Vorkurs Mathematik

Vorkurs Mathematik
Dieses Dokument ist eine Zusammenfassung der Inhalte des Vorkurses Mathematik im
Wintersemester 2017/2018. Bitte Anregungen und Fehler per Email an die Adresse
[email protected].
Weitere Informationen zur Veranstaltung finden sich auf der Internetseite
www.math.uni-tuebingen.de/vorkurs.
Elmar Teufl
Tübingen, 4. Oktober 2017
1
Kapitel 1
Etwas Logik und Mengenlehre
Einer Aussage ist ein Wahrheitswert zugeordnet: WAHR oder FALSCH. Das ist die charakterisierende Eigenschaft einer Aussage.
Beispiele: Der 4.10.2017 ist ein Mittwoch. Die Erde ist kein Planet.
Frage: Ist “Morgen regnet es.” eine Aussage?
Wahrheitswerten werden auch andere Bezeichnungen zugewiesen:
Langform
Kurzform
Englisch
Informatik
WAHR
FALSCH
W
F
TRUE
FALSE
1
0
Verknüpfungen: Sind A und B Aussagen, dann sind auch
•
•
•
die Konjunktion “A und B” (A ∧ B),
die Disjunktion “A oder B” (A ∨ B, nicht ausschließend),
die Negation “nicht A” (¬A)
Aussagen. Das Symbol ∨ stammt vom lateinischen Wort vel, welches “oder” bedeutet.
Eselsbrücke: Oder (∨) ist oben offen.
Der Wahrheitsgehalt dieser Verknüpfungen kann mittels einer sogenannten Wahrheitstafel
angegeben werden. Dabei werden alle möglichen Wahrheitswerte für die Aussagen A und
B, sowie für das Ergebnis der Verknüpfung aufgelistet:
A ¬A
W
F
F
W
A
B
A∧B
A∨B
W
W
F
F
W
F
W
F
W
F
F
F
W
W
W
F
Mit Klammern wird die Reihenfolge bei mehreren Verknüpfungen festgelegt. Dabei ist es
üblich, dass ¬ stärker als ∧ und ∨ bindet und ∧, ∨ als gleichwertig betrachtet werden.
2
§
Beispiele:
•
•
(¬A) ∨ B, kurz ¬A ∨ B.
(A ∨ B) ∧ C.
Ein logischer Ausdruck besteht aus Verknüpfungen von Aussagen mit korrekter Klammerung. Etwa ist ¬(A ∨ B) ∧ C ein logischer Ausdruck, aber A ∨ B ∧ C ist kein logischer
Ausdruck.
Rechenregeln: Es seien A, B, C Aussagen, dann gilt:
•
Assoziativität:
(A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C).
(A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C).
Aufgrund der Assoziativität können Klammern weggelassen werden: A ∧ B ∧ C, . . .
• Kommutativität:
A ∧ B = B ∧ A.
A ∨ B = B ∨ A.
• Distributivität:
(A ∧ B) ∨ C = (A ∨ C) ∧ (B ∨ C).
(A ∨ B) ∧ C = (A ∧ C) ∨ (B ∧ C).
• de Morgansche Regeln:
¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B.
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B.
Diese Rechenregeln können mithilfe von Wahrheitstafeln überprüft werden. Zum Beispiel
für ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B:
A
B
A∧B
¬(A ∧ B)
W
W
F
F
W
F
W
F
W
F
F
F
F
W
W
W
¬A ¬B
F
F
W
W
F
W
F
W
¬A ∨ ¬B
F
W
W
W
Für (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C):
A
B
C
A∧B
(A ∧ B) ∧ C
B∧C
A ∧ (B ∧ C)
W
W
W
W
F
F
F
F
W
W
F
F
W
W
F
F
W
F
W
F
W
F
W
F
W
W
F
F
F
F
F
F
W
F
F
F
F
F
F
F
W
F
F
F
W
F
F
F
W
F
F
F
F
F
F
F
Weitere Verknüpfungen:
•
•
Implikation “wenn A dann B” (A → B),
Äquivalenz “A genau dann wenn B” (A ↔ B).
3
§
Kapitel 1. Etwas Logik und Mengenlehre
Die Wahrheitstafeln dafür lauten wie folgt:
A
B
A→B
A↔B
W
W
F
F
W
F
W
F
W
F
W
W
W
F
F
W
Es gilt
A → B = ¬A ∨ B
und
A ↔ B = (A → B) ∧ (B → A) = (¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ A).
Eine Menge ist eine Sammlung von unterscheidbaren Objekten. Eine Menge kann mithilfe von geschweiften Klammern durch Aufzählung, zum Beispiel {1, 2, 3, 4}, oder durch
Beschreibung, zum Beispiel
{x : x ist eine gerade ganze Zahl}
oder
{x | x ist eine gerade ganze Zahl},
angegeben werden.
Ein Element einer Menge ist ein Objekt, das in der Menge liegt. Ist M eine Menge und x
ein Objekt, dann schreiben wir
•
•
x ∈ M , wenn x in M liegt, und
x∈
/ M , wenn x nicht in M liegt.
Allgemein ist x ∈ M eine Aussage, da x ∈ M entweder wahr oder falsch ist.
Beispiele: 1 ∈ {1, 2, 3, 4} und 0 ∈
/ {1, 2, 3, 4}.
Die leere Menge ∅ = {} hat keine Elemente, es gilt also x ∈
/ ∅ für alle x.
Frage: Gibt es eine Menge M mit M ∈ M ?
Die Größe (oder Mächtigkeit oder Kardinalität) einer Menge M ist die Anzahl der Elemente
von M , welche auch unendlich sein kann. Die Größe wird mit |M | oder mit #M bezeichnet.
Beispiele: |{1, 2, 3, 4}| = 4 und |{x : x ist eine gerade ganze Zahl}| = unendlich = ∞.
Eine Menge B heißt Teilmenge einer Menge A, wenn jedes Element von B auch Element
von A ist, also:
Für jedes x gilt x ∈ B → x ∈ A.
Wir sagen dann, dass B in A enthalten ist, und schreiben B ⊆ A (oder auch B ⊂ A).
Beispiele: ∅ ⊆ ∅, ∅ ⊆ {1, 2, 3, 4}, {1} ⊆ {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4} ⊆
{1, 2, 3, 4}, aber {0} 6⊆ {1, 2, 3, 4}, {4, 5} 6⊆ {1, 2, 3, 4}.
Verknüpfungen: Es seien A und B Mengen.
•
•
•
4
Vereinigung A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Schnitt A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Differenzmenge A \ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
§
Beispiele:
•
•
•
