Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum - Math

Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
20
Vorkurs, Mathematik
Grundbegriffe
Komponentendarstellung:

x
r = x ex  y ey  z ez = y
z
z
Betrag:
∣ r ∣ = r =
r
ex
x
0 =
ey
y
x
y
2
 y z
2

0
0
0
Normierung:
er =
21
2
Nullvektor:
z
ez
x
r
∣ r ∣
Vorkurs, Mathematik
Aufgaben 1-3
Aufgabe 1:
Folgende Vektoren sind gegeben:
 
4
a = 2 ,
−1
b =

2
4 ,
0
 
−2
c =
1
2
Führen Sie folgende Vektoradditionen rechnerisch durch:
Aufgabe 2:
a.
a

b,
e.
a − b  c ,


f.
c.

b  c ,
d.
a  b  c

−
a  b − c
b =

b1
3
b3
Untersuchen Sie , ob die drei Punkte A, B und C auf einer
Geraden liegen:
A 0, 1, − 1 ,
22-1
a  c ,
Bestimmen Sie die fehlenden Koordinaten so, dass die Vektoren
kollinear sind
2
a = 1 ,
5
Aufgabe 3:
b.
B −2, 1, − 2 ,
C  6, 1, 2
Vorkurs, Mathematik
Lösungen 1-3
Lösung 1:
a.
22-1
 
6
6 ,
−1
b.
 
2
3 ,
1
c.
0
5 ,
2
d.
  
4
7 ,
1
e.
0
−1 ,
1
f.
 
0
1
−1
Lösung 2:
a =  b ,

Lösung 3:
1
3
Die drei Punkte A, B und C liegen auf einer Geraden.
Bedingung:
b1 = 6 ,
b 3 = 15

AB =  ⋅ 
AC ,
 =−
Vorkurs, Mathematik
Skalarprodukt

a ⋅
b = ∣a∣⋅∣b∣⋅cos  = a b ⋅cos 
 0°    180° 

bx
a ⋅ b = a x , a y , a z  ⋅ b y = a x b x  a y b y  a z b z
bz
Der von diesen Vektoren eingeschlossene Winkel
cos  =

a ⋅ b
=

|
a | ⋅| b |

⋅b
a
 = arccos
| a | ⋅ | b |

a ⋅
b = 0
⇔
a
ax bx  a y b y  az bz
2
x
2
2
2
2
a ⊥ b
°
23


2
a⋅a = ∣ a ∣⋅∣ a ∣⋅ cos 0 = ∣ a ∣ = a

∣
a∣= a =
2
 a y a z ⋅ b x  b y  b z
 a ⋅a
=
a
2
x
2
2
⇒
2
 a y  az
Vorkurs, Mathematik
Skalarprodukt / Augaben 1-2
Aufgabe 1:
a)
c)
Berechnen Sie das Skalarprodukt folgender Vektoren
 
2
a = −3 ,
5
a =
Aufgabe 2:
 
−3
4
2
 
1
2 ,
0
5
b =
3
4
1
−1
b)
d)
a =
a =

2
1 ,
1
b =
 
0
1
−1
 
1
2 ,
0
5
1
2
b =
6
−1
Bestimmen Sie die fehlenden Kordinaten so, dass das
Skalarprodukt den Wert k hat
a)
b)
24-1
b =
a =
a =
  
  
0
a2 ,
3
b =
b1
1 ,
−5
2
4 ,
a3
b =
2
1 ,
2
k = −10
k=2
Vorkurs, Mathematik
Skalarprodukt, Betrag / Augaben 3-6
Aufgabe 3:
Berechnen Sie den Betrag des Vektors
v = 1, 2, 5, 3, 4, − 3, 0
Aufgabe 4:
Zeigen Sie, dass die drei Vektoren ein rechtwinkliges
Dreieck bilden
 
1
a =
4 ,
−2
Aufgabe 5:
 
c =
 
−1
6
1
 
4
b = −5 ,
−2
c =

2
1 ,
1
d =
 
0
1
−1
Bestimmen Sie den Parameter  so, dass der Vektor a
die Länge 3 hat
a)
24-2
 
−2
2 ,
3
Berechnen Sie die Beträge folgender Vektoren und geben
Sie jeweils die Einheitsvektoren an
2
a = −3 ,
5
Aufgabe 6:
b =


a = 2 ,
1
b)
a = 
AB , A =  , 0, 1 , B = 1, 2, 2
Vorkurs, Mathematik
Skalarprodukt, Betrag / Lösungen
Lösung 1:
a ) −8 ,
Lösung 2:
a)
0 ⋅5 b 1  a 2 − 15 = −10,
b)
4  4  2 a 3 = 2,
b) 0,
c ) 6,
d) 0
a 2 = 5,
b1 ∈ ℝ
a 3 = −3
Lösung 3:
| v | =  1  2  5  3  4  −3  0 =  64 = 8
Lösung 4:
c = a  b ,
2
2
2
2
2
2
2
a ⊥ b
Lösung 5:
| 
a | =  38 ,
 
