Math. C. Pomrehn 2. ¨Ubung zur Vorlesung “Mathematik II für

Dr. U. Halbritter
Dipl.-Math. C. Pomrehn
SS 2009
2. Übung zur Vorlesung
“Mathematik II für Studierende der Chemie”
Abgabe am Montag, dem 4.05.09, bzw. am Dienstag, dem 5.05.09,
jeweils in den Übungen
1. Aufgabe : Beweisen Sie den folgenden Satz:
Satz:
Seien
S:R → R
x 7→ S(x)
und
C:R → R
x 7→ C(x)
differenzierbare Funktionen mit den Eigenschaften
(a) S 0 (x) = C(x) und C 0 (x) = −S(x) für alle x ∈ R.
(b) S(0) = 0 und C(0) = 1.
Dann folgt: S(x) = sin(x) und C(x) = cos(x).
Hinweis: Man untersuche f (x) := (sin(x) − S(x))2 + (cos(x) − C(x))2 mittels Differentiation und zeige
f 0 (x) = 0 (vgl. Satz 11.1 aus der Vorlesung) sowie f (0) = 0.
6 Punkte
2. Aufgabe : (Additionstheoreme)
Zeigen Sie die folgenden ”Additionstheoreme” mit Hilfe der Differentialrechnung:
sin(x + y) = sin(x) · cos(y) + sin(y) · cos(x) für alle x, y ∈ R
und
cos(x + y) = cos(x) · cos(y) − sin(x) · sin(y) für alle x, y ∈ R.
Tipp: Verfahren Sie wie folgt:
(a) Bestimen Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen
i. f1 (x) = sin(x) · a + b · cos(x) mit a, b ∈ R.
ii. f2 (x) = cos(x) · a − sin(x) · b mit a, b ∈ R.
iii. f3 (x) = sin(x + c) und f4 (x) = cos(x + c) mit c ∈ R.
(b) Wir setzen für y fest gewählt:
f (x) = (cos(x + y) − (cos(x) · cos(y) − sin(x) sin(y)))2 +(sin(x + y) − (sin(x) · cos(y) + · cos(x) sin(y)))2 ,
dabei sind y, sin(y) und cos(y) als Konstanten aufzufassen
Tipp: Gehen Sie vor wie in Aufgabe 1.
6 Punkte
3. Aufgabe : Seien z1 = a + ib ; z2 = c + id mit a, b, c, d ∈ R, komplexe Zahlen, z2 6= 0.
(a) Berechnen Sie α, β ∈ R mit:
z1
= α + iβ
z2
1
(b) Zeigen Sie: für komplexe Zahlen z1 , z2 gilt: |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |.
(c) Berechnen Sie z =
2
1+i
+ 1 − i in der Darstellung aus a) und geben Sie Re(z); Im(z) und z an.
9 Punkte
4. Aufgabe : Es sei I ein Intervall und es seien f : I → R und g : I → R differenzierbare Funktionen.
Für h : I → C mit h(t) = f (t) + ig(t) haben wir bereits auf dem letzen Blatt folgendes definiert:
h0 (t) = f 0 (t) + ig 0 (t).
(a) Beweisen Sie mithilfe der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus:
e(α+iβ)(t1 +t2 ) = e(α+iβ)t1 · e(α+iβ)t2 ,
für alle α, β ∈ R, t1 , t2 ∈ R.
Hinweis: Sie dürfen die Additionstheoreme aus Aufgabe 2. auch benutzen, wenn Sie diese nicht
in Aufgabe 2. gezeigt haben.
(b) Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung
y 00 (t) + 4y(t) = 0.
10 Punkte
5. Aufgabe (mündlich):
Zeigen Sie, dass die Funktion
Z
y(x) =
0
x
Z
exp(
x
2dt) · s · exp(2s) ds
2
s
die Differentialgleichung
y 0 (x) = 2y(x) + x2 · exp(2x)
löst.
Gehen Sie dabei wie folgt vor:
Rx
Rx
(a) Zeigen Sie 0 exp( s 2dt) · s2 · exp(2s) ds = exp(2x) · 31 x3 .
(b) y(x) = exp(2x) · 31 x3 löst die obige Differentialgleichung.
2