Schulmathematik vom Höheren Standpunkt

Apl.-Prof. Dr. Jens Wirth
Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung
Universität Stuttgart
Schulmathematik
vom Höheren Standpunkt
Sommersemester 2017
c Jens Wirth
Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung
5
1 Zahlen
1.1 Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . .
1.2 Zahl und Maß . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Kettenbrüche . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Unendliche Kettenbrüche . . . . . . . .
1.5 Die Suche nach π . . . . . . . . . . . .
1.6 Algebraische und transzendente Zahlen
2 Funktionen
2.1 Polynome . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Polynomgleichungen . . . . . . . .
2.3 Potenz- und Logarithmusfunktionen
2.4 Trigonometrische Funktionen . . .
2.5 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . .
2.6 Arcus- und Areafunktionen . . . . .
2.7 Fortsetzungen ins Komplexe . . . .
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7
7
7
16
21
27
30
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37
37
45
48
58
73
77
85
3 Strukturen
95
3.1 Axiomatischer Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2 Konstruktiver Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3 Axiome und Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3
Inhaltsverzeichnis
4
0 Einleitung
Warum das Ganze? Mathematik ist mehr als die Gesamtheit auswendigzulernender Aussagen,
mehr als ein Spiel mit Axiomatik und logischen Folgerungen. Mathematik ist ebenso Kulturgeschichte der Menschheit, Ergebnis einer langen und historisch bedingten Entwicklung und
damit auch im Wechselspiel mit außermathematischen Einflüssen zu verstehen.
Wir legen hier keinen Wert auf eine brilliant saubere Formulierung ausgehend von Axiomen,
die für sich genommen nur die zugrundeliegenden logischen Zusammenhänge formalisieren aber
keine darüber hinausgehende Bedeutung besitzen. Wir fragen stattdessen lieber nach dem
Warum?
bei Definitionen und interessieren uns, wieso man Mathematik genau in dieser Weise tut.
Wir wollen Mathematik, also insbesondere die Elementarmathematik, vor ihrem historischen
Hintergrund aber nichtsdestotrotz mathematisch sauber betrachten. Inhalte der Vorlesung
knüpfen an den Schulstoff an, Schlagwörter erinnern mit Absicht an aktuelle Bildungspläne.
Die Aufbereitung ist historisch motiviert, der Großteil der Darstellung selbst aber aus der
Blickrichtung der Analysis gestaltet.
Wir betrachten in den folgenden Abschnitten
(1) Zahlen
Kommensurabilität und Inkommensurabilität von Strecken. Kettenbruchsdarstellungen.
Rationale Approximationen. Geometrische Konzepte. Irrationalität und Transzendenz.
(2) Funktionen
Elementarfunktionen und deren Definition. Grundlegende Eigenschaften. Funktionalgleichungen. Differenzierbarkeit und Stetigkeit. Analytizität.
(3) Grundlegende Konzepte moderner Mathematik
Mengenlehre. Axiomatische Modelle im Rahmen der Mengenlehre.
Es gibt kein Buch, dem wir direkt folgen. Allerdings empfiehlt es sich einen Blick in die beiden
Bände
Felix Klein. Elementarmathematik vom Höheren Standpunkte aus.
(Springer-Verlag 1924-28)
zu werfen. Felix Klein war der erste, der eine Vorlesung zur Elementarmathematik speziell
für Lehramtsstudenten angeboten hat. Ebenso lesenswert, aber schwer zu finden, sind Skripte
späterer Vorlesungen zur Schulmathematik, wie zum Beispiel
Hellmuth Kneser. Wissenschaftliche Grundlagen der Schulmathematik.
(Vorlesungsskript. Universität Tübingen 1954)
5
0 Einleitung
6
1 Zahlen
1.1 Natürliche Zahlen
Über natürliche Zahlen
N = {1, 2, 3, . . . }
(1.1.1)
kann man viel berichten, wir setzen diese trotz allem sowohl konzeptionell als auch inhaltlich
voraus1 und beschäftigen uns mit weiterführenden Zahlkonzepten.
Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
(Leopold Kronecker)
1.2 Zahl und Maß
Die natürlichen Zahlen treten natürlich beim Zählen von Objekten auf. Ein neuartiger und
von den natürlichen Zahlen abweichender Zahlbegriff tritt auf, wenn man statt (zählbarer)
Entitäten geometrische Objekte in ihrer Größe vergleichen will. Damit verbundene Probleme
sind typisch für die Mathematik der griechischen Antike. Wir müssen dazu etwas ausholen
und einen Exkurs zur Geometrie unternehmen.
Unser Ziel ist es, die Länge einer Strecke im Vergleich zu einer gegebenen Strecke (einer
Längeneinheit) zu bestimmen. Dazu nutzen wir
• ein Lineal, welches es uns erlaubt durch zwei gegebene Punkte eine Gerade zu zeichnen;
• einen Zirkel, der es uns nur erlaubt Längen zu übertragen;
sowie zum wirklichen messen eine vorgegebene Referenzstrecke. Wir nehmen an, dass Punkte
und Geraden Objekte der ebenen Euklidischen Geometrie sind. Andere Geometrien waren den
Griechen der Antike auch nicht bekannt...
1
Zu bemerken ist allerdings, dass natürliche Zahlen in zwei Konzepten auftreten. Sie sind einerseits
Ordinalzahlen und beschreiben als solche die Anordnung von Objekten. Verstanden als Ordinalzahlen beginnen die natürlichen Zahlen bei Eins und das ist die Konvention der wir hier folgen
werden.
sowie andererseits
Kardinalzahlen und beschreiben in dieser Eigenschaft Anzahlen von Objekten. Verstanden als
Kardinalzahlen ist es natürlich, die natürlichen Zahlen bei Null beginnen zu lassen.
7
1 Zahlen
Die erlaubten Operationen beschränken sich damit auf
(1) das Zeichnen eines beliebigen Punktes;
(2) das Zeichnen einer Geraden durch zwei gegebene Punkte;
(3) das Bestimmen des Schnittpunktes zweier gegebener Geraden (so existent);
(4) das Aufnehmen des Abstandes zweier Punkte in den Zirkel und Abtragen des Abstands
von einem gegebenen Punkt einer Geraden in eine vorgegebene (durch ein Punktepaar
bestimmte) Richtung;
(5) das Feststellen, dass zwei Punkte übereinstimmen.
(6) das Feststellen, ob ein Punkt auf einer Geraden zwischen zwei anderen Punkten liegt.
Das ist im Gegensatz zu sonst üblichen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal eine eingeschränkte Nutzbarkeit des Zirkels. Für unser Messproblem ist sie allerdings ausreichend. Für
Konstruktionen nutzt man einen besseren Zirkel. Dieser kann zusätzlich
(7) um einen gegebenen Punkt einen Kreis mit einem vorher aufgenommenen Abstand als
Radius zeichnen;
(8) die Schnittpunkte des Kreises mit schon vorher gezeichneten Kreisen oder Geraden (so
existent) bestimmen.
Man beachte, dass das ideale Lineal sehr mächtig ist. Es kann insbesondere zu zwei gegebenen
Geraden (also zwei Punktepaaren) bestimmen, ob sich die beiden Geraden schneiden oder ob
sie parallel sind. Ebenso ist der Zirkel mächtig, er kann bestimmen ob eine Gerade weiter als
der aufgenommene Abstand von einem Punkt entfernt ist. Alle diese Operationen sind nicht
als näherungsweise ausgeführt sondern als exakt zu verstehen.
Im folgenden bezeichne P die Menge der Punkte der Ebene. Unter einer Strecke verstehen wir
ein Paar von Punkten. Die Gesamtheit aller Strecken sei mit S bezeichnet, es gilt also
S = {A, B} : A, B ∈ P, A 6= B ,
(1.2.1)
manchmal sollten Strecken orientiert sein, dann nutzt man alternativ
So = (A, B) : A, B ∈ P, A 6= B .
(1.2.2)
Durch vergessen der Orientierung kann man Elementen von So Elemente aus S zuordnen.
Weiter nennen wir zwei Strecken a ∈ S und b ∈ S kongruent, in Zeichen a ' b, wenn sie
mit dem Zirkel aufeinander abtragbar, also von gleicher Länge, sind. Kongruenz von Strecken
ist eine Äquivalenzrelation auf S. Offenbar gilt stets a ' a. Weiterhin ist die Symmetrie der
Relation
a'b
gilt genau dann, wenn
b'a
(1.2.3)
eine direkte Folgerung aus der Symmetrie des Zirkels (also den beiden ununterscheidbaren
Spitzen des Zirkels). Ebenso ist die Transitivität der Relation
a'b
und
b'c
impliziert
a'c
(1.2.4)
konstruktionsbedingt klar. Wir können Operationen für Strecken definieren. Dazu verwenden
wir zuerst orientierte Strecken und definieren zu a ∈ So und b ∈ So ihre Summe a + b als
diejenige (orientierte) Strecke, die entsteht, wenn man die im Zirkel aufgenommene Strecke b
auf der durch a bestimmten Geraden über den Endpunkt hinaus abträgt.
8
1.2 Zahl und Maß
Proposition 1.2.1. Für a, b ∈ So gilt
a + b ' b + a.
(1.2.5)
Motivation und Beweis. Für einen Beweis siehe nachfolgendes Bild.
Die Strecken a und b sind dazu parallel gewählt, sich entsprechende Dreiecke sind aufgrund
einer übereinstimmenden Seite und gleicher Winkel kongruent.
Proposition 1.2.2. Seien a, b, c ∈ So und gelte a ' b. Dann folgt a + c ' b + c.
Proposition 1.2.3. Seien a, b, c ∈ So gilt a + (b + c) ' (a + b) + c.
Weiter sei zu einer Strecke a ∈ So und einer natürlichen Zahl n durch n·a ∈ So die Strecke, die
durch n-faches Abtragen ihrer Länge auf der durch die Strecke verlaufenden Geraden entsteht,
bezeichnet. Es gilt also
1 · a := a,
(n + 1) · a := n · a + a.
(1.2.6)
Wie zu erwarten gilt dann
Proposition 1.2.4. Seien a, b ∈ So und n ∈ N. Dann gilt n · (a + b) ' n · a + n · b.
Beweis. Wir zeigen dies per Induktion über n. Für n = 1 gilt offenbar a + b ' a + b. Für den
Induktionsschritt nehmen wir an, für ein n ∈ N sei
n · (a + b) ' n · a + n · b
(1.2.7)
gezeigt. Dann gilt nach Definition und Proposition 1.2.2
(n + 1) · (a + b) ' n · (a + b) + a + b ' n · a + n · b + a + b ' (n + 1) · a + (n + 1) · b (1.2.8)
und die Behauptung folgt per Induktion.
9
1 Zahlen
Das Rechnen mit natürlichen Zahlen überträgt sich auf Strecken, es gilt
Proposition 1.2.5. Für a, b ∈ So und m, n ∈ N gilt
m · a + n · a ' (m + n) · a ' n · a + m · a,
(1.2.9)
m · (n · a) ' (mn) · a ' n · (m · a).
(1.2.10)
sowie
Beweis.2 Wir beginnen mit der Addition. Da wir nach Proposition 1.2.1 schon m · a + n · a '
n · a + m · a wissen, genügt es, die erste der Identitäten zu zeigen. Da die Strecke n · a für
a ∈ So und n ∈ N rekursiv definiert ist, bietet sich hier ein Induktionsbeweis an. Wir führen
Induktion über n, der Induktionsanfang ist durch die Aussage
m · a + a ' (m + 1) · a
(1.2.11)
gegeben, diese entspricht der Definition. Sei nun weiter schon für ein n
m · a + n · a ' (m + n) · a
(1.2.12)
gezeigt. Dann gilt nach Definition und Proposition 1.2.2 und 1.2.3
m · a + (n + 1) · a ' m · a + n · a + a ' (m + n) · a + a ' (m + n + 1) · a
(1.2.13)
und die Behauptung folgt per Induktion. Für die Multiplikation und die erste Identität nutzen
wir Induktion über m. Als Induktionsanfang haben wir für m = 1
1 · (n · a) ' (1n) · a = n · a ' n · (1 · a)
(1.2.14)
nach Definition von 1 · a := a. Nehmen wir also an, die Identität gelte für ein m,
m · (n · a) ' (mn) · a ' n · (m · a).
(1.2.15)
Dann folgt
(m + 1) · (n · a) ' m · (n · a) + (n · a) ' (mn) · a + n · a ' (mn + n) · a ' ((m + 1)n) · a (1.2.16)
sowie analog mit Proposition 1.2.4
n·((m+1)·a) ' n·(m·a+a) ' n·(m·a)+n·a ' (nm)·a+n·a ' (nm+n)·a ' (n(m+1))·a.
(1.2.17)
Wiederum folgt die Behauptung per Induktion.
Statt auf So und mit der dort wohldefinierten Addition von Strecken rechnen wir im folgenden mit Äquivalenzklassen modulo '. Da die Äquivalenzklassen von So modulo ' und
die entsprechenden Klassen von S modulo ' übereinstimmen, betrachten wir auch wieder
nichtorientierte Strecken aus S und rechnen mit diesen.3
2
3
Die Beweise sind zur Vollständigkeit mit angegeben.
Wem das zu abenteuerlich klingt, der nutze auch weiter orientierte Strecken. Das Ergebnis wird dasselbe
sein.
10
1.2 Zahl und Maß
Definition 1.2.6 (Euklid4 ). Zwei Strecken a, b ∈ S heißen kommensurabel , falls es eine
weitere Strecke c ∈ S (die gemeinsame Einheit) und natürliche Zahlen m, n ∈ N mit
a'm·c
und
b'n·c
(1.2.18)
gibt.
Es stellen sich zwei Fragen:
(1) Wie entscheidet man, ob zu gegebenen a, b ∈ S eine solche Strecke c ∈ S und entsprechende Zahlen m, n ∈ N gibt?
(2) Wie findet man dann die gemeinsame Einheit c ∈ S und die Zahlen m, n ∈ N?
Zumindest auf die zweite Frage gibt es eine einfache algorithmische Antwort. Dazu eine weitere
Definition. Sind a, b ∈ S zwei Strecken so gilt entweder a ' b oder eine der Strecken ist kürzer.
Wir sagen a ≺ b wenn a beim Abtragen in b (vom Anfangspunkt aus) im Inneren von b endet.
Weiter sagen wir a b, falls b ≺ a. In diesem Fall endet das Abtragen von a in b (vom
Anfangspunkt aus) außerhalb b. Damit kommen wir zum
Algorithmus von Euklid :
Gegeben seien zwei Strecken a1 , b1 ∈ S.
(S1) Gilt a1 ' b1 , so endet der Algorithmus mit dem Rückgabewert a1 .
(S2) Sei a1 ≺ b1 (sonst vertausche a1 und b1 ). Wir tragen a1 so oft wie möglich im Inneren
von b1 ab und bezeichnen den dann auftretenden Rest mit b2 ,
b1 ' k1 · a1 + b2
mit b2 ≺ a1
oder b2 ' a1 .
(1.2.19)
Gebe k1 aus und beginne wieder mit dem Paar der Strecken b2 , a1 .
Angenommen, a, b ∈ S sind kommensurabel. Es gibt also ein c ∈ S mit a ' m · c und
b ' n · c. Dann impliziert a ≺ b offenbar m < n und da k · a ' (km) · c ≺ b ' n ·
c gilt, folgt b1 ' (n − km) · c und die Strecken b1 und a sind kommensurabel zur selben
Einheit c ∈ S. Der Trick des Algorithmus besteht also darin, Paare kommensurabler Strecken
in kürzere Paare kommensurabler Strecken zur selben Einheit zu transformieren. Terminiert
der Algorithmus, so liefert er eine (endliche) Folge natürlicher Zahlen k1 , k2 , ..., kN und die
letzte bestimmte Reststrecke c. Ausgeschrieben erhalten wir also Darstellungen (mit sinnvoller
Änderung der Bezeichnungen und vorausgesetzt der Algorithmus stoppt nach einer endlichen
Anzahl Schritten)
' k 1 · a1 + b 2
' k2 · b2 + a2
' k 3 · a2 + b 3
' k 4 · b 3 + a3
..
.
b N ' k N aN + aN
b1
a1
b2
a2
4
(1.2.20)
oder aN −1 ' kN · bN + bN .
Euklid von Alexandria, 3. Jahrhundert v.u.Z.
11
1 Zahlen
Iterativ ineinander eingesetzt liefert dies Darstellungen aller ak und aller bk als Vielfache des
Restes c ' aN (oder c ' bN ).
k=1
k=2
k=1+1
Abbildung 1.1: Schematisches Beispiel. Der Algorithmus entspricht hier der Bestimmung des
größten gemeinsamen Teilers von 5 und 7.
Satz 1.2.7. Für a, b ∈ S sind folgenden Aussagen äquivalent:
(1) Die Strecken a und b sind kommensurabel, es existieren also ein c ∈ S und m, n ∈ N
mit a ' m · c und b ' n · c.
(2) Der Euklidische Algorithmus zum Startpaar a, b ∈ S terminiert nach endlich vielen
Schritten.
Beweis. Aus (1) folgt (2): Seien dazu a und b kommensurabel. Dann existiert c ∈ S und
m, n ∈ N mit a ' m · c und b ' n · c. Wir ersetzen das Paar (a, b) ∈ S2 durch das Zahlenpaar
(m, n) ∈ N2 . Dann ist entweder m = n oder der Algorithmus von Euklid liefert in einem
Schritt ausgehend von m < n eine Zahl k ∈ N mit km < n und n − km ≤ m, transformiert
das Paar (m, n) also in (n − km, m). Würde der Algorithmus nicht terminieren, wäre nun in
jedem Schritt n − km < m. Da es aber nur endlich viele Paare natürlicher Zahlen kleiner
(m, n) gibt, kann dies nicht sein. Widerspruch.
Aus (2) folgt (1): Terminiert umgekehrt der Algorithmus, so liefert die letzte Reststrecke nach
der vor dem Beweis gegebenen Argumentation die Einheit, mit welcher a und b gemessen
werden können und a und b sind kommensurabel.
Wir betrachten ein Beispiel. Sei a ' 5 · c und b ' 7 · c als Beispiel zweier kommensurabler
Strecken a und b. Dann liefert der Algorithmus
a
b
Rest
k
5·c 2·c 1·c
7·c 5·c 2·c
2·c 1·c 1·c
1
2
1
1·c
1·c
—
1
und somit die Folge [1, 2, 1, 1] für k, sowie die gemeinsame Einheit c. Schematisch dargestellt
ist das Beispiel in Abbildung 1.1.
12
1.2 Zahl und Maß
Abbildung 1.2: Beispiel zum Algorithmus Euklids. Hier liefert er die Zahlen k1 = 2, k2 = 4,
k3 = 3, .... und wahrscheinlich noch einige mehr.
Nicht alle Paare von Strecken sind kommensurabel. Das wohl bekannteste Beispiel geht wahrscheinlich auf Hippasos von Metapont5 zurück. Wir nutzen zum Beweis die Charakterisierung
kommensurabler Strecken durch den Algorithmus von Euklid.
Satz 1.2.8 (Hippasos). Seite und Diagonale in einem regelmäßigen Fünfeck sind inkommensurabel.
Beweis. Wir zerlegen den Beweis in drei Schritte. Zuerst zeigen wir, dass einige der Strecken
im Fünfeck in Abbildung 1.3 kongruent sind. Danach wenden wir den Algorithmus an und in
einem dritten Schritt zeigen wir, dass der Algorithmus (aufgrund der Ähnlichkeit auftretender
Figuren) nicht terminieren kann.
Schritt 1. Wir bestimmen einige der auftretenden Winkel. Da die Außenwinkel den Vollkreis
in fünf Teile teilen, ergibt sich der Innenwinkel eines regulären Fünfecks zu
1
∠BAE = 180◦ − 360◦ = 108◦
5
(1.2.21)
und dieser Winkel stimmt ebenso mit ∠HGF und ∠BGA überein. Weiter gilt
∠BGH = 180◦ − ∠BGA = 180◦ − 108◦ = 72◦
(1.2.22)
was wiederum mit ∠BHG übereinstimmt. Damit folgt
∠GBH = 180◦ − ∠BGH − ∠BHG = 180◦ − 72◦ − 72◦ = 36◦ = ∠GAF
5
(1.2.23)
Hippasos von Metapont, ca. 500 v.u.Z.
13
1 Zahlen
D
E
J
C
I
F
H
G
A
B
Abbildung 1.3: Zur Existenz inkommensurabler Strecken
Da aus Symmetriegründen weiterhin
∠BAG =
1
1
∠BAE − ∠GAF = 108◦ − 72◦ ) = 36◦
2
2
(1.2.24)
gilt, folgt ∠ABH = ∠ABG + ∠GBH = 36◦ + 36◦ = 72◦ = ∠BHA und das Dreieck 4ABH
ist gleichschenklig.
Schritt 2. Wir wissen also nun, dass die Strecken AB ' AH kongruent sind. Weiter sind auch
AG ' HC kongruent. Damit kann man die ersten Schritte des Algorithmus anwenden. Dieser
liefert
a
b
Rest
k
AB HC ...
AC AH ...
HC GH ...
1
1
...
Schritt 3. Die Strecken AG und GI sind kongruent. Um das zu sehen, nutzen wir aus dem
ersten Schritt
∠ABG = 36◦
und
∠GBH = ∠GBI = 36◦
(1.2.25)
und damit sind wegen AB ' AH ' BI auch die Dreieck 4ABG und 4BIG kongruent.
Also gilt AG ' GI und (bis auf eine Skalierung) sind wir wieder bei der Ausgangssituation
angelangt und wenden für die weiteren Schritte wiederum den Algorithmus auf eine Seite
14
1.2 Zahl und Maß
und eine Diagonale eines regelmäßigen Fünfecks an. Das widerspricht der Terminiertheit des
Algorithmus.6
Was hat all das mit messen zu tun? Wir nehmen nun an, wir haben eine Strecke a ∈ S und
eine zweite, festgelegte, Einheit e ∈ S. Sind beide kommensurabel, so existiert eine ’fiktive’
Einheit c und Zahlen m, n ∈ N mit a ' m·c und e ' n·c. Da uns c nicht interessiert, schreiben
wir das formal als
m
· e,
(1.2.26)
a'
n
nutzen also Brüche als Vielfache der Einheit. Eine Strecke ist zu e kommensurabel genau
dann, wenn sie in diesem Sinne rationales Vielfaches von e ist. Das Rechnen rationaler Zahlen
überträgt sich, wichtige Regeln sind zumindest
n
m
·b
gilt genau dann, wenn
b'
·a
(1.2.27)
a'
n
m
und
m
k
mk
m
k
m` + kn
·
a '
· a,
·a+ ·a'
· a.
(1.2.28)
n
`
n`
n
`
n`
Mit dieser Vereinbarung kann man das Messen der Strecke a in Bezug auf eine gegebene
Einheit e auf die Anwendung von Euklids Algorithmus reduzieren. Wir betrachten nur ein
Beispiel und nehmen an der Algorithmus terminiert nach vier Schritten, er liefert also
a ' k1 · e + a1 ,
e ' k2 · a1 + a2 ,
a1 ' k3 · a2 + a3 ,
a2 ' k4 · a3 + a3
a1 ≺ e,
a2 ≺ a1 ,
a3 ≺ a2 ,
(1.2.29)
und damit nach Einsetzen (im Prinzip und selber nachzurechnen) explizite Formeln für a als
rationales Vielfaches von e. Schlauer ist das schrittweise aufzubauen. Es gilt
a2 ' (k4 + 1) · a3 .
(1.2.30)
Also gilt auch
a3 '
und damit
1
a1 ' k 3 · a2 +
k4 + 1
sowie im nächsten Schritt
1
· a2
k4 + 1
· a2 ' k3 +
1
· a1 '
e ' k2 · a1 +
k3 + k41+1
sowie
(1.2.31)
1
k4 + 1
· a2
1
k2 +
k3 + k41+1
!

a ' k1 · e +
1
k2 +
1
k3 + k 1+1
4
· e ' k1 +
(1.2.32)
· a1
(1.2.33)

1
k2 +
1
·e
(1.2.34)
k3 + k 1+1
4
Das Prinzip sollte klar geworden sein, eine genauere Betrachtung von Kettenbrüchen folgt im
nächsten Abschnitt.
6
Was der Algorithmus aber liefert ist eine unendliche Folge [1, 1, 1, . . .].
15
1 Zahlen
1.3 Kettenbrüche
Wir betrachten zuerst reguläre und endliche Kettenbrüche. Dies sind Ausdrücke der Form
k1 +
1
k2 +
(1.3.1)
1
k3 +
1
k4 +
1
...
1
kN
mit natürlichen Zahlen k1 , k2 , . . . , kN ∈ N. Es sinnvoll für k1 auch 0 oder allgemeiner ganze
Zahlen zuzulassen, ebenso ist es aus rein praktischen Gründen zum Rechnen sinnvoll, rationale oder reelle Zahlen ungleich Null für die ki , i > 1, zu erlauben. Wir vereinbaren eine
Kurzschreibweise
1
(1.3.2)
[k1 , k2 , . . . , kN ] = k1 +
k2 + k3 + 1 1
1
k4 +
... 1
kN
und, um alle Unklarheiten zu beseitigen, definieren diese noch explizit rekursiv durch
[k1 , k2 ] := k1 +
1
k2
(1.3.3)
sowie für 2 ≤ n ≤ N
1
.
[k1 , k2 , . . . , kn−1 , kn ] := k1 , k2 , . . . , kn−1 +
kn
(1.3.4)
Man zeigt leicht, dass dann ebenso
[k1 , k2 , . . . , kn ] = k1 +
1
= k1 , [k2 , . . . , kn ]
[k2 , . . . , kn ]
(1.3.5)
gilt. Die Zahlen ki werden als Teilnenner des Kettenbruchs bezeichnet.
Proposition 1.3.1. Seien die (endlichen) Folgen pn und qn durch die Rekursion
p1 = k1 ,
q1 = 1,
p2 = k2 k1 + 1,
q2 = k2 ,
pn = kn pn−1 + pn−2
qn = kn qn−1 + qn−2
(1.3.6)
pn
.
qn
(1.3.7)
definiert. Dann gilt für 1 ≤ n ≤ N
[k1 , k2 , . . . , kn ] =
Sind alle kn , 1 ≤ n ≤ N natürliche Zahlen, so sind auch die pn und qn natürlich. Die Zahlen pn
und qn werden als Zähler und Nenner des n-ten Näherungsbruchs des Kettenbruchs bezeichnet.
Beweis. Wir zeigen dies per Induktion über n.
Induktionsanfang: Es gilt
p1
= k1 ,
q1
16
p2
k1 k2 + 1
1
=
= k1 + .
q2
k2
k2
(1.3.8)
1.3 Kettenbrüche
Induktionsschritt: Angenommen, die Aussage ist für ein n gezeigt. Dann gilt also
[k1 , . . . , kn ] =
kn pn−1 + pn−2
pn
,
=
qn
kn qn−1 + qn−2
(1.3.9)
wobei auf Grund der Rekursionsvorschrift die Zahlen pn−1 , pn−2 , qn−1 , qn−2 nicht vom Wert
von kn abhängen. Also folgt
1
[k1 , . . . , kn , kn+1 ] = k1 , . . . , kn +
k
n+1
1
kn + kn+1
pn−1 + pn−2
= 1
qn−1 + qn−2
kn + kn+1
(1.3.10)
kn+1 (kn pn−1 + pn−2 ) + pn−1
=
kn+1 (kn qn−1 + qn−2 ) + qn−1
kn+1 pn + pn−1
=
kn+1 qn + qn−1
und die zu zeigende Aussage ist bewiesen.
Die Rekursionsformeln sehen einfacher aus, wenn man sie als Matrixmultiplikation schreibt.
Es gilt für n ≥ 2
pn
qn
kn 1 pn−1 qn−1
=
(1.3.11)
pn−1 qn−1
1 0 pn−2 qn−2
Bildet man jeweils
k
det n
1
Determinanten, so folgt wegen
1
p2 q2
k1 k2 + 1 k2
= −1,
det
= det
=1
0
p1 q1
k1
1
(1.3.12)
insbesondere:
Korollar 1.3.2. Die Zähler und Nenner der Näherungsbrüche eines Kettenbruchs erfüllen
pn qn−1 − pn−1 qn = (−1)n .
(1.3.13)
Im Weiteren nehmen wir wieder an, dass alle Teilnenner kn , 1 ≤ n ≤ N , natürliche Zahlen
sind. Dann folgt insbesondere
Korollar 1.3.3. Zähler pn und Nenner qn der Näherungsbrüche sind teilerfremd.
Beweis. Sei d ein Teiler von pn und qn . Dann impliziert Korollar 1.3.2, dass d ein Teiler von
(−1)n sein muss. Damit ist aber d = 1.
Weiter impliziert die Rekursionsvorschrift für pn und qn im Falle natürlicher kn sofort
pn+1 = kn pn + pn−1 > pn ,
n ≥ 1,
(1.3.14)
qn+1 = kn qn + qn−1 > qn ,
n ≥ 1,
(1.3.15)
sowie
und beide Folgen pn und qn sind streng monoton wachsend. Insbesondere ergibt sich
pn > n,
qn+1 > n,
n ≥ 4.
(1.3.16)
17
1 Zahlen
Proposition 1.3.4. Die Näherungsbrüche eines Kettenbruchs erfüllen
pn pn+1 −
= 1 < 1
qn
qn+1 qn qn+1
qn2
(1.3.17)
Beweis. Folgt direkt aus Korollar 1.3.2 zusammen mit der Monotonie der qn .
