Analysis 1 Kurz-Skript - Prof Dr Jürgen Pöschel

Analysis 1
Kurz-Skript
Jürgen Pöschel
WS 04/05
6-C
6-D
Cauchyprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
66
7
Funktionen
7-A Funktionsgrenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7-B Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7-C Uneigentliche Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
70
71
73
8
Stetigkeit
8-A Stetige Funktionen . . . . . . . . . . .
8-B Zwischenwertsatz und Umkehrfunktion
8-C Offene und abgeschlossene Mengen . .
8-D Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . .
8-E
Stetigkeit und Kompaktheit . . . . . . .
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75
75
77
79
82
83
Differenziation in einer Variablen
9-A Deﬁnitionen und Rechenregeln . . . .
9-B Extrema und Mittelwertsatz . . . . . .
9-C Höhere Ableitungen . . . . . . . . . .
9-D Taylorpolynom und Taylorreihe . . . .
9-E
Summenfunktionen von Potenzreihen
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87
87
91
93
96
99
10 Spezielle Funktionen
10-A Die Exponentialfunktion . . . . . . . . .
10-B Der Logarithmus und allgemeine Potenzen
10-C Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . .
10-D Weitere trigonometrische Funktionen . . .
10-E Exp, Sin und Cos im Komplexen . . . . .
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101
101
102
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107
11 Ergänzungen
11-A Das Gegenbeispiel von Cauchy
11-B Zur Eulerschen Zahl . . . . . .
11-C Die Regeln von l’Hopital . . .
11-D Konvexität . . . . . . . . . . .
11-E Ungleichungen . . . . . . . .
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109
109
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110
111
113
Inhaltsverzeichnis
1
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5
5
6
9
11
2
Die reellen Zahlen
2-A Körperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2-B Ordnungsaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2-C Vollständigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
19
20
3
Die Mengen N , Z, Q
3-A Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3-B Die ganzen und die rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .
3-C Abzählbarkeit und Mächtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
28
29
Die komplexen Zahlen
4-A Falls x 2 D 1 eine Lösung besitzt . . .
4-B
Konstruktion der komplexen Zahlen .
4-C
Einige elementare Eigenschaften . . .
4-D Diverses . . . . . . . . . . . . . . . .
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33
34
35
36
39
Folgen
5-A Metrische Räume . . . . . . . .
5-B
Häufungspunkt und Konvergenz
5-C
Grenzwertsätze . . . . . . . . .
5-D Existenzsätze . . . . . . . . . .
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43
43
46
48
54
Reihen
6-A Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6-B Absolute Kovergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
59
62
4
5
6
Einige Grundlagen
1-A Aussagen .
1-B
Mengen . .
1-C
Relationen .
1-D Funktionen
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9
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1-B
1-B
1
Mengen
6
Mengen
»Deﬁnition« (Cantor 1895) Eine Menge ist eine Zusammenfassung M von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen. Einige Grundlagen
1.5
Extensionsprinzip Eine Menge ist eindeutig bestimmt durch die in ihr enthaltenen Elemente. 1-A
Aussagen
Teilmengen
1.1
Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten Eine Aussage ist entweder wahr oder
falsch. A und B Mengen:
A B , x 2 A ) x 2 B:
1.2
Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch Eine Aussage ist nicht gleichzeitig wahr und falsch. Damit
A D B , A B ^ B A:
Logische Verknüpfungen
Die leere Menge
Konjunktion:
A ^ B,
»A und B «
Disjunktion:
A _ B,
»A oder B «
Implikation:
A ) B,
»wenn A , so B «
Äquivalenz:
A , B,
»A genau dann, wenn B «
∅ D fg
ist Teilmenge jeder Menge.
M D fx W A.x/g
Sätze
1.3
Distributivgesetz Für Aussagen A; B; C gilt:
A _ .B ^ C / , .A _ B/ ^ .A _ C /:
Sätze von de Morgan Für Aussagen A und B gilt:
:.A _ B/ , :A ^ :B;
:.A ^ B/ , :A _ :B:
oder bezogen auf eine Grundmenge X ,
M D fx 2 X W A.x/g X;
A ^ .B _ C / , .A ^ B/ _ .A ^ C /;
1.4
Charakterisierung durch Eigenschaften
mit einer Aussageform A.x/ .
Mengenoperationen
Vereinigung:
Durchschnitt:
Differenz:
A [ B D fx W x 2 A _ x 2 B g
A \ B D fx W x 2 A ^ x 2 B g
A B D fx W x 2 A ^ x … B g
Komplement in A:
CA B D A B ,
falls B A
7
Mengen
1-B
1-B
Mengen
Einschub: Quantoren
Gilt
A \ B D ∅;
Generalisator oder Allquantor
8x 2 X W P .x/
so heißen A und B disjunkt.
9x 2 X W P .x/
Distributivgesetz Für Mengen A; B; C gilt:
A \ .B [ C / D .A \ B/ [ .A \ C /;
A [ .B \ C / D .A [ B/ \ .A [ C /:
1.7
»für alle x 2 X gilt P .x/«
Partikularisator oder Existenzquantor
Sätze
1.6
8
»für ein x 2 X gilt P .x/«
»ein« im Sinne von »wenigstens ein«. Damit
\
˚
A D x W 8 2 I W x 2 A ;
2I
[
Sätze von de Morgan Für Teilmengen A; B einer Menge M gilt:
˚
A D x W 9 2 I W x 2 A :
2I
CM .A [ B/ D CM A \ CM B;
CM .A \ B/ D CM A [ CM B:
Mengenfamilien
Negation:
: 8x 2 X W P .x/ , 9x 2 X W :P .x/
: 9x 2 X W P .x/ , 8x 2 X W :P .x/
Noch ein Symbol:
Sei I eine beliebige Indexmenge.
9!x 2 X W P .x/»für genau ein x 2 X gilt P .x/«
.A /2I
heißt Familie oder System von Mengen A .
Durchschnitt
\
˚
A D x W x 2 A für alle 2 I ;
Übung:
9!x 2 X W P .x/
, 9x 2 X W .P .x/ ^ .8y 2 X W .P .y/ ) y D x//:
2I
Vereinigung
[
˚
A D x W x 2 A für ein 2 I :
2I
1.8
Sätze von de Morgan Für eine Familie .A /2I von Teilmengen einer Menge M gilt:
[
\
CM
A D
CM A ;
2I
CM
\
2I
2I
A D
[
2I
CM A :
Kartesisches Produkt
A B D f.a; b/ W a 2 A ^ b 2 B g
Elemente sind geordnete Paare .a; b/:
.a; b/ D .u; v/ , a D u ^ b D v:
Potenzmenge
Potenzmenge einer Menge M :
P .M / D fA W A M g:
9
Relationen
1-C
1-C
Relationen
10
Deﬁnition Eine Relation in A heißt
Russelsche Antinomie
(i) reﬂexiv, falls
Das Objekt
a a,
(ii) symmetrisch, falls
R D fM W M … M g
(iii) transitiv, falls
kann keine Menge sein, da weder R 2 R noch R … R wahr sein können.
a b ) b a,
a b ^ b c ) a c,
(iv) antisymmetrisch, falls
a b ^ b a ) a D b,
jeweils für alle a; b; c 2 A. Axiome der Mengen
1.9
Extensionsaxiom Zwei Mengen A und B sind gleich genau dann, wenn
sie dieselben Elemente enthalten. 1.10 Komprehensionsaxiom Zu jeder Menge A und jeder Eigenschaft P gibt
es eine Menge B , bestehend aus genau den Elementen von A , die die Eigenschaft
P besitzen. Deﬁnition Eine reﬂexive, symmetrische und transitive Relation auf A heißt Äquivalenzrelation in A. Generische Bezeichnung: .
Ist eine Äquivalenzrelation auf A, so heißt
Œa D fb 2 A W b ag
1.11 Vereinigungsaxiom Zu jeder Menge M , deren Elemente Mengen sind, exiS
stiert eine Menge M , bestehend aus genau den Elementen, die in wenigstens einer
der Elemente von M enthalten sind. die Äquivalenzklasse oder Restklasse von a, und jedes Element b 2 Œa heißt ein
Repräsentant von Œa . Die Menge
˚
Œa W a 2 A DW A=
1.12 Potenzmengenaxiom Zu jeder Menge M existiert eine Menge P .M /, die
aus genau den Teilmengen von M besteht. heißt Restklassenmenge modulo von A.
1.13
Unendlichkeitsaxiom Es gibt eine induktive Menge N : ∅ 2 N und
M 2 N ) fM; fM gg 2 N:
Dazu noch zwei bis drei weitere Axiome . . . .
1-C
Relationen
Deﬁnition Eine Zerlegung einer Menge A ist eine Familie .A /2I von nichtleeren, disjunkten Teilmengen von A, deren Vereinigung A ist. Mit anderen Worten:
A ¤ ∅
für alle 2 I ,
A \ A D ∅ für alle ¤ in I ,
S
2I A D A.
1.14 Satz Ist eine Äquivalenzrelation auf A, so ist A= eine Zerlegung von
A . Und umgekehrt: Jede Zerlegung von A ist die Restklassenmenge genau einer
Äquivalenzrelation auf A. Deﬁnition Eine Relation in einer Menge A ist eine Teilmenge von A A. Ist A A eine solche Teilmenge, so schreibt man
a b , .a; b/ 2 :
Ordnungsrelationen
Deﬁnition Eine reﬂexive, transitive und antisymmetrische Relation auf A heißt
Ordnung oder Ordnungsrelation auf A. 11
Funktionen
1-D
Generische Bezeichnung , gelesen »vor«. Ist eine Ordnung auf A , so heißt
das Paar .A; / eine geordnete Menge.
Deﬁnition Eine geordnete Menge .A; / heißt total geordnet, falls für alle a; b 2
A gilt:
a b _ b a:
1-D
Funktionen
12
Die Menge
˚
G D .a; b/ 2 A B W b D f .a/ A B
heißt Graph von f . Dieser deﬁniert eine Relation zwischen A und B , die funktional
ist:
.a; b/ 2 G ^ .a; c/ 2 G
)
b D c:
Weitere Bezeichnungen:
Mengentheoretische Deﬁnition Eine Funktion oder Abbildung f W A ! B ist
gegeben durch eine funktionale Relation G zwischen Mengen A und B mit
a b W, b a;
a b W, a b ^ a ¤ b;
fag B \ G ¤ ∅;
a b W, b a:
1.15 Satz Ist .A; / eine total geordnete Menge, so gilt für je zwei Elemente
a; b 2 A genau eine der Aussagen
a b;
a D b;
a b:
a 2 A:
Mit anderen Worten: zu jedem a 2 A existiert genau ein Paar .a; b/ 2 G .
Eine Funktion ist ein Objekt, das aus einem Deﬁnitionsbereich, einem Wertebereich, und einer Zuordnungsvorschrift besteht. Zwei Funktionen
f W A ! B;
gW U ! V
sind daher gleich dann und nur dann, wenn
1-D
Funktionen
A D U;
Umgangssprachliche Deﬁnition Unter einer Funktion oder Abbildung f von einer Menge A nach einer Menge B versteht man eine »Vorschrift«, die jedem Element a 2 A genau ein Element b 2 B »zuordnet«, geschrieben
f W A ! B;
a 7! b D f .a/:
Dieses zugeordnete Element b heißt der Funktionswert von f an der Stelle a,
oder auch der Bildpunkt des Urbildes a unter f .
Man nennt A den Deﬁnitionsbereich und B den Wertebereich von f , geschrieben
A D D.f /;
B D W .f /:
Die Bildmenge von f ist
f .A/ WD fb 2 B W b D f .a/ für ein a 2 Ag B
B D V;
und f .a/ D g.a/
für alle a 2 A:
Einige Begriffe
Eine Abbildung f W A ! B heißt
injektiv oder eineindeutig, wenn jedes Bild höchstens ein Urbild besitzt:
f .a/ D f .b/ ) a D b;
a; b 2 AI
surjektiv, wenn ihre Bildmenge gleich ihrem Wertebereich ist: zu jedem b 2
B existiert ein a 2 A mit b D f .a/;
bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
13
Funktionen
1-D
Ist f W A ! B bijektiv, so ist ihre Umkehrfunktion oder Umkehrabbildung
f
1
W B ! A;
b 7! a D f
1
Diese werden kurz in Form eines n -Tupels
angegeben; xk heißt die k-te Koordinate des Tupels.
n-Tupel können also aufgefaßt werden als Funktionen auf f1; : : : ng. Dementsprechend gilt:
.x1 ; : : : ; xn / D .y1 ; : : : ; yn / , xk D yk ;
a 7! g.f .a//;
gelesen »g nach f « oder auch »g Kringel f «.
