Komplexe Zahlen – ¨Ubersicht

Komplexe Zahlen – Übersicht
Die Menge der komplexen Zahlen ist definiert als
C = {a + bi | a, b ∈ R}.
Dabei ist i die imaginäre Einheit, die als eine Lösung der Gleichung x2 = −1 definiert ist.
Die reellen Zahlen a und b heißen Realteil und Imaginärteil der komplexen Zahl z = a + bi, man schreibt
a = ℜz oder a = Re(z) und b = ℑz oder b = Im(z).
√
i
1
1 i
i
1
= −i sind von dieser Form
Beispiele: 2 + 3i, 7 − i, πi, aber auch 5 = 5 + 0 · i oder = · = 2 =
3
i
i i
i
−1
Jede komplexe Zahl besteht aus einem Paar reeller Zahlen, die komplexen Zahlen entsprechen also gerade
den Punkten der Ebene, die sogenannte komplexe Ebene oder Gauss’sche Zahlenebene.
Jede reelle Zahlen r lässt sich eindeutig als r + 0 ·i schreiben. Auf diese Weise können wir R ganz natürlich
als Teilmenge von C auffassen, R ⊂ C. Die komplexen Zahlen sind also eine Erweiterung der reellen.
Grundlegende Rechenregeln
Komplexen Zahlen können addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert (und potenziert) werden, mit i
wird wie mit einer Variablen gerechnet, für die i2 = −1 gilt.
Addition/Subtraktion: (a ± bi) + (c ± di) = (a ± c) + (b ± d)i
Multiplikation: (a + bi) · (c + di) = ac + ad + bci + bdi2 = ac + ad + bci − bd = (ac − bd) + (ad + bc)i
Division:
ac + bd −ad + bc
a + bi c − di
(ac + bd) + (−ad + bc)i
a + bi
= 2
+ 2
i
=
·
=
2
2
2
c + di
c + di c − di
c −d i
c + d2
c + d2
Für die Operationen Addition und Multiplikation gelten Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz (nachrechnen). (C, +) und (C\ {0}, ·) sind abelsche Gruppen. Eine Menge mit 2 Operationen,
die diese Eigenschaften hat (2 abelsche Gruppen, Distributivgesetz), heißt Körper.
Andere Beispiele für Körper sind
Menge aller gebrochenrationalen
Funktionen mit Koeffiß R,nQ oder die
™
an x + an−1 xn−1 + . . .
zienten aus R, also R(x) =
| ai , bj ∈ R . Körper und Körpererweiterungen
bm xm + bm−1 xn−1 + . . .
werden in der Algebra und in der Zahlentheorie untersucht.
Schränkt man die Operationen für komplexe Zahlen auf die reellen Zahlen ein, erhält man die für R
bekannten Operationen.
Weitere Begriffe
Der Betrag einer komplexen Zahl z = a+bi ist definiert als |z| =
ist das der Abstand der komplexen Zahl zu 0.
√
a2 + b2 . Nach dem Satz des Pythagoras
Für reelle Zahlen ist dies der bekannte Betrag: |r| = |r + 0 · i| =
√
r 2 + 02 =
Die zu z = a + bi komplex konjugierte Zahl ist definiert als z = a − bi.
√
r2 = |r|.
Eigenschaften
z+w =z+w
z+z
Re(z) =
2
|z · w| = |z| · |w|
z·w =z·w
z−z
Im(z) =
2i
|z + w| ≤ |z| + |w|
|z| ∈ R und |z| ≥ 0
|z| = 0 ⇔ z = 0
z
z
=
w
w
z=z⇔z∈R
|z − w| ≥ |z| − |w|
z=z
z n = (z)n
zz = |z|2
|z| = |z|
Polarform
Komplexe Zahlen können auch in Polarkoordinaten dargestellt werden. Sei r = |z| und ϕ der Winkel, den
z mit der reellen Achse einschließt (das sogenannte Argument von z), dann gilt:
z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
Die Multiplikation ist nun leicht zu verstehen (Additionstheoreme für Sinus und Cosinus):
z · w = r(cos ϕ + i sin ϕ) · s(cos ψ + i sin ψ)
= rs[(cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) + i(cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ)]
= rs[cos (ϕ + ψ) + i sin (ϕ + ψ)]
Umrechnung zwischen den Darstellungen
Gegeben z = z = r(cos ϕ + i sin ϕ):
a = r cos ϕ, b = r sin ϕ
(für Winkel im Intervall [0, 2π) muss auf die Periode geachtet werden)
√
b
Gegeben z = a + bi:
r = a2 + b2 , ϕ = arctan
a
Geometrische Darstellung
In der Gauss’schen Zahlenebene bedeuten die Operationen:
• Addition: Vektoraddition, Summe ist der Diagonalenvektor
• Multiplikation: Winkel werden addiert, Beträge multipliziert (Drehstreckung)
• Komplexe Konjugation: Spiegelung an der reellen Achse
Dies ist schon ein Wink, dass man mit komplexen Zahlen auch Geometrie treiben kann. Die abstandserhaltenden Abbildungen der euklidischen Geometrie (Drehungen, Spiegelungen, Verschiebungen) sind
durch Rechenoperationen in C darstellbar!
Potenzen
Mit z = r(cos ϕ + i sin ϕ) sehen wir leicht:
z 2 = r(cos (ϕ + ϕ) + i sin (ϕ + ϕ)) = z = r2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ)
z 3 = r3 (cos 3ϕ + i sin 3ϕ)
z 4 = r4 (cos 4ϕ + i sin 4ϕ)
..
.
Formel von Moivre: Für z = r(cos ϕ + i sin ϕ) gilt: z n = rn (cos (nϕ) + i sin (nϕ))
Wurzeln
Mit der Formel von Moivre und aufgrund der Periodizität der Winkelfunktionen finden wir zu jeder Zahl
z = r(cos ϕ + i sin ϕ) genau n verschiedene komplexe Wurzeln, nämlich
ï
Å
ã
Å
ãò
√
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
,
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
zk = r cos
n
n