Proposition 1.3.5. Für die Näherungsbrüche eines Kettenbruchs gilt
p1
p2n−1
p2n+1
p2n+2
p2n
p2
< ··· <
<
< ··· <
<
< ··· < .
q1
q2n−1
q2n+1
q2n+2
q2n
q2
(1.3.18)
Beweis. Folgt wiederum direkt aus Korollar 1.3.2, die Differenzen
(−1)n
pn pn−1
−
=
qn
qn−1
qn qn−1
(1.3.19)
sind alternierend und betragsmäßig monoton fallend. Also gilt
p2n−1
p2n+1
p2n+2
p2n
<
<
<
q2n−1
q2n+1
q2n+2
q2n
da
1
>
q2n−1 q2n
1
1
>
q2n q2n+1
q2n+1 q2n+2
(1.3.20)
(1.3.21)
gilt.
Bezeichnet man nun den dargestellten Kettenbruch mit
so haben wir insbesondere
x = [k1 , . . . , kN ]
(1.3.22)
p2n
p2n−1
<x<
q2n−1
q2n
(1.3.23)
für alle 2n < N gezeigt. Um die Approximationseigenschaften genauer zu beschreiben, untersuchen wir den Abstand der Näherungsbrüche zu x. Dazu nutzen wir die n-ten vollständigen
Quotienten
kn0 = [kn , . . . , kN ]
(1.3.24)
des Kettenbruchs. Es gilt also insbesondere
x=
k10
1
k20 k1 + 1
= k1 + 0 =
k2
k20
(1.3.25)
und nach nochmaligem Einsetzen von k20 = k2 + 1/k30
x=
k30 p2 + p1
k30 (k2 k1 + 1) + k1
=
.
k30 k2 + 1
k30 q2 + q1
Analoge Formeln gelten auch für spätere vollständige Quotienten. Es gilt
18
(1.3.26)
1.3 Kettenbrüche
Proposition 1.3.6. Für die durch einen Kettenbruch dargestellte Zahl gilt
x=
kn0 pn−1 + pn−2
,
kn0 qn−1 + qn−2
n ≥ 3,
(1.3.27)
mit den Teilzählern und -nennern pn und qn und den vollständigen Quotienten kn0 .
Beweis. Dies zeigen wir wieder per Induktion. Der Induktionsanfang für n = 3 wurde oben
schon angegeben. Angenommen, die Aussage ist für ein n gezeigt. Dann gilt
1
kn + k0
pn−1 + pn−2
k 0 pn−1 + pn−2
n+1
x = n0
= kn qn−1 + qn−2
kn + k0 1 qn−1 + qn−2
(1.3.28)
n+1
0
0
(kn pn−1 + pn−2 ) + pn−1
k
k pn + pn−1
= n+1
= n+1
0
0
qn + qn−1
kn+1 (kn pn−1 + pn−2 ) + pn−1
kn+1
und die Behauptung folgt.
Betrachtet man nun die Differenz von x zu den Näherungsbrüchen, so ergibt sich
0
pn + pn−1 pn
kn+1
pn
pn qn−1 − pn−1 qn
x−
= 0
−
=−
0
qn
kn+1 qn + qn−1
qn
qn (kn+1
qn + qn−1 )
(1.3.29)
0
0
und mit der Bezeichnung qn+1
= kn+1
qn + qn−1 damit
(−1)n+1
pn
,
=
x−
0
qn
qn qn+1
(1.3.30)
p
n
x − = 1 < 1 ,
0
qn qn qn+1
qn2
(1.3.31)
0
> qn
also insbesondere wegen qn+1
für alle n ≥ 2.
Korollar 1.3.7. Von zwei aufeinanderfolgenden Näherungsbrüchen eines Kettenbruches erfüllt
mindestens einer
x − p < 1 .
(1.3.32)
q 2q 2
Beweis. Angenommen, die Abschätzung wäre für beide Näherungsbrüche pn /qn und pn+1 /qn+1
falsch. Dann würde, da die Näherungsbrüche abwechselnd größer und kleiner als x sind
pn pn+1 p
p
1
n
n+1
= x − + x −
≥ 1 + 1
= −
(1.3.33)
2
qn qn+1
qn
qn+1
qn
qn+1 2qn2 2qn+1
oder
(qn − qn+1 )2 ≤ 0
(1.3.34)
folgen. Dies kann aber nur für n = 0 und q0 = q1 = k2 gelten.
19
1 Zahlen
Proposition 1.3.8. Die Folge qn0 ist streng monoton wachsend. Damit gilt für die Näherungsbrüche pn /qn eines Kettenbruchs x = [k1 , . . . , kN ]
x − pn < x − pn−1 ,
(1.3.35)
qn qn−1 sowie
|qn x − pn | < |qn−1 x − pn−1 |
(1.3.36)
für alle n ≥ 2.
Beweis. Es bleibt die Monotonie zu zeigen. Dazu nutzen wir, dass für n < N
kn < kn0 < kn + 1
(1.3.37)
gilt. Damit folgt einerseits für alle n ≥ 3
qn0 = kn0 qn−1 + qn−2 > kn qn−1 + qn−2 = qn
(1.3.38)
und andererseits
qn0 = kn0 qn−1 + qn−2 < kn qn−1 + qn−2 + qn−1 = qn + qn−1 ≤ kn qn + qn−1 = qn+1 .
(1.3.39)
Also gilt qn < qn0 < qn+1 und da die qn streng monoton wachsend sind, sind auch die qn0 streng
monoton wachsend.
Die Näherungsbrüche eines Kettenbruches sind die besten Approximationen des Kettenbruchs
durch rationale Zahlen mit kleineren Nennern. Genauer gilt
Satz 1.3.9 (Bestapproximationseigenschaft). Seien p, q ∈ N mit 1 ≤ q ≤ qn und p/q 6= pn /qn .
Dann gilt
p
p
n
x − < x − ,
(1.3.40)
qn q
sowie
|qn x − pn | < |qx − p|.
(1.3.41)
Beweis. Die zweite Ungleichung impliziert die erste, da ja 0 < q ≤ qn gilt. Wir beschränken
uns also auf den Beweis der zweiten. Dieser besteht aus drei Schritten.
Schritt 1. Wir nehmen an, q = qn . Dann gilt wegen (1.3.30)
p
n
x − ≤ 1 ,
qn 2qn
(1.3.42)
sowie auf Grund von pn /qn 6= p/qn
pn
p
− ≥ 1.
qn qn q n
(1.3.43)
p
p 1
n
≥
≥ x − q
2qn
qn
(1.3.44)
Also folgt
x −
20
1.4 Unendliche Kettenbrüche
und damit die Behauptung.
Schritt 2. Wir zeigen die Aussage für qn−1 < q < qn und schreiben dazu
p = µpn + νpn−1 ,
q = µqn + νqn−1
(1.3.45)
mit noch zu bestimmenden µ und ν. Die Zahlen µ und ν sind eindeutig bestimmt, es gilt
wegen Korollar 1.3.2
pqn−1 − pn−1 q = (µpn + νpn−1 )qn−1 − pn−1 (µqn + νqn−1 ) = (−1)n µ
(1.3.46)
pn q − pqn = pn (µqn + νqn−1 ) − (µpn + νpn−1 )qn = (−1)n ν.
(1.3.47)
und
Damit sind µ und ν ganzzahlig und haben also insbesondere auch verschiedene Vorzeichen.
Also haben µ(qn x − pn ) und ν(qn−1 x − pn−1 ) gleiches Vorzeichen und folgt aus
qx − p = µ(qn x − pn ) + ν(qn−1 x − pn−1 )
(1.3.48)
|qx − p| > |qn−1 x − pn−1 | > |qn x − pn |.
(1.3.49)
die Behauptung
Schritt 3. Nun folgt die Aussage, für q ≤ qn−1 existiert ein m < n mit qm−1 < q ≤ qm und
damit
|qx − p| > |qm x − pm | > |qn x − pn |
(1.3.50)
unter Ausnutzung von Proposition 1.3.8.
1.4 Unendliche Kettenbrüche
Wir betrachten nun allgemeiner Kettenbrüche mit unendlich vielen Teilnennern, also Brüche
der Form
1
[k1 , k2 , k3 , . . .] = k1 +
,
k1 ∈ Z, ki ∈ N, i > 1.
(1.4.1)
k2 + k3 +1 1
..
.
Die meisten der im vorigen Abschnitt getroffenen Aussagen übertragen sich direkt. So bestimmt die Folge der kn Folgen pn und qn über die Rekursion aus Proposition 1.3.1, die
wiederum sich schachtelnde, gekürzte Näherungsbrüche pn /qn mit
und
p2n+1
p2n+2
p2n
p2n−1
<
<
<
q2n−1
q2n+1
q2n+2
q2n
(1.4.2)
pn pn+1 = 1
−
qn
qn+1 qn qn+1
(1.4.3)
liefern. Wir wollen jedem unendlichen Kettenbruch eine/die reelle Zahl
\ p2n−1 p2n x∈
,
q
q2n
2n−1
n
(1.4.4)
21
1 Zahlen
zuordnen. Da qn → ∞ gilt, ist die Zahl x eindeutig bestimmt. Die zu fordernde Existenz der
Zahl x entspricht der Vollständigkeit der reellen Zahlen. Bezeichnet nun wieder
kn0 = [kn , kn+1 , . . .]
(1.4.5)
den n-ten vollständigen Quotiententen als die dem bei kn startenden Kettenbruch zugeordnete reelle Zahl, so übertragen sich die weiteren Aussagen des vorigen Abschnitts. Es gilt
insbesondere die Darstellung aus Proposition 1.3.8 und damit die Fehlerabschätzung
x − pn = 1 < 1 ,
n ≥ 2,
(1.4.6)
0
qn qn qn+1
qn2
0
0
wobei wiederum qn+1
= kn+1
qn + qn−1 gesetzt wurde, sowie die Bestapproximationseigenschaft
der Näherungsbrüche aus Satz 1.3.9.
Satz 1.4.1. (1) Jeder rationalen Zahl x ∈ Q entsprechen zwei endliche Kettenbruchsdarstellungen
x = [k1 , . . . , kn ] = [k1 , . . . , kn − 1, 1]
(1.4.7)
mit kn 6= 1; umgekehrt sind alle endlichen Kettenbrüche rational.
(2) Jeder irrationalen Zahl x ∈ R \ Q entspricht ein eindeutig bestimmter unendlicher Kettenbruch; umgekehrt ist jedem unendlichen Kettenbruch eine Irrationalzahl zugeordnet.
Solche unendlichen Kettenbrüche sind uns schon begegnet. Sind zwei Strecken inkommensurabel, so liefert der Algorithmus Euklids eine nicht abbrechende Folge von Teilnennern kn und
damit eine unendliche Kettenbruchsdarstellung der Länge der zweiten Strecke als Vielfaches
der ersten. Wir haben dies für die Diagonale in einem regelmäßigen Fünfeck gesehen. Falls die
Seitenlänge des Fünfecks 1 ist, ergibt sich damit für die Diagonale
τ = [1, 1, 1, . . .] = [1].
Die Zahl τ erfüllt also
τ =1+
1
1
=1+
[1, 1, 1, . . .]
τ
(1.4.8)
(1.4.9)
und damit die quadratische Gleichung τ 2 = τ + 1. Diese kann man zur Bestimmung der
Diagonalenlänge τ lösen, es ergibt sich durch quadratisches Ergänzen
2
1
5
2
τ −τ −1= τ −
−
(1.4.10)
2
4
und damit, da τ > 1 gelten muss,
√
1+ 5
τ=
.
(1.4.11)
2
Die Zahl ist als goldener Schnitt bekannt. Der goldene Schnitt ist die am schlechtesten durch
rationale Zahlen approximierbare reelle Zahl.
√
Um die Kettenbruchsentwicklung
der Zahl 2 zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor. Da
√
1 < 2 < 4 gilt, folgt 1 < 2 < 2. Damit liefert der Algorithmus Euklids, diesmal auf reelle
Zahlen angewandt,
√
√
√
√
( 2 − 1)( 2 + 1)
1
1
√
√ =1+
√
(1.4.12)
2 = 1 + ( 2 − 1) = 1 +
=1+
2+1
1+ 2
2 + ( 2 − 1)
22
1.4 Unendliche Kettenbrüche
und somit
√
2 = [1, 2, 2, 2, . . .] = [1, 2].
(1.4.13)
Der entstehende Kettenbruch ist wieder periodisch. Das gilt allgemeiner. Jeder periodische
Kettenbruch entspricht einer quadratischen Irrationalzahl und umgekehrt ist jede solche durch
einen periodisch endenden Kettenbruch darstellbar. Dies wurde von Lagrange7 gezeigt, seine
Ideen wollen wir kurz zusammenfassen.
Wir bezeichnen zwei Zahlen ξ, η ∈ R als äquivalent, falls es ganze Zahlen a, b, c, d ∈ Z mit
ξ=
aη + b
,
cη + d
ad − bc = ±1,
(1.4.14)
gibt.
Proposition 1.4.2. Die so definierte Äquivalenz von Zahlen ist eine Äquivalenzrelation.
Beweis. Aus
ξ=
a1 η + b 1
c1 η + d1
und
η=
a2 ζ + b 2
c2 ζ + d2
(1.4.15)
folgt
a3 ζ + b 3
c3 ζ + d 3
b3
a2 b 2 a1 b 1
=
d3
c2 d 2 c1 d 1
ξ=
mit
a3
c3
(1.4.16)
(1.4.17)
als Matrixmultiplikation. Damit ergibt sich der Beweis. Die Relation ist
1 0
• reflexiv. Dazu nutzt man Einheitsmatrix
.
0 1
• symmetrisch. Dies folgt, da die inverse Matrix
−1
1
a b
d −b
=
c d
ad − bc −c a
(1.4.18)
ganzzahlige Einträge mit derselben Determinante besitzt.
• transitiv. Dies ergibt sich direkt aus obiger Matrixmultiplikation und der Ganzzahligkeit
aller Matrixeinträge.
Korollar 1.4.3. Jede rationale Zahl ist zu 0 äquivalent.
Beweis. Sei p/q gekürzter Bruch. Dann liefert der Euklidische Algorithmus Zahlen k und `
mit
pk − q` = 1
(1.4.19)
und damit die gewünschte Darstellung
p
`·0+p
=
q
k·0+q
(1.4.20)
und die Aussage ist bewiesen.
7
Joseph-Louis Lagrange, 1736–1813
23
1 Zahlen
Dass Äquivalenz mit Kettenbrüchen zu tun hat, lässt folgende Aussage vermuten.
Proposition 1.4.4. Angenommen, für eine reelle Zahl x gilt
x=
Pζ + R
Qζ + S
(1.4.21)
mit ζ > 1 reell und ganzzahligen P, Q, R, S ∈ Z mit P S − QR = ±1 und Q > S > 0. Dann
sind R/S und P/Q aufeinanderfolgende Näherungsbrüche aus der Kettenbruchsentwicklung
von x. Darüberhinaus ist ζ der zu P/Q gehörende vollständige Quotient des Kettenbruchs.
Beweis. Wir schreiben die rationale Zahl P/Q als Kettenbruch
P
pn
= [k1 , k2 , . . . , kn ] =
Q
qn
(1.4.22)
P S − QR = ±1 = (−1)n
(1.4.23)
und wählen dabei n so, dass
gilt. Dann sind P und Q teilerfremd und wegen Q > 0 ist auch P = pn und Q = qn . Also folgt
pn S − qn R = P S − QR = pn qn−1 − pn−1 qn
(1.4.24)
pn (S − qn−1 ) = qn (R − pn−1 ).
(1.4.25)
und damit auch
Da pn und qn teilferfremd sind, muss damit aber qn ein Teiler von S − qn−1 sein. Wegen
qn = Q > S > 0 und qn ≥ qn−1 > 0 impliziert dies aber schon S − qn−1 = 0 und damit
S = qn−1 . Analog folgt R = pn−1 und somit gilt
x=
pn ζ + pn−1
,
qn ζ + qn−1
(1.4.26)
also auch
x = [k1 , . . . , kn , ζ] = [k1 , . . . , kn , kn+1 , . . .]
(1.4.27)
mit der Kettenbruchsentwicklung ζ = [kn+1 , . . .] und unter Ausnutzung von ζ > 1, also kn+1 ∈
N. Damit ist die Aussage bewiesen.
Proposition 1.4.5. Zwei irrationale Zahlen ξ, η sind genau dann äquivalent, wenn ihre Kettenbruchsentwicklungen bis auf endlich viele Teilnenner übereinstimmen.
Beweis. Wenn die Kettenbruchsentwicklung bis auf endliche viele Teilnenner übereinstimmt,
dann sind die Zahlen äquivalent. Das folgt direkt aus
[k1 , k2 , k3 , . . .] = k1 +
1
k1 [k2 , k3 , . . .] + 1
=
[k2 , k3 , . . .]
[k2 , k3 , . . .] + 0
(1.4.28)
zusammen mit Transitivität und Symmetrie der Relation. Zu beweisen ist die Rückrichtung.
Gelte also
aη + b
ξ=
(1.4.29)
cη + d
24
1.4 Unendliche Kettenbrüche
mit Zahlen a, b, c, d ∈ Z und mit ad − bc = ±1. Wir wählen die Vorzeichen der Zahlen so, dass
cη + d > 0 gilt. Wir schreiben η als
η=
pn ω + pn−1
qn ω + qn−1
(1.4.30)
für hinreichend groß gewähltes n. Dann gilt ω > 1. Für ξ erhalten wir daraus
ξ=
(apn + bqn )ω + (apn−1 + bqn−1 )
Pω + R
=
(cpn + dqn )ω + (cpn−1 + dqn−1 )
Qω + S
(1.4.31)
mit ganzen Zahlen P, Q, R, S ∈ Z und P S − QR = ±1. Weiterhin gilt wegen (1.3.30)
pn = ηqn +
δ
,
qn
pn−1 = ηqn−1 +
δ0
(1.4.32)
qn−1
mit |δ| < 1 und |δ 0 | < 1 und damit
Q = (cη + d)qn +
cδ
,
qn
S = (cξ + η)qn−1 +
cδ 0
.
qn−1
(1.4.33)
Also gilt für hinreichend großes n auch Q > S > 0 und Proposition 1.4.4 ist anwendbar. Damit
gilt ξ = [`1 , . . . , `m , ω] für geeignetes m und wegen η = [k1 , . . . , kn , ω] folgt die Behauptung.
Satz 1.4.6 (Lagrange). Jede quadratische Irrationalzahl ist äquivalent zu einem periodischen
Kettenbruch und umgekehrt.
Beweis. Rückrichtung. Sei x durch einen periodischen Kettenbruch
x = [k1 , . . . , kL ] = [k1 , . . . , kL , x]
(1.4.34)
mit Periode L dargestellt. Dann gilt
x=
pL x + pL−1
qL x + qL−1
(1.4.35)
und damit
qL x2 + (qL−1 − pL−1 )x + pL−1 = 0.
(1.4.36)
Also löst x eine quadratische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten und ist (da irrational) quadratische Irrationalzahl. Sei nun allgemeiner y äquivalent zu x, gelte also mit Zahlen
a, b, c, d ∈ Z und ad − bc = ±1
ax + b
y=
.
(1.4.37)
cx + d
Das implizert aber
dy − b
x=±
(1.4.38)
a − cy
und somit nach Einsetzen in obige quadratische Gleichung
2
dy − b
dy − b
a
±b
+ c = 0.
a − cy
a − cy
(1.4.39)
25
1 Zahlen
Das ist aber nach Multiplikation mit (a − cy)2 eine quadratische Gleichung für y und somit
auch y quadratische Irrationalzahl.
Hinrichtung. Jede quadratische Irrationalzahl löst eine quadratische Gleichung der Form
ax2 + bx + c = 0
(1.4.40)
mit ganzzahligen Koeffizienten a, b, c ∈ Z und mit b2 6= 4ac. Wir schreiben die Zahl x als
Kettenbruch
(1.4.41)
x = [k1 , k2 , . . . , kn−1 , kn , kn+1 , . . .] = [k1 , k2 , . . . , kn−1 , kn0 ]
und dies wiederum als
x=
pn−1 kn0 + pn−2
qn−1 kn0 + qn−2
(1.4.42)
durch den n-ten vollständigen Quotienten kn0 . Eingesetzt in die quadratische Gleichung für x
liefert dies
2
pn−1 kn0 + pn−2
pn−1 kn0 + pn−2
a
+b
+c=0
(1.4.43)
qn−1 kn0 + qn−2
qn−1 kn0 + qn−2
und damit nach Umformen eine quadratische Gleichung für y = kn0 ,
An y 2 + Bn y + Cn = 0.
(1.4.44)
Dabei sind die Koeffizienten (wie man durch Nachrechnen leicht findet) durch
2
An = ap2n−1 + 2bpn−1 qn−1 + cqn−1
Bn = 2apn−1 pn−2 + b(pn−1 qn−2 + pn−2 qn−1 ) + 2cqn−1 qn−2
2
Cn = ap2n−2 + 2bpn−2 qn−2 + cqn−2
= An−1
(1.4.45)
gegeben. Damit gilt
Bn2 − 4An Cn = (b2 − 4ac)(pn−1 qn−2 − pn−2 qn−1 )2 = (b2 − ac)
(1.4.46)
unabhängig von n. Weiter gilt wegen (1.3.30)
pn−1 = xqn−1 +
δn−1
qn−1
mit Zahlen |δn−1 | < 1. Das impliziert
δn−1
δn−1
2
An = a xqn−1 +
+ 2b xqn−1 +
qn−1 + cqn−1
qn−1
qn−1
δ2
2
+ 2axδn−1 + a n−1 + bδn−1
= (ax2 + bx + c)qn−1
qn−1
2
δ
= 2axδn−1 + a n−1 + bδn−1
qn−1
(1.4.47)
(1.4.48)
schon
|An | < 2|ax| + |a| + |b|
26
und
|Cn | = |An−1 | < 2|ax| + |a| + |b|.
(1.4.49)
1.5 Die Suche nach π
Weiter folgt damit
Bn2 ≤ 4|An Cn | + |b2 − 4ac| < 4(2|ax| + |a| + |b|)2 + |b2 − 4ac|
(1.4.50)
Also sind die Beträge von An , Bn und Cn gleichmäßig in n beschränkt. Damit gibt es aber
nur endlich viele verschiedene solche Tripel (An , Bn , Cn ) und damit auch nur endlich viele
verschiedene Lösungen y zugehöriger quadratischer Gleichungen (1.4.44). Damit gibt es aber
Zahlen m und L, so dass die vollständigen Quotienten
0
0
= km+L
km
(1.4.51)
erfüllen, also insbesondere
0
0
]
] = [k1 , . . . , km−1 , km , . . . , km+L−1 , km
x = [k1 , . . . , km−1 , km
= [k1 , . . . , km−1 , km , . . . , km+L−1 ]
(1.4.52)
gilt. Der Satz ist bewiesen.
Kettenbrüche rationaler Zahlen und Kettenbrüche quadratischer Irrationalzahlen haben also
eine einfache und gut zu beschreibende Struktur. Ähnliches lässt sich über Kettenbrüche zu
Kubikwurzeln oder interessanten anderen mathematischen Konstanten wie π nicht aussagen.
Wir enden den Abschnitt mit einigen Beispielen. Es gilt, wie leicht nachzurechnen ist,
√
2=1+
1
2+
= [1, 2],
(1.4.53)
= [1, 1, 2],
(1.4.54)
= [2, 4],
(1.4.55)
= [2, 1, 1, 1, 4].
(1.4.56)
1
1
2+
2+
1
2+ 1
...
√
3=1+
1
1+
1
2+
1
1+
1
2+ 1
..
√
5=2+
.
1
4+
1
4+
1
4+
1
4+ 1
..
√
7=2+
1
1+
1
1+
.
1
1+
1
4+ 1
...
1.5 Die Suche nach π
In diesem Abschnitt werden wir einige klassische Approximationen für die Zahl π kennenlernen.
Wir gehen dabei von der ‘naiven’ Definition der Zahl 2π als der Länge eines Kreisbogens
vom Radius 1 beziehungsweise als Fläche vom Radius 1 aus. Dass ein Kreisbogen eine Länge
haben muss, war in der Antike zumindest intuitiv klar; ein Beweis und eine entsprechend
saubere Definition des Längenbegriffs entstammt der Analysis des 19. Jahrhunderts. Dass beide
27
1 Zahlen
B
B
E
C
H
D
C
F
M
M
A
A
G
Abbildung 1.4: Zur Bestimmung von π nach Archimedes
Definitionen von π dieselbe Zahl liefern, ergibt sich aus den nachfolgenden Betrachtungen und
wurde rigoros von Archimedes von Syrakus8 gezeigt.
Wir approximieren einen Kreis durch eine Folge regelmäßiger Polygone, sowohl von innen als
auch von außen. Wir betrachten dazu ein dem Kreis einbeschriebenes Sechseck, sowie ein dem
Kreis umbeschriebenes
vom Radius 1) den
√
√ Umfang
√ Sechseck. Ersteres besitzt (für einen Kreis
6 und die Fläche 3 3/3, während letzteres den Umfang 4 3 und die Fläche 2 3 besitzt.
In jedem Schritt verdoppeln wir die Seitenzahl des ein- und umbeschriebenen regelmäßigen
Polygons und bestimmen erneut Umfang und Fläche.
Im Folgenden bezeichne sn die Seitenlänge eines einbeschriebenen regelmäßigen 3 · 2n -Ecks, σn
die Seitenlänge des zugehörigen umbeschriebenen 3 · 2n -Ecks und hn den Abstand der Seiten
zum Mittelpunkt. In den Bezeichnungen von Abbildung 1.4 gilt also
sn = AB = 2AH,
hn = M H,
σn = 2AC,
ηn = M C.
(1.5.1)
Wir beginnen mit einigen Beziehungen zwischen diesen Größen. Alle Resultate basieren auf
der Normierung M A = 1.
Proposition 1.5.1. Es gilt
σn hn = sn ,
sowie
σn+1
1
=
= hn ,
σn − σn+1
ηn
und
(1.5.2)
2hn+1 sn+1 = sn .
(1.5.3)
Beweis. Da die Dreiecke 4M AC und 4M HA ähnlich sind, folgt AC : 1 = HA : M H
und damit (1.5.2). Weiterhin gilt, da M F Winkelhalbierende zu ∠AM C ist, die Identität
8
Archimedes von Syrakus, 287–212 v.u.Z.
28
1.5 Die Suche nach π
AF : F C = M A : M C und damit die erste Gleichung aus (1.5.3). Für die zweite Betrachten
wir das Dreieck 4GDB. Da GB parallel zu M E ist, ist das Dreieck rechtwinklig und es gilt
GB = 2hn+1 . Weiter gilt DB = sn+1 . Damit ist sein Flächeninhalt sowohl durch hn+1 sn+1 , als
auch durch 1 · sn /2 gegeben und die zweite Gleichung aus (1.5.3) folgt.
Korollar 1.5.2. Es bezeichne an den Umfang des einbeschriebenen Polygons und bn den Umfang des umbeschriebenen Polygons mit 3 · 2n Seiten. Dann gilt
p
2an bn
bn+1 =
,
an+1 = an bn+1
(1.5.4)
an + b n
√
zusammen mit den Startwerten a1 = 6 und b1 = 4 3.
Beweis. Wegen an = 3 · 2n · sn und bn = 3 · 2n · σn folgt die Behauptung direkt aus
σn+1 =
sn
sn σ n
hn
σn =
σn =
hn + 1
sn + σn
sn + σ n
(1.5.5)
und
1
s2n+1 = hn+1 σn+1 sn+1 = σn+1 sn
2
nach Multiplikation mit 3 · 2n+1 beziehungsweise (3 · 2n+1 )2 .
(1.5.6)
Korollar 1.5.3. Es bezeichne An den Flächeninhalt des einbeschriebenen Polygons und Bn
den Flächeninhalt des umbeschriebenen Polygons mit 3 · 2n Seiten. Dann gilt
p
2An+1 Bn
An+1 = An Bn ,
Bn+1 =
(1.5.7)
An+1 + Bn
√
√
zusammen mit A1 = 3 2 3 und B1 = 2 3. Darüberhinaus gilt
√
2 3 1−n
An < π < B n ,
Bn − An <
4 .
(1.5.8)
3
Beweis. Die Rekursion folgt wiederum direkt aus
An = 3 · 2n ·
sn hn
an−1
= 3 · 2n−2 sn−1 =
2
2
(1.5.9)
und
bn
σn
= 3 · 2n−1 σn =
(1.5.10)
2
2
kombiniert mit den gerade gezeigten Formeln für an und bn . Weiterhin gilt, da das innere
3 · 2n -Eck im Kreis enthalten ist und dieser im äußeren 3 · 2n -Eck liegt
Bn = 3 · 2n ·
An < π < Bn
(1.5.11)
für die Kreisfläche π. Ebenso ist An monoton wachsend (da jeweils Dreiecksflächen hinzugefügt werden) und Bn monoton fallend, da Dreiecksflächen abgeschnitten werden. Damit
folgt insbesondere
sn (ηn − hn )
s2
1
= 3 · 2n−1 (1 − h2n )σn = 3 · 2n−1 n σn =
A2 Bn
2 √
4
9 · 4n n+1
(1.5.12)
2 3
1
3
<
B =
9 · 4n 1
3 · 4n−1
und damit die Behauptung.