Eine Funktion f W A ! B heißt umkehrbar, wenn es eine Funktion f W B ! A
gibt, so dass
X n WD f.x1 ; : : : ; xn / W xk 2 X; 1 k ng
f B f D idB :
(ii) surjektiv genau dann, wenn es hW B ! A gibt mit f B h D idB ,
(iii) bijektiv genau dann, wenn f umkehrbar ist; in diesem Fall ist
f 1 D f . Satz
(i) Ist f umkehrbar, so ist auch f
1
umkehrbar, und es gilt
.f 1 /1 D f:
ist vollständig beschrieben durch ihre Funktionswerte xk D f .k/ für k D 0; 1; ; : : : .
Diese werden in Form einer Folge
.x0 ; x1 ; : : : / D .xk /k0 D .xk /
angegeben.
Folgen können also aufgefaßt werden als Funktionen mit Deﬁnitionsbereich N .
Operationen
(ii) Sind f und g umkehrbar und g B f erklärt, so ist auch g B f umkehrbar,
und es gilt
.g B f /1 D f 1 B g 1 :
Spezielle Funktionen: Tupel, Folgen, Operationen
Tupel
Eine Funktion
fW N!X
Satz Die Funktion f W A ! B ist
(i) injektiv genau dann, wenn es gW B ! A gibt mit g B f D idA ,
1.17
1 k n:
Das n-fache kartesische Produkt einer Menge X ist die Menge aller n-Tupel mit
Koordinaten in X :
Folgen
1.16
14
.x1 ; : : : ; xn / D .xk /1kn
Sind f W A ! B und gW B ! C zwei Funkionen, so ist ihre Komposition oder
Hintereinanderausführung erklärt:
f B f D idA ;
Funktionen
.b/
dadurch erklärt, dass a D f 1 .b/ das eindeutige Element in A mit f .a/ D b ist.
g B f W A ! C;
1-D
Eine Funktion
W X X ! X;
die jedem Paar .a; b/ in X X ein Element c in X zuordnet, kann aufgefasst werden als eine binäre Operation oder zweistellige Verknüpfung auf X . Schreibweise:
c D a b WD .a; b/:
Eine Funktion
f W f1; : : : ; ng ! X
ist vollständig beschrieben durch ihre n Funktionswerte
xk D f .k/;
1 k n:
Deﬁnition Eine binäre Operation auf einer Menge X heißt
kommutativ, falls a b D b a,
assoziativ, falls .a b/ c D a .b c/,
für alle a; b; c 2 X . 15
Funktionen
1-D
Bemerkung. Ist eine Operation nicht kommutativ, so bedeutet das nicht, dass
a b ¤ b a für alle a und b gilt. Es genügt ein einziges Beispiel dieser Art. 1-D
Funktionen
16
2-B
Körperaxiome
18
Bemerkung. Aus den Axiomen folgt, dass die neutralen und die inversen Elemente eindeutig sind. Dies muss also nicht explizit gefordert werden. 2
Man schreibt x für das eindeutig bestimmte additiv Inverse zu x , und
Die reellen Zahlen
1
D 1=x D x 1
x
für sein eindeutig bestimmtes multiplikativ Inverses, falls x ¤ 0. Ferner
2.1
Satz Die reellen Zahlen bilden einen ordnungsvollständigen, angeordneten
Körper, der mit R bezeichnet wird. x y WD x C .y/
und
x
1
WD x D x=y D xy 1 ;
y
y
2-A
Dann ist .x; y/ 7! x y eine Operation auf K , genannt Subtraktion. Dagegen ist
.x; y/ 7! x=y eine Operation auf
Körperaxiome
Deﬁnition Eine Menge K mit zwei binären Operationen C und , genannt Addition und Multiplikation, heißt Körper, wenn gilt:
(A-1)
Die Addition ist assoziativ und kommutativ.
(A-2)
Es gibt ein Element 0 2 K , genannt neutrales Element der Addition, so
dass
x C 0 D x;
Zu jedem x 2 K existiert ein Element y 2 K , genannt additiv Inverses zu
x , so dass x C y D 0.
(M-1)
Die Multiplikation ist assoziativ und kommutativ.
(M-2)
Es gibt ein Element 1 2 K verschieden von 0, genannt neutrales Element
der Multiplikation, so dass
(M-3)
Zu jedem 0 ¤ x 2 K existiert ein Element y 2 K , genannt multiplikativ
Inverses zu x , so dass x y D 1.
(D)
Es gilt das Distributivgesetz:
Kürzere Schreibweise:
x.y C z/ D xy C xz:
genannt Division.
2.2
Satz In einem Körper K besitzt
(ii) ax D b für a ¤ 0 die eindeutige Lösung x D b=a. 2.3
Satz In einem Körper K gilt:
(i) .x/ D x ,
(ii) .x 1 /1 D x;
x 2 K:
x .y C z/ D .x y/ C .x z/;
K D K f0g;
(i) a C x D b die eindeutige Lösung x D b a, und
x 2 K:
(A-3)
x 1 D x;
y ¤ 0:
x; y; z 2 K:
x ¤ 0,
(iii) 0 x D 0,
(iv) .1/ x D x ,
(v) x .y z/ D x y x z ,
(vi) x y D 0 ) x D 0 _ y D 0. 19
Ordnungsaxiome
2-B
2-B
Ordnungsaxiome
Deﬁnition Ein Körper K heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf K
gibt, für die gilt:
(O-1)
x < y ) x C z < y C z,
(O-2)
0 < x ^ 0 < y ) 0 < x y. jxj x ,
(ii) jxj D 0 , x D 0,
(iii) jxyj D jxjjyj,
sowie x y und x > y . Es gilt dann insbesondere auch hier:
2.4
Satz Für je zwei Elemente x und y eines angeordneten Körpers K gilt
genau eine der Relationen
x > y:
Bezeichnungen Ein Element x 2 K heißt positiv, falls x > 0, nichtnegativ, falls
x 0, nichtpositiv, falls x 0, und negativ, falls x < 0. 2.5
20
Satz Für die Betragsfunktion jj gilt:
(i) jxj D jxj 0,
x < y W, x y ^ x ¤ y
x D y;
Vollständigkeitsaxiom
In einem angeordneten Körper ist der absolute Betrag jxj eines Elementes deﬁniert durch
(
x für x 0;
jxj WD
x für x < 0:
2.6
Hier deﬁniert man analog zu Abschnitt 1-C
x < y;
2-C
Satz In einem angeordneten Körper K gilt:
(i) x > y ) x y > 0,
(iv) jx C yj jxj C jyj
2.7
Korollar In einem angeordneten Körper gilt auch die »umgekehrte Dreiecksungleichung«
ˇ
ˇ
jx yj ˇjxj jyjˇ:
2-C
Vollständigkeitsaxiom
Sei K eine total geordnete Menge – die Körperaxiome werden im Folgenden nicht
benötigt. Eine nichtleere Teilmenge A K heißt nach oben beschränkt, wenn es
ein c 2 K gibt mit
(ii) x > y ^ u > v ) x C u > y C v ,
(iii) a > 0 ^ x > y ) ax > ay ,
(Dreiecksungleichung). x c;
x 2 A:
(vi) a < 0 ^ x > y ) ax < ay ,
Man schreibt auch A c und nennt c eine obere Schranke von A.
Analog heißt A nach unten beschränkt, wenn es ein c 2 K mit c A gibt. Ein
solches c heißt untere Schranke von A. Ist A nach oben und unten beschränkt, so
heißt A beschränkt.
(vii) x ¤ 0 ) x 2 > 0. Deﬁnition Eine geordnete Menge K heißt ordnungsvollständig, wenn gilt:
(iv) x > 0 ) x < 0,
x < 0 ) x > 0 ,
(v) x > 0 ^ y < 0 ) xy < 0,
x < 0 ^ y < 0 ) xy > 0 ,
(V)
Insbesondere folgt aus (vii) mit x D 1:
1 > 0;
was wir a priori nicht wussten.
Jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge A besitzt eine kleinste
obere Schranke. Diese kleinste obere Schranke von A wird Supremum von A genannt und mit
sup A bezeichnet. Es gilt dann
A sup A c
21
Vollständigkeitsaxiom
2-C
für jede obere Schranke c von A .
Eine andere Charakterisierung der Vollständigkeit gibt der folgende Satz. Für
zwei nichtleere Teilmengen A und B schreibt man analog A B , wenn a b für
alle a 2 A und b 2 B .
2-C
Vollständigkeitsaxiom
22
Notation Ist eine Teilmenge A von R nach oben beschränkt, so ist sup A eine
reelle Zahl, und wir schreiben
sup A < 1:
Andernfalls ist A nach oben unbeschränkt, wofür wir
2.8
Satz In einer total geordneten Menge K sind die folgenden Aussagen äquivalent.
(i) K ist ordnungsvollständig.
(ii) Zu je zwei nichtleeren Teilmengen A und B mit A B existiert ein Element
c 2 K mit A c B .
(iii) Jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge A besitzt eine größte untere Schranke. Diese größte untere Schranke von A wird Inﬁmum von A genannt und mit inf A
bezeichnet. Es gilt also
c inf A A
für jede untere Schranke c von A .
2.9
Beispiel und Satz Der Körper der rationalen Zahlen ist nicht ordnungsvollständig. sup A D 1
schreiben. Analoges gilt für die Schreibweisen inf A > 1 und inf A D 1.
2.10
Satz Sei A R nicht leer und x 2 R . Dann gilt:
(i) Ist x < sup A, so existiert ein a 2 A mit x < a.
(ii) Ist x > inf A, so existiert ein a 2 A mit a < x . Schlussbemerkung
Der folgende Satz beschreibt, in welchem Sinn es »bis auf Isomorphie« nur einen
ordnungsvollständigen, angeordneten Körper gibt.
2.11 Satz Ist .S; ˚; ˇ/ neben .R; C; / ein weiterer ordnungsvollständiger, angeordneter Körper, so existert eine bijektive Abbildung
˚W R ! S
mit folgenden Eigenschaften:
Maximum und Minimum
Besitzt eine nichtleere Teilmenge A einer total geordneten Menge K ein maximales
Element t :
At
und t 2 A;
so nennt man dies das Maximum von A, geschrieben max A . Da K total geordnet
ist, ist dieses Maximum eindeutig. Zugleich ist es das Supremum von A :
max A D sup A:
Entsprechend wird ein minimales Element s von A :
s A und s 2 A;
als Minimum von A bezeichnet, geschrieben min A . Dieses ist dann zugleich das
Inﬁmum dieser Menge: min A D inf A.
(i) ˚.x C y/ D ˚.x/ ˚ ˚.y/ ,
(ii) ˚.x y/ D ˚.x/ ˇ ˚.y/,
(iii) x y ) ˚.x/ ˚.y/. 3-A
Die natürlichen Zahlen
24
(ii) Induktionsschritt (IS):
Induktionsannahme: Nehme an, A.n/ ist richtig.
Induktionsschluss: Folgere daraus, dass auch A.n C 1/ richtig ist.
Die Mengen N, Z, Q
3
Dann ist die Aussage A.n/ für alle n 2 N bewiesen.
Satz Für n; m 2 N gilt:
3.3
(i) n 0.
(ii) n C m 2 N sowie nm 2 N .
3-A
Die natürlichen Zahlen
Deﬁnition Eine Teilmenge M von R heißt induktiv, wenn gilt:
(i) 0 2 M ,
(ii) Ist x 2 M , so ist auch x C 1 2 M . 1F
Die Menge fm C n=3 W m; n 2 Ng ist induktiv, ebenso Z, Q und R . G
Der Durchschnitt einer Familie induktiver Mengen ist wieder eine induktive Menge. Die kleinste solche Menge erhält man, indem man über alle induktiven Teilmengen der reellen Zahlen schneidet. Dies charakterisiert die natürlichen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen.
Deﬁnition Die Menge N der natürlichen Zahlen ist der Durchschnitt aller induktiven Teilmengen von R . 3.1
(iii) Es ist entweder n D 0 oder n 1 2 N .
(iv) Ist n m, so ist n m 2 N .
(v) Ist n < m n C 1, so ist m D n C 1. Es ist also zum Beispiel min N D 0 wegen (i), und zwischen n und n C 1 liegt
keine weitere natürliche Zahl wegen (v).
Als ein weiteres Beispiel für die vollständige Induktion erwähnen wir die Grundlage des euklidischen Algorithmus, auch als Division mit Rest bekannt. Setze
N D N f0g:
Satz Zu jedem n 2 N und m 2 N existieren ein k 2 N und ein r 2 N mit
3.4
n D km C r;
(j)
r < m:
Zusatz Die Darstellung (j) ist eindeutig. 3.5
Wir bemerken noch, dass die Induktion nicht immer bei 0 beginnen muss.
