Mathematik III Übung 1

Mathematik III
KI
Übung 1
(Trig. Fkt +Komplexe Zahlen (Wied.) )
Aufgabe 1)
Berechnen Sie für z1 = 4 − 2 j , z 2 = e jπ / 3 folgende komplexe Zahlen und stellen Sie die
Ergebnisse zu a), b) und c) in Normalform und zu d) und e) in Eulerform dar!
a) z1 + z2
b)
z1
z2
c) ln(z1) d) z1⋅z2
e)
4−2j
Aufgabe 2)
Wie lauten die Lösung der folgenden Gleichung : z3 = j .
komplexe Zeiger ins kartesische Koordinatensystem!
f) |z1|, f) |z2|
Zeichnen Sie alle Lösungen als
Aufgabe 3)
Skizzieren Sie den Verlauf folgender Funktionen im kartesischen Koordinatensystem:
π
π
π



a) 3 cos( x ) b) 3 cos(2 x )
c) 3 cos 2 x + 
d) 2 sin  3 x − 
e) 3 sin  2 x + 
3
4
3



Aufgabe 4)
Geben Sie die Gleichung a sin(bx+c) der grafisch dargestellten Funktion, d.h. geben Sie a,b,c
an!
a)
b)
Aufgabe 5)
Machen Sie sich anhand von Skizzen folgenden Zusammenhang zwischen
π
π


sin(ωx) und cos(ωx) klar: Es gilt: sin (ωx ) = cos ωx −  und cos(ωx ) = sin  ωx + 
2
2


1
Mathematik III
KI
Übung 1
(Trig. Fkt +Komplexe Zahlen (Wied.) )
Aufgabe 6)
Eine harmonische (sinus-)Schwingung Asin (ωt + ϕ ) an der Stelle t kann als Imaginärteil der
komplexen Zahl z(t) = Ae j (ωt +ϕ ) aufgefasst werden.
D.h., jeder Schwingung Asin (ωt + ϕ ) kann man eindeutig die komplexe Zahl
z (t) = Ae j (ωt +ϕ ) = Ae jϕ ⋅ e jωt zuordnen. z(0)= Ae jϕ wird als komplexer Scheitelwert der
Schwingung bezeichnet.
Eine harmonische (sinus-)Schwingung Asin (ωx + ϕ ) wird in der Technik üblicherweise als
komplexer Zeiger z(0)= Ae jϕ dargestellt. ω charakterisiert, mit welcher Frequenz dieser
Zeiger im Koordinatensystem entgegengesetzt dem Urzeigersinn herumsaust. (siehe Skizze).
Darstellung der Schwingung
Asin (ωt + ϕ )
als komplexer Zeiger
a) Stellen Sie folgende Schwingungen als komplexe Zeiger dar ( ω=314 s-1)!
a1) u1(t) = 100V sin(ωt),
a2) u2(t) = 150Vcos(ωt - π/4)
(Hinweis: cosinus erst in den sinus umwandeln!)
b) Stellen Sie folgende komplexen Zeiger als Schwingungen dar!
b1) 2e
−j
π
4
, ω=3
b2) 3e
j
π
3
, ω=2
Aufgabe 7)
Bestimmen Sie die durch additive Überlagerung (Superposition) aus den beiden
gleichfrequenten Wechselspannungen y1(t) und y2(t) entstehende resultierende
Wechselspannung y(t) = y1(t) + y2(t) über die Methode der Komplexifizierung ( ω=314 s-1)!
y1(t) = 100V sin(ωt),
y2(t) = 150Vcos(ωt - π/4)
Zeichnen Sie y1(t), y2(t) und y(t) als komplexe Zeiger und verdeutlichen Sie sich damit
grafisch die Bedeutung der Rechenmethode !
2