Bn − An = 3 · 2n
29
1 Zahlen
Archimedes hat auf diese Weise mit n = 5, also den Umfängen der ein- und umbeschriebenen
96-Ecke, die Abschätzung
10
1
3+
<π <3+
(1.5.13)
71
7
gezeigt. Dies bestimmt π auf zwei Nachkommastellen genau. Für bessere Approximationen
ist entsprechend größeres n zu wählen, pro Iterationsschritt verbessern sich zwei Ziffern der
Binärdarstellung von π. Das (numerische) Ergebnis für n = 20 ist in der folgenden Tabelle
angegeben.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
An
2.59807621135
3.00000000000
3.10582854123
3.13262861328
3.13935020305
3.14103195089
3.14145247229
3.14155760791
3.14158389215
3.14159046323
3.14159210600
3.14159251669
3.14159261937
3.14159264503
3.14159265145
3.14159265306
3.14159265346
3.14159265356
3.14159265358
3.14159265359
Bn
3.46410161514
3.21539030917
3.15965994210
3.14608621513
3.14271459965
3.14187304998
3.14166274706
3.14161017660
3.14159703432
3.14159374877
3.14159292739
3.14159272204
3.14159267070
3.14159265787
3.14159265466
3.14159265386
3.14159265366
3.14159265361
3.14159265359
3.14159265359
Bn − An
0.866025403784
0.215390309173
0.0538314008673
0.0134576018502
0.0033643965985
0.000841099089315
0.000210274771387
0.0000525686928321
0.0000131421732079
0.00000328554330142
0.000000821385825134
0.000000205346456283
0.0000000513366140709
0.0000000128341537398
0.00000000320853832392
0.000000000802134358935
0.0000000002005329236
0.0000000000501332309
0.0000000000125330856804
0.0000000000031334934647
Die letzte berechnete Ziffer in Zeile 20 ist numerisch bedingter Rundungsfehler, korrekt wäre
eine 8.
1.6 Algebraische und transzendente Zahlen
Dazu untersuchen wir zuerst Approximationsordnungen von Irrationalzahlen.
Definition 1.6.1. Eine Zahl ξ ∈ R heißt zur Ordnung n ∈ N approximierbar, falls es eine
(nur von ξ abhängende) Konstante K gibt, so dass
p
− ξ ≤ K
(1.6.1)
q
qn
unendlich viele teilerfremde Lösungen p, q ∈ Z, q > 0, besitzt.
30
1.6 Algebraische und transzendente Zahlen
Satz 1.6.2. Jede rationale Zahl ξ ∈ Q ist zur Ordnung 1 approximierbar, aber nicht zu höherer
Ordnung.
Beweis. Sei ξ = a/b mit ggT(a, b) = 1. Dann besitzt die Gleichung
bp − aq = 1
(1.6.2)
Lösungen p, q (erweiterter Euklidischer Algorithmus) und damit auch unendlich viele Lösungen
q + ka, p + kb mit k ∈ Z. Damit besitzt aber
p a
− ≤ 1
(1.6.3)
q
b bq
unendlich viele Lösungen und ξ ist zur Ordnung 1 approximierbar. Umgekehrt impliziert
p a |aq − bp|
1
− =
≥
(1.6.4)
q
b
bq
bq
zusammen mit
p a K
− ≤
q
b qn
(1.6.5)
schon die Abschätzung q n−1 ≤ Kb. Damit kann es für n > 1 nur endlich viele verschiedene q
geben, als insgesamt auch nur endlich viele Lösungen p, q zu diesem Approximationsproblem
und die Aussage ist gezeigt.
Satz 1.6.3. Jede quadratische Irrationalzahl ξ ∈ R \ Q ist zur Ordnung 2 approximierbar, aber
nicht höher.
Beweis. Die Approximierbarkeit zur Ordnung 2 haben wir für alle Irrationalzahlen schon mit
Abschätzung (1.4.6) an die Näherungsbrüche der Kettenbruchsnäherung gezeigt. Wir zeigen,
dass es keine bessere Approximierbarkeit geben kann. Dazu nutzen wir, dass nach Satz 1.4.6
eine quadratische Irrationalzahl eine periodisch endende Kettenbruchsdarstellung
ξ = [k1 , k2 , . . . , km , km+1 , . . . , km+L ]
(1.6.6)
besitzt. Insbesondere existiert also eine Zahl M mit
1 ≤ ki < M,
i ≥ 2.
(1.6.7)
Damit folgt aber aus
0
0
qn+1
= kn+1
qn + qn−1 < (kn+1 + 1)qn + qn−1 < (M + 2)qn
(1.6.8)
und entsprechend
qn+1 < (M + 2)qn ,
qn < (M + 2)qn−1
für alle q mit qn−1 < q ≤ qn die Abschätzung
p
pn
1
1
1
− ξ ≥ − ξ = 1 >
>
>
2
q
qn
q 0 qn
(M + 2)qn2
(M + 2)3 qn−1
(M + 2)3 q 2
n+1
(1.6.9)
(1.6.10)
aus der schon gezeigten Bestapproximationseigenschaft der Kettenbruchsnäherungen. Also ist
ξ nicht zu höherer Ordnung approximierbar.
31
1 Zahlen
Wir bezeichnen das höchste n, so dass ξ zur Ordnung n approximierbar ist, also die Approximationsordnung von n. Zahlen der Approximationsordnung 1 sind rational, quadratische
Irrationalzahlen haben Approximationsordnung 2. Nicht jede Zahl der Approximationsordnung 2 ist eine quadratische Irrationalzahl. Das sieht man direkt aus obigem Beweis, die
Argumentation hat nur genutzt, dass die Kettenbruchsentwicklung beschränkte Teilnenner
besitzt.
Definition 1.6.4. Eine Zahl ξ ∈ R heiße algebraisch vom Grad kleiner oder gleich m ∈ N,
falls es ganze Zahlen a0 , a1 , . . . , am ∈ Z, am 6= 0, mit
am ξ m + · · · a1 ξ + a0 = 0
(1.6.11)
gibt. Eine Zahl heißt transzendent, falls sie nicht algebraisch ist.
√
2 ist algebraisch vom Grad 2, ebenso
Beispiele
algebraischer
Zahlen
sollten
klar
sein.
Die
Zahl
√
ist 3 7 algebraisch vom Grad 3. Dass nicht alle reellen Zahlen algebraisch sind, folgt schon aus
Cantor’s zweitem Diagonalargument. Da die ganzen Zahlen abzählbar sind, ist die Menge der
Gleichungen zur Bestimmung algebraischer Zahlen abzählbar und somit insbesondere auch die
Menge der algebraischen Zahlen. Die Menge R ist aber nicht abählbar. Damit sind die meisten
Zahlen transzendent. Allerdings weiß man es von den wenigsten bekannten Zahlen, dass sie
transzendent sind. So ist zum Beispiel nicht bekannt, ob π e transzendent ist. Ein interessantes
Transzendenzkriterium liefert
Satz 1.6.5 (Liouville9 ). Eine irrationale algebraische Zahl vom Grad m lässt keine Approximation höherer Ordnung als m zu.
Beweis. Sei ξ ∈ R algebraisch vom Grad m mit
f (ξ) = am ξ m + · · · a1 ξ + a0 = 0.
(1.6.12)
Damit f ein Polynom ist, existiert insbesondere ein M , so dass
f 0 (x) < M
für jedes ξ − 1 < x < ξ + 1
(1.6.13)
gilt. Sei nun p/q 6= ξ eine rationale Näherung mit
ξ−1<
p
< ξ + 1,
q
(1.6.14)
welche näher an ξ als an jeder anderen Nullstelle von f liegt. Insbesondere gilt f (p/q) 6= 0.
Dann folgt
m
m−1
q + · · · + a1 pq m−1 + a0 q m |
1
f p = |am p + am−1 p
≥ m,
(1.6.15)
m
q
q
q
sowie wegen
p
p
p
f
=f
− f (ξ) =
− ξ f 0 (x)
q
q
q
9
Joseph Liouville, 1809–1882
32
(1.6.16)
1.6 Algebraische und transzendente Zahlen
für ein x zwischen p/q und ξ auch
p
− ξ l = |f (p/q)| ≥ 1 .
q
|f 0 (x)|
M qm
(1.6.17)
Damit ist aber Approximierbarkeit höherer Ordnung ausgeschlossen, da nur endlich viele q zu
solchen höheren Approximationsordnungen existieren können.
Beispiel 1.6.6 (Liouville). Die durch den Kettenbruch
ξ = [10, 102! , 103! , 104! , . . .]
(1.6.18)
dargestellte Zahl ist transzendent. Dazu zeigen wir, dass die Zahl zu jeder Ordnung approximierbar ist. Seien pn /qn die n-ten Näherungsbrüche der Kettenbruchsentwicklung. Wegen
pn
1
1
− ξ = 1 <
<
0
qn
q 0 qn
2
kn+1 qn
kn+1
n+1
(1.6.19)
0
0
0
unter Ausnutzung von qn+1
= kn+1
qn + qn−1 > kn+1
qn und qn > 1. Wegen
q1 < k1 + 1,
qn+1
qn−1
= kn+1 +
< kn+1 + 1
qn
qn
(1.6.20)
impliziert kn = 10n! die Abschätzung
qn < (k1 + 1)(k2 + 1) · · · (kn + 1) = (1 +
1
1
1
)(1 + ) · · · (1 + )k1 · · · kn
k1
k2
kn
1
1
1
)(1 + 2 ) · · · (1 + n! )101!+2!+···+n!
10
10
10
< 2 · 102(n!) = kn2 .
= (1 +
Also gilt, wiederum wegen kn = 10n! ,
pn
1
1
1
1
− ξ < 1 =
< 2 < n/2 < N/2
qn
kn+1
2
n+1
(kn )
kn
qn
qn
(1.6.21)
(1.6.22)
für jedes n > N . Damit gibt es aber zu jedem geraden N unendlich vieler Näherungsbrüche
mit Approximation an ξ zur Ordnung N/2. Da N beliebig ist, impliziert Liouville’s Theorem
die Transzendenz von ξ.
Eine Zahl, die zu beliebiger Ordnung rational approximierbar ist, wird als Liouvillezahl bezeichnet. Jede Liouvillezahl ist transzendent. Allerdings sind nicht alle interessanten transzendenten Zahlen Liouville, der Transzendenzbeweis interessanter mathematischer Konstanten
wird damit oft wesentlich schwerer.
Satz 1.6.7 (Hermite10 ). Die Eulersche Zahl e ist transzendent.
10
Charles Hermite, 1822–1901
33
1 Zahlen
Beweis. Bevor wir mit dem Beweis beginnen, einige Vorbemerkungen. Für ein Polynom
f (x) =
m
X
ak x k
(1.6.23)
k=0
vom Grad m und mit Koeffizienten ak aus R (oder später C) betrachten wir Integrale
Z t
et−x f (x) dx.
(1.6.24)
I(t) =
0
Mit partieller Integration erhält man die Darstellung
t
I(t) = e
m
X
f
(j)
(0) −
j=0
m
X
f (j) (t)
(1.6.25)
j=0
als Kombination von Ableitungen des Polynoms. Bezeichne nun
f¯(x) =
m
X
|ak |xk
(1.6.26)
k=0
das Polynom mit Koeffizienten |ak |. Dann gilt |f (x)| ≤ f¯(|x|) ≤ f¯(|t|) für |x| < |t|. Also folgt
Z t
|I(t)| ≤
|et−x f (x)| dx ≤ |t|e|t| f¯(|t|).
(1.6.27)
0
Nun zum eigentlichen Beweis. Angenommen, die Zahl e ist algebraisch. Dann existieren also
ganze Zahlen b0 , . . . , bn ∈ Z mit
b0 + b1 e + · · · + bn en = 0.
(1.6.28)
Sei nun I(t) definiert wie oben durch das Polynom
f (x) = xp−1 (x − 1)p · · · (x − n)p
(1.6.29)
für eine große Primzahl p und bezeichne
J = b0 I(0) + b1 I(1) + · · · + bn I(n).
(1.6.30)
Wir schätzen nun J sowohl nach oben und als auch nach unten ab. Einerseits gilt aufgrund
von (1.6.25) und (1.6.28)
!
!
m
m
m
m
X
X
X
X
J = b0
f (j) (0) −
f (j) (0) + b1 e
f (j) (0) −
f (j) (1) +
j=0
· · · + bn e
j=0
n
m
X
j=0
j=0
f
(j)
(0) −
m
X
j=0
j=0
!
f
(j)
(n)
=−
m X
n
X
(1.6.31)
bk f
(j)
(k)
j=0 k=0
mit m = (n + 1)p − 1 und die hier auftretenden Summanden sind einfach zu untersuchen.
Einerseits gilt für j < p und k > 0 beziehungsweise j < p − 1 und k = 0 stets f (j) (k) = 0.
34
1.6 Algebraische und transzendente Zahlen
Damit ist aber für alle j und k mit Ausnahme von j = p − 1 und k = 0 die Zahl f (j) (k) ganz
und durch p! teilbar. Für j = p − 1 gilt
f (p−1) (0) = (p − 1)! (−1)np (n!)p
(1.6.32)
und für p > n ist dies durch (p − 1)!, aber nicht durch p! teilbar. Damit teilt (p − 1)! die Zahl
J, die Zahl p! aber nicht. Insbesondere ist J 6= 0 und damit
|J| ≥ (p − 1)!
(1.6.33)
Andererseits gilt für Polynome f, g offenbar f g(x) ≤ f¯(x)ḡ¯(x) und damit
f¯(k) ≤ k 2p−1 (k + 1)p · · · (k + n)p < (2n)m ,
m = (n + 1)p − 1
(1.6.34)
und somit
|J| ≤ |b1 |ef¯(1) + · · · + |bn |nen f¯(n) < (|b1 |e + · · · + |bn |nen )(2n)m = cp
(1.6.35)
mit einer nur von e und den Zahlen b1 bis bn abhängenden Konstanten c. Das widerspricht für
p → ∞ aber der unteren Schranke (p − 1)!, die ja schneller wächst. Also ist e transzendent.
Eine Bemerkung zum gezeigten Resultat. Ganz analog folgt auch, dass eπ transzendent ist.
Wäre eπ algebraisch, gäbe es ganze Zahlen b0 , . . . , bn mit
b0 + b1 eπ + b2 e2π + · · · + bn enπ = 0.
(1.6.36)
J = b0 I(0) + b1 I(π) + b2 I(2π) + · · · + bn I(nπ),
f (x) = xp−1 (x − π)p · · · (x − nπ)p
(1.6.37)
Setzt man nun
so folgt ganz analog die untere Schranke |J| ≥ (p − 1)! und eine obere Schranke |J| ≤ cp , also
wiederum ein Widerspruch.
Satz 1.6.8 (Lindemann11 ). Die Zahl π ist transzendent.
Beweis. Wir versuchen analog zum vorigen Beweis vorzugehen, müssen dazu aber etwas ausholen. Zur Definition von π verwenden wir die (hier nicht gezeigte) Eulersche Identität
eiπ + 1 = 0,
(1.6.38)
benötigen also insbesondere komplexe Zahlen. Wir benötigen auch einige Aussagen zu Polynomen mit komplexen ganzen Koeffizienten, diese werden wir später im nächsten Kapitel noch
beweisen.
Wäre π nun algebraisch, so auch die Zahl θ = iπ. Angenommen, diese besitzt den Grad d,
es gibt also ein Polynom vom Grad d mit ganzen Gaußschen Zahlen (also aus Z + iZ) als
Koeffizienten, welches θ als Nullstelle besitzt. Seien θ1 = θ, θ2 ,. . . , θd alle Nullstellen des
Polynoms und bezeichne ` den führenden Koeffizienten des Polynoms. Dann folgt
(1 + eθ1 )(1 + eθ2 ) · · · (1 + eθd ) = 0,
11
(1.6.39)
Carl Louis Ferdinand von Lindemann, 1852–1939
35
1 Zahlen
da der erste Faktor ja schon Null ist. Ausmultipliziert gibt dies eine Summe von 2d Termen
der Form eΘ mit Θ = 1 θ1 + · · · + n θn und j ∈ {0, 1}. Es sind sicher nicht alle dieser Θ gleich
Null. Seien α1 ,. . . , αn die von Null verschiedenen Zahlen Θ. Dann folgt mit q = 2d − n
eα1 + · · · + eαn + q = 0.
(1.6.40)
Wir betrachten nun wieder die Zahl
J = I(α1 ) + I(α2 ) + · · · I(αn ) + qI(0),
(1.6.41)
wobei I(t) analog zum letzten Beweis definiert ist, allerdings für das Polynom
f (x) = `np xp−1 (x − α1 )p · · · (x − αn )p
(1.6.42)
mit komplexen Koeffizienten und großer Primzahl p. Analog zu vorher sieht man, dass auch
für komplexes α die Abschätzung
|I(α)| ≤ |α| e|α| f¯(|α|)
(1.6.43)
gilt. Damit folgt aus der Darstellung (1.6.25) und damit
J = −q
m
X
f
(j)
(0) −
j=0
m X
n
X
f (j) (αk )
(1.6.44)
j=0 k=1
die obere Abschätzung
|J| ≤ |α1 |e|α1 | f¯(|α1 |) + · · · + |αn |e|αn | f¯(|αn |)
≤ (|α1 |e|α1 | + · · · + |αn |e|αn | )(2M )(n+1)p−1 ≤ cp
(1.6.45)
mit M = maxk |αk | und einer damit von p unabhängigen Konstanten c. Andererseits sind die
Terme
n
X
f (j) (αk )
(1.6.46)
k=1
symmetrische Polynome mit ganzen Koeffizienten in den Variablen `α1 bis `αn . Diese sind
(nach dem noch zu beweisenden Hauptsatz über symmetrische Polynome) wiederum Polynome
in den elementarsymmetrischen Polynomen `α1 + · · · + `αn , `2 α1 α2 + `2 α1 α3 + · · · + `2 αn−1 αn
bis `n α1 · · · αn . Diese elementarsymmetrischen Polynome sind selbst wiederum symmetrische
Polynome in den Variablen θ1 , . . . , θn mit ganzen Koeffizienten, also auch durch Polynome in
den zugehörigen elementarsymmetrischen Polynomen darstellbar. Diese sind aber gerade die
Koeffizienten des Ausgangspolynoms und damit nach Voraussetzung ganz. Also folgt, dass alle
Summen der Form (1.6.46) ganze Zahlen aus Z + iZ liefern.
Damit kann man wie im vorigen Beweis argumentieren, es gilt für j < p stets f (j) (αk ) = 0
und damit ist p! ein Teiler von f (j) (αk ) für alle j. Weiter ist f (j) (0) ganz und durch p! teilbar
solange j 6= p − 1 und
f (p−1) (0) = (p − 1)! (−`)np (α1 · · · αn )p
(1.6.47)
ist durch (p − 1)! teilbar, aber nicht durch p! falls p > |`n α1 · · · αn |. Ist nun auch p > q, so folgt
insbesondere |J| ≥ (p − 1)! und wir erhalten einen Widerspruch zur oberen Schranke, wenn
wir p gegen Unendlich gehen lassen. Also ist π transzendent.
Damit haben wir gezeigt, dass die Zahlen e, eπ und π transzendent sind. Für die Zahl π e ist
bis heute nicht einmal bekannt, ob sie irrational ist.
36
2 Funktionen
In einem zweiten Kapitel soll es um Funktionen und den Funktionsbegriff gehen. Dazu werden
wir Klassen elementarer Funktionen und ihre Eigenschaften diskutieren und Anwendungen
dieser, insbesondere in der Geometrie, in den Mittelpunkt stellen.
2.1 Polynome
Polynome sind spezielle Ausdrücke / Funktionen der Form
p(x) =
m
X
ak x k
(2.1.1)
k=0
mit Koeffizienten ak . Wir werden im folgenden annehmen, dass die Koeffizienten aus einem der
Körper Q, R, Q+iQ oder C = R+iR sind. Einige Resultate werden sich auch auf Koeffizienten
aus Z beziehungsweise Z + iZ beziehen, das wird aber in der Formulierung der Resultate dann
besonders hervorgehoben.
Wir sagen, ein Polynom besitzt den Grad m ≥ 0, falls es von der Form (2.1.1) mit am 6= 0
ist. Der Grad eines solchen Polynoms p sei als deg p bezeichnet. Das Nullpolynom besitzt die
Koeffizienten ak = 0 für alle k. Für dieses vereinbaren wir den Grad −∞.
Proposition 2.1.1. Seien p und q Polynome. Dann erfüllt Gradfunktion deg
(1) für die Summe (p + q)(x) = p(x) + q(x)
deg(p + q) ≤ max{deg p, deg q};
(2.1.2)
(2) und für das Produkt (pq)(x) = p(x)q(x)
deg(pq) = deg p + deg q.
(2.1.3)
Insbesondere impliziert pq = 0 stets p = 0 oder q = 0.
Beweis. Der Beweis folgt durch Nachrechnen. Aus
p(x) =
m
X
k
ak x ,
q(x) =
k=0
m
X
bk x k
(2.1.4)
k=0
folgt
(p + q)(x) =
m
X
(ak + bk )xk
(2.1.5)
k=0
37
2 Funktionen
und für ak = bk = 0 folgt ak + bk = 0. Damit gilt die erste Aussage. Für die zweite Aussage
seien p und q beide verschieden vom Nullpolynom und es gelte
p(x) =
m
X
k
ak x ,
q(x) =
k=0
n
X
b` x `
mit am 6= 0 und bn 6= 0. Dann gilt deg p = m, deg q = n und
! n
! m+n
!
m
X
X
X X
(pq)(x) =
ak x k
b` x ` =
ak b ` x j
k=0
(2.1.6)
`=0
j=0
`=0
(2.1.7)
k+`=j
impliziert, dass der Koeffizient vor xm+n durch am bn 6= 0 gegeben ist. Damit gilt aber die
Behauptung deg(pq) = m + n.
Wir beginnen mit einfachen algebraischen Eigenschaften von Polynomen. Die Gradfunktion
erlaubt es, eine sinnvolle Division mit Rest zu definieren.
Proposition 2.1.2 (Division mit Rest). Seien p und q Polynome mit deg p ≥ deg q und q 6= 0.
Dann existieren eindeutig bestimmte Polynome r und s mit deg r < deg q und
p(x) = q(x)s(x) + r(x).
(2.1.8)
Wir bezeichnen den auftretenden Rest als p mod q.
Beweis. Wir skizzieren den Algorithmus zur Bestimmung von s und r. Da m = deg p ≥
deg q = n gilt, haben wir eine Darstellung
p(x) =
m
X
k=0
ak x k ,
q(x) =
n
X
b` x `
(2.1.9)
`=0
mit am 6= 0 und bn 6= 0. Bildet man nun die Polynome
am m−n
x
,
r1 (x) = p(x) − q(x)s1 (x),
s1 (x) =
bn
(2.1.10)
so gilt nach Konstruktion deg r1 < deg p. Gilt nun deg r1 < deg q, so sind wir fertig. Andernfalls
setzen wir dies iterativ fort, beginnen also wieder mit dem Paar der Polynome r1 , q. Dies geht
solange, bis für ein j dann deg rj < deg q gilt. Dann folgt aber die behauptete Darstellung mit
r = rj und s = s1 + · · · + sj .
Es bleibt die Eindeutigkeit der Darstellung. Aus qs − r = qs̃ − r̃ folgt r − r̃ = q(s − s̃) und
damit entweder s = s̃ oder deg(r − r̃) ≥ deg q im Widerspruch zur Annahme deg r < deg q.
Also ist s und damit auch r eindeutig bestimmt.
Die Division mit Rest erlaubt es, den Algorithmus Euklids auf Polynome anzuwenden. Wir
erinnern kurz an den Algorithmus. Gegeben seien zwei Polynome p und q mit deg p ≥ deg q.
(S1) Bestimme r = p mod q. Ist r das Nullpolynom, so endet der Algorithmus mit dem
Rückgabewert q.
(S2) Ersetze das Paar (p, q) durch (q, r) und gehe zu Schritt 1.
38
2.1 Polynome
Der erweiterte Algorithmus liefert in jedem zweiten Schritt noch den Quotienten k, also das
Polynom mit deg(p − qk) < deg p. Die Folge der k entspricht der Folge der Teilnenner in
Kettenbruchsentwicklungen aus dem vorherigen Kapitel, spielt hier aber nur eine untergeordnete Rolle. Den Rückgabewert des Algorithmus bezeichnen wir mit ggT(p, q) für gegebene
Polynome p und q.
Satz 2.1.3 (Euklidischer Algorithmus). Seien p und q Polynome mit deg p ≥ deg q und q 6= 0.
(1) Der Euklidische Algorithmus endet nach maximal deg q Iterationsschritten.
(2) Es gilt für r = ggT(p, q) die Bezout-Darstellung
p(x)s(x) + q(x)t(x) = r(x)
(2.1.11)
mit Polynomen s und t.
(3) Jedes Polynom, welches p und q teilt, teilt auch r.
Beweis. Der Algorithmus ersetzt in jedem Iterationsschritt das Paar der Polynome (p, q) durch
Polynome (q, r1 ) mit deg r1 < deg q. Damit ist nach spätestens deg q Schritten deg r = 0
erreicht. Die erste Aussage folgt.
Für die zweite Aussage folgen benötigen wir die Folge der Quotienten aus den einzelnen Schritten. Es gilt
p(x) = q(x)k1 (x) + r1 (x),
q(x) = r1 (x)k2 (x) + r2 (x),
r1 (x) = r2 (x)k3 (x) + r3 (x),
..
.
rn−3 (x) = rn−2 (x)kn−1 (x) + rn−1 (x),
rn−2 (x) = rn−1 (x)kn (x)
(2.1.12)
und r = ggT(p, q) = rn−1 . Einsetzen der oberen Zeilen (als Darstellungen der jeweiligen Reste)
in die vorletzte liefert die Behauptung. Es gilt
r1 (x) = p(x) − q(x)k1 (x),
r2 (x) = q(x) − r1 (x)k2 (x) = −p(x)k2 (x) + q(x)(1 + k1 (x)k2 (x))
(2.1.13)
und induktiv aus Darstellungen für ri (x) = p(x)si (x) + q(x)ti (x), i < j,
rj (x) = rj−2 (x) − rj−1 (x)kj (x)
= p(x)sj−2 (x) + q(x)tj−2 (x) − p(x)sj−1 (x)kj (x) − q(x)tj−1 (x)kj (x)
(2.1.14)
die entsprechende Darstellung für den Rest rj (x) mit Polynomen sj (x) = sj−2 (x)−sj−1 (x)kj (x)
und tj (x) = tj−2 (x) − tj−1 (x)kj (x).
Für die dritte Aussage nutzen wir die Darstellung aus der zweiten. Teilt u sowohl p als auch
q, so existieren Polynome v und w mit p(x) = u(x)v(x) und q(x) = u(x)w(x), es gilt also
r(x) = u(x)(v(x)s(x) + w(x)t(x)) und u teilt auch r.
39
2 Funktionen
Bis jetzt haben wir nicht genutzt, dass die Koeffizienten der Polynome rationale, reelle oder
komplexe Zahlen sind. Das wird nun anders. Wir betrachten Nullstellen der Polynome, also
Lösungen der Gleichung p(x) = 0, und beobachten als erstes, dass zu einer gegebenen Zahl α
lα (x) = x − α
(2.1.15)
bis auf konstante Faktoren das einzige Polynom vom Grad 1 mit der Nullstelle α ist. Damit
folgt aus Proposition 2.1.2:
Korollar 2.1.4. Angenommen, α ist Nullstelle des Polynoms p. Dann ist lα (x) = x − α ein
Teiler von p, es gibt also insbesondere ein Polynom q mit p(x) = q(x)lα (x).
Beweis. Division mit Rest liefert die Darstellung p(x) = q(x)lα (x) + r(x) mit einem Polynom
r mit deg r < deg lα = 1. Damit muss aber r(x) = b eine Zahl sein. Einsetzen von α gibt
b = 0.
Korollar 2.1.5. Ein Polynom vom Grad m besitzt höchstens m verschiedene Nullstellen.
Beweis. Ist α Nullstelle von p, so gilt p(x) = lα (x)q(x) mit einem Polynom q(x). Ist β 6=
α ebenso Nullstelle, so muss wegen lα (β) 6= 0 offenbar auch q(β) = 0 gelten. Damit teilt
also lα lβ das Polynom p. Angenommen, α1 , . . . , αn sind Nullstellen. Dann teilt das Produkt
lα1 (x) · · · lαn (x) das Polynom p(x). Da ersteres den Grad n besitzt, folgt deg p ≥ n und damit
die Behauptung.
Satz 2.1.6 (Gauß1 , Fundamentalsatz der Algebra). Jedes nicht konstante Polynom (mit komplexen Koeffizienten) besitzt Nullstellen in C.
Beweis. Wir folgen der originalen Beweisidee von Gauß und betrachten ein Polynom
p(z) =
m
X
ak z k
(2.1.16)
k=0
vom Grad m in der komplexen Variablen z = x+iy. Insbesondere gilt also am 6= 0. Zugeordnet
betrachten wir die zwei (reellen) Polynome
u(x, y) = Re p(x + iy),
v(x, y) = Im p(x + iy).
(2.1.17)
Um zu zeigen, dass p eine (komplexe) Nullstelle besitzt, genügt es gemeinsame Nullstellen der
beiden reellen Funktionen u und v zu finden.
Wir betrachten zuerst die Nullstellenmenge von u. Für große Werte von |z| verhält sich u wie
u(x, y) ∼ Re(am (x + iy))m = Re(am z m )
(2.1.18)
und das rechtsstehende homogene Polynom besitzt m sich im Ursprung schneidende Geraden
als Nullstellenmenge. Zwischen diesen ist die Funktion abwechselnd positiv und negativ. Betrachtet man also die Nullstellenmenge von u, so erhält man Kurven, die die komplexe Ebene
in Bereiche teilen, in denen u(x, y) > 0 beziehungsweise u(x, y) < 0 gilt, siehe Abbildung 2.1.
