64-350 Multidimensionale und Multimodale Signale

Department
Informatik
Arbeitsbereich
Kognitive Systeme (KOGS)
64-350 Multidimensionale und Multimodale Signale
Gliederung:
Teil I:
Teil II:
Teil III:
Teil IV:
Teil V:
Teil VI:
Teil VII:
Teil VIII:
Teil IX:
Teil X:
Teil XI:
Teil XII:
Teil XIII:
Einleitung, Wurzeln, Grundbegriffe
Fourierreihenentwicklung, Fourieranalyse
Komplexe Fourierreihe, Fouriertransformation
Faltung, Abtastung, Korrelation
Eigenschaften und Theoreme der Fouriertransformation
n-dim. Fouriertransformation, Faltung und Korrelation
Gabor- und Wavelet-Transformation, Multiskalenanalyse
Sensoren, Rauschen, Rauschreduktion
Diffusionsgleichungen
Bildfolgenanalyse, Bewegungsschätzung
Registrierung, Extraktion von Landmarken
Nichtlineare Deformation, Fusion
Signalverarbeitung auf Diskreten Oberflächen
Department
Informatik
Arbeitsbereich
Kognitive Systeme (KOGS)
Teil III:
Komplexe Fourierreihe,
Fouriertransformation
Exkurs: Komplexe Zahlen
Girolamo Cardano
(1501 – 1576)
Italienischer Mathematiker,
Physiker, Astrologe und Spieler
Rechnete „unter Überwindung
geistiger Qualen“ bei Gleichungen
dritten Grades mit Wurzeln aus
negativen Zahlen
Department
Informatik
Arbeitsbereich
Kognitive Systeme (KOGS)
Teil III:
Komplexe Fourierreihe,
Fouriertransformation
Exkurs: Komplexe Zahlen
Leonhard Euler
(1707 – 1783)
schweizerischer Mathematiker,
Professor für Mathematik und Physik in
St. Petersburg
Carl Friedrich Gauß
(1777 – 1855)
deutscher Mathematiker,
Professor für Astronomie und
Direktor der Sternwarte an der
Universität Göttingen
Exkurs: Komplexe Zahlen
Mathematischer Zahlenbaum
Mathematischer Zahlenbaum
Natürliche Zahlen
(positive ganze Zahlen und Null)
Negative ganze Zahlen
(als Lösung für n + x = 0, n ∈N)
−
+
∪{0}
Ganze Zahlen
Gebrochene Zahlen
( z ⋅ x = 1, z ∈ ¢ , z ∉{0,1})
Irrationale Zahlen
(vgl. Intervallschachtelungsprinzip)
Rationale Zahlen
Reelle Zahlen
„Echt imaginäre“ Zahlen
(x =
z, z∈° −
Komplexe Zahlen
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III -4
)
Exkurs: Komplexe Zahlen Definition der komplexen Zahlen (Gaußsche Zahlenebene)
Definition der komplexen Zahlen (Gaußsche Zahlenebene)
Def.: Komplexe Zahl a: a = (α , β ) = α + j ⋅ β
β
a
Bild von a:
0 A = (α , β )
j = (0, 1):
imaginäre Einheit mit
j2
= -1
(Zeiger)
0A
j
(häufig: z = a + jb !)
