3 Komplexe Zahlen

3 Komplexe Zahlen
Übersicht
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
Koordinaten- und Polarform komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . .
Addition und Umwandlung komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Umwandlung trigonometrischer Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mengen in der Gaußschen Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Multiplikation komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Division komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quotienten komplexer Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quadratische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kubische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Biquadratische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreise in der Gaußschen Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
K. Höllig und J. Hörner, Aufgaben und Lösungen zur Höheren
Mathematik, DOI 10.1007/978-3-662-54312-2_3
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
32
3.1
3 Komplexe Zahlen
Koordinaten- und Polarform komplexer Zahlen
Wandeln Sie folgende komplexe Zahlen in Polar- bzw. Koordinatenform um.
a)
4 − 4i
−
b)
√
3+i
c)
2 e−iπ/6
d)
√
2 ei3π/4
Verweise: Formel von Euler-Moivre, Gaußsche Zahlenebene
Lösungsskizze
Umrechnung in Polarform: z = x + yi → r eiϕ
p
r = x2 + y 2 , ϕ = arctan(y/x) + σπ
mit σ = 0 für x ≥ 0 und σ = ±1 für x < 0
(Wahl des Vorzeichens
ϕ im Standardbereich (−π, π])
a) z = 4 − 4i:
√
√
r = 42 + 42 = 4 2,
ϕ = arctan(−1) + σπ = −π/4 + 0
√
z = 4 2 e−iπ/4
√
b) z = − 3 + i:
√
√
r = 3 + 1 = 2, ϕ = arctan(−1/ 3) + σπ = −π/6 + π = 5π/6
z = 2 ei5π/6
√
(Korrektur des Winkels um +π wegen x = − 3 < 0)
Umrechnung in Koordinatenform: z = reiϕ → x + yi
x = r cos ϕ,
c) z = 2 e−iπ/6 :
√
x = 2 cos(−π/6) = 3,
√
d) z = 2 ei3π/4 :
√
x = 2 cos(3π/4) = −1,
y = r sin ϕ
y = 2 sin(−π/6) = −1
√
z = 3−i
y=
√
2 sin(3π/4) = 1
z = −1 + i
Alternative Lösung
Bestimmung von ϕ = arg z, cos ϕ und sin ϕ für ϕ = kπ/4, kπ/6 mit Hilfe von
gleichseitigen und gleichschenklig/rechtwinkligen Dreiecken
33
3.2
Addition und Umwandlung komplexer Zahlen
Berechnen Sie
2 exp(−i π/3) −
√
3 + i,
und geben Sie das Ergebnis sowohl in Standard- als auch in Polarform an.
Verweise: Formel von Euler-Moivre, Gaußsche Zahlenebene
Lösungsskizze
Standard- und Polarform komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene
Im z
Im z
z = x + iy
x
z = reiϕ
r
y
|z|
ϕ
Re z
Re z
(i) Umwandlung von z1 = 2 exp(−i π/3) in Standardform x + iy:
Formel von Euler-Moivre
r exp(i ϕ) = r cos ϕ + i sin ϕ
mit r = 2, ϕ = −π/3
z1 = 2 cos(−π/3) + i 2 sin(−π/3) = 1 −
(ii) Standard- und Polarform der Summe z = z1 −
z = x + iy = (1 −
√
√
√
3i
3 + i:
√
√
√
3 i) + (− 3 + i) = (1 − 3) + (1 − 3) i
Umwandlung in Polarform z = r exp(iϕ)
q
p
√
√
√ √ √
√
r =
x2 + y 2 = (1 − 3)2 + (1 − 3)2 = 2 1 − 3 = 6 − 2
ϕ = arctan(x/y) + σπ = arctan(1) − π = −3π/4
(σ = −1)
Standardbereich des Arkustangens = [−π/2, π/2]
Korrektur um σπ je nach Lage von x + iy in den vier Quadranten



 0, x ≥ 0
σ=
1, x < 0 ∧ y ≥ 0



−1, x < 0 ∧ y < 0
√
x=y =1− 3<0
=⇒
σ = −1
34
3.3
3 Komplexe Zahlen
Umwandlung trigonometrischer Ausdrücke
Schreiben Sie
a)
cos3 t + sin2 t
b)
cos(2t) sin(3t)
als Linearkombination von cos(kt) und sin(kt).
