Lösungswege

Zu Aufgabe 1)
Bei vollkommener Konkurrenz wird angenommen, dass jeder einzelne Anbieter den Preis als
gegeben hinnimmt.
Gewinn = Erlös − Kosten
⇒ πn = Pqn − cqn  Einsetzen von c = 6
⇒ πn = Pqn − 6q n
Gewinnmaximierung führt dann zu
max πn
⇒
qn
!
dπn
= P − 6 = 0 Annahme: Symmetrie der Anbieter ( Q = Nqn )
dqn
⇒ 18 = 0.5Nqn
⇔ q *n =
36
36
=0
⇒ Q* = Nqn* = 36 ⇒ P* = 24 − 0.5 ⋅ 36 = 6 = c ⇒ πn* = (6 − 6) ⋅
N
N
Vorbereitend auf Aufgabe 2)
Wohlfahrt (W) = Produzentenrente (PR) + Konsumentenrente (KR)
Bei vollkommener Konkurrenz (VK) gilt im Gleichgewicht:
PRVK = Nπn* ⇒ PRVK = 0
KRVK =
(24 − P* ) Q*
( 24 − 6) ⋅ 18
⇒ KRVK =
= 324
2
2
⇒ WVK = PRVK + KRVK = 324
Zu Aufgabe 2)
Im Gegensatz zur vollkommenen Konkurrenz nimmt der Monopolist den Preis nicht hin, sondern
bestimmt ihn selbst über die Ausbringungsmenge.
Gewinn = Erlös − Kosten
⇒ πM = PM QM − cQM
 Einsetzen von c = 6 und PM = 24 − 0.5QM
⇒ πM = ( 24 − 0.5QM )QM − 6QM
max πM
QM
⇒
!
dπM
= 18 − QM = 0  Im Gegensatz zur VK wird hier also auch PM
dQM
mittelbar mit abgeleitet.
⇔ QM* =18 ⇒ P* = 24 − 0.5 ⋅ 18 = 15 ≠ c ⇒ πM* =(15 − 6) ⋅ 18 = 162
Da die Wohlfahrt bei vollkommener Konkurrenz am größten ist, wird die Effizienz bei Monopol
an ihr gemessen:
Effizienz bei Monopol ( EffM ) = Wohlfahrt im Monopol (M)/ Wohlfahrt bei VK
Ausgedrückt in Prozent haben wir dann EffM (%) =
PRM = π*M ⇒ PRM = 162
KRM =
( 24 − PM* )QM*
( 24 − 15) ⋅ 18
⇒ KRM =
= 81
2
2
WM = PRM + KRM ⇒ WM = 162 + 81 = 243
⇒ EffM (%) =
243
⋅ 100 = 75
324
WM
⋅ 100 .
WVK
Zu Aufgabe 3)
Im Gegensatz zur vollkommenen Konkurrenz beeinflussen im Cournot-Duopol beide Anbieter
den Preis signifikant durch ihre Ausbringungsmengen. Anders als im Monopol “beschränken” sie
sich dabei aber gegenseitig.
Gewinn = Erlös − Kosten
⇒ πn = PC qn − cqn , n = 1,2  Einsetzen von c = 6 und PC = 24 − 0.5( q1 + q2 )
⇒ πn = [ 24 − 0.5(q n + q −n )]qn − 6qn , n ≠ − n
Gewinnmaximierung führt dann zu
max πn
qn
⇒
!
dπn
= 18 − qn − 0.5q −n = 0
dqn
⇒ qn = 18 − 0.5q− n
Dies ist die Reaktionskurve von Anbieter n .
Aufgrund der Symmetrie beider Anbieter ist q −n = 18 − 0.5qn die Reaktionskurve des Anbieters
− n . Man kann nun in die Reaktionskurven die jeweilige Reaktionskurve des anderen Anbieters
einsetzen und erhält dann
⇒ qn = 18 − 0.5[18 − 0.5qn ] ◊
⇔ qn = 9 + 0.25qn
⇔ q *n = 12 , n = 1,2 ⇒ QC* = q1* + q*2 = 24 ⇒ PC* = 24 − 0.5 ⋅ 24 = 12
⇒ πn* = (12 − 6) ⋅ 12 = 72 , n = 1,2
◊
Dies ist der ausführliche Weg, den man bei Nicht-Symmetrie der Anbieter gehen muss. Bei
Symmetrie, wie in unserer Aufgabe, kann man allerdings auch einfach q −n = qn setzen, so dass
nur q n = 18 − 0.5qn berechnet werden muss.
