HoΜhere Mathematik Vorlesung 8 Mai 2017 ii “In der Mathematik versteht man die Dinge nicht. Man gewoΜhnt sich nur an sie.” John von Neumann 8 Funktionentheorie Komplexe Zahlen Jede komplexe Zahl besitzt eine eindeutige Darstellung: π§ = π₯ + π · π¦, π₯, π¦ ∈ R Komplexe Zahlen kann man auch durch gerichtete Strecken (Vektoren) darstellen, die im Koordinatenursprung beginnen und im entsprechenden Punkt der Zahlebene enden. Die komplexe Zahl π§ = 2+3π kann man daher nicht nur durch den Punkt −→ π΄(2, 3) darstellen, sondern auch durch den Vektor ππ΄ Man nennt π₯ = Re(π§) den Realteil und π¦ = Im(π§) den ImaginaΜrteil der komplexen Zahl π§. Ist π§ = π₯ + ππ¦ ∈ C so nennt man π§¯ = π₯ − ππ¦ die zu π§ konjugierte komplexe Zahl. Man erhaΜlt diese Zahl durch Spiegelung an der π₯-Achse: 1 Realteil und ImaginaΜrteil einer komplexen Zahl sind gegeben durch: π π(π§) = π§ + π§¯ , 2 πΌπ(π§) = π§ − π§¯ 2π Die Addition zweier komplexen Zahlen π§1 , π§2 ist definiert durch: π§1 + π§2 = (π₯1 + ππ¦1 ) + (π₯2 + ππ¦2 ) = π₯1 + π₯2 + π(π¦1 + π¦2 ) Die Substraktion zweier komplexen Zahlen π§1 , π§2 ist definiert durch: π§1 − π§2 = (π₯1 + ππ¦1 ) − (π₯2 + ππ¦2 ) = π₯1 − π₯2 + π(π¦1 − π¦2 ) 2 FuΜr die Multiplikation zweier komplexer Zahlen π§1 und π§2 gilt: π§1 ·π§2 = (π₯1 +ππ¦1 )·(π₯2 +ππ¦2 ) = π₯1 ·π₯2 −π¦1 π¦2 +π(π¦1 π₯2 +π₯1 π¦2 ) Eigentlich ist das die Klammerregel der Multiplikation zweier reellen Zahlen mit der neuen Information: π2 = −1 Die LaΜnge des Vektors, der eine komplexe Zahl darstellt, bezeichnet man als den Betrag dieser komplexen Zahl. Den Betrag der komplezen Zahl π§ = π₯ + ππ¦ bezeichnet man durch |π§| oder durch den Buchstaben π. |π§| = √ π§ · π§¯ = √οΈ π₯2 + π¦ 2 Der Betrag stimmt mit der euklidischen Norm des Vektors π§ uΜberein: Ist π§ ΜΈ= 0, gilt: 3 π₯ − ππ¦ π§¯ 1 = 2 = 2 π§ |π§| π₯ + π¦2 Das Inverse der komplexen Zahl gewinnt man demnach, indem man π§ zunaΜchst an der π₯-Achse spiegelt, und dann am Einheitskreis. Denn π§1 zeigt in die gleiche Richtung π§¯, hat aber die LaΜnge π, wenn π§ die LaΜnge π hat. Die Division zweier komplexen Zahlen π§1 , π§2 ist die Multiplikation mit dem Inverse von π§2 : π§1 1 1 π₯2 − ππ¦2 = π§1 · = (π₯1 + ππ¦1 ) · = (π₯1 + ππ¦1 ) · 2 π§2 π§2 π₯2 + ππ¦2 π₯2 + π¦22 π₯1 · π₯2 + π¦1 π¦2 − π(π¦1 π₯2 + π₯1 π¦2 ) = π₯22 + π¦22 −→ Der Winkel zwischen der Abszissenachse ππ₯ und dem Vektor ππ΄, der die komplexe Zahl darstellt, heisst Argument der komplexen Zahl π§ = π₯ + ππ¦. 