r F = mr M = J r F dt = mrv 1 mrv 2 mi rvi = konst. k

Kinetik
Impuls des Massenpunktes
Kinematik / Kinetik
Newtonsche Gesetze
Impuls des Massenpunktes
m = " #V
t1
$
t0
Translation
!
r
r
r
F " dt = m " v1 # m " v 2
r d ( m " vr) Kraft = 1. Ableitung des
F=
Impulses (m·v) nach der Zeit.
dt
r
r
r
r
r
F = m " v˙ + m˙ " v = m " a + m˙ " v
!
r
r
F = m"a
Stoss
k=
v B2 " v A 2
v A1 " v B1
Stossvorgänge können nur durch Anwendung des
Impulssatzes und des Impulserhaltungssatzes
rechnerisch erfasst werden.
k = 1!
elastischer Stoss
k = 0<k<1! teilelatischer Stoss (mit Deformation)
k = 0!
plastischer Stoss (Knetmasse)
mA " v A1 + m B " v B1 = mA " v A2 + mB " v B 2
!
wenn m konstant:
!
Impulssatz eignet sich
r
für die Lösung von
# F " dt oder F " $t Aufgaben, in denen
nennt man Impuls
Masse,
Geschwindigkeit, Kraft
und Zeit miteinander
verknüpft sind.
!
Fx = m " a x
Fy = m " a y
Fz = m " a z
!
!
Rotation
M =!J " #
!
" = 2# $ n
!
r
r
#F = m"a
!
!
t0
!
r
$ M = J S "#
t1
Impuls
m!
"!
V!
F!
v!
M!
J!
#
m " v 0y +
t0
JS = Massenträgheitsmoment bezüglich
dem Schwerpunkt.
Translation
Bewegungsgrösse
$
t1
# Fx " dt = m " v1x &
m " v 0x +
Prinzip d!Alembert
!
c = gemeinsame Geschwindigkeit, welche beide
Körper während dem Stoss haben (ganz kurze Zeit)
!
an = " 2 # r ; at = $ # r
Drall
# F " dt
Drallimpuls
!
!
!
!
Masse!
Dickte!
Volumen!
Kraft!
Geschwindigkeit!
Moment!
Massenträgheitsm.!
Impulserhaltungs-Satz
!
Rotation
m"v
[kg]
[kg/m3]
[m3]
[N]
[m/s]
[Nm]
[kgm2]
#!
a!
$!
J "#
# M " dt
r
# mi " v i = konst.
(# m " vr ) = (# m " vr )
i
!
!
Winkelgeschw.!
Beschleunigung!
Winkelbeschl.!
&
%
&
Fy " dt = m " v1y &
'
i
0
i
i
1
Schiefer,Gerader
zentrischer
Stoss
Stoss
Für eine geradlinige Bewegung kann man auf die
Vektorschreibweise verzichten. Sonst ist es
zweckmässig die Kräfte in x-,y-Komponenten zu
zerlegen.
Schiefer Stoss
• Es wirken keine äusseren Kräfte auf die
Massen.
• Impulserhaltungssatz gilt auch, wenn
Energieerhaltungssatz nicht angewendet
!!"#$%&'()*(+,#(-#)!$()*!)(%&-!()!.(%&-/)+!*#0!1-2$$3()(#!4156!
Beim geraden Stoss liegen die
Beim schiefen Stoss liegen die
werden kann.
Geschwindigkeitsvektoren immer
Geschwindigkeitsvektoren
!!15!"!72)-8,-#9#)#!
auf der Stosslinie.
irgendwo im Raum.
!
!!1-2$$!:#)-0($%&;!'#(3!15!*/0%&!9#(*#!1%&'#0</),-#!+#&-!
!
• Vektoren in x-, y-Richtung zerlegen
=(#!>#'#+/)+$:/$-?)*#!9#(*#0!7@0<#0!?)*#0)!$(%&!*/0%&!*#)!1-2$$A!BC
• für die x-Komponenten gelten die
normalen Gleichungen wie für den
7220*()8-#)$E$-#D!+#D?$$!B(+/0!#();!$2!,8))!'(#!F23+-!G20+#+8)+#)!'#
geraden Stoss
!
• für die y-Komponenten gibt es
1.!=(#!Geschwindigkeiten in Komponentenkeine
zerlegt!*#),#)!
Geschwindigkeitsänderung
vAy1=vAy2 ; vBy1=vBy2
!
!!!!#!*(#!y-Komponenten!93#(9#)!unverändert;!*(#!x-Komponenten!
• Die x-, und y-Komponente wieder
!
!!!!!!!!!9#(D!+#08*#)!:#)-0($%&#)!1-2$$;!*A&A!D8)!D8%&-!G2)!*#0!Stos
zu einem Vektor addieren.