α
α = Re(a),
β = Im(a)
⇒  alle Paare (0, β) = jβ sind (rein) imaginäre Zahlen
alle Paare (α, 0) = α sind reelle Zahlen
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III -5
Exkurs: Komplexe Zahlen
Eigenschaften und Rechenregeln
Eigenschaften und Rechenregeln
(Algebra der komplexen Zahlen):
i)
a1 = a2 iff α1 = α2 ∧ β1 = β2
ii)
Addition: a1 = (α1, β1) = α1 + jβ1
a2 = (α2, β2) = α2 + jβ2
a1 + a2 = (α1 + α2, β1 + β2) = (α1 + α2) + j(β1 + β2)
iii)
Multiplikation: a1 · a2 = (α1, β1) · (α2, β2)
= (α1α2 – β1β2, α1β2 + α2β1)
= (α1α2 – β1β2) + j(α1β2 + α2β1)
iv)
Division:
a1 (α1 , β1 )
=
a2 (α 2 , β 2 )
(α1α 2 + β1β 2 ,α 2 β1 − α1β 2 ) # α1α 2 + β1β 2 α 2 β1 − α1β 2 $
=
=&
,
'
2
2
α 22 + β 22
α
+
β
α 22 + β 22 )
2
2
(
α α + β1β 2
α 2 β1 − α1β 2
= 1 22
+
j
⋅
; α 22 + β 22 ≠ 0
2
2
2
α 2 + β2
α 2 + β2
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III -6
Exkurs: Komplexe Zahlen
Eigenschaften und Rechenregeln
Def.: Konjugiert komplexe Zahlen
a = (α , β )
β
geg.: a = α + jβ
Die zu a konjugiert komplexe Zahl a
ϕ0
ist diejenige, für die gilt:
a = α − jβ
Es gilt:
i) a = a,
-β
a = a iff a = (α, 0), d.h. a ∈ R
ii) a ± b = a ± b ,
!a" a
# $=
%b& b
a = (α ,− β )
a ⋅b = a ⋅b,
1
(a + a ),
2
1
Im(a ) = β = (a − a )
2j
2
2
iii) a ⋅ a = α + β , Re(a ) = α =
⇒ Absolutbetrag, Modul |a|:
a = a⋅a = α2 + β2
(Länge der komplexen Zahl)
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III -7
Exkurs: Komplexe Zahlen
Trigonometrische und exponentielle Form
a+b ≤ a + b
iv) a ⋅ b = a ⋅ b ;
n
2
∑ ak bk
k =1
n
n
2
≤ ∑ ak + ∑ bk
k =1
2
k =1
(Dreiecksungleichung)
(Ungleichung von CauchySchwarz-Bunjakowski)
Trigonometrische und exponentielle Form komplexer
Zahlen
Trigonometrische Form, Polarkoordinaten
α = |a|⋅cos ϕ0, β = |a|⋅sin ϕ0,
(ϕ = ϕ0 + 2kπ, mit –π ≤ ϕ0 ≤ π,
k = 0, ± 1, ± 2, ...)
so daß gilt: a = a (cos(ϕ + 2kπ )+ j ⋅ sin (ϕ + 2kπ ))
0
0
|a|
β
&β #
!
%α "
mit ϕ0 = arctan
#"! $
tan −1
ϕ0
α
⇒ Polarkoordinatendarstellung von a: (|a|, ϕ0)
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III -8
Exkurs: Komplexe Zahlen
Trigonometrische und exponentielle Form
Exponentialform, Eulersche Formel
β
± jϕ
cos ϕ ± j sin ϕ = e
e jϕ
1
⇒ a = a (cos ϕ + j sin ϕ ) = a ⋅ e jϕ
ϕ
α
jϕ
|e | = 1, d.h. die Vektorspitzen (Zeiger) liegen auf dem
Einheitskreis der Gaußschen Zahlenebene
a·b
Rechenoperationen
geg.:
a = |a|⋅(cos ϕ + j sin ϕ)
b = |b|⋅(cos ψ + j sin ψ)
|a|·|b|
a
b ψ
Multiplikation:
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ (cos(ϕ + ψ ) + j sin(ϕ + ψ ) )
= a ⋅ b ⋅e
ϕ
j ⋅(ϕ +ψ )
ϕ+ψ
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III -9
Exkurs: Komplexe Zahlen
geg.:
Trigonometrische und exponentielle Form
a = |a|⋅(cos ϕ + j sin ϕ)
b = |b|⋅(cos ψ + j sin ψ)
Division:
a j⋅ ϕ −ψ )
a a
= ⋅ (cos(ϕ −ψ ) + j sin(ϕ −ψ ) ) = ⋅ e (
b b
b
b
a
ψ
ϕ
a
b
a
b
ϕ-ψ
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III -10
Exkurs: Komplexe Zahlen
Potenzen und Wurzeln
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Exponenten
(i) natürlicher Exponent n (nach der Formel von MOIVRE):
n
a n = ( a (cos ϕ + j sin ϕ )) = a (cos nϕ + j sin nϕ ) = a e jnϕ
n
n
Es gelten ebenso:
- der binomische Lehrsatz
- die Formel für die endliche geometrische Reihe
(ii) negativer ganzzahliger Exponent –n:
a−n =
1
1
n
bzw.
