Analysis I – Theorie 1 1 Eigenschaften 2 Grenzwerte von Folgen

Maximilian Enthoven
HS 2016
Analysis I – Theorie 1
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Definition. Eine Folge von reellen Zahlen ist eine Abbildung der natürlichen Zahlen (N =
{1, 2, 3, 4, ...}) in reelle Zahlen (R).
Eine Folge kann hautsächlich auf zwei verschiedene Arten dargestellt werden:
1. explizite Formel (z.B. an = 3 · n)
2. rekursive Formel mit Anfangsbedingung (z.B. a1 = 1, an+1 = 2 · an +
1
1
an
)
Eigenschaften
Beschränktheit
Eine Zahlenfolge ist beschränkt genau dann, wenn es eine obere (bzw. untere) Schranke s gibt,
für welche gilt: s > (bzw. <) an ∀n
Monotonie
• Eine Folge ist monoton wachsend falls gilt: an+1 ≥ an ∀n (strikt falls an+1 > an ∀n)
• Eine Folge ist monoton fallend falls gilt: an+1 ≤ an ∀n (strikt falls an+1 < an ∀n)
Konvergenz
Wenn sich eine Folge einem Wert annähert, so ist sie konvergent. Den Wert den sie annähert ist
der Grenzwert. Ist eine Folge nicht konvergent, so ist sie divergent. Konvergiert eine Folge gegen
Null, wird sie eine Nullfolge genannt.
Vorgehensweise um Konvergenz zu zeigen
• Periodische Funktionen konvergieren nicht.
• Folge: monoton und beschränkt ⇒ konvergent, die Umkehrung gilt jedoch nicht!
Beispiel. Ist die Folge an = n12 + n22 + . . . + nn2 beschränkt, monoton und/oder konvergent?
1
1
an = n12 · (1 + 2 + . . . + n) = n12 · n(n+1)
= n+1
(n ≥ 1)
2
2n = 2 + 2n
1
1
Die Folge an = 2 + 2n ist monoton fallend und beschränkt, so konvergiert sie (gegen 12 ).
2
Grenzwerte von Folgen
Definition. lim an = L oder an → L (n → ∞)
n→∞
1
Maximilian Enthoven
HS 2016
Berechnung von Grenzwerten
• Bei trigonometrischen Funktionen wird oft folgender Ausdruck verwendet. Wichtig ist aber
nicht, dass der Limes gegen Null geht, sondern, dass das Argument des Sinus gegen Null
strebt.
sin(y)
lim
=1
y→0
y
• Bei gebrochenen rationalen Funktionen mit limes gegen ∞ hilft es, die höchste Potenz zu
kürzen.
1 + x12
1
x3 + x
lim
=
lim
=
1
5
3
2
x→∞ 3x − x + 5
x→∞ 3 −
3
x + x3
• Oft kann es auch gut sein, einzelne Grenzwerte zu berechnen.
• Wenn beide Grenzwerte einer gebrochen rationalen Funktion gegen Null oder beide gegen
Unendlich streben, hilft es, die Regel von Bernoulli-Hôpital anzuwenden:
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
x→a g(x)
x→a g (x)
lim
Merke: Diese Regel gilt nur, wenn die Grenzwerte von f (x) UND g(x) gegen Null streben
oder beide divergieren.
Merke: Streben nach einmaliger Anwendung dieser Regel immernoch beide Grenzwerte
gegen Null oder unendlich, kann die Regel auch ein zweites (drittes, viertes..) Mal angewendet werden.
Merke: NICHT den ganzen Bruch ableiten, sondern f (x) und g(x) einzeln, also KEINE
Quotientenregel ausgraben.
• Ausklammern:
x3 + 27
(x + 3)(x2 − 3x + 9)
1
=
lim
=−
4
2
x→−3 x − 81
x→−3 (x + 3)(x − 3)(x + 9)
4
lim
Merke: Wenn der Nenner (wie dann auch der Zähler) gegen Null streben, liegt das meist
an einem Linearfaktor, der Probleme macht. Geht der Limes gegen 2, versuchen wir (x−2)
auszuklammern und zu kürzen. Geht der Limes gegen −3 kürzen wir wenn möglich wie im
Beispiel (x + 3).
• Substitutionen
1
1
·
,
2
x→∞ x
1 − cos( x1 )
y=
lim
1
x
anschliessend mehrmalige Anwendung der Regel von l’Hôpital:
2y
2
y2
= lim
= lim
y→0 sin(y)
y→0 cos(y)
y→0 1 − cos(y)
lim
• Eulersche Zahl
lim
x→∞
1+
1
x
x
=e
• Wissen aus der Trigonometrie:
sin(y)
=1
y→0
y
sin(ax)
lim
=a
x→0
x
cos(x) − 1
lim
=0
x→0
x
lim
2
Maximilian Enthoven
HS 2016
• Erweitern:
√
√
√
1−x
1−x 1+ x
(1 − x)(1 + x)
√ = lim
√ ·
√ = lim
= lim (1 + x) = 2
x→1 1 − x
x→1 1 − x 1 + x
x→1
x→1
(1 − x)
lim
Merke: Dies ist sehr oft hilfreich, wenn Wurzeln im Spiel sind (Dritte binomische Formel!)
• Es gibt auch Rechtsgrenzwerte und Linksgrenzwerte. Das bedeutet, wir nähern uns der
gesuchten Stelle von rechts, bzw von links. Bei Beträgen kann man dann annehmen, die
Zahl sei ein bisschen kleiner bzw. grösser als der Grenzwert. So kann man die Definition
vom Betrag verwenden, um die Betragsstriche zu “umgehen”.
lim
x→2−
3
x2 − 8x + 12
x2 − 8x + 12
4
= lim
=
2
|x − 2| + |x − 4| x→2 −(x − 2) + (−(x2 − 4))
5
Geometrische Folge und geometrische Reihe
Eine Folge der Form a0 = a, a1 = a · q, . . . , an = a · q n heisst geometrische Folge.
• |q| > 1 : |an | = |a| · |q|n (nicht beschränkte Folge)
• |q| < 1 : an → 0
Sei sn = 1 + x + x2 + . . . + xn , dann divergiert die Folge für |x| > 1 und konvergiert gegen
für |x| < 1.
3
1
1−x