1
Carl Friedrich Gauß, 1777–1855
40
2.1 Polynome
−
+
+
−
−
+
Abbildung 2.1: Nullstellenmenge von u(x, y) und entstehende Bereiche
Entsprechendes gilt für die Nullstellenmenge von v(x, y). Allerdings gilt hier für den homogenen Teil höchster Ordnung Im(am z m ) ∼ 0 statt Re(am z m ) ∼ 0 und dies führt zu einer Familie
von Geraden, die Winkelhalbierenden der Ausgangsgeraden sind. Auch diese sind wieder zu
Kurven zu verbinden, die entsprechende Bereiche in denen v(x, y) < 0 und v(x, y) > 0 gilt,
trennen. Betrachtet man nun einen unbegrenzten Bereich, in dem u(x, y) < 0 und v(x, y) < 0
gilt, so treten zwei Fälle auf. Entweder ist der Bereich von mindestens zwei sich nicht schneidenden Kurven berandet und läuft damit in mindestens zwei Richtungen ins Unendliche, oder
er besitzt nur eine Randkurve und diese damit einen Punkt auf dem u(x, y) = v(x, y) = 0
gilt. Im ersten Fall betrachten wir eine der Komponenten des Komplements dieses Bereiches.
In jeder dieser Komponenten befinden sich ins Unendliche verlaufende Nullstellenkurven mindestens einer der Funktionen u oder v (da zwischen denen Nullstellenkurven von u jeweils
auch eine von v ins Unendliche verläuft). Wir beginnen in einer der Komponenten erneut und
wählen einen Bereich, in dem u(x, y) > 0 und v(x, y) > 0 gilt. Es treten wieder zwei Fälle auf.
Etc. Wir können diese Argumentation iterativ fortsetzen.
Das Vorgehensweise muss nach endlich vielen Schritten enden, da maximal nur 4n solche
unbegrenzten Bereiche existieren können.
Pm
k
Wir nennen ein Polynom p(x) =
k=0 ak x vom Grad m monisch (manchmal auch also
normiert bezeichnet), falls der führende Koeffizient durch am = 1 gegeben ist.
Korollar 2.1.7. Sei p ein monisches Polynom vom Grad m ≥ 0. Dann existieren (nicht
notwendig verschiedene) Zahlen α1 , . . . αm ∈ C mit
p(x) =
m
Y
(x − αj ).
(2.1.19)
j=1
Beweis. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra existiert zu p eine Zahl α1 ∈ C mit p(x) =
(x − α1 )q1 (x) mit deg q1 = m − 1. War m = 1, so ist man insbesondere fertig. Andernfalls
existiert zu q1 wieder eine Zahl α2 ∈ C mit q1 (x) = (x − α2 )q2 (x) und deg q2 = m − 2. Iterative
Fortsetzung führt direkt zum Beweis.
41
2 Funktionen
Abbildung 2.2: Nullstellenmengen von u(x, y) und v(x, y) und Nullstellen des Polynoms
Die Zahlen αj werden als Wurzeln des Polynoms p bezeichnet. Die Anzahl der Faktoren (x−α)
zu gegebenem α nennt man die Vielfachheit der Wurzel αj .
Proposition 2.1.8 (Wurzelsatz von Vieta2 ). Sei
m
X
p(x) =
(−1)m−k ck xk
(2.1.20)
k=0
ein monisches Polynom vom Grad m mit Wurzeln α1 , . . . , αm . Dann gilt cm = 1 und für alle
k < m, k ∈ N0
X Y
ck =
αj .
(2.1.21)
J⊂{1,...,m} j∈J
#(J)=m−k
Beweis. Ausmultiplizieren der Darstellung (2.1.19) liefert die Behauptung.
Die hier auftretenden Polynome, welche die Koeffizienten ck als Funktionen in αj darstellen,
sind symmetrisch. Das ist klar, da die Reihenfolge der Wurzeln beim ausmultiplizieren der
Produktdarstellung unerheblich ist. Die entstehenden Polynome werden als elementarsymmetrische Polynome bezeichnet. In den Fällen m = 2 und m = 3 sind diese durch
s1 = α1 + α2 ,
s2 = α1 α2
(2.1.22)
und
s1 = α1 + α2 + α3 ,
s2 = α1 α2 + α2 α3 + α3 α1 ,
gegeben, ihre allgemeine Form ist für gegebenes k und m
X Y
sk (α1 , . . . , αm ) =
αj .
s3 = α1 α2 α3
(2.1.23)
(2.1.24)
J⊂{1,...,m} j∈J
#(J)=k
Sie sind interessant, da jedes symmetrische Polynom in mehreren Variablen selbst Polynom in
diesen elementarsymmetrischen Polynomen ist. Dies besagt
2
Franciscus Vieta, 1540–1603
42
2.1 Polynome
Satz 2.1.9 (Hauptsatz über symmetrische Polynome). Sei g ein Polynom in m Variablen
α1 , . . . , αm , welches die Symmetriebedingung
g(α1 , . . . , αm ) = g(απ(1) , . . . , απ(m) )
(2.1.25)
für jede Permutation π ∈ Sm erfüllt. Dann existiert ein Polynom f in m Variablen mit
g(α1 , . . . , αm ) = f (s1 (α1 , . . . , αm ), . . . , sm (α1 , . . . , αm )).
(2.1.26)
Besitzt das Polynom g Koeffizienten aus Z, Z + iZ, Q, Q + iQ oder R, so auch f .
Bevor wir zum Beweis übergehen, vorerst eine Vorbemerkung. Es genügt, die Aussage für
symmetrisierte Monome zu beweisen. Im Falle m = 2, ergeben sich die ersten Schritte aus
nachfolgender Tabelle.
Grad Symmetrisiertes Monom
Darstellung
0
1
1
1
α1 + α2
s1
2
α1 α2
s2
2
2
2
α1 + α2
s1 − 2s2
2
2
3
α1 α2 + α1 α2
s1 s2
α13 + α23
s31 − 3s1 s2
4
α12 α22
s22
α13 α2 + α1 α23
s2 (s21 − 2s2 )
4
4
4
α1 + α2
s1 − 4s2 (s21 − 2s2 ) − 6s22
5
α13 α22 + α12 α23
s1 s22
α14 α2 + α1 α24
(s41 − 4s2 (s21 − 2s2 ) − 6s22 )s2
5
5
5
α1 + α2
s1 − 5(s41 − 4s2 (s21 − 2s2 ) − 6s22 )s2 − 10s1 s22
..
..
..
.
.
.
Im Falle m = 3 gilt entsprechend
Grad
0
1
2
3
..
.
Symmetrisiertes Monom
1
α1 + α2 + α3
α1 α2 + α1 α3 + α2 α3
α12 + α22 + α32
α1 α2 α3
2
2
α1 α2 + α1 α3 + α1 α22 + α22 α3 + α1 α32 + α2 α32
α13 + α23 + α33
..
.
Darstellung
1
s1
s2
s21 − 2s2
s3
s1 s2
s31 − 3s1 s2 + 3s3
..
.
und die Fortsetzung der Tabellen verbleibt als Übung. Für den Beweis obigen Satzes genügt
es zu zeigen, dass für alle Multiindices ν = (ν1 , . . . , νm ) ∈ Nm
0 und zugehörige Monome
ν
α =
m
Y
ν
αj j
(2.1.27)
j=1
43
2 Funktionen
die entsprechenden symmetrisierten Monome
1 X π(ν)
(αν )sym =
α ,
m! π∈S
π(ν) = (νπ(1) , . . . , νπ(m) ),
(2.1.28)
m
entsprechend darstellbar sind. Dazu führen wir Induktion über |ν| = ν1 + · · · + νm und in
jedem dieser Schritte über die lexikographische Ordnung der Multiindices, also µ ν falls die
erste auftretende nichttriviale Differenz µj − νj positiv ist.
Im folgenden betrachten wir insbesondere geordnete Multiindices, also ν mit νi ≥ νj für i ≤ j.
Diese bestimmen die symmetrisierten Monome eindeutig und es gilt für jede Permutation
π ∈ Sm insbesondere die Ungleichung
ν π(ν).
(2.1.29)
Für symmetrische Polynome in m Variablen bezeichnen wir den lexikographisch größten auftretenden Multiindex als seinen (symmetrischen) Grad.
Beweis. Wir nutzen Induktion über die lexikographische Ordnung der Multiindices. Die kleinsten geordneten Multiindices entsprechen gerade den elementarsymmetrischen Polynomen,
X
k = (1, . . . , 1, 0, . . . , 0)
απ(k ) ,
(2.1.30)
!
sk (α) =
| {z }
π∈Sm
k mal
und diese sind damit dargestellt. Sei nun µ ein geordneter Multiindex. Angenommen die
symmetrischen Monome
X
απ(ν) ,
µ ≺ ν,
(2.1.31)
π∈Sm
sind schon alle als Polynome in elementarsymmetrischen Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt. Betrachtet man nun das Polynom
X
s1 (α)µ1 −µ2 s2 (α)µ2 −µ3 · · · sm (α)µm −
απ(µ) ,
(2.1.32)
π∈Sm
so ist dieses nach Konstruktion symmetrisch. Wir bestimmen das Monom mit dem (lexikographisch) größten Multiindex, welches in diesem Polynom vorkommt. Für den letzten Summanden ist dies offenbar µ, für das Produkt der elementarsymmetrischen Monome ergibt sich
wegen (2.1.29) dafür
(µ1 − µ2 )1 + (µ2 − µ3 )2 + · · · + µm m = µ.
(2.1.33)
Beide haben Koeffizienten 1 und kürzen sich damit. Also ist das Polynom (2.1.32) vom Grad
lexikographisch kleiner als µ und damit nach Induktionsvoraussetzung ein Polynom mit ganzen
Koeffizienten in elementarsymmetrischen Polynomen.
Satz 2.1.10. Sei g ein antisymmetrisches Polynom in m Variablen, gelte also
g(α1 , . . . , αm ) = sign(π) g(απ(1) , . . . , απ(m) )
für jede Permutation π ∈ Sm . Dann existiert eine symmetrisches Polynom h mit
Y
g(α1 , . . . , αm ) = h(α1 , . . . , αm )
(αi − αj ).
i<j
44
(2.1.34)
(2.1.35)
2.2 Polynomgleichungen
Beweis. Betrachtet man g als Polynom in α1 mit Polynomen in den verbleibenden m − 1Variablen als Koeffizienten, so besitzt es für α1 = αj , j > 1, aufgrund der Antisymmetrie
jeweils eine Nullstelle. Bezeichnet man nun den lexikographisch größten auftretenden Multiindex als lexikographischen Grad des Polynoms, so gilt analog zu Proposition 2.1.2
g(α1 , . . . , αm ) = h1 (α1 , . . . , αm )(α1 − α2 ) + r1 (α1 , . . . , αm )
(2.1.36)
mit einem Rest, dessen lexikographischer Grad kleiner ist als der von (α1 − α2 ), also insbesondere unabhängig von α1 und α2 ist. Setzt man dies fort, so erhält man eine Darstellung
m
Y
g(α1 , . . . , αm ) = h2 (α1 , . . . , αm ) (α1 − αj ) + r2
(2.1.37)
j=2
mit einem von allen Variablen unabhängigen Rest. Dieser muss (nach Einsetzen von α1 =
· · · = αm = 0) identisch verschwinden, ist also Null. Setzt man dies iterativ fort, so folgt die
behauptete Darstellung. Die Symmetrie von h ist offensichtlich.
Wir skizzieren ein kurzes Beispiel zur Anwendung der letzten Aussage. Gegeben sei das Polynom
(x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 .
(2.1.38)
Dieses ist antisymmetrisch, besitzt also den Faktor (x − y)(y − z)(z − x) und es bleibt den
symmetrischen Quotienten zu bestimmen. Dieser muss vom (symmetrischen) Grad 0 sein und
damit konstant. Also folgt durch Einsetzen von x = 1, y = 0 und z = −1 die Identität
(x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 = 3(x − y)(y − z)(z − x).
(2.1.39)
2.2 Polynomgleichungen
Lineare Gleichungen in einer Variablen sind trivial lösbar, wir verzichten hier darauf. Interessanter werden Lösungsverfahren zu Gleichungen höheren Grades.
Reine Gleichungen
der Form
xm = w
(2.2.1)
löst man nicht, sondern nutzt ihre Lösung zur Definition der (komplexen) Wurzelfunktionen
x=
√
m
w.
(2.2.2)
Diese sind m-wertig, wobei sich die m verschiedenen Werte um die m-ten Einheitswurzeln,
also die Lösungen zu xm = 1 als Faktoren unterscheiden.
45
2 Funktionen
Quadratische Gleichungen
löst man durch quadratisches Ergänzen. Um alle Lösungen zu
x2 + 2px + q = 0
(2.2.3)
zu bestimmen, schreiben wir die Gleichung um zu
(x + p)2 + q − p2 = 0,
(2.2.4)
und erhalten damit
x = −p ±
p
p2 − q.
(2.2.5)
Gleichungen mit reellen Lösungen sind allein mit dem reellen Wurzelbegriff lösbar.
Kubische Gleichungen
können mit einem durch Gerolamo Cardano3 publizierten und nach ihm benannten Verfahren
gelöst werden. Entdeckt wurde die Methode von Nicolo Tartaglia4 oder Scipione del Ferro5 .
Eine allgemeine Gleichung dritten Grades der Form
x3 + ax2 + bx + c = 0
(2.2.6)
kann durch die Substitution x = y − a/3 zu
y 3 − py − q = 0
(2.2.7)
vereinfacht werden. Es genügt als letztere zu betrachten. Mit dem Ansatz y = ξ + η mit noch
zu bestimmenden Zahlen ξ und η wird diese zu
0 = (ξ + η)3 − p(ξ + η) − q = ξ 3 + η 3 + 3ξη(ξ + η) − p(ξ + η) − q.
(2.2.8)
Dies ist erfüllt, falls ξ und η die Gleichungen
p = 3ξη,
und
q = ξ 3 + η3
(2.2.9)
erfüllen. Damit sind aber ξ 3 und η 3 Lösungen der quadratischen Gleichung
p3
t − qt +
= 0,
27
3
(2.2.10)
also von der Form
r
r
q2
p3
q
q2
p3
q
3
− ,
η = −
− .
ξ = +
2
4
27
2
4
27
Als Lösungen der kubischen Gleichung ergeben sich also Zahlen der Form
s
s
r
r
2
3
3 q
3 q
q
p
q2
p3
+
−
+
−
−+ ,
2
4
27
2
4
27
3
3
Gerolamo Cardano, 1501–1576
Nicolo Tartaglia, 1499–1557
5
Scipione del Ferro, 1456–1526
4
46
(2.2.11)
(2.2.12)
2.2 Polynomgleichungen
wobei die beiden dritten Wurzeln so zu wählen sind, dass ihr Produkt gerade p/3 liefert. Nutzt
man dies, so kommt mit einer Wahl der dritten Wurzel aus und erhält
s
r
3 q
q2
p3
p
+
−
+ r
(2.2.13)
q
2
4
27
3 q
q2
p3
3 2 + 4 − 27
als allgemeine Lösung der kubischen Gleichung.
Mit dem rein reellen Wurzelbegriff ergeben sich hier Probleme. Genau dann, wenn die Gleichung drei verschiedene reelle Lösungen besitzt, sind die auftretenden Quadratwurzeln echt
komplex.
Quartische Gleichungen
wurden durch Lodovico Ferrari6 erstmalig allgemein gelöst. Jede solche Gleichung
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0
(2.2.14)
kann vermittels der Substitution x = z − a/3 auf die Normalform
z 4 + αz 2 + βz + γ = 0
(2.2.15)
transformiert werden. Deshalb betrachten wir nur diese Gleichung. Die Grundidee besteht nun
darin, dieses Polynom vierten Grades als Differenz zweier Quadrate zu schreiben. Dazu führen
wir einen neuen Parameter ξ ein und nutzen, dass
(z 2 + α + ξ)2 − (z 4 + αz 2 + βz + γ) = (α + 2ξ)z 2 − βz + ((α + ξ)2 − γ)
(2.2.16)
genau dann ein vollständiges Quadrat (als Polynom in z) ist, wenn dieses eine doppelte Nullstelle besitzt. Dies gilt, wenn die Diskriminante der quadratischen Gleichung verschwindet,
also
4(α + 2ξ)((α + ξ)2 − γ) − β 2 = 0
(2.2.17)
gilt. Dies ist eine kubische Gleichung. Sei ξ eine ihrer Nullstellen. Dann existieren Zahlen η
und ζ mit
p
η 2 = α + 2ξ,
η = α + 2ξ,
p
(2.2.18)
ζ 2 = (α + ξ)2 − γ,
ζ = (α + ξ)2 − γ,
mit 2ηζ = β. Die letzte Bedingung bestimmt die Wahl der Quadratwurzeln. Mit diesen Zahlen
gilt nach Konstruktion von ξ, η und ζ
z 4 + αz 2 + βz + γ = (z 2 + α + ξ)2 − (ηz − ζ)2
(2.2.19)
und die Lösungen z der quartischen Gleichung erhält man als die Lösungen einer der quadratischen Gleichungen
z 2 − 2ηz + α + ξ + ζ = 0,
oder
z 2 + 2ηz + α + ξ − ζ = 0.
(2.2.20)
Damit kann man alle vier Lösungen der quartischen Gleichung durch iterierte Quadrat- und
Kubikwurzeln darstellen.
6
Lodovico Ferrari, 1522–1565
47
2 Funktionen
Quintische Gleichungen
der allgemeinen Form
x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
(2.2.21)
kann man wieder durch Substitutionen vereinfachen. Eine lineare Substitution x = z − a/5
würde den quartischen Term eliminieren. Das kann man etwas besser machen und versuchen
möglichst viele der Koeffizienten zum Verschwinden zu bringen. Diese Idee hat Tschirnhaus7
versucht, allerdings konnte er damit die quintische Gleichung nicht im lösen. Die so maximal
mögliche Reduktion gelang Bring8 .
Der Ansatz
z = x4 + αx3 + βx2 + γx + δ
(2.2.22)
mit zu bestimmenden Parametern α, β, γ, δ führt nach langem Rechnen auf die Normalform
z 5 + pz + q = 0.
(2.2.23)
Damit ist aber Schluss, eine Lösung der Gleichung durch Wurzelausdrücke ist nämlich im
allgemeinen nicht möglich. (Satz von Abel9 –Ruffini10 )
Lösungsdarstellungen existieren mit Mitteln der Analysis. So kann man die Lösungen der
Gleichung der Normalform als Werte einer hypergeometrischen Reihe darstellen.
2.3 Potenz- und Logarithmusfunktionen
Die nach Polynomen einfachsten Funktionen sind Potenz- und Logarithmusfunktionen. Diese
entstehen, wenn man versucht den Potenzbegriff a = bc auf möglichst viele Werte von c (und
a) zu erweitern. Für natürliche Zahlen n sollte dabei natürlich bn den Potenzen entsprechen,
die sich durch n-fache Multiplikation von b ergeben. Für rationale Zahlen c = n/m ergeben
sich schon Wahlmöglichkeiten, will man
√
√
m
m
bn/m = bn = ( b)n
(2.3.1)
sinnvoll definieren, so hat man eine Auswahl aus den m Werten der Wurzelfunktion zu treffen.
Die sinnvolle Auswahl hängt dabei mit der gewünschten stetigen Abhängigkeit des Ergebnisses
vom Exponenten zusammen.
Satz 2.3.1. Sei b > 0. Dann existiert genau eine stetige Funktion f : R → R mit
(1) der Funktionalgleichung f (x + y) = f (x)f (y);
(2) der Normierung f (1) = b.
Der Wertebereich von f ist die Menge R+ der positiven reellen Zahlen. Die Funktion wird als
Exponentialfunktion f (x) = by zur Basis b bezeichnet.
7
Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, 1651–1708
Erland Samuel Bring, 1736–1798
9
Niels Henrik Abel, 1802–1829
10
Paolo Ruffini, 1765–1822
8
48
2.3 Potenz- und Logarithmusfunktionen
Beweisskizze. In einem ersten Schritt beobachten wir, dass für alle natürlichen Zahlen n
und damit entsprechend auch
f (n) = f (1)n = bn
(2.3.2)
n m
f
= f (n) = bn
m
(2.3.3)
gilt. Damit folgt
f
n
=
√
m
bn = bn/m
(2.3.4)
m
mit einer entsprechend zu wählenden Wurzel. Für ungerades m ist die Wurzel stets positiv,
für gerades m kann sie positiv oder negativ sein. Will man eine auf Q stetige Funktion, so ist
die Wurzel dabei positiv zu wählen. Damit ist die Funktion als stetige Fortsetzung von Q auf
R aber eindeutig bestimmt.
Die Logarithmusfunktion wird gewöhnlich als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion eingeführt. Dies ist möglich, da für b 6= 1 die soeben konstruierte Exponentialfunktion wegen
√
√
n
m
m
>
f x+
= f (x)bn/m = f (x) bn ,
bn { >
(2.3.5)
< } 1 für b { < } 1
m
streng monoton ist.
Satz 2.3.2. Sei b > 0. Dann existiert genau eine stetige Funktion g : R+ → R mit
(1) der Funktionalgleichung g(xy) = g(x) + g(y);
(2) der Normierung g(b) = 1.
Die Funktion wird als Logarithmusfunktion g(y) = logb y zur Basis b bezeichnet.
Beweisskizze. Wir gehen analog vor. Aufgrund der Funktionalgleichung gilt wegen g(b) = 1
g(bn ) = ng(b) = n
(2.3.6)
mg(bn/m ) = g(bn ) = m,
(2.3.7)
und damit auch
also
n
.
m
dicht in R+ ist und die so konstruierte Funktion wegen
g(bn/m ) =
Da bn/m
g(x) −
n
n
= g(xb−n/m ) < g(x) < g(xbn/m ) = g(x) +
m
m
(2.3.8)
(2.3.9)
für n, m ∈ N auch auf Q+ stetig ist, existiert eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung auf
die Menge der positiven reellen Zahlen.
Die Logarithmusfunktion wurde insbesondere als Rechenhilfsmittel in Verbindung mit Logarithmentafeln zu einem zentralen Bestandteil der Mathematik des frühen 17. bis späten 19.
Jahrhunderts. Zu nennen sind dabei insbesondere die auf John Napier11 und unabhängig davon
11
John Napier, 1550–1617
49
2 Funktionen
Jost Bürgi12 , die erste Logarithmentafeln zu den Basen 0.9999999 und 1.0001 veröffentlichten.
Logarithmen zur Basis 10 wurden zuerst von Henri Briggs13 eingeführt, weitere Tafeln gehen
auf Johannes Kepler14 und Nicolaus Mercator15 zurück. Zu beachten ist, dass alle diese Tafeln von Hand zu berechnen waren. Sie dienten für lange Zeit als wichtigstes Hilfsmittel zum
Berechnen komplizierter Multiplikationen, Divisionen und Wurzelausdrücke.
Die 1783 von Jurij Vega16 herausgegebenen siebenstelligen Logarithmustafeln waren nicht nur
für ihre Fehlerfreiheit gerühmt, sie waren insbesondere zentral für Berechnungen im Ingenieurwesen. Davon zeugen die vielen Neuauflagen, die diese Tafeln bis hin in die Mitte des 20ten
Jahrhunderts erfahren haben.
Um zu verstehen, wie solche Tafeln erstellt wurden, versuchen wir uns an einem kleinen Beispiel
und konstruieren eine Tafel zur Basis 2 und zur Basis 1,1. Es gilt
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0
1
(1,5)
2
(2,25)
(2,5)
(2,75)
3
(3,125)
(3,25)
(3,375)
(3,5)
(3,625)
(3,75)
(3,875)
4
1
1,1
1,21
1,331
1,4641
1,61051
1,771561
1,9487171
2,14358881
2,357947691
2,5937424601
2,85311670611
3,138428376721
3,4522712143931
3,79749833583241
4,177248169415651
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Die zweite Spalte liefert in den (schwarz markierten) Zeilen, in welchen eine 2er-Potenz dargestellt ist, den korrekten Wert und dazwischen eine lineare Interpolation, die jeweils zu klein
ist. In der rechten Tabelle sind alle Zeilen korrekt. Nach Runden auf eine oder zwei Nachkommastellen würde sich daraus eine gute Ausgangstabelle ergeben, die sich wiederum mit
linearer Interpolation verbessern ließe.
Proposition 2.3.3. Die durch Satz 2.3.3 definierte Logarithmusfunktion erfüllt für gegebenes
b 6= 1, b > 0, und alle x, y > 0
(1) logb (xy) = logb x + logb y;
(2) logb 1 = 0 und logb b = 1;
(3) logb
12
1
x
= − logb x;
Jost Bürgi, 1552–1632
Henri Briggs, 1561–1630
14
Johannes Kepler, 1571–1630
15
Nicolaus Mercator, 1620–1687
16
Georg Freiherr von Vega, 1754–1802
13
50
2.3 Potenz- und Logarithmusfunktionen
(4) logb (xy ) = −y logb x für alle y ∈ Q;17
(5) logb x =
logc x
logc b
für jedes c 6= 1, c > 0.
Beweis. (1) entspricht direkt der definierenden Funktionalgleichung. Setzt man darin y = 1,
so erhält man für alle x > 0
logb x = logb (x · 1) = logb x + logb 1
(2.3.10)
und damit logb 1 = 0. Das ist aber gerade die erste Identität von (2). Die zweite Identität
entspricht der Normierungsbedingung aus Satz 2.3.3. Setzt man in (1) für y = 1/x, so folgt
1
1
= logb x + logb
0 = logb 1 = logb x
x
x
(2.3.11)
und damit die Behauptung aus (3). Für y ∈ N ist (4) eine direkte Folgerung der Funktionalgleichung. Zusammen mit (3) folgt also
logb xn = n logb x,
n∈Z
(2.3.12)
und ebenso
m logb x1/m = logb (x1/m )m = logb x,
(2.3.13)
also auch für y = n/m mit m, n ∈ Z
logb xy = logn xn/m =
n
1
logb xn =
logb x
m
m
(2.3.14)
und damit die Behauptung. Für die Aussage (5) nutzen wir die Eindeutigkeitsaussage aus
Satz 2.3.3. Dazu betrachten wir die Funktion
f (x) =
logc x
.
logc b
(2.3.15)
Diese erfüllt nach obigen Regeln die Funktionalgleichung f (xy) = f (x) + f (y). Setzt man nun
logc b
= 1 und damit gilt f (x) = logb x.
speziell x = b, so folgt f (b) = log
b
c
Proposition 2.3.4. Die durch Satz 2.3.3 definierte Logarithmusfunktion erfüllt für alle b > 1
(1) logb x > 0 für alle x > 1;
(2) logb y > logb x für alle y > x;
(3) die Konkavitätsungleichung
logb (θx + (1 − θ)y) > θ logb x + (1 − θ) logb y
(2.3.16)
für alle x 6= y und alle θ ∈ (0, 1).
17
und y ∈ R für die durch stetiges Fortsetzen für festes x definierte Exponentialfunktion xy
51
2 Funktionen
Beweis. Für x = bm/n mit m > n und m, n ∈ N gilt
m
> 0.
(2.3.17)
n
Da die Menge dieser x auf R+ dicht ist, folgt die erste Aussage zusammen mit der geforderten
Stetigkeit der Logarithmusfunktion. Für die zweite Aussage nutzen wir die Funktionalgleichung, es gilt für y > x stets y/x > 1 und damit
y
(2.3.18)
logb y − logb x = logb > 0
x
aufgrund der ersten Aussage. Es bleibt die Konkavität. Dazu nutzen wir eine einfach Idee und
betrachten zuerst nur den Fall θ = 1/2. Dann gilt für x 6= y die Ungleichung vom geometrischen
und arithmetischen Mittel
x+y √
> xy
(2.3.19)
2
und damit aufgrund der Monotonie der Logarithmusfunktion
logb x = logb bm/n =
x+y
logb x + logb y
√
> logb xy =
.
(2.3.20)
2
2
Sei nun θ ∈ (0, 1) beliebig und z = θx + (1 − θ)y. Dann konstruieren wir durch Intervallhalbierungen eine Intervallschachtelung die z approximiert. Sei dazu z1 = (x + y)/2 und
entsprechend falls z im linken Teilintervall liegt z2 = (x + z1 )/2 und falls z im rechten Teilintervall liegt entsprechend z2 = (z1 + y)/2. Fortgesetzt liefert dies eine Folge von Teilungspunkten zn mit zn → z, die jeweils von der Form zn+1 = (zn + ξn )/2 mit dem entsprechenden
ξn ∈ {x, y, z1 , . . . , zn−1 }.
logb
x
z2 z
z3
z1
y
Abbildung 2.3: Zum Beweis der Konkavität des Logarithmus
Nun gilt aber nach dem ersten Beweisteil
logb zn + logb ξn
(2.3.21)
2
und nach Konstruktion (der aufeinandergestapelten Dreiecke) auch (im Falle θn+1 < 12 , sonst
die mittlere Abschätzung leicht anders)
logb zn+1 >
logb zn + logb ξn
x+y
> 2θn+1 logb x+(1−2θn+1 ) logb
> θn+1 logb x+(1−θn+1 ) logb y (2.3.22)
2
2
52
2.3 Potenz- und Logarithmusfunktionen
für θn+1 mit zn+1 = θn+1 x + (1 − θn+1 )y. Für n → ∞ folgt
logb z > θ logb x + (1 − θ) logb y
(2.3.23)
und damit die Behauptung.
Man beachte, dass hier nur die Stetigkeit der Logarithmusfunktion und die Funktionalgleichung von Bedeutung war. Der vermeintlich moderne Beweis mittels Differentialrechnung
wirkt zwar eleganter, nutzt aber viel mehr an Analysis. Die hier gezeigten Ungleichungen
konnten schon vor der Erfindung der Differentialrechnung abgeleitet werden.
