Folgen und Reihen

Folgen und Reihen
René Müller
23. Mai 2002
Inhaltsverzeichnis
1 Folgen
1.1 Definition und Darstellung einer reellen Zahlenfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Rekursive Definition einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Grenzwert und unendliche Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
4
2 Reihen
6
3 Arithmetische Folgen und Reihen
6
4 Geometrische Folgen Reihen
8
5 Rechnen mit Grenzwerten
5.1 Beispiele zu Grenzwert-Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
11
2
V. Folgen und Reihen
1
Folgen
1.1
Definition und Darstellung einer reellen Zahlenfolge
Definition 1.1 Unter einer reellen Zahlenfolge versteht man eine geordnete
Menge reeller Zahlen. Die symbolische Schreibweise lautet:
(n ∈ N∗ )
han i = a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .
Die Zahlen a1 , a2 , a3 , . . . heissen Glieder der Folge, an ist das n-te Glied der
Folge.
Das allgemeine Glied einer Folge han i kann durch einen Term in der Variablen n angegeben, dem
sogenannten Bildungsgesetz. In diesem Fall nennt man die Folge explizit definiert.
Beispiel 1.1 Das Bildungsgesetz einer Folge han i sei an = 4n − 1. Somit lautet die ersten vier
Glieder der Folge.
a1 = 4 · 1 − 1 = 3,
a2 = 4 · 2 − 1 = 7,
a3 = 4 · 3 − 1 = 11,
a4 = 4 · 4 − 1 = 15
Somit lautet die Folge:
han i = 3, 7, 11, 15, . . .
Die Glieder einer Folge han i lassen sich durch Punkte auf einer Zahlengerade darstellen. Für die
Zahlenmenge
1
1 2 3
n−1
han i = 1 −
= 0, , , . . .
...
n
2 3 4
n
liegen die ersten vier Glieder wie folgt auf dem Zahlenstrahl:
a0
a2
a3
a4 a5
0
1
2
2
3
3 4
4 5
1
Aufgabe 1.1 Geben Sie die ersten fünf Glieder folgender Folgen an.
a) an = n2 − 3n
b) bn = (n + 1)− 1
c) cn = 2n − 1
d) dn = (n + 1)! : n!
n
e) en =
2
Aufgabe 1.2 Welches ist das kleinste Glied der Folge yn = 0.5n2 − 12n + 3?
Aufgabe 1.3 Gesucht ist das kleinste n, für welches xn kleiner als 0.1 ist.
a) xn = 0.9n
b) xn = 0.999n
Aufgabe 1.4 Geben Sie die ersten 10 Elemente der Folge hn ist eine Primzahli an.
1 Definition und Darstellung einer reellen Zahlenfolge
1.1.1
3
Rekursive Definition einer Folge
Definition 1.2 Rekursiv definiert nennt man eine Folge, wenn das allgemeine Glied an durch einen oder mehrere Vorgänger bestimmt wird.
Beispiel 1.2 Für Fakultät n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1 existiert ebenfalls eine rekursive
Definition n! = an :
an = n · an−1 ,
a0 = 1
Die Definition beinhaltet zum Einen den Zusammenhang zum Vorgänger-Glied an = n · an−1
und zum Anderen eine sogenannte Verankerung bei a0 = 1 damit die Rekursion nicht unendlich
fortgesetzt wird, sondern beim Element a0 abbricht.
Wir beginnen Die Berechnung mit dem Element a1 . Da dieses Element nicht als Verankerung in
der Definition vorkommt, müssen wir die rekursive Abbildungsvorschrift verwenden. a1 = 1 · a0 .
Das Vorgänger-Element entnehmen wir als Verankerung aus der Definition. Also können wir a1
berechnen: a1 = 1 · 1 = 1. Nun können wir das zweite Element a2 mit Hilfe von a1 berechnen.
Dieser Prozess kann der Reihe nach beliebig fortgesetzt werden. Somit erhalten wir für die ersten
Glieder der Folge han i = hn!i:
han i = hn!i = 1, 2, 6, 24, 120, 720 ...