Verweise: Formel von Euler-Moivre, Binomialkoeffizient
Lösungsskizze
Formel von Euler-Moivre, eit = cos t + i sin t
=⇒
1 it
1 it
cos t =
e + e−it , sin t =
e − e−it
2
2i
a) cos3 t + sin2 t:
Binomischer Satz
3
2
1 it
1 it
−it
−it
+
e
+
e
e
−
e
23
(2i)2
1
1 3it
=
e + 3eit + 3e−it + e−3it −
e2it − 2 + e−2it
8
4
Zusammenfassen der komplex konjugierten Terme e±ikt mit Hilfe der Formel
von Euler-Moivre
1
3
1
1
+ cos t − cos(2t) + cos(3t)
2
4
2
4
b) cos(2t) sin(3t):
Formel von Euler-Moivre und Binomischer Satz
1 1 5it
1 2it
e + e−2it
e3it − e−3it =
e − e−it + eit − e−5it
2
2i
4i
Zusammenfassen der komplex konjugierten Terme e±ikt mit Hilfe der Formel
von Euler-Moivre
1
1
sin t + sin(5t)
2
2
Alternative Lösung
Anwendung der Additionstheoreme, z.B. für a)
cos(2t) = cos2 t − sin2 t = 1 − 2 sin2 t
sin2 t =
=⇒
1
2
−
1
2
cos(2t)
sin(2t) = 2 sin t cos t
cos(3t) = cos t cos(2t) − sin t sin(2t) = cos t(cos2 t − sin2 t) − 2 sin2 t cos t
= 4 cos3 t − 3 cos t
=⇒
cos3 t =
3
4
cos(t) +
1
4
cos(3t)
35
3.4
Mengen in der Gaußschen Zahlenebene
Skizzieren Sie die Mengen in der Gaußschen Zahlenebene, die durch
a)
|z| − Im z = 1
b)
|z| ≤ 2 Re z
beschrieben werden.
Verweise: Gaußsche Zahlenebene
Lösungsskizze
Umwandlung in Koordinatenform
z → x + iy,
x = Re z, y = Im z
a) |z| − Im z = 1:
Definition des Betrags und des Imaginärteils, Quadrieren
p
x2 + y 2 = 1 + y ⇔ x2 = 1 + 2y
Parabel mit Scheitel bei (0, −1/2)
Im z
1
1
0
b)
|z| ≤ 2 Re z:
Definition des Betrags und des Realteils
p
x2 + y 2 ≤ 2x
bzw. nach Quadrieren
y 2 ≤ 3x2
∧
x≥0
Sektor, begrenzt durch die Halbgeraden
√
y = ± 3 x, x ≥ 0
Re z
Im z
1
0
1
Re z
36
3.5
3 Komplexe Zahlen
Multiplikation komplexer Zahlen
Berechnen Sie
(i − 2)(3 − i)
a)
b)
e−iπ/3 eiπ/2
c)
(1 − i) eiπ/3
und geben Sie die Ergebnisse sowohl in Standard- als auch in Polarform an.
