MST Mathematik 2 Übung 6

MST
Mathematik 2
Übung 6
Prof.Dr.B.Grabowski
(Polynome, trigonometrische Funktionen und Anwednung komplexer
Zahlen)
I. Darstellung von Schwingungen als komplexe Zeiger
Aufgabe 1
Skizzieren Sie den Verlauf folgender Funktionen im kartesischen Koordinatensystem:
π
π
π



a) 3 cos( x ) b) 3 cos(2 x )
c) 3 cos 2 x + 
d) 2 sin  3 x − 
e) 3 sin  2 x + 
3
4
3



Aufgabe 2
Geben Sie die Gleichung a sin(bx+c) der grafisch dargestellten Funktion, d.h. geben Sie a,b,c
an!
a)
b)
Aufgabe 3
Machen Sie sich anhand von Skizzen folgenden Zusammenhang zwischen
π
π


sin(ωx) und cos(ωx) klar: Es gilt: sin (ωx ) = cos ωx −  und cos(ωx ) = sin  ωx + 
2
2


Aufgabe 4
Eine harmonische (sinus-)Schwingung Asin (ωt + ϕ ) an der Stelle t kann als Imaginärteil der
komplexen Zahl z(t) = Ae j (ωt +ϕ ) aufgefasst werden.
D.h., jeder Schwingung Asin (ωt + ϕ ) kann man eindeutig die komplexe Zahl
z (t) = Ae j (ωt +ϕ ) = Ae jϕ ⋅ e jωt zuordnen. z(0)= Ae jϕ wird als komplexer Scheitelwert der
Schwingung bezeichnet.
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(Polynome, trigonometrische Funktionen und Anwednung komplexer
Zahlen)
Eine harmonische (sinus-)Schwingung Asin (ωx + ϕ ) wird in der Technik üblicherweise als
komplexer Zeiger z(0)= Ae jϕ dargestellt. ω charakterisiert, mit welcher Frequenz dieser
Zeiger im Koordinatensystem entgegengesetzt dem Urzeigersinn herumsaust. (siehe Skizze).
Darstellung der Schwingung
Asin (ωt + ϕ )
als komplexer Zeiger
a) Stellen Sie folgende Schwingungen als komplexe Zeiger dar ( ω=314 s-1)!
a1) u1(t) = 100V sin(ωt),
a2) u2(t) = 150Vcos(ωt - π/4)
(Hinweis: cosinus erst in den sinus umwandeln!)
b) Stellen Sie folgende komplexen Zeiger als Schwingungen dar!
b1) 2e
−j
π
4
, ω=3
b2) 3e
j
π
3
, ω=2
Aufgabe 5
Bestimmen Sie die durch additive Überlagerung (Superposition) aus den beiden
gleichfrequenten Wechselspannungen y1(t) und y2(t) entstehende resultierende
Wechselspannung y(t) = y1(t) + y2(t) über die Methode der Komplexifizierung ( ω=314 s-1)!
y1(t) = 100V sin(ωt),
y2(t) = 150Vcos(ωt - π/4)
Zeichnen Sie y1(t), y2(t) und y(t) als komplexe Zeiger und verdeutlichen Sie sich damit
grafisch die Bedeutung der Rechenmethode !
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(Polynome, trigonometrische Funktionen und Anwednung komplexer
Zahlen)
II. Funktionen – allgemeine Eigenschaften
Aufgabe 6
Welche der folgenden Abbildungsvorschriften sind Funktionen? (D = Definitionsbereich, B =
Bildbereich)
1.
y 2 = x , x ∈ D, y ∈ B , D = B = R
2.
y 2 = x, x ∈ D, y ∈ B, D = {x x ∈ R ∧ x ≥ 0}, B = R
3.
y 2 = x, x ∈ D, y ∈ B, D = {x x ∈ R ∧ x ≥ 0}, B = {y y ∈ ℝ ∧ y ≥ 0}
4.
y = x 2 , x ∈ D, y ∈ B , D = B = ℝ
5.
y = x 2 , x ∈ D, y ∈ B, D = {x x ∈ ℝ ∧ x ≥ 0}, B=ℝ
Aufgabe 7
Zeichnen Sie das Bild folgender Abbildungen im Polarkoordinatennetz!
a)
r = 2(1 + cos(ϕ )) für 0 ≤ ϕ ≤ 180 b)
r = 2 | cos(2ϕ ) | für 0 ≤ ϕ ≤ 360 Aufgabe 8
a) Wie lautet die parametrische Gestalt x=x(t), y=y(t) der Funktion y=3x-7 ?
b) Geben Sie die in parametrischer Form gegebene Funktion x(t) = 3t+1, y(t)=4t2+5 in
der expliziten analytischen Form y=f(x) an!
c) Wie lautet die parametrische Gestalt x=x(t), y=y(t) der Kreisgleichung x2 + y2 = 4?
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