Aufgabe 1.5 Berechnen Sie das 6. Glied der Folgen:
a) an+1 = an + 8,
b) bn = 3bn−1 ,
a1 = 6
b1 = 1
c) cn = 2cn−1 + n,
c1 = 3
d) xn+1 = an−1 + an ,
a1 = 1, a2 = 3
Aufgabe 1.6 Gegeben sei die Folge hxn i mit xn+1 = 0.5xn und x1 = 1024. Wie viele Glieder
dieser Folge sind grösser als 0.1?
Aufgabe 1.7 Schreiben Sie die Folgen sowohl explizit als auch implizit.
a) han i = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
b) hbn i = 1, 4, 7, 10, 13, . . .
c) hcn i = 6, 24, 120, 720, 5040, . . .
d) hdm i = 3, 33, 333, 3333, . . .
Aufgabe 1.8 Definieren Sie die Folgen rekursiv
a) han i = 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, . . .
b) hbn i = 1, 101, 10101, 1010101, . . .
c) an = 3n − 1
Aufgabe 1.9 Gegeben ist die Folge hxn i =
100
k
a) Wie viele Glieder hat die Folge höchstens?
b) Geben Sie eine Rekursionsformel an.
1 Grenzwert und unendliche Folgen
4
Beispiel 1.3 Das Sirpiński-Dreieck ist ein bekanntes Beispiel aus der Fraktalen-Geometrie. Es
handelt sich dabei um eine unendlich lange fortgesetzte Abbildung. Wobei bei jedem Schritt eine
neue Figur entsteht. Man kann daher auch von einer Folge von Dreicken sprechen.
Das Sirpiński-Dreieck entsteht aus einem gleichseitigen Dreieck durch sukzessive Entfernung der
jeweiligen um den Faktor 2 verkleinerten Dreiecke, deren Ecken die jeweiligen Seitenmittelpunkte
der Dreiecke aus dem vorangehenden Iterationsschritt sind. In jedem Iterationsschritt verringert
sich die Fläche um den Faktor 3/4.
Die ersten Konstruktionsschritte des Sierpinski−Dreieck
1.2
Grenzwert und unendliche Folgen
Wir wollen uns zunächst eingehend mit den Eigenschaften der Zahlenfolge
1
han i = 1 −
n
beschäftigen und erstellen zu diesem Zweck eine Wertetabelle:
n
1
an
0
2
1
2
3
2
3
···
10
···
100
···
1000
···
···
0.9
···
0.99
···
0.999
···
Wir können der Tabelle folgende Eigenschaften entnehmen:
1. Alle Glieder (Funktionswerte) sind kleiner als 1, d.h. es gilt ak < 1,
∀k
2. Mit zunehmendem Index n werden die Glieder der Folge und nähern sich der Zahl 1.
Ziehen wir daraus die Folgerung, dass in jeder noch so kleinen Umgebung der Zahl 1 fast alle
Glieder der Folge liegen. So ist beispielsweise ab dem 11. Glied der Abstand aller folgenden
Glieder von der Zahl 1 kleiner als 0.1. Mit anderen Worten, alle Glieder an mit n ≥ 11 erfüllen
die Bedingung |an − 1| < 0.1. Vom 101. Glied an ist der Abstand aller Folgeglieder von der Zahl
1 sogar noch kleiner als 0.01. Das heisst, jedes Glied an mit n ≥ 101 erfüllt |an − 1| < 0.01.
Mit zunehmenden n unterscheiden sich die Glieder von han i immer weniger von 1. Man spricht
daher auch von einem Grenzwert der Folge.
1 Grenzwert und unendliche Folgen
5
Definition 1.3 Die reelle Zahl g heisst Grenzwert oder Limes der Zahlenfolge han i, wenn es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl n0 gibt, so dass für alle
n ≥ n0 stets
|an − g| < ε
ist. Eine Folge mit dieser Eigenschaft nennt man konvergent.
