1-76

Übungen zu Quantenmechanik II, Sommersemester 2014
• Die Bewegungsgleichung eines Operators O(t) im Heisenbergbild lautet:
dO(t)
∂O(t)
i
=
+ [H, O(t)].
dt
∂t
h̄
• Der Hamiltonoperator eines Teilchens mit Masse m, Ladung q und Spin s,
das sich in einem äußeren elektromagnetischen Feld befindet, lautet:
1 h ~ q ~ ~ i2
~ − γS
~ · B(t,
~ X),
~
~ = rot A.
~
P − A(t, X) + qφ(t, X)
B
H=
2m
c
~
1. Berechnen Sie V~ (t) = dX(t)/dt.
2. Berechnen Sie m dV~ (t)/dt.
~
3. Berechnen Sie dS(t)/dt.
~ = B~ez
4. Bei der Bewegung eines Teilchens in einem homogenen Magnetfeld B
ist die Zeitabhängigkeit der Operatoren X(t) und Y (t) durch
i
1h
Ẋ(0) sin ωt − Ẏ (0) cos ωt ,
X(t) = X̄ +
ω
i
1h
Y (t) = Ȳ +
Ẋ(0) cos ωt + Ẏ (0) sin ωt
ω
gegeben (siehe VO). Berechnen Sie die Kommutatoren
[Ẋ(t), Ẏ (t)], [X̄, Ȳ ], [X̄, Ẋ(t)], [X̄, Ẏ (t)], [Ȳ , Ẋ(t)], [Ȳ , Ẏ (t)].
5. Ein spinloses Teilchen bewege sich in dem homogenen Magnetfeld des vorigen Beispiels. Der Operator der z-Komponente des physikalischen Bahndrehimpulses (bezüglich des Kreismittelpunktes (X̄, Ȳ )) ist durch
h
i
Lz (t) = m X(t) − X̄ Ẏ (t) − Y (t) − Ȳ Ẋ(t)
definiert. Zeigen Sie, dass der Operator Lz zeitlich konstant ist und drücken
Sie ihn durch H aus.
6. Ladungs- und Stromdichte eines geladenenen Teilchens mit magnetischem
Moment µ
~ , das sich in einem äußeren elektromagnetischen Feld bewegt,
sind durch
†
q
†
ρ = qψ ψ, ~j =
ψ † V~ ψ + V~ ψ ψ + c rot ψ † µ
~ψ
2
gegeben, wobei der Geschwindigkeitsoperator die Form
1 ~ − qA
~
−ih̄∇
V~ =
m
c
besitzt. Zeigen Sie, dass die Kontinuitätsgleichung
∂ρ
+ div ~j = 0
∂t
erfüllt ist.
7. Wir betrachten das freie elektromagnetische Feld mit periodischen Randbedingungen in einer Schachtel Ω = [0, L1 ] × [0, L2 ] × [0, L3 ] mit dem Volumen
V = L1 L2 L3 . Die allgemeine Lösung für das Vektorpotential in der Coulombeichung hat dann die Form
−i~k·~
x
X ei~k·~x
e
−iω
t
∗
+iω
t
∗
~ ~x) =
√ ~ε~k,λ e ~k b~k,λ + √ ~ε~k,λ e ~k b~k,λ
A(t,
V
~k,λ
| V{z } | b {z(t) }
~
u~k,λ (~
x)
ki =
2πni
, ni ∈ Z;
Li
~
k,λ
ω~k = c~k ;
∗
~ε~k,λ
· ~ε~k,λ0 = δλ,λ0
Geben Sie die explizite Form des elektrischen und magnetischen Feldes an!
8. Zeigen Sie, dass sich mit der Konvention ~ε−~k,1 = −~ε~k,1 , ~ε−~k,2 = ~ε~k,2 für
die linearen Polarisationsvektoren die Beziehungen ~ε−∗ ~k,± = −~ε~k,± für die
zirkularen Polarisationsvektoren ergeben.
9. Zeigen Sie (λ = ±):
Z
d3 x ~u~∗k0 ,λ0 (~x) · ~u~k,λ (~x) = δ~k0~k δλ0 λ ,
Ω
Z
Ω
d3 x ~u~k0 ,λ0 (~x) · ~u~k,λ (~x) = −δ~k0 ,−~k δλλ0 .
