3.2 RC-Kreise

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3.2. RC-KREISE
3.2
RC-Kreise
Gewöhnliche (lineare) Differentialgleichungen 1. Ordnung (mit konstanten Koeffizienten)
In der Praxis liegen oft Serienschaltungen von Widerständen und Kapazitäten vor.
PSfrag replacements
+Q
−Q
d
−
+
E
Ein typisches ”Experiment” ist das Öffnen und Schließen eines Schalters. Dabei stellt sich folgende Frage: Was ist die Zeitabhängigkeit von Q, also der Ladung auf dem Kondensator, Q̇ = I,
dem Strom durch den Widerstand?
• offener Schalter enspricht formal R → ∞ ⇒ Q̇ = 0
• geschlossener Schalter entspricht R → 0
Bei geschlossenem Schalter gilt die Maschenregel:
R · Q̇ +
Dies gilt auch, wenn E zeitabhängig ist, z.B.
1
·Q=E
C
(3.6)
PSfrag replacements
+Q
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KAPITEL 3. ELEKTRISCHE SCHALTUNGEN
−Q
E
d
on
off
t0
oder
PSfrag replacements
+Q
E
−Q
d
t0
E(t) = E0 eω t
f ür t < t0 sonst 0
(später wird ω rein imaginär, die Rechnung für reelle ω ist der mit imaginärem ω aber sehr
ähnlich)
Oft bekannt: E(t), Q(t = 0). Problem: Wie berechne ich Q(t)?
Zunächst nehmen wir an, wir hätten eine Lösung Qinh (t), welche die Gleichung 3.6 erfüllt.
⇒ Q(t) = Qinh (t) + Qhom (t)
(3.7)
ist auch eine Lösung, solange die Gleichung
R · Q̇hom (t) +
1
· Qhom (t) = 0,
C
(3.8)
sprich die homogene Differentialgleichung, ebenfalls erfüllt ist. Homogen heißt, dass keine explizite zeitabhängige Funktion vorkommt.
In der Praxis muss man sowohl die homogene als auch die inhomogene DGL lösen. Solange die
Koeffizienten R und C nicht von der Zeit abhängen, folgt man immer derselben Vorgehensweise:
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3.2. RC-KREISE
1. Schritt:
Lösung der homogenen DGL mit dem Ansatz:
Q(t) = Q0 eλ t
(3.9)
⇒ Q̇(t) = λ Q eλ t
(3.10)
(wenn auch Spulen vorhanden wären, bräuchte man auch Q̈ = λ2 Q eλ t ; λ könnte dann auch eine
komplexe Zahl sein)
Einsetzen in 3.8 liefert
1
R λ Q 0 + Q0
C
· eλ t = 0
(3.11)
ist für jeden beliebigen Wert von (Q0 , t) erfüllt, wenn
1
Rλ+
C
= 0
⇒λ = −
⇒ Qhom (t) = Q0 exp{−t/(R C)}
1
RC
(3.12)
(3.13)
kann zu jeder Qinhom (t) addiert werden. τ = R · C heißt auch die ”Zeitkonstante” des Kreises.
2. Schritt:
Lösung der inhomogenen DGL 3.6. Die rechte Seite wächst exponentiell mit der Rate ω (oszilliert). ⇒ linke Seite Gleichung sollte dasselbe tun.
Annahme :
in 3.6 eingesetzt:
⇒
1
Rω +
C
Q̃ =
Qinh = Q̃ eω t
(3.14)
Q̇inh = ω Q̃ eω t
(3.15)
Q̃ eω t = E0 eω t
E0 · C
1 + (R C) · ω
(3.16)
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KAPITEL 3. ELEKTRISCHE SCHALTUNGEN
⇒ Q(t) =
E0 · C
· eω t + Q0 e−t/(R C)
1 + (R C) · ω
(3.17)
Nun kann eine ”Anfangsbedingung” verarbeitet werden, z.B. Q(t = 0) = 0
EC
+ Q0
1 + (R C) ω
EC
⇒ Q0 = −
1 + (R C) ω
EC
Q(t) =
· eω t − e−t/(R C)
1 + (R C) ω
0 =
(3.18)
(3.19)
(3.20)
Spezialfall: ω = 0; t0 → ∞; Q(0) = 0
g replacements
Q(t) = E0 C · 1 − e−t/(R C)
E0 C −t/(R C)
I(t) =
·e
RC
+Q
−Q
d
E
Q
t
(3.21)
(3.22)
I
t
t
⇒ Sie können nun allgemein Probleme lösen bei denen E(t) stückweise durch E · eω t (auch
E =const) angenähert werden kann.
3.3. MATHEMATISCHER EINSCHUB: KOMPLEXE ZAHLEN
3.3
55
Mathematischer Einschub: Komplexe Zahlen
Warum die Exponentialfunktion? Hätten wir eine Spule, dann hätten wir einen Term:
L Q̈ = VSpule
L = Induktion
(3.23)
PSfrag replacements
+Q
−Q
d
L Q̈ +
1
Q=0
C
ist die homogene DGL
Q̈ = −
Ansatz wie eben:
(3.24)
1
Q
LC
Q = e ω t · Q0
⇒ Q̈ = ω 2 · eω t · Q0
⇒ ω 2 Q0 eω t = −
ω=±
r
−
1
Q0 eω t
LC
√
1
1
= ±√
· −1
LC
LC
also:
Q = Q0 · e+i ω t
mit i =
√
Q = Q0 · e−i ω t
−1 erfüll dieser Ansatz formell die DGL in 3.24.