a
=
an
a−n
(iii) gebrochener rationaler Exponent n: n =
1
am
= m a =ω
1
,m∈N
m
(m-te Wurzel aus a: ω m = a)
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III -11
Exkurs: Komplexe Zahlen
m
Potenzen und Wurzeln
a liefert m verschiedene Lösungen (Wurzeln):
&
%
Es sei ωk = m a $ cos
ϕ0 + 2kπ
ϕ + 2kπ #
+ j sin 0
!, ϕ0 = ( H ) arg(a )
m
m
"
(arg(a): Menge der Winkel ϕ, die der Vektor 0 A einer komplexen Zahl a mit der
positiven Richtung der reellen Achse einschließt;
Hauptwert ϕ0 = (H) arg(a), ϕ = ϕ0 + 2kπ)
m
1
m
a = a = {ωk | k = 0,1,…, m − 1}= {ω0 , ω1 ,…, ωm −1}
Für eine beliebige ganze Zahl g gilt:ωk + gm = ωk ,
d.h. es können außer den angegebenen Wurzeln ωk keine weiteren auftreten.
m
Die spezielle Lösung ω0 von ω = a nennt man Hauptwert von a:
ϕ
ϕ #
&
ω0 = m a = m a $ cos 0 + j sin 0 !
(H )
m
m"
%
Alle ωk haben den gleichen Betrag
ϕ0 + 2 kπ
m
m
a , so daß sie entsprechend der Argumente
, (k = 0 ,1, ..., m − 1), auf den Ecken eines regelmäßigen m-Ecks liegen.
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III -12
Exkurs: Komplexe Zahlen
Potenzen und Wurzeln
a
6
Bsp.: m = 6, a
ω1
ϕ0
ω2
ω0 = 6 a
ω3
ω5
(Hauptwert)
ϕ0
6
ω4
(iv) beliebiger reeller Exponent n: n = ε
Postulat: ωk = | a |ε %' cos ε (ϕ0 + 2kπ ) + j sin ε (ϕ0 + 2kπ )&(
⇒ Gesamtheit der komplexen Zahlen
aε = {ωk | k = 0, ±1, ±2,…}= {…, ω−2 , ω−1 , ω0 , ω1 , ω2 ,…}
{
! = aε a, ε ∈"
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}
III -13
Exkurs: Komplexe Zahlen
Zusammenfassung
Zusammenfassung
Darstellungsformen für komplexe Zahlen
arithmetische
(kartesische) Form
z=
a + jb
trigonometrische Form
=
r (cos ϕ + j sin ϕ )
Exponentialform
r ⋅ e jϕ
=
mit j2 = –1; a = Re (z), b = Im(z),
ϕ = arg (z) mit (–π < ϕ ≤ π), tan ϕ! =
b
a
⇒ ϕ! = arctan
b
a
, − π2 ≤ ϕ! ≤ π2
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III -14
Exkurs: Komplexe Zahlen
Zusammenfassung
Betrag
| z |= r = a 2 + b 2 = z ⋅ z , mit z = a − jb (konjugiert komplexe Zahl zu z = a + jb)
Reelle und (rein) imaginäre Zahlen
• 
reelle Zahlen:
z = a + j0 = a⋅(cos 0 + j sin 0) = a ⋅ e j0 = 12 | z | e jϕ + e− jϕ = z ⋅ cos ϕ
=0
(cos ϕ + j sin ϕ )+ (cos ϕ − j sin ϕ ) = 2 cos ϕ
(
• 
(rein) imaginäre Zahlen:
z = 0 + jb = b ⋅ (cos π/2 + j sin π/2) = b ⋅ e
=0
j
π
2
)
(
)
= 12 | z | e jϕ − e− jϕ = z j sin ϕ
(cos ϕ + j sin ϕ ) − (cos ϕ − j sin ϕ ) = 2 j sin ϕ
Trigonometrische Anteile
cos ϕ =
1 jϕ
(
e + e − jϕ ),
2
sin ϕ =
− j jϕ
&
1
1 (1,0) & − 1 # #
(
e − e − jϕ ),
= − j $ aus Divisionsregel : =
= $ 0, ! !