Mit anderen Worten besagt obige Definition, dass man den Grenzwert einer konvergenten Folge mit
endlich vielen Gliedern beliebig genau annähern kann. Das heisst der geforderte maximal Abstand
vom Grenzwert g ergibt, die Anzahl nötige Glieder n0
Beispiel 1.4 Ab welchem Glied n0 besitzt die Glieder der Folge han i =
1
einen Abstand
n
kleiner als 0.1 vom Grenzwert 0?
Die Bedingung lautet hier:
1
1
<
n
10
Durch kreuzweises Multiplizieren erhalten wir:
n > 10
Das heisst, ab dem 11. Glied der Folge han i liegen die Werte der Glieder alle näher als 0.1 bei 0.
Definition 1.4 Eine Folge han i heisst konvergent, wenn Sie einen Grenzwert
g besitzt. Symbolische Darstellung des Grenzwertes:
lim an = g
n→∞
Gelesen: Limes von an für n gegen Unendlich gleich g.
Eine Folge han i, die keinen Grenzwert besitzt, heisst divergent.
Beispiel 1.5 Die Folge han i =
1
ist konvergent mit dem Grenzwert 0.
n
1
g = lim
=0
n→∞ n
Beachten Sie, dass unter dem Limes n → ∞ steht und nicht n = ∞. n wird nie gleich Unendlich
gesetzt. Die Variable n wird nur beliebig genau, d.h nach Definition 1.3 an Unendlich heran geführt.
Beispiel 1.6 Die Folge han i = hn3 i = 1, 8, 27, 64, . . . besitzt keinen Grenzwert.
g = lim n3 = ∞
n→∞
Mit zunehmenden n wird auch dessen dritte Potenz grösser. Dieser Trend ist unaufhaltsam, es
gibt also keinen Grenzwert. Die Folge ist daher divergent.
6
2
Reihen
Definition 2.1 Eine Reihe ist die Summe von Gliedern einer Folge han i.
sk = a1 + a2 + · · · + ak−1 + ak =
k
X
ai
i=1
sk ist die Summe der Glieder ai von i = 1 bis i = k.
Es wird zwischen endlichen und unendlichen Folgen unterschieden. Bei undenlichen Folgen geht k
gegen ∞.
Beispiel 2.1 Die Kreiszahl π kann durch eine Reihe berechnet werden. Sie ist durch folgende
unendliche Reihe gegeben:
"∞
#
X (−1)k
1 1 1 1
π=4
= 4 1 − + − + − ···
2k + 1
3 5 7 9
k=0
Aufgrund der wechselnden Vorzeichen der Glieder spricht man hier auch von einer alternierenden
Reihe. Betrachen wir die Summe πk der ersten k Glieder.
π10
π100
π1000
π100000
≈
≈
≈
≈
3.041840
3.131593
3.140593
3.141493
Wenn der Rechner arithmetische Operation mit beliebiger Genauigkeit durchführen könnte, kann
π auf beliebig viele Stellen genau berechnet werden.
3
Arithmetische Folgen und Reihen
Das Merkmal von arithmetischen Folgen und Reihen liegt darin, dass die Differenz zwischen zwei
aufeinanderfolgenden Gliedern konstant ist. Beispiel arithmetischer Reihen:
1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
2, 4, 6, 8, 10, 12, . . .
50 48, 46, 44, . . .
An den obigen Beispielen sehen wir, dass die Differenz zwischen den Gliedern der Folge stets
konstant ist. Daraus kann ein Bildungsgesetz für arithmetische Reihen festgelegt werden.
Definition 3.1 Eine arithmetische Folge ak lässt sich nach dem Bildungsgesetz
ak+1 = ak + d
festlegen. Die Differenz d zwischen den Gliedern ist eine Konstante. Zur eindeutigen Definition der Folge muss zusätzlich ein Anfangselement a1 angegeben
werden.