{1, 2, 3, 4} ∪ {4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.
{1, 2, 3, 4} ∩ {4, 5} = {4}.
{1, 2, 3, 4} \ {4, 5} = {1, 2, 3}.
Oft sind alle betrachteten Mengen in einer Menge, der sogenannten Grundmenge, enthalten.
Ist Ω die Grundmenge und A eine Menge mit A ⊆ Ω, dann heißt Ω \ A das Komplement
von A bezüglich der Grundmenge Ω. Das Komplement wird oft mit A oder Ac bezeichnet.
Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, wenn A ∩ B = ∅ gilt.
Vergleich der Verknüpfungen bei der Logik und der Mengenlehre:
Logik
(Aussagen A, B)
Mengenlehre
(Mengen A, B)
A∧B
A∨B
¬A
A∩B
A∪B
A
Rechenregeln: Es seien A, B, C Mengen (in einer Grundmenge Ω), dann gilt:
•
Assoziativität:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
Aufgrund der Assoziativität können Klammern weggelassen werden: A ∪ B ∪ C, . . .
• Kommutativität:
A ∪ B = B ∪ A.
A ∩ B = B ∩ A.
• Distributivität:
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
• de Morgansche Regeln:
A ∪ B = A ∩ B.
A ∩ B = A ∪ B.
Um diese Rechenregeln nachzuprüfen, können die Rechenregeln für die Logik verwendet
werden. Zum Beispiel:
(A ∪ B) ∪ C = {x : x ∈ (A ∪ B) ∨ x ∈ C}
= {x : (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C}
= {x : x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C)}
= {x : x ∈ A ∨ (x ∈ (B ∪ C)}
= A ∪ (B ∪ C).
Alternativ können auch direkt Wahrheitstafeln verwendet werden:
5
§
Kapitel 1. Etwas Logik und Mengenlehre
x∈A
x∈B
x∈C
x∈A∪B
x ∈ (A ∪ B) ∪ C
x∈B∪C
x ∈ A ∪ (B ∪ C)
W
W
W
W
F
F
F
F
W
W
F
F
W
W
F
F
W
F
W
F
W
F
W
F
W
W
W
W
W
W
F
F
W
W
W
W
W
W
W
F
W
W
W
F
W
W
W
F
W
W
W
W
W
W
W
F
Für alle x gilt damit:
x liegt genau dann (A ∪ B) ∪ C, wenn x in A ∪ (B ∪ C) liegt.
Also folgt (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
Bei einem sogenannten Venn-Diagramm werden Mengen als einfache geometrische Figuren
(meist Ellipsen oder Rechtecke) in der Ebene dargestellt:
A
B
Ω
Obiges Venn-Diagramm zeigt zwei Mengen A und B in einer Grundmenge Ω. Die Grundmenge Ω wird dabei von A und B in vier Teile zerlegt: A∩B, A∩B = A\B, A∩B = B \A
und A ∩ B = A ∪ B.
Darstellung von Teilmengen, Disjunktheit und Verknüpfungen durch Venn-Diagramme:
•
B ⊆ A:
A
•
B
A und B sind disjunkt:
A
•
B
Vereinigung A ∪ B (in grau) von A und B:
A
6
B
§
•
Schnitt A ∩ B (in grau) von A und B:
A
•
B
Differenzmenge A \ B (in grau) von A und B:
A
•
B
Komplement A von A (in grau) bezüglich Ω:
A
Ω
Das kartesische Produkt A × B von zwei Mengen A und B ist
A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
Dabei ist (a, b) ein Paar mit dem ersten Eintrag a und dem zweiten Eintrag b. Insbesondere
ist A2 = A × A = {(a, b) : a, b ∈ A}.
Beispiele:
{1, 2}2 = {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)},
{1, 2} × {1, 2, 3} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}.
7
Kapitel 2
Zahlen
Die Menge der natürlichen Zahlen ist
N = {1, 2, 3, 4, . . . }
und die Menge der ganzen Zahlen ist
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }.
Auch N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . } wird oft verwendet.
Ganze Zahlen können addiert, subtrahiert, multipliziert werden. Außerdem gibt es eine
Division mit Rest.
Beispiele:
•
Addition (mit Überträgen):
2304
4847
18953
1211
26104
•
Multiplikation (samt Addition mit Überträgen):
62 · 357
186
310
434
11
22134
•
Division mit Rest:
3 7 2 1 : 8 7 = 4 2 Rest 6 7
−3 4 8
241
−1 7 4
67
Eine ganze Zahl a heißt durch eine ganze Zahl b teilbar, wenn es eine ganze Zahl c mit
a = b · c gibt. In diesem Fall heißt b ein Teiler von a und a heißt Vielfaches von b. Eine
8
§
ganze Zahl p ≥ 2, welche nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist, heißt prim oder
Primzahl.
Beispiele:
•
•
•
Die Zahl 6 hat die Teiler 1, −1, 2, −2, 3, −3, 6, −6.
Jede ganze Zahl ist ein Teiler von 0 und ein Vielfaches von 1.
Die ersten Primzahlen lauten: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
Satz: Jede natürliche Zahl n hat eine Primfaktorzerlegung:
n = p1 e1 p2 e2 · · · pk ek ,
wobei p1 , p2 , . . . , pk aufsteigend geordnete Primzahlen sind und e1 , e2 , . . . , ek natürliche
Zahlen sind.
Beispiele:
•
•
•
60 = 22 · 31 · 51 .
126 = 21 · 32 · 71 .
61855248 = 24 · 31 · 73 · 131 · 172 .
Der größte gemeinsame Teiler ggT(a1 , . . . , an ) der ganzen Zahlen a1 , . . . , an ist jene ganze
Zahl m ≥ 0, welche ein Teiler von a1 , . . . , an ist und welche selbst ein Vielfaches von jedem
Teiler von a1 , . . . , an ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache kgV(a1 , . . . , an ) ist jene ganze
Zahl m ≥ 0, welche ein Vielfaches von a1 , . . . , an ist und welche selbst ein Teiler von jedem
Vielfachen von a1 , . . . , an ist.
Rechenregeln:
•
•
•
•
•
Kommutativität: ggT(a1 , . . . , an ) und kgV(a1 , . . . , an ) hängen nicht von der Reihenfolge der Zahlen a1 , . . . , an ab.