4 Gibt es die Formel: π = arctg (οΈ π¦ )οΈ π₯ π∈Z + ππ, Denn cos und sin sind 2π-periodisch, ist das Argument nicht eindeutig, sondern π ± 2π, π ± 2π, . . . sind andere Argumente. Mit: arg(π§) = π + 2ππ, π∈Z bezeichenen wir die √οΈ Menge aller Argumente. FuΜr π = |π§| = π₯2 + π¦ 2 sieht man leicht ein: Polardarstellung: Jede komplexe Zahl laΜsst sich in der Gestalt: π§ = π(cos π + π sin π) darstellen, wobei π und π Polarkoordinaten von π§ sind. Beispiel: √ Wir suchen die Polarkoordinaten-Darstellung von π§ = − 3 − π. Denn √ π₯ = − 3 und π¦ = −1 erhalten wir: (οΈ √ )οΈ (οΈ π¦ )οΈ 3 π = arctg = + ππ π = arctg π₯ 3 6 √ Der Punkt π΄(− 3, −1) liegt im dritten Quadrant deshalb: π<π< 3π . 2 Einen solchen Wert bekommen wir fuΜr π = 1, somit π = √οΈ √ Der Betrag ist π = |π§| = (− 3)2 + (−1)2 = 2. 5 π 6 +1·π = 7π 6 . Schliesslich die Polardarstellung lautet: (οΈ )οΈ 7π 7π π§ = 2 cos + sin 6 6 Hauptargument: Man bezeichnet den Winkel π von π§, der: −π < π ≤ π erfuΜllt, als Hauptargument von π§, in Formeln π = Arg(π§). Deshalb gibt es die Beziehung: arg(π§) = Arg(π§) + 2ππ, π ∈ ZZ. Beispiel: In dem letzten Beispiel ein Argument war π = 7π 6 . Mit Hilfe der Formel Arg(π§) = π ± 2ππ ∈ (−π, π], π ∈ N, suchen wir das Hauptargument. 5π Deshalb Arg(π§) = 7π 6 − 2π = − 6 . Haben wir auch die alternative Polardarstellung: (οΈ (οΈ )οΈ (οΈ )οΈ)οΈ 5π 5π π§ = 2 cos − + sin − 6 6 Eine geometrische Deutung der Multiplikation komplexer Zahlen erhaΜlt man mit Hilfe der Polarkoordinaten: π§1 · π§2 = π1 π2 (cos(π1 + π2 ) + π sin(π1 + π2 )) 6 Eine aΜnliche Situation fuΜr Division: π§1 π1 = (cos(π1 − π2 ) + π sin(π1 − π2 )) π§2 π2 Formel von Moivre: (cos π + π sin π)π = cos(ππ) + π sin(ππ), fuΜr alle π ∈ Z. Die LoΜsungen der Gleichung π€π = π§: FuΜr jede natuΜrliche Zahl π hat dei Gleichung π€π = π§ genau π LoΜsungen, naΜmlich: (οΈ )οΈ √οΈ √ π + 2ππ π + 2ππ π π π§ = |π§| cos + π sin , π π wobei π = 0, 1, . . . , π − 1. Beispiel: Die Gleichung π€π = π, π€ ∈ C hat drei LoΜsungen. Man sieht leicht ein, dass |π| = 1 und π = π2 , somit: FuΜr π = 0 : √ 3 (οΈ π )οΈ π π π 1 cos 2 + π sin 2 = cos + π sin 3 3 6 6 √ 3 1 = + π 2 2 π€1 = 7 FuΜr π = 1 : √ 3 π 2 )οΈ π + 2π 5π 5π 2 + 2π π€2 = 1 cos + π sin = cos + π sin 3 3 6 6 √ )οΈ (οΈ )οΈ (οΈ π π π π 3 1 + π sin π − = − cos + π sin = − = cos π − + π 6 6 6 6 2 2 (οΈ FuΜr π = 2 : (οΈ √ 3 π€3 = 1 cos π 2 )οΈ π + 4π 9π 9π 2 + 4π + π sin = cos + π sin 3 3 6 6 )οΈ (οΈ )οΈ (οΈ 3π π π 3π π π = cos + π sin 2π − = cos − π sin + π sin = cos 2π − 2 2 2 2 2 2 = −π Die π-ten Einheitswurzeln ππ = 1: Es gibt zu jedem π ∈ N genau π verschiedene π-te Einheitswurzeln, naΜmlich: 2π 2π + π sin π π 4π 4π π2 = cos + π sin π π ..................... 