Induktionsprinzip II Sei A.n/ eine Aussageform, für die gilt:
Satz Ist N eine induktive Teilmenge von N , so ist N D N . 3.6
Vollständige Induktion
Dann ist A.n/ für alle natürlichen Zahlen n n0 richtig. (i) A.n0 / ist richtig für ein n0 2 N .
(ii) Ist A.n/ richtig für irgendein n n0 , so ist auch A.n C 1/ richtig.
3.2
Induktionsprinzip I Sei A.n/ eine Aussageform, für die gilt:
(i) A.0/ ist richtig.
2F
(ii) Ist A.n/ richtig, so ist auch A.n C 1/ richtig.
Satz vom Minimum
Das ist A.n/ für alle n 2 N richtig. 3.7
Um einen Beweis mit Hilfe der vollständigen Induktion zu führen, ist also Folgendes zu tun.
(i) Induktionsanfang (IA): Zeige, A.0/ ist richtig.
Man zeigt durch Induktion, dass 2n > n2 für alle n 2 N mit n 5. G
Satz Jede nichtleere Teilmenge von N besitzt ein Minimum. Bemerkung. Aus diesem Satz folgt, dass es keine uninteressanten natürlichen
Zahlen gibt. 25
Die natürlichen Zahlen
3-A
///// Angenommen, die Menge U D fn 2 N W n ist uninteressantg ist nicht
leer. Dann existiert m D min U , die kleinste uninteressante natürliche Zahl.
Das ist natürlich eine sehr interessante Zahl – Widerspruch . . . /////
3.8
Satz und Anwendungsbeispiel Jede natürliche Zahl n 2 besitzt eine
Zerlegung in endlich viele Primfaktoren. Bemerkung. Diese Zerlegung ist auch eindeutig bis auf die Anordnung der Primfaktoren. Siehe [AE, S. 40]. Die natürlichen Zahlen
5 F In einem beliebigen Körper K sind die Potenzen an eines Elementes a erklärt durch
a0 WD 1;
an WD a an1 ;
n 1:
Mit Induktion beweist man die üblichen Potenzgesetze:
an am D anCm ;
.an /m D anm :
Die Fakultät n! einer natürlichen Zahl n ist rekursiv deﬁniert durch
a0 C a1 C C an D
0! WD 1;
n! WD n .n 1/!;
n 1:
ak :
Deren rekursive Deﬁnition ist
0
X
1! D 1 0! D 1;
ak WD a0 ;
kD0
2! D 2 1! D 2 1;
n
X
3! D 3 2! D 3 2 1;
:::
n! D n .n 1/ : : : 2 1:
kD0
G
ak WD
n1
X
ak C an ;
3.9
Satz Es gibt genau n! verschiedene Bijektionen der Menge f1; : : : ; ng auf
sich selbst. Die Fibonacchi-Folge
.0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; : : : / D .fn /n0
ist rekursiv erklärt durch
f0 D 0;
f1 D 1;
n 2:
G
n 1:
kD0
Entsprechend Produkte:
a0 a1 : : : an D
fn D fn1 C fn2 ;
n
X
kD0
Also
4F
26
G
Sei X eine beliebige Menge mit Operation C, die wir als Addition betrachten.
Sind a0 ; : : : ; an 2 X , so schreibt man deren Summe als
Rekursion
3F
3-A
n
Y
kD0
ak :
27
Die natürlichen Zahlen
3-B
3.10 Satz Ist C eine assoziative und kommutative Operation auf X , so ist die
P
Summe nkD0 ak unabhängig von der Reihenfolge der Summanden. Entsprechendes
gilt für Produkte. Bemerkung. Der »Lauﬁndex« kann durch ein beliebiges anderes Zeichen ersetzt werden:
n
X
ak D
kD0
n
X
al D
n
X
a :
D0
lD0
Ebenso kann er über andere Intervalle der natürlichen Zahlen laufen:
(
q
X
X
0
für q < p;
ak WD
ak WD
C
C
a
für
q p:
a
p
q
kDp
pkq
3-B
Die ganzen und die rationalen Zahlen
3-B
28
Die ganzen und die rationalen Zahlen
Deﬁnition
˚
Z WD n W n 2 N _ n 2 N
heißt Menge der ganzen Zahlen. Man schreibt auch Z D f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : :g und nennt
˚
˚
N D n 2 Z W n < 0 ;
NC D n 2 Z W n > 0
die Menge der negativen und der positiven ganzen Zahlen.
Es ist also
Z D N [ f0g [ NC :
3.11
Satz In einem Körper gilt:
n
n
n
X
X
X
ak C
bk D
.ak C bk /.
(i)
(ii)
(iii)
kD0
n
X
kD0
n
X
kD0
kD0
abk D a
n
X
3.13 Satz In der Menge Z der ganzen Zahlen gelten alle Axiome eines angeordneten Körpers mit Ausnahme der Existenz eines multiplikativen Inversen. kD0
bk :
kD0
ak m
X
bl D
lD0
X
3.14 Satz Jede nach unten beschränkte Menge ganzer Zahlen besitzt ein Minumum. ak bl : 0kn
0lm
Deﬁnition
3.12
Satz Sei X eine beliebige Menge, und für jedes n 2 N sei eine Abbildung
˚
Q WD m=n W m 2 Z ^ n 2 Z
heißt Menge der rationalen Zahlen. n W X n ! X
gegeben. Dann existiert zu jedem a 2 X eine Abbildung f W N ! X mit
(i) f .0/ D a ,
(ii) f .n/ D n .f .0/; : : : ; f .n 1//;
n 1. 3.15 Satz Die Menge Q de rationalen Zahlen bildet einen angeordneten Körper. 29
Abzählbarkeit und Mächtigkeit
3-C
3-C
Abzählbarkeit und Mächtigkeit
30
Das Prinzip des Archimedes
3.16
Satz Die Menge der ganzen Zahlen ist nach oben unbeschränkt. 3.17 Prinzip des Archimedes Zu jeder positiven reellen Zahl h und jeder reellen Zahl x existiert genau eine ganze Zahl n mit
.n 1/h x < nh:
3.18
Korollar
(i) Zu jeder reellen Zahl " > 0 existiert ein n 2 N mit
0 < 1=n < ":
3.21
Satz Für alle n 2 N ist f1; : : : ; ng N . Deﬁnition Eine Menge M heißt
(i) endlich, falls M D ∅ oder M f1; : : : ; ng für ein n 2 N ,
(ii) abzählbar unendlich, falls M N ,
(iii) überabzählbar in allen anderen Fällen.
Sie heißt abzählbar, wenn sie endlich oder abzählbar unendlich ist. (ii) Ist a 2 R , und gilt 0 a 1=n für alle n 2 N , so ist a D 0 . 3.19 Satz Zu zwei beliebigen reellen Zahlen a < b existiert immer eine rationale
Zahl r mit a < r < b . 3-C
Abzählbarkeit und Mächtigkeit
Fragen:
Gibt es mehr rationale Zahlen als natürliche Zahlen?
Bemerkung. Wegen des letzten Satzes ist eine Menge nicht gleichzeitig endlich
und abzählbar unendlich. Die Deﬁnition ist also sinnvoll. Deﬁnition Die Anzahl oder Kardinalität einer Menge ist
8
ˆ
ˆ
< 0; falls M D ∅;
WD
jM j
n; falls M f1; : : : ; ng;
ˆ
:̂ 1 sonst:
Andere Bezeichnungen:
Gibt es mehr reelle Zahlen als rationale Zahlen?
jM j D # M D card M D Anz.M /:
Gibt es Mengen, die noch »größer« sind als die Menge der reellen Zahlen?
Deﬁnition Zwei Mengen X und Y heißen gleichmächtig oder äquipotent, in Symbolen X Y , wenn es zwischen ihnen eine Bijektion gibt. 6F
N , 2N D f2n W n 2 Ng und Z sind gleichmächtig. G
Abzählbare Mengen
3.22
Satz Jede Teilmenge von N ist entweder endlich oder abzählbar unendlich.
3.23
Korollar Jede Teilmenge einer abzählbaren Menge ist abzählbar. 3.24
Satz Die Menge N N ist abzählbar. 3.20 Satz Die Mengen f1; : : : ; ng und f1; : : : ; mg sind gleichmächtig genau
dann, wenn n D m . Hierbei natürlich n; m 2 N .
31
Abzählbarkeit und Mächtigkeit
3-C
3.25 Korollar Die Vereinigung und das kartesische Produkt zweier abzählbarer
Mengen ist abzählbar. 3.26
Satz Die Menge Q der rationalen Zahlen ist abzählbar. Überabzählbare Mengen
3.27 Satz Sei X eine beliebige Menge. Dann gibt es keine Surjektion von X auf
P .X /. Bemerkung. Also gibt es insbesondere auch keine Bijektion, somit X P .X /
für jede beliebige Menge. Somit ist P .N/ überabzählbar, und jede der Mengen
N;
P .N/;
P .P .N//;
P .P .P .N///;
:::
ist mächtiger als die vorangehenden.
3.28
Satz Die Menge R der reellen Zahlen ist überabzählbar. 3-C
Abzählbarkeit und Mächtigkeit
32
Falls x 2 D 1 eine Lösung besitzt . . .
4-A
34
Mit anderen Worten, eine Gleichung wie
x2 D a < 0
ist unerfüllbar.
4
Die komplexen Zahlen
Trotzdem – eigentlich möchte man auch eine Gleichung wie
x 2 D 1
lösen . . .
»Zahlengebäude«
NZQR
Dies führt bekanntlich zur Erweiterung der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen:
N Z Q R C:
Die negativen und ganzen Zahlen wurden eingeführt, oder »erfunden«, um uneingeschränkt die Gleichung
Dieser Körper kann dann natürlich nicht mehr angeordnet sein!
mCx Dn
innerhalb dieses Zahlensystems lösen zu können – und zwar mit
4-A
x D n m:
Die rationalen Zahlen wurden eingeführt, um uneingeschränkt die Gleichung
ax D b;
a ¤ 0;
innerhalb dieses Zahlensystems lösen zu können – und zwar mit
Beide Gleichungen, m C x D n und ax D b , sind übrigens linear in x .
Die rationalen Zahlen wurden schließlich zu dem angeordneten Körper der reellen Zahlen vervollständigt, um die nichtlineare Gleichung
a 0;
a 0; n 1;
uneingeschränkt lösen zu können.
Mehr ist auch nicht zu erwarten, denn in jedem angeordneten Körper gilt ja
x 2 0:
i 2 D 1:
i … R:
Dann auch alle Ausdrücke – oder »Zahlen« – der Form
z WD x C iy 2 K;
x; y 2 R:
Dabei nennt man
und allgemeiner
x n D a;
Angenommen, es gibt einen Erweiterungskörper K R und ein Element – oder
auch eine »Zahl« – i 2 K mit
Dann jedenfalls
x D b=a:
x 2 D a;
Falls x 2 D 1 eine Lösung besitzt . . .
Re z WD x;
Im z WD y
den Realteil respektive Imaginärteil von z .
Real- und Imaginärteil sind dann auf jedenfall eindeutig bestimmt: . . .
35
Konstruktion der komplexen Zahlen
4-B
Wir setzen jetzt
˚
C WD x C iy 2 K W x; y 2 R K:
4.1
Behauptung
4-C
Einige elementare Eigenschaften
36
Dieser Körper ist eine Erweiterung von R in folgendem Sinn: Die Abbildung
W R ! K;
x 7! .x/ D .x; 0/
C mit den von K ererbten Operationen ist ein Körper. ist injektiv und »bettet« R in K »operationsverträglich« ein:
.x C y/ D .x/ ˚ .y/;
Für
z WD x C iy;
.x y/ D .x/ ˇ .y/:
w WD u C iv
sind diese Operationen
z C w D .x C u/ C i.y C v/
und z w D xw C ixv C iyw C i 2 yv , also wegen i 2 D 1
z w D .xw yv/ C i.xv C yw/:
Damit haben wir erkannt: Wenn es überhaupt einen Erweiterungskörper K von
R mit der gewünschten Eigenschaft gibt, so enthält dieser immer den Körper C .
Wir können deshalb R mit
˚
im D .x; 0/ 2 K W x 2 R
identiﬁzieren und so in K wiederﬁnden.
Setzen wir jetzt noch
.1; 0/ DW 1;
.0; 1/ DW i;
so wird
.x; y/ D .x; 0/ C .0; y/
Diesen Körper C nennt man den Körper der komplexen Zahlen und bezeichnet
ihn mit C .
Dx 1Cy i
DW x C iy
Dz
eine komplexe Zahl in vertrauter Schreibweise.