10. Zeigen Sie:
Z
Z
2
1
~
~·A
~¨
d x rot A = − 2 d3 x A
c
3
Ω
Ω
~ = 0 und
Hinweis: Verwenden Sie partielle Integration, die Feldgleichung 2A
~ = 0.
die Eichbedingung div A
11. Drücken Sie die Energie des elektromagnetischen Feldes
Z
Z
2 1
1 ~˙ 2 1
3
3
2
2
~
~
~
EFeld =
d x E +B =
d x 2 A + rot A
8π
8π
c
Ω
Ω
durch die Fourierkoeffizienten b~k,λ aus.
Hinweis: Verwenden Sie das Resultat des vorigen Beispiels.
12. Drücken Sie den Impuls des elektromagnetischen Feldes
Z
1
~ ×B
~
~
d3 x E
PFeld =
4πc
Ω
durch die Fourierkoeffizienten b~k,λ aus.
Hinweis: Zeigen Sie, dass man mit Hilfe von partieller Integration und der
Eichbedingung den Feldimpuls in der Form
Z
1
d3 x Ȧj ∇i Aj
Pi = −
4πc2
Ω
schreiben kann.
13. Berechnen Sie die Kommutatoren [N~k0 ,λ0 , a~k,λ ], [N~k0 ,λ0 , a~†k,λ ], [N, a~k,λ ],
[N, a† ], [H, a~ ], [H, a† ], [P~ , a~ ], [P~ , a† ].
~k,λ
k,λ
~k,λ
k,λ
~k,λ
14. Zeigen Sie, dass a~†k,λ |0i ein Eigenvektor von N~k0 ,λ0 , N , H und P~ ist. Bestimmen Sie die Eigenwerte.
15. Wie voriges Beispiel, jedoch für den Vektor
1
√ (a~†k,λ )n |0i.
n!
Zeigen Sie, dass der angegebene Vektor auf eins normiert ist.
16. Ausgedrückt durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren lautet der
Feldoperator des freien elektromagnetischen Feldes:
s
X 2πh̄c2 ~ ~x) =
A(t,
e−ik·x ~ε~k,λ a~k,λ + h.k. , k · x = ω~k t − ~k · ~x.
V ω~k
~k,λ
Verifizieren Sie, dass seine zeitliche Änderung tatsächlich durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung
i
~ ~x)
∂ A(t,
ih ~
=
H, A(t, ~x)
∂t
h̄
bestimmt ist.
17. Zeigen Sie, dass die räumliche Änderung des Feldoperators durch die Gleichung
i
∇j Ak (t, ~x) = − [Pj , Ak (t, ~x)]
h̄
beschrieben wird, wobei P~ der Impulsoperator des elektromagnetischen Feldes ist.
18. Überzeugen Sie sich davon, dass die in den beiden vorangegangenen Beispielen angegebenen Beziehungen der infinitesimalen Version der RaumZeit-Translation des Feldoperators
~ + a) = eiP ·a/h̄ A(x)
~
A(x
e−iP ·a/h̄
entsprechen, wobei P µ = H/c, P~ und xµ = (ct, ~x).
19. Hier sei Ω → R3 (⇒ Impulseigenzustände nicht auf eins normierbar):
|~p1 , λ1 ; . . . p~n , λn i := a(~p1 , λ1 )† . . . a(~pn , λn )† |0i,
h0|0i = 1.
Zeigen Sie durch vollständige Induktion nach n:
n
XY
0
0
0
0
0
h~p1 , λ1 ; . . . p~n , λn |~p1 , λ1 ; . . . p~n , λn i =
δ (3) p~i − p~σ(i)
δλi λ0σ(i) ,
σ∈Sn i=1
wobei Sn die Menge aller Permutationen von n Elementen bezeichnet.
20. Zeigen Sie, dass der Operator
Z
1 X
(n)
d3p1 . . . d3 pn |~p1 , λ1 ; . . . p~n , λn ih~p1 , λ1 ; . . . p~n , λn |
P =
n! λ ,...λ
1
n
eine orthogonaler Projektor ist (d.h. P (n) ist hermitesch und idempotent).