Verweise: Multiplikation komplexer Zahlen, Formel von Euler-Moivre
Lösungsskizze
a) z = (i − 2) (3 − i):
i2 = −1
Standardform
y
z
5
z = x + iy = 3i + 1 − 6 + 2i = −5 + 5i
r
Polarform
p
√
r = |z| = 52 + 52 = 5 2,
=⇒
z = re
iϕ
√
= 5 2e
−iπ/3 iπ/2
b) z = e
Polarform
e
ϕ = arg z = 3π/4
ϕ
−5
i3π/4
0
x
:
z = e−iπ/3+iπ/2 = eiπ/6
Formel von Euler-Moivre
Standardform
z = cos(π/6) + i sin(π/6) =
√
3
1
+ i
2
2
c) (1 − i) eiπ/3 :
Umrechnung der Faktoren p = 1 − i in Polar- bzw. q = eiπ/3 in Standardform
|p| =
√
√
2, arg p = −π/4
=⇒
√
1
3
q = cos(π/3) + i sin(π/3) = +
i
2
2
1+1=
p=
√
2 e−iπ/4
Standardform des Produktes
√ 1
3
pq = (1 − i)
+
i
2
2
√
√
√ √
1
3
1
3
1
3
3
1
=
+
i− i+
=
+
+
−
i
2
2
2
2
2
2
2
2
Polarform des Produktes
pq =
√
2 e−iπ/4 eiπ/3 =
√
2 e−iπ/4+iπ/3 =
√
2 eiπ/12
37
3.6
Division komplexer Zahlen
Berechnen Sie
5−i
2 − 3i
a)
b)
e−iπ/6
eiπ/2
c)
−2 − 2i
eiπ/3
und geben Sie die Ergebnisse sowohl in Standard- als auch in Polarform an.
Verweise: Formel von Euler-Moivre, Division komplexer Zahlen
Lösungsskizze
a) z = (5 − i) / (2 − 3i):
Erweitern mit komplex konjugiertem Nenner, dritte binomische Formel
Standardform
(5 − i) (2 + 3i)
10 + 3 + 15i − 2i
=
=1+i
(2 − 3i) (2 + 3i)
4+9
√
√
Polarform: |z| = 2, arg z = π/4
z = 2 eiπ/4
z=
b) z = e−iπ/6 / eiπ/2 :
Polarform
z = e−iπ/6−iπ/2 = e−i2π/3
Formel von Euler-Moivre
Standardform
√
1
3
i
z = cos(−2π/3) + i sin(−2π/3) = − −
2
2
c) z = (−2 + 2i) / eiπ/3 :
Umrechnung von Zähler p und Nenner q in Polar- bzw. Standardform
|p| =
√
√
22 + 22 = 2 2, arg p = 3π/4
q = cos(π/3) + i sin(π/3) =
1
2
√
+
3
2
√
p = 2 2 ei3π/4
i
Quotient in Polarform
√
√
√
z = p/q = 2 2 ei3π/4 / eiπ/3 = 2 2 ei3π/4−iπ/3 = 2 2 ei5π/12
Quotient in Standardform
√
−2 + 2i
(−2 + 2i)(1/2 − ( 3/2)i)
√
√
√
z = p/q =
=
1/2 + ( 3/2)i
(1/2 + ( 3/2)i)(1/2 − ( 3/2)i)
√
√
√
√
−1 + 3 i + i + 3
=
= ( 3 − 1) + ( 3 + 1) i
1/4 + 3/4
38
3.7
3 Komplexe Zahlen
Quotienten komplexer Ausdrücke
Berechnen Sie
(1 + i)6
3 − 4i
a)
b)
eiπ/3 −
1
√
2 e−iπ/4
Verweise: Formel von Euler-Moivre, Division komplexer Zahlen, Potenzen
Lösungsskizze
a) z = (1 + i)6 /(3 − 4i):
Berechnung der Potenz p im Zähler mit Hilfe der Polarform
1+i=
√
2 eiπ/4
=⇒
p = (1 + i)6 = 8 ei(3π/2) = −8i ,
denn eiπ/2 = i, i3 = −i