4-B
Konstruktion der komplexen Zahlen
Setze K D f.x; y/ W x; y 2 Rg D R R und deﬁniere
Mit anderen Worten: 1 und i sind Basisvektoren des zweidimensionalen reellen Vektoraumes K , und z D x C iy ist eine kompakte Schreibweise für deren
Linearkombination.
.x; y/ ˚ .u; v/ WD .x C u; y C v/;
.x; y/ ˇ .u; v/ WD .xu yv; xv C yu/:
4-C
4.2
Satz
Einige elementare Eigenschaften
.K; ˚; ˇ/ ist ein Körper. Schreiben im Folgenden aber wieder C und .
Von nun an
C D fx C iy W x; y 2 Rg:
37
Einige elementare Eigenschaften
4-C
Die komplexe Konjugation:
W C ! C;
.x C iy/ D x iy:
Übliche Schreibweise: .z/ D zN , und zN heißt die zu z komplex konjugierte Zahl.
4-D
4.4
Einige elementare Eigenschaften
Satz Für komplexe Zahlen gilt:
(i) jzj 0, und jzj D 0 , z D 0.
(ii) jRe zj jzj;
jIm zj jzj.
(iii) jz1 z2 j D jz1 jjz2 j.
(iv) jz1 C z2 j jz1 j C jz2 j
Es gilt ›offensichtlich‹
38
(Dreiecksungleichung). zN D ..z// D z;
Fundamentalsatz der Algebra
oder funktional ausgedrückt:
2 WD B D idC :
Solche Abbildungen heißen Involutionen. Sie sind zum Beispiel immer umkehrbar,
und es gilt 1 D .
4.3
Satz Für komplexe Zahlen gilt:
1
1
(i) Re z D .z C zN /, Im z D .z zN /.
2
2i
(ii) z 2 R , zN D z .
(iii) z1 C z2 D zN1 C zN2 .
(iv) z1 z2 D zN1 zN2 . x2 C 1 D 0
zu konstruieren. Tatsächlich haben wir damit viel mehr konstruiert:
4.5
Fundamentalsatz der Algebra Jede Gleichung
z n C an1 z n1 C C a1 z C a0 D 0
mit komplexen Koefﬁzienten a0 ; a1 ; : : : ; an1 und n 1 besitzt wenigstens eine
Lösung
2 C:
Der Betrag einer komplexen Zahl
/////
Angenommen, das Polynom
p.z/ D z n C an1 z n1 C C a1 z C a0
Für jedes z 2 C ist
z zN D x 2 C y 2
besitzt keine Nullstelle in C . Dann ist
eine nichtnegative reelle Zahl – man schreibt dafür auch z zN 0.
Man deﬁniert
q
p
jzj WD z zN D x 2 C y 2
als den absoluten Betrag der komplexen Zahl z D x C iy .
Es gilt also
jzjC D jzjR
Unser Ausgangspunkt war, eine Lösung für die Gleichung
für reelles z 2 C:
q.z/ D
1
p.z/
eine auf ganz C erklärte, analytische Funktion. Für diese Funktion gilt:
sup jq.z/j ! 0 für R ! 1:
jzjDR
Dann ist aber nach dem Satz von Liouville q D 0 – was nicht möglich
ist. /////
39
Diverses
4-D
4-D
Diverses
Diverses
40
Intervalle
Deﬁnition Ein Intervall ist eine Teilmenge der reellen Zahlen, die mit je zwei
Punkten auch alle dazwischen liegenden Punkte enthält. Die erweiterte Zahlengerade
1F
4-D
Sei M R nicht leer. Dann ist
Formal: I R ist ein Intervall, wenn gilt:
sup M D 1
x; y 2 I ) z 2 I;
x z y:
genau dann, wenn M nach oben unbeschränkt ist. G
2F
Deﬁnition Unter der erweiterten Zahlengerade versteht man die Menge
N WD R [ f1g [ fC1g
R
RC WD fx 2 R W x > 0g;
R WD fx 2 R W x < 0g:
zusammen mit der Vereinbarung
1 < x < C1;
∅ und R sind Intervalle, ebenso
x 2 R:
Dagegen ist R WD R f0g kein Intervall. G
Wichtig: 1 und C1 sind keine reellen Zahlen.
Deﬁnition Ein nichtleeres Intervall I heißt links abgeschlossen, falls es seinen
linken Endpunkt enthält, also
N eine total geordnete Menge.
Mit dieser Deﬁnition wird R
Im Folgenden schreiben wir kurz 1 für C1.
inf I 2 I
N vereinbaren wir
Für x 2 R
x C 1 WD
1;
x 1 WD 1;
gilt. Entsprechend ist rechts abgeschlossen erklärt. x > 1;
x < 1:
Dagegen ist 1 1 nicht erklärt. Ferner:
(
1; x > 0
x 1 WD
;
1; x < 0
Sei jetzt
a D inf I;
(
x .1/ WD
und
0
WD 0;
1
0
WD 0:
1
Nicht erklärt sind weiterhin
˙1
;
˙1
N auch kein Körper.
Insbesondere ist R
x>0
1; x < 0
;
für ein nichtleeres Intervall I in R .
Ein Intervall I heißt offen, wenn es leer ist, oder wenn es auf beiden Seiten offen
ist. Man schreibt
I D .a; b/ D fx 2 R W a < x < b g;
Alle diese Operationen sollen auch kommutativ sein.
0 .˙1/;
1;
b D sup I;
0
;
0
˙1
:
0
1 a b 1;
mit der Vereinbarung .a; a/ D ∅.
Ein nichtleeres Intervall heißt abgeschlossen, wenn es auf beiden Seiten abgeschlossen ist, und man schreibt
I D Œa; b D fx 2 R W a x b g;
1 < a b < 1:
41
Diverses
4-D
4-D
Diverses
Kreisscheiben
Schließlich gibt es noch die Zwitter:
Œa; b/ D fx 2 R W a x < b g;
42
1 < a b 1;
Für a 2 C und r > 0 heißt
Dr .a/ WD D.a; r / WD fz 2 C W jz aj < r g
und
.a; b D fx 2 R W a < x b g;
1 a b < 1:
die offene Kreisscheibe um a vom Radius r .
Und
Bemerkung. Schreiben wir a D 1, so bedeutet das nicht, dass wir 1 als
reelle Zahl betrachten, sondern nur, dass wir für a das Symbol 1 einsetzen. N
DN r .a/ WD D.a;
r / WD fz 2 C W jz aj r g
heißt die abgeschlossene Kreisscheibe um a vom Radius r .
Zur Erinnerung: Eine Menge M R heißt beschränkt, wenn es reelle Zahlen
m und s gibt mit m M s .
Insbesondere heißen
D WD D1 .0/;
Daraus folgt sofort:
DN WD DN 1 .0/
die offene und abgeschlossene Einheitskreisscheibe.
4.6
Satz Ein Intervall I ist beschränkt genau dann, wenn seine beiden Endpunkte endlich sind. Andernfalls ist es unbeschränkt. 3F
Jedes von R verschiedene unbeschränkte Intervall ist von einer der Formen
.a; 1/;
Œa; 1/;
.1; b/;
.1; b
mit a; b 2 R . G
4F
Ist M R nicht leer, so gilt
M \ .a; 1/ ¤ ∅
für alle a < sup M . G
Deﬁnition Die Länge eines nichtleeren, beschränkten Intervalls I ist
jI j WD sup I inf I:
5F
Für a 2 R und r > 0 ist
Dr .a/ \ R D .a r; a C r /;
DN r .a/ \ R D Œa r; a C r :
G
5-A
Metrische Räume
1F
44
Auf R ist
d.x; y/ WD jx yj
eine Metrik, wie auch
5
Folgen
d.z1 ; z2 / WD jz1 z2 j
eine Metrik auf C ist. Beide werden als natürliche Metriken bezeichnet. G
Ist X eine nichtleere Menge, so kann jede Abbildung
xW N ! X
2F
als eine Folge in X aufgefasst werden. Schreibweisen:
.x0 ; x1 ; x2 ; : : : / D .xn /n2N D .xn /n0 D .xn /;
wobei
Für x; y 2 Rn deﬁniert
d.x; y / WD jx yj WD
q
jx1 y1 j2 C C jxn yn j2
eine Metrik auf Rn , die euklidische oder natürliche Metrik des Rn . Andere Bezeichnungen sind
jx yj D kx yk D jx yj2 :
xn WD x.n/
Für n D 1 und n D 2 ist dies gerade die natürliche Metrik auf R und C , respektive.
G
das n-te Folgenglied der Folge x heißt.
Um die Dreiecksungleichung für die euklidische Metrik zu veriﬁzieren, führen
wir das Standard-Skalarprodukt auf dem Rn ein:
5-A
Metrische Räume
hx;yi WD
Deﬁnition Eine Metrik oder Abstandsfunktion auf einer nichtleeren Menge X ist
eine Abbildung
d W X X ! RC
n
X
xk yk ;
x; y 2 Rn :
kD1
Dies deﬁniert eine Abbildung
h ; iW Rn Rn ! R;
hx;yi WD
xk yk :
kD1
mit den Eigenschaften
(M-1) d.x; y/ D 0 , x D y
(M-2) d.x; y/ D d.y; x/
n
X
(Deﬁnitheit),
(Symmetrie),
(M-3) d.x; z/ d.x; y/ C d.y; z/
jeweils für alle x; y; z 2 X . (Dreiecksungleichung),
Die wesentlichen Eigenschaften dieses Skalarproduktes sind
(i) hx;xi 0,
(ii) hx;yi D hy ;xi
(Symmetrie),
(iii) hx C y ;zi D hx;zi C hy ;zi
(Linearität),
für alle x; y; z 2 Rn und alle ; 2 R .
Wegen der Symmetrie ist das Skalarprodukt auch linear im zweiten Argument.
Man spricht daher von einer bilinearen Form.
45
Metrische Räume
5-B
Der Zusammenhang mit der euklidischen Metrik ist gegeben durch
X
a 2 Rn :
jak j2 ;
jaj2 D ha;ai D
1kn
5.1
Cauchy-Schwarz-Bunjakowski-Ungleichung Für x; y 2 Rn gilt
jhx;yij2 jhx;xij jhy ;yij:
5-B
Häufungspunkt und Konvergenz
5-B
46
Häufungspunkt und Konvergenz
Wir betrachten nun Folgen in einem metrischen Raum X .
Wir vereinbaren folgende Redeweise. Eine Aussage A gilt für unendlich viele
natürliche Zahlen n – bzw Glieder einer Folge –, falls
fn 2 N W A.n/g
unendlich ist; sie gilt für fast alle n, falls
Daraus folgt nun die Dreiecksungleichung für die euklidische Metrik.
5.2
Satz und Beispiel Ist .X; d / ein metrischer Raum, so ist jede Teilmenge
Y X mit der sogenannten induzierten Metrik
dy D d jY Y
ein metrischer Raum. fn 2 N W :A.n/g
endlich ist.
Anders gesagt: Ist die Menge fn 2 N W A.n/g unbeschränkt, so gilt die Aussage
A für unendlich viele n . Ist das Komplement dieser Menge sogar endlich, so gilt A
für fast alle n.
Klar:
Ist a 2 X und r > 0, so nennt man die Menge
»fast alle« ) »unendlich viele«:
Br .a/ WD B.a; r / WD fx 2 X W d.x; a/ < r g
die offene Kugel vom Radius r um a, oder kurz die r -Kugel um a . Entsprechend
heißt
N r / WD fx 2 X W d.x; a/ r g
BN r .a/ WD B.a;
aber nicht umgekehrt.
Deﬁnition Eine Teilmenge U eines metrischen Raumes X heißt Umgebung des
Punktes a 2 X , falls es ein " > 0 gibt mit
die abgeschlossene Kugel vom Radius r um a. Es ist also
BN r .a/ D Br .a/ [ @Br .a/;
wo @Br .a/ WD fx 2 X W d.x; a/ D r g den sogenannten Rand von Br .a/ bildet.
Bemerkung. Die Beispiele und Übungsaufgaben zeigen, dass Kugeln keineswegs wie Kugeln aussehen müssen. 5.3
Satz Zu je zwei verschiedenen Punkten a und b eines metrischen Raumes
gibt es ein " > 0 derart, dass B" .a/ und B" .b/ disjunkt sind. B" .a/ U:
Die Kugel B" .a/ selbst heißt "-Umgebung des Punktes a. Häufungspunkte
Deﬁnition Ein Punkt a 2 X heißt Häufungspunkt der Folge .xn /, falls in jeder
Umgebung von a unendlich viele Folgenglieder liegen. 5.4
Satz Die folgenden Aussagen sind äquivalent.
(i) a ist Häufungspunkt der Folge .xn / .