!
!
Impulserhaltungssatz!()!x-Richtung!"#908/%&A!
!
2.!=(#!0#$/3-(#0#)*#)!"#$%&'()*(+,#(-#)!)8%&!*#D!1-2$$!#0&?3-!D8)!*/0
!!!!:/+#&@0(+#)!72D<2)#)-#)A
[s-1]
[m/s2]
[s-2]
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Dr. Yasar Deger
Kinetik
Impuls des starren Körpers
Kinematik / Kinetik
Massenträgheitsmoment
Hauptachsenproblem einer starren Scheibe
Massenträgheitsmoment
Zentrifugalmoment
J=
#r
2
" dm
!
rS = Abstand zum Schwerpunkt
Trägheitsradius i
J
m
i=
!
J = m "i 2
Der Trägheitsradius i ist der Abstand von der
Achse, wo man sich die Masse als
Punktmasse bei gleichem Trägheitsmoment
vorstellen kann.
!
!
mred =
!
J
r2
Die reduzierte Masse ist eine Punktmasse,
welche so gross ist, dass beim Abstand r von
der Drehachse das Trägheitsmoment
dasselbe bleibt. r kann gewählt werden
Jx + Jy
2
Jx + Jy
+
!
!
J max/ min =
!
!
Masse!
Dickte!
Volumen!
Kraft!
Geschwindigkeit!
Moment!
Massenträgheitsm.!
Jx # Jy
2
Jx # Jy
2
[kg]
[kg/m3]
[m3]
[N]
[m/s]
[Nm]
[kgm2]
#!
a!
$!
i!
D!
Winkelgeschw.!
Beschleunigung!
Winkelbeschl.!
Trägheitsradius!
Drall!
$
r
r
M s " dt = J s " #1
J "# = m " v " r = m " r2 "#
!
!
$ cos( 2% ) # J xy $ sin( 2% )
# J y " J x &2
2
± %
( + J xy
$ 2 '
r
J s " #!
0 +
t1
t0
tan( 2" ) =
2J xy
Jy # Jx
!
Reduziertes Massenträgheitsmoment
$ # '2
$ # '2
J redI = J I + J II " & II ) + J III " & III ) + ...
% #I (
% #I (
J z = J max + J min = J x + J y
!
!
Notizen:
m!
"!
V!
F!
v!
M!
J!
Jx + Jy
Die zeitliche Änderung des Dralls ist
gleich dem äusseren Moment, das diese
Änderungen bewirkt.
Drallsatz für Einzelmassen
!
#
$ cos( 2% ) + J xy $ sin( 2% )
2
2
Jx # Jy
=
$sin( 2% ) + J xy $ cos( 2% )
2
J& =
r
r dD
M=
dt
Der D- und #-Vektor sind gleichgerichtet
Trägheitsmomente für das um " gedrehte KSYS:
J& "
J = mred " r 2
J xy = J x y + x s " y s " m
J Z = J X + J Y!= J " + J #
J" =
!
reduzierte Masse mred
r
r
D = J "#
Umrechnung auf die Schwerpunktsachse:
# x " y " dm
J xz = # x " z " dm
J yz = # y " z " dm
J xy =
J = J S + rs2 " m
Drall
[s-1]
[m/s2]
[s-2]
[m]
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Kinetik
Impuls des starren Körpers
Kinematik / Kinetik
Drehung um Achsen, welche parallel zur Hauptachse liegen
Exzentrische Stoss (Drehstoss) zweier rotierender Massen
Exzentrische Stoss (Drehstoss) Translativ / Rotativ
k=
JA
J
J
J
" # A1 + B " # B1 = A " # A2 + B " # B 2
rA
rB
rA
rB
!
Js " #0 + m " r 2 " #0 +
rA = rB = r
t1
$ M A " dt = J s " #1 +m " r 2 " #1
!
JA = Js + m " r 2
!
$ M A " dt = J A " #1
t0
!
r
r
D = J " # = konst.
J1 " #1 = J 2 " # 2
!
Punkt, auf den keine Kraft übertragen wird
!
!
Drallerhaltungssatz
Der Körper wird im
Abstand s vom
Schwerpunkt S
gestossen. Dieser Stoss
bewirkt eine Schiebung
und eine Drehung.
!
allgemeine ebene Bewegung
t1
m " v 0x +
Phase 1:
J AS " # A1 + mA " v A S1 " rS $ rA " % F " dt = J AS " # *A + mA " v *AS " rS
t1
# Fx " dt = m " v1x
; m " v 0y +
t0
# Fy " dt = m " v1y
v AS
= " ; J A = J AS + m A # rS2 $
rS
t0
t1
Js " #0 +
!