Wir kommen zurück zur Konstruktion der Logarithmentafeln. Jost Bürgi nutzte als Basis die
Zahl 1, 0001 = 1 − 104 . Dies erlaubt es, in der n-ten Zeile der Tabelle die Zahlen (x, y) mit
x = (1, 0001)y
(2.3.24)
einzutragen. Für die Differenz aufeinanderfolgender x-Werte gilt dabei
∆x = (1, 0001)y+1 − (1, 0001)y = (1, 0001)y (1, 0001 − 1) =
x
,
104
(2.3.25)
zusammen mit ∆y = 1 gilt also insbesondere
104
∆y
=
.
∆x
x
(2.3.26)
Entsprechendes gilt für die Tafeln John Napiers mit −107 statt 104 . Um dies einheitliche
Logarithmen, bedarf es einer Verschiebung von Nachkommastellen. Wir ersetzen dazu y durch
104 y und erhalten
1
∆y
= ,
∆y = 10−4 ,
(2.3.27)
∆x
x
oder im Falle Napiers mit y ersetzt durch −107 y
1
∆y
= ,
∆x
x
∆y = 10−7 .
(2.3.28)
Dies kann man sich graphisch veranschaulichen. Dazu addieren wir die auftretenden y-Differenzen
und erhalten neben der formellen Darstellung
y=
X ∆x
x
(2.3.29)
das in Abbildung 2.4 dargestellte Bild. Der Wert y ergibt sich als Summe der Rechtecksflächen
zwischen 1 und x, jede der Flächen hat den festen Inhalt ∆y. Für ∆y → 0 liefert dies eine
‘natürliche’ Wahl des Logarithmus, wie er zuerst von Mercator18 verwendet wurde. Dieser
definierte den natürlichen Logarithmus einer Zahl x > 1 als den Flächeninhalt zwischen der
Hyperbel (ξ, 1/ξ) und der Achse im Bereich 1 < ξ < x, also in moderner Notation
Z x
dξ
ln x = log nat x =
.
(2.3.30)
ξ
1
18
Nikolaus Mercator, 1620–1687
53
2 Funktionen
Abbildung 2.4: Logarithmentafeln als Flächeninhalte
Dass es sich tatsächlich um eine Logarithmusfunktion handelt, ist einfach nachzurechnen. Es
gilt
Z xy
Z x
Z xy
Z x
Z y
dξ
dξ
dξ
dξ
dξ
ln(x + y) =
=
+
=
+
= ln x + ln y,
(2.3.31)
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
1
1
x
1
1
wobei im zweiten Integral ξ zu xξ substituiert wurde. Es bleibt die Basis dieses Logarithmus
zu bestimmen. Diese wird als Eulersche Zahl e bezeichnet. Einerseits gilt
Z e
dξ
1 = ln e =
,
(2.3.32)
ξ
1
andererseits liegt der formale (und sich aus obiger Argumentation mit ∆y =
Grenzübergang
ny
1
1
x = lim 1 +
,
∆y = → 0
n→0
n
n
vor, was die Vermutung
n
1
e = lim 1 +
n→∞
n
1
n
ergebende)
(2.3.33)
(2.3.34)
nahelegt. Ein Beweis ergibt sich aus der Theorie des Riemannintegrals, die aufaddierten
Flächeninhalte sind Obersummen und streben gegen die Fläche unter dem Graphen. Mercator war auch der Erste, der eine Reihendarstellung des Logarithmus angegeben hat. Die
Reihe ist für 0 < x < 1 alternierend, die Konvergenz der Reihe ergibt sich aus dem Intervallschachtelungsprinzip.
Proposition 2.3.5 (Mercator). Die natürliche Logarithmusfunktion erfüllt für 0 < x < 1
∞
X
x2 x3 x4
xk
ln(1 + x) = x −
+
−
+ −··· = −
(−1)k
2
3
4
k
k=1
(2.3.35)
Beweis. Wir folgen dem Originalbeweis Mercators und zeigen dies durch gliedweise Integration
und Abschätzung aller Partialsummen. Es gilt, wiederum in moderner Notation,
Z 1+x
Z x
Z xX
∞
dξ
dξ
ln(1 + x) =
=
=
(−1)k ξ k dξ
(2.3.36)
ξ
1
+
ξ
1
0
0 k=0
54
2.3 Potenz- und Logarithmusfunktionen
unter Ausnutzung der (damals bekannten) Darstellung der geometrischen Reihe. Da die Reihe
für 0 < ξ ≤ x < 1 alternierend ist, gilt
N
1
X
−
(−1)k ξ k < ξ N +1
(2.3.37)
1 + ξ
k=0
und damit impliziert
Z
N Z x
x dξ
X
1
−
xN +2 → 0,
(−1)k ξ k dξ ≤
0 1+ξ
N
+
2
k=0 0
N → ∞,
(2.3.38)
die Vertauschbarkeit von Reihe und Integral und die Behauptung
Z
ln(1 + x) =
1
1+x
∞
dξ X
=
ξ
k=0
Z
0
x
∞
X
∞
X
1
xk
k+1
(−1) ξ dξ =
x
=−
(2.3.39)
(−1)
(−1)k
k
+
1
k
k=0
k=1
k k
k
folgt.
Durch Inversion der Reihendarstellung des Logarithmus ergibt sich eine Darstellung der natürlichen
Exponentialfunktion. Dieser Schritt wurde zuerst von Newton19 gegangen.
Proposition 2.3.6 (Newton). Die Exponentialfunktion besitzt die Reihendarstellung
x
e =
∞
X
xk
k=0
k!
.
(2.3.40)
Insbesondere gilt für die Basis des natürlichen Logarithmus
∞
X
1
.
e=
k!
k=0
(2.3.41)
Beweisskizze. Wir wissen, dass für x = ln y = ln ex und 1 ≤ y < 2 die Reihendarstellung
aus Proposition 2.3.5 gilt. Newtons Vorgehen bestand nun darin, diese Reihendarstellung zu
invertieren und eine entsprechende Reihe für die Umkehrfunktion abzuleiten. Ohne auf das
Problem der Konvergenz einzugehen, nutzen wir dazu formal den Ansatz
x
e =1+
∞
X
an x n
(2.3.42)
n=1
und setzen diesen in die Exponentialreihe ein. Das (so nicht gerechtfertigte) Vertauschen der
Summationsreihenfolge und (der ebenso zu rechtfertigende) Koeffizientenvergleich in
∞
X
1
x = ln(1 + ex − 1) = −
(−1)k
k
k=1
19
∞
X
!k
an x n
(2.3.43)
k=1
Sir Isaac Newton, 1643–1727
55
2 Funktionen
liefern dann Bedingungen für die Koeffizienten ak und damit die gewünschte Reihendarstellung. Soweit die Idee, das Umsetzen der Idee führt auf
x:
x2 :
x3 :
x4 :
1 = a1 ,
a1 = 1,
1 2
1
1
0 = − −a2 + a1 = a2 − ,
a2 = ,
2
2
2
1 1
1
1
1
3
0 = − a3 − (a1 a2 + a2 a1 ) + a1 = −a3 +
−
,
a3 = = ,
(2.3.44)
2
2 3
6
3!
1
1
1
0 = − −a4 + (a1 a3 + a22 + a3 a1 ) − (a1 a1 a2 + a1 a2 a1 + a2 a1 a1 ) + a41
2
3
4
1 1 1 1
1 1 1 1
1
1
1
= a4 −
+ +
+
+ +
− = a4 − ,
a4 = .
2 6 4 6
3 2 2 2
4
4!
4!
und damit zumindest die Vermutung an = n!1 . Umgekehrt reduziert sich im Falle an = n!1 der
Koeffizientenvergleich auf eine Reihe kombinatorischer Identitäten. Darüberhinaus konvergiert
die Reihe für alle Werte von x.
Wenn wir schon bei Newtons Exponentialreihe angekommen sind, so sollte man die anderen
Reihendarstellungen Newtons nicht vergessen. Zu erwähnen ist seine Verallgemeinerung des
Binomischen Satzes zur Binomialreihe.
Proposition 2.3.7 (Newton). Für y > 0 und −1 < x < 1 gilt
y
(1 + x) =
∞ X
y
k=0
k
xk
(2.3.45)
mit
y
y(y − 1)(y − 2) · · · (y − k + 1)
.
=
k!
k
(2.3.46)
Beweisskizze. Hier genügt es Mercators Logarithmusreihe in die Exponentialreihe einzusetzen.
Es gilt
!n
∞
∞
k
X
X
1
x
(1 + x)y = ey ln(1+x) =
−y
(−1)k
n!
k
n=0
k=1
2
x3 1 2
x
x2
1 3 3
x2 1 2 2
= 1 + yx + −y + y x + y − y x + x + y x + · · ·
2
2
3
2
2
2
3!
y(y − 1) 2 y(y − 1)(y − 2) 3
= 1 + yx +
x +
x + ···
2
6
(2.3.47)
Wiederum sind für eine rigorose Darstellung des Beweises Konvergenzuntersuchungen zu
führen um das Vertauschen der Summationsreihenfolgen zu rechtfertigen. Ebenso sind natürlich
alle Koeffizienten zu berechnen und nicht nur die ersten drei. Letzteres führt aber wieder auf
kombinatorische Identitäten.
56
2.3 Potenz- und Logarithmusfunktionen
5.
4.
3.
2.
1.
−4. −3. −2. −1.
−1.
0 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
−2.
−3.
Abbildung 2.5: Die Funktionen y = ex und x = ln y.
Nach all diesen Reihendarstellungen von Exponential-, Logarithmus- und trigonometrischen
Funktionen gab Brook Taylor20 seine bekannte Taylorsche Reihendarstellung an. Alle diese
oben angegebenen Reihen wurden direkt gezeigt, ohne auf das heute übliche Verfahren zur
Entwicklung in Taylorreihen zurückzugreifen.
Euler21 war derjenige, der die oben schon angegebene Grenzwertdefinition der Zahl e angegeben
hat. Er zeigte
Proposition 2.3.8 (Euler). Für die Basis des natürlichen Logarithmus gilt
e = lim
n→∞
1
1+
n
n
.
(2.3.48)
und folgerte daraus unter Anwendung der Binomialreihe Newtons
nx
∞ ∞
X
X
1
nx −k
1 nx(nx − 1) · · · (nx − k + 1)
e = lim 1 +
= lim
n = lim
n→∞
n→∞
n→∞
n
k!
nk
k
k=0
k=0
X
∞
∞
X
1
k−1
1 k
1
··· x −
=
=
lim x x −
x .
n→∞
k!
n
n
k!
k=0
k=0
x
Das Vertauschen von Grenzwert und Reihe ist hier allerdings wiederum zu rechtfertigen. Von
Euler sind keine Begründungen für seine formalen Reihenmanipulationen überliefert. Allerdings gilt der Versuch, Rechnungen Eulers rigoros zu begründen, als eine der Hauptmotivationen für Cauchys22 Entwicklung des Konvergenzbegriffs und der damit verbundenen modernen
rigorosen Analysis.
20
Brook Taylor, 1685–1731
Leonhard Euler, 1707–1783
22
Augustin Louis Cauchy, 1789–1859
21
57
2 Funktionen
2.4 Trigonometrische Funktionen
Dreiecksgeometrie
Trigonometrische Funktionen haben ihren Ursprung in Berechnungen am (allgemeinen) Dreieck und dem Rechnen mit Winkeln. Bevor wir zu einer Definition kommen können, müssen wir
uns allerdings noch kurz mit dem Winkelmessen an sich beschäftigen. Analog zum Bestimmen
von Längen im Abschnitt 1.2 nutzen wir dazu Zirkel und Lineal, diesmal jedoch einen voll
funktionsfähigen Zirkel, der das Zeichnen von Kreisen erlaubt.
Abbildung 2.6: Zum Messen von Winkeln
Abbildung 2.7: Zum Messen von Winkeln
58
2.4 Trigonometrische Funktionen
Winkel sind eine Eigenschaft sich schneidender Geraden. Wir wollen zwei Winkel als gleich
bezeichnen, wenn man sie mit Zirkel und Lineal aufeinander abtragen kann. Ebenso kann man
mit Zirkel und Lineal entscheiden, ob ein Winkel kleiner als ein anderer Winkel ist. Damit
kann man für ein Paar von Winkeln
• den Kleineren in den Größeren abtragen;
• Zählen wie oft er in den Größeren passt;
• mit dem entstehenden Rest und dem Kleineren der beiden Winkel analog weiterverfahren.
Das entspricht dem Algorithmus Euklid’s und liefert eine Folge natürlicher Zahlen, die wiederum eine Kettenbruchsentwicklung liefern.
Im Gegensatz zur Streckenmessung, bei der die Einheit frei wählbar ist, bietet es sich für
Winkel an, einen Vollwinkel als Referenzwinkel zu nehmen. Um Winkel mit der Länge des
Kreisbogens (zum Radius 1) zu identifizieren, bezeichnen wir den Vollwinkel als 2π und geben
Winkel als Vielfache von π an.
Proposition 2.4.1 (Stufenwinkelsatz und Wechselwinkelsatz, Euklid). Gegeben seien zwei
parallele Geraden, die durch eine dritte geschnitten werden. Dann sind die Stufen- und Wechselwinkel (siehe Abbildung 2.8) gleich.
Abbildung 2.8: Stufen- und Wechselwinkelsatz
Sind umgekehrt die Stufenwinkel gleich, so sind die Geraden parallel.
Beweisidee. Wir sind zu nah an nicht formulierten Axiomen, um hier einen Beweis zu geben.
In einer richtig axiomatisch aufgebauten Geometrie (zum Beispiel der Hilberts23 ) handelt es
sich um einen aus dem (sws)-Axiom gefolgerten Satz. Wir nehmen die Aussage als gegeben
hin.
Korollar 2.4.2 (Euklid). Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt π.
Beweis. Anwendung des Stufen- und Wechselwinkelsatzes liefert direkt die Behauptung. Siehe
Abbildung 2.9.
23
David Hilbert, 1862–1943
59
2 Funktionen
Abbildung 2.9: Zur Innenwinkelsumme des Dreiecks
Abbildung 2.10: Zum Zentri- und Peripheriewinkelsatz
Proposition 2.4.3 (Zentri- und Peripheriewinkelsatz, Euklid). Gegeben sei ein Kreis und eine
vom Durchmesser verschiedene Sehne, sowie ein auf dem längeren Kreisbogen liegender Punkt.
Dann ist der Zentriwinkel doppelt so groß wie der Peripheriewinkel zur Sehne. Insbesondere
ist der Peripheriewinkel unabhängig von dem gewählten Punkt auf dem Bogen.
Beweis. Zum Beweis genügt es zu zeigen, dass der Peripheriewinkel stets halb so groß wie der
Zentriwinkel ist. Dann ist die zweite Aussage eine direkte Folgerung.
Es gilt ∠ACB = ∠ACM + ∠M CB und ∠M CB = ∠M BC sowie ∠ACM = ∠M AC. Damit
folgt zusammen mit der schon gezeigten Innenwinkelsumme
∠AM B = π − ∠BAM − ∠ABM = π − (∠BAC − ∠M AC) − (∠ABC − ∠M BC)
= (π − ∠BAC − ∠ABC) + ∠M AC + ∠M BC
(2.4.1)
= ∠ACB + ∠ACM + ∠M CB = 2∠ACB
60
2.4 Trigonometrische Funktionen
C
M
B
A
Abbildung 2.11: Zum Beweis des Zentriwinkelsatzes
Proposition 2.4.4 (Satz des Thales24 ). Der Peripheriewinkel zu einem Durchmesser eines
Kreises ist stets π2 .
Beweis. Sei AB der Durchmesser und C der Punkt auf dem Kreisbogen. Dann gilt wegen
∠CAB = ∠ACM und ∠ABC = ∠M CB
∠BCA = ∠ACM + ∠M CB = ∠M AC + ∠M BC
(2.4.2)
und damit aufgrund der Innenwinkelsumme des Dreiecks
π = 2∠BCA = ∠BCA + ∠ABC + ∠CAB.
(2.4.3)
Genau das war zu beweisen.
Die Nutzung von Zirkel und Lineal ist invariant unter Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen, jeder Algorithmus zur Konstruktion wird durch solche auf einen ebensolchen abgebildet.
Wir wollen deshalb zwei Dreiecke als kongruent bezeichnen, wenn sie durch Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen aufeinander abgebildet werden können. Wir bezeichnen
sie als ähnlich, falls zusätzlich Streckungen oder Stauchungen zur Abbildung genügen. Wir
werden später sehen, dass dies genau der richtige Ähnlichkeitsbegriff ist. Vorerst einige Kongruenzsätze.
Proposition 2.4.5. Gegeben seien zwei Dreiecke.
(sss) Stimmen die beiden Dreiecke in ihren Seitenlängen überein, so sind sie kongruent.
(sws) Stimmen die beiden Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überein,
so sind sie kongruent.
(wsw) Stimmen die beiden Dreiecke in einer Seite und den beiden angenzenden Winkeln
überein, so sind sie kongruent.
24
Thales von Milet, um 640–562 v.u.Z.
61
2 Funktionen
Abbildung 2.12: Warum (ssw) kein Kongruenzsatz ist.
(sww) Stimmen die beiden Dreiecke in einer Seite, einem angrenzenden und dem gegenüberliegenden Winkel überein, so sind sie kongruent.
(www) Stimmen die beiden Dreiecke in ihren Innenwinkeln überein, so sind sie ähnlich.
Beweis. Zum Beweis genügt es zu zeigen, dass die Dreiecke durch die angegebenen Größen
eindeutig mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind. (Warum?)
(sss) Gegeben seien drei Streckenlängen. Wir zeichnen eine der Strecken und um jeden Endpunkt einen Kreis mit einer der beiden anderen Strecken als Radius. Schneiden sich die Kreise
(Dreiecksungleichung!), so liefern die Schnittpunkte den dritten Dreieckspunkt. Die beiden
Schnittpunkte liefern Spiegelbilder desselben Dreiecks. (sws) Gegeben seien zwei Strecken
und ein Winkel. Wir tragen die Strecken entlang der Schenkel des Winkels ab. (wsw) Gegeben seien zwei Winkel und eine Streckenlänge. Wir zeichnen die Strecke und tragen an den
Enden die beiden Winkel ab. Die Wahl der Reihenfolge der Winkel liefert zwei Spiegelbilder
desselben Dreiecks. (sww) folgt aus dem soeben gezeigten, da zwei Winkel den dritten bestimmen. (www) Wir zeichnen einen Winkel und tragen auf einem Schenkel in einem beliebigen
Punkt den zweiten Winkel ab. Verschiedene Wahlen des Punktes liefern parallele Geraden und
damit nach Strahlensatz ähnliche Dreiecke.
Die verbleibende Kombination (ssw) liefert keinen Kongruenzsatz. Dies zeigt Abbildung 2.12.
Ein rechtwinkliges Dreieck ist bis auf Ähnlichkeit durch einen seiner (nichtrechten) Winkel
bestimmt. Sei dieser mit α bezeichnet, die Hypothenuse mit b, die anliegende Kathede mit c
und die gegenüberliegende mit a. Dann bezeichne
c
a
cos α = ,
sin α = .
(2.4.4)
b
b
Aufgrund des Ähnlichkeitssatzes (www) sind die Funktionen sin und cos für spitze Winkel
eindeutig definiert. Weiter folgt aus dem Satz des Pythagoras
cos2 α + sin2 α =
62
c2 + a2
=1
b2
(2.4.5)
2.4 Trigonometrische Funktionen
für alle α ∈ (0, 2π).
C
γ
b
a
A
α
r
R
β
c
B
Abbildung 2.13: Bezeichnungen am allgemeinen Dreieck
Statt an rechtwinkligen Dreiecken wollen wir Winkelfunktionen an allgemeinen Dreiecken zu
Berechnungen nutzen. Für Bezeichnungen verweisen wir auf Abbildung 2.13. Die Aussagen
gelten für beliebige Dreiecke, nach unseren Definitionen der Winkelfunktionen allerdings vorerst nur für spitzwinklige. Eine Erweiterung der Definition und untenstehender Beweise auf
den allgemeinen Fall verbleibt als Übungsaufgabe.
Satz 2.4.6 (Flächenformeln). Für den Flächeninhalt eines Dreieck gilt
A=
bc sin α
ca sin β
r(a + b + c)
ab sin γ
=
=
=
.
2
2
2
2
(2.4.6)
Beweis. Die Dreiecksfläche ergibt sich als
1
A = chc
2
mit hc der Höhe von C zur Seite c. Weiter gilt nach Definition der Sinusfunktion
sin β =
hc
a
(2.4.7)
(2.4.8)
und damit umgestellt nach hc und eingesetzt
ca sin β
.
(2.4.9)
2
Durch zyklisches Vertauschen folgen die anderen beiden Flächenformeln und es bleibt die
letzte zu zeigen. Für diese zerlegen wir das Dreieck in drei Teildreiecke 4ABMi , 4BCMi und
4CAMi mit dem Inkreismittelpunkt Mi . Jedes dieser Dreiecke hat als Höhe den Inkreisradius
r und die Behauptung folgt.
A=
Satz 2.4.7 (Sinussatz25 ). An einem Dreieck gilt
b
c
a
=
=
= 2R.
sin α
sin β
sin γ
25
(2.4.10)
Abu Nasr Mansur, um 960–1036
63
2 Funktionen
Beweis. Dividiert man die Flächenformeln durch abc, so ergibt sich der einfache Sinussatz
a
b
c
=
=
,
sin α
sin β
sin γ
(2.4.11)
es bleibt die Darstellung des Quotienten über den Umkreisradius zu zeigen. Dazu nutzen wir
den Peripheriewinkelsatz mit a als Sehne und A als Punkt auf dem Umkreis. Sei weiter D
der zweite Schnittpunkt von CMa mit dem Umkreis. Dann ist α = ∠CAB gleich dem Winkel
∠CDB. Nach dem Satz des Thales ist das entstehende Dreieck rechtwinklig und die Definition
des Sinus liefert
a
.
(2.4.12)
sin α =
2R
Damit ist alles gezeigt.
Korollar 2.4.8. Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt
A = 2R2 sin α sin β sin γ =
abc
.
4R
(2.4.13)
Satz 2.4.9 (Cosinussatz26 ). An einem Dreieck gilt
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α.
(2.4.14)
Beweis. Der Cosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras. Sei hc die Höhe zur Seite
c mit Fußpunkt Hc und Abschnitten c = cA + cB der Grundseite. Dann gilt nach dem Satz
des Pythagoras in den Dreiecken 4AHc C und 4Hc BC
a2 = h2c + c2B = (b2 − c2A ) + c2B = b2 + (c − cA )2 − c2A
= b2 + c2 − 2ccA = b2 + c2 − 2cb cos α
(2.4.15)
und somit die Behauptung.
Satz 2.4.10 (Höhenabschnittsformeln). In einem Dreieck gilt
AH = 2R cos α,
BH = 2R cos β,
CH = 2R cos γ
(2.4.16)
mit dem Höhenschnittpunkt H sowie
HHa = 2R cos β cos γ,
HHb = 2R cos β cos α,
HHc = 2R cos α cos β.
(2.4.17)
Insbesondere ist das Produkt der Höhenabschnitte unabhängig von der gewählten Höhe
AH · HHa = BH · HHb = CH · HHc = 4R2 cos α cos β cos γ.
(2.4.18)
Beweis. Die in Abbildung 2.14 schraffierten Winkel sind (aufgrund paarweise orthogonaler
Schenkel) gleich. Damit gilt
AH sin β = cA = b cos α = 2R sin β cos α
(2.4.19)
die letzte Gleichheit unter Ausnutzung des Sinussatzes. Nach Division durch sin β folgt die
erste Identität. Die anderen oberen Höhenabschnitte ergeben sich analog. Weiter gilt
AH cos γ = Hb H
und die verbleibenden Identitäten folgen.
26
Jamshid al-Kashi, 1380–1429
64
(2.4.20)
2.4 Trigonometrische Funktionen
C
Ha
Hb
H
Hc
A
B
Abbildung 2.14: Notation zur Höhen und Höhenabschnitten
Die Höhenabschnittsformeln sind in gewisser Hinsicht dual zum Sinussatz. Das wird in der
folgenden Formulierung besonders deutlich. Es gilt
AH
BH
CH
=
=
= 2R.
cos α
cos β
cos γ
(2.4.21)
Wir schließen den Exkurs in die Dreiecksgeometrie mit Additionstheoremen für die Winkelfunktionen. Diese werden hier vorerst am Dreieck formuliert.
Satz 2.4.11 (Additionstheoreme27 ). Die Winkelfunktionen erfüllen im allgemeinen Dreieck
sin γ = cos α sin β + sin α cos β,
cos γ = sin α sin β − cos α cos β.
(2.4.22)
Beweis. Mit dem Sinussatz gilt
2R sin γ = c = cA + cB = 2R cos α sin β + 2R sin α cos β,
(2.4.23)
und Division durch 2R liefert die erste Identität. Für die zweite Gleichung nutzen wir entsprechend die Höhenabschnittsformeln. Es gilt
2R cos γ = CH = hc − HHc = b sin α − 2R cos α cos β
= 2R(sin α sin β − cos α cos β)
(2.4.24)
unter Ausnutzung des Sinussatzes. Nach Division durch 2R folgt wiederum die Behauptung.
Um zu sehen, dass es sich tatsächlich um ein Additionstheorem handelt, setzen wir zuerst sin
und cos auf Winkel aus dem Intervall (0, π) durch
sin(π − α) = sin α,
27
cos(π − α) = − cos(α)
(2.4.25)
für den Sinus: Bhaskara II, 1114–1185
65
2 Funktionen
sin α
sin α
α α
cos α
− cos(π − α)
Abbildung 2.15: Zur Fortsetzung der Winkelfunktion auf stumpfe Winkel
fort. Dies entspricht der üblichen Definition am Einheitskreis, siehe Abbildung 2.15. Dann gilt
aufgrund der Innenwinkelsumme des Dreiecks
sin(α + β) = sin(π − α − β) = sin γ = cos α sin β + sin α cos β,
cos(α + β) = − cos(π − α − β) = − cos γ = cos α cos β − sin α sin β.
(2.4.26)
Dies rechtfertigt die Bezeichnung Additionstheorem für obige Aussage. Speziell für α = β
ergeben sich Doppelwinkelformeln
sin(2α) = 2 sin α cos α,
cos(2α) = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α.
(2.4.27)
Die Doppelwinkelformel für den Cosinus wird mitunter als Ptolemäische Identität bezeichnet.
Winkelfunktionen dienen Dreiecksberechnungen. Dazu genügt in der Regel der Sinussatz, der
Cosinussatz kürzt aber einige Berechnungen erheblich ab. Wir fassen die wichtigsten Anwendungen kurz zusammen:
(sss)
Mit Cosinussatz kann ein Winkel bestimmt werden,
dann weiter wie (sws).
(sws) Mit dem Sinussatz ergibt sich ein zweiter Winkel, dann
weiter wie (wsw).
(wsw) Der dritte Winkel ist mit der Innenwinkelsumme bestimmbar, mit Sinussatz ergeben sich die fehlenden
Strecken.
(www) Der Sinussatz liefert alle Seitenverhältnisse.
Anwendungen fanden (und finden) solche Rechnungen in Landvermessungen seit dem 19.
Jahrhundert. Dabei wurde ausgehend von einer direkt vermessbaren Grundlinie das Land
trianguliert und jedem Dreieck entsprechende Innenwinkel gemessen. Das Messen von Winkeln
66
2.4 Trigonometrische Funktionen
ist dabei mit wenig Aufwand durchführbar, während direkte Längenmessungen (zum Beispiel
durch Abfahren der Verbindungslinie und direktem Nachmessen) sehr aufwändig sind. Noch
heute werden solche rein winkelbasierte Messverfahren im Bergbau angewandt.
Abbildung 2.16: Beispiel einer Triangulierung mit Grundlinie (blau)
Zur Geschichte von Winkelfunktionen. Eine (ohne Winkelfunktionen formulierte) Variante des
Cosinussatzes findet sich schon bei Euklid. Winkelfunktionen selbst wurden in der Antike von
Ptolemäus28 , allerdings die Funktion die Funktion crd(α) = 2 sin(α/2), welche die Grundseite
eines gleichschenkligen Dreiecks mit Spitze α und Schenkeln der Länge 1 angibt. Die Funktionen sin und cos wurden im vierten Jahrhundert in der indischen Mathematik29 das erste
mal erwähnt und kamen durch Übersetzungen ins Arabische und danach ins Lateinische nach
Europa. Sowohl der Sinussatz als auch der Cosinussatz sind als solche arabischen Ursprungs.
Die Untersuchung von sin und cos als Funktionen an sich (und ohne Bezug auf Geometrie und
Dreiecksberechnungen) beginnt im 17ten Jahrhundert. Es war Leibniz, der als erstes gezeigt
hat, dass es sich bei der Sinusfunktion nicht um eine algebraische Funktion handeln kann.
Potenzreihendarstellungen gehen auf Euler zurück, ebenso Produktformeln und Bezüge zur
komplexen Exponentialfunktion.
Winkelfunktionen als reelle und komplexe Funktionen
Wir wollen uns nun Winkelfunktionen als Funktionen zuwenden und den Bezug zu Dreiecken
dabei vorerst vergessen. Oft werden die Funktionen durch Potenzreihen eingeführt, eine alternative und sinnvolle Vorgehensweise ist es zu zeigen, dass die Additionstheoreme die Funktionen bis auf eine Normierung eindeutig in der Klasse der stetigen Funktionen charakterisieren.
Dieses Vorgehen geht auf d’Alembert30 zurück.