47
Häufungspunkt und Konvergenz
5-B
(ii) Zu jeder Umgebung U von a und jedem m 0 existiert ein n m mit
xn 2 U .
5-C
xn 2 BN r .b/
Deﬁnition Eine Folge .xn / heißt konvergent mit Grenzwert oder Limes a, falls
jede Umgebung von a fast alle Folgenglieder enthält. Sei .xn / eine Folge. Daraus gewinnen wir eine Teilfolge, indem wir nur einen Teil
der Folgenglieder behalten:
.xn1 ; xn2 ; xn3 ; : : : /;
Schreibweisen:
oder xn ! a
Satz Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
Deﬁnition Ist x D .xn / eine Folge in X , und
W N ! N
streng monoton steigend, so heißt x B W N ! X eine Teilfolge von x , geschrieben
.xnk /k0 ;
(i) limn!1 xn D a.
(ii) Zu jeder Umgebung U von a existiert ein m 0 so, dass xn 2 U für alle
n m.
(iii) Zu jedem " > 0 existiert ein m 0, so dass xn 2 B" .a/ für alle n m. Für die reellen Zahlen mit der natürlichen Metrik erhalten wir damit unter anderem die klassische Formulierung
lim xn D a , 8" > 0 9m 0 8n m W jxn aj < ":
n!1
k 2 N:
/////
Das sollte klar sein. /////
5.10 Satz Eine Folge .xn / besitzt a als Häufungspunkt genau dann, wenn es
eine Teilfolge von .xn / gibt, die gegen a konvergiert. Korollar Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt. 5.8
Satz Konvergente Folgen sind beschränkt. Das heißt, es existiert eine abgeschlossene Kugel in X , die alle Folgenglieder enthält. 5.9
Satz Ist .xn / konvergent, so auch jede Teilfolge von .xn /, und die Grenzwerte stimmen überein. Grundlegende Sätze
5.6
Satz Ist .xn / konvergent, so ist der Grenzwert der Folge auch ihr einziger
Häufungspunkt. nk D .k/:
Man nennt selbst auch eine Auswahlfolge. Durch Induktion zeigt man, dass für
eine Auswahlfolge immer gilt:
.k/ k;
5.7
n 1 < n2 < n3 < : : : :
.n ! 1/;
oder auch kurz lim xn D a und xn ! a . Andere Sprechweise: .xn / konvergiert
gegen a (für n gegen unendlich).
5.5
für alle n:
Teilfolgen
Grenzwerte
lim xn D a
48
Bemerkung. Ist eine Folge .xn / beschränkt, so existiert zu jedem b 2 X ein
r > 0 , so dass
(iii) Zu jedem " > 0 und jedem m 0 existiert ein n m mit xn 2 B" .a/. n!1
Grenzwertsätze
5-C
Grenzwertsätze
49
Grenzwertsätze
5-C
Normierte Vektorräume
Sei E ein Vektorraum über dem Körper K, wobei K für R oder C steht.
Deﬁnition Eine Norm auf dem K-Vektorraum E ist eine Abbildung
kkW E ! RC ;
5-C
Grenzwertsätze
der Raum aller konvergenten Folgen in K. Wegen Satz 5.8 ist tatsächlich c b ,
und natürlich ist c b . G
Da jeder normierte Raum auch ein metrischer Raum ist, gelten die dort deﬁnierten
Begriffe auch hier, es ist nur überall d.x; y/ durch kx yk zu ersetzen.
So ist zum Beispiel
für die gilt:
(N-1) kxk D 0 , x D 0
(N-2) kxk D jjkxk
Br .a/ D fx 2 E W kx ak < r g
(Deﬁnitheit),
(positive Homogenität),
(N-3) kx C yk kxk C kyk
Das Paar .E; kk/ nennt man einen normierten Vektorraum oder kurz einen normierten Raum.
5.11 Bemerkung Ein normierter Raum über ist immer auch ein metrischer Raum,
dessen induzierte Metrik gegeben ist durch
d.x; y/ WD kx yk:
die offene Kugel um a vom Radius r .
(Dreiecksungleichung),
jeweils für alle x; y 2 E und alle 2 K. 5.12
Satz In einem normierten Raum sind folgende Aussagen äquivalent.
(i) Die Folge .xn / konvergiert gegen a.
(ii) Die Folge .xn a/ konvergiert gegen 0.
(iii) Die reelle Folge .kxn ak/ konvergiert gegen 0. Bemerkung. In (ii) ist 0 2 E , in (iii) ist 0 2 R . Gegen 0 konvergierende Folgen werden auch Nullfolgen genannt.
Deﬁnition
wenn
3F
50
Sei
(i) Eine Teilmenge M eines normierten Raumes heißt beschränkt,
M Br .0/
s D s.K/ WD fxW N ! Kg D Abb.N; K/
der Raum aller Folgen in K, und
kk1 W s ! Œ0; 1;
für ein r 0. (ii) Eine Folge in einem normierten Raum heißt beschränkt, wenn
die Menge ihrer Folgenglieder beschränkt ist. x 7! sup jxk j:
k0
Dann ist s ein K-Vektorraum, doch kk1 ist keine Norm auf s , da . . .
Betrachten wir dagegen
b D b.K/ WD fx 2 s W kxk1 < 1g;
so erhalten wir einen Unterraum von s , den Raum der beschränkten Folgen in K,
auf dem kk1 eine Norm deﬁniert. Die übliche Bezeichnung dieses Raumes ist
5.13 Satz Folgende Aussagen über eine Folge .xn / in einem normierten Raum
sind äquivalent.
(i) Die Folge ist beschränkt.
(ii) Es gibt ein r 0, so dass kxn k r für alle n .
(iii) Es ist supn0 kxn k < 1. `1 D `1 .K/:
Ein weiterer, nichttrivialer Unterraum ist
c D c.K/ WD fx 2 s W x ist konvergentg;
Grenzwertgleichungen
5.14
gilt:
Satz Für konvergente Folgen .xn / und .yn / in einem normierten Raum
51
Grenzwertsätze
5-C
(i) .xn C yn / ist ebenfalls konvergent, und
Grenzwertsätze
52
Speziell in R und C haben wir auch noch die Möglichkeit zu dividieren:
lim .xn C yn / D lim xn C lim yn :
(ii) .xn / ist für jedes 2 K ebenfalls konvergent, und
lim xn D lim xn :
5-C
5.17 Satz Ist .xn / eine konvergente Folge in K, aber keine Nullfolge, so sind
fast alle Folgenglieder von 0 verschieden, und es gilt
lim
1
1
D
:
xn
lim xn
Schließlich noch die »Verträglichkeit« mit der Norm:
Multiplikation in K:
K K ! K,
Skalare Multiplikation in E :
K E ! E,
Standard-Skalarprodukt im Rn :
Rn Rn ! R ,
Skalarprodukte in Skalarprodukträumen :
Vektorprodukt im R3 :
5.18 Satz Ist .xn / eine konvergente Folge in einem normierten Raum mit Grenzwert a, so gilt
lim kxn k D kak:
! K,
R 3 R3 ! R 3 .
Grenzwertungleichungen
Alle diese Produkte sind in jedem Faktor distributiv, und es gilt
jx yj jxj jyj;
wenn für jedes dieser Produkte steht, und jj sowohl für den Betrag in K wie für
die Normen in E und Rn .
5.15 Satz Ist .xn / eine Nullfolge und .yn / eine beschränkte Folge – oder umgekehrt – , so ist auch .xn yn / eine Nullfolge. 5.16 Satz Sind .xn / und .yn / konvergent, so ist auch .xn yn / konvergent, und
es gilt
lim xn yn D lim xn lim yn :
Wir betrachten jetzt noch ganz speziell reelle Folgen.
5.19 Satz Sind .xn / und .yn / konvergente reelle Folgen, und gilt xn yn für
unendlich viele n , so ist
lim xn lim yn :
Ganz wichtig:. Der Satz gilt nicht mit ›<‹ an Stelle von ›‹. . . . Eine strikte
Ungleichung übersteht also einen Grenzübergang im Allgemeinen nicht. 5.20 Sandwich-Satz Sind .an / und .bn / konvergente reelle Folgen mit gleichem
Grenzwert x , und ist .xn / eine reelle Folge mit
an xn yn ;
n n0 ;
so ist auch .xn / konvergent mit Grenzwert x . 5.21
mit
Nullfolgen-Satz Ist .rn / eine reelle Nullfolge und .xn / eine reelle Folge
0 x n rn ;
n n0 ;
so ist auch .xn / eine Nullfolge. 53
Grenzwertsätze
5-D
Konvergenz in Rm und C
5-D
Existenzsätze
5-D
Schreibe
54
Existenzsätze
In diesem Abschnitt betrachten wir zunächst reelle Folgen.
xn D .x1;n ; : : : ; xm;n / 2 Rm :
5.22
Satz Sei .xn / eine Folge in Rm . Dann sind äquivalent:
(i) .xn / konvergiert in Rm gegen a D .a1 ; : : : ; am / .
Beispiel:
1C
lim
(ii) .xi;n / konvergiert in R gegen ai für jedes i D 1; : : : ; m. n!1
1
n
n
n
1
X
X
1
1
D
n!1
k!
k!
lim
Man sagt, die vektorwertige Folge .xn / konvergiert in Rm genau dann, wenn sie
komponentenweise konvergiert.
5.23 Spezialfall Eine komplexe Folge .zn / D .xn Ciyn / konvergiert genau dann,
wenn die Folge ihrer Real- und Imaginärteile konvergiert, und es gilt
lim zn D a C ib , lim xn D a ^ lim yn D b:
kD0
kD0
Monotone Folgen
Deﬁnition Eine reelle Folge .xn / heißt monoton steigend oder monoton wachsend,
falls
xnC1 xn
für alle n. Sie heißt streng oder strikt monoton steigend, falls sogar
xnC1 > xn
4F
Einige Beispiele
für alle n. Analog sind monoton fallend und streng monoton fallend deﬁniert. Für eine komplexe Zahl a mit jaj < 1 gilt
Schließlich heißt eine Folge (streng) monoton, wenn sie (streng) monoton steigend oder fallend ist.
lim an D 0:
n!1
G
Im Falle der Konvergenz schreibt man bei monotonen Folgen gerne
5F
Für eine komplexe Zahl a mit jaj < 1 gilt sogar
xn a;
xn a:
s n
lim n a D 0:
n!1
für jedes s 2 Z. G
6F
7F
Für eine beliebige komplexe Zahl a gilt
an
lim
D 0:
n!1 n!
p
lim n n D 1. G
n!1
G
5.24 Satz von der monotonen Konvergenz Jede monotone und beschränkte reelle Folge .xn / ist konvergent, und es gilt
xn sup fxn W n 2 Ng
für monoton steigende, und
xn inf fxn W n 2 Ng
für monoton fallende Folgen. 55
Existenzsätze
5-D
Der Satz von Bolzano-Weierstraß
5.25
5-D
Existenzsätze
5.29
56
Lemma Jede Cauchy-Folge ist beschränkt. Satz Jede reelle Folge .xn / enthält eine monotone Teilfolge. 5.26 Satz Jede beschränkte reelle Folge besizt eine konvergente Teilfolge und damit auch einen Häufungspunkt. 5.30 Lemma Besitzt eine Cauchy-Folge einen Häufungspunkt, so ist dieser auch
der Grenzwert der Folge. Nun der eigentliche Satz.
Das gilt sogar für Folgen im Rn :
5.27 Satz von Bolzano-Weierstraß Jede beschränkte reelle, komplexe, oder vektorwertige Folge besizt eine konvergente Teilfolge und damit auch einen Häufungspunkt. Cauchy-Folgen
Deﬁnition Eine Folge .xn / in einem normierten Raum heißt Cauchy-Folge, wenn
es zu jedem " > 0 ein N gibt, so dass
kxn xm k < ";
n; m N:
5.31 Satz Jede reelle, komplexe, oder vektorwertige Cauchy-Folge besitzt einen
Grenzwert. Deﬁnition Ein normierter Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge einen
Grenzwert besitzt. Ein vollständiger normierter Raum wird Banachraum genannt. Wir haben also
gezeigt:
5.32 Ergebnis Die Räume R , C und Rn mit der Betragsnorm sind Banachräume. Uneigentliche Konvergenz
5.28 Satz Jede konvergente Folge in einem normierten Raum ist auch eine CauchyFolge. Eine Menge U R heißt Umgebung von 1, wenn sie eine "-Umgebung von 1
U" .1/ D .1="; 1/;
Für die Umkehrung dieses Satzes formulieren wir zwei Zwischenergebnisse, die
in jedem normierten Raum gelten.
" > 0;
enthält.
