FK03 Mathematik I: ¨Ubungsblatt 2 Lösungen

FK03 Mathematik I: Übungsblatt 2 Lösungen
Verständnisfragen
1. Wie ist der Absolutbetrag einer reellen Zahl x ∈ R definiert?
∀x ∈ R :
|x| :=
x x≥0
−x x < 0
2. Welche Regeln gelten für den Absolutbetrag?
x, y ∈ R
(a) |x| ≥ 0 mit |x| = 0 ⇔ x = 0
(b) |x · y| = |x| · |y|
(c) |x + y| ≤ |x| + |y|
(d) −|x| ≤ x ≤ |x|
(e) |x| ≤ y ⇔ −y ≤ x ≤ y
(f) ||x| − |y|| ≤ |x − y|
x
=
(g) |x|
y , y 6= 0
|y|
3. Wie ist eine reelle Zahlenfolge definiert?
Eine reelle Zahlenfolge ist eine Abbildung der natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen.
a: N→R
n 7→ an := a(n)
4. Was versteht man unter der analytischen und der rekursiven Darstellung einer reellen Zahlenfolge
(an )n∈N ?
Die analytische Darstellung ist durch einen Term gegeben, der die Berechnung des n-ten Folgegliedes
an aus der Kenntnis von n ∈ N ermöglicht.
Bei der rekursiven Darstellung ist ein Term gegeben, der es ermöglicht, das n-te Folgeglied aus einem
oder mehreren Vorgängern unter Kenntnis von festgelegten Anfangswerten (z.B. von a0 ) zu berechnen.
5. Was muss gelten, damit eine Zahlenfolge als alternierend“ bezeichnet werden kann?
”
an · an+1 < 0
∀n ∈ N
6. Wie lautet die rekursive Definition der Fibonacci Folge?
a0 := 0 , a1 := 1, mit an = an−1 + an−2
7. Was versteht man unter einer arithmetischen Folge?
Eine Folge (an )n∈N heißt arithmetisch, falls ein d ∈ R (fest) existiert, so dass für alle n ∈ N gilt
an+1 − an = d.
8. Neben der analytischen und der rekursiven Darstellung sind noch zwei weitere Darstellungen für Zahlenfolgen in der Vorlesung behandelt worden. Welche sind es?
Weitere Darstellungen sind die grafischen Darstellungen auf dem Zahlenstrahl und im Koordinatensystem.
1
9. Wann heißt eine reelle Zahlenfolge (an )n∈N konvergent gegen a ∈ R?
Eine Folge (an )n∈N konvergiert gegen einen Grenzwert a ∈ R, falls ∀ε > 0 ∃N (ε) ∈ R, s.d. |an − a| < ε
∀n > N (ε).
10. Was bedeutet die Bedingung fast alle“?
”
fast alle“ bedeutet alle, bis auf endlich viele“
”
”
11. Wenn eine Folge (an )n∈N gegen einen Grenzwert a konvergiert, was findet man dann in jeder εUmgebung von a?
In jeder ε-Umgebung von a findet man fast alle Folgeglieder von (an )n∈N .
12. Wann heißt eine Folge divergent“ und wann bestimmt divergent“?
”
”
• Eine Folge heißt divergent“, falls sie nicht konvergent ist.
”
• Eine Folge (an )n∈N heißt bestimmt divergent“, falls entweder limn→∞ an = ∞
”
oder limn→∞ an = −∞ gilt.
13. Was versteht man unter einer Nullfolge?
Eine Folge (an )n∈N heißt Nullfolge, falls sie gegen 0 konvergiert.
14. Welche sind die elementaren Grenzwertsätze für konvergente Zahlenfolgen?
Seien die Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N und a, b ∈ R gegeben, mit
lim an = a ,
n→∞
lim bn = b
n→∞
und c ∈ R. Dann gilt
(a)
lim (an ± bn ) = a ± b
n→∞
(b)
lim (c · bn ) = c · b
n→∞
(c)
lim (an · bn ) = a · b
n→∞
(d)
lim
n→∞
an
bn
=
a
,
b
falls gilt ∃ n0 ∈ N, s.d. bn ≥ 0 ∀ n ≤ n0 und b 6= 0.
