Physik für Elektrotechniker und Informatiker

Physik für Elektrotechniker und Informatiker
Grundlagenvorlesung 1. & 2. Semester
Inhaltsverzeichnis
A Mechanik von Massepunkten und starren Körpern
1. Kinematik
1.1. Der Orstsvektor r  t 
1.2. Die geradlinige Bewegung = Translation
1.3. Die Kreisbewegung = Rotation
1.4. Überlagerung von Bewegungen – Superpositionsprinzip am Beispiel des Wurfes
2. Dynamik
2.1. Masse und Kraft
2.2. Die Newton‘schen Axiome – Integration der Bewegungsgleichung
2.3. Das statische Gleichgewicht – Kräfte und Drehmomente
2.4. Dichte und Massenmittelpunkt ausgedehnter Körper
2.5. Reibungskräfte zwischen festen Körpern
2.5.1. Haftreibung
2.5.2. Gleitreibung
2.5.3. Rollreibung
2.5.4. Seilreibung
3. Arbeit, Energie, Leistung
3.1. Mechanische Arbeit und Leistung
3.2. Potentielle und kinetische Energie
3.3. Der Energiesatz der Mechanik
3.4. Die Goldene Regel der Mechanik
4. Stöße
4.1. Grundlagen
4.2. Elastische Stöße im Laborsystem
4.3. Gerader zentraler inelastischer Stoß
4.4. Dezentraler elastischer Stoß
4.5. Stöße im Schwerpunktsystem
4.6. Systeme mit zeitlich veränderlicher Masse
4.6.1. Rakete
4.6.2. Regentropfen*
4.6.3. Förderband*
5. Drehimpuls, Trägheitsmoment, Rotationsenergie
5.1. Drehimpuls
5.2. Massenträgheitsmoment
5.3. Rotationsenergie
5.4. Starrer Körper
5.5. Bewegungsgleichung
5.6. Energieerhaltungssatz der Mechanik für die Rotation
5.7. Drehimpulserhaltungssatz
5.8. Trägheitstensor*
5.9. Kreisel*
6. Gravitation
6.1. Gravitationsgesetz
6.2. Kepler‘sche Gesetze
6.3. Kosmische Geschwindigkeiten
7. Schwingungen
7.1. Freie ungedämpfte Schwingungen
7.1.1. Federpendel und mathematisches Pendel
7.1.2. Physikalisches oder Schwerependel
7.2. Freie gedämpfte Schwingung
7.3. Erzwungene Schwingungen
7.4. Überlagerung von Schwingungen
7.5. Fourieranalyse; Fouriersynthese; Fourierreihe(n)
7.6. Gekoppelte Schwingungen
7.7. Parametrische Resonanz
7.8. Chaotische Bewegungen
8. Wellen
8.1. Einleitung: Was ist eine Welle?
8.2. Überlagerung von Wellen, Gruppengeschwindigkeit
8.3. Prinzipien der Wellenausbreitung
8.3.1. Streuung
8.3.2. Das Huygens-Fresnel‘sche Prinzip
8.3.3. Das Fermat‘sche Prinzip, Snellius’sches Brechungsgesetz, Reflexionsgesetz
8.4. Doppler-Effekt und Mach’scher Kegel
8.5. Zusammenhang zwischen Energie und Intensität einer Welle
9. Trägheitskräfte in beliebig beschleunigten Bezugssysteme
Mechanik deformierbarer Körper
10. Festkörper unter äußeren Spannungen
10.1.
Mechanische Spannung
10.2.
Scherung
10.3.
Der gebogene Balken
10.4.
Inelastisches Verhalten
Übungsaufgaben
A Mechanik von Massepunkten und starren Körpern
1. Kinematik
1.1. Der Ortsvektor
 Die Kinematik beschreibt die Bewegung von Körpern ohne nach den Ursachen, die die Bewegung
veranlassen, zu fragen.
 Die Beschreibung der Bewegung von Körpern geschieht durch die Angabe des Aufenthaltsortes zu
jedem beliebigen Zeitpunkt.
 Mathematisch beschreibt der Ortsvektor r  t  mit seinen Komponenten x (t), y (t), z (t) diesen
Anspruch.
sehr oft: kartesisches KS Ursprungswahl zweckmäßig
Experiment 1: KS mit Taube e x  e y  ez
Der Ortsvektor r  t  ist vom Koordinatenursprung (0, 0, 0) zum Aufenthaltsort (x, y, z) gerichtet.
 x t 

 y t  


 z t  
r  t  = y  t  e x + y  t  e y + z  t  ez = 
(1)
Einheitsvektoren in Achsenrichtung(en)
Der Ortsvektor r  t  ändert bei der Bewegung des Körpers i. A. seinen Betrag r  t  und seine
Richtung
r t 
.
r t 
Der Betrag r  t  hat die Dimension einer Länge und wird gemessen in Meter  r  = m
r  t  = Bahnkurve (Orts-Zeitfunktion, parameterfrei)
Betrag von r = r = r
Skalarprodukt: r  r  ( xe x  ye y  zez ) ( xe x  ye y  zez )
a  b  a  b  cosWinkel ( a, b )
ei  ei  1
ei  e j  0
ei e j   ij
r 2  x2  y2  z2
Kroneckersymbol
r  x2  y2  z2
Die Richtung des Ortsvektors r in Bezug auf die Koordinatenachsen erhält man durch die
Richtungskosinus.
cos  x 
x
r
Der Einheitsvektor
cos  y 
y
r
cos  z 
z
r
r t 
zeigt nur die Richtung an und besitzt keine Maßeinheit.
r t 
Zur Einführung der abgeleiteten Begriffe Geschwindigkeit und Beschleunigung sollen zunächst
einfache Spezialfälle betrachtet werden:
a) Der Körper bewegt sich auf einer Geraden
Geradlinige Bewegung = Translation
b) Der Körper bewegt sich auf einem Kreis.
Wenn der Kreismittelpunkt M  x0 , y0  als Koordinatenursprung gewählt wird, ändert der
Ortsvektor r  t  nur seine Richtung, nicht aber seinen Betrag.
c) Als Beispiel für den allgemeinen Fall werden Überlagerungen translatorischer Bewegungen
betrachtet.
1.2. Die geradlinige Bewegung = Translation
Der Körper K legt in der gewissen Zeit t den Weg s zurück.
Den Quotienten aus Weg und Zeit nennt man seine (Bahn-) Geschwindigkeit oder auch Schnelligkeit.
 Definition
Geschwindigkeit v = zurückgelegter Weg s
verstrichene Zeit t
v 
(2)
m
s
Ist diese Geschwindigkeit v zeitlich Konstant  v  const  , spricht man von gleichförmiger
=
Bewegung. In diesem Falle wächst der zurückgelegte Weg s linear mit der Zeit t an.
Wächst die Geschwindigkeit linear mit der Zeit t an (oder nimmt sie linear mit der Zeit t ab) liegt eine
gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Bahnbeschleunigung) vor.
 Definition:
Beschleunigung a =
a 
=
Geschwindigkeitsänderung v
Zeitintervall t
(3)
m
s2
Experiment : Fallrinne
Die Geschwindigkeit ergibt sich als Fläche A unter der a  t  -Kurve.
Der Weg s ist die Fläche unter der v  t  -Kurve. Damit erhält man das Weg-Zeit-Gesetz für die
gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
Bei der allgemeinen geradlinigen Bewegung ist auch die Beschleunigung a  t  zeitlich veränderlich.
Es kann Beschleunigungs- und Abbremsphasen geben, ebenso wie Phasen gleichförmiger
Bewegungen oder sogar Ruhe.
s  t  : Weg-Zeit-Verlauf einer Bewegung mit einer Beschleunigungsphase, einer Phase
gleichförmiger Bewegung und einer Verzögerungsphase
 Definition:
Mittlere Geschwindigkeit v 
Über beliebige Eskapaden (unterwegs) sagt v
zurückgelegter Weg s
Zeit int ervall t
(4)
nichts aus!
Bsp.: Aufgabe:
Ein Auto (Pkw) fährt die erste Hälfte einer insgesamt 90 km langen Strecke mit v1  90
zweite mit v2  30
km
.
h
Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit?
t ges  t  t1  t 2
t1 
45km
 0,5h
90km h
t 2 
45km
 1,5h
30km h
t  2h
v
s 90km

 45km h
t
2h
Es gilt also nicht: v 
v1  v2

2
km
h  60 km (wäre ein fataler Fehler!)
2
h
 90  30 
Man hat vielmehr ein gewichtetes Mittel zu bilden!
km
, die
h
Dabei wird berücksichtigt, wie lange der Fahrer die jeweilige Geschwindigkeit eingehalten hat.
v
t
t
s s1  s2 v1t1  v2 t 2 v1t1  v2 t 2
 v1 1  v2 2



t
t
t t1  t 2
t1  t 2
t
Als Montangeschwindigkeit
Geschwindigkeit definiert:
wird
die
zu
Gewichtsfaktoren
einem bestimmten Zeitpunkt
s ds  t 

 s t 
t 0 t
dt
v  t   lim
erreichte
(5)
ds  t  und dt bezeichnet man als infinitesimale Größen (Zum Grenzwert hin  klein werdend).
Analog definiert man als mittlere Bahnbeschleunigung im Zeitintervall t :
a
v
t
(6)
Entsprechend ist die Momentanbeschleunigung:
d 2s t 
v dv  t 

 v t  
 s t 
t  0 t
dt
dt 2
a  t   lim
(7)
Momentangeschwindigkeit und Momentanbeschleunigung erhält man also durch zeitliche
Differentiation der Weg-Zeit-Funktion.
Umgekehrt ergibt sich aus der Momentanbeschleunigung durch einmalige Integration die
Momentangeschwindigkeit und durch zweimalige Integration die Weg-Zeit-Funktion (unbestimmtes
Integral) oder der zurückgelegte Weg (bestimmtes Integral).
Beispiele: ohne Beschränkung der Allgemeinheit zunächst nur: Eindimensional 1 D

Gleichförmige Bewegung:
dx
 x  vo x  const
dt
dx  vo x dt
vx  t  
x t 

x  x0
t
dx 
v
t 0
t
dt  v0 x
'
0x
x  t   x0  v0 x  t
x  t   x0  v0 x  t
 dt
t 0
'
 v0 x t
 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung:
x
dv x  t 
 a x  const
dt
vx t 

dv x  a x dt
t
dv x 

t
a x dt '  a x
t 0
v0 x
 dt
'
 ax  t
t 0
v x  t   v0  a x  t
v x  t   v0 x  a x t
x
 dx 
dx  v x  dt
x0
t

t
v x dt ' 
t 0
 v
t 0
0x

 a x t ' dt '
1
 v0 x t  a x  t 2
2
x  t   x0  v 0 x t 
ax 2
t
2
Diese Formeln finden Sie alle in dieser oder ähnlicher Darstellung in Tabellenbüchern. Tafelwerke
helfen allerdings nicht weiter im folgenden Beispiel:
 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung:
ax  ax  t 
spezielle Funktion
dx  t   dv x  t   a x  t  dt 
x t 

d x t  
v0 x
t
x  t   ax  t  
k
t
m
k
tdt
m
t
k ' ' k
k 2
'
'
t 0 m t dt  m t 0 t dt  2m t
Anfangsgeschwindigkeit beachten
k 2
bzw.
x  t   v0 x 
t
2m
dx  x  t  dt
x t 
t

 dx    v
x0
t 0
0x

k '2  '
k 3
t dt  v0 x  t 
t
2m 
6m
k 3
t
6m
=================================================================
x  t   x0  v 0 x t 
Empfohlene Literatur zu diesem Kapitel:
Hering, Martin; Stohrer: Physik für Ingenieure, 10. Auflage, Lehrbuch, Springer Verlag, ISBN
978-3-540-71855-0, Seiten 29 bis 39
1.3. Die Kreisbewegung
Wählt man bei der Beschreibung der Kreisbewegung den Kreismittelpunkt M (xM;yM) als
Bezugspunkt, ändert sich nur die Richtung des Ortsvektors
r  t   r0
r
 rˆ , nicht aber dessen Betrag.
r
r t 
 r0 rˆ  t  , r0  const
r
(8)
Zweckmäßig ist die Einführung von ebenen Polarkoordinaten r (Radius) und 𝞅 (zeitabhängiger
Drehwinkel):
Winkelkoordinate   t 
Transformationsgleichungen
x  r cos 
y  r sin 
x2  y2  r 2
x
 cot 
y
y
 tan 
x
  arc tan
 Definition:
y
x
Winkelgeschwindigkeit 
 t  
d  t 
  t 
dt
(9)
Winkelbeschleunigung 
 t  
d  t  d 2  t 

  t 
dt
dt 2
(10)
Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit spricht man von einer gleichförmigen, bei konstanter
Winkelbeschleunigung von einer gleichmäßig beschleunigten Kreisbewegung.
s bzw. r , v  a sind Vektoren
Frage: Kann man Drehbewegungen vektoriell erfassen?
Gleichförmige Drehbewegungen werden durch eine Größe der Winkelgeschwindigkeit und einen
Drehsinn bzw. eine Richtung beschrieben.
Die konkrete Frage ist nun, ob es folgende Analogie gibt:
Weg s
Winkel 
Geschwindigkeit v
Beschleunigung a
Winkelgeschwindigkeit 
Winkelbeschleunigung 
Es zeigt sich, dass eine vektorielle Darstellung für  und  möglich ist, nicht aber für Winkel. Wenn
Winkel als Vektoren darstellbar wären, müssten sie auch dem Gesetz der Kommutativität der
Vektoraddition. gehorchen, d.h., die Hintereinanderausführung zweier Drehungen um zwei beliebig
gewählte Achsen müsste von der Reihenfolge unabhängig sein.
Die beiden Sequenzen der Drehung um y- und z-Achse sind nicht vertauschbar.
Die Prozedur „erste Drehung um y-Achse, zweite Drehung um z-Achse“ führt zu einem anderen
Ergebnis als die umgekehrte Aufeinanderfolge „erste Drehung um z, zweite Drehung um y“. Ferner
spricht die Definition des Skalarproduktes sowie die Arcusfunktion eines Winkels dagegen.
D.h., Makroskopische Winkel sind nicht
Einschub für Experten und Feinschmecker:
als Vektoren darstellbar.
Anders ist die Lage für infinitesimal (im Grenzwert unendlich klein werdende) kleine Winkel. Hier
wird die Hintereinanderausführung von Drehungen von der Reihenfolge unabhängig. Die Addition ist
kommutativ, infinitesimal kleine Winkel sind als Vektoren darstellbar.
Es ist gleichgültig, ob P über P‘ oder P“ in P* überführt wird. Die Wegelemente ds1 und ds2 addieren
sich vektoriell zur resultierenden Verschiebung ds3 , dabei ist die Reihenfolge gleichgültig.
ds3  ds1  ds2  ds2  ds1
Die zu den infinitesimalen Drehwinkeln d1 und d2 gehörigen Vektoren d1 und d2 definiert
man mit Hilfe der „Rechte-Hand-Regel“: Einer Drehung d in Richtung der gekrümmten Finger
der rechten Hand wird ein Vektor d in Richtung des ausgestreckten Daumens der rechten Hand
zugeordnet.
Im Beispiel steht also d1  auf der vom Ortsvektor r  P  und der Verschiebung ds1 gebildeten


Ebene, entsprechend ist d2  Ebene r  P ' , ds2 . Die mit den Wegelementen dsi ausgeführte
Addition lässt sich damit sofort auf die di übertragen.
d3  d1  d2  d2  d1
(11)
Gemäß Gleichungen (9)  (11) gilt damit auch:
d 3 d 1 d 2


 3  1  2
dt
dt
dt
Ende des Einschubes
(12)
D.h.: Winkelgeschwindigkeiten sind als Vektoren schreibbar. Sie charakterisieren den Drehsinn und
die Geschwindigkeit der Rotation. Vektoren mit diesen Eigenschaften heißen: „axiale Vektoren“. Die
„normalen“ Vektoren heißen „polare“ Vektoren.
Gleichung (12) sagt aus, dass man die Winkelgeschwindigkeiten zweier oder mehrerer Rotationen um
unterschiedlichen Achsen vektoriell zu einer Gesamtwinkelgeschwindigkeit 3  addieren kann.
Exp.: Addieren von Winkelgeschwindigkeiten mit schwarzer Kugel mit grünen Punkten
Winkelgeschwindigkeit Modellscheibe V 02 / 1421
Die Bahngeschwindigkeit v ist stets tangential zur Kreisbahn gerichtet und steht senkrecht auf dem
aktuellen Radiusvektor.
Ihr Betrag ergibt sich aus:
ds
=
Bahngröße
v
d
r0
Radius
=
ds
dt
x
=
zu
Winkelgröße
r0
d
=
dt
r0  
(13)
 = axial
(14)
Die Bahngeschwindigkeit v steht  r   .
Mit Hilfe des Vektorproduktes kann man schreiben:
v  r
polare Vektoren
Das Kreuzprodukt zweier polare Vektoren
axialer Vektor
Das Kreuzprodukt eines polaren und eines axialen Vektors
polarer Vektor
r  r , v  v ,   
Ein „normaler“ polarer Vektor ändert bei Koordinateninversion
x
y
z
-x
-y
-z
seine Richtung, seine Polarität
Ein Vektor c  a  b , der sich aus dem Kreuzprodukt zweier polarer Vektoren a , b ergibt, ändert bei
einer solchen Punktspiegelung sein Vorzeichen nicht, weil beide Faktoren im Produkt ihr Vorzeichen
gleichzeitig ändern.
Da sich die Bahngeschwindigkeit bei der Kreisbewegung (wenn auch nur der Richtung nach) ständig
ändert, ist bereits die gleichförmige Kreisbewegung eine beschleunigte Bewegung.
Mathematische Beschreibung der gleichförmigen Kreisbewegung
Rechtwinkliges kartesisches KS mit Einheitsvektoren ex , ey (z = 0 )
Damit wird der Ortsvektor:
r  t   ex r0 cos   ey r0 sin 
(15)
Gleichförmige Kreisbewegung:

d 
  2 /   2 v
dt
t
(16)
𝞄: Umlauffrequenz
1
v
  2 v

Periodendauer
Winkelgeschwindigkeit, Kreisfrequenz
r  t   r0 (ex cos t  ey sin t )  r0rˆ t 
Die zeitliche Differentiation des Richtungsvektors führt zu:
r  r0
dr  t 
drˆ  t 
d
 r  t   v  t   (r0 rˆ  t )  r0
dt
dt
dt
d
 r0  ex cos t  ey sin t 
dt
 r0  ex sin t  ey cos t 
Betrag
Richtung
 r0 rˆ´ r ´
(17)
Der Einheitsvektor rˆ´ , der die Richtung von v angibt, steht senkrecht auf dem Ortsvektor r und
senkrecht auf 
Die Differentiation des Ortsvektors ergibt also unmittelbar sowohl Betrag als auch Richtung des
Bahngeschwindigkeitsvektors. Durch nochmalige Differentiation gelangt man in gleicher Weise zur
Bahnbeschleunigung:
a t  
dv  t 
  2 r0  ex cos t  ey sin t 
dt
Betrag
Richtung
  r0 rˆ``  r
2
(18)
2
 da rˆ`` rˆ 
Die Bahnbeschleunigung ist bei der gleichförmigen Kreisbewegung stets dem Ortsvektor
entgegengerichtet, sie zeigt immer auf den Kreismittelpunkt.
Es gibt eine reine Radialbeschleunigung = Zentripetalbeschleunigung.
2
Deshalb wird sie mit ar   r   r     v bezeichnet.
Vektoriell ist:
ar    v      r 
(19)
Entwicklungssatz der Vektorrechnung für das doppelte Kreuzprodukt:
    r    r   r       2 r
  r  = 0, weil   r , es bleibt also übrig:
ar   2 r
Bisher haben wir nur die gleichförmige Kreisbewegung behandelt.
Bei der ungleichförmigen Kreisbewegung (z.B. gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung) ändert
sich auch der Betrag der Bahngeschwindigkeit v : v
Der Beschleunigungsvektor lässt sich in diesem Fall in eine Radial-Komponente ar und eine
Tangential-Komponente at zerlegen.
Erstere ist für die Richtungsänderung, letztere für die Betragsänderung von v verantwortlich.
Die Kreisbewegung auf einen Blick – Zusammenfassung
Wie gelangt man von einem Koordinatensystem (KS) in das andere (Transformation)?
Kartesische Koordinaten
Polar-Koordinaten
 x0 2  y0 2
x0  r0  cos  (t )
r0
y0  r0  sin  (t )
 (t )  arc tan
z0  0
z
y t 
x t 
0
 t    t    t 
rˆ´ ex  sin t
rˆ´´ ex  cos t
ar  w2 r
 ey cos t
 ey sin t
 rˆ
ar  r0 w2
Richtungsänderung von v
Betragsänderung von v
at
Bemerkungen: Zur Veranschaulichung der Zusammenhänge der Größen Ortsvektor, Bahn- und
Winkelgeschwindigkeit dienen auch die beiden folgenden geometrischen Überlegungen:
1.) Bei der gleichförmigen Kreisbewegung gilt / v /  const. Folglich ist auch / v / 2  const .
Vektoriell ist auch das Skalarprodukt v 2  const. Differenziert man den letzten Ausdruck,
d
dv
/ v / 2  2v 
 2v  a  0 . Demzufolge müssen die beiden Vektoren
dt
dt
senkrecht aufeinander stehen, es gilt v  a . Da der Geschwindigkeitsvektor andererseits
ergibt sich:
senkrecht auf dem Radiusvektor steht, kann folglich die Beschleunigung nur radial nach innen
oder außen zeigen. Sie zeigt nach innen, weil die Punktmasse ansonsten wegfliegen würde.
2.) Aus dem vektoriellen Zusammenhang v    r (Gl. (13)) folgt bei zeitlicher Ableitung mit
Hilfe der Produktregel:
d
v    r    r  a . Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist
dt
die Winkelgeschwindigkeit konstant, die zeitliche Ableitung verschwindet und damit der erste
Summand. Im zweiten Summanden kann für die Zeitableitung des Ortsvektors der
Geschwindigkeitsvektor eingesetzt werden, der wiederum durch Gleichung (13) definiert ist.
Also ergibt sich: a    (  r ) . Nach dem Zerlegungssatz für doppelte Kreuzprodukte
(siehe Gl. (16)) bleibt nur der Term a    r übrig. Also gilt a  r .
2
1.4. Überlagerung von Bewegungen
Im allgemeinen Fall der beliebigen Bewegung eines Körpers bzw. Massenpunktes ändert sich sein
Ortsvektor sowohl nach Betrag als auch Richtung. Rein formal muss man zur Bestimmung der
Geschwindigkeit den Ortsvektor differenzieren:
v t  
dr  t  d
dr  t 
drˆ  t 
  r  t  rˆ  t   
 rˆ  t   r  t 
dt
dt
dt
dt
Produktregel
(1.20)
Zur praktischen Lösung derartiger Bewegungsprobleme ist es günstig,
dreidimensionale Problem auf die enthaltenen skalaren Probleme zurückzuführen.
das
vektorielle
Wir zerlegen r  t  in seine Komponenten:
r  t   x  t  ex  y  t  ey  z  t  ez   x  t  ; y  t  ; z t  


Bahngeschwindigkeit: v  t   r  t   vx ; v y ; vz   x; y; z 
Bahnbeschleunigung:
a  t   r  t    ax ; a y ; az    x; y; z 
(1.1)
(1.21)
(1.22)
Beispiele:
1. Der waagerechte Wurf:
Exp.: V2 / 1302 Grimsehl.-Versuch
Beobachtung: Vertikalkomponente ist unabhängig von Horizontalkomponente
Horizontal abgeworfene Kugel benötigt die gleiche Zeit zum Herabfallen wie beim freien Fall
senkrecht nach unten. Beide Kugeln erreichen gleichzeitig den Boden.
v0 y  0, y0  0 (Freier Fall mit Fallbeschleunigung g)
Spezialfall:

Überlagerung einer gleichförmig geradlinigen Bewegung in x-Richtung mit der
Anfangsgeschwindigkeit v0 x und einer Fallbewegung, also einer gleichmäßig
beschleunigten Bewegung in y-Richtung; die z-Komponente aller kinematischen
Größen  0.
x-Komponente(n)
Beschleunigung
Weg
y-Komponente(n)
ax  0
a y   g Geschwindigkeit
vx  v0 x
vy   g  t
x  v0x  t
1
y   gt 2
2
 x0  y0  0
1
r  t   v0 x  tex  gt 2ey
2
v  t   v0 x  ex  gt ey
a  t    g ey
Durch Elimination von t erhält man die Parameterdarstellung der Bahnkurve y(x)
t
x
v0x
y 
g x2
2 v0x 2
nach unten geöffnete Parabel mit Scheitel im
Koordinatenursprung (0;0).
2. Der schiefe oder schräge Wurf
Wir wählen zur Beschreibung ein passendes KS. Der Wurf verlaufe in der (x; y)-Ebene. Die
Anfangsgeschwindigkeit v0 besitzt jetzt aber eine Komponente in x-und in y- Richtung.
x-Komponente(n)
y-Komponente(n)
ax  0
Beschleunigung
a y   g Geschwindigkeit
vx  v0 x
vy   gt  v0 y
Weg
1
y   gt 2  v0 y  t  y0
2
Durch Elimination von Zeit t ergibt sich wiederum die Bahnkurve y  x  :
x  v0x  t  x0
y  x   y0 
vo y
vo x
x
1 g 2
x
2 v0 x 2
Das ist eine nach unten geöffnete Kurve mit dem Scheitel:
 vo x  vo y
vo y 2 

S 
; y0 
 g
2 g 

 x0  0
Experiment:
V2/1303
Wurfparabel mit Stroboskop
Die Bahnkurve ergibt sich aus der Überlagerung einer gleichförmig geradlinigen Bewegung in
Richtung v0 und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung in Richtung ey .
Aus Tabelle und Vektordiagramm ergibt sich:
Weg: r  t   y0ey  v0  t 
1 2
gt ey
2


Geschwindigkeit: v  t   v0 x ex  v0 y  gt ey  v0  gtey  r  t 
Superpositionsprinzip:
Gleichzeitig ablaufende Bewegungen eines Massepunktes (Körpers) beeinflussen sich gegenseitig
nicht. Resultierende Größen (Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung) ergeben sich aus der jeweiligen
Vektorsumme.
Im folgenden Diagramm sind alle möglichen Bahnkurven zusammengestellt und man begreift,
weshalb y(x) Parameterdarstellung der Bahnkurve heißt: Die Parameter sind die
Anfangsgeschwindigkeit v0 sowie der Abwurfwinkel α.
Die Hüllkurve entspricht der Wurfparabel eines waagerechten Wurfes aus der maximal erreichbaren
Steighöhe des senkrechten Wurfes mit der Anfangsgeschwindigkeit v0.
ÜA
Bahnkurve: y  x  tan  
g
1
x2
2
2
2 v0 cos 
Beweis
x  v0  cos   t
t
x
v0 cos 
1
y  y0  v0 sin   t  gt 2
2
x
1
x2
 y0  v0 sin 
 g
v0 cos  2 v0 2 cos 2 
Horizontale Reichweite:
v0 2
R
sin  2 
g
R ist maximal für:   45
v2
Rmax  0
g
Beweis
x  x0  R  v0 cos   t
t
R
v0 cos 
1
y  y0  0  v0  sin   t  gt 2
2
v sin 
1
R2
0 0
R g 2
v0 cos 
2 v0 cos 2 
0
2 2
v0 sin  cos   R
g
1
gR
2
:
2
 v0  cos  
2v0 2
R
sin   cos 
g
sin  2   2sin  cos 
v0 2
R
sin 2
g
Frage: Wie gelangt man zur roten Hüllkurve?
Antwort: Die Bahnkurve kann auch geschrieben werden in der Form
g
1
g  x2
2
y  x  tan  
x  x  tan  
 (1  tan 2  ) . Man bildet folgende Funktion F:
2
2
2
2 v0 cos 
2  v0
F ( x, y, tan  )  y  x  tan  
g  x2
 (1  tan 2  )
2  v0 2
Diese Funktion wird differenziert nach tan α. Als Ergebnis erhält man: tan  
die Funktion F: F ( x, y, tan  )  y 
die Hüllkurve: yh 
v0 2
. Eingesetzt in
g  x2
v0 2 g  x 2

. Setzt man diese Funktion gleich Null, erhält man
2  g 2  v0 2
v0 2 g  x 2
.

