. Offenbar ist y1= E-u1, also
y1=E*exp(-t/T) .
Schwieriger wird die Berechnung der Spannungen u2 und y2 für das zweite Glied der obigen
Hochpasskette:
Für u2 wird die DGL, ähnlich wie die obige DGL für u1:
T*du2/dt + u2 = y1 = E*exp(-t/T).
Die homogene Lösung u2h ist nach ähnlicher Überlegung wie für das erste Glied) u2 = A*exp(-t/T). Da hier die
„Inhomogenität“, also die rechte Seite vom gleichen Typ ist wie die homogene Lösung funktioniert zum Finden
der Partikulärlösung aber nicht die Methode „Ansatz wie die rechte Seite“. Das soll hier demonstriert werden.
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Ansatz für die Partikulärlösung sei also u2p = a*exp(-t/T) mit noch unbestimmter Konstante a. Die Ableitung ist
u2p’ = -a/T * exp(-t/T). Eingesetzt in die DGL ergibt sich
-T*a/T*exp(-t/T) + a*exp(-t/T) = E*exp(-t/T).
Es ergibt sich 0 = E*exp(-t/T), was offenbar falsch ist. Also war obiger Ansatz für die Partikulärlösung falsch.
Diese Art Problem taucht immer dann auf, wenn die „Störfunktion“, also die „rechte Seite“ der DGL vom
gleichen Typ ist wie die homogene Lösung. Die Mathematik lehrt uns, dass man in solchem Fall als Ansatz für
die Partikulärlösung mit geeigneter Potenz von t multiplizieren muss. Demnach ein neuer Ansatz für die
Partikulärlösung: u2p= a* t * exp(-t/T) . Die Ableitung ist u2p’= exp(-t/T)*(a –a*t/T). Dies eingesetzt in die
DGL ergibt
T*exp(-t/T)*(a-a*t/T) + a*t*exp(-t/T) = E*exp(-t/T). Nach Kürzen der Exponentialfunktion und
Ausmultiplizieren bleibt
T*a – a*t + a*t = E oder a=E/T. Die Partikulärlösung ist also u2p= E*t/T*exp(-t/T).
Die allgemeine Lösung der DGL T*u2’ + u2= E*exp(-t/T) ist die Summe der homogenen Lösung plus
Partikulärlösung, also u2 = A*exp(-t/T) + E*t/T* exp(t/T). Die willkürliche Konstante ergibt sich aus der
Anfangsbedingung, die in diesem Fall u2(0) = 0 sei: u2(0)=0= A.
Damit haben wir die Lösung u2 gefunden: u2= E*t/T*exp(-t/T)
Die gesuchte Spannung y2 am Widerstand ist y2 =y1-u2= E*exp(-t/T)-E*t/T*exp(-t/T) = E*exp(-t/T) (1-t/T),
also
y2= E* exp(-t/T) * (1- t/T)
Für das dritte Glied der obigen Hochpasskette ergibt sich die DGL für u2
T*u3’ + u3 = y2= E*exp(-t/T) * (1- t/T)
Die homogene Lösung ist wieder A*exp(-t/T). Die „rechte Seite“ enthält ebenfalls ein Glied wie die homogene
Lösung. Der erforderliche Ansatz für die Partikulärlösung ist
u3p = exp(-t/T)*( b* t + c* t*t )
die Ableitung ist u3p’= exp(-t/T)*(-1/T*( b*t + c*t*t) +b+2*c*t ). Eingesetzt in die DGL ergibt
exp(-t/T) * ( - b*t - c*t*t + T*b + T*2*c*t + b*t + c*t*t ) = E*exp(-t/T)* (1-t/T).