Assoziativität: ggT(a1 , . . . , an ) = ggT(a1 , ggT(a2 , . . . , an )) und kgV(a1 , . . . , an ) =
kgV(a1 , kgV(a2 , . . . , an )).
ggT(a, a, . . . ) = ggT(a, 0) = a und kgV(a, a, . . . ) = kgV(a, 1) = a.
ggT(a, 1) = 1 und kgV(a, 0) = 0.
Es gilt ggT(a, b) = ggT(a, b − a) und ggT(a, b) = ggT(a, r), wobei r der Divisionsrest
von a : b ist.
Berechnung mit der Primfaktorzerlegung: Wegen
60 = 22 · 31 · 51 = 22 · 31 · 51 · 70 ,
126 = 21 · 32 · 71 = 21 · 32 · 50 · 71
folgt
ggT(60, 126) = 21 · 31 · 50 · 70 = 6
und
kgV(60, 126) = 22 · 32 · 51 · 71 = 1260.
Eine rationale Zahl (ein Bruch) ist von der Form ab mit a ∈ Z und b ∈ N. Üblicherweise
werden Brüche in gekürzter Form angegeben: ab mit a ∈ Z und b ∈ N und ggT(a, b) = 1.
9
§
Kapitel 2. Zahlen
Die Menge der rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet:
Q = { ab : a ∈ Z, b ∈ N, ggT(a, b) = 1}
, −1
, 0, 1, . . .
= { . . . , −2
1
1 1 1
. . . , −3
, −1
, 1, 3, . . .
2
2 2 2
. . . , −2
, −1
, 1, 2, . . .
3
3 3 3
. . . }.
Beispiel: Die gekürzte Form von
gilt.
126
60
ist
21
,
10
da ggT(126, 60) = 6 und
126
6
= 21 und
60
6
= 10
Rechnen mit Brüchen:
•
Addition:
•
Multiplikation:
a c
ad + bc
+ =
.
b d
bd
a c
ac
· =
.
b d
bd
Abschließend ist das Ergebnis in beiden Fällen in gekürzte Form zu bringen.
Satz: Die rationalen Zahlen sind genau jene Zahlen mit periodischer Dezimaldarstellung.
Beispiele:
•
•
•
•
1
= 0.5 = 0.5000 . . . = 0.50• = 0.50.
2
1
= 0.333 . . . = 0.3• = 0.3.
3
1
= 0.1666 . . . = 0.16• = 0.16.
6
12
= 1.714285 714285 . . . = 1.714285:
7
12 : 7 = 1 . 714285 . . .
50
10
30
20
60
40
5 ...
•
Die Zahl 2.35 stellt den Bruch 233
dar.
99
Dazu sei x = 2.35, dann gilt 100x = 235.35 und
99x = 100x − x = 235.35 − 2.35 = 233,
•
woraus x = 233
folgt.
99
Die Zahl 52.123 stellt den Bruch 2868
dar.
55
Dazu sei x = 52.145, dann gilt 10x = 521.45 und 1000x = 52145.45 und
990x = 1000x − 10x = 52145.45 − 521.45 = 51624,
woraus
x=
10
51624
2868
=
.
990
55
§
Satz: Ist n eine natürliche Zahl, welche nicht durch 2 und nicht durch 5 teilbar ist, dann
hat n ein Vielfaches der Form 999 . . . 9.
Beispiel: Die Zahl 7 hat das Vielfache 999999. Dazu sei x =
1000000x = 142857.142857 folgt
999999x = 1000000x − x = 142857
Zusammen mit x =
1
7
und
x=
1
7
= 0.142857. Wegen
142857
.
999999
ergibt das 142857 · 7 = 999999.
Eine reelle Zahl ist eine Zahl mit einer “beliebigen” Dezimaldarstellung. Die Menge der
reellen Zahlen wird mit R bezeichnet. Für die Mengen N, Z, Q, R gilt somit:
N ( Z ( Q ( R.
Beispiele:
• Die Zahl mit der Dezimaldarstellung
0.101101110 1111
|{z} 0 |11111
{z } 0 . . .
4
5
ist ein Element
von R \ Q, da diese Zahl keine periodische Dezimaldarstellung besitzt.
√
• Die Zahl 2 ist√ein Element von R \ Q.
√
Angenommen, √2 wäre eine rationale Zahl, dann hätte 2 eine Darstellung
als
√
a
gekürzter Bruch 2 = b mit a, b ∈ N und ggT(a, b) = 1. Damit würde b · 2 = a und
b2 · 2 = a2 folgen. Also müsste a2 durch 2 teilbar sein, und damit auch a. Das würde
bedeuten, dass a2 sogar durch 4 teilbar wäre. Damit wäre aber b2 durch 2 teilbar, und
damit auch b. Das wäre ein Widerspruch zu ggT(a, b) = 1.
Rechenregeln: Es seien a, b, c reelle Zahlen, dann gilt:
• Assoziativität:
(a + b) + c = a + (b + c).
(a · b) · c = a · (b · c).
• Kommutativität:
a + b = b + a.
a · b = b · a.
• Distributivität:
a · (b + c) = a · b + a · c.
Ein Intervall ist eine Teilmenge von R der Form
• (abgeschlossen)
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ∧ x ≤ b},
• (offen)
(a, b) = ]a, b[ = {x ∈ R : a < x ∧ x < b},
• (halb offen)
[a, b) = [a, b[ = {x ∈ R : a ≤ x ∧ x < b} oder
(a, b] = ]a, b] = {x ∈ R : a < x ∧ x ≤ b}.
Der Absolutbetrag oder Betrag |x| einer reellen Zahl x ist
(
x
falls x ≥ 0,
|x| =
−x falls x < 0.
Beispiele: |3.5| = 3.5, |−2| = 2.
11
§
Kapitel 2. Zahlen
Potenzen: Bei einer Potenz xa heißt x die Basis und a der Exponent. Potenzen sind
definiert
•
•
•
•
•
für
für
für
für
für
x ∈ R und a = n mit n ∈ N (xn = x · · · x), oder
x 6= 0 und a = 0 (x0 = 1), oder
√
x ≥ 0 und a = rs ∈ Q mit a > 0 (xr/s = (x1/s )r mit x1/s = s x), oder
x ≥ 0 und a > 0 beliebig, oder
x > 0 und a = −b mit b > 0 (x−b = ( x1 )b ).
00 wird nicht festgelegt.
Beispiele: 11 = 1, 10 = 1, 102 = 100, 210 = 1024, 811/4 = 3.
Rechenregeln:
•
•
•
xa xb = xa+b .
(xa )b = xab .
xa y a = (xy)a .
Frage: Was bedeutet 22 ?
2
Logarithmen: Der Logarithmus logb x von x > 0 zur Basis b > 0 ist jene Zahl a, welche
eindeutig durch die Gleichung ba = x festgelegt wird. Es gilt also blogb x = x.
Spezielle Basen: b = 10 (dekadischer Logarithmus), b = 2 (dyadischer Logarithmus),
b = e = 2.71828 . . . (natürlicher Logarithmus).
Rechenregeln:
•
•
•
logb (xy) = logb x + logb y.
logb (xa ) = a logb x.
logb 1 = 0 und logb b = 1.
