Übungszettel 5.SA Teil 2

Übungsbeispiele 5.SA
1)
5C
Vektorrechnung
Untersuche die Lage der beiden Geraden und gib, falls vorhanden, den Schnittpunkt an!
 3   − 12 
 − 9  3 
 3   2 
 − 3  1 
 ; h: X=
+u  
+t   ; h: X= +u  
a)
g: X= +t 
b)
g: X=
7   4 
 − 9   − 3
 7  2
 11   − 1 
c)
e)
g)
g: A(2/1), B(5/-3) ; h: C(1/-1), D(-1/3)
 0   − 3
 1   4 

g: X=  +t   ; h: X= +u 
1  6 
 − 1  − 8
 0   10 
g: 3x - 5y = 10 ; h: X= +t  
6  6 
d)
g: A(2/1), B(-1/-1) ; h: C(11/8), D(5/4)
f)
 − 1  2
g: A(2/5), B(7/3); h: X= +t  
 − 1  1 
h)
g: x-2y = 10 ; h: 4x-8x - 40 = 0
[a) ident b)S(-5/3) c)S(-4/9) d)parallel e)ident f)S(7/3) g)parallel h)ident]
2)
1  1 
Bestimme den Schnittpunkt der Gerade g: X= +t   mit der a) x-Achse b) 1.Mediane c) y-Achse!
 9   − 3
[a)(4/0) b)(3/3) c)(0/12)]
3)
Gegeben sind die Trägergeraden eines Dreiecks ABC: a[P(-2/20),Q(6/0)], b[R(-2/-10),S(1/5)] und
c[T(0/-3),U(2/1)]. Berechne die Eckpunkte des Dreiecks!
[A(-1/-5),B(4/5),C(2/10)]
4)
geg.: Gerade g: A(-2/-3), B(7/9)
ges.: Punkte auf g, die von A 10 cm entfernt sind
[P1(4/5), P2(-8/-11)]
5)
AC[A(-4/2),C(-1/3)] ist eine Kathete eines rechtwinkeligen Dreiecks, dessen andere Kathete BC doppelt so
lang ist wie AC. Berechne die Koordinaten von B (B liegt im 4.Quadranten)!
[B(1/-3)]
6)
geg.: ∆ABC: A(-5/0), B(4/-3), C(2/11)
ges.: Schnittpunkt der Schwerlinie sA mit der Höhe hc!
7)
[P(-1/2)]
Ermittle die Gleichungen der Geraden p bzw. n, die durch A gehen und parallel bzw. normal zu g liegen:
5   − 3
a) g: 4x + 3y = 18 ; A(3/5)
b) g: P(0/2), Q(4/8); A(-3/6) c) g: X= +t   ; A(6/-4)
1   2 
[a)p:X=(3/5)+t(3/-4);n:X=(375)+u(4/3) b)p:X=(-3/6)+t(2/3); n:X=(-3/6)+u(3/-2); c)p:X=(6/-4)+t(-3/2);n:X=(6/-4)+u(2/3)]
8)
9)
geg.: g: A(-1/3), B(4/-6)
ges.: a) Gerade p durch P(5/7), die zu g parallel ist
b) Gerade n durch N(-8/-12), die zu g normal ist
c) Schnittpunkt von p und n
[a)p: X=(5/7)+ t(5/-9) b) n: X=(-8/-12) + u(9/5) c)S(10/-2)]
Die Punkte P, Q und R liegen auf der Geraden g. Berechne die fehlende Koordinate!
 3  − 1 
a) g: X= +t   ; P(x/-2), Q(0/y), R(7/y) b) g: A(2/7), B(6/-1); P(0/y), Q(10/y), R(x/-9)
 8  2 
[a)8;14;0 b)11,1,10]
10)
Überprüfe, ob die 3 Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen!
a) A(-3/5), B(3/8), C(11/12)
b) A(0/2), B(12/8), C(-4/-7) c) A(-12/-45), B(4/3), C(12/27)
[a)ja b)nein c)ja]
geg.: ∆ABC: A(-5/4), B(3/-3), C(5/7)
ges.: Liegen MAB, MBC und der Punkt P(4/3) auf einer Geraden?
[nein]
12)
Liegt der Schwerpunkt des ∆ABC[A(-3/7),B(5/-1),C(4/9)] auf der Höhe hc?