Nach Kürzen der Exponentialfunktion bleibt
T*b +T*2*c*t = E – E* t/T oder T*b –E + t*(T*2*c +E/T) = 0. Dies muss für alle Zeiten gelten, folglich
T*b-E=0 und T*2*c+E/T =0 oder b=E/T und c= - E/(2*T*T)
u3p =E* exp(-t/T) * ( t/T – t*t/(2*T*T) )
Die allgemeine Lösung ist die Summe dieser Partikulärlösung und der homogenen Lösung, also
u3= A*exp(-t/T) +E* exp(-t/T)*( t/T – t*t/(2*T*T) ). Bei t = 0 ist u3(0)= 0= A, also ist die Lösung
u3 = E*exp(-t/T) * ( t/T – t*t/(2*T*T) )
Die gesuchte Spannung y3 am Widerstand ist y3 = y2- u3 = E*exp(-t/T)*(1-t/T –t/T + t*t/(2*T*T) ), also
y3 = E*exp(-t/T)*( 1- 2*t/T + t*t/(2*T*T) )
Für das vierte Glied der Hochpasskette ergibt sich die DGL für u4:
T*y4’ + y4 = E*exp(-t/T)*( 1- 2*t/T + t*t/(2*T*T) )
Gemäß den bisherigen Erfahrungen machen wir für die Partikulärlösung u4p den Ansatz
u4p = exp(-t/T)*( a* t + b* t*t + c*t*t*t )
Die weitere Rechnung verläuft analog zu den obigen Beispielen. Das Ergebnis für die Spannung y4 ist
y4 = exp(-t/T) * (1 - 3*t/T + 3/2 * (t/T)2 - 1/6 * (t/T)3 )
Nach der gleichen Methode ergeben sich für die noch verbleibenden Ausgänge y5 und y6
die Formeln (mit x= t/T)
y5 = exp(-x) * (1 - 4*x + 3 * x2 - 2/3 * x3 + 1/24 * x4 )
y6 = exp(-x) * (1 - 5*x + 5* x2 - 5/3 * x3 + 5/24 * x4 –1/(4*5*6 )*x5 )
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Diese Formeln y1 bis y6 für die Ausgänge der 6 Hochpassglieder werden im nachfolgenden Tephysprogramm
als analytische Lösungen benutzt. Sie werden dort als y1an bis y6an bezeichnet.
Die numerische Lösungsmethode ist sehr viel simpler als die oben behandelte analytische Lösung.
Die DGL für das erste Glied ist (s.o.) T*du1/dt +u1 = E.
Daraus folgt der Algorithmus u1=u1+(E-u1) *dt/T. Die Spannung y1 ist y1=E-u1
Analog für das zweite Glied: die DGL ist T*du2/dt = y1-u2 , folglich u2=u2+(y1-u2)*dt/T und y2=u1-u2.
Drittes Glied: DGL ist T*du3/dt+u3=y2. Daraus u3=u3+(y2-u3)*dt/T und y3= y2-u3
Entsprechend findet man die Ausgänge y4, y5, y6.
Tephys-Datei Diff8.txt
E=ja(t)
% Einheitssprung bei t =0
u1=u1+(E-u1)*dt/T % u1=Spannung Kondensator des 1. -Gliedes
y1=E-u1
% y1=Spannung am Widerstand des 1.-Gliedes
y1an=exp(-t/T)
% Analytische Lösung
u2=u2+(y1-u2)*dt/T % u2=Spann. Am Kondensator des 2. Gliedes, Eingang ist y1
y2=y1-u2
% y2= Spann. Am Widerstand des 2. Gliedes, also Ausgang des 2. Gliedes
y2an=exp(-t/T)*(1-t/T) % y2an = analyt. Lösung Ausgang des 2. Gliedes
di2=y2an-y2 % Fehler analytisch – numerisch 2. Glied
u3=u3+(y2-u3)*dt/T %
y3=y2-u3 %
y3an=exp(-t/T)*(1-2*t/T+sqr(t/T)/2) % y3an = analyt. Lösung Ausgang des 3. Gliedes
di3=y3an-y3 % Fehler analytisch – numerisch 3. Glied
u4=u4+(y3-u4)*dt/T %
y4=y3-u4 %
y4an=exp(-t/T)*(1-3*t/T+1.5*sqr(t/T)-1/6*sqr(t/T)*t/T) % y4an = analyt. Ausg des 4. Gliedes
di4=y4an-y4 % Fehler analytisch – numerisch 4. Glied
u5=u5+(y4-u5)*dt/T %
y5=y4-u5 %
x=t/T %
y5an=exp(-x)*(1-4*x+3*sqr(x)-2/3*sqr(x)*x+1/24*sqr(sqr(x))) % y5an = analyt. Ausg des 5. Gliedes
di5=y5an-y5 % Fehler analytisch – numerisch 5. Glied
u6=u6+(y5-u6)*dt/T %
y6=y5-u6 %
y6an=exp(-x)*(1-5*x+5*x*x-5/3*x*x*x+5/24*x*x*x*x-1/(4*5*6)*x*x*x*x*x) % y6an = analyt. 6.Glied
di6=y6an-y6 % Fehler analytisch – numerisch 6 Glied
t=t+dt %
Differenzier-Glieder analytisch und numerisch
Heft R74, S.19. 1.12.2007
Vorschlag: mit wenig Mühe könnte man diesen Tephys-Algorithmus auch mit Matlab
oder Simulink formulieren.
Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\ro\Si05\Andy\tephys\Bahm\SprungAntwKetteHochp2.doc, S. 4/4
Bild 1: Die analytischen Sprungantworten y2an (des 2. Hochpasses) bis y6an(des 6. Hochpasses)
Bild F9: Die Differenzen (analytisch minus numerisch)
der Sprungantworten di2 (des 2. Hochpasses) bis di6 (des 6. Hochpasses)