Beispiel 3.1 s sei die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 100. Wie gross ist s?
s=
100
X
k = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 98 + 99 + 100 =?
k=1
7
Es stellt sich die Frage, ob es für die Berechnung der Summe, z.B. der Summe der natürlichen
Zahlen von 1 bis 100, eine kompakte Formel existiert, so dass zur Berechnung des Summenwerts
nicht alle 100 Glieder aufsummiert werden müssen. Dies ist eine Überlegung wert.
Scheiben wir zunächst die Summe der Glieder der Reihe nach auf.
s =
1
+
2
+
3
+
4
+ · · · + 98 + 99 + 100
s = 100 + 99 + 98 + 97 + · · · +
3
+
2
+
1
2s = 101 + 101 + 101 + 101 + · · · + 101 + 101 + 101
Nun schreiben wir diese Glieder in einer weiteren Zeile noch einmal auf, diesmal jedoch in absteigender Reihenfolge. Wenn wir nun jeweils die Summanden dieser dieser beiden Summen miteinander
addieren, erhalten wir jedes mal den Wert 101. Da pro Zeile 100 Summanden vorhandnen ist
erhalten wird als Ergebnis dieser Addition den Wert 100 · 101. Somit ist
+
2s = 101 · 100 = 100 100
Da uns eigentlich nur s interessiert, können wir obige Gleichung durch zwei dividieren und erhalten
s = 5050. Also beträgt die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 100 5050. Beachten Sie dass
wir uns durch diese einfache Überlegung das mühsame addieren der 100 Terme in 99 Additionen
ersparen.
In Folgenden wollen wir eine allgemeine Formel für die Berechnung von arithmetischen Reihen
herleiten. Wir definieren die arithmetische Reihe wie folgt: ak+1 = ak + d mit dem ersten Element
a1 Die Variable sk sei die Summe der ersten k Elementen.
sk =
k
X
ai = a1 +a2 +· · ·+ak = a1 +(a1 +d)+(a1 +2d)+(a1 +3d)+· · ·+(a1 +(k−2)d)+(a1 +(k−1)d)
i=1
Wenn wir die Glieder ak durch den Anfagswert a1 sowie die Differenz d ausdrücken, können wir
die k a1 -Summanden zusammenfassen und d aus faktorisieren.
sk =
k
X
i=1
ai = k · a1 + d 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + (k − 2) + (k − 1)
Nun müssen wir die Zahlen von 1 bis und mit k − 1 aufsummieren. Also setzen wir analog zum
obigen Beispiel an.
+
s
s
2s
=
=
=
1
k−1
k
+
+
+
2
k−2
k
+
+
+
3
k−3
k
+
+
+
···
···
···
+
+
+
k−3
3
k
+
+
+
k−2
2
k
+
+
+
k−1
1
k
Somit haben wir k − 1 mal k in der untersten Zeile. Also ist dann
s=
k(k − 1)
2
Nun können wir s in die ursprüngliche Gleichung einsetzen:
sk =
k
X
ai = k · a1 + d · s = k · a1 + d ·
i=1
k(k − 1)
2
Wir haben somit eine Vorschrift, wie beliebige arithmetische Reihen berechnet werden. Halten wir
dieses Ergebnis in einem Satz fest.
Satz 3.1 Eine arithmetische Reihe sei gegeben durch das Anfangselement a1 sowie der Differenz
d der Glieder so dass für ein Glied ak gilt:
ak = ak−1 + d
Die Summe der ersten k Glieder der Reihe ist dann
k
X
k(k − 1)
sk =
ai = a1 + a2 + · · · + ak = k · a1 + d
2
i=0
.
8
4
Geometrische Folgen Reihen
Das Merkmal von geometrischen Folgen und Reihen besteht darin, dass der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist. Beispiele für geometrische Folgen:
han i = 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .
hbn i = 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, . . .
hcn i = 1 3, 9, 27, 81, . . .