Um diese Rechenregeln für Logarithmen nachzuprüfen können die Rechenregeln für Potenzen verwendet werden. Zum Beispiel: Aus
und
xy = blogb (xy)
xy = blogb x blogb y = blogb x+logb y
folgt logb (xy) = logb x + logb y (Eindeutigkeit!). Oder aus
xa = blogb (x
a)
und
xa = (blogb x )a = ba logb x
folgt logb (xa ) = a logb x (Eindeutigkeit!).
Frage: Ist loge 2 rational?
Die Gleichung x√2 = −1 hat in R keine Lösungen. Daher wird R um die imaginäre Einheit
erweitert: i = −1. Eine komplexe Zahl ist von der Form a + bi mit a, b ∈ R. Dabei
heißt a Realteil, b Imaginärteil. Ist z =√a + bi eine komplexe Zahl, dann ist z = a − bi die
komplex Konjugierte von z und |z| = a2 + b2 der Absolutbetrag von z. Die Menge der
komplexen Zahlen ist C = {a + bi : a, b ∈ R}.
Rechnen in C:
•
•
•
12
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
1
c
d
= c2 +d
2 − c2 +d2 i.
c+di
Kapitel 3
Gleichungen und Ungleichungen
Beispiel: (lineare Gleichung)
Gesucht ist die Lösungsmenge von ax + b = 0.
Lösungsmenge: {− ab }, falls a 6= 0, ∅, falls a = 0 und b 6= 0, und R falls a = b = 0.
Beispiel: (quadratische Gleichung)
Gesucht ist die Lösungsmenge von ax2 + bx + c = 0 mit a 6= 0.
Lösungsmenge für b2 − 4ac ≥ 0:
√
√
−b − b2 − 4ac −b + b2 − 4ac
,
.
2a
2a
Lösungsmenge (in R) für b2 − 4ac < 0: ∅.
Beispiel: (Gleichungen mit Beträgen)
Gesucht ist die Lösungsmenge von |1 − |x − 2|| = 2. Dazu verwenden wir Fallunterscheidungen, denn
(
x−2
falls x − 2 ≥ 0, das heißt x ≥ 2,
|x − 2| =
−x + 2 falls x − 2 < 0, das heißt x < 2.
•
1. Fall: x ≥ 2:
(
3−x
falls 3 − x ≥ 0, das heißt x ≤ 3,
|1 − |x − 2|| = |1 − (x − 2)| = |3 − x| =
−3 + x falls 3 − x < 0, das heißt x > 3.
•
(a) x ≤ 3, also x ∈ [2, 3]:
3 − x = 2 =⇒ x = 1 ∈
/ [2, 3].
Es gibt in diesem Fall keine Lösungen.
(b) x > 3:
−3 + x = 2 =⇒ x = 5 > 3.
Also ist x = 5 eine Lösung.
2. Fall: x < 2:
(
x−1
falls x − 1 ≥ 0, das heißt x ≥ 1,
|1 − |x − 2|| = |1 + (x − 2)| = |x − 1| =
−x + 1 falls x − 1 < 0, das heißt x < 1.
13
§
Kapitel 3. Gleichungen und Ungleichungen
(a) x ≥ 1, also x ∈ [1, 2):
x − 1 = 2 =⇒ x = 3 ∈
/ [1, 2).
Es gibt in diesem Fall keine Lösungen.
(b) x < 1:
−x + 1 = 2 =⇒ x = −1 < 1.
Also ist x = −1 eine Lösung.
Lösungsmenge: {−1, 5}.
Beispiel: (Gleichungen mit Wurzeln)
√
√
Gesucht ist die Lösungsmenge von x + 1 + x − 1 = 2.
Quadrieren ergibt:
p
(x + 1) + 2 (x + 1)(x − 1) + (x − 1) = 4.
Also:
√
x2 − 1 = 2 − x.
Erneutes Quadrieren ergibt:
x2 − 1 = (2 − x)2 =⇒ x2 − 1 = 4 − 4x + x2 =⇒ 4x = 5 =⇒ x = 54 .
Kontrolle:
q
5
4
+1+
q
5
4
−1=
q
9
4
+
q
1
4
=
3
2
+
1
2
= 2.
Also ist x = 45 eine Lösung.
Lösungsmenge: { 54 }.
Beispiel: (quadratische Ungleichungen)
Gesucht sind Zahlen x mit x2 ≤ 4, das heißt x2 − 4 ≤ 0.
Dazu betrachten wir x2 − 4 = 0. Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen x = ±2.
Daraus folgt:
x2 − 4 = (x − 2)(x − (−2)) = (x − 2)(x + 2).
Gesucht sind also alle Zahlen x mit (x − 2)(x + 2) ≤ 0.
•
•
1. Fall: x − 2 ≥ 0 und x + 2 ≤ 0.
Daraus folgt x ≥ 2 und x ≤ −2. Widerspruch.
2. Fall: x − 2 ≤ 0 und x + 2 ≥ 0.
Also x ≤ 2 und x ≥ −2, das heißt x ∈ [−2, 2].
Insgesamt: {x ∈ R : x2 − 4 ≤ 0} = [−2, 2].
14
Kapitel 4
Summen und Produkte
Die Schreibweisen a1 + a2 + a3 + · · · + an und a1 · a2 · a3 · · · · · an werden
rasch unübersichtlich
P
und mühsam. Als Alternativen gibt es das Summenzeichen
( , vom griechischen GroßQ
buchstaben Σ für Summe) und das Produktzeichen ( , vom griechischen Großbuchstaben
Π für Produkt):
n
X
k=1
n
Y
ak = a1 + a2 + · · · + an ,
ak = a1 · a2 · · · · · an .
k=1
Allgemeiner:
s
X
ak = ar + ar+1 + · · · + as ,
k=r
wobei
•
•
•
•
ak der k-te Summand der Summe,
k der Laufindex der Summe,
r die untere Grenze der Summe,
s die obere Grenze der Summe ist.
Der Laufindex durchläuft der Reihe nach die ganzen Zahlen
r, r + 1, r + 2, . . . , s.
Analog:
s
Y
ak = ar · ar+1 · · · · · as ,
k=r
wobei
•
•
ak der k-te Faktor des Produkts ist,
et cetera.
15
§
Kapitel 4. Summen und Produkte
Beispiel:
6
X
2
Y
(2k + 1) = 7 + 9 + 11 + 13,
k=3
(k 2 + 1) = 5 · 2 · 1 · 2 · 5.
k=−2
Rechenregeln:
s
X
(cak ) = c
k=r
s
X
s
X
ak ,
k=r
s
Y
(cak ) = c
k=r
s−r+1
k=r
(ak + bk ) =
s
Y
s
X
ak +
k=r
t
X
bk ,
k=r
s
Y
s
Y
k=r
k=r
(ak · bk ) =
ak ,
k=r
s
X
ak ·
ak =
k=r
s
Y
bk ,
k=r
s
X
ak +
k=r
t
Y
ak =
k=r
s
Y
t
X
ak ,
k=s+1
ak ·
k=r
t
Y
ak .
k=s+1
Laufindex verschieben:
a1 + a2 + a3 + a4 =
4
X
ak =
k=1
3
X
ak+1 =
k=0
5
X
ak−1 = · · · .
k=2
Beispiel: (“Teleskop-Summe”)
n
X
2
(k + 1) − k
2
n
n
n+1
n
X
X
X
X
2
2
2
=
(k + 1) −
k =
k −
k2
k=1
k=1
=
k=1
X
n
k=2
k 2 + (n + 1)2
k=1
n
X
2
k
− 1+
k=2
k=2
2
2
= (n + 1) − 1 = n + 2n + 1 − 1 = n2 + 2n.
Geometrische Summe:
n
X
ak = a0 + a1 + · · · + an = ???
k=0
Wir betrachten
(a − 1)
n
X
ak = a
k=0
=
n
X
k=0
n+1
X
ak −
k
a −
k=1
n
X
k=0
n
X
ak =
k
k=0
n
X
n
X
k=1
16
X
n
n
X
ak
k=0
k
a +a
n+1
n
X
k
− 1+
a = an+1 − 1.