2ππ 2ππ + π sin ππ = cos π π ..................... π1 = cos ππ = 1 Komplexwertige Funktionen einer Variablen Eine komplexwertige Funktion ist eine Funktion π : π· → C bei der die Zielmenge die Menge der komplexen Zahlen ist. Die komplexwertigen Funktionen mit π· ⊂ C heissen komplexe Funktionen. Manchmal schreiben wir: π (π§) = π’(π₯, π¦) + ππ£(π₯, π¦), wobei π§ = π₯ + ππ¦, fuΜr eine komplexe Funktion π. Also π’, π£ sind reellwertige Funktionen. 8 Lineare Funktionen: Eine komplexe Funktion π heisst linear falls π fuΜr feste komplexe Konstanten π, π ∈ C, π ΜΈ= 0, eine Darstellung der folgenden Form besitzt: π (π§) = ππ§ + π, π§ ∈ C. Bemerkung: β Die Wahl π = 1 fuΜhrt zu eine Translation oder Parallelverschiebung um π: π (π§) = π§ + π, π§ ∈ C. β Die Wahl π ∈ R+ und π = 0 fuΜhrt zu einer Streckung (bzw. Stauchung): π (π§) = ππ§, π§ ∈ C. d.h. der Betrag von π§ wird gestreckt (π > 1) oder gestaucht (0 < π < 1) Allgemein spricht man von einer Skalierung mit Skalierungsfaktor π > 0. β Die Wahl π ∈ C mit |π| = 1 und π = 0 fuΜhrt zu einer Rotation um den Ursprung mit dem Winkel π = Arg(π): π (π§) = (cos π + π sin π)π§, π§ ∈ C. Charakterierung einer linearen Abbildung: Jede lineare Funktion π : C → C laΜsst sich als Komposition: π = π3 β π2 β π1 von drei Abbildungen schreiben: 1) π1 (π§) == (cos π + π sin π)π§ eine Rotation um den Ursprung 2) π2 (π§) = |π|π§ eine Skalierung 3) π3 (π§) = π§ + π eine Translation um den Vektor π Exponentialfunktion: Die komplexe Exponentialfunktion exp : C → C ist definiert durch: exp(π§) = ππ§ = ππ₯+ππ¦ := ππ₯ cos π¦ + πππ₯ sin π¦ Man sieht leicht ein, dass |ππ§ | = ππ₯ und arg(π§) = π¦ + 2ππ, π ∈ Z. 9 Eigenschaften der Exponentialfunktion: i) Die Exponentialfunktion ist eine 2ππ-periodische Funktion: ππ§+2ππ = ππ§ , ii) ππ§ ππ€ = ππ§+π€ , π§ ∈ C. π§, π€ ∈ C, π§ iii) π = ππ§−π€ ππ€ iv) (ππ§ )π = πππ§ , π ∈ Z. Der komplexe Logarithmus: Die mengenwertige Abbildung: Ln(π§) = ln |π§| + π · arg(π§) ist der komplexe Logarithmus Ln : C* → C und die LoΜsung der Gleichung: ππ€ = π§. Eigenschaften