Eine reelle Folge .xn / konvergiert gegen den uneigentlichen Grenzwert 1, oder
besitzt 1 als uneigentlichen Grenzwert, wenn in jeder Umgebung von 1 fast alle
Folgenglieder liegen. Äquivalent dazu ist die Forderung, dass zu jedem E > 0 ein
N existiert, so dass
xn E;
n N:
Man schreibt:
lim xn D 1
n!1
bzw
xn ! 1 .n ! 1/:
57
Existenzsätze
5-D
Analog besitzt .xn / den uneigentlichen Häufungspunkt 1, wenn in jeder Umgebung von 1 unendlich viele Folgenglieder liegen.
Und für 1 sind die Deﬁnitionen entsprechend. Die "-Umgebungen sind hier
zum Beispiel
U" .1/ D .1; 1="/;
5-D
Existenzsätze
n-te Wurzeln
5.35 Satz Zu jeder reellen Zahl a 0 und jeder natürlichen Zahl m 2 existiert genau eine reelle Zahl x 0 mit
x m D a;
" > 0:
genannt die m-te Wurzel aus a und mit
Die grundlegenden Sätze über Folgen, die nur auf dem Umgebungsbegriff basieren, gelten auch hier. In Stichworten:
»Der Grenzwert ist der einzige Häufungspunkt«
»Der Grenzwert ist eindeutig«
»Teilfolgen konvergenter Folgen haben denselben Grenzwert«
»Zu jedem Häufungspunkt existiert eine konvergente Teilfolge«
Natürlich gilt nicht, dass eine uneigentlich konvergente Folge beschränkt ist!
Die Grenzwertsätze gelten nur in Auszügen. Sei
.xn / c
bzw
.xn / c;
58
c 2 R;
eine Abkürzung für xn > c bzw xn c für fast alle n.Dann gilt für reelle Folgen
.xn / und .yn / :
(i) xn ! 1; .yn / c ) xn C yn ! 1
(ii) xn ! 1; .yn / c > 0 ) xn yn ! 1
(iii) jxn j ! 1 ) xn1 ! 0
(iv) xn ! 0; .xn / 0 ) xn1 ! 1
5.33 Erweiterter Satz von der monotonen Konvergenz Jede reelle, monotone
Folge konvergiert gegen einen eigentlichen oder uneigentlichen Grenzwert. 5.34 Erweiterter Satz von Bolzano-Weierstraß Jede reelle Zahlenfolge besitzt
einen eigentlichen oder uneigentlichen Häufungspunkt. p
a bezeichnet. m
6-A
Konvergenz
60
Diese sind also induktiv erklärt:
s0 D x0 ;
sn D sn1 C xn ;
6
n 1:
Reihen
Wollen uns nun mit Objekten wie
1
X
xk D x0 C x1 C x2 C : : :
P1
Deﬁnition Die Reihe
kD0 xk heißt konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen .sn / konvergiert. Ihr eindeutig bestimmter Grenzwert s heißt Wert dieser
Reihe. Konvergiert die Folge der Partialsummen dagegen nicht, so heißt die Reihe
divergent. kD0
beschäftigen. Partialsummen
sn D
n
X
xk ;
Im Falle der Konvergenz haben wir also
1
X
n 0:
kD0
Sei .xn / eine Folge in einem Banachraum E mit Norm j j . Ein Ausdruck der Form
xk ;
deren Konvergenz noch nicht festgestellt ist und die auch divergieren kann, und der
konvergenten Reihe
1
X
xk
xk D lim
kD0
kD0
heißt Reihe in E . Die xk heißen Glieder oder Summanden der Reihe, und die endlichen Summen
n
X
xk ;
xk :
kD0
kD0
Konvergenz
sn WD
n!1
n
X
Bemerkung. Eigentlich ist zu unterscheiden zwischen der formalen Reihe
1
X
1
X
n!1
kD0
Betrachten allgemein Summen in Banachräumen. Alle Beispiele werden aber in
R und C angesiedelt sein.
6-A
xk D s D lim sn D lim
n 0;
kD0
n!1
n
X
xk :
kD0
Dieser Unterschied kommt in dieser, allgemein üblichen Notation nicht zum Ausdruck. Nun die ersten Standardbeispiele.
1F
Bereits bekannt ist die Konvergenz der Reihe
1
X
1
D e:
k!
heißen die n-ten Parialsummen dieser Reihe.
G
kD0
2F
Die Partialsummen der Reihe
1
X
1
k2
kD0
61
Konvergenz
6-A
sind monoton steigend, da ihre Summanden positiv sind. Außerdem gilt . . .
1
X
kD0
3F
2
1
D
2
6
k
(Euler):
G
6-B
Absolute Kovergenz
Rechenregeln
P
P
6.3
Satz Sind
k ak undP k bk konvergente Reihen, so konvergieren auch
P
die Reihen k .ak C bk / und k ak für 2 K, und es gilt
X
X
X
.ak C bk / D
ak C
bk ;
k
Die formale geometrische Reihe
1
X
zk ;
62
X
k
ak D X
k
z2C
k
ak :
k
kD0
besitzt für z ¤ 1 die Partialsummen
sn D 1 C z C : : : C z n D
6.1
Satz Ist die Reihe
Nullfolge. P1
kD0
1 z nC1
:
1z
6-B
Deﬁnition Eine Reihe
konvergiert. P
ak heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
P
jak j
xk konvergent, so bilden ihre Glieder xk eine
Die Umkehrung gilt natürlich nicht, wie das folgende Standardbeispiel zeigt.
4F
Absolute Kovergenz
G
Die harmonische Reihe
X1
1
1
1
D C C C :::
k
1
2
3
k1
6.4
Satz Jede absolut konvergente Reihe ist auch konvergent. Die Umkehrung gilt – natürlich – nicht. So konvergiert die alternierende harmonische Reihe
X .1/nC1
1
1 1
D 1 C ˙ :::
n
2
3 4
n1
– Übungsaufgabe – , während die Reihe der Absolutbeträge, die harmonische Reihe,
divergiert.
ist divergent. G
Der Umordnungssatz
P
6.2
Cauchy-Kriterium Die Reihe
k xk ist in E konvergent genau dann,
wenn es zu jedem " > 0 ein N gibt, so dass
ˇ m
ˇ
ˇ X
ˇ
ˇ
ˇ < ";
n; m N:
x
k
ˇ
ˇ
kDnC1
Eine Umordnung einer Reihe
Aus
P
k
P
k
ak ist gegeben durch eine Bijektion
W N ! N:
ak entsteht die umgeordnete Reihe
X
X
a .k/ D
bk ;
bk D a .k/ :
k
k
Es treten also genau dieselben Summanden auf, aber eventuell in einer ganz anderen
Reihenfolge, insbesondere dann, wenn
fk W .k/ ¤ k g
unendlich ist.
63
Absolute Kovergenz
6-B
P
6.5
Umordnungssatz Ist die Reihe
ak absolut konvergent, so ist es auch
jede Umordnung dieser Reihe, und der Wert der Reihe ändert sich dabei nicht. 6.6
Umordnungssatz für bedingt konvergente Reihen Ist eine reelle Reihe konvergent, aber nicht absolut konvergent, so existiert zu jeder reellen Zahl s eine Umordnung dieser Reihe, die gegen s konvergiert. Bemerkung. Dies gilt sogar mit s D 1 und s D 1. Konvergenzkriterien
P
6.7
Satz Die Reihe
ak ist absolut konvergent genau dann, wenn die Folge
P
der Partialsummen der Reihe
jak j beschränkt ist. 6.8
Majorantenkriterium Gilt jak j mk für k K , und ist die Reihe
P
P
mk konvergent, so ist die Reihe
ak absolut konvergent. 6-B
Absolute Kovergenz
64
P
6.11 Quotientenkriterium Sei
ak eine Reihe in E .
(i) Gibt es ein q 2 .0; 1/ , so dass
jakC1 j
q < 1;
jak j
k K;
so ist die Reihe absolut konvergent.
(ii) Gilt
jakC1 j
1;
jak j
k K;
so ist die Reihe divergent. (iii) Trifft weder (i) noch (ii) zu, so kann die Reihe konvergieren oder divergieren. 6.12 Verdichtungssatz Sei .ak / eine monoton fallende, reelle Nullfolge. Dann
sind die beiden Reihen
X
X
ak ;
2k a2k
k1
k0
entweder beide konvergent oder beide divergent. 6.9
Minorantenkriterium Gilt 0 mk ak für k K , und ist die Reihe
P
P
mk divergent, so ist auch die Reihe
ak divergent. P
6.10 Wurzelkriterium Sei
ak eine Reihe in E .
(i) Gibt es ein q 2 .0; 1/, so dass
p
k
k K;
jak j q < 1;
so ist die Reihe absolut konvergent.
(ii) Gilt
p
k
für unendlich viele k;
jak j 1
so ist die Reihe divergent.
(iii) Trifft weder (i) noch (ii) zu, so kann die Reihe konvergieren oder divergieren. /////
Auf Grund der Monotonie der ak gilt:
1 a2 a2
1 a1 ;
2 a4 a3 C a4
2 a2 ;
4 a8 a5 C C a8 4 a4 ;
und allgemein
2n a2nC1 a2n C1 C C a2nC1 2n a2n :
Addieren wir diese Summen auf, erhalten wir
n
X
kD0
2k a2kC1 nC1
2X
kD2
ak n
X
2k a2k :
kD0
Nennen wir die rechts stehende Summe Sn , so ist
65
Cauchyprodukte
SnC1 D a1 C
nC1
X
n
X
2k a2k D a1 C 2
kD1
6-C
6-D
Potenzreihen
/////
2k a2kC1
kD0
Es ist
X
X
cn D
0nN
und wir erhalten
1
.SnC1 a1 / 2
nC1
2X
ak Sn :
kD2
nD0
X
0nN kClDn
Cauchyprodukte
kD0
lD0
N=2<kN
X
jak j k>N=2
Gegeben sind zwei reelle oder komplexe Reihen
X
X
ak ;
bl :
6.14
ak bl ;
0k;lN
kClN
X
jak bl j:
0k;lN
kCl>N
0lN
X
jbl j C
l0
0kN
X
jak j k0
X
N=2<lN
jbl j
/////
l>N=2
Funktionalgleichung der Exponentialfunktion Für a; b 2 C gilt
exp.a C b/ D exp.a/ exp.b/:
l0
X
ak bl D
Ist k C l > N , so ist entweder k > N=2 oder l > N=2. Deshalb gilt weiter
X
X
X
X
jak bl j jak j jbl j C
jak j jbl j
0k;lN
kCl>N
k0
X
und deshalb
ˇ
ˇN
N
N
X
X
ˇ
ˇX
ˇ
ˇ
c
a
b
n
k
l
ˇ
ˇ
Daraus folgt, dass die Konvergenz der einen Reihe auch die Konvergenz der
anderen Reihe nach sich zieht. Desgleichen für die Divergenz. /////
6-C
66
Dann deﬁniert man die endlichen Summen
cn WD
X
ak bl D
kClDn
n
X
ai bni ;
6-D
und damit das Cauchyprodukt der beiden Reihen als
1
X
cn D
nD0
1 X
X
nD0 kClDn
ak bl D
1 X
n
X
nD0 iD0
ai bni DW
X
ak bl :
k;l0
P
P
bl absolut konvergent,
6.13 Cauchyprodukt-Satz Sind die Reihen
ak und
so konvergiert deren Cauchyprodukt ebenfalls absolut, und es gilt
X
X
X
1
1
1 X
n
ak
bl D
ai bni :
kD0
lD0
Potenzreihen
iD0
Eine Reihe der Bauart
X
an z n
n0
mit z 2 C und Koefﬁzienten a0 ; a1 ; a2 ; 2 C heißt Potenzreihe, genauer komplexe
Potenzreihe.
Bezeichnungen für den Limes superior:
x D lim sup xn D lim xn
n!1
n!1
nD0 iD0
Bemerkung. Der Satz gilt sogar für die allgemeineren -Produkte, die wir im
Grenzwertsatz M betrachtet haben. 6.15
gilt:
Satz zum Limes superior Für den Limes superior einer reellen Folge .xn /
(i) Ist .xn / konvergent, so ist lim sup xn D lim xn .
67
Potenzreihen
6-D
(ii) .xn / ist nach oben unbeschränkt genau dann, wenn lim sup xn D 1.
(iii) Ist lim sup xn D x < 1, so existiert zu jedem " > 0 ein N , so dass
xn < x C ";
n N:
P
6.16 Satz Zu jeder komplexen Potenzreihe
an z n existiert eine eindeutig bestimmte reelle Zahl r 2 Œ0; 1 mit folgender Eigenschaft:
(i) Die Reihe konvergiert absolut für z 2 C mit jzj < r , und divergiert für
jzj > r .