28
Claudius Ptolemäus, 90–168
zu finden in den Surya Siddhanta, später durch Aryabhata, 476–550
30
Jean le Rond d’Alembert, 1717–1783
29
67
2 Funktionen
Proposition 2.4.12. (1) Angenommen, zwei stetige Funktionen s, c : R → R erfüllen
s(x + y) = c(x)s(y) + s(x)c(y)
c(x + y) = c(x)c(y) − s(x)s(y)
(2.4.28)
für alle x, y ∈ R. Dann gilt entweder s(x) = c(x) = 0 für alle x oder es existiert ein
k ∈ R mit
s(x) = sin(kx),
c(x) = cos(kx).
(2.4.29)
(2) Angenommen, eine stetige Funktion f : R → R erfüllt
f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y).
(2.4.30)
Dann gilt entweder f (x) = 0 für alle x oder
f (x) = cos(kx)
(2.4.31)
f (x) = cosh(kx)
(2.4.32)
mit einem Parameter k ∈ R oder
mit einem Parameter k ∈ R.
Beweis. (2) Wir zeigen zuerst die zweite Aussage und folgen dafür einem Beweis von Cauchy31 .
Setzt man y = 0, so folgt 2f (x) = 2f (x)f (0). Existiert ein x mit f (x) 6= 0, so folgt f (0) = 1.
Andererseits ergibt sich als Lösung die Nullfunktion.
Sei im Folgenden also f (0) = 1. Dann folgt mit x = 0 aus der Funktionalgleichung
f (y) + f (−y) = 2f (0)f (y) = f (y)
(2.4.33)
und damit f (−y) = f (y) und die Funktion f ist gerade. Weiter gilt mit x = ny
f ((n + 1)y) = 2f (y)f (ny) − f ((n − 1)y),
(2.4.34)
dies erlaubt aus dem Wert von f (y) rekursiv alle Werte f (ny), n ∈ N zu bestimmen. Mit
x = y folgt speziell f (2x) + f (0) = f (2x) + f (0) = 2(f (x))2 und damit für t = 2x die
Halbierungsformel
2
t
f (t) + 1
f
=
.
(2.4.35)
2
2
Diese entspricht der Ptolemäischen Identität des Cosinus. Die Formel (2.4.34) gilt ebenso für
die Cosinusfunktion. Beide Identitäten sind auch für den Cosinus hyperbolicus erfüllt.
Da f (0) = 1 gilt und f stetig ist, existiert eine kleine Umgebung [−a, a] der Null, auf der f
positiv ist. Für |x| ≤ a gilt also f (x) > 0. Wir unterscheiden zwei Fälle,
• f (a) > 1 und in diesem Fall existiert ein c > 0 mit f (a) = cosh c. Wir ignorieren den
Fall vorerst, die Funktion cosh definieren wir später.
• f (a) ≤ 1 und in diesem Fall existiert ein 0 ≤ c <
31
Augustin-Louis Cauchy, 1789–1857
68
π
2
mit f (a) = cos c.
2.4 Trigonometrische Funktionen
Nun zeigen wir, dass f (x) auf einer dichten Teilmenge von R+ mit der Funktion cosh(cx/a) im
ersten Fall beziehungsweise cos(cx/a) im zweiten übereinstimmt. Wir formulieren den Beweis
für den zweiten Fall, der erste erfolgt analog.
Wegen f (a) = cos c gilt mit der Ptolemäischen Identität und (2.4.35)
r
r
a
1 + f (a)
1 + cos c
c
f
=
=
= cos ,
2
2
2
2
(2.4.36)
da nach Konstruktion sowohl f (a/2) als auch cos(c/2) positiv sind. Per Induktion folgt daraus
a c f m = cos m ,
m ∈ N.
(2.4.37)
2
2
Damit folgt unter Ausnutzung von (2.4.34) und der entsprechenden Identität für die Cosinusfunktion
a a a 3a
f
= 2f m f m−1 − f m
2m
2
2
2
(2.4.38)
c c c 3c
= 2 cos m cos m−1 − cos m = cos m
2
2
2
2
und damit wiederum per Induktion
f
na nc = cos m
(2.4.39)
2m
2
für alle m, n ∈ N. Da die Menge der Zahlen na/2m aber dicht in R+ ist, impliziert die Stetigkeit
von cos und f die Gleichheit beider Funktionen.
(1) Wir folgern die erste Aussage aus der zweiten. Dazu nutzen wir die Funktionalgleichungen
zuerst zur Bestimmung elementarer Eigenschaften der Funktionen c und s. Setzt man speziell
x = y = 0, so ergibt sich
s(0) = 2c(0)s(0),
c(0) = c(0)2 − s(0)2 .
(2.4.40)
Also gilt s(0) = 0 oder c(0) = 21 . In ersterem Fall folgt c(0) = 0 oder c(0) = 1, im zweiten aus
s(0)2 = − 41 < 0 ein Widerspruch zu s(0) reell. Gilt s(0) = c(0) = 0, so folgt wegen
s(x) = s(x + 0) = s(x)c(0) + c(x)s(0) = 0,
c(x) = c(x + 0) = c(x)c(0) − s(x)s(0) = 0
(2.4.41)
für alle x, dass es sich um die Nullfunktion handelt. Dies schließen wir wieder aus. Damit gilt
also c(0) = 1 und s(0) = 0. Setzt man nun x = −y, so folgt
0 = s(0) = c(x)s(−x) + s(x)c(−x),
1 = c(0) = c(x)c(−x) − s(x)s(−x)
(2.4.42)
und daraus für alle x mit c(x)2 + s(x)2 > 0 (also insbesondere alle kleinen x)
c(−x) = c(x),
s(−x) = −s(x).
(2.4.43)
Damit ist aber c(x) gerade und s(x) ungerade und es gilt 1 = c(0) = c(x)2 + s(x)2 für alle x,
sowie
c(x + y) + c(x − y) = c(x)c(y) − s(x)s(y) + c(x)c(−y) − s(x)s(−y) = 2c(x)c(y).
(2.4.44)
Also ist die Funktionalgleichung aus (2) erfüllt. Wegen c(x)2 + s(x)2 = 1 entfällt der Fall mit
der cosh-Funktion und die Aussage ist gezeigt.
69
2 Funktionen
Insbesondere sind die Funktionen sin und cos die eindeutigen nichttrivialen Lösungen der
Funktionalgleichungen
sin(x + y) = cos(x) sin(y) + sin(x) cos(y),
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y),
(2.4.45)
für welche cos(0) = 1 und sin( π2 ) = 0 gilt und die sin-Funktion auf (0, π2 ) monoton ist. Alle
Eigenschaften dieser Funktionen sind damit aus diesen Eigenschaften beweisbar. Für einen
ersten Schritt bilden wir die komplexwertige Funktion
e(x) = cos(x) + i sin(x)
(2.4.46)
und beobachten, dass diese die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion
e(x + y) = cos(x + y) + i sin(x + y)
= cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) + i cos(x) sin(y) + i sin(x) cos(y)
= cos(x) + i sin(x) cos(y) + i sin(y) = e(x)e(y)
(2.4.47)
erfüllt. Dies hat eine interessante Konsequenz:
Satz 2.4.13 (Moivre32 ). Es gilt
cos(nx) + i sin(nx) = cos(x) + i sin(x)
n
n X
n k
=
i cosn−k (x) sink (x).
k
k=0
(2.4.48)
n
Beweis. Per Induktion folgt aus obiger Funktionalgleichung e(nx) = e(x)e (n−1)x = e(x)
und damit die Behauptung.
Bildet man auf beiden Seiten dieser Formel den Realteil und beachtet, dass die Winkelfunktionen den trigonometrischen Pythagoras erfüllen und somit sin2 x = 1 − cos2 x gilt, so folgt
insbesondere
n/2
X
`
` n
(−1)
cos(nx) =
cosn−2` (x) 1 − cos2 (x) = Tn (cos x)
(2.4.49)
2`
`=0
mit einem Polynom Tn vom Grad n. Die Tn werden als Tschebyschow33 -Polynome bezeichnet.
Ganz analog folgt
sin(nx) = sin(x) Un−1 (cos x)
(2.4.50)
mit einem Polynom Un−1 vom Grad n − 1.
Anmerkung. Die Funktionalgleichung der Funktion e(x) inspiriert dazu, eine komplexe Exponentialfunktion durch
ex+iy = ex cos y + i sin y
(2.4.51)
für alle x, y ∈ C zu definieren. Diese stimmt für y = 0 mit der im letzten Abschnitt definierten
reellen Exponentialfunktion überein, die Wahl ist aber nur dann kanonisch, wenn man neben
der Funktionalgleichung eine weitere Forderung (nämlich die der komplexen Differenzierbarkeit) stellt.
32
Abraham de Moivre, 1667–1754
33
Pafnuti L~voviq Qebyxv, 1821–1894
70
2.4 Trigonometrische Funktionen
sin(x)
cos(x)
sin(x)
x
cos(x)
Abbildung 2.17: Zum Grenzwert von
sin x
x
Ableitung und Integral
Proposition 2.4.14. Es gilt
sin x
= 1.
x→0 x
lim
(2.4.52)
Beweis. Zum Beweis nutzen wir trotz allem Geometrie in Form eines Flächenvergleiches am
Bild 2.17. Dazu betrachten wir die innere Dreiecksfläche, den Sektor und die äußere, den Sektor
umfassende, Dreiecksfläche. Für diese gilt
1
1 sin x
1
cos x sin x < x <
2
2
2 cos x
(2.4.53)
und damit
sin x
1
<
(2.4.54)
x
cos x
für alle x ∈ (0, π2 ). Also folgt aus cos(0) = 1 (und der Stetigkeit der Cosinusfunktion)
cos x <
sin x
= 1.
x→0 x
(2.4.55)
cos x − 1
= 0.
x→0
x
(2.4.56)
lim
Korollar 2.4.15. Es gilt
lim
Beweis. Durch Erweitern mit cos x + 1 erhält man
cos x − 1
cos2 x − 1
sin x − sin x
= lim
= lim
=0
x→0
x→0 x(cos x + 1)
x→0 x cos x + 1
x
lim
(2.4.57)
und damit die Behauptung.
Korollar 2.4.16. Die Sinus- und die Cosinusfunktion sind differenzierbar, es gilt
d
sin x = cos x,
dx
d
cos x = − sin x.
dx
(2.4.58)
71
2 Funktionen
T
cot(x)
P
R
csc(x)
cos(x)
tan(x)
sin(x)
x
M
Q
sec(x)
S
Abbildung 2.18: Weitere trigonometrische Funktionen dargestellt am Einheitskreis
Beweis. Es gilt
sin(x + h) − sin(x)
sin x cos h + cos x sin h − sin x
=
h→0
h
h
sin h
cos h − 1
= cos x lim
+ sin x lim
= cos x
h→0 h
h→0
h
(2.4.59)
cos(x + h) − cos(x)
cos x cos h − sin x sin h − cos x
=
h→0
h
h
cos h − 1
sin h
= − sin x lim
+ cos x lim
= − sin x.
h→0 h
h→0
h
(2.4.60)
lim
und
lim
Dies kann man zum Ausgangspunkt nehmen, die Winkelfunktionen über ihre Differentialgleichung zu definieren. Als Konsequenz des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes für Differentialgleichungen ergibt sich direkt:
Satz 2.4.17. Die Funktionen s(x) = sin x und c(x) = cos(x) sind die einzigen Lösungen des
Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen
s0 (x) = c(x),
c0 (x) = −s(x),
die die Anfangsbedingungen s(0) = 0 und c(0) = 1 erfüllen.
72
(2.4.61)
2.5 Hyperbelfunktionen
Weitere Funktionen
sin x
x
Neben Sinus und Cosinus sind noch gebräuchlich die Funktionen tan x = cos
und cot x = cos
x
sin x
sowie, gelegentlich csc x = sin1 x und sec x = cos1 x . Die Bezeichnungen erklären sich am Bild 2.18.
Für den Winkel x (beziehungsweise die Bogenlänge x) des Einheitskreises gilt sin x = P Q
und cos x = RP . Weiter ist tan x = P S der Tangentenabschnitt zum Winkel und cot x = T P
der Tangentenabschnitt zum Co-Winkel π2 − x. Die Funktion sec x = M S liefert den Abstand
von M zum Tangentenschnittpunkt mit der Achse, ebenso csc x = M T für den zugeordneten
Co-Winkel π2 − x.
2.5 Hyperbelfunktionen
Hyperbelfunktionen sind analog zu Winkelfunktionen definiert, allerdings ersetzen wir dabei
den Kreis durch ein Paar von Hyperbeln. Gegeben sei dazu eine Hyperbel in Normalform,
1 = ξ 2 − η 2 = (ξ + η)(ξ − η).
(2.5.1)
Die Kurvenpunkte auf dem rechten Hyperbelbogen werden dann durch die Koordinaten
(ξ, η) = (cosh A, ± sinh A)
(2.5.2)
parametrisiert, wobei A den Flächeninhalt des durch die Strecken von 0 zu (cosh A, − sinh A)
und von 0 zu (cosh A, sinh A) und dem zwischen den Punkten liegenden Hyperbelstück darstellt, siehe Abbildung 2.19. Bevor wir das genauer untersuchen, wollen wir zeigen, dass diese
Definition sinnvoll ist.
Dazu betrachten wir eine Transformation der ξ-η-Ebene der Form
ξ + η 7→ Ξ + H = λ(ξ + η)
(2.5.3)
1
(ξ − η)
λ
(2.5.4)
1
(ξ − η),
2λ
1
(ξ − η).
2λ
(2.5.5)
und
ξ − η 7→ Ξ − H =
zu einem gegebenen Parameter λ > 0. Es gilt also
λ
(ξ + η) +
2
λ
H = (ξ + η) −
2
Ξ=
Die Transformation ist linear, bildet also Geraden durch den Ursprung auf Geraden ab.
Darüberhinaus erfüllt ihre Determinante
λ+λ−1 λ−λ−1 1
(λ + λ−1 )2 − (λ − λ−1 )2 = 1,
(2.5.6)
det λ−λ2 −1 λ+λ2 −1 =
4
2
2
die Transformation erhält also Flächeninhalte. Damit erfüllen die so definierten Funktionen
Additionstheoreme.
73
2 Funktionen
cosh(A)
sinh(A)
Abbildung 2.19: Zur Definition der Hyperbelfunktionen
Satz 2.5.1 (Additionstheoreme). Für die Hyperbelfunktionen gelten die Additionstheoreme
cosh(A + B) = cosh(A) cosh(B) + sinh(A) sinh(B),
sinh(A + B) = sinh(A) cosh(B) + cosh(A) sinh(B).
(2.5.7)
Beweis. Seien P1 = (cosh A, sinh A) und P2 = (cosh B, sinh B) Punkte auf der Hyperbel, sei
weiter Q = (1, 0). Die Idee des Additionstheorems besteht nun darin, die Fläche A+B dadurch
zu konstruieren, dass wir mit einer der obigen Transformationen Q auf P1 abbilden, damit also
die obere Hälfte der Fläche B an A anfügen können. Nach Konstruktion und Definition der
Hyperbelfunktionen wird damit P2 auf P3 = (cosh(A + B), sinh(A + B)) abgebildet.
Der Parameter λ der Transformation ergibt sich damit aus
λ = λ(1 + 0) = cosh A + sinh A,
λ−1 = cosh A − sinh A
(2.5.8)
und es folgt
cosh(A + B) + sinh(A + B) = λ(cosh B + sinh B)
= (cosh A + sinh A)(cosh B + sinh B)
(2.5.9)
sowie
1
(cosh B − sinh B)
λ
= (cosh A − sinh A)(cosh B − sinh B).
cosh(A + B) − sinh(A + B) =
(2.5.10)
Ausmultiplizieren und Addition und Subtraktion beider Identitäten liefert die Additionstheoreme.
74
2.5 Hyperbelfunktionen
Wir definieren uns eine weitere Funktion. Sei
e(A) = cosh A + sinh A.
(2.5.11)
Dann impliziert (2.5.9):
Korollar 2.5.2. Die Funktion e(A) ist eine Exponentialfunktion, sie ist stetig und erfüllt
e(A + B) = e(A)e(B).
(2.5.12)
Es ist noch nicht ganz klar, welche Exponentialfunktion es ist, dazu müsste man e(1) bestimmen. Analog kann man auch die Funktion cosh(x) durch die Funktionalgleichung
cosh(A + B) + cosh(A − B) = 2 cosh(A) cosh(B)
(2.5.13)
bis auf einen Skalenfaktor charakterisieren. Die Funktionalgleichung folgt direkt aus den Additionstheoremen, da cosh(−A) = cosh(A) und sinh(−A) = − sinh(A) gilt. Den Skalenfaktor
kann man durch folgenden Grenzwert festlegen. Wir zeigen ihn für die geometrisch definierten
Hyperbelfunktionen.
Proposition 2.5.3. Es gilt
sinh A
= 1.
A→0
A
lim
(2.5.14)
Beweis. Der Beweis erfolgt analog zum entsprechenden Satz für die Sinusfunktion. Die obere Hälfte der Fläche A ist kleiner als das Dreieck mit den Eckpunkten (0, 0), (1, 0) und
(cosh A, sinh A) und größer als der Abschnitt des Dreiecks der durch die Tangente in (1, 0)
herausgeschnitten wird. Also folgt
tanh A =
sinh A
≤ A ≤ sinh A
cosh A
(2.5.15)
und damit
1
A
≤
≤ 1.
cosh A
sinh A
(2.5.16)
Mit der Stetigkeit der cosh-Funktion und cosh 0 = 1 folgt die Behauptung.
Korollar 2.5.4. Es gilt
cosh A − 1
= 0.
A→0
A
lim
(2.5.17)
Beweis. Erweitern mit cosh A + 1 liefert wiederum
cosh A − 1
cosh2 A − 1
sinh A sinh A
= lim
= lim
=0
A→0
A→0 A(cosh A + 1)
A→0
A
A cosh A + 1
lim
(2.5.18)
aufgrund der Stetigkeit von cosh und obigen Grenzwertes.
75
2 Funktionen
Im weiteren werden wir wieder Kleinbuchstaben für die Variablen verwenden. Die Funktionen
c(x) = cosh x und s(x) = sinh x sind damit durch ihre Additionstheoreme
c(x + y) = c(x)c(y) + s(x)s(y),
s(x + y) = s(x)c(y) + c(x)s(y),
(2.5.19)
ihrer Stetigkeit und der Normierungsbedingung limx→0 s(x)/x = 1 charakterisiert. Entsprechendes gilt für die Funktion e(x). Diese löst
e(x + y) = e(x)e(y),
(2.5.20)
ist stetig und erfüllt limx→0 (e(x) − 1)/x = 1.
Die Additionstheoreme implizieren wiederum Differenzierbarkeit und die Gültigkeit eines Differentialgleichungssystems.
Korollar 2.5.5. Die Hyperbelfunktionen sind differenzierbar. Sie erfüllen
d
sinh x = cosh x,
dx
d
cosh x = sinh x.
dx
(2.5.21)
d
e(x) = e(x).
dx
(2.5.22)
Insbesondere gilt auch
Beweis. Erfolgt durch direktes Nachrechnen. Es gilt
sinh x cosh h + cosh x sinh h − sinh x
sinh(x + h) − sinh x
= lim
h→0
h→0
h
h
sinh h
cosh h − 1
= cosh x lim
+ sinh x lim
h→0
h→0
h
h
= cosh x
lim
(2.5.23)
und entsprechend
cosh(x + h) − cosh x
cosh x cosh h + sinh x sinh h − cosh x
= lim
h→0
h→0
h
h
cosh h − 1
sinh h
+ cosh x lim
= sinh x lim
h→0
h→0
h
h
= sinh x.
lim
(2.5.24)
Durch Addition folgt die Aussage für die Funktion e(x).
Bezeichnet nun x = `(y) die Umkehrfunktion zu y = e(x). Dann liefert die Formel für die
Ableitung der Umkehrfunktion
d
1
`(y) =
(2.5.25)
dy
y
und zusammen mit `(1) = 0 (da e(0) = 1) folgt
`(y) = ln y
76
(2.5.26)
2.6 Arcus- und Areafunktionen
und damit
e(x) = ex .
(2.5.27)
Also gilt insbesondere
cosh x =
ex + e−x
,
2
sinh x =
ex − e−x
.
2
(2.5.28)
Dies sollte allen vertraut sein. Die von uns definierten Hyperbelfunktionen sind dieselben, die
man schon aus den Grundvorlesungen kennt.
2.6 Arcus- und Areafunktionen
Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen und der hyperbolischen Funktionen
bestimmen aus den Werten der Winkelfunktion den Wert der Bogenlänge (arcus) beziehungsweise den Wert der Fläche (area).
Arcusfunktionen
Da die trigonometrischen Funktionen sin, cos und tan periodisch sind, wählen wir für den
Wertebereich der Umkehrfunktion einen entsprechenden Abschnitt. Dabei sei
• x = arcsin y, falls y = sin x und − π2 ≤ x ≤ π2 ;
• x = arccos y, falls y = cos x und 0 ≤ x ≤ π;
• x = arctan y, falls y = tan x und − π2 < x < π2 ;
• x = arccot y, falls y = cot x und 0 < x < π.
Aufgrund ihrer Monotonie (wenn man die Funktionen abstrakt über die Additionstheoreme
definiert) oder direkt über die Definition am Dreieck sind diese Funktionen wohldefiniert.
Die Funktionen arcsin, arccos und arctan ordnen den Punkten auf dem Einheitskreis mit
Koordinaten (cos α, sin α) die Bogenlänge α zu. Im entsprechenden Winkelbereich ist dabei
jedem Wert von cos α ein eindeutiger Wert von sin α zugeordnet und umgekehrt.
Elementare Eigenschaften der Arcusfunktionen ergeben sich direkt aus denen der trigonometrischen Funktionen. Wir fassen nur ein paar zusammen. Die Funktion arctan ist die fundamentale Arcusfunktion, aus welcher sich die anderen ausdrücken lassen. Es gilt
Proposition 2.6.1 (Elementare Beziehungen zwischen Arcusfunktionen).
π
− arctan y,
2
y
arcsin y = arctan p
,
|y| < 1,
1 − y2
y
π
y
arccos y = arccot p
= − arctan p
,
2
1 − y2
1 − y2
π
arcsin y + arccos y = ,
|y| < 1.
2
arccot y =
(2.6.1)
|y| < 1,
77
2 Funktionen
3.
2.
2.
1.
1.
−2.
−1.
f
0
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
−2.
−1.
−1.
0
1.
2.
−1.
−2.
Abbildung 2.20: Die Funktionen y = cos x und y = sin x (links) und ihre Umkehrfunktionen
x = arccos y und x = arcsin x (rechts).
Beweis. Es gilt sin(x + π2 ) = cos x und cos(x + π2 ) = − sin x. Damit gilt
cos(x + π2 )
π
− sin x
cot(x + ) =
= − tan x = tan(−x)
π =
2
sin(x + 2 )
cos x
(2.6.2)
und die erste Identität folgt mit y = tan(−x)
π
π
= − arctan y.
2
2
p
Weiterhin gilt für x ∈ [− π2 , π2 ] stets cos x = 1 − sin2 x und damit
arccot y = x +
tan x =
sin x
sin x
=p
cos x
1 − sin2 x
(2.6.3)
(2.6.4)
und mit y = sin x, also x = arcsin y, folgt die Behauptung. Die dritte Identität ist analog, einerseits kann man zu Komplementärwinkeln übergehen und dadurch sin durch
√ cos und
gleichzeitig tan durch cot ersetzen oder, auf dem interessanten Bereich sin x = 1 − cos2 x
ausnutzen. Die letzte Identität folgt durch Addition.
Proposition 2.6.2. Es gelten die Additionstheoreme
arctan x + arctan y = arctan
x+y
,
1 − xy
xy < 1,
(2.6.5)
zusammen mit
x+y
,
1 − xy
x+y
arctan x + arctan y = −π + arctan
,
1 − xy
arctan x + arctan y = π + arctan
xy > 1, x > 0,
(2.6.6)
xy > 1, x < 0.
Beweis. Aus den Additionstheoremen der Sinus- und Cosinusfunktionen ergibt sich
tan(ξ + η) =
78
sin(ξ + η)
sin ξ cos η + cos ξ sin η
tan ξ + tan η
=
=
cos(ξ + η)
cos ξ cos η − sin ξ sin η
1 − tan ξ tan η
(2.6.7)
2.6 Arcus- und Areafunktionen
2.
1.
−5.
−4.
−3.
−2.
−1.
0
1.
2.
3.
4.
5.
6.
−1.
−2.
Abbildung 2.21: Die Funktion y = arctan x.
und damit für ξ = arctan x und η = arctan y
tan(arctan x + arctan y) =
x+y
1 − xy
(2.6.8)
und zusammen mit der π-Periodizität der Tangensfunktion und der Wahl des Wertebereichs
der Umkehrfunktion die Behauptung.
Korollar 2.6.3. Für alle x 6= 0 gilt
arctan x = ±
π
1
− arctan
2
x
± x > 0.
(2.6.9)
Mit dieser Formel können die Werte von arctan x für |x| > 1 aus denen für |x| < 1 berechnet
werden. Dies ist hilfreich und wird uns später nochmals begegnen.
Proposition 2.6.4. Es gilt
und
d
d
1
arcsin x = −
arccos x = √
dx
dx
1 − x2
(2.6.10)
1
d
arctan x =
.
dx
1 + x2
(2.6.11)
Beweis. Diese Beziehungen ergeben sich aus den Ableitungsregeln der Winkelfunktionen. Es
gilt
p
d
sin x = cos x = 1 − sin2 x
(2.6.12)
dx
und damit für y = sin x
d
1
arcsin x = p
.
(2.6.13)
dy
1 − y2
Mit der Komplementärwinkelbeziehung arcsin y+arccos y = π folgt die Aussage für den arccos.
Für die Ableitung des Tangens ergibt sich analog
d
d sin x
cos x sin x sin x
tan x =
=
+
= 1 + tan2 x
dx
dx cos x
cos x
cos2 x
(2.6.14)
79
2 Funktionen
und damit für y = tan x
1
d
arctan y =
.
dy
1 + y2
(2.6.15)
Als Folgerung ergeben sich Reihendarstellungen dieser Funktion als Potenzreihen. Der nachfolgende Beweis ist direkt und benötigt nur die Summenformel der geometrischen Reihe.
Korollar 2.6.5. Es gilt
∞
X
x2k+1
,
arctan x =
(−1)k
2k
+
1
k=0
sowie
|x| < 1,
(2.6.16)
∞
π X
1
arctan x = ± −
(−1)k
,
2 k=0
(2k + 1)x2k+1
±x > 1,
(2.6.17)
als lokal gleichmäßig konvergente Reihe.
Beweis. Da die geometrische Reihe
∞
X
1
=
(−1)k x2k
1 + x2
k=0
(2.6.18)
für |x| < 1 gleichmäßig konvergiert, folgt mit gliedweiser Integration und dem speziellen Wert
arctan 0 = 0
Z x
∞
∞
X
X
x2k+1
k
,
(2.6.19)
arctan x = arctan x − arctan 0 =
(−1)
ξ 2k dξ = −
(−1)k
2k
+
1
0
k=0
k=1
also die Behauptung.
Die Reihen konvergieren umso besser, je weiter x von ±1 entfernt ist. Die Konvergenz ist
dann (wie es bei geometrischen Reihen immer auftritt) exponentiell. Zusammen mit speziellen
Werten für die Tangensfunktion erlaubt dies die Berechnung von π. Dazu ein kurzes Beispiel,
es gilt
2 tan π8
π
π
,
(2.6.20)
1 = tan = tan 2 =
4
8
1 − tan2 π8
also insbesondere für t = tan π8 die Gleichung 1 − t2 = 2t. Die Nullstellen der Gleichung sind
√
t = −1 ± 2, was zusammen mit tan π8 > 0
π √
tan = 2 − 1
(2.6.21)
8
liefert. Damit gilt aber umgekehrt auch
√
∞
2k+1
X
√
π
k ( 2 − 1)
= arctan( 2 − 1) =
(−1)
.
8
2k
+
1
k=0
(2.6.22)
Addiert man die ersten 8 Summanden dieser Reihe, so erhält man nach Multiplikation mit 8
80
2.6 Arcus- und Areafunktionen
n
0
1
2
3
4
5
6
7
achtfache n-te Partialsumme
3.3137084989847611638
3.1241943340101603621
3.143703628121770649
3.1413127240611269336
3.1416317796154585517
3.141586991296422064
3.1415934935323777275
3.1415925266727017012
und man sieht, dass sich π auf diese Weise effektiv berechnen lässt. Dieses Verfahren wurde
im 17ten Jahrhundert angewandt.
Areafunktionen
Areafunktionen sind die hyperbolischen Gegenstücke der Arcusfunktionen. Sie ordnen den
Werten von cosh A und sinh A (also den Punkten auf der Hyperbel) den Flächeninhalt A zu.
Wiederum ist die Funktion artanh fundamental zur Berechnung der anderen. Als Definition
nutzen wir
• x = arsinh y, falls y = sinh x;
• x = arcosh y, falls y = cosh x und x ≥ 0;
• x = artanh y, falls y = tanh x;
• x = arcoth y, falls y = coth x.
Die Funktionen sind in Abbildung 2.22 dargestellt.
3.
3.
2.
2.
1.
1.
−1.
−4.
−3.
−2.
−1.
0
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
0
1.
−1.
−1.
−2.
−2.
Abbildung 2.22: Die Funktionen arsinh(x) und arcosh(x) (links) und artanh(x) (rechts).
81
2 Funktionen
Proposition 2.6.6 (Elementare Beziehungen zwischen Areafunktionen).