k=1
k=0
Kleiner Gauß:
ak+1 −
k=0
a =
Also gilt
n
X
ak =
k=1
an+1 − 1
.
a−1
k = 1 + 2 + · · · + n = ???
§
Gauß-Trick:
1
+
2
+ · · · + (n − 1) +
n
n
+ (n − 1) + · · · +
2
+
1
(n + 1) + (n + 1) + · · · + (n + 1) + (n + 1) = n · (n + 1)
Also
Pn
k=1
k = 21 n(n + 1).
Gauß-Trick geometrisch:
=
+
Bernoulli-Trick: Wegen (k + 1)2 = k 2 + 2k + 1 folgt
n
n
n
n
n
X
X
X
X
X
2
2
2
(k + 1) =
(k + 2k + 1) =
k +2
k+
1.
k=1
k=1
k=1
k=1
{z }
|k=1
=n
Umstellen:
2
n
X
k=
n
X
k=1
(k + 1)2 −
n
X
k=1
k2 − n =
n+1
X
k=1
k2 −
k=2
n
X
k2 − n
k=1
2
= (n + 1) − 1 − n = n(n + 1).
Also
Pn
k=1
k=
1
n(n
2
+ 1).
Fakultät: (n ∈ N)
0! = 1
und
n! = n · (n − 1) · · · 1 =
n
Y
k.
k=1
Binomialkoeffizient: (n ∈ N ∪ {0}, k ∈ {0, 1, . . . , n})
n
n!
=
k
k!(n − k)!
Pascal’sche Regel:
n
n
=
=1
0
n
Pascal’sches Dreieck:
n
n−1
n−1
=
+
.
k
k−1
k
und
0
0
=1
1
0
=1
1
1
2
0
=1
2
1
=2
3
0
=1
3
1
=3
3
2
=1
4
1
=4
4
2
4
0
=6
=1
2
2
=1
=3
3
3
4
3
=4
=1
4
4
=1
17
§
Kapitel 4. Summen und Produkte
Binomische Formel:
(a + b)0
(a + b)1
(a + b)2
(a + b)3
= 1 · a0 b 0 ,
= 1 · a1 b 0 + 1 · a0 b 1 ,
= 1 · a2 b 0 + 2 · a1 b 1 + 1 · a0 b 2 ,
= 1 · a3 b 0 + 3 · a2 b 1 + 3 · a1 b 2 + 1 · a0 b 3 ,
...
Allgemein:
n n n 0
n n−1 1
n 0 n X n n−k k
(a + b) =
a b +
a b + ··· +
ab =
a b .
0
1
n
k
k=0
n
Beweis?
Vollständige Induktion: Es sei A(n) eine Aussage, die von einer ganzen Zahl n ≥ 0
(oder n ≥ 1) abhängt. Wir beweisen zweierlei:
•
•
Induktionsanfang: A(n) gilt für n = 0 (oder n = 1).
Induktionsschritt: Wenn A(n) für ein beliebiges n gilt (Induktionsvoraussetzung),
dann gilt auch A(n + 1).
Damit gilt A(n) für alle n ≥ 0 (oder für alle n ≥ 1).
P
Beispiel: Es sei A(n) die Gleichheit nk=1 k = 12 n(n + 1).
P
• Induktionsanfang für n = 1: 1k=1 k = 1 und 21 · 1 · (1 + 1) = 1. Also gilt A(1).
• Induktionsschritt:
A(n) ist
A(n + 1) ist
n
X
k=1
n+1
X
k = 12 n(n + 1),
k = 12 (n + 1)(n + 1 + 1).
k=1
Damit:
n+1
X
k=1
k=
n
X
k + (n + 1) = 21 n(n + 1) + (n + 1) = 12 (n + 1)(n + 1 + 1).
k=1
Beispiel: Für alle n ∈ N ist n2 + n gerade.
•
•
Induktionsanfang für n = 1: 12 + 1 = 2 ist gerade.
Induktionsschritt:
A(n) ist “n2 + n ist gerade”,
A(n + 1) ist “(n + 1)2 + (n + 1) ist gerade”.
Damit:
2
(n + 1)2 + (n + 1) = n2 + 2n + 1 + n + 1 = n
+ n} + 2n
+ 2}
| {z
| {z
ist gerade
ist eine gerade Zahl.
18
ist gerade
§
Beweis der Binomischen Formel:
•
Induktionsanfang für n = 0:
n X
n n−k k
(a + b) = 1 = 1 · a b =
a b .
k
k=0
0
•
0 0
Induktionsschritt:
A(n) ist die Gleichheit (a + b) =
n
A(n + 1) ist die Gleichheit (a + b)n+1
n X
n
an−k bk ,
k
k=0
n+1 X
n + 1 n+1−k k
=
a
b .
k
k=0
Damit:
(a + b)
n+1
n
= (a + b) · (a + b) = (a + b)
n X
n
k=0
k
an−k bk
n n X
n n+1−k k X n n−k k+1
=
a
b +
a b
k
k
k=0
k=0
n n X
n n+1−k k X
n
n+1
=a
+
a
b +
an+1−k bk + bn+1
k
k
−
1
k=1
k=1
n
X n+1
= an+1 +
an+1−k bk + bn+1
k
k=1
n+1
X
n + 1 n+1−k k
=
a
b .
k
k=0
19
Kapitel 5
Trigonometrie
Winkel werden in Grad oder im Bogenmaß gemessen:
voller Winkel = 360° = 2π.
Winkelfunktionen:
Gegenkathete
Sinus: sin α =
Hypotenuse
Kosinus: cos α =
e
p
Hy
Ankathete
Hypotenuse
sin α
Gegenkathete
=
Tangens: tan α =
Ankathete
cos α
Satz von Pythagoras:
(cos α)2 + (sin α)2 = 1.
us
n
e
t
o
α
•
Ankathete
α
Sinussatz & Kosinussatz:
a
b
c
Sinussatz:
=
=
sin α
sin β
sin γ
c
Kosinussatz: c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
b
γ
β
a
Beweis zum Sinussatz:
Es gilt: sin β = hc und sin γ = hb .
Damit: c sin β = h = b sin γ.
h
Also: sinb β = bc
= sinc γ .
c
h
β
•
a
20
b
γ
Gegenkathete
2π ist der Umfang eines Kreises mit Radius 1.
§
Der Berg im See:
2m
Höhe h = ?
Entfernung x
Berg
10°
12°
See
Spiegelung
Es gilt:
tan(10°) =
h−2
x
und
tan(12°) =
h+2
.
x
Damit:
h−2
h+2
=x=
,
tan(10°)
tan(12°)
2(tan(12°) + tan(10°))
h=
≈ 21.4677 . . . m.
tan(12°) − tan(10°)
Additionstheoreme:
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β,
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β.
cos(α + β)
•
sin(α) sin(β)
α+β
cos(α) sin(β)
1
sin(α + β)
α
•
(β )
cos
sin(α) cos(β)
Folgerung:
Mithilfe des Satzes von Pythagoras
(cos α)2 + (sin α)2 = 1 folgt
cos(2α) = (cos α)2 − (1 − (cos α)2 )
= 2(cos α)2 − 1.
Also
4(cos α)2 = 2 + 2 cos(2α)
und
p
2 cos α = 2 + 2 cos(2α)
für α ∈ [0, π2 ].
(β )
sin
Winkelverdoppelung: (α = β)
sin(2α) = 2 sin α cos α,
cos(2α) = (cos α)2 − (sin α)2 .
β
α
cos(α) cos(β)
•
21
§
Kapitel 5. Trigonometrie
Insbesondere gilt für α =
π
2
2 cos( π2 ) = 0,
√
√
2 cos( π4 ) = 2 + 0 = 2,
q
√
π
2 cos( 8 ) = 2 + 2,
r
q
√
π
2 cos( 16 ) = 2 + 2 + 2,
s
r
q
π
2 cos( 32
)=
2+
2+
2+
√
2,
...
2=
da cos 0 = 1 ist.
22
v
u
u
t
s
2+
2+
r
q
√
2 + 2 + 2 + · · ·,
Kapitel 6
Vektoren
Ebene: R2 = R × R = {(x, y) : x, y ∈ R}.
Raum: R3 = R × R × R = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}.
Allgemein: Rn = R
· · × R} = {(x1 , . . . , xn ) : x1 , . . . , xn ∈ R}.
| × ·{z
n mal