(ii) Es gilt die Hadamardsche Formel
rD
1
lim sup
:
p
n
jan j
Diese reelle Zahl r heißt der Konvergenzradius der Potenzreihe
P
an z n . P
6.17 Korollar Konvergiert die Potenzreihe
an z n in einem Punkt z0 , so konvergiert sie absolut in der Kreisscheibe fz W jzj < jz0 jg. 6.18 Rechenregeln für Potenzreihen Seien
mit Konvergenzradien ra und rb . Dann gilt
1
X
X
1
nD0
an z n C
nD0
an z n
1
X
nD0
X
1
bn z n D
bn z n
nD0
D
1
X
P
.an C bn /z n ;
nD0
1 X
n
X
nD0
an z n und
iD0
mindestens für alle z mit jzj < min .ra ; rb /. ani bi z n ;
P
bn z n Potenzreihen
6-D
Potenzreihen
68
7-A
Funktionsgrenzwerte
70
Auf der reellen Geraden wollen wir auch noch ˙1 als Häufungspunkte erklären. Dazu deﬁnieren wir deren punktierte Umgebungen als
UP " .1/ WD U" .1/ D .1="; 1/;
7
und analog UP " .1/. Die Deﬁnition des Häufungspunktes bleibt unverändert.
Man nennt ˙1 uneigentliche Häufungspunkte, alle anderen Punkte dagegen
auch eigentliche oder endliche Häufungspunkte.
Funktionen
Seien E und F normierte Räume mit Normen j jE und j jF ,
f W E A ! F:
7.1
Satz Ist a Häufungspunkt der Menge A, so liegen in jeder Umgebung von
a unendlich viele Punkte von A. Wollen erklären:
lim f .x/ D b:
7-A
A3x!a
Unter der punktierten " -Umgebung des Punktes a 2 E versteht man die Menge
UP " .a/ WD U" .a/ fag D fx 2 E W 0 < jx ajE < "g:
Eine beliebige Menge UP E heißt punktierte Umgebung von a, wenn sie eine
punktierte "-Umgebung von a, nicht aber den Punkt a selbst enthält.
Deﬁnition Ein Punkt a heißt Häufungspunkt der Menge A E , wenn in jeder
punktierten "-Umgebung von a mindestens ein Punkt von A liegt. Sei für das Folgende immer A E ,
f W A ! F;
und a ein Häufungspunkt von A.
Deﬁnition Die Funktion f W A ! F besitzt für x ! a den Grenzwert b 2 F ,
falls es zu jeder "-Umgebung U" .b/ eine punktierte ı-Umgebung UP ı .a/ gibt, so
dass
f .UP ı .a/ \ A/ U" .b/:
Formal ausgedrückt:
UP " .a/ \ A ¤ ∅;
Funktionsgrenzwerte
" > 0:
Der Punkt a muss dabei nicht zu A gehören!
Für diese Deﬁnition ist es völlig unerheblich, ob und wie die Funktion im Punkt
a selbst deﬁniert ist!
Bezeichnungen:
f .x/ ! b;
A 3 x ! a;
oder
lim f .x/ D b:
A3x!a
Ist die Grundmenge A aus dem Kontext klar, so wird sie auch weggelassen.
71
Rechenregeln
7-B
Satz Sei a ein Häufungspunkt von A E und f W A ! F . Dann gilt
7.2
lim f .x/ D b
7-B
Rechenregeln
7.4
Satz (Grenzwertgleichungen) Sei a ein eigentlicher oder uneigentlicher
Häufungspunkt von A, und seien f; gW A ! F Funktionen mit
A3x!a
lim f .x/ D b;
x!a
genau dann, wenn für jede gegen a konvergierende Folge .xn / in A fag gilt:
lim f .xn / D b:
(i)
Noch eine Charakterisierung der Konvergenz:
7.3
Satz Sei a ein eigentlicher oder uneigentlicher Häufungspunkt von A , und
f W A ! F . Dann gilt:
(i)
lim f .x/ D b , lim jf .x/ bjF D 0.
x!a
lim g.x/ D c:
x!a
Dann gilt:
n!1
72
x!a
(ii)
(iii)
(iv)
lim jf .x/jF D jbjF ,
x!a
lim .f C g/.x/ D b C c , 2 K,
x!a
lim .fg/.x/ D bc ,
x!a
lim .f =g/.x/ D b=c , falls c ¤ 0,
x!a
die letzten beiden Aussagen für reell- oder komplexwertige Funktionen. (ii) Gilt jf .x/ bjF .x/ in einer punktierten Umgebung von a, und ist
lim .x/ D 0 , so ist
x!a
lim f .x/ D b:
x!a
7.5
Satz (Grenzwertungleichungen) Sei a ein eigentlicher oder uneigentlicher Häufungspunkt von A, und seien die folgenden Funktionen auf A reellwertig.
(i) Gilt f .x/ g.x/ für x in einer punktierten Umgebung von a, so auch
lim f .x/ lim g.x/;
x!a
7-B
Rechenregeln
(ii) Gilt f .x/ h.x/ g.x/ für x in einer punktierten Umgebung von a und
Gegeben seien
f W A ! F;
lim f .x/ D b D lim g.x/;
x!a
gW A ! F:
Ist F ein linearer Raum, so erklärt man
f C gW A ! F;
x!a
so existiert auch limx!a h.x/ und ist gleich b .
(iii) Gilt
lim f .x/ D b < c D lim g.x/;
.f C g/.x/ D f .x/ C g.x/:
Sind die Funktionen reell- oder komplexwertig, also F D K, so ist auch
fgW A ! F;
x!a
wenn diese Grenzwerte existieren.
x!a
x!a
so existiert eine punktierte Umgebung UP .a/, so dass
.fg/.x/ D f .x/g.x/
f .x/ < g.x/;
x 2 UP .a/ \ A:
erklärt. Entsprechend f =g , wenn g auf A nirgend 0 wird.
7.6
Satz (Verkettung von Grenzwerten) Besitzen die Funktionen f W A ! B
und gW B ! C die Grenzwerte
lim f .x/ D b;
A3x!a
lim g.y/ D c;
B3y!b
73
Uneigentliche Grenzwerte
7-C
und gilt (a) g.b/ D c oder (b) f .x/ ¤ b für alle x in einer punktierten Umgebung von a , so gilt auch
lim g.f .x// D c:
A3x!a
7-C
Uneigentliche Grenzwerte
Im folgenden Satz steht
g a c;
f a 0;
für g.x/ 0 bzw f .x/ > 0 für x in einer punktierten Umgebung von a.
7.7
Satz Sei a ein eigentlicher oder uneigentlicher Häufungspunkt von A , und
seien f und g reelwertige Funktionen auf A . Dann gilt:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
lim f .x/ D 1 ^ g a c ) lim .f C g/.x/ D 1,
x!a
x!a
lim f .x/ D 1 ^ g a c > 0 ) lim .fg/.x/ D 1;
x!a
x!a
lim jf .x/j D 1 ) lim 1=f .x/ D 0 ,
x!a
x!a
lim f .x/ D 0 ^ f a 0 ) lim 1=f .x/ D 1. x!a
x!a
7-C
Uneigentliche Grenzwerte
74
8-A
Stetige Funktionen
76
Stetigkeit im Deﬁnitionsbereich
Deﬁnition Ist die Funktion f W X ! Y in jedem Punkt von X stetig, so heißt f
stetig auf X , oder einfach stetige Funktion. 8
Stetigkeit
Umgekehrt ist f auf X unstetig, wenn sie in wenigstens einem Punkt von X
unstetig ist.
8-A
Deﬁnition Eine Funktion f W X ! Y heißt Lipschitz-stetig auf X , wenn es eine
Konstante L 0 gibt, so dass
Stetige Funktionen
Stetigkeit in einem Punkt
dY .f .x/; f .y// L dX .x; y/
Seien .X; dX / und .Y; dY / metrische Räume, und f W X ! Y .
Deﬁnition Die Funktion f W X ! Y heißt stetig im Punkt a 2 X , wenn es zu
jedem " > 0 ein ı > 0 gibt, so dass für alle x 2 X gilt:
dX .x; a/ < ı ) dY .f .x/; f .a// < ":
In der Sprache der Umgebungen: . . . , so dass gilt:
f .Uı .a// U" .f .a//:
Zur Erinnerung:
Uı .a/ D fx 2 X W dX .x; a/ < ıg X
ist immer eine Teilmenge von X , auch wenn X Teilmenge eines größeren metrischen Raumes ist.
Ist eine Funktion in a 2 X nicht stetig, so heißt sie unstetig im Punkt a.
8.1
Satz Die folgenden Aussagen über f W X ! Y im Punkt a 2 X sind
äquivalent:
(i) f ist stetig im Punkt a .
(ii) Das Urbild jeder Umgebung von f .a/ enthält eine Umgebung von a.
(iii) Es gilt limx!a f .x/ D f .a/.
(iv) Für jede Folge .xn / in X mit xn ! a gilt limn!1 f .xn / D f .a/ . für alle x; y 2 X gilt. Eine solche Konstante L heißt Lipschitz-Konstante. 8.2
Satz Jede auf X Lipschitz-stetige Funktion ist stetig. Rechenregeln
8.3
Satz zur punktweisen Stetigkeit Seien f; gW X ! Y im Punkt a 2 X
stetig. Dann sind in a 2 X auch stetig die Funktionen
kf k;
f C g
für alle ; 2 K, falls .Y; k k/ ein normierter Raum ist,
fg;
f =g
falls Y D K und im zweiten Fall g.a/ ¤ 0 ist, und
min ff; gg;
falls Y D R . max ff; gg;
77
Zwischenwertsatz und Umkehrfunktion
8-B
8.4
Satz Seien f; gW X ! Y auf X stetig. Dann sind auf X auch stetig die
Funktionen
kf k;
f C g
für alle ; 2 K, falls .Y; k k/ ein normierter Raum ist,
fg;
Zwischenwertsatz und Umkehrfunktion
78
8.8
Zwischenwertsatz für allgemeine Intervalle Sei I ein beliebiges Intervall,
und f W I ! R stetig. Dann nimmt f jeden Wert zwischen infI f und supI f mindestens einmal an. Hierbei bedeutet zum Beispiel
inf f D inf ff .x/ W x 2 I g:
f =g;
I
falls Y D K und im zweiten Fall g auf X nirgends verschwindet, und
min ff; gg;
8-B
max ff; gg;
falls Y D R . »Nirgends verschwindet« bedeutet: g.x/ ¤ 0 für alle x 2 X .
8.5
Satz Seien X; Y; Z metrische Räume. Ist f W X ! Y stetig auf X und
gW Y ! Z stetig auf Y , so ist auch die verkettete Funktion
gBfW X !Z
stetig auf X . Bemerkung. Alle drei Versionen des Zwischenwertsatzes sind äquivalent. 8.9
Beispiel und Satz Jedes reelle Polynom ungeraden Grades besitzt mindestens eine reelle Nullstelle. 8.10 Satz Ist I ein Intervall und f W I ! R stetig, so ist auch f .I / ein Intervall. Man sagt auch kurz: Stetige Bilder von Intervallen sind wieder Intervalle.
Umkehrfunktionen
8-B
Zwischenwertsatz und Umkehrfunktion
8.11 Satz Sei I ein Intervall, und f W I ! R stetig und streng monoton steigend. Dann gilt:
(i) f .I / D I ist wieder ein Intervall.
(ii) f W I ! I ist bijektiv.
8.6
Zwischenwertsatz von Bolzano Sei f W Œa; b ! R stetig und f .a/ ¤
f .b/ . Dann existiert zu jeder reellen Zahl c zwischen f .a/ und f .b/ mindestens
ein 2 .a; b/ mit f ./ D c . 8.7
Spezialfall des Zwischenwertsatz Ist f W Œa; b ! R stetig und f .a/f .b/ <
0, so besitzt f in .a; b/ mindestens eine Nullstelle. (iii) Die Umkehrfunktion f 1 W I ! I ist ebenfalls stetig und streng monoton
steigend.
Entsprechendes gilt für streng monoton fallende Funktionen. 79
Offene und abgeschlossene Mengen
8.12
8-C
8-C
Offene und abgeschlossene Mengen
Satz Für jedes n 1 besitzt die Funktion
Œ0; 1/ ! Œ0; 1/;
n
x 7! x ;
eine streng monoton steigende, stetige Umkehrfunktion, die sogenannte n-te Wurzelfunktion
p
Œ0; 1/ ! Œ0; 1/;
x 7! n x:
Für diese gilt außerdem
p
lim n x D 1:
x!1
80
Abgeschlossene Mengen
Für A X sei
Ac D X A
das Komplement von A in X .