1
arcoth(y) = artanh ,
y
arsinh(y) = artanh p
y 6= 0,
y
1 + y2
,
(2.6.23)
r
y
1
arcosh(y) = arcoth p
= artanh 1 − 2 ,
y
y2 − 1
y ≥ 1.
1
. Weiter gilt cosh x =
Beweis. Die erste Aussage entspricht gerade coth x = tanh
x
für alle x ∈ R und damit
sinh x
sinh x
tanh x =
=p
.
cosh x
1 + sinh2 x
Mit y = sinh x folgt damit also
y
arsinh y = x = artanh p
1 + y2
und damit die zweite Behauptung. Für die zweite nutzen wir analog, dass sinh x =
für x ≥ 0 gilt. Daraus folgt
coth x =
p
1 + sinh2 x
(2.6.24)
(2.6.25)
p
cosh2 x − 1
cosh x
cosh x
=p
sinh x
cosh2 x − 1
(2.6.26)
und damit mit y = cosh x, x > 0,
p
r
y2 − 1
1
arcosh y = x = arcoth p
= artanh
= artanh 1 − 2
y
y
y2 − 1
y
(2.6.27)
und damit die letzte Behauptung.
Wiederum liefern die Additionstheoreme der tanh-Funktion Additionstheoreme für die Umkehrfunktion. Hier gilt
Proposition 2.6.7.
artanh x + artanh y = artanh
arsinh x + arsinh y = arsinh(x
p
x+y
,
1 + xy
√
y 2 + 1 + y x2 + 1),
|x|, |y| < 1.
x, y ∈ R.
(2.6.28)
(2.6.29)
Beweis. Es gilt
tanh(ξ + η) =
sinh(ξ + η)
sinh ξ cosh η + cosh ξ sinh η
tanh ξ + tanh η
=
=
cosh(ξ + η)
cosh ξ cosh η + sinh ξ sinh η
1 + tanh ξ tanh η
(2.6.30)
und, da artanh tanh ζ = ζ für alle ζ ∈ R und tanh artanh z = z für alle |z| < 1 gilt, folgt mit
ξ = artanh x und η = artanh y die Behauptung
x+y
.
(2.6.31)
artanh x + artanh y = ξ + η = artanh
1 + xy
Das Additionstheorem der arsinh-Funktion folgt analog.
82
2.6 Arcus- und Areafunktionen
Korollar 2.6.8.
2 arsinh(x) = arsinh(2x2 + 1)
√
1
arsinh x + arsinh = arsinh
1 + x2 +
x
(2.6.32)
r
1
1+ 2
x
!
(2.6.33)
Proposition 2.6.9. Es gilt
d
arsinh x =
dx
d
arcosh x =
dx
d
artanh x =
dx
d
arcoth x =
dx
1
,
1 + x2
1
√
,
2
x −1
1
,
1 − x2
1
,
1 − x2
√
x > 1,
(2.6.34)
|x| < 1,
|x| > 1.
Beweis. Wir differenzieren wiederum die Funktionen und schließen daraus auf die Ableitungen
der Umkehrfunktionen. Es gilt
p
d
sinh x = cosh x = 1 + sinh2 x
dx
(2.6.35)
für alle x ∈ R und damit die erste Aussage. Weiter gilt für x > 0
p
d
cosh x = sinh x = cosh2 x − 1
dx
(2.6.36)
und damit wegen cosh x > 1 für x > 0 die zweite Aussage. Weiter gilt
d
d sinh x
cosh x sinh x sinh x
tanh x =
=
−
= 1 − tanh2 x
dx
dx cosh x
cosh x
cosh2 x
(2.6.37)
und damit wegen | tanh x| < 1 die dritte Zeile. Für die vierte Zeile nutzen wir analog
d cosh x
sinh x cosh x cosh x
d
coth x =
=
−
= 1 − cosh2 x
2
dx
dx sinh x
sinh x
sinh x
(2.6.38)
zusammen mit | cosh x| ≥ 1.
Korollar 2.6.10. Es gilt
∞
X
x2k+1
artanh x =
,
2k + 1
k=0
zusammen mit
arcoth x =
∞
X
k=0
1
,
(2k + 1)x2k+1
|x| < 1
|x| > 1.
(2.6.39)
(2.6.40)
83
2 Funktionen
Beweis. Wegen artanh(0) = 0 und
metrischen Reihe
d
dx
artanh x =
x
Z
artanh x =
0
1
1−x2
dξ
=
1 − ξ2
Z
folgt mit der Summenformel der geo∞
xX
0
ξ 2k dξ
(2.6.41)
k=0
und da die Reihe für |x| < 1 gleichmäßig in ξ konvergiert darf diese gliedweise integriert werden
artanh x =
∞ Z
X
k=0
0
x
∞
X
x2k+1
.
ξ dξ =
2k + 1
k=0
2k
(2.6.42)
Die zweite Aussage folgt daraus mit arcoth x = artanh x1 .
Allerdings sollte man beachten, dass die Areafunktionen alternative Darstellungen durch Logarithmusfunktionen besitzen. Diese ergeben sich direkt aus den Formeln
cosh x =
ex + e−x
2
und
sinh x =
ex − e−x
2
(2.6.43)
zusammen mit den Lösungsformeln quadratischer Gleichungen. Es gilt mit y = cosh x wegen
2y = ex + e−x stets e2x − 2yex + 1 = 0 und damit34
p
arcosh y = ln y + y 2 − 1 ,
y≥1
(2.6.44)
und entsprechend mit y = sinh x wegen e2x − 2yex − 1 = 0 auch
p
arsinh y = ln 1 + y 2 + 1 ,
y ∈ R.
(2.6.45)
Weiter impliziert
tanh x =
ex − e−x
ex + e−x
(2.6.46)
für y = tanh x die Identität
e2x y + y = e2x − 1,
also
e2x =
1+y
1−y
(2.6.47)
und damit
artanh y =
1 1+y
ln
,
2 1−y
|y| < 1,
(2.6.48)
arcoth y =
1 y+1
ln
,
2 y−1
|y| > 1.
(2.6.49)
und entsprechend
Entsprechend ’einfache’ Formeln gibt es nicht für die Arcusfunktionen. Bei diesen muss man
dazu den Umweg über komplexe Argumente gehen.
34
Die zweite Lösung der quadratischen Gleichung liefert den zweiten negativen Ast der arcosh-Funktion.
84
2.7 Fortsetzungen ins Komplexe
2.7 Fortsetzungen ins Komplexe
Bei Polynomen haben wir gesehen, dass erst ein Übergang zu komplexen Variablen eine strukturell einfache und befriedigende Theorie geliefert hat. Dies ist auch bei den nun betrachteten
transzendenten Funktionen der Fall. Während Polynome inhärente Rechenvorschriften sind,
ist hier allerdings vorsicht geboten und wir müssen uns überlegen, wie wir die konstruierten
Funktionen für komplexe Variablen definieren und ob eine solche Definition überhaupt sinnvoll
ist.
Winkelfunktionen haben wir am Dreieck definiert und dann mittels Additionstheoremen auf
ganz R fortgesetzt. Bei Exponentialfunktionen haben wir die Funktionalgleichungen
E(x + y) = E(x)E(y),
x, y ∈ R,
(2.7.1)
zusammen mit der Forderung, dass E : R → R stetig sein soll, verwendet. Dies wiederum
bestimmte zusammen mit einem Funktionswert E(1) = a die Funktion E(x) = ax eindeutig.
Verwendet man statt reeller Variablen hier komplexe Variablen, fordert also
E(z + w) = E(z)E(w),
z, w ∈ C
(2.7.2)
für komplexe Zahlen z = x+iy und w = u+iv, so bestimmen die zwei Funktionswerte E(1) = a
und E(i) = b eindeutig eine stetige Funktion E. Die Werte von a und b sind dabei beliebig
wählbar und bestimmen (der Einfachheit halber mit a, b ∈ R) die (reellwertige) Funktion
E(x + iy) = ax by .
(2.7.3)
Die Funktion erfüllt (2.7.2). Aber, ist diese Fortsetzung überhaupt sinnvoll?
Man sieht, dass im Gegensatz zur Konstruktion der Exponentialfunktionen auf reellen Zahlen
Stetigkeit allein nicht als Forderung genügt. Stattdessen betrachtet man Funktionen, die
• analytisch sind, also eine Darstellung als konvergente Potenzreihe
f (z) =
∞
X
αn (z − z0 )n
(2.7.4)
n=0
mit Koeffizienten αn ∈ C und für Entwicklungspunkte z0 ∈ C besitzen; oder (äquivalent)
• holomorph sind, also auf offenen Teilmengen von C komplex differenzierbar sind.
Für solche Funktionen sind die Fortsetzungen von R nach C eindeutig. Man beachte die
Ähnlichkeit von Polynomen und Potenzreihen. Eine auf R definierte Funktion, die dort eine
Darstellung als konvergente Potenzreihe besitzt, besitzt eine eindeutige analytische Fortsetzung über die reelle Achse hinaus. Dies folgt direkt aus dem Identitätssatz für Potenzreihen.
Ebenso ist eine durch eine Potenzreihe dargestellte Funktion in jedem Punkt im Inneren ihres Konvergenzkreises in eine Potenzreihe entwickelbar. Das erlaubt es, solche Funktionen
eindeutig über ihr Definitionsgebiet hinaus fortzusetzen.
Um die Sprache im Folgenden festzulegen betrachten wir analytische Funktionen auf ihrem
maximalen Definitionsgebiet. Diese sind als Familien von Kreisscheiben in C mit zugeordneten
darauf konvergenten Potenzreihen zu verstehen. Dabei werden überlappende Kreisscheiben
miteinander verklebt, wenn die durch die Potenzreihe bestimmte Funktion auf dem Schnitt
85
2 Funktionen
2.
1.
−2.
−1.
0
1.
2.
−1.
−2.
Abbildung 2.23: Zur Fortsetzung der Wurzelfunktion
übereinstimmt. Eine analytische Funktion ist die Gesamtheit der Kreissscheiben die über Wege
mit einer Ausgangskreisscheibe verbunden sind.
√
Als Beispiel betrachten wir dazu die Wurzelfunktion f (z) = z. Für den Entwicklungspunkt
z0 = 1 gilt nach Newtons’ Binomialreihe
∞ X
1/2
1/2
f (z) = (1 + z − 1) =
(z − 1)n ,
|z − 1| < 1
(2.7.5)
n
n=0
mit den verallgemeinerten Binomialkoeffizienten
1 1
( − 1) · · · ( 12 − n + 1)
1/2
2 2
=
.
n
1 · 2···n
Ist nun z0 ein anderer Punkt aus dieser Scheibe und bezeichnet
Reihe dargestellten Wert, so gilt
√
∞ X
z0
1/2
1/2
f (z) = (z0 + z − z0 ) =
(z − z0 )n ,
n
n
z0
n=0
(2.7.6)
√
z0 = f (z0 ) den durch die
|z − z0 | < 1
(2.7.7)
und wir erhalten eine Fortsetzung. Wie in Abbildung 2.23 dargestellt liefert dies nun Darstellungen der Wurzelfunktion auf einer Kette von Kreisscheiben.
√ Jeweils aufeinanderfolgende
1 = 1√und nach einem halben
sind dabei verklebt.
Allerdings
gilt
in
der
ersten
Kreisscheibe
√
Umlauf auch −1 = i. Nach einem ganzen Umlauf erhält man also 1 = −1 und man kann
die Kreisscheiben nicht verkleben. Dies ist erst nach zwei Umläufen um den Ursprung erlaubt.
Die so erhaltene Fortsetzung ist eine Funktion auf einer Fläche über einer Teilmenge von C
(hier C \ {0}), die erhaltene Fläche wird als Riemannsche35 Fläche der Funktion bezeichnet.
Wir wollen uns nun den bisher diskutierten Funktionenklassen zuwenden.
Polynome
Polynome muss man nicht ins komplexe Fortsetzen, sie sind Rechenvorschriften und das Einsetzen komplexer Zahlen tut das Richtige. Allerdings stellt sich die Frage nach einer sinnvollen
35
Bernhard Riemann, 1826–1866
86
2.7 Fortsetzungen ins Komplexe
Abbildung 2.24:
Links: Farbschema
Mitte: ein Polynom mit drei Nullstellen
Rechts: eine rationale Funktion mit zwei Nullstellen und einem Pol
Darstellung der Funktionen. Wir nutzen dazu Farben. Statt genau zu beschreiben, wie die
komplexe z-Ebene auf die komplexe w = f (z)-Ebene abgebildet wird, färben wir die w-Ebene
mit einer der Phase w/|w| entsprechenden Farbe und einer |w| entsprechenden Helligkeit ein.
Danach nutzen wir f um den Farbwert auf die z-Ebene zu übertragen, färben also jeweils mit
der zu f (z) gehörenden Farbe ein. Sichtbar werden dadurch alle Nullstellen, bei rationalen
Funktionen auch alle Polstellen.
Exponentialfunktion
Die komplexe Exponentialfunktion wird direkt über die Exponentialreihe
exp(z) =
∞
X
zn
n=0
n!
(2.7.8)
definiert. Die Reihe konvergiert für alle z ∈ C absolut und auf beschränkten Teilmengen von
C gleichmäßig. Damit gilt
exp(z + w) =
=
∞
X
(z + w)n
n=0
∞
X
k=0
n!
∞
X
1 X n k `
=
z w
n! k+`=n k
n=0
∞
zk X z`
= exp(z) exp(w)
k! `=0 `!
(2.7.9)
und ebenso
exp(z) − 1
= 1.
z→0
z
lim
(2.7.10)
Damit folgt
d
exp(z + w) − exp(z)
exp(w) − 1
exp z = lim
= exp(z) lim
= exp(z)
w→0
w→0
dz
w
w
(2.7.11)
87
2 Funktionen
5.
4.
3.
2.
1.
−3.−2.−1.
−1.
−2.
−3.
−4.
1.5
1.
0.5
0 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
−1. −0.5
−0.5
0 0.5
1.
1.5
2.
2.5
−1.
Abbildung 2.25: Die Exponentialfunktion bildet einen horizontaler Streifen der Breite 2π auf
die gesamte komplexe Ebene ab. Bilder vertikaler Linien sind dabei Kreises,
Bilder horizontaler Linien Strahlen vom Ursprung ins Unendliche
(was man auch durch gliedweises Differenzieren der Reihe gesehen hätte). Es stellt sich die
Frage, wie diese Funktion aussieht. Dazu hilft eine alternative reelle Darstellung der Funktion,
es gilt
exp(z) = exp(x + iy) = ex cos y + i sin y).
(2.7.12)
Um das zu zeigen beachten wir, dass aufgrund der Additionstheoreme der (reellen) Winkelfunktionen für die so definierte Funktion ebenso exp(z +w) = exp(z) exp(w) gilt und weiterhin
auch
ex cos y + i sin y − 1
exp(z) − 1
= lim
lim
z→0
(x,y)→0
z
x + iy
x
(x(e cos y − 1) + yex sin y) + i(xex sin y − y(ex cos y − 1)) (2.7.13)
= lim
(x,y)→0
x2 + y 2
= 1 + i0
Beide Bedingungen, also das Additionstheorem und die (komplexe) Ableitung in 0 bestimmen
die (komplexe) Exponentialfunktion eindeutig. Die Darstellung über Winkelfunktionen liefert
eine einfache graphische Interpretation der Exponentialfunktion.
Linien der z-Ebene mit x = Re z konstant werden auf Kreise um den Ursprung mit Radius
|w| = ex abgebildet. Linien der z-Ebene mit y = Im z konstant auf Strahlen vom Ursprung
ins Unendliche mit arg w konstant abgebildet. Die Exponentialfunktion entspricht der Transformation in Polarkoordinaten.
Wegen
exp(2πi) = 1
(2.7.14)
ist die komplexe Exponentialfunktion periodisch mit Periode 2πi. Es existiert kein z ∈ C mit
exp(z) = 0 (was sich aber schon direkt aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion
ergibt). Darüberhinaus bildet die Exponentialfunktion
exp : R + i(−π, π] → C \ {0}
bijektiv ab. Die Funktion ist in Abbildung 2.26 dargestellt.
88
(2.7.15)
2.7 Fortsetzungen ins Komplexe
Abbildung 2.26: Die komplexe Exponentialfunktion
Logarithmusfunktion
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Da die Exponentialfunktion nicht auf ganz C injektiv ist, führt dies zu einem Problem mit der Definition dieser
Funktion und wir müssen uns entweder für einen geeigneten Wertebereich entscheiden oder
sind auf die Betrachtung der Funktion auf einer Riemannschen Fläche angewiesen. Für ersteres
definieren wir die Umkehrfunktion nur auf der entlang (−∞, 0] aufgeschnittenen komplexen
Ebene und setzen
log z = ln |z| + i arg z,
z ∈ C \ (−∞, 0].
(2.7.16)
Die Funktion ist in Abbildung 2.27 dargestellt. Zum Rechnen ist diese Funktion aber unpraktisch, da man den künstlich eingefügten Schnitt beachten muss. So gilt die Formel
√
1
z = exp
log z
(2.7.17)
2
nur für den Hauptwert der Wurzelfunktion und liefert nicht alle möglichen Werte. Um das
zu umgehen, definieren wir die Logarithmusfunktion auf ihrer Riemannschen Fläche, also der
Wendelfläche über C \ {0} mit unendlich vielen Blättern.
Diese richtig definierte Logarithmusfunktion ist eine echte Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Es gilt
log exp z = z,
exp log w = w
(2.7.18)
für alle z ∈ C und alle w aus der Riemannschen Fläche der Logarithmusfunktion. Jetzt definiert
(auf dieser Fläche)
√
1
k
w = exp
log w
(2.7.19)
k
eine Funktion, die nach Umlauf um k Blätter stets wieder dieselben Werte annimmt. Klebt man
diese Blätter ebenso zusammen, so ergibt sich die Riemannsche Fläche der Wurzelfunktion.
89
2 Funktionen
Abbildung 2.27: Die Logarithmusfunktion auf der aufgeschnittenen komplexen Ebene
Winkelfunktionen
Winkelfunktionen kann man auf zweierlei Weise im komplexen definieren. Einerseits ergibt die
bekannte reelle Darstellung
1 ix
e + e−ix ,
2
1 ix
e − e−ix
sin x =
2
cos x =
(2.7.20)
für alle x ∈ R eine Darstellung der Winkelfunktionen auf R durch die schon analytisch fortgesetzte Exponentialfunktion. Da die Fortsetzung, wenn existent, eindeutig ist, ergibt sich für
alle z ∈ C
exp(iz) + exp(−iz)
,
2
exp(iz) − exp(−iz)
.
sin z =
2i
cos z =
(2.7.21)
Insbesondere gelten auch die Additionstheoreme
cos(z + w) = cos(z) cos(w) − sin(z) sin(w)
sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w)
(2.7.22)
für komplexe z, w ∈ C. Insbesondere folgt aber damit
cos(x + iy) = cos(x) cos(iy) − sin(x) sin(iy) = cos(x) cosh(y) − i sin(x) sinh(y)
sin(x + iy) = sin(x) cos(iy) + cos(x) sin(iy) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y)
90
(2.7.23)
2.7 Fortsetzungen ins Komplexe
Abbildung 2.28: Die beiden Blätter der Wurzelfunktion. Links liegen die Wurzelwerte in der
rechten Halbebene, rechts liegen die Wurzelwerte in der linken Halbebene. Die
Riemannsche Fläche ergibt sich durch Aufschneiden entlang der Farbgrenze
und entsprechendem Verkleben mit dem anderen Blatt.
unter Ausnutzung von
1 −y
exp(i2 y) + exp(−i2 y)
=
e + ey = cosh(y),
2
2
2
2
1 −y
exp(i y) − exp(−i y)
=
e − ey = i sinh(y).
sin(iy) =
2i
2i
cos(iy) =
(2.7.24)
Die Formeln erlauben es, die komplexe Form der Sinusfunktion genauer zu verstehen. Wir
betrachten z = x + iy auf dem Halbstreifen x ∈ [− π2 , π2 ] und y ≥ 0 und untersuchen auf diesem
sin(x + iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y.
(2.7.25)
Die Strecke [− π2 , π2 ] wird auf das Intervall [−1, 1] abgebildet. Ebenso wird die Linie − π2 +i[0, ∞)
auf (−∞, −1] und die Linie π2 + i[0, ∞) auf [1, ∞) abgebildet. Dies folgt, da dort sin(x) = ±1
und cos(x) = 0 gilt, also der Funktionswert durch ± cosh(y) gegeben ist. Auch die Bilder aller
anderen horizontalen und vertikalen Linien sind einfach zu bestimmen. Für festes y ergibt sich
in der Bildebene
ξ1 sin x + iξ2 cos x
(2.7.26)
mit ξ1 = cosh y und ξ2 = sinh y, also eine Ellipse wenn x als Variable läuft. Die Brennpunkte
der Ellipse sind ±1. Entsprechend ergibt sich für festes x
η1 cosh y + iη2 sinh y
(2.7.27)
mit η1 = sin x und η2 = cos x. Dies parametrisiert Hyperbeln, wenn y als Variable läuft. Die
Brennpunkte der Hyperbel sind wiederum ±1.
Insbesondere bildet die komplexe Sinusfunktion den Halbstreifen [− π2 , π2 ] + i[0, ∞) bijektiv
auf die obere Halbebene R + i[0, ∞) ab. Zusammen mit sin(± π2 ) = ±1 und der Analytizität
charakterisiert diese Abbildungseigenschaft die Sinusfunktion!
91
2 Funktionen
3.
2.
1.
−4.
−3.
−2.
−1.
0
1.
2.
3.
4.
−1.
Abbildung 2.29: Abbildungseigenschaften der Sinusfunktion. Die vertikalen roten Linien werden auf Hyperbeln mit Brennpunkten ±1 und die horizontalen blauen Linien
auf Ellipsen mit Brennpunkten ±1 abgebildet.
Abbildung 2.30: Sinusfunktion, links gefärbt nach Betrag und Phase und rechts nach Phase
und mit konformen Quadraten
92
2.7 Fortsetzungen ins Komplexe
Um dies zu sehen, müssen wir etwas tiefer ausholen und benötigen als Hilfsmittel das Spiegelungsprinzip von Schwarz. Wir formulieren es in einer vereinfachten Fassung und nehmen an,
eine Funktion sei holomorph auf einem Gebiet der komplexen Zahlenebene einschließlich eines
Stücks der reellen Achse und die Funktionswerte auf dem entsprechenden Stück der reellen
Achse seien reell. Dann ist für jeden Punkt z0 aus dem Stück der reellen Achse z nahe genug
an z0
∞
X
f (z) =
αk (z − z0 )k
(2.7.28)
k=0
mit reellen αk . Insbesondere gilt für die z aus dem Konvergenzkreis der Reihe f (z) = f (z).
Also wird das Stück Funktion oberhalb der reellen Achse durch f (z) = f (z) auf ein Gebiet
unterhalb der reellen Achse analytisch fortgesetzt.
Nehmen wir nun an, eine Funktion f bilde den Halbstreifen [− π2 , π2 ] + i[0, ∞) analytisch und
bijektiv auf die obere Halbebene ab und es gelte f (± π2 ) = ±1. Betrachtet man zu dieser
Funktion die Umkehrfunktion F (w) definiert auf der oberen Halbebene und mit Werten im
Halbstreifen, so liefert Spiegeln eine Fortsetzung auf eine Riemannsche Fläche über C \ {±1}.
Wir wollen diese genauer untersuchen, dafür nutzen wir die Bezeichnungen I− = (−∞, −1),
I0 = (−1, 1) und I+ = (1, ∞). Setzen wir F nun durch Spiegeln an I+ auf die untere und
danach durch Spiegeln an I0 wieder auf die obere Halbebene fort, so liegen die Funktionswerte
(bezeichnet als F+,0 (w)) spiegelsymmetrisch zu π2 , es gilt also
π
π
F+,0 (w) − = − F (w) −
.
(2.7.29)
2
2
Setzen wir durch Spiegeln and I+ nach unten und durch Spiegeln an I− nach oben fort, so
ergibt sich eine Verschiebung um 2π,
F+,− (w) = F (w) + 2π,
(2.7.30)
analog gilt auch
π
π
= − F (w) +
.
(2.7.31)
2
2
Je nach dem Weg der Fortsetzung ergeben sich als unendlich viele Blätter der Riemannschen
Fläche mit entsprechenden Funktionswerten (als Verkettungen dieser elementaren Fortsetzungen). Da dies zu kompliziert erscheint, betrachten wir eine einfachere Funktion, nämlich die
Funktion
F 00 (w)
.
(2.7.32)
G(w) = 0
F (w)
Diese bleibt bei obigen elementaren Fortsetzungen invariant, es gilt also
F0,− (w) +
00
00
00
(w)
(w)
(w)
F+,0
F+,−
F0,−
F 00 (w)
=
=
=
,
0
0
0
F 0 (w)
F+,0 (w)
F+,− (w)
F0,− (w)
(2.7.33)
damit ist die Funktion G auf C \ {±1} definiert. Führt man weiter um die Punkte z = ± π2
die Variablen t = (z − ± π2 )2 ein, so streckt dies die rechten Winkel und liefert eine Funktion
t = (F (w) − ± π2 )2 , welche um den Punkt w = ±1 jeweils einwertig und beschränkt und damit
in dem betreffenden Punkt analytisch ist. Also gilt (um den Punkt w = 1)
X
π
βk (w − 1)k
(2.7.34)
t = (F (w) − )2 = c(w − 1) 1 +
2
93
2 Funktionen
mit entsprechenden Koeffizienten βk und somit nach Wurzelziehen
X
√
π
F (w) − = c w − 1 1 +
β̃k (w − 1)k
2
(2.7.35)
mit neuen Koeffizienten β̃k . Einsetzen liefert
G(w) = −
1 1
1 1
−
+ h(w)
2w−1 2w+1
(2.7.36)
mit einem ganzen(!) Rest h. Dieser verschwindet im Unendlichen, auf einem großen Kreis um
den Ursprung ist wird F zu F+,− fortgesetzt, die Ableitung selbst ist schon analytisch und
F 0 (w) auf C \ [−1, 1] wohldefiniert. Weiter ist F 0 (w) beschränkt und es folgt h(w) → 0 für
w → ∞. Damit folgt h = 0 und somit
1 2w
d
log F 0 (w) = −
,
dw
2 w2 − 1
1
log F 0 (w) = − log(w2 − 1),
Z2
dw
√
F (w) =
w2 − 1
G(w) =
(2.7.37)
also auch F (w) = arcsin w. Ein detailliert ausgearbeiteter Beweis dieser Charakterisierung
der Sinusfunktion ist zum Beispiel im Buch von Hurwitz und Courant zur Funktionentheorie,
Kapitel III.7, zu finden.
94
3 Strukturen
Seit Ende des 19. Jahrhunderts wird Mathematik weniger explorativ als vielmehr konstruktiv
betrieben. Dabei wurden besondere Anstrengungen in die saubere Formulierung mathematischer Grundlagen gesteckt und ’inhärente Bedeutung’ von Begriffen (wie zum Beispiel das
Zahlen vom zählen kommen) einer Fixierung logischer Zusammenhänge geopfert. Nun sind
Zahlen nur noch Objekte, die gewissen Regeln genügen.
Wir wollen dies in einigen Stichpunkten nachvollziehen.
Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.
(N. Bourbaki)
Mathematics is a game played according to certain simple rules with meaningless
marks on paper.
(D. Hilbert)
3.1 Axiomatischer Aufbau
Peano-Axiomen der natürlichen Zahlen
Natürliche Zahlen kann man axiomatisch charakterisieren. Dazu fordern wir die folgenden fünf
auf Peano1 zurückgehenden Eigenschaften und bezeichnen jedes System, welches diese erfüllt
als natürliche Zahlen. Insbesondere können alle beweisbaren Eigenschaften natürlicher Zahlen
auf dieses Axiomsystem zurückgeführt werden.
P1 1 ist eine natürliche Zahl.
P2 jede natürliche Zahl n besitzt eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl n0 als Nachfolger.
P3 1 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl.
P4 Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.
P5 Sei P (n) eine Aussage2 über natürliche Zahlen. Gilt nun
(i) P (1),
(ii) P (n) impliziert P (n0 ),
so gilt P (n) für alle natürlichen Zahlen n.
1
2
Guiseppe Peano, 1858–1932
Wir fordern nicht, dass die Aussage in der zugrundeliegenden Sprache, also durch Variablen, das Symbol
’, logische Verknüpfungen und Quantoren ausdrückbar ist. Genauer: Dies ist ein Axiom der Logik zweiter
Stufe, für eine Teilmenge P der natürlichen Zahlen kann P (n) als n ∈ P verstanden werden und wir haben
ein Axiom, welches über alle Teilmengen der natürlichen Zahlen eine Aussage trifft.
95
3 Strukturen
Um zu sehen, wie man damit umgeht, definieren wir die Operationen und Ordnungsrelation
auf den so axiomatisch charakterisierten natürlichen Zahlen. Auch dies folgt Peano.
Addition: Die Summe n + m natürlicher Zahlen ist durch die beiden Forderungen
n + 1 := n0 ,
n + m0 := (n + m)0
(3.1.1)
charakterisiert. Um dies zu zeigen, bezeichne P (m) die Aussage, dass n + m definiert ist.
Dann gilt P (1) aufgrund der ersten Forderung und P (m) impliziert aufgrund der zweiten
stets P (m0 ). Nach P5 ist damit n + m für jede natürliche Zahl definiert. Die Definition ist
eindeutig, da nach P4 zu jeder Zahl m0 genau ein m existiert mit m0 = m.
Multiplikation: Wir gehen analog vor und fordern
1 · n := n,
(m0 ) · n = m · n + n.
(3.1.2)
Dies charakterisiert wiederum die Multiplikation eindeutig.
