Mathematische Methoden der Physik II Lösungen Serie 11

Mathematische Methoden der Physik II
Lösungen Serie 11
Fourier-Reihen, Fourier-Integrale
24. Mai 2016
1. Es werden hier die Beziehungen
cos(x) =
sin(x) =
1 ix
(e + e−ix )
2
1 ix
(e − e−ix )
2i
(1)
(2)
verwendet.
cos2 (x)
1
1 ix
(e + e−ix )2 = (2 + e2ix + e−2ix )
4
4
1 1
+ cos(2x)
2 2
cos2 (x) =
=
(3)
Da cos2 (x) eine gerade Funktion ist, gilt
bn = 0 .
Die Periode dieser Funktion ist π. Die Fourier Reihe ist deshalb eine Cosinus-Reihe
von der Form
∞
a0 X
an cos(2nx) .
+
cos2 (x) =
2
n=1
Aus Gl. (3) kann man sofort herauslesen, dass
a0 = 1
a1 =
1
2
an = 0,
n>1.
sin2 (x)
1
1 ix
(e − e−ix )2 = − (e2ix + e−2ix − 2)
4
4
1 1
− cos(2x)
2 2
sin2 (x) = −
=
(4)
Da sin2 (x) eine gerade Funktion ist, gilt
bn = 0 .
Die Periode dieser Funktion ist π. Die Fourier Reihe ist deshalb eine Cosinus-Reihe
von der Form
∞
a0 X
sin2 (x) =
an cos(2nx) .
+
2
n=1
Aus Gl. (4) kann man wieder sofort herauslesen, dass
a0 = 1
a1 = −
1
2
an = 0,
n>1.
sin(x) cos(x)
1 ix
1 2ix
(e − e−ix ) · (eix + e−ix ) =
(e − e−2ix )
4i
4i
1
sin(2x)
2
sin(x) cos(x) =
=
(5)
Da sin(x) cos(x) eine ungerade Funktion ist, gilt
an = 0 n ≥ 0 .
Die Periode dieser Funktion ist auch π. Die Fourier Reihe ist deshalb eine Sinus-Reihe
von der Form
∞
X
bn sin(2nx) .
sin(x) cos(x) =
n=1
Aus Gl. (5) kann man wieder sofort herauslesen, dass
b1 =
1
2
bn = 0,
n>1.
cosn (x)
n
cos (x) =
=
1
2n
1
2n
ix
−ix n
e +e
n X
k=0
n
k
n 1 X n
= n
eixk e−ix(n−k)
2
k
k=0
eix(2k−n) .
Bezeichne die Zahl 2k − n, die im Exponenten vorkommt, mit m, also m = 2k −
n. Wenn k von 0 bis n läuft (wegen der Summe), dann läuft m über die Zahlen
−n, −n + 2, ..., n − 2, n. Man kann also die obige Summe sofort in der Form einer
komplexen Fourier-Reihe schreiben, d.h.,
n
cos (x) =
∞
X
fm eixm ,
m=−∞
wobei man die Koeffizienten fm direkt ablesen kann:
(
n
1
m ∈ {−n, −n + 2, ..., n − 2, n}
n+m
n
2
2
fm =
0
sonst
(6)
Wenn man das Resultat als komplexe Fourier-Reihe schreiben will, ist man an dieser
Stelle fertig.
Wenn man das Resultat lieber als reelle Fourier-Reihe schreiben möchte, kann man
das leicht tun: Dazu schreibt man
cosn (x) =
∞
X
fm eixm = f0 +
m=−∞
∞
X
m=1
fm eixm + f−m e−ixm .
Unter Verwendung der Tatsache fm = f−m (siehe explizite Formel für die fm ), kann
man obige Gleichung schreiben als
n
cos (x) = f0 +
∞
X
2 fm cos(mx) .
m=1
Dies hat die Form einer reellen Fourier-Reihe mit bm = 0, a0 = 2f0 , am = 2fm ,
wobei die fm in Gl. (6) gegeben sind.
2. (a) Nein, man kann fa (x) nicht auf ganz R als Fourier-Reihe darstellen, da fa (x)
keine periodische Funktion ist.
(b) Es lassen sich beliebig viele periodische Funktionen mit Periode grösser oder
gleich a konstruieren, welche auf dem Intervall [−a/2, a/2] den gleichen Wert
wie fa (x) haben. Die Periodizität erlaubt eine Darstellung als Fourier-Reihen.
Die Koeffizienten werden aber abhängig von Fortsetzung und Periode unterschiedlich sein.
(c) Für die Fouriertransformierte erhält man:
f˜a (k) =
=
1
2πa
Z
a
2
dx e−ikx =
− a2
a
1 i −ik a
(e 2 − eik 2 )
2πa k
sin( ka
2 )
.
πak
Für den Limes der Fouriertransformierten erhält man mit l’Hôpital:
lim f˜a (k) =
a→0
lim
a→0
cos( ka
2 )
πk
k
2
=
1
.
2π
fa (x) wird im Limes a gegen 0 eine sehr schmale Funktion. Fouriertransformierte von schmalen Funktionen sind breit. In diesem Fall (a gegen 0) sogar
konstant.