des komplexen Logarithmus: FuΜr π§, π€ ΜΈ= 0 gelten: i) Ln(π§) + Ln(π€) = Ln(π§π€) (οΈ )οΈ ii) Lnπ§ − Ln(π€) = Ln π€π§ iii) Ln(π§ π ) = π · Ln(π§), π ∈ Z. Die allgemeine Potenzfunktionen: Die komplexen Potenzfuntkionen werden mit Hilfe des Logarithmus definiert: π§ πΌ = ππΌ(ln |π§|+π arg(π§)) wobei πΌ ∈ C ist eine beliebige komplexe Konstante. Die komplexen Potenzfunktionen sind auch mengenwertige Funktionen. Der Ausdruck ππΌ(ln |π§|+πArg(π§)) heisst Hauptwert der Potenzfunktion π (π§) = π§ πΌ und ist eine Funktion von π§. 10 Eigenschaften des Hauptwertes der komplexen Potenzfunktionen: FuΜr π§ ∈ C* und πΌ, π½ ∈ C gelten: i) π§ πΌ · π§ π½ = π§ πΌ+π½ ii) π§πΌ π§π½ = π§ πΌ−π½ ii) (π§ πΌ )π = π§ ππΌ , π ∈ Z. Bemerkung: Die Regel π§ πΌ · π€πΌ = (π§π€)πΌ gilt nicht fuΜr alle π§, π€ ∈ C* und πΌ, π½ ∈ C. Beispielsweise finden wir fuΜr den Hauptwert der Potenzfunktion: 2 (−1)π · (−1)π = ππ π ππ 2 π = π−2π aber: [(−1) · (−1)]π = 1π = ππ·0 = 1 Komplexe hyperbolische und trigonometrische Funktionen: Die folgende komplexe Funktionen sind Fortsetzungen der entsprechenden elementaren reellen Funktionen: sin π§ = πππ§ − π−ππ§ , 2π sinh π§ = ππ§ − π−π§ 2 cos π§ = πππ§ + π−ππ§ , 2 cosh π§ = ππ§ + π−π§ 2 Diese Funktionen sind stetig und differenzierbar auf C ! Elementare Eigenschaften : FuΜr alle π§ ∈ C : i) cos2 π§ + sin2 π§ = 1 und ii) cosh(ππ§) = cos π§ und cosh2 π§− sinh2 π§ = 1 sinh(ππ§) = π sin π§ iii) In C gelten, wie in R, die Additionstheoreme fuΜr trigonometrische Funktionen: sin(π§1 ± π§2 ) = sin π§1 cos π§2 ± sin π§2 cos π§1 , cos(π§1 ± π§2 ) = cos π§1 cos π§2 β sin π§1 sin π§2 . 11 Komplex versus reell Der Abstand in der komplexen Ebene ist gegeben durch: π(π§, π€) = |π§ − π€| = √οΈ (π₯1 − π₯2 )2 + (π¦1 − π¦2 )2 , π§, π€ ∈ C. Normalerweise betrachten wir als offene Umgebung des Punktes π§0 eine offene Kreisscheibe um π§0 vom Radius πΏ, d.h. die Menge: π·(π§0 , πΏ) = {π§ ∈ C : |π§ − π§0 | < πΏ}. Konvergente Folgen: Sei (π§π )π eine Folge komplexer Zahlen und π§ eine weiter komplexe Zahl. Folgende Aussagen sind aΜquivalent: π§π → π§, fuΜr π → ∞ ⇔ Re(zn ) → Re(z) und Im(zn ) → Im(z), fuΜr π → ∞ In C eine Funktion π : π· → C hat einen Grenzwert πΏ im Punkt π§0 genau dann, wenn fuΜr alle Folgen (π§π )π , die gegen π§0 konvergieren, die Folge π (π§π ) gegen πΏ konvergiert. Der Unterschied zwischen dem reellen Fall und dem komplexen Fall ist, dass in C die Folgen nicht nur von einer Richtung konvergieren, sondern von unendlichen Richtungen: 12 Beispiel: π§¯ existiert nicht ! π§→0 2π§ Betrachten wir eine Folge (π§π )π , die in der Richtung der π₯-Achse gegen 0 konvergiert, zum Beispiel π§π = π1 . Dann: Der Grenzwert lim π (π§π ) = π§π = 2π§π 1 π 2 π = 1 1 → . 