$ M s " dt = J s " #1
!
t0
#t
m " v 0 + Fu " #t $
0
m!
"!
V!
F!
v!
M!
J!
Masse!
Dickte!
Volumen!
Kraft!
Geschwindigkeit!
Moment!
Massenträgheitsm.!
[kg]
[kg/m3]
[m3] !
[N]
[m/s]
[Nm]
[kgm2]
#!
a!
$!
i!
D!
r!
Winkelgeschw.!
Beschleunigung!
Winkelbeschl.!
Trägheitsradius!
Drall
Radius!
[s-1]
[m/s2]
[s-2]
[m]
[m]
# F " dt = m " v
J AS " # *A + mA " v *AS " rS $ rA " % K " dt = J AS " # A 2 + mA " v AS 2 " rS
J s " # 0 $ Fu " %t " r = J s " #1
!
% F " dt = m " v1
J A " # A1 + rA " $ F " dt = J A " # *A
Phase 2:
!
!
Der Stossmittelpunkt ist
auch der momentane
Drehpol, der durch den
Stoss eingeleitet wird.
Wenn im System rotierender Massen
kein äusseres Moment angreift, bleibt
der Drall erhalten.
!
!
vA
r
!
Bestimmung Stossmittelpunkt
t1
JA " #0 +
"A =
J A " # A = mA " v A " r = mA " r2 " # A
t0
Nach dem Satz von Steiner:
rB " # B2 $ rA " # A 2
rA " # A1 $ rB " # B1
!
!
v AS
= " ; J A = J AS + m A # rS2 $
rS
k=
rB " # B2 $ rA " # A 2
!
rA " # A1 $ rB " # B1
v
mit " = #
r
!
!
J A " # *A $ rA " % F " dt = J A " # A2
!
!
JA
J
J
J
" # A1 + B " # B1 = A " # A2 + B " # B 2
rA
rB
rA
rB
!
JA
J
J
J
" v A1 + B2 " v B1 = A2 " v A2 + B2 " v B 2
2
rA
rB
rA
rB
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!
!
v=
s " $ F " dt = J s " #
e=
1
m
J s # $ F # dt
v
J
!
=
= s
" m # s # $ F # dt m # s
# F " dt
e!=
"=
s
Js
$ F # dt
i2
s
Der Stossmittelpunkt 0 liegt im Abstand e
vom Schwerpunkt auf der Normalen zur
Stosslinie, die durch den Schwerpunkt geht.
!
Kinetik
Kreiselung / d‘Alembert
Kinematik / Kinetik
Kreiselung
erzwungene Präzession
Massenpunkt (d!Alembert)
Die Kreiselachse wird im Raum gedreht.
gradlinige Bewegung
r
r
r
r
#F = m"a
$F " m#a = 0
!
M K = J "#p "#
r
r r
M K = J "# "#p
!
Coriolis-Kraft
!
M " #t = #$ " J " %
#$
M = J "% "
#t
#$
lim
= %p
#t&0 #t
Fcor = m " a cor = m " 2# " v rel
r
r r
Fcor = 2m " # $ v rel
M = J "# "#p
r
r r
M = J "#p "#
!
Die Coriolis-Kraft ist der Coriolis-Beschleunigung
gleichgerichtet
krummlinige Bewegung
Kartesisches Koordinatensystem
$ Fx " m # a x = 0
$ Fy " m # a y = 0
Polares Koordinatensystem
!
!
!
Ist die Kraft, welche die Coriolis-Beschleunigung
!
erzeugt.
!
!
$ Fr " m # a r = 0
$ F% " m # a% = 0
Natürliches Koordinatensystem
!
$ Fn " m # a n = 0
$ Ft " m # a t = 0
Wird bei beim Gegengewicht des rotierenden Kreisels noch eine Zusatzmasse angehängt,
erfährt der Kreisel nicht nur ein Moment um die z-Achse, sondern auch noch eine Drehung
um die y-Achse (Prezession)
!
Wenn zwischen den beiden Vektoren #
und #p nicht 90° dazwischen sind, gilt es
folgende Formel anzuwenden:
M = J " # " # p " sin( $ )
Z = m " an = m
Zentrifugal- oder Fliehkraft
Wirkt als Trägheitskraft der Normalbeschleunigung (zeigt zum
Drehzentrum) entgegen.
!
!
m!
"!
V!
F!
v!
M!
J!
Masse!
Dickte!
Volumen!
Kraft!
Geschwindigkeit!
Moment!
Massenträgheitsm.!
[kg]
[kg/m3]
[m3]
[N]
[m/s]
[Nm]
[kgm2]
#!
a!
$!
i!
D!
r!
#p!
Winkelgeschw.!
Beschleunigung!
Winkelbeschl.!
Trägheitsradius!
Drall
Radius!