2  g 2  v0 2
Fazit: Zusammenfassung
Die Zeit t ist eine skalare Größe.
Weg s, Geschwindigkeit v und Beschleunigung a sind vektorielle Größen, polare Vektoren,
Winkelgeschwindigkeit  und Winkelbeschleunigung  sind axiale Vektoren. Man benötigt zu ihrer
Festlegung eine Konvention, die Rechte-Hand-Regel.
Für die Beträge der Größen, mit denen sich Translations- und Rotationsbewegung beschreiben lassen,
gelten analoge Beziehungen. Makroskopische Winkel  lassen sich nicht als Vektoren darstellen.
Translation
Rotation
Weg s
Winkel 
Bahngeschwindigkeit v  s
Winkelgeschwindigkeit   
Bahnbeschleunigung a  v  s
Winkelbeschleunigung     
Gleichförmige Bewegung
v  const
s  v t
  const
   t
Bahngeschwindigkeit v   x r

Bahnbeschleunigung: ar   x v   x  x r

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
a  const
v  v0  a  t
  const
  0    t
a
s  s0  v0  t  t 2
2
  0  0t    t 2
1
2
Zeitabhängige Beschleunigung
a  a t 
t
v  t    a  t ' dt '
0
t
s  t    v  t ' dt '
0
   t 
t
  t      t ' dt '
0
t
  t      t ' dt '
0
2. Dynamik
2.1. Masse und Kraft
Zur vollständigen Beschreibung und Erklärung von Bewegungen müssen die Ursachen für diese
Bewegungen (Kräfte, Drehmomente) und die Eigenschaften der sich bewegenden Körper (Masse,
Trägheitsmoment) betrachtet werden.
Zur Erinnerung: Die Kinematik beschreibt Bewegungen, fragt aber nicht nach den Ursachen hierfür.
Bsp.: Translation (1. & 2. Vorlesung)
Rotation (3. Vorlesung)
zusammengesetzte bzw. überlagerte Bewegungen (Wurf)
(4. Vorlesung)
Warum fällt der Apfel immer senkrecht nach unten und niemals seitwärts?
Die Schwerkraft zeigt immer zum Erdmittelpunkt, jeder Körper unter deren Einfluss fällt frei (Modell: Vernachlässigung der
Luftreibung)
Bildquelle(n):
links:
https://www.bing.com/images/search?q=newton+und+der+apfel&id=B3736D02ADE98256B37CB44
8086EA30F95298275&FORM=IQFRBA
rechts:
https://www.bing.com/images/search?q=newtons+apfel&view=detailv2&qpvt=newtons+apfel&id=EE
320165D3A613C146A9FEC67B5AF3ACD44A7793&selectedIndex=6&ccid=J4mSkgXx&simid=60
8050190801372428&thid=OIP.M2789929205f1f14978b02f9652892b5ao0&ajaxhist=0
Wesentliche Eigenschaften von Masse m und Kraft F:
 Masse: [𝑚] = kg (Mess-Normal: Urkilogramm: Pt-Ir-Zylinder, Paris)
 Die Masse ist eine allgemeine Eigenschaft aller Körper; jeder Körper besitzt eine Masse. Dies gilt
sowohl für makroskopische (für uns im Alltag sichtbare) als auch für mikroskopische Objekte,
wie z. B. Atome, Elektronen, Nukleonen usw.




Die Masse eines Körpers ist verantwortlich für seine Trägheit: Jeder Körper widersetzt sich
aufgrund seiner Trägheit einer Änderung seines Bewegungszustandes (träge Masse).
Änderung des Bewegungszustandes heißt Änderung der Geschwindigkeit.
Bereits Galilei (1564 … 1642) hat erkannt, dass eine geradlinige gleichförmige Bewegung, d.h.
v = const. von sich aus fortbesteht, also keiner besonderen Ursache bedarf; die Ruhe (v = 0) ist
ein Sonderfall davon.
Man bezeichnet dies als Trägheitsprinzip.
Zwischen zwei beliebigen Körpern besteht wegen ihrer Eigenschaft, eine Masse zu haben, eine
Anziehungskraft, die Gravitation (schwere Masse).
Träge und schwere Masse eines Körpers sind gleich!
 Diese Äquivalenz ist eine empirische Tatsache, die durch Hochpräzisionsmessungen untersucht
wird.
 Sie liegt als Postulat der allgemeinen Relativitätstheorie zugrunde
Historische Experimente:

Eötvös um 1900:



Shapiro 1976: Apollo-Missionen u. Laserreflektoren auf dem Mond … <
Adelberger 1999: … <
Geplante neuere Experimente: Drag-free satellites … <
=
<
Drehwaage
Weitere Eigenschaften der Masse:
 Die Masse ist eine skalare Größe und der Stoffmenge n eines Körpers proportional.
 Die Masse ist im Rahmen der Mechanik eine Erhaltungsgröße (m = const.)
 Die Masse hängt vom Bewegungszustand des Körpers ab:
 m=
; v = Geschwindigkeit des Körpers der Masse m, c = Vakuumlichtgeschwindigkeit


Für die klassische Mechanik (außerhalb der speziellen Relativitätstheorie) gilt: v << c
und
damit m = mo
m = m(t) für die Raketengleichung wird gesondert beim Impulserhaltungssatz (IES) behandelt.
Die Kraft 𝐹
• Mit einer Kraft kann man Körper verformen.
• Diese Verformung kann bleibend sein, dann spricht man von einer plastischen Verformung.
• Sie kann aber auch vorübergehend und damit elastisch sein.
• Mit einer Kraft lassen sich bewegliche Körper in Kraftrichtung beschleunigen.
• Ohne Krafteinwirkung ändert sich der Bewegungszustand eines Körpers nicht (siehe dazu später
erstes Newton‘sches Axiom = Trägheitsprinzip).
• Die Kraft ist eine vektorielle Größe.
Änderung des Bewegungszustandes <-> Auf den Körper wirkt eine Kraft

Bei mehreren Kräften überlagern sich alle Komponenten einzeln, es gilt das
Superpositionsprinzip Unabhängigkeitsprinzip (siehe Wurf).
Bsp.:
Kartesisches Koordinatensystem
Fges   Fi
i
Fx ,
ges
  Fx ,i
i
Dimension / Einheit: [F] = 1 Newton  1N  1kg
m
s2
Fy ,
ges
Fz ,
ges
  Fy ,i
i
  Fz ,i
i

Ein Körper mit Fges  0 heißt: „frei“, weil er seinen Bewegungszustand nicht ändert.

In vielen Fällen hängt die Kraft F vom Ort r ab: F  F  r 


Betrag  Richtung der Kraft sind eindeutig dem jeweiligen Ort zugeordnet.
Eine solche jedem Ort r zugeordnete Kraft wird als Kraftgeld bezeichnet.
Bsp.:
Jeder Punkt in der Umgebung der Erde besitzt die
Eigenschaft, auf eine bestimmte Masse eine
bestimmte Kraft F  r  auszuüben. Diese
Eigenschaft hat der Punkt auch dann, wenn keine
zweite Masse dort (vorhanden) ist.

Unterschiedliche Körper reagieren auf ein und dieselbe Kraft unterschiedlich.
Bsp.:
Ziehen am Handwagen, am Pkw, an einem Schiff
2.2. Die Newton‘schen Axiome
Von Isaac Newton (1643 - 1727) wurden die grundlegenden Gesetze der Bewegung von Körpern unter
der Einwirkung von Kräften formuliert:
1. Trägheitsprinzip (bereits von Galilei erkannt)
 Jeder Körper verharrt in Ruhe oder gleichförmig geradliniger Bewegung, solange
keine von Null verschiedene resultierende Kraft auf ihn einwirkt.
Experimente: V 2 / 2100
V 2 / 2102
V 2 / 2103
V 2 / 2105
V 2 / 2111
V 2 / 2113
kleiner auf großem Wagen
Kugel mit 2 Fäden
Toilettenrolle
Münzturm
flotter Kellner
Blechplatte – Zeitung
2. Aktionsprinzip

Wenn eine Kraft F auf einen Körper einwirkt, beschleunigt sie ihn:
ar 
Wirkung
F
m
(1)
Ursache
Experiment:

LKB aus Praktikum
Die Eigenschaft, sich der Einwirkung der Kraft zu widersetzen und den vorliegenden
Bewegungszustand beizubehalten, wird beschrieben durch die Relation:
F  ma
Newton’sches Aktionsprinzip (mathematisch völlig das gleiche)
3 Möglichkeiten der Interpretation:
a) F  m  a Bestimmung von F
Wenn ein Körper der Masse m die Beschleunigung a erfährt, wie groß ist dann die wirkende
Kraft F?
Bsp.: Ermittlung der Erdschwerkraft aus Fallexperimenten
b) m 
F
a
Charakterisierung der Trägheit
Wie viel Kraft F muss pro Beschleunigung a aufgebracht werden?
c) r  a 
F
m
Bestimmungsgleichung für die Beschleunigung a
Damit kann bei gegebener Kraft F  t  für die Masse m die Bahnkurve r  t  durch Integration
bestimmt werden.
Leseart a) führt zur Definition der Maßeinheit für die Kraft F aus den SI-Einheiten bzw. SIGrundgrößen Masse, Länge und Zeit:
1 Newton  1N  1kg
m
s2
1 N ist also die Kraft, die einer Masse von 1 kg die Beschleunigung 1
m
verleiht.
s2
Die Beschleunigung durch die Erdschwerkraft an der Erdoberfläche beträgt g  9,81
m
(Erdgestalt,
s2
Aufbau von Kruste und Mantel).
D.h., die Masse 1kg besitzt auf der Erdoberfläche die Gewichtskraft
FG  9,81 kg
m
 9,81N  1kp
s2
Die Gewichtskraft darf nicht mit der Masse verwechselt werden.
Gleichung (1)
ar 
F
m
heißt auch Bewegungsgleichung eines Körpers.
Man muss von einem Körper die Beschleunigung kennen oder, was nach dem 2. NA das gleiche ist,
nämlich die angreifende Kraft und die Masse kennen, um die Bewegung durch Berechnung
vorherzusagen.
Dies erfolgt durch Integration der BWGL, siehe nachfolgende Beispiele (in der nächsten Vorlesung):
Kennt man die angreifende Kraft, die Masse und die Anfangsbedingungen (Anfangsort,
Anfangsgeschwindigkeit), lässt sich prinzipiell jedes Bewegungsproblem lösen.
Praktisch zerlegt man die BWGL oft in Komponenten:
x(t ) 
F t 
Fx  t 
F t 
 ax  t  ; y (t )  y
 az  t 
 a y  t  ; z (t )  z
m
m
m
Den Anfangsort legt man zweckmäßigerweise (aber keinesfalls zwingend) in den
Koordinatenursprung.
Um das Bewegungsproblem zu lösen, d.h. x  t  , y  t  , z  t  zu ermitteln, müssen die
Anfangsgeschwindigkeiten
v0 x  x  t  0  , v0 y  y  t  0  , v0 z  z  t  0  bekannt sein.
3. Reaktionsprinzip

Bei zwei Körpern, die nur miteinander wechselwirken, ist die Kraft F1 auf Körper A
entgegen gesetzt gleich groß wie die auf B wirkende Kraft F2
F1   F2
Actio
(2)
Reactio
Experimente: Waage mit 4 Magneten
2 Wagen mit Seil
Das Aktionsprinzip kann mit Hilfe der Größe Impuls p
p  mv
 p
 kg 
(3)
m
s
 Ns
anders formuliert werden: (Dies wurde bereits von Newton schon so getan.)
Eine Kraft ändert bei Einwirkung auf einen Körper dessen Impuls:
F
dp d  mv 
dv
dm

 m v
dt
dt
dt
dt
(4)


Solange auf ein System keine (äußeren) Kräfte einwirken F  0 , bleibt der (Gesamt-) Impuls des
Systems konstant. Es resultiert also unmittelbar der Impulserhaltungssatz IES.
Abschließend sei bemerkt, dass Newton die Axiome für Punktmassen formulierte. Bei Körpern
endlicher Größe kann man sich aber die Masse in einem Punkt vereinigt denken. Dieser
Massenmittelpunkt oder auch Schwerpunkt bewegt sich wie von den Axiomen bestimmt. Daraus folgt,
dass man die NA auch auf Körper mit endlicher Ausdehnung anwenden kann.
Beispiele zur Integration der BWGL
1. Harmonische periodische Bewegung
Eine Masse m ist an einer Feder der Federkonstante k befestigt und kann sich
entlang der x-Achse reibungsfrei bewegen.

Zum Zeitpunkt t = 0 wird sie um x0 aus der Ruhelage x = 0 ausgelenkt. x  0   x0  x  0   0

AB: Anfangsauslenkung, aber keine Geschwindigkeit!
Experiment: V4 / 1102
einfaches Federpendel
Welche Bewegung führt die Masse m aus?
Gesucht sind also das Weg-Zeit-Gesetz (x(t)) sowie die Beschleunigung a(t)
ma  F
mx  kx
F  k  xex ist die (rücktreibende) Federkraft (hier: eindimensional 1 D)
x
k
x0
m
BWGL
Lineare, homogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
d 2 x t 
k
x
  x t 
2
dt
m
Gesucht ist demnach eine Funktion x  t  , deren 2. Abteilung bis auf die negative Konstante 
Funktion selbst wieder ergibt.
k
die
m
Die Funktion x  t   x0  cos t erfüllt diese Bedingung, was sich durch Einsetzen nachprüfen lässt.
x  t   x0  cos t
x  t    x0  sin t
x  t    2 x0  cos t   2 x  t 
Vergleich:

k
x  t    2  x0  cos t   2 x  t 
m
k
 2
m

k
 2 / T
m
Harmonische Schwingung:
x  t   x0  cos t mit  
Experimente: V4 / 1104
V4 / 1105
T = T(m)
T = T(k)
k
m
2. Angenähert harmonische Bewegung – das mathematische Pendel
Eine Punktmasse m hängt an einem
masselosen (Modell) Faden der Länge L
und wird um einen kleinen Winkel  aus
der Ruhelage ausgelenkt.
Die an der Masse m angreifende
Gewichtskraft G  mg kann in zwei
Komponenten G  GII zerlegt werden.
Während GII nur am Faden zieht,
ist G offensichtlich für die Bewegung verantwortlich.
Das dem Problem angepasste KS ist krummlinig, die Masse bewegt sich auf einem Kreisbogen:
2. NA: ms  mg  sin   sˆ
Einheitsvektor in s -Richtung
G
Nach Weglassen der Vektorpfeile kann man nun entweder mit der Koordinate s oder mit der
Winkelkoordinate  weiterrechnen (völlig äquivalent):
Mit
s  L  s  L
ergibt sich:
  sin   0  s  g sin
g
L
(L=const)
s
0
L
Beide Gleichungen lassen sich nicht mehr exakt lösen. Eine Lösung gelingt nur, wenn man sich auf
(sehr) kleine Winkel beschränkt, für diese gilt: sin    (< 10 °)
bzw.
sin  
Mathematischer Einschub
Satz von Taylor für Taylor-Reihe (n)
n
f  x  
v 0
f v  x0 
v
 x  x0   Rn  x  Lagrang’sches Restglied
v!
Jede in einem Intervall differenzierbare Funktion kann um den Wert x0 entwickelt werden.
Spezialfall:
x0  0
McLaurin-Reihe
n
f  x  
v 0
f v  x0  v
x  Rn  x 
v!
s
L
f  x   f  0 
f '  0  f ''  0  f '''  0 


 ……
1!
2!
3!
1
sin x  0  x  x3  ……
6
Linearisierung: Abbruch nach linearem Glied (wenn x klein ist, dann sind höhere Potenzen noch sehr
viel kleiner)  sin x  x
sin  
x
L
x  L  sin 
x  L
für kleine 
Ende des mathematischen Einschubes
……………………………………………………………………………………………
  t   0  cos t L
L  t   L0  cos t  x  t   x0  cos t
Damit wird:
g
L
  0s
g
s0
L
Diese DGL entsprechen genau der DGL der harmonischen Schwingung
  t   0  cos t
mit

g
L
s  t   s0  cos t
mit

g
L
T  2
L
Schwingungsdauer
g
! Die Frequenz der Schwingung ist masseunabhängig!
Experimente: V4 / 1200 einfaches mathematisches (Faden-)Pendel T  T  m 
V4 / 1201 T = T  L 
2.3. Das statische Gleichgewicht: Kräfte und Drehmomente
Greifen mehrere Kräfte F an einem Körper an, so lassen sie sich vektoriell zu einer Gesamtkraft
addieren.
Kräfte, deren vektorielle Summe verschwindet, lassen einen Körper in Ruhe.
Wir betrachten jetzt einen in 0 (Koordinatenursprung) drehbar gelagerten Körper:
Wenn der Körper K im Punkt 0 drehbar
gelagert ist, wird die Wirkung der Kraft Fges
umso größer sein, je größer die Kraft selbst
ist und umso größer der wirksame
Kraftarm r ist.
Definition des Drehmoments M:
Drehmoment  Kraft  wirksamer Kraftarm
M
F
M
rx F
M 
 Nm
 r  F  r  sin 
(5)
Greifen mehrere Drehmomente an K an, dann können sie vektoriell zu einem
Gesamtdrehmomentaddiert werden (Superpositionsprinzip, Kräfteparallelogramm(e)).
Es gilt: Ein Körper befindet sich im statischen Gleichgewicht, wenn die vektorielle Summe aller
angreifenden Kräfte und Drehmomente verschwindet.
Fges   Fi  0
i
(6)
M ges   M i  0
i
Experiment: Hebelgesetz, Drehmomente, Gleichgewichte



stabile
labile
indifferente
Gleichgewichte
V 4 / 1111
V 3 / 2101
V 3 / 2102
V 3 / 2108
V 4 / 0001
Beim stabilen Gleichgewicht bewegt sich der Körper nach kleinen Störungen infolge von
einwirkenden Kräften immer wieder in die Gleichgewichtslage zurück. Er führt dabei Schwingungen
um die ehemalige Ruhelage aus.
Beim labilen Gleichgewicht verlässt der Körper bei einer Störung sofort die (vorher instabile)
Ruhelage und kehrt nicht mehr dorthin zurück. Beim indifferenten Gleichgewicht wechselt der
Körper unter dem Einfluss von Kräften in eine neue Gleichgewichtslage.
2.4. Dichte und Massenmittelpunkt (MMP)
Körper unterschiedlicher Stoffe mit gleichen Massen besitzen i.A. unterschiedliche Volumina.
Die Stoffe werden charakterisiert durch die Stoffeigenschaft Dichte.
Definition:
mittlere Dichte 
Dimension:
Masse des Körpers
m

Volumen des Körpers
V
  
(7)
kg
m3
Bei vielen Körpern ist die Dichte an verschiedenen Stellen unterschiedlich:     x, y, z  . Solche
Körper heißen inhomogene Körper. Man muss eine lokale Dichte   r     x, y, z  definieren:
  x, y , z  
dm
dV
(8)
Die Gesamtmasse des Körpers berechnet sich dann nach:
m

dm     x, y, z  dV     x, y, z  dxdydz
Körper
(9)
V
Bei der Beschreibung der Bewegung von Körpern kann man die Verteilung der Masse auf ein
ausgedehntes Volumen oft außeracht lassen und sie sich in einem Punkt konzentriert denken: dem
Massenmittelpunkt MMP (Konzept des Massenpunktes (MP)).
Der MMP besitzt darüber hinaus bei vielen mechanischen Problemen eine ausgezeichnete Bedeutung.
Seine Lage (Ortskoordinaten) lässt sich experimentell und (zumindest in einfachen Fällen) rechnerisch
bestimmen.
Wir betrachten zunächst den eindimensionalen Fall (1D):
An einer masselosen Stange (Modell) sind an den Stellen xi die Masse mi befestigt.
Die Koordinate des Massemittelpunktes (MMP) ergibt sich als gewichtetes Mittel aller Koordinaten
xi (i = 1, …, n):
xs 
m3
m1
m2
x1 
x2 
x3
m1  m2  m3
m1  m2  m3
m1  m2  m3
oder allgemein
n
xs  
i 1
mi
xi
n
m
j 1
(10)
j
Beim 3D-Fall gilt analoges für die Koordinaten y und z. Vektoriell zusammengefasst ergibt sich als
Ortsvektor des Massemittelpunktes R
R
m r   m r
M
m
i i
i
i
j
r   xi , yi , zi 
R   xs , ys , zs 
M   mj
Gesamtmasse
Experimente: Schwerpunktmodelle
V3/1501
V3/1502
V3/1503
(11)
Im Falle der kontinuierlichen Masseverteilung wird dieser gedanklich in (kleine) Massenelemente dm
aufgeteilt.
Aus der Summation über einzelne Massepunkte wird dann eine Integration über den gesamten Köper
R
 r m
i
i

1
1
lim  r i mi 
rdm
M m0
M
(12)
1
rdm
M
Mit Hilfe der Dichte ergibt sich ein Volumenintegral  dm   dV , wenn   const 
R
1
r  dV
M
(13)
Beispiel zur Bedeutung des Massemittelpunktes:
masselose Stange mit den zwei Massen
m1 und m2
Frage: An welchen Stellen xs müsste eine Gegenkraft F an der Stange angreifen, die der gesamten
Gewichtskraft G  G1  G2 das Gegengewicht hält und den Gesamtkörper in der waagerechten Lage
belässt?
Die Gleichgewichtsbedingungen (vgl. Gleichung (2.7)) fordern:
-
für die Kräfte:
 F  0 und
i
i
-
für die Drehmomente:
M
i
0
i
D.h. für unser Beispiel:

F   G1  G2

und
G1  xs  x1   G2  x2  xs 
oder
xs 
x1G1  x2G2 x1  m1  g  x2  m2  g m1 x1  m2 x


G1  G2
m1 g  m2 g
m1  m2
Die Koordinaten des Angriffspunktes xs der Kraft F muss also gerade die des Massemittelpunktes
(Schwerpunktes (SP)) sein!
Allgemein: Im Gleichgewicht kann die Resultierende paralleler Kräfte im Massemittelpunkt
angreifend gedacht werden bzw. ein im Massemittelpunkt (SP) unterstützender Körper ist in jeder
Lage im statischen Gleichgewicht.
2.5. Reibungskräfte zwischen festen Körpern





Die Reibung ist wichtig für viele Bewegungsabläufe.
Ohne Reibung könnte man nicht laufen, fahren, bremsen.
Reibung bei Bewegung(en) in Flüssigkeiten und Gasen wird als innere Reibung bezeichnet.
Reibung zwischen festen Körpern heißt äußere Reibung.
Die mit der äußeren Reibung verbundenen mikrophysikalischen Vorgänge sind äußerst
kompliziert.
Was geschieht auf nanoskaliger und atomarer Ebene?
 Hier sollen nur phänomenologische Beziehungen betrachtet werden; diese sind oft nur
näherungsweise gültig.
 Die Newton‘schen Axiome 1 und 2 sind Idealisierungen; im täglichen Leben beobachtet man
anderes.
 Nach dem Trägheitsprinzip sollte ein auf waagerechter Ebene rutschender Körper seine
Geschwindigkeit für immer beibehalten. Tatsächlich kommt der Körper aber früher oder später zur
Ruhe. Nach dem Aktionsprinzip sollte eine beliebig kleine Kraft einen Körper in Bewegung setzen
können. Ist jedoch Reibung mit im Spiel, dann vermag eine beliebig kleine Kraft keineswegs den
Körper zu bewegen bzw. zu beschleunigen.
2.5.1. Haftreibung:
Ein Körper haftet auf seiner Unterlage. Es gibt
nie ganz glatte Oberflächen, sondern immer
mikroskopische Verhakungen.
Kräfte, die kleiner sind als die
Haftreibungskraft, lassen den Körper in Ruhe,
siehe dazu die Skizze an der Tafel.
•
Der Körper „antwortet“ in diesem Falle nach dem Gegenwirkungsprinzip mit einer gleich großen
Gegenkraft (actio = reactio).
Experimente:
FHR  FHR  Auflagefläche 
Haftreibung unabhängig von der Größe der Auflagefläche
FHR proportional  Normalkraft 
Haftreibung ist proportional zur Normalkraft
FHR  H  FN
(14)
 H : Haftreibungskoeffizient
Anmerkung: In einigen Lehrbüchern wird die Normalkraft nach oben gerichtet gezeichnet. Das
Argument hierfür ist, dass der Körper K mit der Masse m aufgrund seines Gewichtes G in der
Unterlage versinken müsste. Dass dies nicht geschieht, sei der gegenwirkenden Normalkraft
geschuldet. Nach dem Gegenwirkungsprinzip ist actio = reactio und damit betragsmäßig die
Diskussion hinfällig, eher irreführend. In der Physik zeigt die Normalkraft immer in Richtung der
Unterlage und steht vektoriell senkrecht auf der Unterlagefläche.
Der Haftreibungskoeffizient  H lässt sich z.B. an einer schiefen Ebene ermitteln:
Winkel, deren Schenkel paarweise
aufeinander  stehen, sind gleich.
Man misst den Neigungswinkel max , bei
dem der Körper gerade zu gleiten beginnt.
(Grenzfallbetrachtung)
Hangabtriebskraft:
FH  FHR  G  sin max
Normalkraft:
FN  G  cos max
Aus FHR  H FN
folgt:
H  tan max
Experimente:
Klotz auf Wagen auf geneigter Ebene
Schüttkegel aus verschiedenen Materialien
 H : spezifisch für bestimmte Stoffpaarungen und Oberflächen
H
Stahl/Stahl
 0,5 (trocken)
 0,1 (ölschmierig)
Glas/Glas
0,9
Eis/Eis (-10°C)
0,3
2.5.2. Gleitreibung
Nach Überwindung der Haftreibung gleitet der
Körper mit der Geschwindigkeit v .
Dazu bedarf es der Kraft F , um diese
Geschwindigkeit aufrecht zu erhalten.
Die ihr entgegengesetzt gerichtete und betragsmäßig gleich große, von der Reibung
herrührende Kraft heißt: Gleitreibungskraft FGR .
Näherungsweise ist diese geschwindigkeitsunabhängig
FGR  G  FN mit G  H
(15)
Die Richtung von Reibungskräften ist immer entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung des Körpers.
2.5.3. Rollreibung


Ohne Haftreibung könnte ein Rad auf seiner Unterlage nicht rollen, sondern nur gleiten.
Die Rollreibung hat ihre Ursache in der Deformation von Rad und Unterlage (an der
Kontaktstelle). Beide sind keine ideal festen starren Körper.
FRR  R  FN