2
j
j
(
0
,
1
)
% 1 ""
%
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III -15
Exkurs: Komplexe Zahlen
Beispiele
Beispiele
Bsp. 1: Multiplikation zweier komplexer Zahlen c
(1) a = (2, 1), b = (1, 3)
b
c = a · b = (2, 1) · (1, 3)
= (2 – 3, 6 + 1)
a
= (–1, 7)
a = (2,1) = 5 (cos ϕ a + j sin ϕ a ) = 5 ⋅ e
jϕa
b = (1,3) = 10 (cos ϕb + j sin ϕb ) = 10 ⋅ e
jϕ
, ϕ a = arctan(12 )= 26,5651°
jϕb
, ϕb = arctan(3) = 71,5651°
jϕ
c = a ⋅ b = !#$
5 10 ⋅ e!"a#"
⋅ e $b ,
=
50 ≈ 7.0711
(2) a = (2, 0) = 2 ⋅ e
=e
j (ϕa +ϕb )
= cos(ϕ a + ϕ b ) + j sin (ϕ a + ϕ b )
6
c
j0
j π2
b = (0, 3) = 3 ⋅ e
j π2 + 0
j π2
c = a · b = (2, 0) · (0, 3) = 6 ⋅ e
= 6⋅e
= (0, 6) = j6
3
b
a
2
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III -16
Exkurs: Komplexe Zahlen
Beispiele
Bsp. 2: Multiplikation einer komplexen Zahl mit reeller Funktion
()
() ()
F u = S u + S u ⋅e
2
2
− jx0u
F (u ) = S (u ) ⋅ 1 + e
, u ∈!
− jx0u 2
cos( x0u ) − j sin( x0u ) = (cos( x0u ), sin( x0u ) )
(1,0)
2
(1,0) + (cos( x0u ), sin( x0u ) ) = (1 + cos( x0u ), sin( x0u ) )
2
a =α2 + β2 ⇒
2
= (1 + cos( x0u ) ) + sin 2 ( x0u )
$!!#!!
"
1+ 2 cos( x0u ) + cos 2 ( x0u )
= 1 + 2 cos( x0u ) + cos 2 ( x0u ) + sin 2 ( x0u )
$!!!#!!!"
1
= 2 ⋅ (1 + cos( x0u ) )
2
2
F (u ) = S (u ) ⋅ 2 ⋅ (1 + cos( x0u ) )
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III -17
Exkurs: Komplexe Zahlen Komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen
Komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen
Komplexe Variable
z = x + jy einer Menge D komplexer Zahlen
Funktion
f
f: z ! ω, ω = f (z)
z = x + jy ∈ D, ω = u + jv ∈ W
⇒
ω = u + jv = f (z) = f (x + jy)
u, v sind reelle Funktionen der beiden unabhängigen Variablen x, y
u = u (x, y),
ω = f (z) ⇒ ω = u (x, y) + j·v (x, y)
f
y
v = v (x, y)
v
x
u
ω
z
= Re(f (z)) + j·Im(f (z))
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III -18
Exkurs: Komplexe Zahlen Komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen
Betrag einer Funktion (Relief)
ω = f ( z) =
[u ( x, y )]2 + [v( x, y )]2 = Φ( x, y )
Nullstellen
Werte der unabhängigen Variablen z, für die |f (z0)| = 0 und somit f (z0) = 0 gilt
Beschränktheit, Grenzwert und Stetigkeit
• 
ω = f (z ) heißt im Gebiet D ! G (G offen und zusammenhängend) beschränkt,
wenn ihr Relief über G ganz unter einer Konstante K liegt, d.h. |f (z)| ≤ K mit
ausreichend groß gewähltem K. Ist bei beliebiger Annäherung an eine Stelle zp ∈
G nicht erfüllt, so heißt f (z) in zp singulär.
• 
Grenzwert und Stetigkeit: formal gleichwertig zu Funktionen mit reellen
Veränderlichen
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III -19
Exkurs: Komplexe Zahlen Komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen
Differentiation im Komplexen
Die Funktion ω = f (z) sei in einer Umgebung von z0 definiert. ω = f (z) heißt an der
Stelle z0 ∈ G differenzierbar, wenn unabhängig von der Art der Annäherung
(
)
( )
()
Δz = z – z0 der Grenzwert lim f z0 + Δz − f z0 = f $ z = df z
0
Δz→0
Δz
dz
( )
existiert.
z= z0
Holomorphe Funktionen
ω = f (z) ist eine in G holomorphe (analytische, reguläre) Funktion, wenn in jedem
Punkt z des Gebietes G f (z) differenzierbar ist.
ω = f (z) heißt an jedem Punkt z0 holomorph, wenn eine Umgebung von z0 existiert, in
der f' (z0) gebildet werden kann;
Stellen, an denen f' (z) nicht existiert, heißen singuläre Stellen.