x1
 
Zeilenvektor: (x1 , . . . , xn ). Spaltenvektor:  ... .
xn
Länge eines Vektors: (Satz von Pythagoras)
 
x p
y  = x2 + y 2 + z 2 ,
z x p
2
2
y = x +y ,
 
x1 q
 .. 
 .  = x21 + · · · + x2n .
xn Rechnen mit Vektoren:
•
Addition:

   

u1
v1
u1 + v1
 ..   ..   .. 
 .  +  .  =  . .
un
•
vn
Multiplikation mit einer Zahl (Skalar) α ∈ R:
  

v1
αv1
  

α  ...  =  ...  .
vn
•
un + vn
αvn
Skalarprodukt:

  
u1
v1
n
 ..   ..  X
uk vk = u1 v1 + · · · + un vn .
 . · . =
k=1
un
vn
23
§
Kapitel 6. Vektoren
Rechenregeln: Es seien ~u, ~v , w
~ ∈ Rn und es seien α, β ∈ R.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w).
~
~u + ~v = ~v + ~u.
(αβ)~u = α(β~u).
(α + β)~u = α~u + β~u.
α(~u + ~v ) = α~u + α~v .
~u · ~v = ~v · ~u.
(α~u) · ~v = α(~u · ~v ) = ~u · (α~v ).
~u · (~v + w)
~ = ~u · ~v + ~u · w.
~
2
k~uk = ~u · ~u.
kα~uk = |α|k~uk.
Winkel zwischen ~u und ~v : Der
zwischen den Vektoren ~u und ~v
eingeschlossene Winkel ϕ mit ϕ ∈
[0, 180°] erfüllt
~u · ~v = k~uk k~v k cos ϕ.
Insbesondere gilt ~u · ~v = 0 genau
dann, wenn ϕ = 90° ist.
~u − ~v
~v
ϕ
~u
Beweis: Mithilfe des Kosinussatzes gilt
k~u − ~v k2 = k~uk2 + k~v k2 − 2k~uk k~v k cos ϕ.
Aufgrund der Rechenregeln gilt
k~u − ~v k2 = (~u − ~v ) · (~u − ~v )
= ~u · ~u − 2~u · ~v + ~v · ~v
= k~uk2 − 2~u · ~v + k~v k2 .
Damit folgt
k~uk2 − 2~u · ~v + k~v k2 = k~uk2 + k~v k2 − 2k~uk k~v k cos ϕ
und
~u · ~v = k~uk k~v k cos ϕ.
Kreuzprodukt im R3 :
    