Effizienz des Cournot-Duopols ( EffC )
= Wohlfahrt im Cournot-Duopol (C)/ Wohlfahrt bei VK
Ausgedrückt in Prozent haben wir dann:
⇒ EffC (%) =
WC
⋅100
WVK
PRC = π1* + π*2 ⇒ PRC = 72 + 72 = 144
KRC =
( 24 − PC* )QC*
( 24 − 12) ⋅ 24
⇒ KRC =
= 144
2
2
WC = PRC + KRC ⇒ WM = 144 + 144 = 288
⇒ EffC (%) =
288
⋅ 100 = 88.89
324
Zu Aufgabe 4)
Wie
auch
im
Cournot-Duopol
beeinflussen
beide
Anbieter
den
Preis
durch
ihre
Ausbringungsme ngen und, im Gegensatz zum Monopol, “beschränken” sie sich dabei
gegenseitig. Dadurch, dass im Stackelberg-Duopol der Stackelberg-Führer (Anbieter A) zuerst
über die Ausbringungsmenge entscheidet, hat er eine größere Machtstellung gegenüber dem
Stackelberg-Folger (Anbieter B), der die Entscheidung des Anbieters A beobachten kann. Man
kann beide Anbieter also nicht mehr als symmetrisch betrachten. Um dieses sequentielle Spiel zu
lösen, beginnt man bei der Gleichgewichtsbestimmung von hinten (Stufe 2), bevor man zur Stufe
1 kommt (backwards induction).
Stufe 2:
Die Reaktionskurve des Anbieters B ist dieselbe wie im Cournot-Duopol:
⇒ qB = 18 − 0.5q A
Stufe 1:
Anbieter A antizipiert die Reaktionskurve von Anbieter B und berücksichtigt diese
bei der Gewinnmaximierung.
Gewinn = Erlös − Kosten
⇒ πA = PS q A − cq A
⇒ πA = [ 24 − 0.5( q A + qB )]q A − 6 q A  Einsetzen von c = 6 und PS = 24 − 0.5( q A + qB )
⇔ πA = 18q A − 0.5q A2 − 0.5q A q B
 Einsetzen der Reaktionskurve von Anbieter B
⇒ πA = 18q A − 0.5q 2A − 0.5q A (18 − 0.5q A )
⇔ πA = 9 q A − 0.25q 2A
Gewinnmaximierung führt dann zu
max πA
qA
⇒
!
dπA
= 9 − 0.5q A = 0
dq A
⇔ q *A =18 ⇒ q *B = 18 − 0.5 ⋅ 18 = 9 ⇒ QS* = q *A + q*B = 27
⇒
PS* = 24 − 0.5 ⋅ 27 = 10.5 ⇒ π *A = (10.5 − 6) ⋅18 = 81 ⇒ πB* = (10.5 − 6) ⋅ 9 = 40.5
Effizienz des Stackelberg-Duopols ( EffS )
= Wohlfahrt im Stackelberg-Duopol (S)/ Wohlfahrt bei VK
Ausgedrückt in Prozent haben wir dann:
⇒ EffS (%) =
WS
⋅ 100
WVK
PRS = π *A + π*B ⇒ PRS = 81 + 40.5 = 121.5
KRS =
( 24 − PS* ) QS*
( 24 − 10.5) ⋅ 27
⇒ KRS =
= 182.25
2
2
WS = PRS + KRS ⇒ WS = 121.5 + 182.25 = 303.75
⇒ EffS (%) =
303.75
⋅100 = 93.75
324
Zu Aufgabe 5)
Auch im Cournot-Oligopol beeinflussen Anbieter durch ihre Ausbringungsmengen den Preis und
“beschränken” sich dabei gegenseitig. Allerdings nimmt der Einfluss des Einzelnen mit
zunehmender der Anzahl der Anbieter ab.