Es gelten die allgemeinen Differentiationsregeln; sie stimmen formal mit den
entsprechenden Regeln für reelle Funktionen überein.
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III -20
Exkurs: Komplexe Zahlen
Nachrichtentechnische Bezüge
Komplexe Zahlen und ihre nachrichtentechnischen
Bezüge
Sinus- und Cosinusverlauf
1
→ Augenblickswerte einer Wechselgröße mit Periode T (Frequenz: f = )
T
ss (t ) = a ⋅ sin ωt
0
π
2π
mit ω⋅t: der in der Zeit t durchlaufene Winkel; ω : Winkelgeschwindigkeit
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III -21
Exkurs: Komplexe Zahlen
Nachrichtentechnische Bezüge
0
2π
π
sc (t ) = a ⋅ cos ωt
mit ω⋅t: der in der Zeit t durchlaufene Winkel; ω : Winkelgeschwindigkeit
→ Nach Durchlauf eines vollen Winkels (ω⋅t = 2π) beginnt die Wiederholung
(Periodizität)
⇒ zur Periodenlänge t = T gehört der durchlaufene Winkel ω⋅t = ω⋅T = 2π
Winkelgeschwindigkeit ω : der je Sekunde durchlaufene Winkel
ω=
2π
= 2π ⋅ f
T
(auch: Kreisfrequenz, wegen des engen Zusammenhangs mit der Frequenz)
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III -22
Exkurs: Komplexe Zahlen
Nachrichtentechnische Bezüge
Nullphasenwinkel ϕ
Verschiebung des Anfangszeitpunktes t = 0 bzw. ω⋅t = 0 gegen den Zeitpunkt des
Nulldurchgangs bzw. des Auftretens des positiven Scheitelwertes der Wechselgröße
s (t ) = a ⋅ (sin ωt + ϕ )
ω⋅t2
ω
0
ϕ
ω⋅t2
π
2π
(hier: ϕ < 0)
ω⋅t = 0
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III -23
Exkurs: Komplexe Zahlen
Nachrichtentechnische Bezüge
Alternative Darstellung einer Wechselgröße
Darstellung einer zeitlich sinusförmig verlaufenden Wechselgröße durch einen mit der
konstanten Winkelgeschwindigkeit ω umlaufenden Zeiger gleichbleibender Länge
(Umlaufrichtung entgegen dem Uhrzeigersinn = mathematisch positiver Sinn)
i)
!
a = a ⋅ cos α + a ⋅ j sin α
jα
= a⋅e
= a∠α
ii)
Im
ruhender Zeiger in Gaußscher Zahlenebene
!
a
(Eulersche Darstellung)
(∠ : Vesorzeichen)
j
α
Re
umlaufender Zeiger in komplexer Form
!!"
aω = a ⋅ $&cos (ω ⋅ t + ϕ ) + j ⋅ sin (ω ⋅ t + ϕ )%'
j ω ⋅t +ϕ )
= a⋅e (
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III -24
Fourierreihen und Fourieranalyse
Komplexe Fourierreihe
Komplexe Fourierreihe
Für Manipulationen sind die o. g. Reihendarstellungen schlecht handhabbar. Eine
kompaktere Darstellung erhält man unter Verwendung komplexer Amplituden
(komplexe Koeffizienten)
1
( am − jbm )
2
1
cm = ( am + jbm )
2
cm =
Es ist
a0 ∞
s(t ) = + ∑ ( am cos(mω0t ) + bm sin(mω0t ) )
2 m=1
1 e jmω0t + e− jmω0t
2
(
)
−
j jmω0t − jmω0t
e
−e
2
(
)
a0 ∞ ⎛ 1
1
jmω t
− jmω t ⎞
= + ∑ ⎜ ( am − jbm ) e 0 + ( am + jbm ) e 0 ⎟
2 m=1 ⎝ 2
2
⎠
cm
und somit
cm
a0 ∞
s (t ) = + ∑ cm e jmω 0 t + cm e − jmω 0 t
2 m =1
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III -25
Fourierreihen und Fourieranalyse
Komplexe Fourierreihe
T
2
Die komplexen Koeffizienten berechnen sich aus am =
2
s (t ) cos(mω0t )dt und
T −∫T
2
T
2
bm =
2
s (t ) sin( mω0t )dt zu
∫
T −T
2
T
2
cm =
T
2
1
1
− jmω0t
s
(
t
)
e
dt
c
=
s (t )e jmω0t dt
und
m
∫
∫
T −T
T −T
2
2
Für ein reellwertiges Signal s(t) gilt somit cm = c− m
d.h. Harmonische mit negativen Frequenzen erhalten die komplex-konjugierten
Koeffizienten der jeweils korrespondierenden Harmonischen mit positiver Frequenz.