u1
v1
u2 v3 − u3 v2
u2  × v2  = −(u1 v3 − u3 v1 ) .
u3
v3
u1 v2 − u2 v1
Eigenschaften: Es seien ~u, ~v ∈ R3 .
•
•
•
24
~u · (~u × ~v ) = 0 und ~v · (~u × ~v ) = 0.
Also steht ~u × ~v senkrecht auf ~u und ~v .
~u × ~v = −~
v× ~u.
0
~u × ~u = 0 .
0
§
Länge des Kreuzproduktes: Wegen
k~u × ~v k2 = (~u × ~v ) · (~u × ~v )
= . . . Rechnen . . .
= k~uk2 k~v k2 − (~u · ~v )2
= k~uk2 k~v k2 (1 − (cos ϕ)2 )
|
{z
}
=(sin π)2
gilt
k~u × ~v k = k~uk k~v k sin ϕ,
wobei ϕ der Winkel zwischen ~u und ~v ist.
~u
Flächeninhalt A des Parallelogramms zu ~u, ~v :
Wegen h = k~v k sin ϕ folgt
~v
h
A = h k~uk = k~uk k~v k sin ϕ = k~u × ~v k.
ϕ
~v
•
~u
25
Kapitel 7
Konvergenz von Folgen
Eine Folge (an )n≥1 = (a1 , a2 , . . . ) ordnet jeder natürlichen Zahl n eine reelle Zahl zu. Dabei
heißt an das n-te Folgenglied.
Konvergenz: (an )n≥1 nähert sich einer Zahl a ∈ R (dem Grenzwert) immer mehr an.
1
2
a1 =
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
a5 =
1
9
a6 =
a7 =
a8 =
•
a9 =
•
a4 =
1
3
a2 =
•
a3 =
an
nähert sich dem Grenzwert 0 an.
1
n
1
1
Beispiel: Die Folge (an )n≥1 mit an =
•
•
•
1
2
•
3
Beispiel: Die Folge (an )n≥1 mit an =
•
•
6
7
8
9
n
4
5
(−1)n
n
nähert sich dem Grenzwert 0 an.
an
a2 =
•
1
1
2
a4 =
3
2
•
a3 = − 31
•
4
1
4
5
a6 =
•
a5 = − 15
•
6
1
6
7
•
a8 =
•
1
8
9
•
n
8
1
a7 = − 17 a9 = − 9
•
a1 = − 11
Beispiel: Die Folge (an )n≥1 mit an = 10−n nähert sich dem Grenzwert 0 an.
26
§
Formale Definition der Konvergenz: Eine Folge (an )n≥1 heißt konvergent gegen den
Grenzwert a ∈ R (oder konvergiert gegen a), wenn folgendes gilt:
Für jedes ε > 0 gibt es ein N ∈ N, so dass an ∈ (a − ε, a + ε) für alle n ≥ N gilt.
an
•
•
a+ε
a
a−ε
•
•
•
•
•
n
N +3
N +2
3
N +1
2
N
1
Alternative Formulierung für an ∈ (a − ε, a + ε):
Für jedes ε > 0 gibt es ein N ∈ N, so dass |an − a| < ε für alle n ≥ N gilt.
Schreibweise: an → a für n → ∞ oder limn→∞ an = a.
Unendliche Summen und unendliche Produkte: Es sei (an )n≥1 eine Folge. Die n-te
Partialsumme von (an )n≥1 ist
sn =
n
X
ak = a1 + · · · + an .
k=1
Das n-te Partialprodukt von (an )n≥1 ist
pn =
n
Y
ak = a1 · · · an .
k=1
Wir schreiben
∞
X
ak = s,
k=1
falls die Folge (sn )n≥1 der Partialsummen gegen s konvergiert, und wir schreiben
∞
Y
ak = p,
k=1
falls die Folge (pn )n≥1 der Partialprodukte gegen p konvergiert.
Beispiel: Es sei an = 10−n , dann ist die n-te Partialsumme gleich
sn =
1
1
1
+
+ · · · + n = 0.1 + 0.01 + · · · + 0.0 . . . 01 = 0. 1| .{z
. . 1} .
10 100
10
n mal
Damit:
∞
X
1
1
= 0.1 = .
n
10
9
k=1
27
§
Kapitel 7. Konvergenz von Folgen
Basler Problem: (Euler)
∞
X
1
π2
.
=
2
k
6
k=1
Vieta-Produkt:
√
p
√
2
2
2+ 2
=
·
·
π
2
2
q
2+
p
2
√
2+ 2
r
q
p
√
2+ 2+ 2+ 2
·
2
···
Zu Erinnerung:
√
2
,
2
p
√
2
+
2
cos( π8 ) =
,
q 2 p
√
2+ 2+ 2
π
cos( 16 ) =
,
2
r
q
p
√
2+ 2+ 2+ 2
π
cos( 32
,
)=
2
...
cos( π4 )
Also
=
∞
π
2 Y
cos k+1 .
=
π k=1
2
Verträglichkeit von Grenzwertbildung und Funktionsanwendung: Es sei f : R →
R eine Funktion. Eine wünschenswerte Eigenschaft von f ist die Verträglichkeit mit der
Grenzwertbildung:
f lim an = lim f (an )
n→∞
n→∞
für alle konvergenten Folgen (an )n≥1 . In diesem Fall heißt f stetig.
28
Kapitel 8
Ableitungen
Die Aufgabe der Differenzialrechnung ist die Bestimmung der Tangente in einem Punkt des
Funktionsgraphen einer Funktion f : R → R. Dazu genügt es die Steigung der Tangente
zu bestimmen.
Beispiel: Es sei f : R → R mit f (x) = x2 und es sei x0 ∈ R. Die Sekante
Steigung der Sekante =
x2 − x20
f (x) − f (x0 )
=
= x + x0 .
x − x0
x − x0
Die Steigung der Tangente sollte sich durch das Einsetzen von x = x0 ergeben:
Steigung der Tangente = x0 + x0 = 2x0 .
f (x)
Tangente zu x0
Sekante zu x0 und x
x
x0
x
Definition der Ableitung: Die Ableitung f 0 (x0 ) oder
df
(x0 )
dx
an der Stelle x0 ∈ R ist
f (xn ) − f (x0 )
,
n→∞
xn − x0
f 0 (x0 ) = lim
sofern der Grenzwert für beliebige Folgen (xn )n≥1 mit xn → x0 und xn 6= x0 existiert und
immer dasselbe Ergebnis liefert. In diesem Fall heißt f in x0 differenzierbar.
29
§
Kapitel 8. Ableitungen
Höhere Ableitungen:
f 00 (x0 ), f 000 (x0 ), . . . , f (n) (x0 )
d2 f
d3 f
dn f
(x
),
(x
),
.
.
.
,
(x0 ).
0
0
dx2
dx3
dxn
und f (0) (x0 ) =
d0 f
(x0 )
dx0
beziehungsweise
= f (x0 ).
Rechenregeln: Es seien f und g differenzierbare Funktionen und es seien a, b ∈ R, dann
gilt:
•
Linearität: (af + bg)0 = af 0 + bg 0 .
•
Produktregel: (f g)0 = f 0 g + f g 0 .
•
Quotientenregel: ( fg )0 =
•
Kettenregel: (f (g(x)))0 = f 0 (g(x))g 0 (x).
Dabei heißt f 0 (g(x)) die äußere Ableitung und g 0 (x) die innere Ableitung.
f 0 g−f g 0
.
g2
Ableitungen von speziellen Funktionen:
•
•
•
(xr )0 = rxr−1 für r 6= 0.
(ex )0 = ex und (ln x)0 = x1 .
(sin x)0 = cos x und (cos x)0 = − sin x.
Beispiele:
•
•
•
•
•
(3x3 + 4x4 )0 = 3(x3 )0 + 4(x4 )0 = 3 · 3x2 + 4 · 4x3 = 9x2 + 16x3 .
√
( x2 + 1)0 = 2√x12 +1 · 2x = √xx2 +1 .
sin x 0
(tan x)0 = ( cos
) =
x
(sin x)0 cos x−sin x(cos x)0
(cos x)2
cos x
(ecos x )0 = ecos x · (− sin x) = −e
x 0
(x ) = (e
x ln x 0
) =e
x ln x
(ln x +
x
)
x
=
(cos x)2 +(sin x)2
(cos x)2
=
1
.
(cos x)2
sin x.
= xx + xx ln x.
Berechnung von Extremwerten: Ist f differenzierbar und ist x0 ein lokales Extremum,
dann gilt f 0 (x0 ) = 0. Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch!
Beispiel: Für die Funktion f : R → R mit f (x) = x3 gilt f 0 (0) = 0, aber x0 = 0 ist kein
lokales Extremum.
Monotonie und Konvexität: Es sei f : R → R eine Funktion.
•
•
30
Gilt f 0 (x) ≥ 0 (beziehungsweise f 0 (x) ≤ 0) für alle x ∈ (a, b), dann ist f auf dem
Intervall (a, b) monoton wachsend (beziehungsweise monoton fallend).
Gilt f 00 (x) ≥ 0 (beziehungsweise f 0 (x) ≤ 0) für alle x ∈ (a, b), dann ist f auf dem
Intervall (a, b) konvex (beziehungsweise konkav).
Kapitel 9
Integration
Die Aufgabe der Integralrechnung ist die Bestimmung der Fläche zwischen einer Funktion
und der x-Achse. Dazu sei f : R → R eine Funktion und es sei [a, b] ⊆ R ein Intervall.
f (x)
Z
b
f (x) dx
a
x
a
b
Definition mithilfe von Riemann-Summen: Der Flächeninhalt zwischen Funktion
und x-Achse wird mithilfe von schmalen Rechtecken approximiert. Dazu sei a = x0 <
x1 < · · · < xn = b eine Zerlegung von [a, b] in n Teilintervalle. Außerdem sei t1 ∈ [x0 , x1 ],
t2 ∈ [x1 , x2 ], . . . , tn ∈ [xn−1 , xn ].
f (x)
•
•
•
•
•
x0
t 1 x1
•
t2 x2 t3 x3 t4 x4 t5 x5
t6 x6
x
Die Summe der Rechtecksflächeninhalte ist die Riemann-Summe
n
X
f (tk )(xk − xk−1 ).
k=1
Ist der Grenzübergang, bei dem die Zerlegung immer
feiner wird, erlaubt, dann heißt der
Rb
Grenzwert der Riemann-Summen das Integral a f (x) dx von f auf dem Intervall [a, b].
31
§
Kapitel 9. Integration
Stammfunktion: Eine Funktion F : R → R heißt Stammfunktion von f : R → R, wenn
F 0 (x) = f (x) für alle x ∈ R gilt. Sind F1 und F2 zwei Stammfunktionen von f , dann gibt
es eine Konstante c ∈ R so, dass F2 (x) = F1 (x) + c für alle x ∈ R gilt.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
•
Ist f : R → R stetig und ist F : R → R durch
Z t
F (t) =
f (x) dx
a
•
gegeben, wobei a ∈ R beliebig ist, dann ist F eine Stammfunktion von f .
Ist F eine Stammfunktion der stetigen Funktion f , dann gilt
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
für alle a, b ∈ R mit a < b.
Rechenregeln: Es seien f, g stetige Funktionen und α, β, a, b ∈ R.
•
Linearität:
Z
Z
Z
αf (x) + βg(x) dx = α
b
Z
f (x) dx + β
b
Z
αf (x) + βg(x) dx = α
a
•
g(x) dx,
Z
b
f (x) dx + β
a
g(x) dx.
a
Partielle Integration:
Z
Z
0
f (x)g (x) dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x) dx,
Z b
Z b
h
ib
0
f (x)g (x) dx = f (x)g(x)
−
f 0 (x)g(x) dx.
x=a
a
a
Denn aufgrund der Produktregel gilt
Z
Z
0
f (x)g(x) + C = (f (x)g(x)) dx = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x) dx.
•
Substitution: Es sei u : R → R “schön”.
Z
Z
0
f (x) dx
f (u(t))u (t)dt =
,
x=u(t)
Z
b
0
Z
u(b)
f (u(t))u (t)dt =
a
f (x) dx.
u(a)
Denn aufgrund der Kettenregel gilt
Z
Z
Z
0
f (x) dx
= F (u(t)) + C =
F (u(t)) dt = F 0 (u(t))u0 (t) dt,
x=u(t)
wobei F eine Stammfunktion von f sei.
32
§
Integrale spezieller Funktionen: Unter Verwendung des Hauptsatzes gilt folgendes:
R r
1
•
x dx = r+1
xr+1 + C für r 6= −1.
R 1
• R x dx = ln|x| + C.
• R ex dx = ex + C.
• R sin x dx = − cos x + C.
•
cos x dx = sin x + C.
Beispiele:
R 1
√
+ x dx:
•
x2
Z
•
R
R
+
Z
x dx =
1
−1
· x−1 +
1
3/2
· x3/2 + C = − x1 +
2
3
√
x3 + C.
Z
f 0 (x) = 1 f (x) = x
1 · ln x dx =
= x ln x − x · x1 dx = x ln x − x + C.
g(x) = ln x g 0 (x) = x1
xex dx: Mithilfe von partieller Integration gilt
Z
f (x) = x f 0 (x) = 1
x
x · e dx = 0
= xe − ex dx = xex − ex + C.
g (x) = ex g(x) = ex
x
R√
2x + 1 dx: Mithilfe von Substitution gilt
Z
•
x−2 + x1/2 dx =
Z
•
√
ln x dx: Mithilfe von partieller Integration gilt
Z
•
1
x2
R