Präzessionswinkg.!
v2
= m " r "#2
r
[s-1]
[m/s2]
[s-2]
[m]
Z!
Fliehkraft!
[N]
[m]
[s-1]
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Kinetik
d‘Alembert
Kinematik / Kinetik
Drehung um Hauptachsen (Schwerpunktachsen)
M = J S "#
allgemeine ebene Bewegung
r
r
M " J S #$ = 0
" Fx = 0
" Fy = 0
"M = 0
" Fx = 0
" Fy!= 0
"M = 0
!
Notizen:
!
!
Drehung um Achsen, die parallel zu den Hauptachsen liegen
Drehung um eine beliebige Achse
M X = J XY " # + J YZ " $ 2
M Y = "J Y # $
!
!
!
Es gelten:
Fn = m " a n
Ft = m " a t
M = J S "#
$ Fx " m # a x = 0 $ Fy " m # a y = 0
!
!
!
% M " J S #$ = 0
!
m·a, sowie J ist jeweils im Schwerpunkt,
bzw. Schwerpunktachse einzuzeichnen!
!
m!
"!
V!
F!
v!
M!
J!
Masse!
Dickte!
Volumen!
Kraft!
Geschwindigkeit!
Moment!
Massenträgheitsm.!
[kg]
[kg/m3]
[m3]
[N]
[m/s]
[Nm]
[kgm2]
#!
a!
$!
i!
D!
r!
#p!
Winkelgeschw.!
Beschleunigung!
Winkelbeschl.!
Trägheitsradius!
Drall
Radius!
Präzessionswinkg.!
[s-1]
[m/s2]
[s-2]
[m]
Z!
Fliehkraft!
[N]
[m]
[s-1]
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M Z = "J XY # $ 2 + J YZ # %
Falls die y-Achse eine Hauptachse ist gilt folgendes:
J XY = 0 ; J YZ = 0 ; M X = 0 M Z = 0
Kinetik
Energie
Kinematik / Kinetik
Arbeit
Notizen:
Leistung
Generell
Kraft in Bewegungsrichtung
Kraft auf einer Kreisbahn
P = F "v
P = M "#
s2
W =
$ F " cos(# ) " ds
s1
Beschleunigungsleistung
Beschl. in Bewegungsrichtung
P = m"a "v
konstante Kraft!
in
Beschl. auf einer Kreisbahn
P = J "# " $
!
Bewegungsrichtung
W = F "s
!
Energiesatz
Energie ist das Vermögen, Arbeit zu verrichten.
!
Schiebung
!
Kreisbahn
E pot = m " g " h
!
#2
W =
$ M " d#
Ekin
Ekin =
J
"#2
2
Feder
#1
!
konstante Kraft in
Bewegungsrichtung
!
Eel =
c 2
"s
2!
allg. ebene Bewegung*
W = M "#
!
rotierender Körper
m
= " v2
2
Ekin =
Höhendifferenz
!
!
m 2 Js
" vs + " # 2
2 !
2
* Überlagerung Schiebung mit
Schwerpunktsgeschwindigkeit
und Drehung um die
Schwerpunktsachsen.
W = FG " ( y 2 # y1 )
Es spielt nur der Höhenunterschied eine Rolle,
nicht der Weg, den die Masse zurückgelegt hat!
Energiesatz
!
Feder
# E1 ± "E = # E2
Bsp:
W =
c 2 2
s2 " s1
2
(
)
Die Arbeit ist null, wenn
1.
die Kraft senkrecht auf der Verschiebungsrichtung steht,
2.
die Kraft nicht!relativ zur Unterlage verschoben wird,
3.
es sich um innere Kräfte handelt, d.h. nur äussere Kräfte
verrichten eine Arbeit
W!
F!
s!
M!
%!
P!
v!
Arbeit!
Kraft!
Weg!
Moment!
Winkel!
Leistung!
Geschwindigkeit!
[Nm (J)]
[N]
[m]
[Nm]
[°]
[W]
[m/s]
#!
J!
$!
a!
m!
Epot!
Ekin!
Winkelgeschw.!
Trägheitsmoment!
Winkelbeschl.!
Beschleunigung!
Masse!
pot. Energie!
kin. Energie!
!
# E1 + W Mot " W Masch " W R = # E2
Massenpunkt (Stossverlust)
!
WR =
mA " mB
2
" ( v A1 # v B1 ) " 1# k 2
2( mA + m B )
(
)
Bezeichnungen siehe Stoss-Theorie
[rad/s]
2]
[kgm!
[rad/s2]
[m/s2]
[kg]
[J]
[J]
h!
g!
Eel!
WR!
Höhe!
Erdbeschl. 9.81!
elast. Energie!
Stossverlust!
[m]
[m/s2]
[J]
[J]
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