(16)
Mitunter berücksichtigt man, dass die Rollreibung vom Radius des Rades abhängen muss. Bei
gleicher Normalkraft drückt sich ein kleines Rad tiefer in die Unterlage als ein großes.
Die die Bewegung hemmende Reibungskraft muss also für ein kleines Rad größer sein.
Eine relativ gute Annäherung an die praktische Realität gelingt mit einer entsprechend
aufgestellten Beziehung.
FRR 
l
FN
r
l: charakteristische Rollreibungslänge
r: Radius des Rades
R
Autoreifen auf Asphalt
0,025
Stahl auf Stahl
0,003
l
 5 104 m
2.5.4. Seilreibung:
Experimente: Seilreibung an der Rolle, siehe auch Tafelbild(er)
Bildquelle rechts:
https://www.bing.com/images/search?q=atwoodsche+fallmaschine&view=detailv2&qpvt=at
woodsche+fallmaschine&id=881478C9FA904E21240674186496F0D153EAC844&selectedI
ndex=2&ccid=URgOvjr2&simid=608005553211509963&thid=OIP.M51180ebe3af6ee35b4b
72b0e683cb1deo0&ajaxhist=0
Der Winkel α wird gemessen zwischen den beiden Punkten, an denen das Seil die Rolle gerade noch
berührt. α = 0 bedeutet punktförmige Berührung bzw. Auflage. Actio = Reactio ist sofort ersichtlich,
die Exponentialfunktion nimmt den Funktionswert 1 an. Die e-Funktion wächst mit der Windungszahl
(eine Windung bedeutet 2 * π) stark an.
Nicht verwechseln mit der Atwood‘schen Fallmaschine: Hier spielt die Reibung modellgemäß keine
Rolle.
Bewegungsgleichung: Die kleine Masse m beschleunigt durch sein Gewicht das Gesamtsystem:
;
daraus folgt
3. Arbeit, Energie, Leistung
3.1. Mechanische Arbeit und Leistung
Wirkt eine Kraft F auf einen Körper K der Masse m
und verschiebt ihn dabei um ein Wegelement der
Länge 𝜟s, so hat F den Zustand des Körpers K
verändert, sie hat (an ihm) Arbeit verrichtet.
Ersichtlich ist für die Verschiebung nur die Kraftkomponente Fs  F  cos  in Wegrichtung von
Bedeutung. Man definiert als mechanische Arbeit W:
W  F s  cos 
 : Winkel zwischen Kraft F und Wegelement s
W   Nm  J  Ws 
 F  s
kg m2
s2
Ändert sich die Kraft F längs des Wegs s , muss man die Arbeit W zunächst für differentiell kleine
Wegelemente ds bestimmen:
dW  F  ds  cos 
mit ds  dr  F  F

 F  ds  cos Winkel F , dr

dW  F  dr
Wenn F  dr
(1)
keine Arbeitsverrichtung.
Die Arbeit ist eine skalare Größe: Skalarprodukt F  dr
Je nach dem Winkel zwischen F und dr kann dW positiv, negativ oder null sein.
 
cos Winkel  F , dr   1
cos Winkel  F , dr   0
cos Winkel F , dr  1
Beispiel: Um einen Satelliten auf einer Kreisbahn zu bewegen, braucht keine Arbeit verrichtet werden.
Die insgesamt längs eines Weges von P1 nach P2 von einer Kraft F  r , t  verrichtete Arbeit
ergibt sich durch Integration über alle Beiträge zu jedem Wegelement dr
P2
P2
W   Fdr   F  cos  ds
P1
(2)
P1
Bei konstanter Kraft längs des Weges: W  F  s
s : Verschiebungsvektor
Arbeitsarten:
Wenn ein Körper, der unter dem Einfluss einer physikalisch eingeprägten Kraft F steht (Schwerkraft,
Federkraft, elektrische Kraft auf Ladungen…) beschleunigungsfrei (quasistatisch) verschoben werden


soll, muss während der Verschiebung eine gleich große Gegenkraft wirken F '   F , die die
Verschiebung ermöglicht. Durch diese Kraft wird die Verschiebungsarbeit gegen die eingeprägte
Kraft verrichtet. Damit erklärt sich das Vorzeichen:
P2
Verschiebungsarbeit:
W '    Fdr
F : physikalisch eingeprägte Kraft
P1
Verformungsarbeit:
dW '   F  dr
(3)
Beispiele:
1. Hubarbeit gegen die Schwerkraft
s  h2  h1  h
Die Gewichtskraft ist konstant längs des Weges
W '   Fs  mgs  mgh cos180
1
W '  mgh
Die Hubarbeit ist nur abhängig von der Höhendifferenz. Diese Formel findet man im Tafelwerk.
2. Arbeit auf schiefer Ebene (hier zunächst reibungsfrei)
h2  h1  h
F '  mg cos  90  ß 
W '   FH  s
 mgs  cos  90  ß 
 mg s  sin ß
h
FH  m  g  sin ß  m  g  cos  90  ß 
FN  m  g  cos ß
W '  m g h
Diese Arbeit ist ebenso nur abhängig von der Höhendifferenz.
Experimente:  V 2 / 1241 Glasröhren: Wegunabhängigkeit der kinetischen Energie,
gleiches v, Diskussion systematischer Fehler infolge nicht
ausschaltbarer Reibung
 V 3 / 3203 Atwood'sche Fallmaschine
3. Arbeit bei beliebig verlaufendem Weg
P2
W '    mg dr
P1
P2
   mg ds cos  90  ß 
P1
h2
 mg  ds  sin ß
h1
h2
 mg  dh
h1
W '  mgh
Fazit: Die Arbeit gegen die Schwerkraft wird allgemein allein vom zu überwindenden
Höhenunterschied bestimmt, nicht dagegen vom Weg, auf dem dieser überwunden wird. Entscheidend
sind Anfangs- und Endpunkt, nicht, was unterwegs passiert.
Bedenken Sie bitte, dass Sie nur an aufzuwendender Kraft sparen können, nicht an Arbeit, diese bleibt
die gleiche. Mit weniger Kraftaufwand kann man sich die Arbeitsverrichtung erleichtern.
Verallgemeinerung:
Kräfte, die die Eigenschaft haben, dass die gegen sie verrichtete Arbeit vom gewählten Weg
unabhängig und nur eine Funktion der Koordinaten von Anfangs- und Endpunkt ist, heißen
konservative Kräfte (erhaltende Kräfte, Potentialkräfte).
Die zugehörigen Kraftfelder (Gravitationsfelder, elektrostatische Felder) heißen konservative
Kraftfelder oder Potentialfelder. Die Fähigkeit zur Arbeitsleistung (gleichen Betrag wie die
Verschiebearbeit!) bei Rückkehr von P2 nach P1 bleibt erhalten.
Gegenteil: nicht konservative Kräfte = dissipative Kräfte
Beispiel:
Reibungskraft (Gleitreibung), Luftwiderstand
Für eine konservative Kraft ist die Arbeit, um
die Masse von A nach B zu verlagern, für
jeden der drei Wege gleich.
Vorlesungsexperiment: Hemmungspendel
4. Spannarbeit einer Feder
Durch F ' wird beim Spannen bzw. Auslenken gegen
die Federkraft FF Arbeit verrichtet.


cos F ', x  1
x2
x2
W '     kx   dx  k  x  dx 
x1
x1
k 2
x2  x12 

2
k: Federkonstante
FF
Wenn der Koordinatenursprung z. B. bei x1 liegt, wird x1  0 ; x2  x soll beliebig sein.
W ' x 
k 2
x
2
Federspannarbeit
5. Beschleunigungsarbeit
Um die Masse zu beschleunigen, muss Arbeit gegen ihren Trägheitswiderstand
FT  ma  m
dv
verrichtet werden.
dt
a : wirkende Beschleunigung
dW '   F  dr    ma  dr  m
m
dv
 dr
dt
dv
dv
 dr  m v dt
dt
dt
mv dv  m  v  cos  v , dv   mv dv
v2
m
 dW '  W '   d  2 v
0
v1
2
dr
dt
dr  v dt
m 
 m  v  dv  d  v 2 
2 
W
v
m  m
d  v2   d  v2 
2  2
m
 2  v dv
2
 m 2
  v in den Grenzen von v1 bis v2
 2
W'
m 2 m 2 m 2
v2  v1   v2  v12 
2
2
2
Nicht etwa:
m
2
 v2  v1  ! Falsch
2
Bei Beschleunigung aus dem Ruhezustand  v1  0  :
W'
m 2
v
2
6.
Reibungsarbeit (nicht konservativ = dissipativ)
FGR   FN
x2
x2
x1
x1
W '    FGR  dx    FN  cos180  dx   FN  x2  x1 
Ebene Unterlage: FN  mg
schiefe Unterlage: FN  mg cos ß
Luftreibung (nicht konservativ)
(Siehe Übungsaufgaben)
In der Strömungsmechanik gibt es eine Formel für den Luftwiderstand (fällt hier als gegeben vom
Himmel):

FR  cW
2
v2 A
v : Fahrgeschwindigkeit
cW : Luftwiderstand bei…
formabhängig
𝝆: Luftdichte
A: effektive Fläche des bewegten
Körpers  v
x2
1
W '    cW  v 2 A dx cos180
2
x1
 cW

2
Av
x2
2
 dx  Kv  x
2
2
 x1   K  v 2  s
x1
K
W ' proportionalv 2 !
s: zurückgelegter Weg
Leistung/ Wirkung
Leistung ist die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit
P
Momentanleistung:
W
t
 P 
P
W   Nm  J
t  s s

Ws
W
s
(4)
dW Fdr

 F v  F v
dt
dt
Die Wirkung ist das Produkt aus der verrichteten Arbeit und der dazu benötigten Zeit. Im Unterschied
dazu ist die Leistung der Quotient aus Arbeit und Zeit, bitte die Begriffe nicht verwechseln.
In der Natur gibt es eine elementare Wirkung (=kleinste mögliche Wirkung). Das ist das Planck’sche
Wirkungsquantum h  6,62 10
34
Ws 2 (Max Planck 1858 - 1947)
ÜA:
Verkehrserziehung: Leistung bei Luftreibung
P  F  v  cw

2
Av 2  v  K  v3
Pproportionalv3
Beispiel: Strecke auf der Autobahn AB = 100 km
PKW 1:
v1  130
km
h
v2  150
PKW 2:
km
h
km 3
)
h
km
P2 prop.v23  (150 )3
h
P1 prop.v13  (130
Notwendige Leistung:
3
 150 
P2 P1  
  1,54  50%
 130 
Zeitersparnis:
t1 
mehr Zeit… nötig
s
v1
t2 t1 
100
h  0, 77h  46 min
130
100
t2 
h  0, 67h  40 min
150
t2 
s
v2
sv1 v1 130
 
 0,87
sv2 v2 150
t1 
PKW 2 ist 6 Minuten eher am Ziel
Spritverbrauch proportional Motorleistung:
Annahme: bei 130
km
verbraucht der PKW 7 l auf 100 km
h
km
km
verbraucht er 7 l  1,54=10,8 l d.h. bei Fahrt mit 150
werden 3,8 l mehr verbraucht.
h
h
Bei 1,20  1 Liter: Für die 100 km werden 4,5  mehr benötigt.
bei 150
D.h.: 6 Minuten Zeitersparnis kosten 4,50  !
3.2. Potentielle und kinetische Energie
Frage: Was wird mit der Arbeit, die an einem Körper oder einem System von Massen verrichtet
wurde?
Wir stellen fest: Wird an einem Körper durch eine äußere Kraft Arbeit verrichtet, hat dies eine
Veränderung eines Zustandes zur Folge.
Diese Zustandsänderung kann sein:

eine Veränderung seiner Lage (Hubarbeit)

eine Veränderung seines Bewegungszustandes (Beschleunigungsarbeit)

eine Veränderung seiner Form (Federspannarbeit)
o
Bei Rückkehr in die ursprüngliche Lage oder Abbremsung oder Entspannung der
Feder kann wieder Arbeit verrichtet werden
Bei dissipativen Kräften (Reibung) wird die aufgewendete Arbeit in Wärmeenergie
verwandelt. Es gibt keine Fähigkeit des Körpers, Arbeit zu verrichten.
o
Die dem Körper durch Wirken einer konservativen Kraft (in einem Potentialfeld) zugeführte Arbeit
wird in diesem vorübergehend gespeichert.
Die gespeicherte Arbeit nennt man Energie.
Die Energie kennzeichnet das in einem Körper oder einem
System von Körpern enthaltene Arbeitsvermögen.
Wir können also auch sagen: Eine an einem Körper durch eine konservative Kraft verrichtete Arbeit
verändert die Energie des Körpers um den gleichen Betrag, wobei diese Änderung entweder in einer
Änderung des Bewegungszustandes (Beschleunigungsarbeit) oder in einer Änderung der Lage oder
Form (Verschiebungsarbeit, Verformungsarbeit) besteht. Im ersten Fall wird die verrichtete Arbeit als
kinetische Energie EKin gespeichert. (Kinetisch deshalb, weil diese Energieform nur auftritt, wenn sich
die Masse bewegt). Im zweiten Fall wird die verrichtete Arbeit als potentielle Energie E pot gespeichert
(potentiell deshalb, weil diese Energie gegebenenfalls für einen späteren Verbrauch/Gebrauch zur
Verfügung steht).
Quantitativ:
Kinetische Energie EKin :
  v1
m1
m1
Es wirkt eine beschleunigende Kraft:
dv
 v dt
dt
m 
d  v2 
2 
dW  F  dr  ma dr  m
dW  mv dv 
Aufgewendete
Arbeit
v2
dv d 2 r

dt dt 2
dr
v
dt
a
Änderung der kinetischen Energie
W
m 2
v  EKin
2
(5)
bei v1  0  v2  v
Integration:
W2
v2
m 2
W dW  v d  2 v 
1
1
W2  W1 
m 2 m 2
v2  v1
2
2
= EKin 2  EKin 1
In Worten: Die aufgebrachte Beschleunigungsarbeit vom Zustand 1 zum Zustand 2 ist gleich der
Änderung der kinetischen Energie.
Dimension/Maßeinheit:  E   W   Nm  J  Ws  kg
m2
s2
Potentielle Energie E pot :
Das Arbeitsvermögen, welches in einem Körper aufgrund seiner Lage (in einem Potentialfeld
(Gravitationsfeld, elektrisches Feld)) oder nach einer elastischen Verformung ist, bezeichnet man als
potentielle Energie.
Achtung: Es wird nur potentielle Energie angehäuft, wenn die wirkenden Kräfte konservative Kräfte
(Potentialkräfte) sind, d.h. die verrichtete Arbeit unabhängig vom Weg ist.
r2
E pot  E pot 2  E pot 1  W    F dr
(6)
r1
3.3.
Der Energie(erhaltungs)satz der Mechanik
Energiesatz der Mechanik:
d Eges
dt
0
EKin  E pot  Eges  const.
(7)
Die Gesamtenergie (eines abgeschlossenen Systems) ist eine Erhaltungsgröße.
Dissipative, also insbesondere Reibungskräfte sind in diesem Modell ausgeschlossen.
3.4.
Die Goldene Regel der Mechanik
Diese Regel drückt den EES für einfache Beispiele aus: Was man an Kraft spart, muss man an Weg
zusetzen.
Beispiel: Vorlesungsexperiment: Flaschenzug:
Ein Flaschenzug ist eine Maschine, die den Betrag der aufzubringenden Kraft z. B. zum Bewegen von
Lasten verringert. Der Flaschenzug besteht aus festen und losen Rollen und einem Seil. Bei
komplizierten Flaschenzügen sind die Rollen mittels „Scheren“ zum Block zusammengefasst.
Flaschen wurden die Halterungen der Rollen genannt und waren meist als Block (mhd. plock, ploch
„großes“ oder „zusammenhängendes Stück“) aus einem Stück Hartholz gearbeitet. Heute nennt man
die flachen Teile beiderseitig am Rand (Backe, Wange) und zwischen den Rollen (Damm) insgesamt
Scheren.
Bildquelle:
https://www.bing.com/images/search?q=flaschenzug&view=detailv2&&id=CE57C7EB26674
562E9A815C334CBF99C76584DBF&selectedIndex=0&ccid=Dc%2bHxKWk&simid=6080
53308940813500&thid=OIP.M0dcf87c4a5a4affeddd485677fdcd040o0&ajaxhist=0
4. Stöße
4.1. Grundlagen
Stöße zwischen ausgedehnten Körpern sind im Allgemeinen recht komplizierte Vorgänge.
 Die Körper erleiden (zumindest kurzzeitig) Verformungen.
Sind diese bleibender Natur, dann geht mechanische Energie „verloren“; sie wird in Wärme
umgesetzt.
Die Körper können durch Stöße in Rotation versetzt werden, auch wenn sie sich vor dem Stoß nur
translatorisch bewegt haben.
Zur vereinfachten Behandlung von Stößen sind folgende Idealisierungen (Modell !) notwendig:
- Reibungsvorgänge werden ausgeschlossen
- Eigenrotation(en) der Körper werden vernachlässigt
Stöße: gegenseitige Ablenkung von sich bewegenden Teilchen
Die Bedeutung von Stoßprozessen ist groß für die Atom- bzw. Elementarteilchenphysik, wo die
Ablenkung entsprechend dem Kraftfeld F (r , t ) bzw. dem Wechselwirkungs-Potential allmählich
erfolgt.
Experiment:
Magnete auf Polylux (Overhead-Projektor)
Beobachtung: Die Streuung muss nicht unbedingt durch direkte
körperliche Berührung erfolgen
Im abgeschlossenen System gilt beim Stoß von 2 Partnern:
p1 + p2
p12
p22
+
2m1 2m2
=
p1' + p2'
=
p '12
p '22
+
+Q
2m1 2m2
IES
(1) [p = mv]
(2)
(2) ist eine Energiebilanz;
Q: Verlust / Gewinn an kinetischer Energie, z. B. durch Verformungen, Wärme
Q=0
Q<>0
elastischer Stoß mit Energieerhaltung
inelastischer Stoß ohne Energieerhaltung
Zur Beurteilung der Elastizität von Stößen verwendet man vor allem bei praktischen Versuchen die
Stoßzahl k. Diese ist über folgendes Verhältnis definiert:
k = (v1‘ - v2‘) / (v2 – v1).
Für k = 1 handelt es sich um vollkommen elastische Stöße;
k = 0 bedeutet v1‘ = v2‘, dass der Stoß vollkommen unelastisch, also plastisch erfolgt(e).
4.2. Elastische Stöße im Laborsystem (LS)
Laborsystem (LS): Bezugssystem (BZS), in dem wir uns als Beobachter befinden, eigentlich das
Naheliegende.

Wir betrachten zunächst zentrale Stöße als 1D-Problem:
Geschwindigkeiten liegen auf der
Verbindungsgerade der Schnitt-punkte
IES:
m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'
Die Massen der Stoßpartner bleiben erhalten (mi = const, eindimensional, 1 D):
IES:
m1v1 + m2v2
=
m1v1 ' + m2v2 '
EES:
m1 2 m2 2
v1 +
v2
2
2
=
m1 2 m2 2
v '1 +
v '2
2
2
(Q =0)
Uns interessieren die Geschwindigkeiten der beteiligten Stoßpartner nach dem Stoß, also gesucht sind
konkret v1 '  v2 ' .
Folgende Umformungen haben sich bei der Lösung dieses Gleichungssystems mit 2 Gleichungen (IES
^EES) für 2 Unbekannte ( v1 '  v2 ' ) erfolgreich bewährt:
m1 (v1 '2  v12 )
=
m2 (v22  v2 '2 )
Index 1 auf die rechte Seite
Index 2 auf die linke Seite der Gleichung;
danach Gleichung wieder drehen!
Mit Hilfe der binomischen Formel(n) lässt sich schreiben:
m1 (v1 ' v1 )(v1 ' v1 )
=
m2 (v2  v2 ')(v2  v2 ')
(3)
=
m2 (v2  v2 ')
(4)
=
v2  v2 '
(5)
Umformung des IES:
m1 (v1 ' v1 )
Einsetzen von (4) in (3):
v1 ' v1
Gleichung (5) wird nun in den IES (oben) eingesetzt:
v2 '  v1 ' v1  v2
v1 ' 
m1  m2
2m2
v1 +
v2
m1  m2
m1  m2
v1 '  v2  v2 ' v1
(6a)
(6b)
(6c)
v2 ' 
m2  m1
2m1
v2 +
v1
m1  m2
m1  m2
(6d)
Spezialfälle:
m1  m2  m; v2  0 :
1
aus Gleichung (6) folgt: v1 '  0  v2 '  v1
Der stoßende Körper 1 kommt nach dem Stoß(en) zur Ruhe;
der gestoßene Körper 2 übernimmt die Geschwindigkeit des ersten.
m1  2m2; v2  0; der stoßende Körper ist schwerer:
2
aus Gleichung (6) folgt: v1 ' 
1
4
v1  v2 '  v1
3
3
Der stoßende Körper 1 läuft dem gestoßenen Körper 2 langsam hinterher.
2m1  m2; v2  0; der stoßende Körper ist leichter:
3
1
3
aus Gleichung (6) folgt: v1 '   v1  v2 ' 
2
v1
3
m1 erhält also eine Geschwindigkeit in Rückwärtsrichtung. Das besagt das
Minuszeichen im Ergebnis.
m1sehrkleingegenm2; v2  0; Stoß gegen eine ruhende (schwere) Wand:
4
Man erhält: v1 '  v1  v2 '  0
m1 wird einfach (nur) reflektiert.
Die Übertragung der kinetischen Energie Ekin vom Körper 1 auf den Körper 2 hängt
Fazit:
sehr stark ab vom Massenverhältnis m1 / m2 der beiden Stoßpartner.

Eine vollständige Energieübertragung erfolgt nur für m1  m2 , also gleiche Massen.

Für m1  m2 und m1  m2 ist der Energieübertrag geringer.
Für v2  0 lässt sich der Sachverhalt mathematisch übersichtlich ausdrücken:
 m  m2 
m
E1 '  1 v1 '2  E1  1

2
 m1  m2 
E2 ' 
2
m2 2
4m1m2
v2 '  E1
2
(m1  m2 ) 2
Man definiert einen Energieübertragungsfaktor y:
y
y
E2 '
E1
E2 '
4m1m2
m
4x
mit x  1


2
2
E1 (m1  m2 )
(1  x)
m2
halblogarithmische Darstellung
1
symmetrische Glockenkurve
0,5
x
0,1
1
10
m1
m2
4.3. Gerader zentraler inelastischer Stoß
Experiment:
Es gilt nicht:
ballistisches Pendel
EES der Mechanik
V2 / 3545
Q≠0
Beim vollkommen inelastischen Stoß bewegen sich beide Körper nach dem Stoß gemeinsam weiter:
v1 '  v2 '  v ' .
IES:
m1v1 + m2v2 = (m1  m2 )v '
v' 
m1v1  m2v2
m1
m2

v1 
v2
m1  m2
m1  m2
m1  m2
(7)
Den Verlust an kinetischer Energie bestimmt man über die Energiebilanz
Ekin,vor = Ekin,nach + E
m1 2 m2 2 m1  m2 2
v1 
v2 
v'
2
2
2
m1  m2
E 
(v1  v2 )2
2(m1  m2 )
E 
v‘ aus Gl. (7) einsetzen u. umformen ->
(8)
4.4. Dezentraler elastischer Stoß
IES:
p1
=
p1' + p2'
EES:
p12
2m1
=
p1 '2
p '2
+ 2
2m2
2m1
wenn v2  0
Dies sind insgesamt 4 Gleichungen (3 Komponentengleichungen für den Impuls p sowie die skalare
Energiegleichung) für insgesamt 6 unbekannte Größen (die jeweils 3 Komponenten von p1' und p2' ).
Berücksichtigt man, dass alle Impulsvektoren in einer Ebene liegen, hat man es nur noch mit 3
Gleichungen für 4 Unbekannte zu tun (2 D - Problem).
Hinzu kommt eine geometrische Bedingung, sodass das Problem lösbar ist.
p2 '
y
p1 '
α
p1
d
d: Stoßparameter
Kugelradien r1 , r2
α
β
p1
sin  
p1 '
d
r1  r2
x
(Skizze nicht maßstabsgerecht, die Beträge der Vektoren und damit die Zeichnungslänge muss gleich
bleiben…)
Winkel β stellt sich stets so ein, dass
p2 y '
-
p1y '
pges , y
weiterhin Null ist.
=0
Als Ergebnis erhält man folgende Beziehungen für die Impulse bzw. Geschwindigkeiten nach dem
Stoß:
2
4m1m2   d  
1  
p1 '  p1 1 
 
(m1  m2 )2   r1  r2  


 d 
2m2
p2 '  p1
1 

m1  m2
 r1  r2 
(9a)
2
(9b)
In einer Nebenrechnung wird an einem Beispiel gezeigt, wie man geometrisch bzw. mathematisch zu
diesem Ergebnis gelangt:
Rechnung für p1 ' :
p1 '
p2 '
sin  
d
a
r1  r2

p1
Kosinussatz (für beliebige Dreiecke):
cos   1  sin 2   1  a 2
p1 '2  p12  p2 '2  2 p2 ' p1 cos 
p1 '2  p12  p2 '2  2 p2 ' p1 1  a 2
Energieerhaltung (Billard ist elastisch):
()
 p12 p1 '2  m2
p2 '  2m2 

p12  p1 '2 


 2m1 2m1  m1
p12
p '2 p '2
 1  2
2m1 2m1 2m2
2
Einsetzen in ()
p1 '2 
m2
m2
p12  p1 '2   p12  2 p1 1  a 2

 p12  p1 '2 
m1
m1
p1 '2 
m2 2 m2
p1 
p1 '2  p12  2 p1
m1
m1
 m2  2
m2 
2
1 
 p1 '  p1 1 
  2 p1
 m1 
 m1 
 m2  2
2
1 
  p1  p1 '   2 p1
 m1 
 m2 
1 

 m1 
2
p
 m1  m2 


 m1 
 p1 '2   4 p12 1  a 2 
2
2
1
2
p
2
1
m2
p12  p1 '2 

m1
 p1 '2   4 p12 1  a 2 
| kürzen
m2
m1

m2 m2 2  2
m
1

2
 2   p1  p1 '2   4 p12 1  a 2  2

m1 m1 
m1


 m1 m2


 2   p12  p1 '2   4 p12 1  a 2 

 m2 m1

 m12  m2 2  2m1m2  2
2
2
2

  p1  p1 '   4 p1 1  a 
m

m

1
2

(m1  m2 )2
p12  p1 '2 

m1m2
=
4 p12 1  a 2 
p12  p1 '2
=
4 p12 1  a 2 
p1 '2
=
p12  4 p12 1  a 2 
p1 '
=
1
4m1m2
 m1  m2 
Das Ergebnis stimmt mit Gleichung (9 a) überein.
Ganz analog gelangt man zu p2 ' .
2
m1m2
(m1  m2 )2
m1m2
(m1  m2 )2
  d 2 
1  
   p1
  r1  r2  
m1
m2
4.5. Stöße im Schwerpunktsystem (SPS)
SPS: Koordinatensystem, in dem der Schwerpunkt (SP) ruht.
Mvs  ps   pi
i
Wenn vs  0
p
i
0
i
Damit lässt sich eine einfache und übersichtliche Beschreibung von Stößen erreichen.
Bsp.:
Stoß zweier bewegter Teilchen
p1  p2  0
p2
p1
vorher:
1D: p1 ' p2 '  0
Stoß:
p1 '
p2 '
nachher:
Mvs  0
Impulserhaltung:
p1 '   p1
p2 '   p2
einfach zu behandeln
Man muss (am Ende) natürlich alle Bewegungen wieder in das Laborsystem (LS)
zurücktransformieren. Da sich aber im abgeschlossenen System der Schwerpunkt (SP)
geradlinig und gleichförmig bewegt, ist dies einfach.
4.6. Systeme mit (zeitlich) veränderlicher Masse m(t)
v  v
v
m
m  m
u
m
Systemgrenze
Zeitpunkt t:
t+t
großer Körper mit m , v
Der größere hat den kleineren Körper aufgenommen
und kleiner Körper mit m , u
Beide Körper haben sich vereint.
Auf beide Körper greift die
m
Schwerkraft Fa  Fg zu.
m
m  m
v
v  v
u
Impuls des Systems vorher:
Impuls des Systems danach:
p2   m  m  v  v  .
p1  mv  mu
Die Gesamtmasse des Systems ändert sich nicht:
IES:
Fa 
p
1
  m  m  v  v   mu  mv  
t
t
[ mv  mv  mv  mv  mu  mv ] 
0
1
t
Nach dem Grenzübergang in Richtung beliebig kleiner Zeitintervalle dt:
Fa 
dp
dv
dm
 p  m  u  v 
dt
dt
dt
(10)
Diese Gleichung (10) lässt sich auf zweierlei Weise umschreiben:
1
Fasst man die Terme rechts, die v enthalten, gemäß
mv  mv  pk (Impulsänderung des Körpers) zusammen,
ergibt sich:

 Fa  um  pk und damit schließlich
Fa  pk  um 

dpk  Fa dt  udm
(11)
Das Umschreiben des Terms um auf die linke Seite der Gleichung bedeutet eine
Änderung der Systemgrenzen. Man interessiert sich nur noch für den großen Körper
und dessen Impulsänderung.
pk ist jetzt (nur noch) die Impulsänderung des großen Körpers.
Der Impuls eines (großen) Körpers ändert sich durch die Einwirkung (=„Stoß“) einer
äußeren Kraft Fa und durch den Impuls, den die stoßenden Körper (Massenelemente)
mitbringen, die sich mit ihm vereinigen (oder weggehen).
Man kann aber auch den gesamten Term auf der rechten Seite von Gleichung (10) auf
2
die linke Seite herübernehmen. Dadurch erhält man eine Aussage über die
Beschleunigung des großen Körpers.
Beachtet man, dass u  v  vrel die Relativgeschwindigkeit zwischen m und m ist,
dann bedeutet:
Fs  vrel
dm
dm
 u  v 
dt
dt
(12)
eine Kraft, die man als Rückstoß oder Schub (Schubkraft) bezeichnet.
Es ergibt sich dann:
Fges  Fa  Fs  m  t 
dv
 m t  a
dt
(13)
Die Beschleunigung a des großen Körpers ist durch die äußere Kraft Fa und den
Schub Fs bestimmt.
4.6.1. Rakete
Eine Rakete hat am Anfang (also unmittelbar vor dem Start) die Masse m0 .
Zu einem beliebigen späteren Zeitpunkt t besitzt sie die Masse m  t  .
Die Treibstoffgase werden mit konstanter Geschwindigkeit vrel relativ zum Raketenkörper
ausgestoßen. In der Nähe der Erdoberfläche wirkt auf die Rakete – von der Luftreibung
abgesehen – die Schwerkraft Fa  mg (äußere Kraft).
Im freien Raum, weitab von jedem Himmelskörper ist Fa  0 (im Weltall).
Gleichung (10) 
v
Erdnähe:
m
Weltraum:
mg  vrel
dm
dv
m
dt
dt
vrel
dm
dv
m
dt
dt
u
dm
Startet die Rakete genau senkrecht, hat man es nur noch mit zwei skalaren Gleichungen (z. B. in zRichtung) zu tun.
m  t  g  vrel
dm
dv
 m t 
dt
dt
vrel
dm
dv
 m t 
dt
dt
Beide DGL sind lösbar. Wir betrachten zunächst nur den zweiten, einfacheren Fall:
vrel
dm
dv
 m t 
dt
dt
m t 
dm
vrel
 dv
m
vrel

m0
v  t   v0  vrel ln
m t 
m0
v  t   v0  vrel ln
m0
m t 
dt
TdV
v
dm
 dv
m v0
(14)
Dies ist die so genannte erste Raketengleichung.
m0 :
Startmasse der Rakete
m0 setzt sich zusammen aus der Raketenmasse mR und der Treibstoffmasse mT .
v  t   v0  vrel ln
mR  mT
m t 
Um die Endgeschwindigkeit möglichst hoch zu machen, muss also die Ausstoßgeschwindigkeit der
Treibstoffgase möglichst groß sein.
Wir können die letzte Gleichung auch schreiben:
v2  v1  vrel ln
m1
m2
m1  m  t1  ^ m2  m  t2 
Dies ist die so genannte zweite Raketengleichung.
Wenn t 2 die Endgeschwindigkeit der Rakete charakterisieren soll, sieht man sofort den Vorteil
mehrstufiger Raketen.
m2 , das ist die Gesamtmasse bzw. Endmasse bei Erreichen der Endgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t2 ,
wird reduziert, indem leere Treibstofftanks (Stufen) noch vor Erreichen der Endgeschwindigkeit nach
und nach abgeworfen werden.
An Bord einer idealen Rakete befindet sich am Ziel der Reise nur noch die Nutzlast mN .
mT  mN
mN
m
 v0  vrel ln T
mN
vend  v0  vrel ln
vend
 mN sehrkleingegenmT 
Die erreichbare Endgeschwindigkeit hängt in erster Näherung nur noch von der Treibstoffmasse mT
und der Nutzmasse mN ab (bei gegebener vrel ).
An diesem Beispiel sei noch auf Folgendes hingewiesen:
Oft ist man versucht, derartige Probleme mit dem EES der Mechanik zu lösen, obwohl klar ist, dass
dies eigentlich nicht geht, da Kondensationsvorgänge eine Rolle spielen.
Da bei einer horizontalen Bewegung die potentielle Energie keine Rolle spielt, würde für die
kinetische Energie einfach gelten:
Ekin 1  Ekin2
1 2 1
1
1
2
mv   m  dm  v  dv   mv 2  dmv 2  mvdv  ... Glieder höherer Ordnung
2
2
2
2
1
0  v  mdv  vdm   dmv 2
2
=0
Das aber hieße
1 2
v dm  0 .
2
Das ist aber ganz offensichtlich nicht der Fall.
Wo liegt der (Denk-)Fehler?
Der EES der Mechanik kann nicht gelten. Bei der Kondensation handelt es sich um perfekt
inelastische Stöße zwischen den bewegten Tropfen und den „ruhenden“ Mikrotröpfchen
(Wassermolekülen).
4.6.2. Regentropfen*
Ein Regentropfen fällt in einer mit Wasserdampf gesättigten Atmosphäre und gewinnt durch
Kondensation am Tropfen ständig an Masse. In erster Näherung soll angenommen werden, dass die
am Regentropfen kondensierten, mikroskopisch kleinen Wasserteilchen die Geschwindigkeit
u  0 besitzen.
Die von außen angreifende Kraft ist die Schwerkraft Fa  mg . Die Luftreibung soll vernachlässigt
werden.
dv
dm d
v
  m  t   v  t    m  t  g
dt
dt dt 
Die ausdifferenzierte Gleichung m  t  v  t   mv  t   m  t  g
Gleichung (10)  Fa  p  m
kann mit plausiblen Annahmen für den Massenzuwachs (etwa proportional zur Tropfenoberfläche
und etwa proportional der in der Atmosphäre zurückgelegten Strecke) gelöst werden.
Es ergeben sich längliche Gleichungen.
Hier soll nur das vereinfachte Problem gelöst werden:
Die Schwerkraft sei in Gedanken abgeschaltet, und der Tropfen bewege sich horizontal mit einer
gewissen Anfangsgeschwindigkeit v durch die Atmosphäre.
Dann verbleibt nämlich nur noch:
p  0 bzw. mv  mv  0

1 dv 1 dm

v dt m dt
d.h., die relative Geschwindigkeitsabnahme ist gleich der relativen Massenzunahme.
Die Integration dieser Gleichung bereitet keine Schwierigkeiten.
4.6.3. Förderband*
v
x
Antriebskraft Fa
Frage: Wie groß muss Fa sein, um die Geschwindigkeit des Bandes konstant zu halten, wenn mit
konstanter Rate  
dm
 m Masse auf das Band aufgebracht wird?
dt
(Herabrieseln von Sand, gesamte Masse kommt also nicht auf einmal)
Vereinfachend sei angenommen, dass die aufgebrachte Masse keine Geschwindigkeitskomponente in
x-Richtung besitzt, d.h. u  0 .
Dann gilt:
Fa  p  mv  mv  mv , da v  const
In diesem Falle ist die äußere Kraft ausschließlich mit der Massenänderung verknüpft:
Fa  v
dm
 v
dt
Mit gegebener Rieselrate  
dm
 m und geforderter Bandgeschwindigkeit v lässt sich die zur
dt
Aufrechterhaltung dieser Geschwindigkeit notwendige Kraft ausrechnen.
Mit ihr ergibt sich dann auch die Leistung des Antriebsmotors zu
P  Fa  v   v 2  v 2 m
Betrachtung zur Energie:
In der Zeit t hat der Motor die Arbeit verrichtet:
1

W  P  t  v 2 m  2   mv 2 
2

Das ist aber doppelt so viel, wie zur Beschleunigung der Sandmenge m notwendig ist, die
während dieser Zeit aufs Band rieselt.
Zur Beschleunigung von m auf v braucht man ja nur
1
mv 2 .
2
Wozu wird die zweite Hälfte benötigt?
Auch hier ist der Energiesatz der Mechanik offensichtlich nicht anwendbar (vollkommen inelastischer
Stoß).
Die Hälfte der aufgewendeten Energie wird in Reibungsarbeit verbraten!
Fazit: Vorsicht bei der Anwendung des EES. Oft ist es schwierig herauszufinden, wo
Reibungseffekte zuschlagen.
5. Drehimpuls, Trägheitsmoment, Rotationsenergie, starrer Körper
In den Kapiteln 1 bis 4 haben wir nur über Punktmassen, deren Verteilungen und über mögliche
Wechselwirkungen gesprochen.
Hauptziel war die Beschreibung von Bewegungsvorgängen. Wir greifen hier die
Analogiebetrachtungen zwischen Translation und Rotation noch einmal auf und erweitern die Tabelle
in Kapitel 1.4.:
Analogiebetrachtung(en)
Translation
Rotation
Weg s
Geschwindigkeit v
Beschleunigung a
Drehwinkel 
Winkelgeschwindigkeit 
Winkelbeschleunigung 
Verknüpfung: Bahngröße = Radius x Winkelgröße
M Drehmoment
Drehimpuls L
F Kraft
Impuls p
Verknüpfung: Radius x linke Spalte = rechte Spalte
Masse m
Kinetische Energie
Ekin 
Trägheitsmoment J (Tensor 2. Stufe, 3*3-Matrix)
Rotationsenergie
m 2
v
2
Ekin 
Impulserhaltung
J 2

2
Drehimpulserhaltung
Punktmasse

Masseverteilung

starrer Festkörper
5.1. Der Drehimpuls
Definition:
Lrp
(1)
m
v, p
Mit p  mv laut Gleichung (3), Kapitel 2.3
L  r  mv
folgt:
Mit Gleichung (14), Kapitel 1.3 v    r lässt sich bei m  const.
schreiben:
L  m  r    r 
r
0
Mit dem Zerlegungssatz der Vektorrechnung für doppelte Kreuzprodukte formen wir um:


 
a  b  c  b a  c   c a b
L  m   r  r   r   r 
r
=
0
Aufgrund dessen, dass   r steht, lässt sich die Beziehung wesentlich vereinfachen, es bleibt:
L  m  r 2
So
wie
bei
der
(2)
Translation
galt pproportionalv ,
gilt
bei
der
Rotation
nun:
Lproportional  L   (L also auch parallel 𝟂).
Der Proportionalitätsfaktor bekommt in Kapitel 5.2 einen eigenen Namen.
5.2. Trägheitsmoment
Der Proportionalitätsfaktor in Gleichung (5.1, 2) lautet: m  r 2
Er beinhaltet Angaben zur Masse des Punktes und auch dessen räumlicher Lage bezüglich des
Drehzentrums.
2
Definition Trägheitsmoment einer Punktmasse J  m  r
(3)
Für Masseverteilungen bzw. ausgedehnte Körper muss über alle Masseelemente summiert werden, um
das Gesamtträgheitsmoment zu erhalten:
N
J   ri mi   ri dmi
2
i 1
2
mi
(4)
V
Fällt die Drehachse mit der Schwerpunktachse zusammen,
ist das Gesamtträgheitsmoment eines ausgedehnten Körpers:
ri
J S   r dm
2
(5)
0
v
Genauer: Das Massenträgheitsmoment J lässt sich bei bekannter Massenverteilung  (r )
eines Körpers aus folgendem Volumenintegral berechnen:

2
. J  rsenkrecht dm
v
Dabei ist rsenkrecht der zur Rotationsachse  (Winkelgeschwindigkeit) senkrechte Anteil von r
(siehe Abbildung).
Bild-Quelle:
https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment#/media/File:Traegheitsmoment.svg
Diese Trägheitsmomente sind für sehr viele Körper tabelliert. Bei einer praktischen Anwendung kann
man dort nachschlagen. Allerdings gelten diese Formeln wirklich nur für ausgezeichnete Geometrien
Im allgemeinen Fall ist zu integrieren. Dazu ist je nach Gegebenheit dm in kartesischen, ebenen Polarbzw. Zylinderkoordinaten oder auch in Kugelkoordinaten aufzuschreiben. Bei konstanter Dichte ρ
ergibt sich aus dem Masseelement dm das mit der Dichte multiplizierte Volumenelement dV. Zu lösen
ist also ein dreifaches Integral, ein Volumenintegral, weil dV = dx dy dz.
Diese Trägheitsmomente sind für sehr viele Körper tabelliert. Bei einer praktischen Anwendung kann
man dort nachschlagen. Allerdings gelten diese Formeln wirklich nur für ausgezeichnete Geometrien
Im allgemeinen Fall ist zu integrieren. Dazu ist je nach Gegebenheit dm in kartesischen, ebenen Polarbzw. Zylinderkoordinaten oder auch in Kugelkoordinaten aufzuschreiben.
**********************************************************************************
Der folgenden Übersicht ist zu entnehmen, wie die Integrationsvariable in verschiedenen Koordinaten
dargestellt wird sowie auch die Transformationsvorschrift für eine Richtung (die Rücktransformation
ist hier nicht mit angegeben). Die Masse m ist das Produkt aus Dichte 𝝆 und Volumen V. Bei einem
homogenen Körper ist die Dichte konstant, deshalb kann das Integral über alle Massenelemente in ein
Volumenintegral überführt werden. Die Dichte steht dann als Konstante vor dem Integral.
Der zweite Einschub enthält einige konkrete Beispiele zur Berechnung von Trägheitsmomenten.
Bildquelle:
links: https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten#/media/File:Kugelkoord-def.svg
rechts: https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten#/media/File:Kugelkoord-def.svg
Text: https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten
Kugelkoordinaten
Koordinatentransformation (Hinrichtung):
Zylinderkoordinaten
Volumenelement:
Funktionaldeterminante:
Kugel:
Polarkoordinaten:
Zylinder:
Textquelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment
Beispiele für die Berechnung von Trägheitsmomenten:
dünner Stab (Masse
, Länge , homogene Dichte ):
1.) a ) Drehachse in der Mitte und geht durch den SP; Querdrehung
Da die Länge des Stabes viel größer als die Dicke und Breite ist, kann wie folgt vereinfacht werden:
Die Querschnittsfläche
ist konstant und wird vor das Integral gezogen:
Da für die Masse des Körpers gilt:
vereinfacht sich das Ergebnis zu:
1.) b) Jetzt befindet sich die Drehachse am Stabende; Querdrehung
Es gilt die gleiche Vereinfachung, da es sich um den gleichen Stab handelt. Allerdings ist nun die
Drehachse am Ende des Stabes, daher ändern sich die Grenzen des Integrals:
Das
Mit
kann wieder vorgezogen werden, anschließend wird das Integral gelöst:
ergibt sich schließlich:
Berechnung des Massenträgheitsmomentes am Beispiel des Zylinders
Trägheitsmoment der homogenen Vollkugel
Um das Trägheitsmoment einer massiven homogenen Kugel bezüglich einer Drehachse durch den
Kugelmittelpunkt zu berechnen, wird das im Abschnitt „Berechnung“ angegebene Integral verwendet.
Der Einfachheit halber soll der Kugelmittelpunkt im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems
liegen und die Drehachse entlang der -Achse verlaufen. Um das Integral
auszuwerten, empfiehlt es sich statt kartesischen lieber Kugelkoordinaten zu verwenden. Beim
Übergang müssen dabei die kartesischen Koordinaten x, y, z und das Volumenelement dV durch die
Kugelkoordinaten
ausgedrückt werden.
Einsetzen in den Ausdruck für das Trägheitsmoment liefert
Hier zeigt sich der Vorteil der Kugelkoordinaten: Die Integralgrenzen hängen nicht voneinander ab.
Die beiden Integrationen über r und lassen sich daher elementar ausführen.
Das verbleibende Integral in
kann durch partielle Integration mit
gelöst werden:
Für das Trägheitsmoment ergibt sich schließlich:
**********************************************************************************
Bei bekanntem Massenträgheitsmoment bezüglich der Schwerpunktachse JS kann bei Drehachsen
parallel zur SP-Achse das Trägheitsmoment über den Satz von Steiner ermittelt werden:
JA
Js
S
S
A
A
Die momentane Drehachse verläuft parallel zur
Schwerpunktachse durch den Punkt A.
Mit Hilfe des Satzes von Steiner lässt sich das
Trägheitsmoment JA wie folgt berechnen:
s: Abstand zwischen den beiden Achsen.
J A  J S  ms 2
Verläuft die Drehachse beliebig durch den Körper, hilft nur die Integration.
5.3. Rotationsenergie
Die kinetische Energie bei der Translation war: Wkin  Ekin
Ekin 
m 2
v
2
Wir nutzen jetzt die bereits gefundenen Analogiebetrachtungen aus:
m  J v 
Damit folgt:
ERot 
J 2

2
(7)
5.4. Starrer Körper
Ein starrer Körper (SK) ist nichts anderes als eine „steife“ Massenverteilung. Es werden Punktmassen
aneinandergefügt, die gegenseitig nicht verschiebbar, also starr sind.
Er hat 6 Freiheitsgrade x, y, z, also 3 für die Translation und , ,  für die Rotation.
5.5. Die Bewegungsgleichung für die Rotation
Nach dem 2. Newtonschen Axiom gilt: F  ma
Unter Ausnutzung der Analogiebetrachtungen:
F  M ; m  J  a   folgt sofort
M  J 
(8)
In Worten: Drehmoment = Trägheitsmoment x Winkelbeschleunigung
J: mathematisch ein Tensor (3*3)-Matrix!
5.6. Der Energieerhaltungssatz (EES) der Mechanik für die Drehbewegung
Experiment: Pohl’sche Rollen
h
JS
v
h
0
Zustand 1:
E pot  m  g h (oben nur potentielle Energie)
Zustand 2:
Ekin  ERot 
m 2 JS 2
v  
2
2
(9) (unten nur kinetische Energie)
v : Geschwindigkeit der Translationsbewegung des SP
Die kinetische Energie im Zustand 2 (unten) setzt sich zusammen aus der Translation des
Schwerpunktes und der Rotation des Zylinders um seine Mittelpunktachse.
Nimmt man die momentane Achse, die entlang der Mantellinie verläuft, also direkt am
Berührungspunkt zwischen Zylinder und geneigter Ebene, nimmt der EES mit Hilfe des Steinerschen
Satzes eine einfachere Form an.
mg  h 
JA 2

2
(10)
Das ist für viele praktische Rechenübungen wesentlich angenehmer.
5.7. Der Drehimpulserhaltungssatz
Experiment: Drehschemel + Hanteln
Nach Gleichung (2), Kapitel 5.1 gilt:
L  mr 2
d
dt
L  mr 2  J    M
Gleichung (5), Kapitel 2.3
Wirken keine äußeren Momente auf das abgeschlossene System, gilt M  0 und damit L  const.
Ansonsten ergibt sich der Drehimpuls L als Momentenstoß:
t
L   Mdt
0
Anwendungen: Kreisel
(11)
M L
5.8. Trägheitsellipsoid
Erot 
 Erot :
1
J 2
2
(Kap. 5.3, Gl. (7))
- wenn J ein Tensor ist, müssen wir schreiben
1
Erot    J  
2
(12)
 L [Kap. 5.1 Gl. (2) und 5.2 Gl. (3)]
- Wir beziehen jetzt auch  auf das körperfeste Bezugssystem mit den Achsen 1, 2, 3:
  1  2  3  1  e1  2  e2  3  e3  1 , 2 , 3 
(12):
Erot
 J1
1
 1 , 2 , 3    0
2
0

Erot 
0
J2
0
0   1 
0   2 
J 3   3 
(13)
(14)
1
 J112  J 222  J 332 
2
(15)
(15): Bestimmungsgleichung für ein Ellipsoid:
1 2  2  2 
Erot   12  22  32 
2 a
b
c 
mit
(16)
a
1
;
J1
b
1
;
J2
c
1
J3
Hauptachsen des Ellipsoides
anschaulich:
Ellipsoid gibt bei geg. Trägheitseigenschaften (≙ Trägheitstensor) für jede Richtung
an, wie groß  sein muss, um einen bestimmten konstanten E pot  Wert zu
erreichen.
Rot. um (3) hat großes J
J 3  J max
3 kann klein sein
für
bestimmtes
Rot. um (1) hat kleines J
Bemerkung:
J1  J min
1 muss groß sein
Erot
In der Regel wird versucht, die Form des Ellipsoides aus den Trägheitseigenschaften
heraus zu erklären. Dies ist aber wegen a, b, c 
1
ziemlich verwickelt.
J 1/2/3
Also  3 ausgezeichnete Achsen, davon eine mit J max , eine mit J min , diese stehen
Fazit:
 aufeinander, und für alle anderen Richtungen hochsymmetrisches Verhalten, so
dass alle  für best. Erot ein Ellipsoid formen.
 Dies gilt, wenn auch schwer einleuchtend, für alle starren Körper.
Wir bilden nun L  J   mit der Komponentenschreibweise lt. Gleichung (14) und multiplizieren aus
L  J11  J 22  J 33
(17)
für unterschiedliche J1 , J 2 , J 3 kann L   nur erreicht werden, wenn die Rotation um
eine der 3 Hauptachsen erfolgt.
also:
entweder
  1
L  J1  1
oder
  2
L  J 2  2
oder
  3
L  J 3  3
Dabei ist die Rotation um die Achse mit maximalem J (hier J 3 ) stabil
minimalem J (hier J 1 ) mäßig stabil
mittlerem
Experimente:
J (hier J 2 ) instabil
 fliegende quaderförmige Kiste
 Zwangsrotation („freie Achsen“)
- Wenn  und L nicht mehr parallel sind
gibt es Probleme
a)
freie Rotation: L  const.
b)
Rotation mit fixierter Achse:   const.
erzeugt dann ein Drehmoment M 
 ändert sich ständig (relativ zum Körper)
L ändert sich ständig und
dL
 0 , das die Lager beansprucht
dt
Unwucht
5.9. Symmetrischer Kreisel
Kreisel: (keine Definition) = rotierender Körper,
symmetrisch: damit sich die innere Symmetrie des Trägheitsellipsoides auch äußerlich zeigt
 Figurenachse
Rotation erfolgt um Achse durch S
Lagerung reibungsfrei (damit Gesetzmäßigkeiten gut erkennbar)
Experiment:
 Fahrradkreisel am einseitigen Faden
Experiment:
 L  const. :
(1) Kardanisch gelagerter Kreisel
(Geronimo Cardano 1501 – 1576)
ǀ reibungsfrei im Schwerpunkt S
(2) Kurskreisel
Nutation:
  Figurenachse mit max. J  Rotation um diese
Experiment:
Figurenachse Lparallel  z-Achse
Kreisel rotiert mit L  Lz  J FA  z
J max
- zusätzliches Drehmoment M x für bestimmte Zeit
(Momentenstoß):
M x  t  Lx  J  FA  x
nach dem Drehmomentenstoß  komplizierterer
Zustand als vorher,
den wir jetzt analysieren:
L  Lz  Lx  J|| FA  z  J  FA  x  const.
Experiment(e):
2 Experimente zur Nutation
(19)
 PASCO
 Karokreisel
-  bleibt nicht erhalten, weder  x noch  z noch ( ges )  x  z !
Wir betrachten Erot (lt. Gleichung (12), Kap. 5.8):
1
1
1
Erot    J      L  ||L  L  const.
2
2
2


Die Komponente von  || L ist konstant  ||L , die  dazu rotiert:
Beachte:
 ist das „Gesamt- ges “: (momentane Drehachse)
- Was ins Auge springt, sind 2 andere Dinge:
Die Rotation um die Figurenachse und deren Umlauf um die L -Achse (= Nutation)
- Beim symmetrischen Kreisel liegen  , L und die FA in einer Ebene E
(20)
Präzession:
Wir setzen den Kreisel einem ständigen Drehmoment aus, am einfachsten durch
Lagerung entfernt vom Schwerpunkt.
M a  R  m  g bewirkt Rotation von L um eine Achse || g (senkrechte Achse).
Betrag von    p (Präzessionsbewegung)
p 
d dL 1


dt
dt L
Mit (Gl. (11), Kap. 5.7) ist
Präzessionskreisfrequenz
dL
 Ma
dt
p 
(21)
Ma
L
also Präzessionsfrequenz bei geg. Kreisel (d.h. M a  const. ~
(22)
1
)
L
also schnelle Rotation  kleine  p usw.
Experiment:
Beispiele:
 PASCO-Kreisel
(1) L  const.
Stabilisierung beim Diskus- bzw. Speerwerfen
(2) „ansatzweise“ Präzession beim freihändigen Radfahren
Kippen nach rechts führt zum Lenken nach links
Fahrradmodell
(3) atomare Kreisel: magnetische Momente  äußeres Magnetfeld
Präzessionsbewegung (Larmorfrequenz)
6. Gravitation
1687 publizierte Newton das Gravitationsgesetz.
In Kapitel 2.1 haben wir die Äquivalenz von träger und schwerer Masse besprochen:
mT  mS
Jede Masse besitzt die Fähigkeit, radialsymmetrisch um sich herum ein Zentralkraftfeld auszubilden
und damit eine anziehende Wechselwirkung auf die Umgebung auszuüben, ganz gleich, ob ein
Wechselwirkungspartner vorhanden ist oder nicht.
Die Feldstärke dieses so genannten Gravitationsfeldes berechnet sich wie folgt:
E 
M r
r2 r
 : Gravitationskonstante = (6,6720+0,0004) .10-11 Nm2 / kg
(1)
M : (Erd-)Masse
r : Abstand von der felderzeugenden Masse
6.1. Gravitationsgesetz
Tritt nun eine zweite Masse in das Feld der ersten, wirkt auf beide die Gravitationskraft.
FG  
m1m2 r
r2 r
(2)
An der Erdoberfläche (r  rE ) wirkt auf jeden Körper die Gewichtskraft G  m  g .
Demzufolge ist auf der Erdoberfläche:
g 
M
rE 2
(3)
Die Fallbeschleunigung g ist nichts anderes als die Gravitationsfeldstärke E(rE) an der Erdoberfläche.
Newton selbst kannte 𝝲 noch nicht; wie kam er zu „seinem“ Gesetz?
Beobachtung: Die Erde zieht einen bestimmten Körper mit einer Kraft an, die proportional zu deren
Masse ist, also F m.
Aus dem Reaktionsprinzip folgerte er: F MErde. Es folgt also schon mal: F m* MErde.
Andererseits muss diese Kraft mit zunehmendem Abstand abnehmen: F rn.
Zwischenergebnis: F m* MErde/ rn
Zur Bestimmung von n verglich er die Anziehung eines Körpers an der Erdoberfläche mit der des
Mondes: FK  
M E mK
M m
 FM   E n M  mK g  mM a (*)
n
rE
rM
a: Zentripetalbeschleunigung, die den Mond auf seine Erdumlaufbahn (fast Kreisbahn) zwingt.
2
 2  
2
m
m

a=𝟂r= 
 6,37 106  60 2  2, 7 103 2
 

s
s
 TM   27,3  86.400 
2
2
Der Abstand des Mondes von der Erde beträgt ungefähr 60 Erdradien; die Umlaufzeit des Mondes um
die Erde etwa 27,3 Tage (knapp 1 Monat).
ME
 ME
.
;a 
n
rE
rM n
Aus Gl. (*) folgt g  
Der Quotient g / a = 3.600 liefert n = 2. Also fällt die Gravitationskraft mit 1 / r2 ab.
Cavendish hat mittels einer Drehwaage 1797 die Masse der Erde sehr präzise bestimmt:
ME = 5,98.1024 kg.
6.2. Die Kepler‘schen Gesetze der Planetenbewegung

umfangreiche astronomische Beobachtungsdaten von Tycho Brahe (1546 – 1601) <Lehrer von
Kepler in Prag>

Ideen von Nikolaus Kopernikus (1473-154, Bischof in Thorn) -> brachten Johannes Kepler
(1571-1630) zu seinen Gesetzen der Planetenbewegung