Z
u(x)
=
2x
+
1
√
√ 1
du


=2
2x + 1 dx =
u · 2 du
=
dx
1
dx = 2 du
p
Rücksubst.
= 12 · 32 u3/2 + C = 13 (2x + 1)3 + C.
xex dx: Mithilfe von Substitution gilt
2

Z
u(x) = x2
x2
du


= 2x
xe dx =
= eu · 12 du = 12 eu + C
dx
1
xdx = 2 du

Z
•
Rücksubst.
=
1 x2
e
2
+ C.
R√
1 − x2 dx: Wir suchen nach einer Substitution, so dass aus 1 − x2 ein Ausdruck der
Form y 2 entsteht. Also y 2 = 1 − x2 und x2 + y 2 = 1. Letzteres ist die Kreisgleichung
für den Kreis um den Ursprung mit Radius 1. Diesen Kreis können wir mithilfe von
Kosinus und Sinus parametrisieren:
{(x, y) : x2 + y 2 = 1} = {(cos α, sin α) : α ∈ [0, 2π)}.
Daher verwenden wir die Substitution x(α) = cos α:


Z √
Z p
Z
x(α) = cos α
2
dx
2


= − sin α
1 − x dx =
1 − (cos α) (− sin α) dα = − (sin α)2 dα.
=
dα
|
{z
}
dx = − sin αdα
=(sin α)2
33
§
Kapitel 9. Integration
Dieses unbestimmte Integral berechnen wir mithilfe von partieller Integration:
Z
Z
f (α) = sin α f 0 (α) = cos α
2
(sin α) dα = 0
= − sin α cos α + (cos α)2 dα
g (α) = sin α g(x) = − cos α
Z
Z
2
= − sin α cos α + 1 − (sin α) dα = − sin α cos α + α − (sin α)2 dα.
Daraus folgt
Z
(sin α)2 dα = 21 (α − sin α cos α).
Durch Rücksubstitution erhalten wir schließlich
Z √
√
1 − x2 dx = − 21 arccos x + 12 x 1 − x2 .
34