Erweitern mit 3 + 4i, dritte binomische Formel
z=
p
−8i 3 + 4i
−24i + 32
32
24
=
=
=
−
i
3 − 4i
3 − 4i 3 + 4i
9 + 16
25
25
√
b) z = 1/(eiπ/3 − 2 e−iπ/4 ):
Umrechnung mit der Formel von Euler-Moivre, eit = cos t + i sin t
√
3
1
i
eiπ/3 = cos(π/3) + i sin(π/3) = +
2
2
√
√ −iπ/4
2e
= 2 (cos(−π/4) + i sin(−π/4)) = 1 − i
Differenz d im Nenner
√
√
d = (1/2 + ( 3/2)i) − (1 − i) = (−1 + (2 + 3)i)/2
Erweitern mit komplex konjugiertem Nenner
√
(−1 − (2 + 3)i)
1
2
√
√
=
d
(−1 + (2 + 3)i) (−1 − (2 + 3)i)
√
√
−2 − (4 + 2 3)i
−1 − (2 + 3)i
√
√
=
=
1 + (2 + 3)2
4+2 3
√
√
Erweitern mit 4 − 2 3 = 2(2 − 3)
√
√
(−4 + 2 3) − 2(4 − 3)i
−2 + 3
1
z=
=
− i
16 − 12
2
2
z=
39
3.8
Rechnen mit komplexen Zahlen
Berechnen Sie
√
(1 − i)5 2 eiπ/4
√
,
( 3 + 3i) + 2 e−iπ/6
und geben Sie das Ergebnis sowohl in Koordinaten- als auch in Polarform an.
Verweise: Multiplikation komplexer Zahlen, Potenzen
Lösungsskizze
√
(i) Berechnung des Zählers p = (1 − i)5 2 eiπ/4 in Polarform:
√
1 − i = 2 e−iπ/4
√
5 √
p =
2 e−iπ/4
2 eiπ/4 = 2(5+1)/2 e−i5π/4+iπ/4
= 8 e−iπ = 8 (cos π + i sin π) = 8 (−1 + 0i) = −8
alternativ: Verwendung der Koordinatenform
√
eiπ/4 = (1 + i)/ 2 und binomische Formeln
p = (1 − i)5 (1 + i) = [(1 − i)(1 + i)] [(1 − i)2 ]2
= [1 − i2 ] [1 − 2i + i2 ]2 = 2 · (−2i)2 = −8
X
√
(ii) Berechnung des Nenners q = ( 3 + 3i) + 2 e−iπ/6 in Koordinatenform:
√
2 e−iπ/6 = 3 − i
√
√
√
q = ( 3 + 3i) + ( 3 − i) = 2 3 + 2i
Umrechnung in Polarform
√
√
|q| = 4 · 3 + 4 = 4 , arg q = arctan(1/ 3) = π/6
q = 4 eiπ/6
(iii) Resultierender Wert des Bruches:
Koordinatenform
√
√
8(2 3 − 2i)
8
p
=−
=− 3+i
z= =− √
q
4·3+4
2 3 + 2i
Umrechnung in Polarform z = reiϕ
√
r = 3+1=2
√
ϕ = arctan(−1/ 3) + σπ = −π/6 + π = 5π/6
√
(σ = 1, da Re z = − 3 < 0 und ϕ im Standardbereich (−π, π])
Polarform des Quotienten: z = 2 ei5π/6
alternativ: direkte Berechnung in Polarform
z=
p
8 eiπ
=
= 2 ei5π/6
q
4 eiπ/6
40
3.9
3 Komplexe Zahlen
Komplexe Wurzel
Bestimmen Sie die Wurzeln von
tenform.
√
3 + i sowohl in Polar- als auch in Koordina-
Verweise: Einheitswurzeln, Potenzen
Lösungsskizze
(i) Polarform der Wurzeln:
√
Betrag und Argument von z = 3 + i
√
√
|z| = 3 + 1 = 2, arg z = arctan(1/ 3) = π/6
√
√
z = 2 eiπ/6 und w = z = ± 2 eiπ/12 bzw.