2 2 Aber fuΜr eine Folge (π€π )π , die in der Richtung der π¦-Achse gegen 0 konvergiert, zum Beispiel π€π = π1 π, es gilt: π (π€π ) = −π π€π 1 1 = 2ππ = − → − . 2π€π 2 2 π Grenzwert einer komplexen Funktion: Sei π (π§) = π’(π₯, π¦) + ππ£(π₯, π¦), π§0 = π₯0 + ππ¦0 und πΏ = π + ππ, dann lim π (π§) = πΏ π§→π§0 genau dann, wenn: lim π’(π₯, π¦) = π und (π₯,π¦)→(π₯0 ,π¦0 ) lim π£(π₯, π¦) = π. (π₯,π¦)→(π₯0 ,π¦0 ) Beispiel: Wir berechen den Grenzwert lim (π§ 2 + 1). Sei π§ = π₯ + ππ¦, wie uΜblich. π§→1+π Dann: π (π§) = π§ 2 + π = (π₯ + ππ¦)2 + π = π₯2 − π¦ 2 + (2π₯π¦ + 1)π Um den letzen Satz zu verwenden, betrachten wir π’(π₯, π¦) = π₯2 − π¦ 2 und π£(π₯, π¦) = 2π₯π¦ + 1. Hier π§0 = 1 + π, deshalb π₯0 = 1 und π¦0 = 1. Denn: lim (π₯2 − π¦ 2 ) = 0 (π₯,π¦)→(1,1) und: lim (2π₯π¦ + 1) = 3 (π₯,π¦)→(1,1) existiert der Grenzwert und ist πΏ = lim (π§ 2 + 1) = 0 + 3π. π§→1+π 13 Stetigkeit der komplexen Funktionen: Sei π· ⊂ C eine offene Umgebung von π§0 = π₯0 + ππ¦0 . Eine Funktion π : π· → C : π (π₯ + ππ¦) = π’(π₯, π¦) + ππ£(π₯, π¦) ist stetig im π§0 , wenn die reellwertigen Funktionen π’, π£ stetig im (π₯0 , π¦0 ) sind. Die Exponentialfunktion π (π§) = ππ§ ist stetig auf C, denn π’(π₯, π¦) = ππ₯ cos π¦ und π£(π₯, π¦) = ππ₯ sin π¦. Differenzierbarkeit der komplexen Funktionen: Sei π· ⊂ C ein Gebiet. Eine Funktion π : π· → C heisst komplex differenzierbar in π§0 ∈ π·, falls der Grenzwert: π ′ (π§0 ) = lim π§→π§0 π (π§) − π (π§0 ) π§ − π§0 existiert. Die komplexe Zahl π ′ (π§0 ) nennt man die Ableitung von π in π§0 . Eine Funktion heisst in π§0 ∈ C holomorph, wenn sie in einer offenen Umgebung π·(π§0 , πΏ) ⊂ C definiert und komplex differenziebar ist. Beispiel: π (π§) = π₯+4ππ¦ ist nicht komplex differenzierbar ZunaΜchst presentieren wir den Satz von Looman-Menchoff : Komplex differenzierbar vs. reell differenzierbar: Die Funktion π : π· → C definiert als π (π§) = π’(π₯, π¦) + π · π£(π₯, π¦), wenn π§ = π₯ + ππ¦, erfuΜllt die Bedingungen: i) π ist stetig in einer Umgebung von π§0 ∈ π·. ii) Die partielle Ableitungen von π§0 . ππ’ ππ’ ππ₯ , ππ¦ und ππ£ ππ£ ππ₯ , ππ₯ existieren in einer Umgebung iii) Die Funktionen π’, π£ erfuΜllen in einer Umgebung von π§0 die CauchyRiemann Gleichungen: ππ’ ππ£ (π₯0 , π¦0 ) = , ππ₯ ππ¦ ππ’ ππ£ (π₯0 , π¦0 ) = − (π₯0 , π¦0 ). ππ¦ ππ₯ Dann ist die Funktion π in π§0 komplex differenzierbar ( sogar holomorph). 