(e)
lim (bcn ) = bc
n→∞
(Der jeweilige Definitionsbereich ist hier zu beachten.)
15. Wie lautet eine Zahlenfolge, die gegen e konvergiert?
Eine Zahlenfolge, die gegen e konvergiert wäre zum Beispiel (an )n∈N = e.
2
Aufgaben:
1. Stellen Sie jeweils eine Bildungsvorschrift (an =?) zu den gegebenen Zahlenfolgen auf:
(a)
⇒
1; 7; 13; 19; 25; 31; (37); . . .
(an )n∈N = 1+6·(n−1)
(b)
−1; 1; −1; 1; −1; 1; (−1); . . .
⇒
(an )n∈N = (−1)n
(c)
1; −1; 2; −2; 3; −3; 4; −4; (5); . . .
(an )n∈N = 1−2+3−4+. . .+(−1)n−1 n
⇒
(d)
1; 5; −4; 12; −13; 23; −26; (55); . . .
⇒
(an )n∈N = 12 + 22 − 32 + . . . + (−1)n−1 n2
(e)
9 64 625 7776
;
;
;
2; ;
4 27 256 3125
117649
46656
; ...
⇒
(an )n∈N
1 n
= 1+
n
(f)
43 51
11 19 27
;
;
; 7;
;
;
3;
2 3 4
6 7
59
8
...
⇒
(an )n∈N = 8−
5
n
Wie lautet nach Ihrer Bildungsvorschrift jeweils die nächste Zahl der Folge?
√
2. Notieren Sie drei verschiedene Zahlenfolgen welche als fünfte Zahl
√
3
(an )n∈N =
4
√
3
(bn )n∈N = (6 − n) ·
4
√ !(−1)(n−1)
3
(cn )n∈N =
4
3. Stellen Sie die ersten 10 Glieder der Zahlenfolgen an =
Koordiantensystem dar.
3
√
n
3
4
aufweisen.
n und bn = 1 +
1 n
n
graphisch in einem
Es wirkt so, als würden sich beide Folgen jeweils einem Wert annähern. an (rot) scheint sich von oben
einem Wert um 1 anzunähern und bn (grün) scheint sich von unten her einem Wert bei 3 anzunähern.
4. Bestimmen Sie, wenn möglich, jeweils den Grenzwert der angegebenen Zahlenfolge
(a)
3
−5
n
an =
⇒ lim an = −5
n→∞
(b)
bn =
3n2 − 6n + 8
n + 7n − 13n2 − 6
(c)
⇒ lim bn = −
n→∞
√
cn =
3n
n
⇒ lim cn = 0
n→∞
(d)
dn =
(e)
(f)
(g)
n!
6 − (n − 5)
⇒ lim dn = −∞
n→∞
3 n
en = 1 −
n
⇒ lim en = e−3
1 n
fn = 1 −
3n
1
⇒ lim fn = √
3
n→∞
e
n→∞
√
n3 − 2n2 + n
gn =
(n − 1)3
⇒ lim gn = 0
n→∞
(h)
r
hn =
(i)
n2 − n + 1
n3 − 6n2 − 2
1 n
in = 3 −
n
(j)
jn =
1
1
−
3 3n
(k)
⇒ lim hn = 0
n→∞
⇒ lim in = ∞
n→∞
n
⇒ lim jn = 0
n→∞
√
n
kn =
5
1 − n1
4
⇒ lim kn = 1
n→∞
3
13
√
5. Gegeben ist die Folge an = 1 + an−1 , mit a0 := 1. Notieren Sie die ersten fünf Folgeglieder, stellen
Sie diese in einem Koordinatensystem dar und bestimmen Sie, wenn möglich, den Grenzwert der Folge.
a0 = 1
√
a1 =
2
q
√
a2 =
1+ 2
r
q
a3 =
1+ 1+
s
r
2
q
√
1+ 1+ 2
a4 =
a5
√
1+
v
s
u
r
u
q
√
t
1+ 1+ 1+ 1+ 2
=
Sei L der mögliche Grenzwert der Folge, dann ist dieser ein Fixpunkt der Folge:
(an )n∈N ist s.m.w. und beschränkt ⇒ L =
√
1+ 5
2
Der Grenzwert ist durch den goldenen Schnitt gegeben.
5