An den obigen Beispielen sehen wir, dass die Quotient zwei aufeinanderfolgenden Gliedern stets
konstant ist.
bn+1
1
cn+1
an+1
= 2,
=
,
=3
an
bn
10
cn
der Folge stets konstant ist. Daraus kann ein Bildungsgesetz für geometrische Reihen festgelegt
werden.
Definition 4.1 Eine arithmetische Folge ak lässt sich nach dem Bildungsgesetz
ak+1 = ak · q
festlegen. Das bedeutet, dass der Quotient zwischen zwei aufeinanderfolgender
Glieder ak und ak+1 gleich q und somit konstant ist.
ak+1
= q = konst.
ak
∀k
Beispiel 4.1 Wie gross ist die Summe s aller Zweier-Potenzen von 20 = 1 bis 210 = 1024?
s=
10
X
2k = 20 + 21 + 22 + · · · + 29 + 210 = 1 + 2 + 4 + · · · + 512 + 1024 = ?
k=0
Wie bei den arithmetischen Reihen stellt sich auch hier die Frage, ob der Summenwert einer Reihe
geschlossen, das heisst mit einer kompakten Formel berechnet werden kann, ohne dass explizit
jedes Glied der Folge aufsummiert werden muss.
Schreiben wir zunächst wiederum die Glieder aus dem letzten Beispiel der Reihe nach auf.
-
s
2s
s − 2s
=
=
=
1
21
1
+
+
21
22
+
+
22
23
+
+
23
24
+
+
···
···
+
+
28
29
+
+
29
210
+
+
-
210
211
211
In der zweiten Zeile schreiben wir die Glieder noch einmal auf, wobei wir aber jedes Glied noch
zusätzlich mit 2 multiplizieren. Anschliessend subtrahieren wir die zweite Zeile von der ersten. Wir
erkennen dass alle Terme bis auf den ersten der oberen Zeile und den letzten der zweiten wegfallen.
Somit können wir schreiben:
s − 2s = 1 − 211
Wir erhalten für s den geschlossenen Aussdruck
s=
1 − 211
211 − 1
=
= 211 − 1
1−2
2−1
Im Folgenden wollen wir wiederum eine allgemeine Formel für die Berechnung von geometrischen
Reihen herleiten. Wir definieren die Reihe wie folgt: ak+1 = q · ak und dem ersten Element a1 .
Die Variable sk sei die Summe der Glieder von a1 bis ak .
9
sk =
k
X
ai = a1 + a1 · q + a1 · q 2 + a1 · q 3 + · · · + a1 · q k−2 + a1 · q k−1
i=1
Wir können a1 herausfaktorisieren und erhalten:
sk =
k
X
ai = a1 1 + q + q 2 + q 3 + · · · q k−2 + q k−1
i=1
Nun müssen wir
obigen Beispiel.
s =
qs =
s − qs =
(1)
die Summe der Potenzen von q 0 = 1 bis q k−1 berechen. Wir tun dies analog zum
1
q
1
+
+
q
q2
+
+
q2
q3
+
+
···
···
s=
1 − qk
1−q
Somit erhalten wir für s
+
+
q k−3
q k−2
+
+
q k−2
q k−1
+
+
-
q k−1
qk
qk
.
Dieses Ergebnis für s können wir in Gleichung 1 einsetzen.
sk =
k
X
ai = a1
i=1
1 − qk
1−q
Wie bei den arithmetischen Folgen haben wir auch für die geometrischen eine geschlossene Vorschrift gefunden, mit welcher der Wert einer Reihe berechnet werden können. Halten wir als Satz
fest:
Satz 4.1 Eine geometrische Reihe sei gegeben durch das Anfangselement a1
sowie dem Quotient q zweier aufeinanderfolgender Glieder, so dass gilt:
ak = q · ak−1
⇔
ak
= q = konst.