[nein]
13)
Bestimme den Umkreismittelpunkt des ∆ABC[A(-9/-1), B(6/-6), C(3/5)]!
14)
geg.: Dreieck A(-10/1), B(-2/9), C(2/-3) ges.: Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt
15)
geg.: Dreieck A(3/5), B(7/2), C(9/-2)
Berechne die Koordinaten des Höhenschnittpunkts H!
11)
[U(-1/-2)]
[H(-4/3),U(-3/2)]
[H(21/14)]
16)
Bestimme im Dreieck ABC[A(-6/0),B(9/-3),C(6/8)] den Höhenschnittpunkt, den Umkreismittelpunkt und
den Schwerpunkt und zeige, dass sie auf einer Geraden (Euler´sche Gerade) liegen!
[U(2/1), H(5/3), S(3/
17)
3
) e:X=(2/1) + t(3/2)]
5
geg.: Gerade g:P(-3/1), Q(4/4)
a)
Gib die Gleichung von g in Parameter- und Normalvektorform an !
b)
Bestimme die Normalvektorform der zu g parallelen Geraden h1 durch
den Punkt A(8/2) und der zu g normalen Geraden h2 durch B(7/-15).
Wie lauten die Koordinaten des Schnittpunktes von h1 und h2?
[a) X=(-3/1)+t(7/3); g:3x-7y=-16 b)h1:3x-7y=10 ; h2:7x+3y=4 ; S(1/-1)]
18)
19)
20)
geg.: g: y = 0,5⋅x + 2,5
ges.: Gerade h durch P(-2/5), die auf g normalsteht
a) in Normalvektorform b) in Parameterform c) in Hauptform
[a) h:2x+y=1 b) X=(-2/5)+t(1/-2) c)y=-2x+1]
Berechne den Anstieg k der Geraden g:
a)
g: 6x - 2y = 11
b)
g: A(-3/12), B(5/10)
[a)k=3 b)k=0,25]
Bestimme den Abstand des Punktes C(0/5) von der Geraden g durch A(-1/-2) und B(8/1). Verwende diesen
Abstand, um den Flächeninhalt des Dreiecks ABC zu berechnen !
[ Cg =
40 ; A=30]
21)
Gib eine Parameterdarstellung an: a) g: y = 3x - 4 b) h: 2x - 3y = 6
22)
Berechne die Hauptform: a)
23)
geg.: Dreieck ABC: A(-2/-8), B(4/4), C(-8/16)
Gib die Gleichungen der Höhen in Normalvektorform an und berechne damit den Höhenschnittpunkt!
Gib die Euler’sche Gerade in a)Parameterform b)Normalvektorform an!
[a)g:X=(0/-4)+t(1/3) b)h:X=(0/-2)+t(3/2)]
 0   − 1
+t  
b) h: X=
 − 2  4 
1  5
g: X= +t  
 3  4 
[a) y=
4x 11
+
b)y=-4x-2]
5 5
[ha:x-y=6 ; hb:x-4y=-12 ; hc:x+2y=24 ; H(12/6);e:X=(12/6)+t(7/1) bzw.e:x-7y=-30]
24)
Nicht vergessen: Bsp. aus SÜ + HÜ
abspg(Punkt P, Punkt A, Vektor
gpnv(Punkt P, Normalvektor
a)
n )
gpv(Punkt A, Richtungsvektor
v )
Abstand des Punktes P von der Geraden g: X = A + t
Normalvektorform der Geraden g durch P mit Normalvektor
rechte Seite der Geradengleichung X = A + t
rechte Seite der Geradengleichung X = A + t AB
mit(Punkt A, Punkt B)
Mittelpunkt der Strecke AB
v )
Normalvektor zu
v
px
Punkt [x;y]
sp(Punkt A, Punkt B, Punkt C)
Schwerpunkt des Dreiecks ABC
wivv(Vektor
norm(Vektor
a , Vektor b )
v )
norm(Punkt B – Punkt A)
unitV(Vektor
dotP(Vektor
v )
a , Vektor b )
Winkel zwischen
a und b
Länge des Vektors
v
Abstand der Punkte AB
Einheitsvektor
n
v mit Parameter t
g2p(Punkt A, Punkt B)
nv(Vektor
a
v 0 (Länge 1)
Skalarprodukt
abs(Zahl)
Betrag der Zahl
pa[1,1] bzw. pa[2,1]
liefert die x- bzw. y-Koordinate des Punktes pa
mit Parameter t