21. ϕ1 , . . . , ϕn und ψ1 , . . . , ψn seien beliebige Vektoren eines Einteilchenhilbertraums H(1) . Zeigen Sie, dass das Skalarprodukt hϕ1 , . . . , ϕn |ψ1 , . . . , ψn i
der in der Vorlesung definierten Vektoren |ϕ1 , . . . , ϕn i ∈ H(n) und
|ψ1 , . . . , ψn i ∈ H(n) durch die Permanente (für Bosonen) bzw. die Determinante (für Fermionen) der n × n-Matrix mit den Elementen hϕi |ψj i gegeben
ist.
22. {|αi}α=1,2,... sei ein vollständiges Orthonormalsystem von H(1) . Für den Fall
von Bosonen bilden dann die Vektoren
|α1 , . . . αn i
r∞
Q
nα !
α1 ≤ α2 ≤ . . . ≤ αn
α=1
ein vollständiges Orthonormalsystem von H(n) , wobei nα angibt, wie oft α
in α1 , . . . , αn vorkommt. Überprüfen Sie die Normierung des angegebenen
Vektors!
Hinweis: Berechnen Sie die Norm des Vektors
|α1 , . . . , αn i = | β1 , . . . , β1 , . . . , βk , . . . , βk i,
| {z }
| {z }
nβ1
nβ1 + . . . + nβk = n.
nβk
23. Beweisen Sie die im Fall von Bosonen und Fermionen geltende Vollständigkeitsrelation
1 X
|α1 , . . . , αn ihα1 , . . . , αn | = 1(n) .
n! α ,...,α
1
n
Hinweis: Wenden Sie die linke Seite des obigen Ausdrucks auf den Vektor
|β1 , . . . , βn i an.
24. Zwischen zwei identischen, spinlosen Teilchen wirke eine Kraft, welche durch
das Zweiteilchenpotential
V (2) (~x, ~y ) ≡ V (2) (|~x − ~y |)
beschrieben werde. Der entsprechende in H(2) wirkende Operator ist dann
durch
Z
1
(2)
V =
d3 x d3 y |~x, ~y iV (2) (~x, ~y )h~x, ~y |
2
gegeben. Verifizieren Sie diese Behauptung durch Anwendung von V (2) auf
den Zweiteilchenzustand |~x1 , ~x2 i.
25. Zeigen Sie, dass der im Fockraum wirkende Operator
Z
1
V =
d3 x d3 y a† (~x)a† (~y )V (2) (~x, ~y )a(~y )a(~x)
2
P (2)
die Eigenschaft V |~x1 , . . . , ~xn i =
V (~xi , ~xj )|~x1 , . . . , ~xn i hat.
i<j
26. Berechnen Sie die zeitliche Änderung des Vernichtungsoperators aσ (t, ~x)
gemäß der Heisenberggleichung ȧσ (t, ~x) = (i/h̄)[H, aσ (t, ~x)] für den Hamiltonoperator
XZ
h̄2
3
†
∆ + V (~x) aσ (t, ~x).
H(t) =
d x aσ (t, ~x) −
2m
σ
27. Wie lautet das Wirkungsintegral für eine nichtrelativistische Feldtheorie spinloser Teilchen zwischen denen eine durch das Zweikörperpotential
V (2) (~x, ~y ) ≡ V (2) (|~x − ~y |) beschriebene Wechselwirkung herrscht? Ermitteln
Sie die daraus folgende Feldgleichung.
28. Prove the basic Gaussian integral formula
r
Z+∞
π
2
exp(b2 /4a),
I(a, b) =
dx exp(−ax + bx) =
a
a, b ∈ C, Re a > 0.
−∞
p
√
√
Remark: In this formula, a is to be understood as a := |a|eiθ/2 where
a = |a|eiθ , −π/2 < θ < π/2.
Hint: Consider first the integral I(a, 0). Its square,
Z+∞
Z+∞
Z
2
2
2
2
−ax
−ay 2
I(a, 0) =
dx e
dy e
= dx dy e−a(x +y ) ,
−∞
−∞
R2
can easily be computed by introducing polar coordinates. Going back to
I(a, 0), the correct choice of the (ambiguous) squaring procedure can be
determined by a continuity argument.
In the next step, relate the integral
Z+∞
dx exp −a(x − c)2 ,
−∞
to I(a, 0) by using Cauchy’s theorem.
c∈C
29. Compute the n-dimensional Gaussian integral
Z
dn x exp −xTAx/2 ,
Rn
where A is a real symmetric matrix with strictly positive eigenvalues, x ∈
Rn and xT = (x1 , . . . , xn ).