Gewinn = Erlös − Kosten
⇒ πn = Pqn − cqn , n = 1,2,..., N  Einsetzen von c = 6 und
PC = 24 − 0.5( q1 + ... + qn + ... + q N )
⇒ πn = [24 − 0.5(q1 + ... + qn + ... + q N )] qn − 6q n
Gewinnmaximierung führt dann zu
max πn
qn
⇒
!
dπn
= 18 − qn − 0.5( N − 1) q−n = 0 , n ≠ − n
dqn
⇒ qn = 18 − 0.5( N − 1) q−n
 Dies ist die Reaktionskurve von Anbieter n
Aufgrund der Symmetrie aller Anbieter ist q −n = 18 − 0.5( N − 1)q n die Reaktionskurve von
Anbieter − n und man kann q n = q− n setzen [siehe auch Aufgabe 3].
⇒ qn = 18 − 0.5( N − 1) qn
⇔
(N + 1)
q n = 18
2
⇔ q *n =
36
36 N
, n = 1,2,..., N ⇒ QC* =
⇒
N +1
N +1
PC* = 24 − 0.5 ⋅
36 N 6 N + 24
=
N +1
N +1
 6 N + 24 6  36
⇒ πn* =
− ⋅
, n = 1,2,..., N
 N +1
 N +1
(Bemerkung: Wenn sie N = 2 setzen, so sehen Sie, dass das Cournot-Duopol aus Aufgabe 3 ein
Spezialfall des Cournot-Oligopols ist.)
Für N → ∞ :
lim QC* = lim
N→∞
N→∞
36 N
= 36 ⇒ lim PC* = 24 − 0.5 ⋅ 36 = 6 ⇒ lim πn* =( 6 − 6) ⋅ 0 = 0 ,
N→∞
N →∞
N +1
n = 1,2,..., N
Man kann sehen, dass sich mit steigender Anzahl an Anbieter die Lösung an die bei
vollkommener Konkurrenz angleicht.
Effizienz des Cournot-Oligopols ( EffC )
= Wohlfahrt im Cournot-Oligopol (C)/ Wohlfahrt bei VK
⇒ EffC (%) =
WC
⋅100
W*
Beispiel 1: N → ∞ :
N
PRC = ∑ πn* ⇒ lim PRC = 0
n =1
KRC =
N→∞
( 24 − PC* )QC*
( 24 − 12) ⋅ 24
⇒ KRC =
= 144
2
2
WC = PRC + KRC ⇒ WM = 144 + 144 = 288
EffC (%) =
⇒ Nlim
→∞
Beispiel 2: N = 6 :
324
⋅ 100 = 100
324
PRC = 6 ⋅ 13.22 = 79.32
KRC =
( 24 − 8.57 ) ⋅ 30.86
= 238.08
2
WC = PRC + KRC ⇒ WM = 79.32 + 238.08 = 317.40
⇒ EffC (%) =
317.40
⋅ 100 = 97.96
324
Zu Aufgabe 6)
Im Bertrand-Duopol konkurrieren beide Anbieter unmittelbar mit dem Preis und nicht wie im
Cournot-Duopol unmittelbar mit der Ausbringungsmenge. Im Gegensatz zum Monopol [siehe
Aufgabe 2], führt dies zu anderen Ergebnissen. Unter der Annahme, dass im Falle gleicher Preise
die Nachfrage geteilt wird, ist der Gleichgewichtspreis PB* = p *B ,1 = p *B , 2 = GK = 6 . Läge er
darüber, so würde der Anbieter mit dem niedrigeren Preis die ganze Nachfrage auf sich ziehen.
Der Anbieter mit dem höheren Preis hat dann aber den Anreiz seinen Preis unterhalb des Preises
des anderen Anbieters zu wählen, aber zumindest gleich zu setzen. Dieser Prozess dauert solange
an, bis die Preise beider Anbieter gleich den Grenzkosten sind. Das gleiche Ergebnis gilt übrigens
auch bei mehr als 2 Anbietern. Es zeigt sich also, wenn zumindest 2 Anbieter sich im
Preiswettbewerb befinden, entsprechen die Gleichgewichtspreise im Bertrand-Duopol bzw. –
Oligopol dem Gleichgewichtspreis bei vollkommener Konkurrenz. Das bedeutet aber auch, dass
im Gleichgewicht die Effizienz im Bertrand-Duopol bzw. Oligopol 100% beträgt.