Somit kann die Fourierreihe sehr kompakt geschrieben werden
s (t ) =
∞
∑
cme
jmω0t
m =−∞
T
2
mit den komplexen Koeffizienten cm =
1
− jmω0t
s
(
t
)
e
dt
∫
T −T
2
(für m = 0 ist keine besondere Behandlung mehr notwendig!)
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III -26
Fourierreihen und Fourieranalyse
Komplexe Fourierreihe
Beispiel: Harmonische Analyse eines Signals mittels komplexer
Fourierreihen
f (t ) = A ⋅ e
−aω0t
f (t)
für − T2 < t ≤ T2
-T/2
Koeffizienten:
T
2
ck =
T
2
A − aω0t − jkω0t
A −( a + jk )ω0t
e
e
dt
=
e
dt
∫
∫
T −T
T −T
2
=
mit e
jkπ
T/2
2
A
eaπ e jkπ − e− aπ e− jkπ
2π (a + jk )
(
)
k
= e − jkπ = ( −1) lässt sich die o.g. Gleichung vereinfachen zu
k
k
A ( −1)
A(− 1)
aπ
− aπ
=
sinh (aπ )
ck =
e −e
(
)
π (a + jk )
2π (a + jk )
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III -27
Fourierreihen und Fourieranalyse
Komplexe Fourierreihe
Damit erhält man
• 
• 
für den Betrag (Amplitude) |ck|: ck =
π a2 + k 2
⎧ − arctan ka ,
⎪
Φ k = ⎨π − arctan ka ,
⎪
k
⎩−π − arctan a ,
für die Phase Φk:
A = 1, a = 2:
A ⋅ sinh ( aπ )
|ck|
für k gerade
für k ungerade und positiv
für k ungerade und negativ
Φk
π-
L
-ω0
ω0
L
L
-ω0
ω0
diskretes Amplitudenspektrum
ω
ω
L
-π diskretes Phasenspektrum
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III -28
Fouriertransformation
Motivation
Motivation
bisher: Approximation periodischer Signale ergab in der Frequenzdarstellung
diskrete Spektren definiert durch Amplituden- und Phasenwerte jeweils als
Funktionen der Ortsfrequenz, die wiederum jeweils um ganzzahlige Vielfache
der Grundfrequenz ansteigt.
Nichtperiodische Signale können als periodische Signale aufgefasst werden, deren
Periodendauer gegen unendlich und deren Wiederholfrequenz somit gegen Null
strebt.
Zeichnet man die Spektrallinien für mehrere Signale unterschiedlicher Wiederholfrequenz im gleichen Maßstab auf, so rücken die einzelnen Linien umso näher
zusammen, je größer die Periodendauer des Signals ist.
Die Größe Δω = ω0 (Grundkreisfrequenz, mit Periode T = 2π/ω0) strebt bei immer
größer werdender Periode T gegen Null, Δω → 0.
Die Spektrallinien sind damit nicht mehr nur an diskreten Punkten k·ω0, sondern für
den gesamten Bereich -∞ < ω < ∞ definiert.
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III -29
Fouriertransformation
Motivation
Eine nichtperiodische Funktion kann demnach als Überlagerung unendlich vieler
harmonischer Schwingungen gedacht werden, deren Kreisfrequenzen unendlich dicht
beieinander liegen und somit kontinuierlich über den gesamten Frequenzbereich
verteilt sind.
!
ω
ω0 = Δω 2ω0
3ω0
4ω0
5ω0
6ω0
7ω0
Δω → 0: Amplitudendichtespektrum (folgt aus diskretem Linienspektrum)
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III -30
Fouriertransformation
Ableitung der Fouriertransformation aus der Fourierreihe
Ableitung der Fouriertransformation aus der Fourierreihe
Die Fourierreihe in komplexer Schreibweise lautete s (t ) =
jmω0t
c
⋅
e
,
∑m
m = −∞
T
2
mit den Koeffizienten cm = T1
∞
− jmω0t
s
(
t
)
⋅
e
dt.