30. Compute the n-dimensional Gaussian integral with a source term j ∈ Rn ,
Z
dn x exp −xTAx/2 + j T x .
Rn
31. Compute the n-dimensional Fresnel integral
Z
dn x exp −ixTAx/2 , A = AT = A∗ > 0, x ∈ Rn .
Rn
Remark: This integral is to be understood as
Z
lim dn x exp −ixT(A − iε)x/2 .
ε↓0
32. Determine
Z
Rn
dn x exp(−ixTAx/2 + ij T x),
Rn
j ∈ Rn .
33. Verify the convolution property
Z+∞
dx K0 (xf , tf ; x, t)K0 (x, t; xi , ti ) = K0 (xf , tf ; xi , ti ),
ti < t < tf ,
−∞
of the free particle evolution kernel
r
m
im(xf − xi )2
K0 (xf , tf ; xi , ti ) =
exp
.
2πih̄(tf − ti )
2h̄(tf − ti )
34. Verify that lim K0 (xf , tf ; xi , ti ) = δ(xf − xi ).
tf →ti
35. Determine K0 (~xf , tf ; ~xi , ti ) ≡ h~xf , tf |~xi , ti i for a free particle in three space
dimensions.
36. The retarded Green function Gr (t, ~x) of the Schrödinger equation describing
the free motion of a particle with mass m in three spatial dimensions is
determined by
h̄2
∂
∆ Gr (t, ~x) = ih̄δ(t)δ (3) (~x),
ih̄ +
∂t 2m
Gr (t, ~x) = 0 for t < 0.
e ~k) of the Green function. With its
Compute the Fourier transform G(ω,
help, Gr (t, ~x) can be derived using the residue theorem in the complex
ω-plane.
37. Verify by explicit calculation: K0 (~x, t; ~0, 0) satisfies the Schrödinger equation
∂
h̄2
ih̄ +
∆ K0 (~x, t; ~0, 0) = 0.
∂t 2m
38. The operator C is defined by
2
eε(A+B) = eεA eεB eε C ,
where ε is a small quantity. Express C to leading order in ε in terms of the
(noncommuting) operators A, B. Hint: Expand both sides of the equation
up to the necessary order in ε.
39. Formulate the path integral representation of h~xf , tf |~xi , ti i for a Lagrangian
of the form
m~x˙ 2
− V (~x)
L(~x, ~x˙ ) =
2
in three spatial dimensions.
40. The action of a harmonic oscillator is given by
m
S[x] =
2
Ztf
dt ẋ(t)2 − ω02 x(t)2 .
ti
Let xc (t) be the solution of the classical equation of motion,
ẍc (t) + ω02 xc (t) = 0.
Show that the classical action S[xc ] can be expressed in terms of the boundary values of xc (t) and ẋc (t) at t = ti , tf :
S[xc ] =
m
[xf ẋc (tf ) − xi ẋc (ti )] .
2
41. Argue that the classical solution xc (t) for the motion of the harmonic oscillator with boundary conditions xc (ti ) = xi and xc (tf ) = xf is given by
xc (t) = xi
sin ω0 (tf − t)
sin ω0 (t − ti )
+ xf
.
sin ω0 (tf − ti )
sin ω0 (tf − ti )
42. Verify the formula for the classical action of the harmonic oscillator:
S[xc ] =
2
mω0
(xi + x2f ) cos ω0 (tf − ti ) − 2xi xf .
2 sin ω0 (tf − ti )
43. The harmonic oscillator kernel is given by
r
i
mω0
e h̄ S[xc ] .
K(xf , tf ; xi , ti ) =
2πih̄ sin ω0 (tf − ti )
Verify that K(x, t; 0, 0)
(a) satisfies the Schrödinger equation
∂
h̄2 ∂ 2
mω02 2
ih̄ K(x, t; 0, 0) = −
+
x K(x, t; 0, 0),
∂t
2m ∂x2
2
(b) fulfils the normalization condition K(x, 0; 0, 0) = δ(x),
(c) and reduces to the free particle kernel for ω0 → 0.
44. Compute
Z+∞
Z(tf , ti ) =
dx K(x, tf ; x, ti )
−∞
and use the result to deduce the energy spectrum of the harmonic oscillator.
45. The one-dimensional harmonic oscillator is described by the Hamilton operator
P (t)2 mω 2 Q(t)2
H=
+
.