√
√
w1 = 2 eiπ/12 , w2 = 2 e−i11π/12
(−1 = e±iπ )
(ii) Koordinatenform der Wurzeln:
√
Ansatz w = z = x + iy
√
3 + i = (x + iy)2
Vergleich von Real- und Imaginärteil
√
3 = x2 − y 2 ,
1 = 2xy
Einsetzen von y = 1/(2x) in die erste Gleichung, Umformung
√
x4 − 3 x2 − 1/4 = 0
Lösungsformel für quadratische Gleichungen, x ∈ R und somit x2 ≥ 0
√
q
p
√
√
√
1+ 3
,
x2 = 3/2 + 3/4 + 1/4 = 1 + 3/2, x = ± 1 + 3/2 = ±
2
√
√
denn 1 + 3/2 = (1 + 3)2 /4
√
Erweitern mit 3 − 1, dritte binomische Formel
√
1
3−1
1
√ =±
=±
y=
2x
2
1+ 3
Alternative Lösung
Geometrisches Argument:
√
√
z parallel zur Diagonale des von z = 3 + i und |z| · 1 = 2 aufgespannten
Parallelogramms
Wurzeln
√
√
k
3+i +2
wk = ±c (2 + 3) + i
√
|wk | = 2
Normierungskonstante
√ q
√
c= 2
(2 + 3)2 + 1
Vereinfachung
Übereinstimmung mit der berechneten Koordinatenform
41
3.10
Quadratische Gleichung
Lösen Sie die quadratische Gleichung
8z − 4z 2 = 7 .
Verweise: Einheitswurzeln, Potenzen
Lösungsskizze
quadratische Gleichung
az 2 + bz + c = 0
Lösungsformel für quadratische Gleichungen
√
−b ± b2 − 4ac
z1,2 =
2a
im konkreten Beispiel 4z 2 − 8z + 7 = 0, d.h. für a = 4, b = −8, c = 7
√
√
√
−48
3
8 ± 64 − 112
z1,2 =
=1±
=1±
i
8
8
2
(z2 = z 1 , da Koeffizienten a, b, c der Gleichung reell)
Alternative Lösung
direkte Berechnung ohne Verwendung der Lösungsformel
Division der Gleichung
4z 2 − 8z + 7 = 0
durch 4 und quadratische Ergänzung
7
3
7
= (z − 1)2 − 1 + = 0 ⇔ (z − 1)2 = −
4
4
4
√
p
mit den Lösungen z1,2 = 1 ± −3/4 = 1 ± 23 i X
z 2 − 2z +
Kontrolle mit dem Satz von Vieta:
√ √ 3
3
i
1−
i = 7/4 = c/a
z1 z2 = 1 +
2
2
z1 + z2 = 2 = −b/a
42
3 Komplexe Zahlen
3.11
Kubische Gleichung
Die Gleichung
z 3 − 3z 2 + (3 − 2i)z − 1 + 2i = 0
hat die Lösung z1 = 1. Bestimmen Sie alle weiteren Lösungen.
Verweise: Einheitswurzeln, Potenzen
Lösungsskizze
kubische Gleichung
drei Lösungen (inklusive Vielfachheiten)
0 = z 3 − 3z 2 + (3 − 2i)z − 1 + 2i = (z − z1 )(z − z2 )(z − z3 )
Division durch den Linearfaktor (z − 1)
bekannte Lösung z1 = 1
( z 3 −3z 2 +(3 − 2i)z −1 + 2i ) :(z − 1) = z 2 − 2z + 1 − 2i
z3
−z 2
−2z 2 +(3 − 2i)z
−2z 2
+2z
(1 − 2i)z −1 + 2i
(1 − 2i)z −1 + 2i
0
quadratische Gleichung mit den weiteren Lösungen z2 , z3
z 2 − 2z + 1 − 2i = 0
Lösungsformel für quadratische Gleichungen
p
√
z2,3 = 1 ± 1 − (1 − 2i) = 1 ± 2i
Berechnung der Wurzel mit Hilfe der Polarform i = eiπ/2
√
√
2i = 2 eiπ/4 = 1 + i
und somit
z2 = 2 + i,
z3 = −i
Probe
Y
(z − zk ) = (z − 1)(z − 2 − i)(z + i)
k
= z 3 + (−1 − 2 − i + i)z 2 + (2 + i − i − 2i + 1)z + (−1 + 2i)
X
43
3.12
Biquadratische Gleichung
Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
z 4 − 2z 2 + 4 = 0 .