| b | =  45 = 3  5 ,
2
1
ea =
−3 ,
 38 5
 
4
1
eb =
−5 ,
 45 −2
| c | =  6 ,
| 
d | = 2

0
1
ed =
1
 2 −1
 2 = 4,
 1, 2 = ±2
1
ec =
6
2
1 ,
1
 
Lösung 6:
24-3
a)
| a | =   2  5 = 3 ,
b)
| a | =  1−  2  1 = 3 ,
2
2
2  5 = 9 ,
2
1− = 4 , 1 = 3,
 2 = −1
Vorkurs, Mathematik
Richtungswinkel eines Vektors
Ein Vektor ist eindeutig durch Betrag
und Richtung festgelegt. Die Richtung
bestimmen wir z.B. durch die Winkel,
die der Vektor mit den drei Basisvektoren bildet.
z
az
a


cos  =


ay
y
a ⋅ ex
ax
ax
=
=
|
a | ⋅ | ex |
|
a |⋅1
|
a|
 − ist der Winkel, den der Vektor
ax
mit der x-Achse bildet.
x
Richtungskosinusse:
ax
cos  =
,
| a |
cos  =
ay
,
|
a|
cos  =
az
|
a|
Die Richtungswinkel sind nicht unabhängig voneinander, sondern über die Beziehung
der Richtungskosinusse
cos 2   cos 2   cos 2  = 1
miteinander verknüpft.
25
Vorkurs, Mathematik
Richtungswinkel eines Vektors: Aufgaben 7-9
Aufgabe 7:
Berechnen Sie den Winkel, der von den Vektoren a und b
eingeschlossen wird. Wie groß ist der Winkel, den der Vektor a mit der x-Achse bildet?
   
2
a ) a = −3 ,
5
Aufgabe 8:
4
b = −5 ,
−2
b ) a =
  
2
1 ,
1
b =
0
1
−1
Berechnen Sie die Länge, den Einheitsvektor und die mit den
Basisvektoren gebildeten Winkel des Vektors
v = 2 ex − ey − 2 ez
Aufgabe 9:
Bestimmen Sie die Richtungswinkel der folgenden Vektoren
v1 =
26-1

5
1 ,
4
 
−3
v2 =
5 ,
−8
 
11
v3 = −2
10
Vorkurs, Mathematik
Richtungswinkel eines Vektors: Lösung 7
Lösung 7:
   
2
a ) a = −3 ,
5
 ⋅ b
a
=

| a | ⋅ | b |
cos  =
cos  =
cos  =
b ) a =

a
  
cos  =
2
x

a 2y a 2z ⋅ b 2x b 2y b 2zy
a ⋅ ex
a
= x =
|
a | ⋅ | ex |
|
a|
2
1 ,
1
0
b =
1 ,
−1
 = 90
| b | =  45 = 3  5
ax b x  a y b y  az bz
13
≃ 0.314 ,
38 ⋅  45
cos  = 0 ,
26-2
4
b = −5 , | 
a | =  38 ,
−2
 = 71.68
2
≃ 0.324 ,
 38
| 
a | = 6 ,
°
 = 71.07°
| b | =  2
°
2
≃ 0.816 ,
6
 = 35.26°
Vorkurs, Mathematik
Richtungswinkel eines Vektors: Lösungen 8, 9
Lösung 8:

2
v = 2 ex − ey − 2 ez = −1
−2
ev =
| v | =
2
2
 12  22 = 3
v
2
1
2
=
ex − ey − ez
| v |
3
3
3
cos  =
vx
2
= ,
| v |
3
°
 = 48.11 ,
cos  =
°
 = 109.28 ,
vy
1
=− ,
| v |
3
 = 131.49
cos  =
vz
2
=−
| v |
3
°
Lösung 9:
v1 :
 = 39,51° ,
 = 81,12° ,
v2
:  = 107,64 ,
°
 = 59,66 ,
°
 = 97,66 ,
v3 :
26-3
 = 42,83 ,
 = 51,89°
°
 = 143,91
°
°
 = 48,19
°
Vorkurs, Mathematik
Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor

b


a
ba
∣ ba ∣ = ∣ 
b ∣⋅ cos  = ∣ b ∣⋅
a ⋅ 
b
a ⋅ b
=
∣
a∣
∣ a ∣⋅∣ 
b∣
a
a ⋅ b a



b a = ∣ b a ∣ ea = ∣ b a ∣
=
=
∣ a ∣
∣
a ∣ ∣ a ∣
Durch Projektion des Vektors

b auf den Vektor
ba =
 
a ⋅ b
∣
a ∣2
 
a ⋅ 
b
∣ a ∣2
a entsteht der Vektor

a

Es wird als Komponente des Vektors b in Richtung des Vektors
27
a

abezeichnet.

Vorkurs, Mathematik
Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor: Aufgabe 10
Bestimmen Sie die Projektion des Vektors b auf den Vektor a
a ) a =

3
0 ,
4
 
4
b = −1 ,
7
ba =
28-1
 
2
b ) a = −2
1
 
a ⋅ b
∣
a ∣2
,
b =
 
10
4
−2
a

Vorkurs, Mathematik
Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor: Lösung 10
Lösung 10 a):
 
4

a ⋅ b = 3, 0, 4⋅ −1 = 12  28 = 40
7
∣ a ∣2 = 32  02  4 2 = 25
ba =
 
   
a ⋅ b
40 3
a =
0
25
∣ a ∣2
4
8
=
5
3
0
4
=
4.8
0
6.4
Lösung 10 b):
 
10
a ⋅ b = 2, − 2, 1
4
−2
= 10
∣ a ∣2 = 22  −22  12 = 9
ba =
28-2
 
 
2
a ⋅ b
10
a =
−2
9
∣ a ∣2
1
 
20
9
= − 20
9
10
9
Vorkurs, Mathematik