2m
2
The position operator Q(t) and the momentum operator P (t) fulfil the
canonical commutation relation
[Q(t), P (t)] = ih̄1 .
(a) Verify that Heisenberg’s equation of motion for Q(t),
Q̇(t) =
i
[H, Q(t)] ,
h̄
implies the classical equation of motion Q̈(t) + ω 2 Q(t) = 0.
(b) Express Q(t) in terms of the
operators a and a† which satisfy
ladder
the commutation relation a, a† = 1.
(c) Calculate the two-point function h0|T Q(t1 )Q(t2 )|0i.
46. Determine the generating functional of the one-dimensional harmonic oscillator,
Z[f ] = h0|T e
i
h̄
+∞
R
−∞
dt f (t)Q(t)
|0i ,
using the path integral representation
 +∞


Z
Z

2
1
i
m
m(ω − iε)
[dq] exp
dt
Z[f ] =
q̇(t)2 −
q(t)2 + f (t)q(t)
.
 h̄

N
2
2
−∞
Give a physical interpretation of the external field f (t). Verify the result
for the two-point function obtained with the operator method.
Hint: It is actually not necessary to “compute” the path integral. The only
necessary ingredients are the translation invariance of the measure [dq] and
the normalization condition Z[0] = 1. (Consult your lecture notes!)
47. Die Vektoren |0i, |1i, . . . mögen ein vollständiges Orthonormalsystem eines
unendlichdimensionalen Hilbertraums bilden. Der Operator T sei durch
T =
∞
X
|n + 1ihn|
n=0
definiert. Zeigen Sie, dass T isometrisch aber nicht unitär ist.
48. Zeigen Sie, dass aus der Unitarität des S-Operators das optische Theorem
Im f (~p, p~ ) =
|~p |
σ(~p )
4πh̄
folgt, welches eine Beziehung zwischen dem Imaginärteil der Vorwärtsstreuamplitude und dem totalen Wirkungsquerschnitt herstellt.
Hinweis: Schreiben Sie den S-Operator in der Form S = 1 +R. Aus S † S = 1
folgt dann R + R† = −R† R. Multiplizieren Sie diese Gleichung von links
mit h~p 0 | und von rechts mit |~p i. Nach einigen Umformungen gelangen Sie
schließlich für p~ 0 → p~ zu der oben angegebenen Formel.
49. Beweisen Sie das folgende Lemma von Abel: In einem Hilbertraum H sei
ψ(t) ∈ H, t ∈ R+ mit ||ψ(t)|| ≤ C < ∞ ∀ t ∈ R+ und
ZT
dt ψ(t) ∈ H.
s− lim
T →∞
0
Dann gilt:
ZT
lim
T →∞
Z∞
dt ψ(t) = lim dt e−t ψ(t).
ε↓0
0
0
50. Zeigen Sie:
√
0
mei 2mz|~x−~x |/h̄
,
h~x|G0 (z)|~x i = −
2πh̄2 |~x − ~x0 |
0
√
z∈
/ σ(H0 ) = R+ , Im z ≥ 0.
Hinweis: Nach Durchführung der Winkelintegration erhalten Sie ein eindimensionales Integral, das Sie mit Hilfe des Residuensatzes berechnen
können.
51. Wie in der Vorlesung besprochen, hat die Streulösung in großer Entfernung
vom Streuzentrum die Form
1
ei|~p |r/h̄
1
i~
p·~
x/h̄
0
h~x|~p eini =
e
+
f (~p , p~ ) + O 2
, p~ 0 = |~p |~n, |~n| = 1.
3/2
(2πh̄)
r
r
Diese stationäre Wellenfunktion besteht also aus einer einlaufenden ebenen
Welle und einer auslaufenden (richtungsmodulierten) Kugelwelle. Überzeugen Sie sich davon, dass man die Formel für den differentiellen Wirkungsquerschnitt durch
dσ
durch dΩ tretender Wahrscheinlichkeitsstrom
dΩ =
dΩ
einfallende Wahrscheinlichkeitsstromdichte
erhält.
52. Berechnen Sie den differentiellen Wirkungsquerschnitt für die Streuung eines Teilchens in dem Yukawapotential
V (r) = γ
e−κr
r
in niedrigster Bornscher Näherung.
53. Verwenden Sie das Resultat des vorigen Beispiels um den dazugehörigen
totalen Wirkungsquerschnitt zu berechnen. Diskutieren Sie die Grenzfälle
großer und kleiner Energien.