Verweise: Einheitswurzeln, Potenzen
Lösungsskizze
biquadratische Gleichung
w2 − 2w + 4 = 0,
w = z2
mit vier Lösungen (inklusive Vielfachheiten)
reelle Koeffizienten
=⇒
zwei Paare komplex konjugierter Lösungen
quadratische Ergänzung
(w − 1)2 − 1 + 4 = 0 ⇔ (w − 1)2 = −3 ,
√
√
d.h. w1,2 = 1 ± −3 = 1 ± 3 i
Polarform
√
√
|w1,2 | = 1 + 3 = 2, arg w1,2 = arctan(± 3) = ±π/3
z1,2
w1 = 2 e−iπ/3 , w2 = 2 eiπ/3
√
√
= ± w1 , z3,4 = ± w2 , Formel von Euler-Moivre
√
√
z1 = 2 e−iπ/6 = 2 (cos(−π/6) + i sin(−π/6))
√ √
√
√
= 2 ( 3/2 − i/2) = 6/2 − ( 2/2)i
√
√
√
z2 = −z1 = 2 ei5π/6 = − 6/2 + ( 2/2)i ,
da eiπ = −1
analog
√
√
2 eiπ/6 = 6/2 + ( 2/2)i
√
√
√
= −z3 = 2 e−i5π/6 = − 6/2 − ( 2/2)i
z3 =
z4
√
z3 = z 1 , z4 = z 2
Probe
√
√
z.B. für z1 = ( 6 − 2i)/2
√
√
z12 = (6 − 2 12 i − 2)/4 = 1 − 3 i
√
√
z14 = 1 − 2 3 i − 3 = −2 − 2 3 i
und
√
√
z14 − 2z12 + 4 = (−2 − 2 3 i) − 2(1 − 3 i) + 4 = 0
X
44
3.13
3 Komplexe Zahlen
Kreise in der Gaußschen Zahlenebene
Skizzieren Sie die Mengen der z ∈ C, die durch
a)
|z − 2 + i| > |z − 3i|
b)
|z + 1 + i| = 2|z + 1 − 2i|
beschrieben werden.
Verweise: Gerade und Kreis in der komplexen Ebene, Gaußsche Zahlenebene
Lösungsskizze
Kreis in der Gaußschen Zahlenebene
|z − a| = s|z − b|,
z = x + iy =
b (x, y)
s=1=
b Gerade als entarteter Kreis
a) |z − 2 + i| > |z − 3i|:
größerer Abstand zu a = 2 − i =
b (2, −1)
als zu b = 3i =
b (0, 3)
Halbebene begrenzt durch die Mittelsenkrechte g : c + tv mit
Im z
b
c
Re z
c = (a + b)/2 = 1 + i,
a
v = 2 + i=
b (2, 1) ⊥ ((0, 3) − (2, −1))
b) |z + 1 + i| = 2|z + 1 − 2i|:
a = −1 − i, b = −1 + 2i, s = 2
Kreis
explizite Form durch Setzen von z = x + iy
Quadrieren der Betragsgleichung
(x + 1)2 + (y + 1)2 = 4 (x + 1)2 + (y − 2)2
Umformen und quadratische Ergänzung
x2 + 2x + y 2 − 6y = −6 ⇔ (x + 1)2 + (y − 3)2 = 4
Mittelpunkt: c = −1 + 3i =
b (−1, 3)
Radius: r = 2
Alternative Lösung
Berechnung von Mittelpunkt und Radius mit den Formeln
c = (a − s2 b)/(1 − s2 ),
r = s|b − a|/|1 − s2 |
Im z
c
b
Re z
a
http://www.springer.com/978-3-662-54311-5