ak−1
∀k
Die Summe der ersten k Glieder ist dann wie folgt:
sk =
k
X
ai = a1 + a2 + a3 + · · · + ak = a1
i=0
5
1 − qn
1−q
Rechnen mit Grenzwerten
Beim Rechnen mit Grenzwerten sind folgende Rechenregeln zu beachten (ohne Beweis):
10
Satz 5.1 Unter der Voraussetzung, dass die jeweiligen Grenzwerte existieren,
gelten die folgenden Regeln:
lim [C · an ] = C · lim an
C : Konstante
(2)
n→N
n→N
lim [an ± bn ]
n→N
lim [an · bn ]
n→N
an
lim
n→N
bn
√
lim n an
n→N
lim [an ]n
n→N
lim an ± lim bn
n→N
lim an · lim bn
=
=
n→N
n→N
n→N
lim an
n→N
=
lim bn 6= 0
n→N
lim bn
q
= n lim an
n→N
n
=
lim an
(3)
(4)
(5)
n→N
n→N
lim an
lim (can ) = c n→N
n→N
lim logq an = logq lim an
n→N
n→N
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Neben diesen Rechengesetzen gibt es noch weitere spezielle Grenzwerte. Wir führen Sie hier wieder
ohne Beweis auf.
Satz 5.2 Der Grenzwert
lim
n→∞
1
=0
N
ist gleich Null.
Satz 5.3 Der Grenzwert
lim q n = 0
⇔
n→∞
|q| < 1
ist gleich Null, sofern |q| kleiner als 1 ist. Daduch wird q n mit zunehmendem
n immer kleiner.
Satz 5.4 Der Grenzwert
lim
n→∞
1+
1
n
n
=e
entspricht der Euler’schen Zahl e ≈ 2.71828 . . . während
n
1
1
lim 1 −
=
n→∞
n
e
gleich dem Kehrwert von e ist.
5 Beispiele zu Grenzwert-Berechnungen
11
Beweis 5.1 Betrachten wir zunächst den Grenzwert. Wir können diesen
Grenzwert durch Umformungen können wir den Grenzwert auf den Ausdruck limn→∞ 1 + n1 zurückführen:
lim
n→∞
1
1−
n
n
= lim
n→∞
1+
1
−n
n
(−n)(−1)
1
n→∞
−n
"
−n #−1
1
= lim 1 +
n→∞
−n
= lim
1+
Wenn wir −n durch z substituieren erhalten wir:
z −1
1
1
lim 1 +
= e−1 =
z→∞
z
e
Das ist nun jedoch nichts anderes als die die erste im Satz Gleichung limn→∞ 1 +
bleibt noch e−1 .
5.1
1 n
.
n
Somit
Beispiele zu Grenzwert-Berechnungen
Im folgenden betrachten wir einige Aufgaben bei denen wir versuchen durch Umformungen die
Grenzwerte auf Standardgrenzwerte zurück zu führen und diese zu berechnen
Beispiel 5.1 Berechnen Sie anhand von elementaren Umformungen den Grenzwert.
lim
n→∞
2x − 1
n
Wenn wir den Bruch trennen erhalten wir 2 und n1 . Der zweite Term ist ein Standard-Grenzwert,
den wir kennen.
2n − 1
1
1
lim
= lim 2 −
= 2 − lim
=2
n→∞
n→∞
n→∞ n
n
n
| {z }
0
Beispiel 5.2 Berechnen Sie den Grenzwert durch elementare Umformungen.
3(x2 − 1)
(x − 1)(x + 1)
= 3 · lim
= 3 · lim (x − 1) = 3(−2) = 6
x→−1
x→−1
x→−1
x+1
x+1
|
{z
}
lim
(−2)
Durch faktorisieren von (x2 − 1) kann der Nenner des Bruchs gekürzt werden. Das ermöglich das
direkte Berechnen des Grenzwertes.
Aufgabe 5.1 Bestimmen Sie folgende Grenzwerte
a) lim
n→∞
b) lim
1+n
=?
n2
x3
=?
+1
x→∞ x2
x2 − 2x + 5
=?
x→∞
x
c) lim