13 - Universität Innsbruck

Proseminar Mathematische Methoden der Physik II
Aufgabenblatt 13, 1. Feber 2016
Universität Innsbruck
Legendrefunktionen und tesserale1 Kugelfunktionen (Freiwillig wegen Terminentfalls)
1. Geben Sie die Legendrefunktion Plm : (−1, 1) → R mit
Plm (x)
1 − x2
=
2l · l!
m
2
d
dx
l+m
x2 − 1
l
und die kartesischen Kartenausdrücke der zugehörigen Kugelfunktionen
Clm = Plm (cos θ) · cos (mϕ) ,
Slm = Plm (cos θ) · sin (mϕ)
für alle Werte (l, m) ∈ N0 × N0 mit l ≤ 2 und m ≤ l an.
2. Für das elektrostatische Potential Φ : R3 0 → R eines Punktdipols mit Dipolmomentenvektor
p ∈ R3 gilt Φ (v) = c p, v / |v|3 für ein c ∈ R.
(a) Zeigen Sie, dass Konstanten A0 , A1 , B1 ∈ R existieren, sodass auf dem Kartenbereich U der
Kugelkoordinaten (r, θ, ϕ) gilt:
c
Φ = 2 A0 · P10 (cos θ) + P11 (cos θ) · (A1 · cos ϕ + B1 · sin ϕ) .
r
Hinweis: Es existiert eine dehnungsinvariante Funktion Y : R3 0 → R mit Φ (v) = |v|c 2 Y (v) .
Es gilt bekanntlich ∆Φ = 0. Welche partielle DG erfüllt daher Y ?
(b) Welche Werte haben die Zahlen A0 , A1 , B1 für p = e3 , für p = e2 und für p = e1 , wenn
(e1 , e2 , e3 ) die Standardbasis in R3 ist? Welche Werte haben die Zahlen A0 , A1 , B1 für einen
beliebigen Vektor p ∈ V ?
3. Sei Yl eine Linearkombination der Funktionen {Clm }lm=0 ∪ {Slm }lm=1 und u, v : R3
N
1
l
2
u= N
l=0 rl+1 Yl bzw v =
l=0 r Yl . Zeigen Sie, dass u, v harmonisch sind.
1 Tessera:
0 → R mit
lateinisch für ’das Mosaiksteinchen’; hier einige aus dem Bodenbelag der Basilika von Aquileia.
Gravitationspotential der Erde ist außerhalb des Erdkörpers eine Funktion vom Typ u. Diese wird in Form der
Entwicklungskoeffizienten αlm , β lm mit Yl = lm=0 αlm Clm + lm=1 β lm Slm speicherplatzsparend tabelliert.
2 Das
1
Lösung:
1. Es gilt:
P00 (x) = 1,
1 d
P10 (x) =
2 dx
P11
(x) =
P20 (x) =
P21
P22
x2 − 1 = x,
1 − x2
2
1
2
2 · 2!
(x) =
(x) =
1 − x2
22 · 2!
Plm
l=0
l=1
l=2
1
2
2
2
x2 − 1 =
2
x2 − 1
d
dx
3
d
dx
3
m=0
1
x
3x2 −1
2
2
d
dx
d
dx
1 − x2
22 · 2!
Zusammengefasst:
1
2
2
=
1 − x2 ,
2
3x2 − 1
d
x4 − 2x2 + 1 =
,
dx
2
√
1 − x2 d
3x2 − 1 = 3x 1 − x2 ,
=
2
dx
1
23
x2 − 1
2
x2 − 1
2
m=1
−
√
1 − x2
√
3x 1 − x2
=
1 − x2 d
·
(6x) = 3 1 − x2 .
2
dx
m=2
−
−
3 1 − x2
x2 + y 2 + z 2 :
Für die kartesischen Kartenausdrücke folgt daraus mit der Abkürzung r =
Clm
l=0
l=1
l=2
m=0
1
z
r
2z 2 −x2 −y 2
2r2
m=1
−
x
r
3zx
r2
m=2
−
−
3
2
2
r2 x − y
und
Slm
l=0
l=1
l=2
m=0
0
0
0
m=1
−
m=2
−
−
6
r2 xy
y
r
3zy
r2
Dabei wurde benützt: sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ und cos 2ϕ = cos2 ϕ − sin2 ϕ.
(a) Es gilt mit Y (v) = p, v / |v| auf R3
0
Φ=
c
Y.
r2
Für λ > 0 und v ∈ R3 0 folgt Y (λv) = Y (v) . Somit ist Y dehnungsinvariant. Daher folgt
aus ∆Φ = 0 wegen ∂r Y = 0, dass
2
1
0 = c ∂r2 + ∂r + 2 ∆S2
r
r
c
=
{2 + ∆S2 } Y.
r4
Y
=c
r2
6
2
+
4
r
r
−2
r3
+
1
∆S2
r4
Y
Die Funktion Y ist somit Eigenvektor von −∆S2 zum Eigenwert 2 = 1 (1 + 1) . Daher ist Y
eine Linearkombination der drei (tessersalen) Kugelfunktionen
P10 (cos θ) ,
P11 (cos θ) · cos ϕ,
P11 (cos θ) · sin ϕ,
die ja den Eigenraum von −∆S2 zum Eigenwert 2 aufspannen.
(b) Für p = e3 gilt
c
c
cos θ = 2 P10 (cos θ) =: Φ3 .
2
r
r
Koeffizientenvergleich ergibt somit A0 = 1 und A1 = B1 = 0.
Für p = e2 gilt
Φ=
Φ=
c
c
sin θ · sin ϕ = 2
r2
r
1 − cos2 θ · sin ϕ =
c 1
P (cos θ) · sin ϕ =: Φ2 .
r2 1
Koeffizientenvergleich ergibt somit A0 = 0 = A1 und B1 = 1.
2
Für p = e1 gilt
Φ=
c
c
sin θ · cos ϕ = 2
2
r
r
1 − cos2 θ · cos ϕ =
c 1
P (cos θ) · cos ϕ =: Φ1 .
r2 1
Koeffizientenvergleich ergibt somit A0 = 0, A1 = 1 und B1 = 0.
3
3
Für p = i=1 pi ei gilt Φ = rc2 i=1 pi Φi und daher A0 = p3 , A1 = p1 , B1 = p2 . Es gilt also
A1 e1 + B1 e2 + A0 e3 = p.
2. Aus VO ist bekannt: ∆S 2 Yl = −l (l + 1) Yl . Die dehnungsinvarianten Funktionen Yl sind auf R3
zweimal stetig d’bar. Daher gilt
N
∆u =
∆
l=0
Yl
rl+1
N
l=0
N
=
l=0
l=0
− (l + 1)
1
r−l−1
−l
r
−
∂
l (l + 1) Yl
r
r2
r2
(l + 1) l
l=0
rl+1
1
r−l−1
2 −l−2
∂
r
r
−
l (l + 1) Yl
r
r2
r2
N
=
Yl
− (l + 1)
N
=
1
1
∂r r2 ∂r + 2 ∆S 2
2
r
r
=
1 −l−1
r−l−1
r
−
l (l + 1) Yl = 0.
2
r
r2
Analog folgt
N
∆v
N
∆rl Yl =
=
l=0
N
=
l=0
l=0
l (l + 1)
1
∂r r2 ∂r rl −
2
r
r2
l
l (l + 1) rl
l+1
∂
r
−
r
r2
r2
3
Yl = 0.
Yl
0