Gleichzeitig erfüllt folgender Ansatz auch die DGL:
Q = Q0 · cos(ω t)
Q̇ = −ω Q0 · sin(ω t)
Q̈ = −ω 2 Q0 · cos(ω t)
(3.25)
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KAPITEL 3. ELEKTRISCHE SCHALTUNGEN
ebenso:
Q = Q0 · sin(ω t)
Q̇ = ω Q0 · cos(ω t)
Q̈ = −ω 2 Q0 · sin(ω t)
⇒ Es muss einen Zusammenhang zwischen e±i ω t und cos() bzw. sin() geben.
Reihenentwicklung der exp -Funktion:
exp (a) =
+ 4!1 a4
+ 2!1 a2
1
+ 3!1 a3
+a
...
a = iωt
exp (i ω t) =
+ 2!1 (i ω t)2
1
+ 3!1 (i ω t)3
+i ω t
(i2 = −1) =
1−
1
2!
ωt−
(ω t)2 +
1
3!
1
4!
(ω t)3 +
− 2!1 (ω t)2
1
+i
+ 4!1 (i ω t)4
[ω t
+ 5!1 (i ω t)5
+ 4!1 (ω t)4
− 3!1 (ω t)3
+ 5!1 (ω t)5
(ω t)4 ± ...... ist die Reihe von cos (ω t)
1
5!
(ω t)5 ± ..... ist die Reihe von sin (ω t)
Eulersche Formel
ei ω t = cos (ω t) + i · sin (ω t)
(3.26)
e−i ω t = cos (ω t) − i · sin (ω t)
(3.27)
3.3. MATHEMATISCHER EINSCHUB: KOMPLEXE ZAHLEN
ei ω t + e−i ω t = 2 cos(ω t);
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ei ω t − e−i ω t = 2 sin(ω t)
⇒ Qhom = a · ei ω t + b · e−i ω t
(3.28)
oder
Qhom = A · cos(ω t) + B · sin(ω t)
Vorteil der komplexen Schreibweise ist:
L Q̈ + R Q̇ +
1
Q=E
C
E ∼ ei ω t ⇒ Q ∼ ei ω t
Q̇ ∼ ei ω t
Q̈ ∼ ei ω t
Somit hat man nur eine Abhäbgigkeit von einer Funktion.
Bei den reellen Funktionen hingegen:
E ∼ cos(ω t)
Annahme : Q ∼ cos(ω t)
Q̇ ∼ sin(ω t)
Q̈ ∼ cos(ω t)
⇒ Murks und lange Ausdrücke (unnötig kompliziert)
Sonstige Rechenregeln wie bei ”Äpfel und Birnen”
(3.29)
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KAPITEL 3. ELEKTRISCHE SCHALTUNGEN
Addition:
Z1 = 2 Äpfel + 3 Birnen = 2 + 3 i
Z2 = 4 Äpfel + 2 Birnen = 4 + 2 i
Z1 + Z2 = 6 Äpfel + 5 Birnen = 6 + 5 i
Multiplikation:
2
Z1 · Z2 = 8 Äpfel + (4 · 3 + 2 · 2) Äpfel · Birnen + 3 · 2 Birnen2
√ 2
√
⇒ = 8 · 12 + (4 · 3 + 2 · 2) 1 · −1 + 3 · 2 · −1
= (8 − 6) + 10 i
⇒ (2 + 3 i) (4 + 2 i) = 2 + 10 i
Division: Wird auf Multiplikation zurck geführt. Zunächst definieren wir die komplex konjugierte
Zahl
Z1 = a + i b
a, b = reell
Z1∗ = a − i b
(Z1∗ ist komplex konjugiert zu Z1 )
Z1 · Z1∗ = (a + i b) · (a − i b) = a2 + b2 = reell
(4 + 2 i) (2 − 3 i)
Z2 Z1∗
Z2
⇒
=
· ∗ =
·
Z1
Z1 Z1
(2 + 3 i) (2 − 3 i)
14 − 8 i
8 − 12 i + 4 i − 6 i2
=
=
22 + 3 2
13
Darstellung komplexer Zahlen: Man kann komplexe Zahlen in der (xy) Ebene eintragen, wobei
die y-Achse zur imaginären Achse wird.
PSfrag replacements
3.3. MATHEMATISCHER
+Q EINSCHUB: KOMPLEXE ZAHLEN
−Q
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imaginär
d
b
r
ϕ
a
real
Betragsquadrat einer komplexen Zahl:
|Z|2 = a2 + b2
√
⇒r =
a2 + b 2
(siehe oben)
a = r · cos(φ)
b = r · sin(φ)
⇒Z = r·
ei φ
|{z}
cos(φ)+i sin(φ)
Da komplexe Zahlen nun auch in der Mathematik vorkommen, verweisen wir auf die dortige
Vorlesung für weitere Details, wie z.B.
• Multiplikation und Division in Polardarstellung
• Potenzieren und Wurzelziehen in Polardarstellung