Ordnung: Wir definieren m < n als
∃k
m + k = n.
(3.1.3)
Alternativ (und äquivalent) kann man n durch Nachfolgerbildung von m aus erreichen.
Hilberts Axiome der (ebenen) Geometrie
David Hilbert3 axiomatisierte die euklidische Geometrie. Wir beschränken uns auf die ebene
Geometrie und fassen die Axiome Hilberts kurz zusammen. Im dreidimensionalen sind es 20
Axiome, der ebene Fall begnügt sich mit einigen wenigen weniger.
Zur Notation: im Folgenden bezeichnen Großbuchstaben A, B, C, ..., P, Q, R... Punkte und
Kleinbuchstaben g, h, ... Geraden. Relationen sind Inzidenz (sprich, Punkte liegen auf Geraden, Geraden gehen durch Punkte), die Eigenschaft zwischen Punkten zu liegen (Ordnung
für Punkte einer Geraden) und Kongruenz von Strecken und Winkeln (in Zeichen ≡). Dabei
sind Strecken bestimmt durch (ungeordnete) Punktepaare und bestehen aus dazwischenliegenden Punkten und Winkel durch (ungeordnete) Paare von Halbgeraden mit gemeinsamem
Startpunkt. Halbgeraden werden ebenso durch die Ordnung von Punkten charakterisiert.
Inzidenz
I.1 Zu zwei verschiedenen Punkten P un Q existiert genau eine dazu inzidente Gerade g.
I.2 Zwei verschiedene zu einer Geraden g inzidente Punkte P und Q bestimmen die Gerade
g eindeutig.
I.3 Zu jeder Geraden g existieren mindestens zwei inzidente Punkte P und Q.
Anordnung
II.1 A zwischen B und C impliziert A zwischen C und B.
II.2 Zu zwei Punkten A und C existiert mindestens ein B mit B zwischen A und C. Ebenso
existiert mindestens ein D mit C zwischen A und D.
3
David Hilbert, 1862–1943
96
3.1 Axiomatischer Aufbau
II.3 Von drei zu einer Geraden g inzidenten Punkten liegt stets einer zwischen den beiden
anderen.
II.4 Die Punkte zwischen A und B werden als Strecke AB bezeichnet.
Seien nun drei Punkte A, B, C, die nicht zu einer gemeinsamen Geraden inzident sind
gegeben. Dann schneidet jede Gerade h die AB in einem Punkt schneidet und keinen
der Punkte A, B, C enthält entweder BC oder CA.
Kongruenz
III.1 Seien A, B zwei Punkte und A0 ein Punkt auf einer Geraden g. Dann existiert auf jeder
Seite der Geraden g genau ein Punkt B 0 mit AB ≡ A0 B 0 (kongruent oder gleich).
III.2 Gilt AB ≡ A0 B 0 und AB ≡ A00 B 00 , so folgt A0 B 0 ≡ A00 B 00 .
III.3 Seien AB und BC zwei Strecken auf einer Geraden und seien A0 B 0 und B 0 C 0 zwei
Strecken auf einer (möglicherweise anderen) Geraden. Dann impliziert AB ≡ A0 B 0 und
BC ≡ B 0 C 0 stets AC ≡ A0 C 0 .
III.4 Ein ungeordnetes Paar von Halbgeraden g, h mit gemeinsamem Startpunkt S sei als
Winkel ∠(g, h) bezeichnet.
Zu einem Winkel ∠(g, h) und einer Halbgeraden g 0 und einer Seite von g 0 existiert stets
ein eindeutig bestimmtes h0 mit ∠(g, h) ≡ ∠(g 0 , h0 ) (kongruent oder gleich) derart, dass
alle inneren Punkte des Winkels ∠(g 0 , h0 ) auf der gegebenen Seite liegen. Weiter gilt
∠(g, h) ≡ ∠(h, g).
III.5 Aus ∠(g, h) ≡ ∠(g 0 , h0 ) und ∠(g, h) ≡ ∠(g 00 , h00 ) folgt ∠(g 0 , h0 ) ≡ ∠(g 00 , h00 ).
III.6 Für drei Punkte ABC bezeichen ∠ABC den Winkel ∠(BA, BC). Wenn für zwei Dreiecke
A, B, C und A0 , B 0 , C 0
AB ≡ A0 B 0 ,
BC ≡ B 0 C 0 ,
∠ABC ≡ ∠A0 B 0 C 0
(3.1.4)
gilt, so folgt
∠BCA ≡ ∠B 0 C 0 A0 ,
∠CAB ≡ ∠C 0 A0 B 0 .
(3.1.5)
Parallelen
IV Schneiden zwei Geraden g und h eine dritte Gerade nicht, so schneiden sich auch g und h
nicht.
Stetigkeit
V.1 Seien AB und CD zwei Strecken. So existiert eine natürliche Zahl n, so dass n-maliges Abtragen von CD entlang der Halbgeraden von A in Richtung B den Punkt B überschreitet.
V.2 Zu den Punkten einer Geraden können (unter Beibehaltung der Anordnungs- und Kongruenzbeziehungen der vorhandenen Punkte) keine weiteren hinzugenommen werden,
ohne dass eines der Axiome I.1 ... III.6 oder V.1 verletzt wird.
Man beachte, dass die verwendeten Zeichen durch ihre Eigenschaften definiert werden. Eine
Definition, was genau Kongruenz von Strecken bedeutet, wird nicht gegeben. Das erlaubt es,
Punkte und Geraden durch andere Objekte zu tauschen, solange die Eigenschaften unverändert
bleiben. Symmetrie und Reflexivität von ≡ folgt aus I.1 ... III.1. Zusammen mit III.2 wird ≡
zur Äquivalenzrelation.
97
3 Strukturen
Hilbert konnte zeigen, dass keines der Axiome entbehrlich ist. Dazu hat er (vorausgesetzt die
reellen Zahlen existieren) jeweils ein Modell einer Geometrie angegeben, in der alle anderen
Axiome gelten und das betreffende Axiom verletzt ist. Einige der Modelle entsprechen bekannten nichteuklidischen Geometrien. Modelle, die V.1 verletzen, stehen in Zusammenhang
zur Nichtstandardanalysis. Modelle, die V.2 verletzen, ergeben sich zum Beispiel, wenn man
die reellen Zahlen durch den Körper der konstruierbaren Zahlen ersetzt.
Die Existenz eines Modells impliziert die Widerspruchsfreiheit des Axiomsystems. Das Standardmodell ist der R2 mit seinen Elementen als Punkten und den üblichen Geraden. Weiss
man nun, dass die reellen Zahlen widerspruchsfrei existieren, so sind die Hilbertschen Axiome
frei von Widersprüchen.
Mengenlehre
In allgemeineren Konstruktionen werden obige Axiome zu Sätzen in entsprechenden Modellen.
Allerdings ergibt sich ein Problem, da die Widerspruchsfreiheit der zugrundegelegten Axiomsysteme in der Regel nicht gezeigt werden kann. Durchgesetzt hat sich in der Mathematik
ein Aufbau auf der Basis der Mengenlehre und entsprechend im Rahmen der Mengenlehre
konstruierte Modelle.
Die naive Mengenlehre, wie sie von Georg Cantor4 aufgebaut wurde, hat sich als besonders
anfällig für solche Widersprüche erwiesen. Der bekannteste ist Russels Antinomie5 . Diese betrachtet die Menge
R = {x : x 6∈ x}
(3.1.6)
und fragt, ob R ∈ R oder ob R 6∈ R gilt. Beides ist äquivalent, aber zueinander im Widerspruch. Solche Mengen muss man also ausschließen, wenn man sinnvoll Mengenlehre treiben
will. Dazu gibt es viele Möglichkeiten.
Wir folgen dem klassenlogischen Ansatz des Axiomsystems von von Neumann6 , Bernays7 und
Gödel8 . Grundobjekte sind dabei Mengen (geschrieben in Kleinbuchstaben x, y, z, ...), Klassen
(geschrieben in Großbuchstaben M, N, ...) und die Elementbeziehung ∈, wobei nur Mengen
als Elemente auftreten dürfen. Die Axiome sind insbesondere dazu da, zu charakterisieren,
welche Klassen selbst wieder Mengen sind.
A Nur Mengen können Elemente von Klassen sein und Mengen sind spezielle Klassen.
E Zwei Klassen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente haben.
K Zu jeder Eigenschaft E(x) von Mengen x existiert eine Klasse, die genau die Mengen mit
E(x) zum Element besitzt. Diese wird mit
{x | E(x)}
bezeichnet.
4
Georg Cantor, 1845–1918
Bertrand Russel, 1872–1970
6
John von Neumann, 1903–1957
7
Paul Bernays, 1888-1977
8
Kurt Gödel, 1906-1978
5
98
(3.1.7)
3.1 Axiomatischer Aufbau
Damit kann man erste Objekte definieren. So ist
V := {x | x = x}
(3.1.8)
eine Klasse und für jede Menge gilt x ∈ V . Ebenso ist
∅ := {x | x 6= x}
(3.1.9)
eine Klasse, diese enthält keine Elemente und wird (vorerst) leere Klasse genannt. Wir können
bisher nicht entscheiden ob diese eine Menge ist, zu obigen Axiomen gibt es ein Modell ohne
Mengen und nur mit der leeren Klasse. Dass die leere Klasse eine Menge ist fordert
M.0 Die leere Klasse ist eine Menge, ∅ ∈ V .
Für weitere Axiome benötigen wir ein paar Notationen. Das Axiom K erlaubt es, Operationen
für Mengen zu definieren. Sei dazu für Klassen M und N
M ∩ N := {x | x ∈ M ∧ x ∈ N },
M ∪ N = {x | x ∈ M ∨ x ∈ N }
(3.1.10)
Schnitt und Vereinigung und bezeichne M ⊂ N
M ⊂N
:⇔
Weiter sei
[
M := {x | ∃y : y ∈ M ∧ x ∈ y},
∀x : x ∈ M ⇒ x ∈ N.
\
M := {x | ∀y : y ∈ M ⇒ x ∈ y}.
(3.1.11)
(3.1.12)
Für Mengen a und b definieren wir weiter die Paarmenge
{a, b} := {x | x = a ∨ x = b},
(3.1.13)
P(a) := {x | x ⊂ a}.
(3.1.14)
sowie die Potenzmenge
Damit können wir weitere Axiome festlegen. Diese erlauben es aus gegebenen Mengen weitere
zu konstruieren.
M.1 Die Paarmenge zweier Mengen ist eine Menge,
∀a, b : {a, b} ∈ V.
M.2 Die Vereinigungsmenge einer Menge ist eine Menge,
[
∀a :
a ∈ V.
(3.1.15)
(3.1.16)
M.3 Die Potenzmenge einer Menge ist eine Menge,
∀a : P(a) ∈ V.
(3.1.17)
M.4 (Aussonderungsaxiom) Der Schnitt einer Menge mit einer Klasse ist eine Menge,
∀a, B : a ∩ B ∈ V.
(3.1.18)
99
3 Strukturen
M.5 (Fundierungsaxiom) Zu jeder nichtleeren Menge a existiert ein dazu disjunktes Element
x ∈ a,
∀a : a 6= ∅ ⇒ ∃x : x ∈ a ∧ x ∩ a = ∅.
(3.1.19)
Da Paarmengen Mengen sind, kann man geordnete Paare definieren. Wir modellieren diese als
(a, b) := {{a}, {a, b}}
(3.1.20)
und es ist nach M.1 klar, dass (a, b) ∈ V . Weiter gilt (a, b) = (c, d) genau dann, wenn a = c
und b = d. Man weise dies als Übung nach! Wir bezeichnen eine Klasse als funktional, falls sie
wie eine Funktion aufgebaut ist. Genauer, es gilt FktF , falls alle Elemente von F Paare sind
und zusätzlich aus (a, b) ∈ F und (a, c) ∈ F stets b = c folgt. Solche funktionalen Klassen
kann man auf andere Klassen anwenden, so definiert man
F [M ] := {b | ∃a : a ∈ M ∧ (a, b) ∈ F }.
(3.1.21)
Ebenso setzt man
D(F ) := {a | ∃b : (a, b) ∈ F },
W (F ) := {b | ∃a : (a, b) ∈ F } = F [D(F )]
(3.1.22)
für Definitions- und Wertebereich. Funktionale Klassen, die Mengen sind, werden kurz als
Funktion bezeichnet. Ist D(F ) = A und W (F ) ⊂ B, so schreibt man kurz F : A → B.
M.6 (Ersetzungsaxiom) Für funktionales F und eine Menge a ist F [a] wieder eine Menge,
∀F, a : FktF ⇒ F [a] ∈ V.
M.7 (Auswahlaxiom) Zu jeder Menge x mit ∅ 6∈ x existiert eine Funktion f : x →
g(y) ∈ y für jedes y ∈ x.
(3.1.23)
S
x mit
Wir wollen eine Klasse A als induktiv bezeichnen, falls die Eigenschaft IndA mit
IndA :⇔ ∅ ∈ A ∧ (a ∈ A ⇒ a0 := a ∪ {a} ∈ A)
(3.1.24)
dafür gilt. Induktive Klassen enthalten also mindestens die Elemente ∅, {∅}, {∅, {∅}},
{∅, {∅}, {∅, {∅}}}, ...
M.8 (Unendlichkeitsaxiom) Es existiert eine induktive Menge.
Diese Axiome genügen (falls widerspruchsfrei...) die Mathematik aufzubauen. Es werden keine
weiteren Objekte benötigt, der Existenz durch Axiome zu garantieren wäre. Um das zu sehen
konstruieren wir uns ein Modell der Menge der natürlichen Zahlen in der NBG-Mengenlehre.
Sei dazu
\
ω := {x | Indx}.
(3.1.25)
Die Existenz der Menge ω ist durch M.8 garantiert. Wir bezeichnen Elemente von ω mit
Buchstaben m, n und definieren n0 := n ∪ {n}. Dann gilt
(1) ∅ ∈ ω (also, 0 ist eine natürliche Zahl);
(2) n ∈ ω impliziert n0 ∈ ω (jede natürliche Zahl besitzt einen Nachfolger);
(3) es existiert kein n ∈ ω mit n0 = ∅ (da ja n ∈ n0 gilt und ∅ leer ist);
100
3.2 Konstruktiver Aufbau
(4) aus n0 = m0 folgt n = m;
(5) jedes x ⊂ ω mit ∅ ∈ x und n ∈ x ⇒ n0 ∈ x erfüllt schon x = ω.
Dies sind aber gerade die Peano-Axiome. Wir können die Menge ω also als Menge der natürlichen
Zahlen bezeichnen.
Aussage (4) bedarf eines Beweises. Dazu zeigen wir, dass aus n ∈ ω und y ∈ n schon y ⊂ n
folgt. Sei also ay = {n | y ∈ n ⇒ y ⊂ n}. Dann gilt ∅ ∈ ay und aus n ∈ ay und
y ∈ n0 = n ∪ {n} folgt y ∈ n oder y = n und damit in beiden Fällen nach Voraussetzung
y ⊂ n. Also ist ay induktiv und somit ay = ω. Damit implizert aber m ∈ m0 = n0 = n ∪ {n}
schon m = n oder m ∈ n und somit nach dem gerade Gezeigten m ⊂ n. Entsprechend folgt
n ⊂ m und damit m = n.
Diese Konstruktion der natürlichen Zahlen im Rahmen der abstrakten Mengenlehre geht auf
von Neumann zurück.
3.2 Konstruktiver Aufbau
Basierend auf der gerade axiomatisch begründeten Mengenlehre kann man (zumindest einen)
einen Teil der Mathematik konstruktiv aufbauen. Eine Konstruktion der natürlichen Zahlen
als kleinste induktive Menge ω haben wir gerade gesehen. Ausgehend von den damit gültigen
Aussagen der Peano-Axiome (nun als Sätze) kann man damit das Rechnen mit natürlichen
Zahlen definieren und seine Eigenschaften nachweisen. Wir skizzieren dies kurz.
Natürliche Zahlen
N0 identifizieren wir mit ω, schreiben 0 für das Element ∅ ∈ ω und definieren die Operationen
der Addition + und Multiplikation · unter Ausnutzung des Induktionsaxioms durch
n + 0 := n,
n + m0 := (n + m)0
(3.2.1)
(m0 ) · n := m · n + n.
(3.2.2)
sowie entsprechend mit 1 := 00
1 · n := n,
Alle bekannten Eigenschaften der natürlichen Zahlen folgen. Man versuche dies zu beweisen!
Die Menge der so konstruierten natürlichen Zahlen sei N0 .
Ganze Zahlen
Ganze Zahlen ergeben sich, wenn man beliebige Differenzen natürlicher Zahlen bilden möchte.
Deshalb ist es naheliegend, diese als Paare natürlicher Zahlen (m, n) verbunden mit der
Äquivalenzrelation
(m, n) ≡ (m̃, ñ)
:⇔
m + ñ = m̃ + n
(3.2.3)
zu definieren. Zusammen mit den Operationen (m, n) + (m̃, ñ) := (m + m̃, n + ñ) und (m, n) −
(m̃, ñ) := (m + ñ, n + m̃) liefert dies (nach Identifikation äquivalenter Paare) ein Modell der
101
3 Strukturen
ganzen Zahlen. Die weiteren Operationen ergeben sich aus
(m, n) · (m̃, ñ) = (m · m̃ + n · ñ, m · ñ + n · m̃)
(3.2.4)
(m, n) < (m̃, ñ)
(3.2.5)
zusammen mit
:⇔
m + ñ < m̃ + n.
Die Korrektheit und Wohldefiniertheit der Operationen (nach Identitfikation) rechne man
nach. Die Menge der ganzen Zahlen sei Z. Die natürlichen Zahlen N0 können in Z durch
n 7→ (n, 0) eingebettet werden.
Rationale Zahlen
Um Quotienten bilden zu können betrachten wir nun Paare ganzer Zahlen p, q ∈ Z mit q > 0.
Setzt man nun
(p, q) ≡ (p̃, q̃)
:⇔
p · q̃ = p̃ · q
(3.2.6)
und definiert
(p, q) + (p̃, q̃) = (p · q̃ + p̃ · q, q · q̃)
(3.2.7)
zusammen mit −(p, q) = (−p, q) und
(p, q) · (p̃, q̃) = (p · p̃, q · q̃)
(3.2.8)
(p, q) ÷ (p̃, q̃) = (p · q̃, q · p̃),
(3.2.9)
sowie
so erhält man wiederum (nach Identifikation) korrekt definierte Operationen. Weiter sei (für
q, q̃ > 0)
(p, q) < (p̃, q̃)
:⇔
p · q̃ < p̃ · q.
(3.2.10)
Die Menge der erhaltenen Zahlen sei mit Q bezeichnet. Sie wird durch die Operationen und
die Relation < zu einem geordneten Körper. Man rechne auch dies nach!
Man kann den Körper Q der rationalen Zahlen ebenso direkt axiomatisch einführen. Die
rationalen Zahlen sind das kleinste Modell, welches alle der nachfolgend aufgeführten Axiome erfüllt. Kleinbuchstaben a, b, c, ... bezeichnen dabei (rationale) Zahlen, für diese seien die
binären Operationen + und · und die binäre Relation < definiert. Weiter bezeichne = die (metamathematische) Gleichheit und 0 und 1 seien spezielle, voneinander verschiedene, Elemente.
Frei vorkommende Variablen seien stets mit Allquantoren versehen.
Addition
A1 a + 0 = a = 0 + a
A2 a + b = b + a
A3 (a + b) + c = a + (b + c)
A4 ∃b : a + b = 0 = b + a
Multiplikation
M1 a · 1 = 1 · a = a
102
3.2 Konstruktiver Aufbau
M2 a · b = b · a
M3 (a · b) · c = a · (b · c)
M4 a 6= 0 ⇒ ∃b : a · b = 1 = b · a
Distributivgesetz
D a · (b + c) = a · b + a · c
Ordnungsaxiome
O1 a 6= b ⇒ (a < b ⇔ ¬(b < a))
O2 ¬(a < a)
O3 a < b ∧ b < c ⇒ a < c
O4 a < b ⇒ a + c < b + c
O5 a < b ∧ c > 0 ⇒ a · c < b · c
Ist nun Q ein Modell für diese Axiome, gilt also in der Struktur Q jede dieser Aussagen, so
existiert eine eindeutig bestimmte injektive Abbildung f : Q → Q mit f (0) = 0, f (1) = 1 und
f (a + b) = f (a) + f (b) sowie f (a · b) = f (a) · f (b) und a < b ⇒ f (a) < f (b). In diesem Sinne
ist Q das kleinste Modell dieser Axiome.
Reelle Zahlen
Nach Dedekind9 definieren wir die reellen Zahlen als sogenannte Dedekind-Schnitte der Menge der rationalen Zahlen. Dies entspricht Hilberts Forderung der Vollständigkeit aus seiner
Axiomatisierung der Geometrie beziehungsweise den folgenden beiden zusätzlichen Axiomen:
AR Für jede (reelle) Zahl r existiert eine natürliche Zahl n mit n > r.
V Fügt man weitere Elemente unter Beibehaltung aller definierten Operationen und Relationen hinzu, so wird mindestens eines der Axiome A1 bis O5 oder AR verletzt.
Jede rationale Zahl a Teilt die Menge Q in zwei Teile, nämlich
La = {b | b < a} ∪ {a}
Ra = {b | b > a}.
(3.2.11)
Allerdings kann man Q auch anders in zwei Teile zerlegen, so ist L = {a | a < 0 ∨√a2 < 2} und
R = {a | a > 0 ∧ a2 > 2} eine Zerlegung, die nicht von einer rationalen Zahl (da 2 irrational
ist) erzeugt wird. Die Menge der reellen Zahlen ergibt sich als Gesamtheit aller Möglichkeiten
Q zu zerschneiden. Wir formulieren das exakt. Eine Teilmenge L ⊂ Q heiße links, falls zu
jedem a ∈ L und jedem b < a stets b ∈ L gilt. Ebenso heiße eine Teilmenge R ⊂ Q rechts,
falls
∀a ∈ R ∀b ∈ Q : a < b ⇒ b ∈ R
(3.2.12)
und die Menge kein kleinstes Element besitzt, also
∀a ∈ R ∃b ∈ R : b < a.
(3.2.13)
R := {R ⊂ Q | R 6= Q ∧ R ist rechts}
(3.2.14)
Damit definiert man
9
Richard Dedekind, 1831–1916
103
3 Strukturen
zusammen mit entsprechenden Definitionen der Addition und Multiplikation. So definiert man
R < R0
:⇔
R0 ⊂ R
(3.2.15)
und
R + R0 := {a + b | a ∈ R ∧ b ∈ R0 }.
(3.2.16)
Für die Multiplikation ist das schwieriger, eine Variante ist
R · R0 :={a · b | a ∈ R ∧ b ∈ R0 ∧ (a > 0 ∨ b > 0)}
∪ {a · b | a ∈ Q \ R ∧ b ∈ Q \ R0 ∧ (a < 0 ∧ b < 0)}.
(3.2.17)
3.3 Axiome und Modelle
Wir wollen den Zusammenhang zwischen Axiomen und Modellen noch etwas genauer untersuchen und einige Resultate zu Beweis- und Entscheidbarkeit angeben. Dazu müssen wir etwas
formaler vorgehen als bisher. Sei dazu Φ eine Menge von Aussagen oder Formeln, also Aussagen mit Variablen und eingesetzten Konstanten. Wir beschränken uns vorerst auf Sprachen
erster Ordnung, vereinbaren also dass Allquantoren vor Variablen stehen dürfen aber nicht
über Teilmengen von Variablen laufen können.
Damit kann man formalisieren, was ein Mathematiker unter natürlichem Schließen versteht.
Wir können aus einer Menge von Aussagen oder Formeln neue Aussagen gewinnen. Dazu
wenden wir üblicherweise Schlussregeln an (und nennen das, wenn formal korrekt ausgeführt,
einen Beweis). Will man das formalisieren, so kann man dafür Regeln aufstellen. Zur Notation
dieser Verwenden wir eine in der Logik übliche Schreibweise, oberhalb eines horizontalen Striches stehen die die Voraussetzungen, unter dem Strich die Folgerungen. Die Notation definiert
rekursiv das Symbol `
ϕ∈Φ∪Λ
Φ`ϕ ,
Φ ` ϕ Φ ` (ϕ ⇒ ψ)
Φ`ψ
zu lesen als ’erlaubt den Beweis von’. Hierbei bezeichnet Λ eine Auflistung der Regeln der Aussagenlogik. Äquivalent dazu ist eine Fassung des Kalküls, in der die Regeln der Aussagenlogik
selbst in den Schlussregeln implementiert sind.
Ein Modell eines Systems Φ von Aussagen ist eine mathematische Struktur (z.B. implementiert
im Rahmen der Mengenlehre), in der alle Aussagen aus Φ wahr sind. Gilt eine weitere Aussage
ϕ in jedem Modell von Φ, so sagen wir ϕ folgt semantisch und schreiben
Φ ϕ.
Nach Konstruktion implizert (die Existenz eines Modells vorausgesetzt) Φ ` ϕ stets Φ ϕ.
Semantisches Schließen hat keine offensichtlichen Regeln. Jedoch gilt die Vollständigkeit des
natürlichen Schließens im Rahmen der Logik erster Stufe. Jede in jedem Modell wahre Aussage
ist auch beweisbar.
Satz 3.3.1 (Gödel). Im Rahmen der Logik erster Stufe stimmen ` und überein.
104
3.3 Axiome und Modelle
Existiert kein Modell, so ist jede Aussage beweisbar. Insbesondere ist die Aussage ϕ ∧ ¬ϕ
beweisbar und das gegebene System Φ ist inkonsistent. Zu einem konsistenten System existiert
ein Modell.
Interessanter wird es bei der Frage nach der Beweisbarkeit ’interessanter’ Aussagen. So bestimmt die Peano-Arithmetik PA das, was man gewöhnlich unter natürlichen Zahlen versteht.
Im Rahmen einer Logik erster Stufe muss das Induktionsaxiom vorsichtig formuliert werden
(um Allquantoren über Formeln oder Allquantoren über Mengen natürlicher Zahlen zu vermeiden). Es hat sich durchgesetzt dabei axiomatisch die Eigenschaften der Nachfolgeoperation
und der Addition und Multiplikation zu fordern und statt dem Induktionsaxiom ein Schema
bestehend aus jeweils einem Axiom zu jeder mit Nachfolgeoperation, +, · und Ordnungsrelation bildbaren Formel zu fordern. Das liefert zwar unendlich viele Axiome, aber obiges Resultat
ist anwendbar und jede in jedem Modell wahre Aussage ist beweisbar. Jedoch gilt
Satz 3.3.2 (Gödelscher Unvollständigkeitssatz). Angenommen, Φ ist formal konsistent und
rekursiv aufzählbar und mächtig genug, ein Modell der Peano-Arithmetik zu implementieren,
Φ ` P A. Dann existiert eine Formel ϕ für die weder Φ ` ϕ nocht Φ ` ¬ϕ gilt.
Aussagen dieser Form heißen oft Gödel-Aussagen. Die Existenzaussage ist relativ abstrakt,
jedoch gilt konkret
Korollar 3.3.3 (Gödel). Die Widerspruchsfreiheit des Systems Φ aus vorigem Satz ist eine
solche Aussage.
Man muss also damit leben, dass man entweder ein zu komplexes Axiomsystem besitzt (was
dazu führt dass die Menge der beweisbaren Aussagen nicht mehr rekursiv abzählbar ist), in
dem alle interessanten Aussagen beweisbar sind, oder es gibt Aussagen die nicht beweisbar
sein dürfen. Setzt man für das Standardmodell N der natürlichen Zahlen (bestimmt durch die
Peano-Axiome mit dem Induktionsaxiom als Axiom basierend auf der Logik zweiter Stufe)
W A = {ϕ | ϕ gilt in N}
so erhält man das System der wahren Arithmetik. Es gilt W A ` P A, W A ist also mächtiger
als die Peano-Arithmetik. Es ist auch vollständig, jede formulierbare Aussage über natürliche
Zahlen ist entweder wahr (und gehört dann zu W A) oder falsch (und gehört dann nicht
dazu). Insbesondere existieren keine Gödel-Aussagen. Jedoch enthält die wahre Arithmetik
überabzählbar viele wahre Aussagen (für jede Teilmenge von N mindestens eine) und kann
damit nicht rekursiv aufzählbar sein. Der Unvollständigkeitssatz von Gödel ist also in diesem
Fall nicht anwendbar.10
Nicht alle Gödel-Aussagen sind so abstrakt wie oben skizziert. Eine bekannte Gödel-Aussage
für die Peano-Arithmetik ist der Satz von Goodstein11 . Dieser konstruiert zu jeder natürlichen
Zahl als Startwert eine rekursive Folge natürlicher Zahlen und zeigt, dass diese irgendwann
die Null erreichen muss. Im Rahmen der wahren Arithmetik gilt dieser Satz, er ist in der
NBG-Mengenlehre beweisbar. Im Rahmen der Peano-Arithmetik ist er weder beweisbar noch
10
Man beachte, dass der Satz von Gödel aber sehr wohl in der NBG-Mengenlehre gilt. Diese ist in Logik erster
Stufe formalisierbar und enthält ein Modell der Peano-Arithmetik! Zur Formulierung von W A benötigt
man aber Logik zweiter Stufe.
11
Reuben Louis Goodstein, 1912–1985
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3 Strukturen
widerlegbar. Es existieren also (wegen der semantischen Vollständigkeit des natürlichen Schließens) Modelle der Peano-Arithmetik (also Modelle der natürlichen Zahlen mit der üblichen
Addition und Multiplikation aber dem eingeschränkten Induktionsschema), in denen der Satz
von Goodstein nicht gilt.
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