Teil 4: Schwingungen: Schwingkreis und Fadenpendel

Ausgewählte Schwingungsprobleme
Elektromagnetische Schwingung am Schwingkreis
Ein Schwingkreis kann durch Anregung mit einem Strom- oder Spannungsimpuls oder Anlegen einer
Wechselspannung zu Schwingungen (freie oder erzwungene) angeregt werden.
Wird der Schwingkreis impulsartig, einmalig angeregt, so führt er freie Schwingungen mit seiner Eigenfrequenz aus. Die entstehende Schwingung ist in der Regel gedämpft, da im Schwingkreis unter
normalen Bedingungen ein Ohmscher Widerstand vorliegt.
Ungedämpfte elektromagnetische Schwingungen können erzeugt werden, indem die Ohmschen Verluste durch ständiger Anregung von außen kompensiert werden.
Freie Schwingungen an Schwingkreisen.
Der Kondensator C eines Schwingkreises werde durch kurzzeitiges Anlegen
einer äußeren Spannung aufgeladen. Bei seiner Entladung über die Spule L
baut der dabei fließende Strom ein Magnetfeld um die Spule auf.
Bei Nachlassen des Entladungsstromes bricht das magnetische Feld zusammen, es entsteht ein Induktionsstrom, der entsprechend dem Lenzschen
Gesetz in der gleichen Richtung fließt, wie der anfängliche Entladungsstrom.
Dadurch wird der Kondensator C entgegengesetzt dem Ausgangszustand
aufgeladen; der gleiche Vorgang beginnt von vorn.
Differentialgleichung zur Schwingung eines Schwingkreises
Für einen gedämpften Schwingkreis folgt aus dem 2. Kirchhoffschen Gesetz
für die an der Spule L, dem Widerstand R and dem Kondensator C anliegenden Spannungen
uL + uR + uC = 0 .
Mit
uL = L
di
q
, u R = R ⋅ i , und u C = , wobei q die Ladung des
dt
C
Kondensators and i die Stromstärke sind, folgt unter Berücksichtigung
von
dq
=i:
dt
L
d 2q
dq q
+R
+ =0
2
dt C
dt
Durch Differentiation nach der Zeit ergibt sich
L
d 2i
di i
+ R + = 0.
2
dt C
dt
Diese lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung für i wird durch einen Lösungsansatz
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i ~ e λt gelöst; als Lösung der charakteristischen Gleichung ergibt sich:
2
R
1
⎛R ⎞
λ=−
± ⎜ ⎟ −
2L
⎝ 2L ⎠ LC
ist.
Man hat 3 Fälle zu unterscheiden:
2
1. Fall:
1
⎛ R ⎞
.
⎜ ⎟ >
LC
⎝ 2L ⎠
2
⇒ Lösung
λ1t
i = C1e + C 2 e
λ2 t
mit
λ1 / 2
R
1
⎛ R ⎞
=−
± ⎜
.
⎟ −
2L
⎝ 2L ⎠ LC
Die Konstanten C1 und C2 ergeben sich aus den Anfangsbedingungen.
Die Lösung liefert einen zeitlich aperiodischen Verlauf.
2
2. Fall:
1
⎛ R ⎞
.
⎜ ⎟ =
LC
⎝ 2L ⎠
⇒ Lösung
i = (C1 + C 2 t ) ⋅ e
−
R
t
2L
, also ebenfalls einen aperiodischen Verlauf.
Diesen Fall bezeichnet man als aperiodischen Grenzfall.
2
3. Fall:
⇒ Lösung
1
⎛ R ⎞
⎜ ⎟ <
LC
⎝ 2L ⎠
i=e
−
R
t
2L
2
(C1 cos ω t + C 2 sin ω t )
mit
1 ⎛ R ⎞
ω=
−⎜
⎟ .
LC ⎝ 2L ⎠
Diese Lösung beschreibt gedämpfte harmonische Schwingungen der Kreisfrequenz ω .
δ=
R
ist als Dämpfungskonstante definiert.
2L
Durch die Dämpfung wird sowohl die Amplitude der Schwingung exponentiell verkleinert, als auch die
Frequenz gegenüber dem ungedämpften Fall verringert.
d=
2π
δ wird logarithmisches Dekrement genannt.
ω
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Ist der Verlustwiderstand R und damit die Dämpfungskonstante δ gleich Null, so führt der SchwingFür ihre Frequenz f 0 = ω0 2π ergibt sich
kreis ungedämpfte harmonische Schwingungen aus.
f0 =
1
1
, und für die Schwingungsdauer T0 =
erhält man T0 = 2π LC .
f0
2π LC
Diese Beziehung heißt Thomsonsche Schwingungsformel.
Erzwungene Schwingungen am Schwingkreis.
Wird der Schwingkreis durch eine von außen angelegte Wechselspannung angeregt, so führt er erzwungene Schwingungen mit der Frequenz f = ω / 2π dieser Spannung aus.
Lediglich in einem kurzen Zeitintervall nach dem Ausschalten der äußeren Spannung überlagern sich
den erzwungenen Schwingungen die Eigenschwingungen mit der Resonanzfrequenz f 0 = ω0 / 2π
des Kreises, die jedoch infolge der stets vorhandenen Dämpfung exponentiell abklingen und daher im
folgenden vernachlässigt werden können.
Fadenpendel (ungedämpft)
Eine Analyse der am Fadenpendel angreifenden Momente ergibt eine Bewegungsgleichung:
&& +
α
g
sin α = 0
l
& und integriert danach einmal unbestimmt:
Zur Lösung multipliziert man die Gleichung mit α
&& =
α& ⋅ α
d ⎛ α& 2 ⎞
g
g d
⎜⎜ ⎟⎟ = − sin α ⋅ α& = ⋅ (cos α )
dt ⎝ 2 ⎠
l
l dt
C1 wird hier bestimmt für den Winkel des Maximalausschlags α max mit einer Winkelgeschwindigkeit
im Umkehrpunkt a& max = 0 .
0=
Æ
2g
cos α max + C1
l
α& 2 =
2g
(cos α − cos α max )
l
α& =
2g
⋅ cos α − cos α max
l
Als Zwischenergebnis erhält man die Winkelgeschwindigkeit des Pendels als Funktion der Auslenkung.
Nach Variablentrennung ergibt sich:
dt =
dα
2g
⋅ cos α − cos α max
l
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t=
l
dα
⋅∫
+ C2
2g
cos α − cos α max
Geht man von α = 0 zu Beginn der Bewegung (t = 0) aus, folgt
α
t=
l
dα
⋅∫
2g 0 cos α − cos α max
Das ist kein elementares Integral mehr!
Durch Umformung / Substitution
cos α = 1 − 2 sin 2
sin
α
2
α
= k ⋅ sin τ;
2
α max
=k
2
erhält man
τ
t=
g
dτ
⋅∫
l 0 1 − k 2 sin 2 τ
ein elliptisches Integral, das als Lösung in Tabellenform vorliegt.
Für kleine Winkel α max ergibt sich eine Schwingungsdauer T = 2π ⋅
für große α max ergibt sich T = A ⋅
l
,
g
l
mit folgenden A:
g
α0
2°
10°
20°
30°
60°
90°
120°
150°
170°
178°
179°
180°
A
6,28
6,29
6,33
6,40
6,74
7,42
8,63
11.07
15,33
21,74
24,51
∞
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