54. Zeigen Sie die folgenden Aussagen für die Terme n-ter Ordnung der Bornschen Reihe der Streuamplitude f (~p 0 , p~ ).
(a) Aus der Definition von f (1) (~p 0 , p~ ) folgt, dass Imf (1) (~p, p~ ) verschwindet.
(b) Aus dem optischen Theorem folgt, dass
Z
p
(2)
dΩ |f (1) (~p 0 , p~ )|2 .
Imf (~p, p~ ) =
4πh̄
(c) Imf (3) (~p, p~ ) =?
(d) Imf (4) (~p, p~ ) =?
Hinweis: Beachten Sie, dass auf der linken und auf der rechten Seite Terme
von gleicher Ordnung in der Bornschen Entwicklung stehen müssen.
55. Zeigen Sie, dass die Eigenwerte des Streuoperators in einem radialsymmetrischen Potential V (r) nicht von der magnetischen Quantenzahl“ m
”
abhängen.
Hinweis: Beachten Sie, dass S mit allen Komponenten des Drehimpulsope~ vertauscht, also insbesondere auch mit den Leiteroperatoren L± .
rators L
Verwenden Sie die Ihnen aus T2 bekannten Eigenschaften von L± um zu
zeigen, dass
h. . . , m + 1|S| . . . , m + 1i = h. . . , m|S| . . . , mi
gilt.
56. Rechnen Sie nach, dass die Impulsraumwellenfunktionen
h~p |E, `, mi = √
1
δ(Ep~ − E)Y`m (p~ˆ ),
mp
p~ˆ := p~/p,
tatsächlich gemäß
hE 0 , `0 , m0 |E, `, mi = δ(E 0 − E) δ`0 ` δm0 m
normiert sind.
57. Ein sogenanntes separables Potential ist durch
V = λ|φihφ|,
λ∈R
definiert, wobei |φi ein normierter Vektor ist. Die dazugehörige Impulswellenfunktion werde mit φ(~p ) bezeichnet.
Zeigen Sie, dass in diesem Fall der Operator T (z) die explizite Form
T (z) =
V
1 − λ∆(z)
besitzt, wobei
Z
∆(z) = hφ|G0 (z)|φi =
R3
d3 p
|φ(~p )|2
.
z − Ep~
Hinweis: Verwenden Sie die Definition T (z) = V + V G(z)V um zu zeigen,
dass der Operator die Gestalt T (z) = α(z)|φihφ| besitzt. Verwenden Sie
sodann die Lippmann-Schwinger-Gleichung T (z) = V + V G0 (z)T (z) um
die Funktion α(z) zu bestimmen.
58. Wie lautet die Bornsche Reihe für den Operator T (z) des separablen Potentials? Was können Sie über ihr Konvergenzverhalten sagen?
59. Geben Sie die Streuamplitude sowie den differentiellen und totalen Wirkungsquerschnitt für das separable Potential an.
60. Verifizieren Sie das optische Theorem für das separable Potential.
61. Ein antilinearer Operator W : H → H heißt antiunitär, falls W surjektiv
und isometrisch ist:
(a) W (aϕ + bψ) = a∗ W ϕ + b∗ W ψ ∀ ϕ, ψ ∈ H, ∀ a, b ∈ C (antilinear),
(b) im W = H (surjektiv),
(c) k W ψ k=k ψ k ∀ ψ ∈ H (isometrisch).
Zeigen Sie, dass dann hW ϕ|W ψi = hψ|ϕi ∀ ϕ, ψ ∈ H gilt.
62. Verifizieren Sie die Gruppeneigenschaften für O(3, R) und SO(3, R).
63. Zeigen Sie, dass die Drehung eines Vektors ~x im dreidimensionalen Raum
mit dem Drehwinkel α um die Drehachse ~n (|~n| = 1, Rechte-Hand-Regel)
durch ~x0 = R(~
α)~x = cos α ~x + (1 − cos α) ~n(~n · ~x) + sin α ~n × ~x, α
~ = α ~n,
beschrieben wird. Geben Sie die Matrixdarstellung von R(~
α) bezüglich der
Standard-Orthonormalbasis {~e1 , ~e2 , ~e3 } an.
Hinweis: Zerlegen Sie den Vektor ~x in einen Anteil parallel bzw. normal zur
Drehachse und verwenden Sie die Linearität der Transformation R(~
α).