70 Jahre später lieferte Newton mit dem Gravitationsgesetz eine Erklärung für die
Keplerschen Gesetze; jedoch nicht so, dass er aus dem 1/r2-Gesetz die Ellipsenbahnen
ableitete, sondern so, dass er umgekehrt zeigte, dass die Ellipsenbahnen mit dem 1/r2-Gesetz
verträglich sind
1. Kepler'sches Gesetz (1609):
Die Planeten umlaufen auf Ellipsenbahnen die Sonne, die in deren gemeinsamem Brennpunkt steht.
Planet
Sonne
A
P
Perihel
Aphel
F1
(Sonnennähe)
(Sonnenferne)
2. Kepler‘sches Gesetz (1609):
Der von der Sonne zum Planeten gezogene Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten t gleiche
Flächen A.
t
r
A
Experiment: Indischer Seiltrick:
P
S
A dA

 A  t   const.
t dt
(4)
3. Kepler‘sches Gesetz (1619):
Die Quadrate der Umlaufzeiten T1 und T2 zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen
Halbachsen a1 und a2.
P1
T12 a13

T2 2 a23
(5)
a1
P2
a2
S
Geometrischer Beweis zum 2. Kepler-Gesetz
Dreieck
v(t+dt)
P2
Ellipsenbogenelement (A‘)
r(t+dt)
v(t)
v  t  dt sin 

S
r(t)
dA – A(Dreieck SP1P2) + A‘(Ellipsenbogenelement)
r vdt sin  
dA 
P1
1
2
Bahnkurve
 Null für dt 0
1
dA 1 1
1
1
r v  sin   dt =

r mv  sin  
rp 
L  konst. , da L  konst.
2
dt 2 m
2m
2m
6.3. Die kosmischen Geschwindigkeiten
Die 1. Kosmische Geschwindigkeit ist diejenige, die ein Körper (genau) haben muss, um auf einer
Kreisbahn die Erde umrunden zu können.
In diesem Falle ist die Gravitationskraft die Radial- bzw. Zentripetalkraft (Kräftegleichheit).
Betragsmäßig gilt:

mM
mv 2
2

mr


r2
r
 ME
rE  h
 v2
r  rE  h
v1 
 ME
r
(6)
Die 2. Kosmische Geschwindigkeit ist diejenige, die ein Körper mindestens haben muss, um das
Gravitationsfeld der Erde verlassen zu können. Er muss also genügend kinetische Energie besitzen,
um das Gravitationspotential (der Erde) zu überwinden.

mM m 2
 v
r
2
v2 
2 M E
r
(7)
Setzt man in Gleichung (7) für die Erd- die Sonnenmasse ein, erhält man die 3. Kosmische
Geschwindigkeit, die ausreicht, das Sonnensystem zu verlassen.
Setzt man in Gleichung (7) für M E die Masse superschwerer schwarzer Löcher ein und für v die
Lichtgeschwindigkeit c , so erhält man aus Gleichung (7) den so genannten Schwarzschildradius, aus
dessen Innerem auch keine Photonen entweichen können.
Anmerkungen zum Gravitationspotential: Man kommt von der Gravitationskraft zum Potential, indem
man entlang des Weges integriert (Weg- oder Linienintegral). Die Integrationsgrenzen des
(bestimmten) Integrals werden dabei so gelegt, dass vom Ort r bis nach Unendlich integriert wird, weil
dort, in ausreichendem Abstand also, das Potential verschwindet.
7. Schwingungen
7.1 Freie ungedämpfte Schwingung
7.1.1 Federpendel und mathematisches Pendel
Eine Feder setzt ihrer Verformung eine Federkraft (einen Widerstand) entgegen, die der Verformung
bzw. Auslenkung proportional ist.
Exp.: V4 / 1103 lineares Kraftgesetz (im elastischen Bereich)
F  x (Hook’sches Gesetz)
Bildquelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Federpendel#/media/File:Simple_harmonic_oscillator.gif
Bildquelle: http://th.physik.uni-frankfurt.de/~luedde/Lecture/Mechanik/Intranet/Skript/Kap3/img25.gif
In Kapitel 2.2 hatten wir bei der Behandlung der Newton’schen Axiome als Beispiel zur Integration
der BWGL das Feder- und auch das mathematische Pendel bereits betrachtet.
Die Masse m wird aus der Ruhelage bei x = 0 ausgelenkt.
Nach dem Loslassen bei x = x0 beschleunigt die Federkraft FF die Masse.
Mit FF  kx für die Federkraft (k ist die Federkonstante) gilt folgende BWGL:
FF  m  a  mx  kx
(1)
Das Minuszeichen steht für die rücktreibende Wirkung.
Gl. (1) kann man umformen: mx  kx  0 oder auch x 
k
x0
m
Die Lösung dieser linearen, homogenen DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten (k, m) ist:
x(t)  x 0  cos 0 t mit 0 
k
m
(2)
Exp.: V4 / 1108 Schwingung(en) mit Speicheroszilloskop oder CASSY
Die analytische Lösung ist streng und einfach. Doch schon beim mathematischen Pendel hatten wir
gesehen, dass sich die BWGL nur angenähert für kleine Winkel lösen lässt. (Die Näherung bestand
darin, dass kleine Winkel etwa gleich dem Sinus oder auch Tangens des Winkels sind. Was man dabei
unter kleinen Winkeln versteht, lässt sich gut durch den Taschenrechner selbst ausprobieren.
Bildquelle: http://walter.bislins.ch/physik/media/Pendel.png; Exp.: V 4 / 1101: mathematisches Pendel
BWGL:  
g
g
; ω0: Eigenkreisfrequenz
  0 Lösung: (t)  0 cos 0 t mit 0 
l
l
Beide Lösungen sind aufgrund von
Vorgänge).
(3)
F  x harmonische Schwingungen (zeitlich periodische
Exp.: V4 / 1102: Berechtigung des Namens Kreisfrequenz
(https://www.youtube.com/watch?v=OKyuzWXTaGI)
Bildquelle:
http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ch/13/vlu/spektroskopie/grundlagen/einfuehrung.vlu/
Page/vsc/de/ch/13/pc/spektroskopie/grundlagen/schwingung.vscml/Supplement/1.html
Im Vorlesungsversuch wird ein Beispiel für eine nicht harmonische Schwingung gezeigt.
V4 / 6001:
unharmonische Kippschwingung
Was hat eine Schwingung mit einer Kreisbewegung zu tun?
Aus x(t) = x(t + T) folgt sofort, dass 𝞈0= 2𝜋/ T ist. (T: Schwingungsdauer)
Verschiedene Schwingungsformen:
Harmonische Schwingung: sin- oder cos-förmig:
Bildquelle:
http://images.google.de/imgres?imgurl=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/
Sine_cosine_one_period.svg/2000pxSine_cosine_one_period.svg.png&imgrefurl=https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus&h=80
0&w=2000&tbnid=29ToMdd77f8IYM:&vet=1&tbnh=90&tbnw=225&docid=M9EpfiGIMuQIwM&c
lient=firefox-b&usg=__mVdiI3ZgTDFHsbr6RUydVNtQAs=&sa=X&ved=0ahUKEwix_4TOi8bRAhVHnRoKHResDPwQ9QEIJDAE
Kippschwingung:
Bildquelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a9/Kippschwingung-beim-elektri.gif
Nicht jede periodische Bewegung ist harmonisch!
7.1.2 Physikalisches oder Schwerependel
Ein ausgedehnter Körper schwingt um einen
Aufhängepunkt O außerhalb seines
Schwerpunktes S.
Für kleine Auslenkungen ist das rücktreibende
Drehmoment
MRück  FRück  l  m  g  l  sin 
 m  g  l 
l ist immer der Abstand von der Aufhängung O
bis zum Schwerpunkt S
Exp.: V4 / 1301 Physikalisches Pendel
MRück  J   J 
BWGL:
Mit  
J   m  g  l   0
Richtmoment
J   D   0
(4)
D  mgl
D
D
ist.
   0 erkennt man sofort, dass 0 
J
J
  t   0 cos 0 t mit 0 
Lösung:
D
J
(5)
Unter Verwendung des Steiner‘schen Satzes (Gl. (6) in Kap. 5.2) lässt sich die Eigenkreisfrequenz 0
wie folgt umformen:
0 
0 
D
mgl
mg l



2
J
JS  ms
m  l2  JS
g
l(1 
JS
)
ml2

mg l
J 

m  l 2 1  S 2 
 ml 
g
lR
J 

lR  l 1  S 2  ist die (so genannte) reduzierte Pendellänge. Sie heißt deshalb so, weil sie kürzer
 ml 
als die Gesamtausdehnung des Körpers ist.
0 ist jetzt die Eigenfrequenz eines mathematischen Pendels gleicher Schwingungsdauer T.
Das Pendel schwingt so, als ob die reduzierte Pendellänge die wirkliche Pendellänge ist.
Das Pendel schwingt so, als ob die Gesamtmasse am Punkt A konzentriert wäre, der von O den
Abstand l R besitzt.
Achtung: l ist als Entfernung zwischen dem Aufhängungspunkt O und dem Schwerpunkt S zu sehen.
Experimente:
V4 / 1303 Glockenpendel;
V4 / 1304 Reifenpendel;
V4 / 1305 3 physikalische Pendel gleicher Schwingungsdauer T.
Es ergibt sich nun noch eine Besonderheit:
Lässt man den Körper um eine zur ursprünglichen Achse durch 0 parallele Achse durch A schwingen,
ergibt sich die gleiche Kreisfrequenz bzw. Schwingungsdauer. Experimentell ist dieser Punkt nicht
immer leicht und auch schnell zu finden.
A 
m  g  lR  l 
D'

2
JA
JS  m  lR  l 
JS
g
l
A 


2
J 
J

l 1  S 2 
JS  m 
 l2
JS  S 2
2
ml
 ml 
 m  l2 
mg 
A 
Js
ml
JS2

J  
m  g l 1  S 2   l 
  ml  

2

JS  
J S  m l 1 
 l
2 
  ml  
g
g
 0
lR
Das ist ein Reversionspendel.
Durch feine und präzise Montage und Justage sucht man zum Drehpunkt 0 den korrespondierenden
Punkt A (Abstand 0A  lR ) mit Hilfe der Messung der Schwingungsdauern, bis T0  TA gefunden ist.
Damit lässt sich die Erdfallbeschleunigung g sehr genau bestimmen.
Bemerkungen zum EES der Mechanik:
Aus x  t   x 0  cos 0 t folgt x  t   x 00  sin 0 t
Die potentielle Energie:
E pot 
k 2 k 2
x  x 0 cos 2 0 t
2
2
die kinetische Energie:
E kin 
m 2 m 2 m 2 2 2
v  x  x 0 0 sin 0 t
2
2
2

liefern in der Gesamtsumme die Gesamtenergie des Systems.
Eges  E pot  E kin 
k 2
m
k
x 0 cos2 0 t  x 0 2 sin 2 0 t
2
2
m
k 2
x 0  const.
2
E ges 
In der folgenden grafischen Darstellung sind vertikal versetzt die Periodizitäten verschiedener Größen
zusammengeführt. Die Geschwindigkeit und damit der Impuls weist gegenüber der Elongation eine
Phasenverschiebung auf. In der Kraft steckt die zweite Zeitableitung der Elongation, also eine weitere
Phasenverschiebung. Während die Gesamtenergie konstant bleibt, hat die potentielle Energie dort ihr
Maximum, wo die kinetische Energie minimal wird und umgekehrt. Es wird ständig Energie
umgewandelt. Leistung und Energie laufen mit anderen Periodendauern als die Elongation.
Qualitative Darstellung der berechneten Größen;
die einzelnen Graphen sind vertikal gegeneinander verschoben
y in willkürlichen Einheiten
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
10
10
8
8
2T
6
6
4
4
x(t)
v(t), p(t)
F(t)
Ekin(t)
Epot(t)
P(t)
2
2
T
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
x in willkürlichen Einheiten
k / m)
1/2
7.2 Freie gedämpfte Schwingung(en)
In der Realität treten bei allen Schwingungen Reibungseffekte auf, die Schwingungen werden
gedämpft.
Außer der Federkraft oder sonstiger Rückstellkraft wirkt noch eine Reibungskraft FR .
Man kann sich das so vorstellen, als würde ein zusätzlicher Widerstand parallel geschaltet.
FGes  FF  FR
(6)
In vielen (praktischen) Fällen, vor allem (aber) bei kleinen Geschwindigkeiten, kann man die
Reibungskraft FR als geschwindigkeitsproportional annehmen. FR zeigt allerdings in die
entgegengesetzte Richtung wie v selbst. In der Übung werden Sie ein Beispiel kennenlernen, wo die
Reibungskraft nicht dieser Funktionalität genügt. In diesem Abschnitt soll also gelten:
FR   r
(7)
 : Konstante, die die Stärke der Reibung beschreibt.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gilt für den eindimensionalen Fall (1D-Fall):
bzw.
kx  x  m  x
x

k
x x 0
m
m
(8)
BWGL
Das ist die DGL der freien gedämpften Schwingung.
Klassifizierung: linear, homogen, 2. Ordnung, konstante Koeffizienten
Wir schreiben (aus rein ästhetischen Gründen

= 2δ):
m
x  2x  0 2 x  0
(9)
und
suchen nach einem Ansatz für die Lösung.
Experiment: V4 / 2009 Oszilloskop freie gedämpfte Schwingung mit abnehmender Amplitude
Gesucht ist rein mathematisch eine Funktion, die bei ihrer zeitlichen Ableitung im Wesentlichen
erhalten bleibt. Bei der freien ungedämpften Schwingung haben wir gesehen, dass sowohl die
Kosinus- als auch die Sinusfunktion bis auf das Vorzeichen und eine Konstante bei der zweiten
Zeitableitung in sich selbst übergehen. Hier taucht zusätzlich die erste Ableitung auf.
Ansatz:
x  t   et
x  t   et  x  t 
(10)
x  t    2et   2 x  t 
Einsetzen in DGL
2 x  t     2x  t   02 x  t   0
Damit hat man die DGL 2. Ordnung auf eine quadratische algebraische Gleichung zurückgeführt. Die
triviale, mathematisch mögliche, aber physikalisch uninteressante Lösung ist x  t   0 . Interessant ist
aber der andere Faktor, den wir im Folgenden näher untersuchen wollen:
2  2  02  0
(11)
Das ist die so genannte charakteristische Gleichung. Die Lösung dieser quadratischen Gleichung erhält
man über die Diskriminante:

Mit
   2  0 2
(12)
  0 2  2 :1,2    i
(13)
1,2
 ist die Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung. Die Schwingungsdauer T ist demzufolge
größer, das Pendel schwingt langsamer.
Eine ganz spezielle Lösung der DGL (9) ist nun: [Probe: Gl. (14)  Einsetzen in Gl. (8) ^ (9)]
x  t   x 0et cos  t  0 
(14)
Die Amplitude x 0 sowie der Nullphasenwinkel sind (mathematisch) zunächst (zwei) allgemeine
Integrationskonstanten des mathematischen Problems, welche genauer durch die jeweiligen
Anfangsbedingungen (AB) festgelegt werden.
Die allgemeine Lösung der homogenen DGL erhält man als Linearkombination der mit dem Ansatz
(Gl. (10)) gewonnenen Teillösungen:
x h  t   C1et  e
2 02 t
 C2et  e
 2 02 t
 et (C1e
2 02 t
 C 2e
 2 02 t
)
Für die Wurzel in Gl. (12) gibt es nämlich insgesamt drei mögliche Lösungen:
1. Fall:   0 ,d.h.2  0 2  0 : kleine (schwache) Dämpfung: Hier ist  in Gl. (13) reell, es
ergibt sich eine gedämpfte Schwingung mit exponentiell abklingender Amplitude. Mit
x h  t   C1et  eit  C2et  eit  et (C3 cos( t)  C4 sin( t))  e t  C5 cos( t  )
erhält man mit den AB x(0) = x0 und v(0) = 0 Gleichung (14).
Bildquelle:
https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel#/media/File:Euler%27s_formula.svg
z  x  iy  r  cos   isin  (Kreis)
Euler-Identität: eix  cos x  isin x (Beweis durch Taylorreihenentwicklung an der Stelle x=0)
Experimente: V 4 / 2007 Spiegelgalvanometer
V 4 / 2001 und 2003 Ölwanne und
V 4 / 2006 elektrischer Schwingkreis
Das ist der so genannte Schwingfall.
Ein Maß für die quantitative Beschreibung der Dämpfung der Schwingung und damit für das
zeitliche Abklingen der Amplitude x 0 (t)  x 0  et ist das logarithmische Dekrement Λ. Für
die Amplitudenabnahme in diesem Schwingfall gilt:
x(t  T)
x(t)
 eT   ln
 T   .
x(t)
x(t  T)
Aus Λ ergibt sich unmittelbar  , die Stärke der Dämpfung; z. B. aus Messungen der
Viskosität  .  ist auch ein Maß für die Güte des schwingungsfähigen Systems.
2. Fall:   0 ,d.h.2  02  0 :
starke Dämpfung: Die Wurzel in Gl. (12) ist jetzt selbst
reell.

1,2
   2  0 2
Die Lösung der DGL lautet für diesen Spezialfall:
x  t   C1et  e
2 02 t
 C2et  e
 2 02 t
Das System ist überdämpft. Nach anfänglicher Auslenkung geht das System erst nach sehr
langer Zeit (eigentlich im Unendlichen, also nie) wieder in die Ruhelage zurück. Deshalb wird
dieser Fall als Kriechfall bezeichnet. Die grafische Darstellung hat keine Extrema, aber einen
Wendepunkt mit den Koordinaten t w 
4x 0 2   2 t w

1
e .
und x w 
ln
2   2
2

3. Fall:   0 :
Die Lösung der DGL erhält man über das mathematische Verfahren Variation der Konstanten:
t
Dazu wählt man als Ansatz: x  t   C(t)e .
Danach bildet man die ersten beiden Zeitableitungen:
x  t   C(t)et  C(t)et  C(t)et  x(t) und
x  t   C(t)et  C(t)et  x(t)
Einsetzen in die ursprüngliche DGL (Gl. (9)) liefert als Ergebnis: C(t)  0 . Das bedeutet, dass
die zeitabhängige Konstante als lineare Funktion wie folgt angesetzt werden darf:
t
C(t)=at+b. Als Lösung für die DGL erhält man: x  t   (a  t  b)  e .
Aus den Anfangsbedingungen (AB): x(0)= x0 und v(0) = v0 liest man ab:
t
a = x0+ v0 .  ^ b = x0. Damit wird x  t   [x 0  (v0   x 0 )  t]  e .
Nach anfänglicher Auslenkung x0 kehrt das System „schnellstmöglich“ in die Ruhelage
zurück. Es handelt sich um den „schnellstmöglichen“ Kriechfall, aber keinesfalls um eine
Schwingung. Das ist der aperiodische Grenzfall, der messtechnisch von sehr großer
Bedeutung ist. Die Kurve kann eine Nullstelle haben, falls v0<- δx0 ist. Maxima hat dieser Graf
für Anfangsgeschwindigkeiten v0 > 0; Minima für v0 < 0. Für v0= 0 hat die Kurve keine
Extremstellen. An der Stelle tw = 2 / δ – x0 / (v0 + δx0) haben sämtliche mögliche Grafen eine
Wendestelle.
In der folgenden grafischen Darstellung sind die einzelnen Fälle anhand konkreter Zahlenbeispiele
illustriert.
Analogiebetrachtung zur Elektrodynamik: Elektrischer Schwingkreis:
Maschensatz: U(t)=L⋅I˙+Q/C+R⋅I
7.3 Erzwungene Schwingung(en)
Auf das schwingende System wirkt eine zeitabhängige, äußere, periodische Kraft der Form
F(t)  F0  sin t . ω ist hier die Erregerfrequenz und darf keinesfalls mit der Eigenkreisfrequenz der
freien gedämpften Schwingung verwechselt werden, diese war nach Gl. (13) (Kap. 7.2.)
  0 2  2 . Eine Verwechslung ist nahezu ausgeschlossen, weil in diesem Abschnitt vorwiegend
über die inhomogene Lösung der Schwingungs-DGL gesprochen wird. Die homogene Lösung klingt
exponentiell ab (Einschwingvorgang). Solche Kräfte können den „Abbau“ der Schwingung infolge der
Reibung (Dämpfung) wieder ausgleichen.
Sie zwingen dem System nach einer gewissen Zeit, der so genannten Einschwingzeit, ihre eigene
Frequenz, die Erregerfrequenz auf. Aber Achtung: In der Praxis können Einschwingvorgänge
kompliziert sein und auch länger andauern.
Der Erreger und der Resonator, das schwingungsfähige System, schwingen mit der Erregerfrequenz ω.
Es tritt (aber) eine Phasenverschiebung  auf.
Experiment(e):
 V4 / 3002 Zungenfrequenzmesser
 V4 / 3006 Resonanzpendel
 V4 / 3008 Freihand-Resonanz
 V4 / 3013 Tacoma-Narrows-Bridge
 V4 / 3015 Schwingtopf
Im Allgemeinen treten noch Reibungskräfte auf:
mx  F  x, x, t 
BWGL:
x:
rücktreibende Kraft
x:
Reibung
mx  kx  x  F0 sin t
x  2x  0 2 x 
F0
sin  t 
m
(15)
Das ist eine lineare, inhomogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.


k
; 0 2 
2m
m
t:
Erreger
Die allgemeine Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung ist die Summe aus der zugehörigen
homogenen Lösung x h  t  , die in den Kapiteln 7.1 und 7.2 ausführlich besprochen wurde und die sich
hier im mehr oder weniger lang andauernden Einschwingvorgang widerspiegelt, und einer ganz
speziellen partikulären Lösung x p  t  der inhomogenen DGL, die man mit Hilfe eines möglichst
geschickten Ansatzes gewinnen möchte.
In komplexer Schreibweise genügt die partikuläre Lösung x p  t  folgender Differentialgleichung:
x p  2x p  0 2 x p  A0eit (16)
Man wählt den komplexen Lösungsansatz (der also sowohl für sin- als auch cos-Funktionen
gleichermaßen gilt):
x p (t)  x 0  ei( t )
(17)
 : Erregerfrequenz; x 0 : Resonatoramplitude;  : Phasenverschiebung zwischen Erregerfrequenz und
Resonator
Ein- bzw. zweimaliges Ableiten dieses zeitabhängigen Ansatzes nach der Zeit t
x p  t   ix 0  ei( t ) ; x p  t   2 x 0  ei(t )
Eingesetzt in obige DGl (Gl. (16)) nebst anschließender Division durch x p  t  (Gl. (17)) liefert:
2  2i  0 2 
A0  i
e
x0
Ein Koeffizientenvergleich auf beiden Seiten der Gleichung bringt:
Imaginärteil: 2x 0  A0 sin 
Realteil: x 0 (0 2  2 )  A0 cos  ;
Division der beiden Gleichungen und Verwendung der Tangensdefinition:
tan  
2
bzw.
0 2  2
  arctan
2
0 2   2
(18)
Quadrieren und Addieren der beiden Gleichungen liefert unter Verwendung des trigonometrischen
Pythagoras den Betrag der komplexen Amplitude:
x0 
A0
(0   )  4 
2
2 2
2
2
F0 / m
=

0
2


2 2
(19)
 4 
2
2
Bemerkung zum Doppelvorzeichen: Beide Vorzeichen ergeben dasselbe Resultat. Addiert man die
beiden konjugiert komplexen Gleichungen, bekommt man die reelle und damit physikalische der
möglichen Lösungen.
x p (t) 
F0 / m

0
2

2 2

e  i( t )
 4 
2
2
Diskussion der Lösung:
zunächst x 0 :
Grenzfälle:
F0
F
 0
2
m0
k
0
x 0  0 

x0   0
Im Zwischenbereich vermuten wir ein Maximum.
d
x 0    0
d
Seine Lage ergibt sich aus:
2
dx 0   F0 d

0 2  2   422

d
m d


1 F0

2m

3/2

1/2
 2  0 2  2   2  82  0


Setzt man den Zähler gleich null
2  02  2   2  82  0 -> 202 23  42  0 -> 2  02  22
res  0 2  22
(19)
Resonanzfrequenz
res  0
  0
Bei geringer Dämpfung:
Amplitudenresonanzkurven
Phasenresonanzkurven
1 - Schwache Dämpfung, 2 – stärkere Dämpfung, 3- Dämpfung steigt weiter an
Die tatsächlichen Maxima liegen etwas weiter links von 0 .
Das Maximum der Kurve wandert mit wachsender Dämpfung nach links und flacht ab.
Wenn res  0
0 2  2 2

0
2

1
20
2
In der Praxis wird die Resonanzkatastrophe vermieden durch:

starke Dämpfung

0 weit entfernt von 
Experiment:
Pohl’sches Drehpendel (Rad)
V4 / 3001
Phasenverschiebung zwischen Erreger und Resonator: tan  
2
0 2   2
Bei kleiner Frequenz  folgt der Resonator dem Erreger fast ohne Phasenverschiebung.
Phasenverschiebung

:
2

x  x 0 cos  t

F  F0  sin  t 




  x 0 cos t cos  sin t sin 
2
2
2

=0
=1
x  x 0 sin  t 
Äußere Kraft F  t  und Geschwindigkeit   t   x  t  sind in Phase. Dem System wird ständig
Energie zugeführt. Ohne Dämpfung führt dies zur Amplitudenkatastrophe.
Bei sehr hohen Frequenzen  stellt sich eine Phasenverschiebung von  180  ein, das System
schwingt gegenphasig.
**********************************************************************************
Kurvendiskussion für die Funktion φ(ω):
 ( )  arctan
2
0 2   2
Die erste Ableitung der Arcus-Tangens-Funktion hat die Struktur (1/(1+x2)).
202
 ( ) 
(0 2   2 )2  4 2 2
'
Eine solche Funktion hat keine Extrema im Definitionsbereich.
Die zweite Ableitung ist:
802  [02   2  2 2 ]
 ''( ) 
[(0 2   2 )2  4 2 2 ]2
2
2
Es ergibt sich für die Wendestelle: w  0  2 .
Neben der trivialen und physikalisch uninteressanten Lösung ωw1 = 0 sieht man bei kleinen
Dämpfungen im Schwingfall, dass der Wendepunkt bzw. die Wendestelle bei ωw ≈ ω0 liegt.
**********************************************************************************
Stationäre, zeitlich konstante Schwingung:
Die Schwingung wird stationär, wenn die während einer Periode zugeführte Energie gleich der durch
Reibung bzw. Dämpfung aus dem schwingenden System abgeführten Energie ist.
Bei kleiner Dämpfung wird diese Bedingung nur für große Amplituden erfüllt. Im Resonanzfall kann
es daher schon vor Erreichen des stationären Zustandes zur Zerstörung des schwingenden Systems
kommen.
Für viele praktische Überlegungen und auch unsere Übungsaufgaben spielt der folgende Begriff eine
große Rolle:
Resonanzüberhöhung: Verhältnis der Amplitude bei res zur Amplitude bei   0 :
x 0  res 

x0  0


1
F0
m0 2
F0 / m

2
0
 0 2  22   42  0 2  22 
0 2
44  420 2  84
2

0 2
2 02  2
(20)
0 res

2 2
0 sehr viel g rößer als 
Die Resonanzüberhöhung ist also umgekehrt proportional zur Dämpfungskonstanten.
7.4 Überlagerung von Schwingungen
Die Gesetze der Mechanik gelten für jede Raumrichtung einzeln. Die Bewegungen überlagern sich
ungestört. (Superpositionsprinzip)
1. Fall: 2D-Überlagerung:
geg.:
Schwingungen in x-Richtung:
x  t   A  sin  t 
Schwingungen in y-Richtung:
y  t   A  sin  t 
Ohne Phasenverschiebung ergibt sich eine Gerade, bei π / 2 ein Kreis, dazwischen Ellipsen.
Bildquelle:
https://www.bing.com/images/search?q=lissajous&view=detailv2&&id=4D94A16494F16D2E6C00A
4AEEC3936116B276C08&selectedIndex=55&ccid=N%2bfcfFbR&simid=608053313238008135&thi
d=OIP.M37e7dc7c56d11438e81cf4f558a47212o0&ajaxhist=0
mit Phasenverschiebung