∫
− T2
Ein periodisches Signal der Periode T besteht aus einer Summe von Teilschwingungen
mit Frequenzen im Abstand von
Es ist außerdem T = f1 = Δ1f
0
Δω = ω0 =
2π
T
.
(⇒ ω0 = 2π⋅Δf, T⋅Δf = 1)
Die komplexe Fourierreihe kann damit geschrieben werden in der Form
s (t ) =
cm jmΔω t
⋅e
Δω ,
∑
m =−∞ Δω
∞
1
=
2π
∞
c
∑ Δmf ⋅ e jmΔωt Δω
m =−∞
sowie die Koeffizienten in der Form
T
2
cm
= ∫ s (t ) ⋅ e − jmΔωt dt
Δf − T
2
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III -31
Fouriertransformation
Ableitung der Fouriertransformation aus der Fourierreihe
Grenzfall T → ∞ und somit Δω → 0
Aus dem periodischen Signal wird ein nicht-periodisches Signal; man erhält aus der
o.g. Gleichung die von ω (ω = m·Δω) abhängige Funktion
∞
F (ω ) = ∫ s (t ) ⋅ e − jωt dt
−∞
jω
(Fourier-Transformierte der (nicht-periodischen) Funktion s(t))
c
Aus lim 2Tπ = ω0 = Δω = 0 mit m = F (ω ) folgt
T →∞
Δf
(
)
1
s (t ) =
2π
∞
∫ F (ω ) ⋅ e
j ωt
dω
−∞
(Fourier-Rücktransformierte der Funktion F(ω) oder auch inverse FT)
1
1 ⋅ 1
Durch Aufteilung der Faktoren in 2π =
auf die beiden Gleichungen erhält
2π
2π
man die ebenso gebräuchlichen Transformationsvorschriften für die Fourier-
Transformation und die inverse Fourier-Transformation.
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III -32
Fouriertransformation
´Zusammenfassung/Übersicht
Zusammenfassung/Übersicht: 1-D Fouriertransformation
Für die Gleichungen unter Verwendung der Operatoren F{ } und F – 1{ } gilt:
1
F { f (t )} = F (ω ) =
2π
1
F −1 {F (ω )} = f (t ) =
2π
⇒ f (t ) = F
F(ω)
f(t)
1
F (ω ) =
2π
1
f (t ) =
2π
−1
∞
∫
f (t ) ⋅ exp (− jωt )dt
−∞
∞
∫ F (ω ) ⋅ exp ( jωt )dω
−∞
{F {f (t )}}
∞
∞
∫ f (t ) ⋅ exp(− jωt )dt
F (ω ) =
−∞
∞
1
f
(
t
)
=
(
)
F
(
ω
)
⋅
exp
j
ω
t
d
ω
∫
2π
−∞
−∞
1
F (ω ) =
2π
∞
∞
∫ f (t ) ⋅ exp(− jωt )dt
∫ F (ω ) ⋅ exp ( jωt )dω
−∞
f (t ) =
∞
∫ f (t ) ⋅ exp(− jωt )dt
−∞
∫ F (ω ) ⋅ exp( jωt )dω
−∞
F(ω) ist das Spektrum von f(t)
Kurzschreibweise: F{f(t)} = F(ω)
ODER
f(t)
und
F –1{F(ω)} = f(t)
F(ω) (Korrespondezsymbol, auch:
(Unbehauen)
(Mildenberger)
(Bracewell))
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III -33
Fouriertransformation
Existenz der Fouriertransformation
Existenz der Fouriertransformation
Integraltheorem von Fourier:
1
2π
' f (t )
.∞
+
$
− j ωt
j ωt
,
)
f
(
t
)
⋅
e
dt
⋅
e
d
ω
=
&
∫ ,- ∫
)
*
−∞ −∞
$% 12 ( f (t+ ) + f (t− ) ) (an Unstetigkeitsstellen)
∞
Bedingungen für die Existenz des Integrals:
1. absolute Integrierbarkeit, d. h. es existiert ein M < ∞ mit
∞
∫ f (t ) dt < M < ∞
−∞
2. die Anzahl der Diskontinuitäten von f(t) ist endlich.
!
Hinweis:
(1.) ist eine hinreichende, jedoch keine notwendige Bedingung für die
Existenz von F(ω). Es gibt Zeitfunktionen, die nicht absolut integrierbar
sind und dennoch Fouriertransformierte besitzen, z. B. sin (x), cos (x).
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III -34