14 Beispiel: Studieren Sie die komplexe Differenzierbarkeit der Funktion π (π§) = cos π§ Ableitungsregeln fuΜr holomorphe Funktionen (wie im Reellen): i) LinearitaΜt: (πΌπ (π§) + π½π(π§))′ = πΌπ (π§)′ + π½π(π§)′ ii) Produktregel: (π (π§)π(π§))′ = π ′ (π§)π(π§) + π (π§)π ′ (π§) (οΈ )οΈ′ π (π§) π ′ (π§)π(π§) − π (π§)π ′ (π§) iii) Quotientenregel: = π(π§) π 2 (π§) iv) Kettenregel: π (π(π§))′ = π ′ (π(π§))π ′ (π§) 15 UΜbungsblatt 10 Aufgabe 1. Beweise: (οΈsinh π§ )οΈ= 0 genau dann, wenn π§ = πππ und cosh π§ = 0 genau dann, wenn π§ = 12 + π ππ. √ Aufgabe 2. Schreibe folgende komplexe Zahlen in Polarform π§1 = − 3 − π, π§2 = 1 − π. √ i) Finden Sie das Hauptargument π΄ππ(π§1 ) und berechnen Sie (− 3 − π)50 . ii) FuΜr die komplexen Zahlen π§1 = −1, π§2 = 5π, uΜberpruΜfen Sie dass: π΄ππ(π§1 π§2 ) ΜΈ= π΄ππ(π§1 ) + π΄ππ(π§2 ) (οΈ π΄ππ π§1 π§2 )οΈ ΜΈ= π΄ππ(π§1 ) − π΄ππ(π§2 ) und πππ(π§1 π§2 ) = πππ(π§1 ) + πππ(π§2 ) πππ( π§1 ) = πππ(π§1 ) + πππ(π§2 ). π§2 Aufgabe 3. Zeigen Sie dass |Re π§| ≤ |π§| und |Im π§| ≤ |π§|. Zeigen Sie die IdentitaΜt: |π§ + π€|2 = |π§|2 + |π€|2 + 2π π(π§π€), π§, π€ ∈ πΆ und die Dreiecksungleichung |π§ + π€| ≤ |π§| + |π€|. Aufgabe 4. Skizzieren Sie die Mengen der Punkte π§, in der komplexen Ebene, die die folgenden Bedingungen erfuΜllen: i) 1 < |π§ − 1 − π| ≤ 2 ii) |π§ − π| = |π§ − 1| iii) |πππ(π§)| < π 4 iv) Re ((1 + π)π§ − 1) = 0 v) 0 < Re π§ < 1. Aufgabe 5. LoΜsen Sie in C die Gleichung: cos π§ = 2 16 Aufgabe 6. i) LoΜsen Sie in C die Gleichungen: π§6 = 1 + π π§2 + π§ + 1 = 0 π§4 + 1 = 0 ii) Berechnen Sie √οΈ 3+ √ 3π Aufgabe 7. Beweisen Sie dass: cos(π§ + π€) = cos π§ cos π€ − sin π§ sin π€ sin(2π§) = 2 sin π§ cos π§ sin2 π§ + cos2 π§ = 1 fuΜr π§, π€ ∈C. l 17 18 Literaturverzeichnis [1] K. Fritzsche. Grundkurs Funktionentheorie: Eine EinfuΜhrung in die komplexe Analysis und ihre Anwendungen, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, 2009. [2] D. G. Zill, P. D. Shanahan. A First Course in Complex Analysis with Applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., 2003. [3] C. I. Hedrea. Curs de Matematici speciale, 2016. 19 20