:
2


x  t   A  sin  t    A  cos  t 
2

y  t   A  sin  t 
mit beliebiger Phasenverschiebung:
wenn x  y : für rationale
Alle Übergänge-Kreis-Ellipse
x n

n, m ganz
y m
geschlossene Kurven, Lissajous-Figuren
Bildquelle:
https://www.bing.com/images/search?q=lissajous&view=detailv2&&id=DA7A54AB960F27251F056
96A2D5E2354C7E57704&selectedIndex=87&ccid=7rAPUwWF&simid=608002121539519482&thid
=OIP.Meeb00f53058564a28a9d3780367c9f79o0&ajaxhist=0
für irrationale
x
:
y
vollständiges Überstreichen der x-y-Ebene
 V4 / 5310 Lissajous-Figuren
Experiment(e):
2. Fall: Schwebungen:
Überlagerung zweier gleichgerichteter Schwingungen mit nahezu derselben Frequenz:
i  t
xˆ  t   xˆ 1  t   xˆ 2  t   A1eit  A2e  
 klein bis sehr klein
x̂  t    A1  A2eit  eit
(21)
zeitlich veränderliche komplexe Amplitude der Schwingung eit
Wir betrachten den physikalisch relevanten Realteil der Schwingung.

x  t   Re xˆ  t  und selten gleichzeitig A1  A2  A
x1  t   A cos  t 
x 2  t   A cos      t
x  t   x1  t   x 2  t   A cos  t   cos     t 
Additionstheorem:
cos   cos   2cos
 
 
 cos
2
2



x  t   2A cos t  cos     t
2
2

zeitlich veränderliche
wirkliche Schwingung,
deren Frequenz sich fast nicht von  unterscheidet
Amplitude
Die
tatsächliche
Schwingung
(rote
(22)
Kurve)
verläuft
mit
der


Frequenz   

;
2
die

2
Amplitudenmodulation (blaue Kurve) mit  
akustisch:
Man hört fast den gleichen Ton wie bei der einzelnen Schwingung mit der Frequenz
 , aber die Lautstärke (Intensität, Amplitude) des Tons ändert sich langsam (auf- und
abschwellend).
Experimente:
 V4 / 5202 Schwebung mit Stimmgabeln
7.5 Fourier-Analyse, Forier-Synthese, Fourier-Reihe(n)
geg.:
beliebiger zeitlich periodischer Vorgang mit x  t   x  t  T 
Bildquelle:
https://www.bing.com/images/search?q=Fourierreihen&view=detailv2&&id=593EAB840BD019C4C
F357EFB1845CDA907C2979C&selectedIndex=0&ccid=whhNTz4Z&simid=608012167461078972&
thid=OIP.Mc2184d4f3e1935fab33f162c3d412625o0&ajaxhist=0
Keine harmonischen Schwingungen, sondern allgemeiner Fall. Die meisten Schwingungen in der
Praxis sind unharmonisch.
Fourier (1822): Jede zeitlich periodische Funktion mit der Periodenlänge T lässt sich aus
harmonischen Schwingungen aufbauen, zusammensetzen.
x  t   x  t  T
  2f 
2
T
x  t   x 0  x1  cos  t  1   x 2  cos  2t  2   ...

x  t    x n cos  nt  n 
nN
n 0
bzw. in komplexer Form:

xˆ  t    xˆ n ei nt n 
(23)
n 0
MERKE:
Periodische, nicht harmonische Schwingungen enthalten außer der Schwingung mit
der Grundfrequenz 0 Oberschwingungen n0 mit charakteristischen Amplituden
xn .
Mit wachsendem n nimmt generell die Größe der Amplituden schnell ab.
Experiment(e): Fourieranalyse (Fouriertransformation) am PC -> Frequenzspektrum, anschließend
Fouriersynthese -> Annähern einer Kurve
allgemein:
x t 
a0 
 a n cos  nt   b n sin  nt 
2 n 1

Fourierkoeffizient(en): a n 
2
T
T
2
 x  t  cos  nt  dt
T

2
n=0, 1, 2, ...

bn 
2
T
T
2
 x  t  sin  nt  dt

T
2
Bemerkung: hier wurde nur die zeitliche Periodizität betrachtet, bei der räumlichen ist t einfach
k
T
durch x zu ersetzen;
tx
7.6. Koppelschwingung(en)
Experimente:
 V4 / 4001 Stabpendel
 V4 / 4009 Federpendel
 V4 / 4025 Schlingertank
 V4 / 4012 groß-klein
 V4 / 4021 mit Torsion
Hier soll als Beispiel folgende Anordnung betrachtet werden:
2 Federschwinger, Massen m=m1=m2, Federkonstante k=k1=k2 sind über eine weitere Feder mit k*
verbunden.
Im Ruhezustand sind alle Federn gleichzeitig entspannt. Ohne Verbindungsfeder würde für den
Schwinger
x1 gelten:
kx1 + mx1 = 0 .
Mit Verbindungsfeder kommt parallel dazu noch die zusätzliche Federkraft FF, die vom Abstand x2-x1
abhängt:
F *   x1  x2  k *
Wenn x1=x2 ist, hat die Verbindungsfeder ihre Ruhelage und übt keine Kraft aus. Es ergeben sich die
beiden Bewegungsgleichungen:
kx1  k *  x1  x2   mx1  0
(24a)
+
+
kx2  k *  x2  x1   mx2  0
(24b)
+
-
Dies ist ein System von zwei gekoppelten DGL.
x1  0 2 x1 
k*
 x1  x2   0
m
(24a)
x2  0 2 x2 
k*
 x2  x1   0
m
(24b)
x1  x2  0 2  x1  x2   0
x1  x2  0 2  x1  x2   2
(25a)
k*
 x1  x2   0
m
(25b)

k* 
x1  x2   0 2  2   x1  x2   0
m

y2  x1  x2
Substitution: y1  x1  x2
y1  0 2 y1  0
(26a)

k* 
y2   0 2  2  y2  0
m

 2
k* 
'2


2
(26b) mit  0
  0
m

Gleichung (26a) hat die Lösung y1  t   y0 cos 0 t   
Gleichung (26b) hat die Lösung y2  t   y0 cos 0 ' t   
x1 
Rücktransformation:
y1  y2
2
x2 
y1  y2
2
1
x1  t   C cos 0 t     cos 0 ' t    
2
1
x2  t   C cos 0 t     cos 0 ' t    
2
C und φ sind zunächst allgemeine Integrationskonstanten.
Mathematisch heißt dieses Verfahren „Separation in Schwerpunkt- und Differenzkoordinate“,
x1 ist der Schwerpunkt, x2 ist der halbe Abstand.
Anwendung geeigneter Additionstheoreme ... und entsprechender Anfangsbedingungen:
Lösungen:
x1  t   x0 cos
0 ' 0
x2  t   x0 sin
0 ' 0
2
2
t  cos
t  sin
0 ' 0
2
0 ' 0
2
t
(27a)
t
(27b)
Beide Pendel führen Schwingungen mit der gleichen Kreisfrequenz
0 ' 0
2
aus.
Die Amplituden der Pendel ändern sich zusätzlich mit kleinerer Kreisfrequenz
0 ' 0
2

2
TS
TS ist die Periodendauer der Schwebung (der Einhüllenden).
Davon abweichend bezeichnet man τ als Schwebungsdauer, die Zeit zwischen genau zwei Knoten.
Man definiert als Kopplungsgrad:
T0 2  T0'2 0'  0 2
k*
 2
 2

T0  T0'2 0'  0 2 k  k *
2
(28)
 0
T0  T0 '
keine Kopplung
 1
T0 '  0
K*  
starke, starre Kopplung
Die Koppelschwingung ist eine um 90° phasenverschobene Schwebung der Einzelschwinger.
Bildquelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Gekoppelte_Pendel#/media/File:Schwebungsfall.svg
Nun wird eingeführt:

I  II 2

2
T
und
S 
II  I  2  
 
2  TS  
Die Kreisfrequenz  stellt also die Mittelung beider Fundamentalkreisfrequenzen dar, analog ist auch
T zu betrachten. Die Größe TS ist physikalisch ohne Bedeutung, da die Amplitudenmodulation von
der Schwebungsdauer  (Knotenabstand) abhängt.
Bildquelle: „hauseigene Praktikumsanleitungen“
Es existieren zwei Fundamentallösungen:
1.) Beide Massen schwingen parallel; die Verbindungsfeder wird nicht beansprucht, wie beim
k
.
m
2.) Beide Massen schwingen gegeneinander. Diese Schwingung verläuft schneller wegen der
k  2k *
Zusatzfeder; 0' 
. Für k* = 0 (ausgeschaltete Kopplung) schwingen die beiden
m
Pendel mit gleicher Frequenz, es gibt keinen Energieübertrag.
Einzelpendel; es gilt ω0 =
7.7. Parametrische Resonanz
Vorlesungsexperiment: Weihrauchkessel + Video
In der Schwingungsdifferentialgleichung Gl. (15), Kap. 7.3. werden jetzt die bisher konstanten
Koeffizienten zeitabhängig:
x(t)  C1 (t)  x(t)  C2 (t)  x(t) 
F0
exp it 
m
Obwohl jedes Kind auf einer Schaukel relativ schnell erlernt, wie man die Auslenkung eines
schwingungsfähigen Systems wirkungsvoll und schnell erhöht, treten hier nichtlineare
Differentialgleichungen auf, die nur numerisch gelöst werden können.
7.8. Chaotische Bewegungen
Gibt es Nichtlinearitäten in den erregenden oder rückstellenden Kräften, kommt es zu nicht
voraussagbaren Bewegungen. Die Vorgänge werden chaotisch. Dies führt zu einem speziellen neuen
Zweig der theoretischen Physik.
Vorlesungsexperimente: chaotisches Doppelpendel (schwarz-rot-gold)
Bifurkation
8. Wellen
8.1 Einleitung: Was ist eine Welle?
Experimente:
 V 4 / 4042: Pendelreihe (gekoppelte Schwinger)
 V 5 / 0151: Anakonda Spiralfeder (Riesenschlange)
 V 5 / 1101: Federseil
 V 5 / 1301: Schraubenmodell (für räumliche und zeitliche Periodizität)
Das schwingende Teilchen bewegt sich um seine Ruhelage, bewegt sich aber nicht fort. Der
Schwingungszustand breitet sich über große Entfernungen aus. Die Welle ist die räumliche
Ausbreitung einer Schwingungsphase.
Beispiele:
- Wasserwellen (Oberflächenwellen)
Bildquelle:http://www.gymnasiumparsberg.de/projekte/einsteinjahr/relativitaetstheorie_anschaulich_html_3a253df3.jpg
- Schallwellen in Gasen (Luft)
Lautsprechermembran: Zonen hoher und niedriger Dichte ρ
Zonen hohen und niedrigen Druckes p
- Elastische Wellen in Festkörpern
/ Dehnungswellen
/ Torsionswellen
/ Schallwellen in FK und Flüssigkeiten
- Elektromagnetische Wellen
/ Radar
/ Licht
/ Röntgen- und Gammastrahlung
Erreger: schwingende elektrische Ladungen erzeugen elektromagnetische
Felder, die sich im Vakuum oder in Stoffen ausbreiten
Wir betrachten eine Welle in x-Richtung:
Die Phasengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit der Bewegung der Wellenberge und Wellentäler,
allgemein einer beliebigen Schwingungsphase.
Offenbar ist:
y  f (x, t)  y(x  vPh  t)
(1)
Plausibilitätserklärung:
1.) Momentaufnahme bei t = 0: z. B. m. Fotoapparat am Meer
2.) Momentaufnahme bei t  t1 : Die Phase ist um vPh  t1 weitergelaufen.
Also: Für jeden Punkt x ist y jetzt so „wie vorher um vPh*t1 weiter links“
Der Schwingungszustand ist nicht von x und t einzeln abhängig, sondern von der Kombination
x  vPh  t . Dies ist die Phase der Welle, sie bestimmt y eindeutig.
Gl. (1) beschreibt eine Welle ganz allgemein, also auch nichtperiodische (Seilwellen, Stoßwellen, …).
Im Folgenden wollen wir uns auf harmonische Wellen konzentrieren. Diese besitzen eine große
Bedeutung.
Bildquelle: „https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/89/Wave_phase.gif“
Bildquelle:
„https://de.wikipedia.org/wiki/Wellenl%C3%A4nge#/media/File:Sinuswelle_zur_verdeutlichung_von
_Wellenlaenge.svg“
vPh 


 f 
  / k
T
2
(2)
Bei elektromagnetischen Wellen gilt: vPh = c (Lichtgeschwindigkeit).
k ist die Wellenzahl und definiert als 2π / λ.
Zur Beschreibung einer Welle wird oft der Wellenzahlvektor k  kew mit e w : Einheitsvektor in
Ausbreitungsrichtung benutzt.
In den Flächen, in denen x  vPh  t , also die Phase der Welle, den gleichen Wert hat, ist auch die
Amplitude bzw. Elongation gleich. Diese Flächen stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung und
heißen Wellenfronten oder Wellenflächen.
Wellenfront = Fläche gleicher Phase
Ebene Wellen
Kugelwellen
Zylinderwellen
Bei einer harmonischen Welle führt eine Stelle im Laufe der Zeit eine Schwingung aus:
y(t)  y0  sin( t  0 )
.
Damit bei t = 0 das räumliche Sinusprofil herauskommt, muss φ0 = kx sein; d. h. also:
y(x, t)  y0  sin( t  k  x)
bzw. für eine allgemeine harmonische Wellenerscheinung:
in reeller Darstellung:
y(x, t)  y0  sin( t  k  x)
1D komplex: (x, t)  0  ei( t kx) oder
 i(k  r t)
3D komplex: (r, t)  0  e
.
Das ist die Wellenfunktion einer harmonischen Welle.
(3)
Frage: Wie sieht die DGL aus, der eine Welle gehorcht?
1D :
 2(x, t)
 2(x, t)
2

v

Ph
t 2
x 2
(4)
Das ist die d’Alembert‘sche Wellengleichung.
Diese Gleichung wird von jeder Funktion (x, t)  (x  vPh  t) erfüllt (Gl. (1)), nicht nur von der
Gleichung für harmonische Wellen (Gl. (3)).
Der Beweis erfolgt mittels Probe, also durch Einsetzen der angegebenen Lösung in die DGL.
Einschub: Andeutung eines Beweises:
f (x  v Ph  t) f (x  v Ph  t) (x  v Ph  t) f (x  v Ph  t)



 ( vPh ) (*)
t
(x  vPh  t)
t
(x  v Ph  t)
f (x  v Ph  t) f (x  v Ph  t) (x  v Ph  t) f (x  v Ph  t)



 (1)
x
(x  v Ph  t)
x
(x  v Ph  t)
Vergleicht man die beiden Gleichungen (*) und (**), folgt sofort:
(**)
f
f
  v Ph  (***).
t
x
Erneute Ableitung von Gl. (***) erfüllt Gl. (4).
Arten von Wellen - Polarisation:
Experiment (V 5 / 1201)
Transversalwellen = Querwellen:
Schwingungen quer zur Ausbreitungsrichtung
Bildquelle:
„https://de.wikipedia.org/wiki/Transversalwelle#/media/File:Pricna_vlna.gif“
Transversalwellen (Schall in Flüssigkeiten & Festkörpern; elektromagnetische Wellen)
Bei Transversalwellen ist die Angabe „Schwingung senkrecht zur Ausbreitung“ nicht eindeutig.
Entscheidend ist die Lage der Schwingungsebene:
-
Bleibt diese entlang der Welle konstant, hat man linear polarisierte Wellen. Alle Teilchen
schwingen in einer Ebene.
Experimente: Polarisationsmodelle
-
Es kann aber auch sein, dass sich die Schwingungsebene entlang der Ausbreitungsrichtung
dreht. Dies führt zu zirkular oder elliptischer Polarisation.
-
Das Auftreten von Polarisation ist ein Kriterium für das Vorliegen von Transversalwellen.
-
Bei unpolarisierten Wellen ist keine Schwingungsebene bevorzugt. Es existiert eine
statistische Verteilung der Schwingungsrichtungen einzelner Wellenzüge, das ist ganz typisch
für Glühlicht.
-
Experiment: Polarisationsfolien
Longitudinalwellen:
Schwingungen erfolgen längs der Ausbreitungsrichtung (Schallwellen in Gasen)
Es gibt Dehnungen und Stauchungen, Verdichtungen und Verdünnungen.
Dehnung
Stauchung
Bildquelle: „https://de.wikipedia.org/wiki/Transversalwelle#/media/File:Podelna_vlna.gif“
Schwingung längs zur Ausbreitungsrichtung
Longitudinalwellen (Schallwellen in Gasen)
Verdichtungen & Verdünnungen
8.2 Überlagerung von Wellen, Gruppengeschwindigkeit
Wellen überlagern sich nach dem Superpositionsprinzip ungestört. Mathematisch steckt das in der
Linearität der d’Alembert‘schen Wellengleichung und bedeutet:
y1(t) ist Lösung
y2(t) ist Lösung
Linearität
y1(t) + y2(t) ist auch eine Lösung
Wellen können sich beim Überlagern verstärken, abschwächen bis auslöschen.
Bildquelle(n): „http://physikunterricht-online.de/jahrgang-11/wellenphaenomene/“
Maximale Verstärkung zweier Wellen
Maximale Auslöschung zweier Wellen
Verstärkung zweier Wellen
Abschwächung zweier Wellen
Stehende Wellen:
Hinlaufende und rücklaufende Welle (z. B. nach Reflexion an einer Grenzfläche) überlagern sich so,
dass sich nichts mehr auszubreiten scheint.
Experimente:
 Seilwelle festes & loses Ende, Wellenmaschine mit Reflexion & Brechung
 Heißluftposaune, Monochord
 Chladnische Klangfiguren
An Grenzflächen gibt es immer Reflexion, Brechung und Absorption.
Gruppengeschwindigkeit:
Die harmonische Welle überträgt kein Signal. Ein Signal (z. B. ein Licht- oder Funkimpuls) ist
vorstellbar als ein aus vielen harmonischen Wellen unterschiedlicher Frequenz zusammengesetztes
Gebilde.
Bildquelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Wellenpaket#/media/File:Wave_gauss.svg
Beispiel:
Überlagerung von zwei harmonischen Wellen: , k,  , k  k
Sie überlagern sich konstruktiv, wenn ihre Phasen übereinstimmen, d. h., wenn gilt:
kx  t  ((k  k)x  ( t)t)  kx  k  x  t   t
k  x   t
Die Erfüllung dieser Bedingung sichert also die Bildung und Erhaltung eines Signals; es hat sich eine
Wellengruppe gebildet.
Bei t  0 gilt obige Bedingung für x  0 .
Bei t  t1 gilt sie für x1  t1 

.
k
Die Wellengruppe bzw. das Wellenpaket bewegt sich also mit der Signalgeschwindigkeit
v
x1 
d
, im Grenzfall
.

dk
t1 k
Diesen Ausdruck nennt man Gruppengeschwindigkeit, Geschwindigkeit der Wellengruppe oder
Signalgeschwindigkeit.
vgr 
d
dk
(5).
Die Phasengeschwindigkeit war nach Gl. (8.1, (2)) v ph 

.
k
Umgestellt nach  erhält man:   vph  k , also  ~ k .
Wenn v ph für alle Wellenlängen (d. h. für alle k ) bzw. für alle Frequenzen den gleichen Wert hat,
erhält man:
vgr 
d d
 (k  v ph )  v ph .
dk k
In diesem Fall sind v gr und v ph gleich.
Beispiel:
elektromagnetische Wellen im Vakuum, Schall in Luft
Allgemein:
vgr  vph
vph  f () bzw. f (k) .
Es gilt dann nicht   k . Es tritt Dispersion auf. Deswegen ist   (k) die Dispersionsrelation.
In diesem Fall zerfließen Wellenpakete (sie dispergieren), jede harmonische Welle des Pakets hat eine
eigene Geschwindigkeit.
Beispiele:
- Licht im Glas (Prisma) vph  vph ()
Lichtgeschwindigkeit hängt von der Frequenz und damit Farbe ab
- Schall im Festkörper (hohe Töne laufen schneller)
Übungsaufgabe: Überlagerung zweier ebener harmonischer Wellen mit den (Kreis-)Frequenzen ω1
und ω2 bzw. den Wellenzahlen k1 und k2:
y1 (x, t)  ymax  cos(1  t  k1  x) und y2 (x, t)  ymax  cos(2  t  k 2  x) .
Addiert man die beiden nach dem Superpositionsprinzip (ungestörte Überlagerung), erhält man:
y  y(x, t)  2  ymax  cos( t  k  x)  cos( t  k  x) .
Der erste Cosinus-Faktor beschreibt die tatsächlich laufende Welle. Der zweite Cosinus-Term wird im
Folgenden noch genauer diskutiert.
1  2
k  k2
und k die mittlere Wellenzahl; k  1
. Für die
2
2
  2
k  k2
mittleren Differenzen kann man analog aufschreiben:   1
und k  1
.
2
2
ω ist die mittlere Kreisfrequenz;  
Die Phasengeschwindigkeit war nach Kap. 8.1 Gl. (2) v Ph 
  2

.
c 1
k
k1  k 2
Die Einhüllende (auch Hüllkurve genannt) der Wellengruppe ist der langwelligere Anteil
yHüllkurve  2  ymax  cos( t  k  x) .
Konstante Phase bedeutet nichts anderes als  t  k  x  const. (Argument der Winkelfunktion)
Orte konstanter Phase sind: x 
 t  const.
.
k
Für die Gruppengeschwindigkeit folgt dann vGr 
dx
 d 1  2
.
 x(t) 


dt
k dk k1  k 2
Stellt man Gl. (2) in Kap. 8.1. nach ω um,   vPh  k  c  k , und differenziert nach k, erhält man
v

dc
.
 v Ph  Ph  k oder auch vGr  vPh  
k
k
d
Wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit nicht von der Wellenlänge abhängt, also c  c() , dann
ist
dc
 0 ; vGr  vPh , und damit tritt keine Dispersion, kein Zerfließen des Wellenpaketes auf.
d
Wenn vGr  vPh ist, spricht man von normaler Dispersion, ist hingegen vGr  vPh , von anomaler.
8.3 Prinzipien der Wellenausbreitung
Im Folgenden werden einige allgemeine Prinzipien (Beschreibungsmöglichkeiten, Verhaltensweisen,
Eigenschaften) von Wellen behandelt. Sie gelten für alle Wellen (z. B. Licht, Schall, Funkwellen, …).
8.3.1 Streuung
Streuung ist die sehr vielfältige Wechselwirkung einer Welle mit einem Hindernis:
- Lichtwelle an einem Staubkorn in der Luft
- elastische Welle im Festkörper an einem Hohlraum („Lunker“)
- Wasserwelle an einem Wasserpfahl
- Röntgenbeugung, Neutronen- und Elektronenbeugung d  
- Rayleigh-Streuung
- Tyndall-, Mie-Streuung
elektromagnetische
- Ramanstreuung
Wellen
- Comptonstreuung
Je nach Art der Änderung der Frequenz und Phase der Welle bezeichnet man die Art der Streuung:
- elastisch, wenn
sekundär  primär


primär
- inelastisch, wenn sekundär
Die Frequenz der Streuwelle ist gegenüber der Primärwelle verändert. Es
ist eine Energieübertragung in beide Richtungen möglich.
- kohärente Streuung:
Die Streuwelle hat eine feste Phasenbeziehung zur Primärwelle.
- inkohärente Streuung:
Hindernis gibt aufgenommene Wellenenergie ab
Phasenbeziehung geht verloren
konstante
Beide Änderungen bzw. Nichtänderungen sind miteinander verknüpft. Es kann also z. B.
- kohärente elastische Streuung (Röntgenbeugung) oder
- kohärente inelastische Streuung (Compton-, Ramanstreuung) auftreten.
8.3.2 Das Huygens-Fresnel‘sche Prinzip
Man kann die Wellenausbreitung anschaulich gut mit dem Huygens‘schen Prinzip verstehen:
„Jeder Punkt, der von einer Welle getroffen wird, ist Ausgangspunkt einer (neuen) Kugelwelle (3D),
Kreiswelle (2D), Elementarwelle.“
Experiment:Wellenwanne mit Wasserwellen und Tupfer
Bildquelle: „http://www.physik.wissenstexte.de/beugung.htm“
Was geschieht, wenn Hindernisse auftreten?
Die einzelnen Elementarwellen überlagern sich zu einer neuen Wellenfront bzw. –ebene
Bildquelle(n): „https://www.google.de/search?q=dispersion+bilder&client=firefox-bab&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ved=0ahUKEwj0l4n33KDTAhVDAZoKHVfoBAEQ7A
kINA&biw=1600&bih=1089#tbm=isch&q=huygens+fresnel&imgrc=zaa8J9wxB8erdM:“
Dann kommt es zu Beugung, Reflexion, Brechung etc. Das Huygens‘sche Prinzip führt alle diese
Erscheinungen auf Streuung und Interferenz (Überlagerung) zurück. Dabei müssen die Phasenlagen
der sich überlagernden Teilwellen beachtet werden. Auf einem geeigneten Schirm lässt sich die
Intensitätsverteilung der gestreuten und neu überlagerten Welle beobachten.
8.3.3 Das Fermat’sche Prinzip
- Extremalprinzip:
(Pierre de Fermat 1601 – 1655)
Eine Welle läuft zwischen zwei Punkten immer so, dass sie dazu möglichst
wenig Zeit braucht.
Das führt z. B. bei der Brechung zu einer Richtungsänderung an der Grenzfläche. Die Welle läuft
nämlich in dem Medium, in dem sie die größere Phasengeschwindigkeit hat, den längeren Weg und
optimiert damit die Gesamtlaufzeit von A nach B.
t
b2  (l  x)2
l
l
a2  x2

 t1  t 2  1  2
vph1
vph 2
vph1 vph 2
FP: t  Min. 
dt !
0
dx
dt
1 1
2x
1 1 2(l  x)(1)
x
lx !