64. Zeigen Sie, dass jedes A ∈ SO(3, R) für eine geeignete Wahl des Drehvektors
α
~ stets in der Form A = R(~
α) geschrieben werden kann.
Hinweis: Fassen Sie A als Element von L(C3 ) auf. Was folgt für die Eigenwerte und Eigenvektoren von A aus den Bedingungen A∗ = A, AT A = 1
und det A = 1? Verwenden Sie den Spektralsatz für normale Operatoren,
um Ihr Endresultat zu erhalten.
~
~
2
65. Überprüfen Sie, dass U (s) := eiX·~qs/h̄ e−iP ·~as/h̄ e−i~q·~as /2h̄ unitär ist und
U (s1 )U (s2 ) = U (s1 + s2 ), U (0) = 1 erfüllt. Berechnen Sie dU (s)/ds, um zu
~
~
zeigen, dass U (s) = ei(X·~q−P ·~a)s/h̄ gilt.
66. Zeigen Sie
α
α
− i~n · ~σ sin
2
2
auf wenigstens zwei verschiedene Arten! In dieser Formel bezeichnen ~σ =
(σ1 , σ2 , σ3 ) die Paulischen Spinmatrizen, ~n ist ein Einheitsvektor in Richtung des Drehvektors α
~ = α~n.
U (~
α) := e−i~α·~σ/2 = cos
67. Zeigen Sie:
1
Tr σi U (~
α)σj U (~
α)† = (R(~
α))ij
2
68. Zeigen Sie, dass man U ∈ SU(2) aus dem dazugehörigen R ∈ SO(3) durch
die Formel
12 + Rij σi σj
U =± √
2 1 + TrR
erhält.
~ +S
~ eines Teilchens mit Spin s setzt sich
69. Der Gesamtdrehimpuls J~ = L
~ und dem Spindrehimpuls S
~ zusammen. Bei
aus dem Bahndrehimpuls L
gegebenem Bahndrehimpuls ` kommen daher für den Gesamtdrehimpuls j
die Werte
j = ` + s, ` + s − 1, . . . , |` − s|
in Frage. Berechnen Sie für ` = 1 und s = 1/2 alle in den Produkten
|`, mi ⊗ |1/2, σi ≡ |`, m; s, σi
vorkommenden Zustände |j, j3 i.
70. Berechnen Sie alle Clebsch-Gordan-Koeffizienten für j1 = j2 = 1 und vergleichen Sie mit den Werten der Tabelle der Particle Data Group.
71. Rechnen Sie nach, dass die durch (tm )kl = −iεmkl definierten 3×3-Matrizen
t1 , t2 , t3 die Kommutatorrelationen der su(2) erfüllen (adjungierte Darst.).
~ sei der Drehimpulsoperator eines spinlosen Teilchens. Verifizieren Sie
72. X
durch Berechnung der Kommutatoren mit den Bahndrehimpulsoperatoren
L3 und L± , dass
1
1
(1)
(1)
= − √ (X1 + iX2 ), T0 = X3 , T−1 = √ (X1 − iX2 )
2
2
die Komponenten eines irreduziblen Tensoroperators erster Stufe bilden.
(1)
T1
73. Was folgt aus dem Wigner-Eckart-Theorem für hn, `, m|X3 |n0 , `0 , m0 i?
74. Lösen Sie Aufgabe 55 mit Hilfe des Wigner-Eckart-Theorems.
75. Zeigen Sie, dass aus
~
~
e−i~α·J/h̄ Tm(j) ei~α·J/h̄ =
X
(j)
(j)
Tm0 Dm0 m (~
α)
m0
die Vertauschungsrelationen
J3 , Tm(j) = h̄mTm(j) ,
p
(j)
J+ , Tm(j) = h̄ j(j + 1) − m(m + 1)Tm+1 ,
p
(j)
J− , Tm(j) = h̄ j(j + 1) − m(m − 1)Tm−1
folgen.
76. In der Vorlesung wurde der Operator
X
F :=
|j1 , m1 ihα1 , j1 , m1 |Tm(j) |α2 , j2 , m2 ihj, m; j2 , m2 |
m,m1 ,m2
definiert. Zeigen Sie, dass F D(A) = D1 (A)F ∀ A ∈ SU(2) gilt, wobei D1 =
D(j1 ) .