 

 


0
dx vph1 2 a 2  x 2 vph 2 2 b2  (l  x)2 vph1  l1 v ph 2  l2

x
vph1  l1
l1 

l  sin  l2  sin 
lx
bzw. 1

vph 2  l2
vph1  l1
vph 2  l2
sin  v ph1

sin  v ph 2
x
x
^ l2 
sin 
sin 
(6)
Snellius’sches Brechungsgesetz
Ganz analog erfolgt die Herleitung bzw. der Beweis des Reflexionsgesetzes:
Einfallswinkel = Reflexionswinkel (Ausfallswinkel),
allerdings verbleibt die Ausbreitung hier im selben Medium.
Die Winkel werden grundsätzlich zwischen den verlaufenden Strahlen und dem Lot gemessen.
8.4. Doppler-Effekt und Mach’scher Kegel
Christian Doppler (1803 – 1853); Ernst Mach (1838 – 1916)
Schallwellen brauchen ein Medium zur Ausbreitung; Licht hingegen nicht.
Experiment: Schallquelle im Vakuum
Bisher haben wir angenommen: Empfänger E, Quelle Q und Medium M sind in Ruhe. Wenn dies aber
nicht der Fall ist, beobachtet man Frequenzänderungen.
Der Doppler-Effekt beschreibt die Frequenzänderung bei der Wahrnehmung von Licht oder Schall
infolge der Relativbewegung zwischen Quelle und Beobachter.
Dies führt zu einer Deformation der Wellen.
Bildquelle(n):
oben:
https://www.bing.com/images/search?q=dopplereffekt&id=F1139F1B3C907A7F04427093F3730B2E
7BFEF9B3&FORM=IQFRBA
unten:
https://www.bing.com/images/search?q=dopplereffekt&view=detailv2&&id=BB7B18DAA92C58D6
781314D1952763650761F948&selectedIndex=42&ccid=IbE3dnvg&simid=608033891397536163&th
id=OIP.M21b137767be02964f172282e78e54132o0&ajaxhist=0
Es sollen jetzt verschiedene Fälle diskutiert werden, wobei zunächst angenommen wird, dass das
Medium ruht:
1.) Beobachter B ruht, Quelle Q bewegt sich mit vQ auf B zu; vQ < vSchall; Schallgeschwindigkeit
ist Phasengeschwindigkeit vPh:
Zwischen Q und B rücken wegen der Bewegung von Q die Wellenberge (Wellenfronten)
näher zusammen. Demzufolge ist die Wellenlänge λ < λ0. In der Zeit T (Periode) rückt die
Quelle Q um vQT näher an den Beobachter heran und verkürzt um diesen Betrag die
Wellenlänge    0  vQ  T   0 
vQ
f0
 0 
vQ   0
vPh
Der Beobachter B registriert jetzt die Frequenz f 
  0 (1 
vQ
vPh
)
v /
vPh
 Ph 0  f 0
 1  vQ / v Ph
(7).
(8).
Wenn sich die Quelle Q nun immer schneller bewegt und schließlich die
Schallgeschwindigkeit erreicht, wird die Wellenlänge 0. Alle Wellenberge türmen sich zur
sogenannten „Schallmauer“ auf.
Wird die Geschwindigkeit der Quelle größer als die Phasengeschwindigkeit, bildet sich eine
Kopfwelle aus, die Schallwellen sind auf den raumbereich hinter dem Mach’schen kegel
beschränkt.
Bildquelle: “https://de.wikipedia.org/wiki/Machscher_Kegel“
Öffnungswinkel des Mach’schen Kegels: sin  
vPh
 1/ M
vQ
(9)
M: Mach’sche Zahl oder auch Machzahl
Beispiel: Bei M =2 fliegt das Flugzeug mit der doppelten Schallgeschwindigkeit.
Der Überschallknall ist das Überstreichen des Ortes des Beobachters durch den Mach’schen
Kegel. Das Flugzeug schleppt einen „Knallkegel“ mit sich fort.
Bild- bzw. Videoquelle(n):
"https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%9Cberschallflug#/media/File:FA18_Hornet_breaking_sound_barrier_(7_July_1999)_-_filtered.jpg"
--->
Überschallflugzeug
"https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AF14A_Tomcat_supersonic_flyby%2C_1986.ogv" ---> Video
Foto
vom
2.) Die Quell Q ruht; der Beobachter B bewegt sich mit vB auf Q zu:
Die von Q ausgehenden Wellen sind Kugelwellen der Wellenlänge λ0.
Würde B ruhen, würde er die Originalfrequenz f 0 
0
spüren. Bewegt er sich aber auf die
v Ph
Quelle Q zu, erhöht sich die Frequenz (wie bei der Bewegung der Quelle Q). Trotzdem ist
diese Frequenzverschiebung aber von der oben diskutierten verschieden. Dazu stellen wir uns
vor, wir könnten die Welle „einfrieren“. B misst dann nur noch die Frequenz Δf, mit der er
über die Wellenberge streicht. Von Berg zu Berg braucht er die Zeit T‘= λ0/vB. Er misst also
die Frequenz f  1/ T '  v B /  0 
vB
 f0
vPh
(10).
Wird dann die Welle wieder „aufgetaut“, kommt die ursprüngliche Originalfrequenz noch
hinzu. Man hat also bei ruhender Quelle q und bewegtem Beobachter B die Frequenz
f  f 0  f  f 0 (1 
vB
)  f0
vPh
(11).
3.) Die Quelle Q bewegt sich mit vQ auf den Beobachter B und dieser sich mit vB auf die Quelle Q
zu:
Hier bedarf es keiner Herleitung weiter, beide vorigen Effekte kommen gemeinsam zum
Tragen:
vB
v Ph
f  f0
v
1 Q
v Ph
1
4.) Q, B, und M bewegen sich (relativ zueinander):
(12).
Die bisher diskutierten Geschwindigkeiten vQ und vB können sinnvoll nur relativ zum Medium
angegeben werden. Im Speziallfall vQ parallel zu vM und beide nach rechts gerichtet (während
vB in die entgegengesetzte Richtung, also nach links zeigt:
(v B  v M )
v Ph
f  f0
(vQ  v M )
1
v Ph
1
(13).
Falls eine der Geschwindigkeiten ihre Richtung ändert, ist in obiger Gleichung (13) das
jeweils zugehörige Vorzeichen zu ändern.
Bei schief zueinander liegenden Geschwindigkeiten hat man nur die Komponenten bezüglich
der QB-Richtung einzusetzen.
5.) Lichtwellen



Elektromagnetische Welle(n); Wegfall des Ausbreitungsmediums M
f  f0
f  f0
v
c  f Aufeinanderzubewegung mit Relativgeschwindigkeit v (14)
0
v
1
c
1
v
c  f Voneinanderwegbewegung
0
v
1
c
1
(15)
beobachtete Frequenz
Quelle Q
Beobachter B


f B  f Q (1 


f B  f Q (1 




fB 
fB 
B
c
B
c
)
)
fQ
1
Q
c
fQ
1
Q


f B  fQ
c
c  B
c  vQ


f B  fQ
c  B
c  vQ


f B  fQ
c  B
c  vQ


f B  fQ
c  B
c  vQ
c: Phasengeschwindigkeit (Schallgeschwindigkeit)
Tabelle nach „Hering, Martin, Stohrer: Physik für Ingenieure, 12. Auflage Lehrbuch, Springer
Verlag, ISBN 978-3-540-71855-0“, Seite 429, Tabelle 5.10

Bildquelle:
https://www.bing.com/images/search?q=rotverschiebung&view=detailv2&&id=C055
24BE58CD0CEE5B1D37772354C7E49B18631E&selectedIndex=52&ccid=kwu5cYj
C&simid=608018472529102298&thid=OIP.kwu5cYjCBqApEhg2LDls6wEsDh&aja
xhist=0
Quelle des Videos bzw. der Grafik: „http://www.scinexx.de/wissen-aktuell-bild-21070-2017-01-2332427.html“
8.5. Zusammenhang von Energie und Intensität einer Welle
Wir betrachten einen Schwingungszustand: Es gibt Teilchen mit maximaler potentieller Energie
E pot 
k
m
 x 0 2 , andere haben zum gleichen Zeitpunkt maximale kinetische Energie E kin   x 0 2 .
2
2
k ist die Federkonstante; m die Masse des Teilchens; x0 ist die Amplitude (maximale Elongation). Die
Teilchen schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung und bleiben alle an ihrem Ort. Die Energie
wird in Ausbreitungsrichtung ohne Stofftransport weitergeleitet. Die pro Zeiteinheit Δt transportierte
Energie ΔE ist die Leistung P:
P
E E V
x


  A 
  A  c ,
t V t
t
ω ist die Energiedichte (Energie E pro Volumen V); c die Ausbreitungsgeschwindigkeit des
Schwingungszustandes (Phasengeschwindigkeit); A die durchströmte Querschnittsfläche.
Die Intensität I ist die Energie E pro Fläche A und Zeit t:
E
  c  I .
A  t
Anmerkung / Hinweis: In vielen Lehrbüchern steht für ω j und für c v.
Umgeformt  
E 1 m 2
1
 
   x 0 2   2  x 0 2 ergibt für die Intensität
V 2 V
2
1
1
I   2  x 0 2  c   2  x 0 2  Z mit Z   c als Wellenwiderstand
2
2
Merke: Die Intensität I ist immer proportional zum Amplitudenquadrat x02
9. Trägheitskräfte in beschleunigten Bezugssystemen
 : bewegt sich bezüglich 
 : Inertialsystem
Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in welchem die Newton’schen Axiome gelten.
r  r0  r  r  r  r0
r  r0  r  r  r  r0
r  r0  r  r  r  r0
Welche Kraft wirkt auf die Masse m im Punkt P im mitbewegten Bezugssystem?
mr 

F
mr0
d’Alembert‘sche Trägheitskraft
eingeprägte Kraft
3
r  r0  r  r0  xex  ye y  zez  r0   aiei
i 1
3
3
i 1
i 1
r  r0   aiei   aiei
Im System  gilt für den rotierenden Beobachter:
3
r  xex  ye y  zez   aiei  v
i 1
In diesem Bezugssystem werden die Basiseinheitsvektoren nicht geändert.
Aus der Sicht des ruhenden Beobachters in  :
3
r  r0  r   aiei
i 1
Der dritte Summand auf der rechten Seite der letzten Gleichung ist die Bahngeschwindigkeit v des
Punktes P, gemessen in  , wenn P mit  starr rotiert.
3
 ae
i 1
 r  r0  r  wxr
Führungsgeschwindigkeit(en)
i i
 vRot  wxr (von  )
r0 ist die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Bezugssystemen ( r0  v0 ). Die zeitliche
Differenz des Vektors r führt also auf die Operation

 wx .
t
Wir wenden diesen Operator erneut auf r an:
r  r0  r  wxr  wxr  wxr  wx  wxr


FC



mr   mr  mr0  2m wxr   m wxr  mwxX  wxr  
F   Fe  Ft 
Experimente:
FEuler 
Fz
 V2/5000
mitbewegtes Bezugssystem
 V2/5100
Trägheitskräfte - Masse an Federwaage
 V2/5101
Ruhendes-beschleunigtes Bezugssystem - Wagen auf Wagen
 V2/5102
Wagen mit Klotz in der Horizontalen
 V2/5103
Wagen mit Klotz auf geneigte Ebene
 V2/5104
Trägheitskräfte - 2 Massestücke - Seidenpapier
 V2/5106
Fahrstuhl-Funkkamera
 V2/5201
Verschiedene Beispiele zur Zentrifugalkraft
 V2/5202
Schleifenbahn
 V2/5203
Rotationsstarre - "Kreissäge" aus Papier
 V2/5206
Zentrifugalkraft - Bierflasche
 V2/5301
Corioliskräfte - Spielzeugpistole auf Drehtisch
 V2/5302
Corioliskräfte - berußte Kugel auf Drehscheibe
 V2/5303
Foucault-Pendel
 V2/5304
Corioliskräfte - Modell Hoch-/Tiefdruckwirbel
 V2/5309
Corioliskräfte - Kugel von Rand nach Rand
2D:  dr    dr    wxr  dt
In der Zeit dt dreht sich das rotierende System einfach um d   w dt weiter.
v  v  wxr
Alle Vorlesungsversuche sind sowohl aus der Sicht des
-
ruhenden als auch des
-
mitbewegten
Beobachters zu erklären.
Mechanik deformierbarer Körper
10.
Festkörper unter äußeren Spannungen
10.1.
Mechanische Spannung
Als Spannung bezeichnet man allgemein den Quotienten aus wirksamer äußerer Kraft F und Fläche A,
auf die sie einwirkt.
Spannung 
Kraft
F
 p
Fläche
A
(1)
Je nach Kraftrichtung liegt eine Zug- oder Druckspannung vor.
 p 
N
 Pa
m2
Eine äußere Kraft greift an einer Körperoberfläche i. A. unter einem gewissen Winkel an. Sie lässt sich
stets in eine Tangential- und eine Normalkomponente zerlegen.
Normalspannung=
Normalkraft
F
  N
Angriffsfläche
A
Tangentialspannung=
(2 a)
Tangentialkraft
F
  t
Angriffsfläche
A
(2 b)
Scherspannung
Schubspannung
(1.) Normalspannung
Dehnung  
im elastischen Bereich:
 E     
 ~
 Kraft   N
 Fläche m2
l
l
 relative Längenänderung
HOOK:   E  
 Pa
E-Modul, materialspezifisch
- Hook‘sches Gesetz gilt nur innerhalb enger Grenzen, nur für kleine Dehnungen.
Faustregel für   1%
(3)
elastischer Bereich: reversible Verformung
Betrachtungsweisen:
- bestimmte aufgeprägte Spannung führt zu einer Verformung
- bestimmte aufgeprägte Verformung ruft eine innere Spannung
hervor.
Im reversiblen, elastischen Bereich ergibt sich die im Körper gespeicherte Spannungsenergie aus
der verrichteten Verformungsarbeit.
l l
W

l
l

l
dl
dl
1
FN dl    A dl    Al    V
 V   d   VE   d    VE  2
l
l
l
2
0
0
Diese Energie ist im gesamten Volumen V des Körpers gespeichert.
Dichte der elastischen Energie:
 elast . 
W 1
1 2 1
 E 2 
  
V 2
2E
2
(4)
2
Im Körper entsteht ein Spannungsfeld. In diesem ist pro V-Einheit die Energie
gespeichert.
2E
Auf die Normalspannung reagiert der Körper nicht nur mit einer Dehnung
einer Querkontraktion.

, sondern auch mit
!
Querkontraktion:
d  d  d
im elastischen Bereich:
d ~ 
Denis Poisson (1781 – 1840):
d
l

 
d
l
 : Poissonsche Querkontraktionszahl (≈ 30 %)
Konvention:
  0,
  0 → Zug
  0,
  0 → Druck
( V  const. )
(5)
(2.) Tangentialspannung und allseitiger Zug oder Druck
angelegte Tangentialspannung → Scherung  
Ft
A
  tan  
W   Ft dx    Aa
1
2
x

  G 
(6)
G : Schubmodul
G   Pa
dx
 Aa   d  VG   d
a
1
2
 elast .  G 2  
(7)
Auf einen allseitigen Druck / Zug reagiert ein fester Körper mit einer Verringerung / Vergrößerung
seines Volumens:
V
  p
V
K : Kompressionsmodul
allgemein:
bzw.
p  K
1
  : Kompressibilität
K
V
V
  
(8)
1
1

 p  Pa
   ( p)
 ( p)  
1 dV

V dp
(9)
p0
Vorzeichenkonvention:
„Druck nach innen“:
(anders als bei  )
Bemerkung:
Die vier elastischen Konstanten E , G, , K sind nicht alle
voneinander unabhänging. Für einen homogenen, isotropen Körper
lässt sich das elastische Verhalten mit zwei dieser Materialgrößen
beschreiben.
Es gelten die Relationen:
E  3K (1  2  )
0    0,5
allgemeiner Fall:
(10)
E  2G (1   )
2G  E  3G
inhomogener, nicht isotroper Körper:
 ,   Spannungstensor
 ,   Verzerrungstensor
E , G,  , K  Elastizitätstensor
2 Anwendungsbeispiele:
1. Torsion eines zylindrischen Stabes (Scherung)
eingespannt am linken Ende
Scherung um 
Verdrillung um 
M
Zerlegung des Stabes in einen
konzentrischen
Hohlzylinder der Dicke
dr
Scherungswinkel auf Mantelfläche am
größten, umso kleiner, je näher man an
Zylinderachse herankommt
m auf Mantelfläche wird um
SM  R    l M verschoben
m weiter innen liegend:
S  r    l *
dünner Hohlzylinder
Verdrillung liefert Rückstellmoment:
dM R  r  dF
durch Scherspannung aufgebracht

dF
 G
dA
dA  2 r  dr
|*
dF   dA  G dA 
dM R  rdF  2 G 
Gr
 2 rdr
l

l
 r 3dr
Integration über alle Teil- und Hohlzylinder
R
M R   dM R  r   2 G 
0

l
R
  r 3  dr 
0

2
G 
R4
   D  
l
1
 R4
D  G 
2
l


D  Richtmoment
Richtmoment eines Torsionsdrahtes berechenbar aus der Geometrie R, l und dem
Materialparameter Schub- bzw. Torsionsmodul G
Umgekehrt kann man aus der Schwingungsdauer eines Torsionspendels G bestimmen:
w
2

T
D
J
D
G
Messgrößen: T , R, l
2. Biegung eines Balkens
einseitig eingespannter Balken
einseitig mit F belastet
Verzerrung
P( x, y ) : beliebiger Punkt
Stauchungs- ↔ Dehnungsproblem
n : neutrale Faser
→ keine Längenänderung
oberhalb:
unterhalb:
Dehnung
Stauchung
y-Achse  n
Ursprung auf n
R: Krümmungsradius
Strahlensatz:
s R  y

s
R
s  s
s  s

s s  s y


s
s
R
Die diese Dehnung verursachende Spannung ist:   E  
 ( y)  E 
y
R
oberhalb n : Zugspannung ( y  0)   0
unterhalb n : Druckspannung ( y  0)   0
Jede Teilkraft dF trägt mit Drehmoment dM  ydF  y ( y )dA zur Biegung bei.
M   dM   y  dF   y ( y )dA 
E
R
y
2
 dA
Flächenträgheitsmoment
Biegemoment:
M  E
 J A   m4
1
 JA
R
J A berücksichtigt die Form des Balkens
Beispiele:

h
2
J A   y 2  dA  b  y 2  dy 

h
2
1
 b  h3
12
Doppel-T-Träger:
JA 
runde Stange:
JA 
vereinfachte Annahme:

4
 R4
1
 ( DA3  dh 3 )
12
selbst
Rohr
JA 

4
  R4  r 4 
Krümmungsradius des Balkens ist an
Stelle gleich groß
Realität:
der Einspannung am größten
l  R 
jeder
Krümmung in der Nähe
amax  l 


JA
R
1
M

R E  JA
M  E
2
2  amax
l
l2
F
l3
amax 

E  JA 2
1
R



F l
E  JA
Die tatsächliche maximale Auslenkung ergibt sich unter Berücksichtigung der längs des Balkens
unterschiedlichen Krümmung zu
amax 
Fazit:
F
l3

E  JA 3
äußeres Drehmoment biegt Balken
andererseits wird durch eine Biegung, die von außen aufgeprägt wird, ein
inneres entgegengerichtetes Drehmoment induziert.
Inelastisches Verhalten:   
  p :
Keine Linearität mehr, aber noch keine bleibende Verformung (ggf. dauert
es eine Weile bis alles zurückgeht)
  E :
bleibende Verformungen; gehen bei Entlastung nicht völlig zurück
bei fast allen festen Stoffen wird elastische Nachwirkung = Hysterese beobachtet
0A: zuerst elastisch, dann in ~
B: Restverformung trotz Rücknahme der äußeren
Spannung
D: ähnlicher Verlauf bei Stauchung
C: Gegenspannung erforderlich, um   0 zu
erreichen
Fläche innerhalb der Hysteresekurve repräsentiert die bei einem Umlauf durch die Verformung
verbrauchte, in Wärme umgewandelte Energie.
F A
dW  F  dx
dW    A  l  d 
 V    d

 l 
dx  d   l   ld     l  d 
 l 
A l  V
Bei Verformungen spielen auch Zeiteffekte eine Rolle

10.2.
in polykristallinen und amorphen Körpern hängt Verformung auch von
Einwirkungsdauer der wirkenden Spannung ab
kurze, schnelle Einwirkung
elastisches bzw. sprödes Verhalten
lange Einwirkung
plastisches Verhalten
Scherung
Erinnerung:
Dehnung
F  Fläche
F || Fläche , in der Fläche
Jetzt:
ansonsten völlig analog zu Gl. (1) aus Kap. 10.1
l 
1 lF

G A
(11)
F
: Scherspannung 
A
1
: materialspezifische, proportionale Konstante
G
G : Schermodul, Schubmodul
 : Scherwinkel
Experimente:
Buch
l 1
 
l
G
l
 tan   sin    , wenn  klein
l

1
  G    
G
(12)
Auch zwischen G und E besteht eine Beziehung analog zu Gl. (6), Kap. 10.1.
G
Erfahrung
Kommentar:
→
E
2  1   
nur 2 unabhängige Größen in E , ,  , G
Es hängt alles zusammen (Gl. (10.6), (10.9), Kap. 10.1 sind ja auch
plausibel)
In Wirklichkeit:
 , G  Spannungstensor
 ,   Verzerrungstensor
 , E ,  , G  Elastizitätstensor
Wir betrachten folgende Spezialfälle:
(13)
Wichtige Anwendung der Scherung: Drillung (vgl. Kap. 10.1.)
 : Torsionswinkel
 : Scherung eines bestimmten Volumenelementes
des Materials (hängt von r ab)
(Experiment: Gummizylinder)
für kleine  gilt:
  r

L
(14)
Verformung nimmt nach außen zu
Wir betrachten einen dünnen Hohlzylinder:
Verdrillung liefert Rückstellmoment
dM  r  dF
(15)
Die Kraft dF  dF wird von der Scherspannung 
aufgebracht:

dF
 G 
dA
(16)
Mit dA  2  r  dr sowie Gl. (14) folgt für dF
dF  G  r 

L
 2  r  dr

dM ( r )  r  dF 
(15)
R
M
dA
2  G   3
 r dr
L
  dM ( r ) 
0
(17)

2
G 
R4

L
D
D  f ( R, L)
R : Radius Vollzylinder
M  D   (Geometrieabhängigkeit)
(18)
(19)
10.3.
Der gebogene Balken
Experiment: Schwamm
Experiment: Biegepfeil
Krümmungsradius R ändert sich
längs des Balkens
Wir betrachten ein kurzes Stück, für das R  const.
Annahme:
neutrale Faser liegt in der Mitte, dort sei z  0
Ähnlichkeit:
l( z) z  R

l0
R
l ( z )  l0 
l ( z )  l ( z )  l0  l0 
zR
R
z
R
(20)
in einer Faser im Abstand z von der neutralen Faser baut sich also eine Spannung auf
 ( z)  E    E 
(20)
 ( z)  E 
l ( z )
l0
z
R
(21)
Oberhalb der neutralen Faser herrscht Zugspannung, unterhalb Druckspannung.
Blick auf einen Balkenquerschnitt:
dA  dz  dy
erfährt eine Kraft dF
dF   ( z )  dA
dF  E 
z
 dz  dy
R
(22)
Experiment: Spannungsoptik
Diese Kraft dF bewirkt ein Drehmoment
dM  z  dF 
E 2
 z  dz  dy
R
(23)
Das gesamte in der Querschnittsfläche wirkende Drehmoment:
M
E
  z 2  dz  dy
R A
Flächenträgheitsmoment I
M
E
I
R
R
bzw.
(24)
E
I
M
Kommentar:




Das Drehmoment biegt den Balken bzw. ist die Reaktion auf eine
aufgeprägte Biegung
I ist formal analog zum Trägheitsmoment bei der Rotation
Es beschreibt die Balkensteifigkeit (Diskussion: Doppel-T-Träger I )
(21) zeigt: großes M und / oder kleines I / kleines E
kleines R ≙ große Biegung
Das Gegengewicht des durchgebogenen Balkens ist gekennzeichnet durch
wenn nicht Fges  0  M ges  0
o Kräftegegengewicht
o Drehmomentgegengewicht
10.4.
Translation der Rotation
Inelastisches Verhalten
Spannungs-Dehnungs-Diagramm
 P : Proportionalitätsgrenze (Hook)
 E : Elastizitätsgrenze
 F : Festigkeitsgrenze
Kommentar:


für  P     E keine
Linearität mehr, aber noch keine bleibende
Verformungen (ggf. dauert es eine Weile,
bis alles zurückgeht)
für    E bleibende
Verformungen, die bei Entlastung nicht
mehr vollständig zurückgehen (sog.
Elastische Nachwirkung / Hysterese)
0A :ist schon nicht linear
B : Restverformung trotz   0
C : notwendige Gegenspannung, um   0
wieder zu erreichen
Fläche innerhalb der Kurve repräsentiert die bei einem Umlauf durch die Verformung verbrauchte (in
Wärme umgewandelte) Energie
(Experiment: Superknete)
Zeiteffekte:


„Richtige Festkörper“ sind Einkristalle. Sie haben definierte Grenzen für die
Verformung und den
Zeiteinfluss.
(Experiment:
Tennisbälle)
Viele Festkörper sind ungeordnet (amorph). Bei ihnen hängt die Verformung
auch von der Zeitdauer der Spannung ab:
Kurze Einwirkung: elastisches bzw. sprödes Verhalten
Lange Einwirkung:
plastisch
Übungsblatt für die 1. Übung
Empfohlene Literatur zum Seminar:
1.) Hering, Martin, Stohrer: Physik für Ingenieure, 10. Auflage Lehrbuch, Springer Verlag, ISBN
978-3-540-71855-0, Kapitel 1, Einführung, S. 3-18 (bis Kap 1.3.2)
2.) Schenk, Kremer: Physikalisches Praktikum, 14. Auflage, Springer Verlag, ISBN 978-3-6580065-5 bzw. 978-3-658-00666-2 als e-Book, Kapitel 1 bis 2.2 der Einführung, S. 1-9
1. Stellen Sie sich kurz vor Ihrer Seminargruppe vor und erläutern Sie an einem konkreten
Beispiel, wofür Sie das Fach Physik für Ihren zukünftigen Beruf gebrauchen könn(t)en.
2. Welche physikalischen Grundgrößen gehören zum SI-System? Wie werden die Maßeinheiten
dieser Grundgrößen definiert? Welche anderen Einheitensysteme gibt es?
3. Nehmen Sie sich zwei beliebige Formeln aus dem Schultafelwerk und führen Sie eine
Dimensionsanalyse durch.
4. Wie bestimmt man grafisch und rechnerisch bei einer linearen Funktion den Anstieg der
Geraden sowie die Achsenschnittpunkte?
5. Stellen Sie eine Potenzfunktion doppelt logarithmisch dar. Zeigen Sie am Beispiel einer
Parabel, wie man den Koeffizienten sowie den Exponenten bestimmt.
6. Stellen Sie eine Exponentialfunktion halblogarithmisch dar. Welche Achse muss dabei
logarithmisch geteilt sein? Welche Bedeutung haben Anstieg und Achsenschnittpunkte bei
dieser linearisierten Darstellung?
7. Führen Sie Aufgabe 6 jetzt mit einer Logarithmusfunktion aus.
8. Was versteht man unter einem physikalischen Modell? Nennen Sie mindestens ein Beispiel.
9. Welche Rolle spielt in der Physik eine Messung? Welche Fehler kann man bei einem
Experiment machen?
10. Wiederholen Sie das Rechnen mit Zehnerpotenzen und Einheiten!
Rechenaufgaben:
1.) Lösen Sie folgendes Problem grafisch:
Zwei Teilchen bewegen sich zwischen zwei reflektierenden Wänden A und B im Abstand von 6 m. In
der Mitte zwischen den Wänden befindet sich eine aus vier gleichgroßen Kreissektoren bestehende,
rotierende Sektorscheibe, von denen zwei gegenüberliegende für die Teilchen undurchlässig sind.
Beim Auftreffen auf einen undurchlässigen Sektor wird das punktförmige Teilchen vollkommen
elastisch reflektiert, ohne den Betrag seiner Geschwindigkeit zu ändern. Die beiden Teilchen verlassen
die Wand A gleichzeitig in dem Moment, in dem einer der undurchlässigen Sektoren in den Weg tritt
und bewegen sich mit jeweils konstanten Geschwindigkeiten von 3 m/s bzw. 2 m/s.
a) Wann und wo begegnen sich die Teilchen erstmals wieder, wenn die Umlaufzeit der Scheibe
T = (8/3) s beträgt?
b) Wann befinden sich die Teilchen erstmals wieder gleichzeitig bei A, wenn die Umlaufzeit T
verdoppelt wird. Wie oft begegnen sie sich zwischen-durch?
Stellen Sie einen grafischen Fahrplan auf!
2.) Zwei Kerzen der Höhe h stehen zwischen zwei parallelen Wänden mit dem Abstand 3a. Der
Abstand einer jeden Kerze zur nächsten Wand ist a. Mit welcher Geschwindigkeit bewegen
sich die Schatten der Kerzen auf den Wänden, wenn die eine Kerze in der Zeit t1, die andere in
der Zeit t2 heruntergebrannt ist?
Anleitung: Bestimmen Sie die Höhe der Kerzen als Funktion der Zeit t. Stellen Sie die Gleichung
derjenigen Geraden auf, die die Endpunkte der Kerzen verbindet. Bestimmen Sie anschließend die
Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes auf dieser Geraden.
3.) Von einer Flugmeldestation im Koordinatenursprung wird ein Flugzeug am Ort r1 = (2,2,1)
km ausgemacht. Nach t = 40 s befindet es sich am Ort r2 = (0,0,2) km.
a) Man berechne den Winkel zwischen den beiden Ortsvektoren r1 und r2.
b) Wie lautet die Gleichung der Flugbahn in Parameterform?
c) Welchen Punkt würde das Flugzeug nach einer weiteren Minute erreichen, wenn es vom
zweiten Ort aus mit gleichbleibender Richtung und Geschwindigkeit weiterfliegt?
Übungsblatt für die 2. Übung
Kontrollfragen:
1.) Was versteht man unter Kinematik?
2.) Nennen Sie Grundgrößen und abgeleitete Größen für die Kinematik?
3.) Warum ist der Drehwinkel kein (axialer) Vektor?
Rechenaufgaben:
Translation
4.) Wie groß ist die Beschleunigung eines aus der Ruhelage zum Zeitpunkt t=0 startenden
Körpers, der in der 6. Sekunde einen Weg von 6 Meter zurücklegt?
5.) Die Bremse soll einen PKW, der die Geschwindigkeit v = 30 km/h hat, innerhalb eines Weges
von 10 Metern zum Stehen bringen. Berechnen Sie
a) die dazu erforderliche Zeit und
b) die Bremsbeschleunigung!
6.) Die Geschwindigkeit eines in einem Gefäß mit einer zähen Flüssigkeit fallenden Körpers
hängt in folgender Weise von der Zeit t ab:
v(t)=v0(1-e-qt) mit v0=4 cm/s und q=0,4/s
a) Wie groß ist die Geschwindigkeit zu den Zeitpunkten t = 0 s, t = 10 s und für t gegen
Unendlich?
b) Man bestimme allgemein die zeitlichen Abhängigkeiten s(t) und a(t)! Man beachte dabei,
dass zum Zeitpunkt t = 0 s bereits ein Weg s0= v0/q zurückgelegt ist.
c) Stellen Sie a(t), v(t) und s(t) grafisch dar; diskutieren Sie die zeitlichen Verläufe
hinsichtlich der vorliegenden Bewegungsarten!
Drehbewegung – Rotation
7.) Eine Achse mit zwei kreisförmigen Papierscheiben, die voneinander den Abstand l = 0,5 m
haben, dreht sich mit einer Drehzahl von 1600/min. Eine Gewehrkugel, die parallel zur
Drehachse fliegt, durchschießt beide Scheiben, wobei das Einschussloch der Kugel auf der
zweiten Scheibe gegenüber dem auf der ersten Scheibe um den Winkel 𝞅=12° verschoben ist.
Berechnen Sie die als konstant angenommene Geschwindigkeit der Gewehrkugel! Welche
Modellannahme ist hierzu nötig?
8.) * Eine Schnecke kriecht mit der konstanten Geschwindigkeit v auf einem kugelförmigen
Luftballon entlang eines gedachten Meridians vom Nordpol zum Südpol. Durch Aufblasen
wächst der Radius des Ballons mit konstanter Geschwindigkeit u. Kann die Schnecke den
Südpol erreichen, wenn ja, nach welcher Zeit? Begründen Sie Ihre Antwort!
*: erhöhter Schwierigkeitsgrad
Übungsblatt für die 3. Übung
Kontrollfragen:
1.) Welcher Zusammenhang besteht zwischen Bahn- und Winkelgeschwindigkeit bei der
Kreisbewegung einer Punktmasse und wie erhält man daraus die Bahnbeschleunigung?
2.) Was sind axiale und polare Vektoren?
3.) Wie lautet das Superpositionsprinzip bei der Überlagerung von Bewegungen?
4.) Wie lautet allgemein die Gleichung der Bahnkurve beim schrägen Wurf?
5.) Was besagt der Zerlegungssatz für die Auflösung mehrfacher Vektorprodukte?
6.) Wie differenziert man den zeitabhängigen Ortsvektor bei der Kreisbewegung?
Rechenaufgaben:
9.) Ein Fluss der Breite b habe in der Mitte die Strömungsgeschwindigkeit v, die nach den Ufern hin
parabelförmig auf null abfällt. Ein Motorboot fährt mit konstanter Geschwindigkeit u relativ zum
Fluss senkrecht zur Strömung von einem Ufer zum anderen. Wie weit wird es flussabwärts
getrieben?
10.) Ein Postsack wird aus einem Flugzeug abgeworfen, welches mit der Geschwindigkeit v in einer
Höhe h über der Erdoberfläche fliegt. Wie lautet die Gleichung der Bahnkurve des Postsackes
und mit welcher Geschwindigkeit schlägt er auf den Boden auf? Der Luftwiderstand muss hierbei
unberücksichtigt bleiben.
11.) Die Rauchfahne eines 90 m langen Zuges, der mit der konstanten Geschwindigkeit v = 70 km/h
fährt, wird durch Querwind seitlich abgetrieben. Dadurch beobachtet man die Rauchfahne 30 m
seitwärts vom Zugende. Wie groß ist die Windgeschwindigkeit?
12.) Ein von einer Turmspitze herabfallender Körper ist schon eine Strecke l gefallen, als ein zweiter
Körper von einem Punkt zu fallen beginnt, der sich im Abstand h unterhalb der Turmspitze
befindet. Beide Körper erreichen gleichzeitig den Erdboden. Wie hoch ist der Turm?
13.) Ein Ball wird unter einem Winkel 𝞪 = 45° gegen die Horizontale in der Höhe y0 = 0 m
abgeschossen und erreicht in einer Entfernung von x = 36 m vom Abschussort wieder die
Abschusshöhe. Die Reibung soll vernachlässigt werden. Berechnen Sie
a)
die Abschussgeschwindigkeit
b)
die Maximalhöhe der Bahn und
c)
die Geschwindigkeit in der Maximalhöhe!
14.) Für eine Strecke von 120 km, die er zum Teil mit v1 = 40 km/h, zum Teil mit v2 = 60 km/h
durchfährt, benötigt ein Wagen 2 Stunden und 40 Minuten. In dieser Zeit ist auch noch eine Pause
von 15 min enthalten. Wie groß sind die beiden Teilstrecken?
15.) Zwei Orte A und B sind durch eine gerade Straße von 20 km Länge verbunden. Im Punkt A
startet ein Radfahrer I mit einer Geschwindigkeit vI = 20 km/h in Richtung B. Gleichzeitig startet
im Punkt B ein anderer Radfahrer II und fährt mit einer Geschwindigkeit vII = 15 km/h nach A.
Beim Start des Fahrers I fliegt von diesem ein Vogel mit vV = 10 m/s in Richtung des Fahrers II
und kehrt – sobald er diesen erreicht hat – wieder um zu Fahrer I. Danach fliegt er gleich wieder
zu II usw. usf.
a) Wann erreicht Fahrer I den Ort B, und wann erreicht Fahrer II den Ort A?
b) Wann begegnen sich die beiden Fahrer, und wo liegt dieser Treffpunkt?
c) Welche Strecke legt der Vogel insgesamt bis zur Begegnung der Fahrer zurück? Lösen Sie
diese Teilaufgabe auch grafisch mit einem Weg-Zeit-Diagramm!
Übungsblatt für die 4. Übung
Kontrollfragen:
7.) Welche Differentialgleichungen ergibt die Newton’sche Bewegungsgleichung für
a)
einen Federschwinger und für
b) einen Fallschirmspringer?
8.) Wie erhält man aus der Bewegungsgleichung die Ort(Zeit) - Funktion? Welche Rolle spielen
dabei Anfangsbedingungen?
9.) Wie klassifiziert man Differentialgleichungen?
10.) Wie unterscheidet man stabile, instabile und indifferente Gleichgewichte?
11.) Wie ist der Schwerpunkt oder Massenmittelpunkt definiert?
12.) Wie ist das Drehmoment definiert?
13.) Was besagt das Hebelgesetz? Begründen Sie es mit der Bewegungsgleichung für die
Drehbewegung!
14.) Welche Arten von Reibung gibt es?
Rechenaufgaben:
16.) Ein Sportler der Masse m = 70 kg springt von einem ruhenden Boot der Masse M = 140 kg ab.
Dabei lässt er über 0,5 s eine zeitabhängige Kraft F(t) = a +bt mit a = 300 N und b = 400 N/s
wirken. Wie groß sind nach dem Absprung Impuls und Geschwindigkeit von Boot und
Springer? Luft- und Wasserwiderstand seien vernachlässigbar.
17.) Ein Körper mit der Masse m1 befindet sich reibungsfrei auf einer geneigten Ebene und ist
durch ein Seil über eine Rolle mit einem frei hängenden Körper der Masse m2 verbunden.
(Tipp: Skizze anfertigen!)
a) Bei welchem Winkel der geneigten Ebene befindet sich das System im Gleichgewicht? Es
ist die dazugehörige Seilkraft anzugeben!
b) Bei welchen Winkeln der geneigten Ebene erfährt das System eine Beschleunigung vom
Betrag . Wie groß sind dann die Seilkräfte? In welche Richtung beschleunigt und in
welcher Zeit nach dem Loslassen legt die Anordnung eine Strecke s zurück? ( = 1,8 m/s2
, m1 = 400 g, m2 = 200 g)
c) Wie ändert sich die Beschleunigung bei Berücksichtigung eines Gleitreibungskoeffizienten µ = 0,1?
18.) In einem U-Rohr überall gleichen Querschnittes A steht eine Quecksilbersäule der Länge l.
Wird das U-Rohr kurz aus der Gleichgewichtslage gebracht, beginnt die Quecksilbersäule zu
schwingen.
a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer T!
b) Errechnen Sie die Schwingungsdauer für eine gleichlange Wassersäule!
c) Wie lang ist ein mathematisches Pendel der gleichen Schwingungsdauer?
19.) Ein ideal biegsames, homogenes Seil der Masse M = 1 kg und der Länge L = 2 m hängt um
ein Stück l = 50 cm über eine Tischkante und beginnt reibungsfrei zu gleiten. Nach welcher
Zeit T verlässt das Seilende die Tischkante?
(erhöhter Schwierigkeitsgrad)
Übungsblatt für die 5. Übung
Kontrollfragen:
1.) Was ist eine konservative Kraft?
2.) Formulieren Sie den Energieerhaltungssatz der Mechanik sowie den Impulserhaltungssatz!
Was sind die Voraussetzungen für die Gültigkeit des jeweiligen Satzes?
3.) Hängt die kinetische Energie einer Masse m von der Wahl des Bezugssystems ab? Wie steht
es in dieser Hinsicht mit der potentiellen Energie?
Rechenaufgaben:
1.) Ein Körper der Masse m = 3 kg wird mit einer vertikal nach unten gerichteten
Anfangsgeschwindigkeit v0 = 2 m/s aus einer bestimmten Höhe herabgeworfen. Aufgrund des
geschwindigkeitsproportionalen Luftwiderstandes (FL = kL.v) erreicht er eine konstante
Endgeschwindigkeit vE = 50 m/s. Welche Arbeit verrichtet er dann in jeweils 10 s zur
Überwindung des Luftwiderstandes? Wie groß ist eigentlich die Proportionalitätskonstante kL?
2.) Ein Fahrrad wird auf einer schiefen Ebene so gebremst, dass es die konstante Geschwindigkeit
vF behält. Wie groß darf die Geschwindigkeit vF höchstens sein, wenn die Bremse maximal
350 W an die Umgebung abgeben kann? (sin 𝞪 = 0,12; G = 1000 N)
3.) Zwischen zwei stehenden Eisenbahnwagen explodiert eine Sprengladung. Die Massen der
Wagen seien m1 = 100 kg und m2 = 300 kg. Der erste Wagen rollt 18 m weit. Wie weit rollt
der zweite Wagen, wenn der Rollreibungskoeffizient für beide Wagen gleich groß ist?
4.) Eine masselose Schaukel der Länge L pendelt aus horizontaler Anfangslage nach unten.
Welche Kraft hat das Sitzbrett mit einer Person der Masse M im tiefsten Punkt auszuhalten?
5.) Ein aus 1 m Höhe gegen den Erdboden geschleuderter Ball springt 6 m hoch. Wie groß war
seine Anfangsgeschwindigkeit, wenn von Energieverlusten abgesehen wird?
6.) Ein Dachziegel mit einer Masse m = 20 g fällt von einem 15 m hohen Haus
a) reibungsfrei nach unten,
b) wird mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 2 m/s senkrecht nach unten geworfen.
Berechnen Sie die jeweiligen Aufschlaggeschwindigkeiten vA auf dem Erdboden
 zunächst kinematisch,
 danach mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes
und vergleichen Sie den Rechenaufwand!
Übungsblatt für die 6. Übung am 03.01. bzw. 09.01.
Kontrollfragen:
1.) Erläutern Sie anhand der Wirkungsweise eines Flaschenzuges die Goldene Regel der Mechanik.
2.) Wie hängen Kraft und Impuls zusammen; was ist ein Kraftstoß?
3.) Welche Erhaltungssätze der Mechanik gelten
a) für den vollkommen elastischen sowie
b) für den vollkommen unelastischen Stoß zweier Stoßpartner.
Was geschieht mit der Energie bei beiden Stoßarten? Ermitteln Sie in beiden Fällen die Geschwindigkeiten beider Stoßpartner nach dem Stoß.
Rechenaufgaben:
1.) Ballistisches Pendel:
In einem Vorlesungsversuch wird mit einem Luftgewehr auf eine Kiste geschossen. Die als
Auffangvorrichtung für die Gewehrkugel anzusehende Kiste ist 200 Gramm schwer und an einem
Faden von 1 m Länge aufgehängt. Die Gewehrkugel wurde vor dem Experiment gewogen und hat eine
Masse von 0,1 Gramm. Sie haben in der Vorlesung gesehen, dass die Kiste um ca. 4 cm in
waagerechter Richtung ausgelenkt wird, um anschließend zu schwingen. Wie groß war die
Geschwindigkeit der Gewehrkugel?
2.) Stellen Sie den Impuls- und Energieerhaltungssatz für das klassische Billardproblem auf. Welche
geometrische Beziehung finden Sie für die Geschwindigkeiten der beiden Stoßpartner nach dem Stoß?
(Erinnern Sie sich bitte auch an den Compton-Effekt im Komplex moderne Physik: Welche
Unterschiede zu dem dort behandelten Stoßproblem sehen Sie beim Billard?)
3.) Wir betrachten eine so genannte Kugelstoßreihe bestehend aus 5 gleich schweren Kugeln, die in
gleicher Höhe aufgehängt sind. Wenn man zwei Kugeln auslenkt und mit den anderen anschließend
stoßen lässt, zeigt sich reproduzierbar, dass auf der anderen Seite immer wieder auch genau zwei
Kugeln abgestoßen werden. Nach dem Impulserhaltungssatz wäre es denkbar, dass nur eine Kugel mit
doppelter Geschwindigkeit, aber auch vier Kugeln mit halber Geschwindigkeit abgestoßen werden.
Warum passiert das nicht? Zeigen Sie anhand des Energiesatzes bzw. einer Energiebilanz, dass diese
Fälle nicht eintreten können.
Bildquelle:
http://images.google.de/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikiped
ia%2Fcommons%2Fthumb%2Ff%2Ff9%2FKugelsto%25C3%259Fpendel2.png%2F200pxKugelsto%25C3%259Fpendel2.png&imgrefurl=https%3A%2F%2Fde.wikipedia.org%2Fwiki
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docid=mG06J96b002unM&ei=oBFIWL3SAse2swG7kqHgDw&tbm=isch&client=firefox-bab&iact=rc&uact=3&dur=275&page=1&start=45&ndsp=34&ved=0ahUKEwi9osH3muLQAh
VH2ywKHTtJCPwQMwhoKEYwRg&bih=1089&biw=1600
Übungsblatt für die 7. Übung
Literatur: E. Hering; R. Martin; M. Stohrer: Physik für Ingenieure, 10. Auflage, Springer
Verlag Heidelberg, S. 75 – 92/93; ISBN: 978-3-540-71855-0
Kontrollfragen:
Kapitel 5:
4.) Wie ist das Massenträgheitsmoment J definiert?
5.) Fertigen Sie in Anlehnung an die Tabelle auf S. 81 der o. g. Literatur eine eigene, möglichst
vollständige Tabelle an, die die Analogie zwischen Translation und Rotation widerspiegelt!
6.) Wie viele Freiheitsgrade f hat ein starrer Körper bei seiner Bewegung?
7.) Wie gelangt man von kartesischen Koordinaten zu Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten? Was ist
eine Funktionaldeterminante?
Kapitel 6:
8.) Wie lauten die Kepler‘schen Gesetze der Planetenbewegung?
9.) Wie werden die kosmischen Geschwindigkeiten berechnet?
Rechenaufgaben:
Kapitel 5:
4.) Einem Bus mit einer Gesamtmasse m1 = 5t soll durch eine rotierende massive Schwungscheibe
mit Energie versorgt werden (Gyrobus). So angetrieben, soll er in der Lage sein, auf horizontaler
Strecke 2 km weit zu fahren. Die Fahrwiderstandszahl (Rollreibungskoeffizient) beträgt 0,05.
Welche Masse m2 muss die zylindrische Scheibe von 1,2 m Durchmesser haben, wenn die
anfängliche Drehzahl mit n = 3000 / min angenommen wird?
5.) Berechnen Sie durch direkte Integration das Massenträgheitsmoment J einer Kugel! Vergleichen
Sie Ihr Ergebnis mit der Formel im Tafelwerk!
6.) Eine Punktmasse bewege sich an einem Faden auf einer ebenen
Kreisbahn. Zum Zeitpunkt t0 = 0s beginnend, wird der Faden mit
konstanter Geschwindigkeit v0 durch ein Rohr gezogen. Man
berechne den Zeitablauf φ(t) und die Bahnkurve r(φ) für die
Punktmasse!
V0
Kapitel 6:
7.) Ein Satellit mit einer Masse von 100 kg bewegt sich auf einer Kreisbahn um die Erde im Abstand
3.R vom Erdmittelpunkt (R: Erdradius = 6.371 km).
a) Wie groß sind seine Geschwindigkeit und seine Energie?
b) In welcher Höhe über der Erdoberfläche befindet sich ein geostationärer Satellit?
8.) Für eine Rakete, die im Schwerefeld der Erde startet, gilt die Bewegungsgleichung
. Die Masse m der Rakete ändert sich durch den Ausstoß der
verbrannten Treibstoffgase exponentiell mit der Zeit: m(t) = m0 exp(-t/T). Die Masse der Rakete
zur Zeit t = 0 ist m0 und vg = 3 km/s ist die Ausströmgeschwindigkeit des Gases aus dem
Triebwerk.
a) Bestimmen Sie Orts- und Geschwindigkeitsvektor als Funktion der Zeit, wenn die Rakete
horizontal bzw. senkrecht zur Erdoberfläche startet (g = const).
b) Welche Bedeutung hat der Parameter T in der Exponentialfunktion?
9.) Vergleichen Sie die Größen der Gravitationskraft und der Coulombkraft, die auf zwei Elektronen
im Abstand von 10 nm wirkt. In welchem Größenverhältnis stehen diese beiden Kräfte?
Übungsblatt für die 8. Übung
Kontrollfragen:
1.) Was kennzeichnet eine harmonische Schwingung? Erläutern Sie das lineare Kraftgesetz einer
Federkraft!
2.) Wie gelangt man von der Bewegungsgleichung eines schwingungsfähigen Systems zur
Schwingungsdifferentialgleichung?
3.) In welche Klassen kann man Differentialgleichungen einordnen?
4.) Welche ist bei einem Feder-Masse-System sowie beim mathematischen Pendel die jeweils
schwingende physikalische Größe?
5.) Wie unterscheidet sich ein mathematisches Pendel von einem physischen Pendel?
Rechenaufgaben:
1. Eine Schraubenfeder mit der Federkonstante k = 250 N/m wird durch einen daran angehängten
Körper um 36 mm gedehnt.
a) Welche Masse m hat dieser Körper?
Berechnen Sie für dieses schwingungsfähige System mit einer Amplitude von 20 mm
b)
c)
d)
e)
f)
die Eigenfrequenz,
die Schwingungsenergie und
die Maximalwerte von Geschwindigkeit und Beschleunigung des Körpers.
An welchen Stellen ist die Geschwindigkeit gleich null?
Zeichnen Sie den Bewegungsablauf unter Berücksichtigung der Reibung in ein Orts-ZeitDiagramm und beschriften Sie die Skizze möglichst vollständig!
2. Wenn der Fahrer mit seiner Masse von 75 kg in seinen PKW mit einer Masse von 1.000 kg
einsteigt, geben die Wagenfedern um 2 cm nach. Mit welcher Schwingungsdauer schwingt der
Wagen bei Straßenunebenheiten?
3. Ein Würfel der Masse 975 g und der Kantenlänge l = 5 cm ist an einer masselosen
Schraubenfeder mit der Federkonstante k = 40 N/m aufgehängt. Zwei der Seitenflächen des
Würfels gleiten mit einem Spiel von jeweils d = 1 mm zwischen zwei Wänden. Diese
Zwischenräume sind mit Schmieröl der Viskosität 0,9 kg/m.s bedeckt.
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für dieses System auf.
b) Berechnen Sie die Kreisfrequenz der ungedämpften und gedämpften freien Schwingung sowie
die Dämpfungskonstante.
Der gleiche Aufbau wird zur Erzeugung erzwungener Schwingungen benutzt. Dazu wird der
Aufhängungspunkt der Feder in harmonische Schwingungen versetzt.
c) Wie groß ist die Resonanzfrequenz des Systems?
d) Welche Amplitude darf die harmonische Bewegung des Aufhängungspunktes haben, damit
das System im eingeschwungenen Zustand nicht mehr als 20 cm aus der Ruhelage ausgelenkt
wird?
4. Die Amplitude eines Oszillators der Masse 10 kg ist nach 10 Schwingungen in 8 s auf die Hälfte
abgeklungen. Man berechne die Federkonstante k und die Dämpfungskonstante der als
geschwindigkeitsproportional angenommenen Reibungskraft!
5. Ein Vollzylinder aus Kupfer mit dem Radus von 1 cm und einer Länge von 2 cm rollt eine
geneigte Ebene hinab. Der Neigungswinkel beträgt 30°. Die Gesamtlänge der Rollstrecke betrage
10 m. Danach rollt der Zylinder reibungsfrei auf einer horizontalen Unterlage weiter. Berechnen
Sie die Fortbewegungsgeschwindigkeit des Schwerpunktes, die Winkelgeschwindigkeit der
Rotation sowie die Gesamtenergie des Systems. Wie groß wird die Schwingungsdauer einer
Drehschwingung sein, wenn man denselben Zylinder in seiner Symmetrieachse an einem
Torsionsfederdraht mit dem rücktreibenden Drehmoment (Richtmoment) D = 0,1 Nm befestigt?
Übungsblatt für die 9. Übung
Kontrollfragen:
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
Was unterscheidet eine Schwingung von einer Welle?
Welche Wellenarten kennen Sie; wie weist man diese nach?
Wie unterscheidet man Phasen- und Gruppengeschwindigkeit?
Was versteht man unter einer Dispersionsrelation?
Was besagen Fermat’sches Prinzip und Huygens-Fresnel‘sches Prinzip?
Rechenaufgaben:
1.) Eine Stimmgabel ist irgendwo mittig an einem sehr langen Draht befestigt, der mit einer Kraft
von 1 kN gespannt wurde. Sie schwingt senkrecht zum Draht und erregt so eine Transversalwelle
von 400 Hz mit der Amplitude von 0,5 mm an der Ankopplungsstelle. Der Draht besitzt die
Masse von 0,01 kg pro Meter. Reflexionen werden nicht beobachtet, weil die Drahtbefestigungen
sehr weit von der Stimmgabel entfernt sind.
a) Wie groß ist die Phasengeschwindigkeit der Welle?
b) Wie groß sind Schwingungsdauer und Frequenz der Welle auf dem Draht?
c) Wie groß sind Wellenlänge und Wellenzahl?
d) Geben Sie einen Ausdruck für die Transversalwelle an (Wellenfunktion)!
e) Berechnen Sie maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Drahtelementes!
2.) Ein Mikrofon befindet sich gleich weit von den beiden Lautsprechern einer Stereoanlage entfernt
und empfängt einen reinen Sinus-Ton. Der Abstand des Mikrophons von der Verbindungsgeraden
der Lautsprecher ist 2 m. Bei seitlicher Verschiebung des Mikrophons von der Symmetrieachse
wird das empfangene Tonsignal schwächer, bis bei 20 cm Verschiebung ein Minimum erreicht
wird. Die Lautsprecher sind 4 m voneinander entfernt. Wie hoch ist die Frequenz des Tones,
wenn eine Schallgeschwindigkeit von 336 m/s zugrunde liegt?
3.) Ebene Wasserwellen von 100 mm Wellenlänge treffen auf eine Wand mit zwei kleinen
Öffnungen in 300 mm Abstand voneinander. Bestimmen Sie Gleichungen für die Orte hinter der
Wand, an denen das Wasser in Ruhe bleibt bzw. die stärksten Erregungen zeigt.
Anleitung: Überlegen Sie sich, wie eine Hyperbel definiert ist und warum man die Öffnungen in
der Wand als Brennpunkte von Hyperbeln auffassen kann. Welche Beziehungen bestehen
zwischen dem einer bestimmten Hyperbel zugeordneten Gangunterschied s, dem Abstand d der
Öffnungen sowie den für die Hyperbelgleichung typischen Konstanten a, b und e? Setzen Sie in
die Hyperbelgleichung die Größen s und d ein!
4.) Eine Gruppe Soldaten auf einer Wiese erhält
den Auftrag, möglichst schnell eine Insel im
Sumpf zu erreichen. Die Marschgeschwindigkeit cw auf der Wiese ist deutlich größer als
die im Matsch des Sumpfes, cs. Welcher Weg
wird da der schnellste sein?
cs
cw
?
Übungsblatt für die 10. Übung
Kontrollfragen:
6.) Was versteht man unter einem Inertialsystem?
7.) Was besagt die Galilei-Transformation hinsichtlich relativ
zueinander bewegter Bezugssyteme?
8.) Wie unterscheiden sich Radial-, Zentripetal- und
Zentrifugalkraft?
9.) Welchen Einfluss hat die Corioliskraft auf das
Wettergeschehen?
10.) Was versteht man unter dem Doppler-Effekt?
Rechenaufgaben:
5.) Welche Trägheitskraft wirkt auf einen PKW-Fahrer der Masse 70 kg, wenn sein Fahrzeug
a) Mit a = 0,15 m/s2 beschleunigt wird,
b) Mit konstanter Geschwindigkeit von 30 km/h eine Kurve mit einem Radius r = 100 m befährt,
c) Durch einen Baum bei einer Geschwindigkeit von 50 km/h auf einer Wegstrecke von 0,5 m
(Deformation des Fahrzeuges) gleichmäßig verzögert zum Stillstand gebracht wird?
6.) Ein Körper wird bei 50° nördlicher Breite mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 100 m/s
senkrecht nach oben geworfen. Wo trifft er wieder auf die Erdoberfläche?
Man betrachte die Bahn in erster Näherung als lotrechten Wurf und berechne daraus die
Corioliskraft im erdfesten Koordinatensystem. Dann ermittle man die Ablenkung, welche die
Corioliskraft während des Wurfes insgesamt hervorruft. Luftwiderstand werde vernachlässigt!
7.) Schätzen Sie ab, unter welchen Bedingungen und um welchen Betrag der Weltrekord beim
Weitsprung bei entsprechender Anlage der Sprunggrube verfälscht werden könnte.
8.) In einem Rohr kann eine Kugel mit der Masse m gleiten. Der Haft- bzw. Gleitreibungskoeffizient
sei gegeben und damit bekannt. Das Rohr mit dem Radius R rotiere senkrecht zu seiner Achse auf
einer Kreisbahn mit dem Radius r.
a) Wie groß muss die Winkelgeschwindigkeit sein, damit die Kugel zu gleiten beginnt?
b) Wie groß ist die Reibungskraft, falls die Kugel gleitet?
9.) Ein Beobachter bewegt sich mit einer Geschwindigkeit u = -10 m/s auf eine Schallquelle zu, die
sich ihrerseits mit einer Geschwindigkeit w = 5 m/s auf den Beobachter zu bewegt. Beide
Geschwindigkeitsangaben beziehen sich auf das ruhende Medium Luft, in dem sich der Schall
unter vorgegebenen Bedingungen mit einer Geschwindigkeit cs = 340 m/s ausbreitet. Welche
Frequenz nimmt der Beobachter wahr, wenn die Schallquelle einen Ton von f = 500 Hz erzeugt?
Danke Wikipedia!