Deﬁnition Eine Menge A X heißt abgeschlossen, oder genauer abgeschlossen
in X , wenn Ac offen in X ist. 8.14
Satz In einem metrischen Raum X gilt:
(i) ∅ und X sind abgeschlossen.
8-C
Offene und abgeschlossene Mengen
(ii) Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
(iii) Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Bemerkung. (iii) gilt nicht für nicht-endliche Vereinigungen. Offene Mengen
Sei .X; d/ ein metrischer Raum.
Erinnerung: Für a 2 X und " > 0 bezeichnet
B" .a/ D fx 2 X W d.x; a/ < "g
die offene Kugel um a vom Radius ", oder auch die "-Umgebung von a.
Eine Menge U X heißt Umgebung von a, wenn sie eine "-Umgebung von a
enthält.
Abschluss und offener Kern
Erinnerung Ein Punkt a 2 X heißt Häufungspunkt der Menge A X , wenn in
jeder Umgebung von a mindestens ein von a verschiedener Punkt von A liegt. Setze
A0 D fx 2 X W x ist Häufungspunkt von Ag
und
Deﬁnition Eine Menge A X heißt offen, oder genauer offen in X , wenn sie mit
jedem Punkt a auch eine Umgebung von a enthält. Äquivalent: A ist offen, wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte ist.
8.13
Satz In einem metrischen Raum X gilt:
(i) ∅ und X sind offen.
(ii) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.
(iii) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. Bemerkung. (iii) gilt nicht für nicht-endliche Durchschnitte. A D A [ A0 ;
den sogenannten Abschluss von A.
8.15
Satz Sei A Teilmenge eines metrischen Raumes X . Dann gilt:
(i) A ist abgeschlossen.
(ii) A ist die kleinste abgeschlossene Menge in X , die A enthält. Die zweite Aussage bedeutet: Ist B X eine abgeschlossene Obermenge von
A, so ist A B .
81
Offene und abgeschlossene Mengen
8-C
8.16 Satz Für eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X sind folgende Aussagen äquivalent.
(i) A ist abgeschlossen.
(ii) A D A.
(iii) A0 A
(iv) Jede Folge in A, die in X konvergiert, hat ihren Grenzwert in A . Deﬁnition Sei A Teilmenge eines metrischen Raumes X . Ein Punkt a 2 A heißt
innerer Punkt von A , wenn A auch eine Umgebung von a enthält. 8-D
Kompaktheit
Stetigkeit
8.20 Satz Sei f W X ! Y eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen X
und Y . Dann sind äquivalent:
(i) f ist stetig.
(ii) f 1 .O/ ist offen in X für jede in Y offene Menge O .
(iii) f 1 .A/ ist abgeschlossen in X für jede in Y abgeschlossene Menge A. Hierbei ist
f 1 W P .Y / ! P .X /
M 7! f 1 .M / D fx 2 X W f .x/ 2 M g
Die Menge
AB D fa 2 A W a ist innerer Punkt von Ag;
82
eine Mengenabbildung, die für jedes f W X ! Y erklärt ist.
gelesen »A Null«, heißt offener Kern von A.
8.17
Satz Für eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X gilt:
(i) AB ist offen.
8-D
Kompaktheit
(ii) AB ist die größte offene Teilmenge von A. Die zweite Aussage bedeutet: Ist O A offen, so ist O AB . AB kann durchaus leer sein!
8.18 Satz Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X ist offen genau dann,
wenn A D AB . Deﬁnition Eine Teilmenge K eines metrischen Raumes X heißt kompakt, wenn
jede Folge in K eine in K konvergente Teilfolge besitzt. Wichtig: Die Teilfolge ist nicht nur konvergent, ihr Grenzwert liegt auch in K .
8.21
Deﬁnition Ist A eine Teilmenge des metrischen Raumes X , so heißt
Satz
(i) Die Vereinigung endlich vieler kompakter Mengen ist wieder
kompakt.
(ii) Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist kompakt. @A WD A AB
der Rand von A. 8.19
8.22 Satz Eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes ist abgeschlossen
und beschränkt. Satz Für eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X gilt:
(i) @A ist abgeschlossen.
(ii) Es ist a 2 @A genau dann, wenn jede Umgebung von a sowohl A als auch
Ac trifft. 8.23 Satz Eine Teilmenge von R , C oder Rm ist kompakt genau dann, wenn sie
abgeschlossen und beschränkt in der natürlichen Metrik ist. 83
Stetigkeit und Kompaktheit
8-E
8-E
8-E
Stetigkeit und Kompaktheit
8.27 Satz Ist K X kompakt und nichtleer, so existiert zu jedem x 2 X eine
x 2 K mit
Stetigkeit und Kompaktheit
Seien .X; dX / und .Y; dY / weiterhin metrische Räume.
dK .x/ D d.x; x /:
8.24 Satz Ist f W X ! Y stetig und K X kompakt, so ist auch f .K/ kompakt. Den Abstand zwischen zwei Mengen N und M in X deﬁnieren wir als das
Inﬁmum der Abstände aller Punkte in N zur Menge M :
Erinnerung: f .K/ D ff .x/ W x 2 K g .
d.N; M / WD inf fdM .a/ W a 2 N g:
8.25 Satz von Minimum und Maximum Ist f W X ! R stetig und X kompakt, so existieren Punkte x ; x 2 X mit
f .x / f .x/ f .x /;
84
8.28 Satz Sind M und N kompakte, nichtleere Teilmengen von X , so existieren
Punkte x 2 M und y 2 N mit
d.N; M / D d.x ; y /:
x 2 X:
Dies gilt im Allgemeinen nicht, wenn N nicht kompakt ist.
Somit gilt
f .x / D inf f;
X
f .x / D sup f:
X
Normen auf Rm
Man sagt: Eine stetige Funktion nimmt auf einer kompakten Menge ihr Inﬁmum
und Supremum an.
Wollen zeigen: Alle Normen auf dem Rm sind äquivalent.
Dazu genügt es zu zeigen: Jede Norm auf dem Rm ist äquivalent zur euklidischen
Norm.
Sei N W Rm ! R eine beliebige Norm. Es gilt also
(N-1) N .x/ 0,
Abstand zu Mengen
Sei .X; d/ metrischer Raum, M X eine beliebige, nichtleere Menge. Dann deﬁniert man
(N-2) N .x/ D 0 , x D 0,
(N-3) N .x/ D jjN .x/,
(N-4) N .x C y/ N .x/ C N .y/,
dM .x/ WD inf fd.x; a/ W a 2 M g
für alle x; y 2 Rm und 2 R .
als den Abstand von x zur Menge M , und damit eine Funktion
dM W X ! R:
8.29 Lemma Jede Norm auf dem Rm ist stetig, sogar Lipschitz bezüglich der
euklidischen Norm. 8.26 Lemma Für jede beliebige nichtleere Menge M X ist die Funktion dM
Lipschitz mit L-Konstante 1 :
jdM .x/ dM .y/j d.x; y/;
x; y 2 X:
Es gibt also L 0, so dass
jN .x/ N .y/j Lkx yk;
x; y 2 Rm ;
k k die euklidische Norm.
8.30
Satz Jede Norm auf dem Rm ist äquivalent zur euklidischen Norm. 85
Stetigkeit und Kompaktheit
8-E
Gleichmäßige Stetigkeit
Die Funktion f W X ! Y ist stetig auf X , wenn gilt:
8 8 9
8 dX .x; y/ < ı ) dY .f .x/; f .y// < ":
x2X ">0 ı>0 y2X
Deﬁnition Eine Funktion f W X ! Y heißt gleichmäßig stetig auf X , wenn es zu
jedem " > 0 ein ı > 0 gibt, so dass für alle x; y 2 X gilt:
dX .x; y/ < ı ) dY .f .x/; f .y// < ":
Mit Quantoren ausgedrückt ist eine Funktion f W X ! Y gleichmäßig stetig,
wenn gilt:
8 9
8
8 dX .x; y/ < ı ) dY .f .x/; f .y// < ":
">0 ı>0 x2X y2X
1F
Ist f W X ! Y Lipschitz auf X , so ist f auch gleichmäßig stetig auf X . G
2F
Die Funktion
f W .0; 1/ ! .0; 1/;
f .x/ D
1
x
ist nicht gleichmäßig stetig auf .0; 1/. G
8.31 Satz Ist f W X ! Y stetig und K X kompakt, so ist die Einschränkung
von f auf K gleichmäßig stetig auf K . Ist insbesondere X selbst kompakt, so ist f W X ! Y gleichmäßig stetig.
8-E
Stetigkeit und Kompaktheit
86
9-A
Deﬁnitionen und Rechenregeln
88
9.1
Satz Für eine Funktion f W I ! Rm und einen Punkt t0 2 I sind die
folgenden Aussagen äquivalent.
(i) f ist differenzierbar in t0 , und es ist f 0 .t0 / D a.
9
Differenziation in einer Variablen
(ii) Es gibt eine im Punkt t0 stetige Funktion ' W I ! Rm mit '.t0 / D a, so dass
f .t/ D f .t0 / C '.t/.t t0 /;
t 2 I:
(iii) Es gibt einen Vektor a 2 Rm und eine in t0 stetige Funktion "W I ! Rm mit
".t0 / D 0, so dass
9-A
Deﬁnitionen und Rechenregeln
Im Folgenden sei immer I R ein Intervall. Wir betrachten Funktionen
f W I ! Rm :
Deﬁnition
(i) Eine Funktion f W I ! Rm heißt differenzierbar an der Stelle
t0 2 I , wenn der Grenzwert
lim
h!0
1
f .t/ f .t0 /
.f .t0 C h/ f .t0 // D lim
t!t0
h
t t0
existiert. Dieser Grenzwert heißt erste Ableitung von f an der Stelle t0 und wird
mit f 0 .t0 / bezeichnet.
(ii) Die Funktion f heißt differenzierbar (auf I ), wenn sie in jedem Punkt
von I differenzierbar ist. f .t / D f .t0 / C a.t t0 / C ".t/.t t0 /:
9.2
Korollar Ist f W I ! Rm in t0 2 I differenzierbar, so ist f in t0 auch
stetig. 1F
Auf R ist jede konstante Funktion
c W R ! R;
t 7! c;
sowie die Identitätsfunktion
t W R ! R;
t 7! t
in jedem Punkt differenzierbar, und es gilt
d
c D 0;
dt
d
t D 1:
dt
Allgemeiner ist jede Funktion
Andere Bezeichnungen:
df
f .t0 / D Df .t0 / D
.t0 / D fP.t0 /:
dt
0
f W R ! R;
f .t / D at C b;
a; b 2 R;
differenzierbar mit f 0 .t/ D a für alle t 2 R . G
89
Deﬁnitionen und Rechenregeln
9-A
9.3
Rechenregeln Sind die Funktionen f; gW I ! R in t0 2 I differenzierbar,
so sind es auch die Funktionen
f C g;
f g;
f =g
und es gilt:
0
(Summenregel)
0
0
.f g/ .t0 / D f .t0 /g.t0 / C f .t0 /g .t0 /
.f =g/0 .t0 / D
f 0 .t0 /g.t0 / f .t0 /g 0 .t0 /
g.t0 /2
Für n 0 ist
3F
d n
x 2 R:
x D nx n1 ;
dx
Deﬁnieren wir für n 1
d n
x D .n/x n1 ;
dx
g B f W I ! Rm
x ¤ 0:
G
kD0
kD1
kak x
ist bijektiv genau dann, wenn f streng monoton ist. In diesem Fall existiert die
Umkehrfunktion f 1 W I ! I , und diese ist wiederum stetig.
9.5
Ableitung der Umkehrfunktion Sei f W I ! R stetig und bijektiv auf
I D f .I /. Ist f in x0 differenzierbar mit Ableitung f 0 .x0 / ¤ 0, so ist auch
die Umkehrfunktion
g D f 1 W I ! I
ak x k ;
n
X
k1
:
f W I ! I
ist in jedem Punkt von R differenzierbar, und es ist
f .x/ D
Erinnerung: Ist f W I ! R stetig, so ist f .I / DW I wiederum ein Intervall,
und
Ein reelles Polynom vom Grad n,
0
G
G
1
;
x ¤ 0;
xn
so gilt auch in diesem Fall
n
X
x > 0:
9.4
Kettenregel Seien f W I ! R und gW J ! Rm Funktionen auf Intervallen
I und J , und es sei f .I / J . Ist f in x0 2 I und g in f .x0 / 2 J differenzierbar, so ist
(Produktregel)
(Quotientenregel):
p
x ist in jedem Punkt x > 0 differenzierbar, und
.g B f /0 .x0 / D g 0 .f .x0 //f 0 .x0 /:
x n WD
f .x/ D
5 F Die Wurzelfunktion x 7!
es gilt
90
in x0 differenzierbar, und es gilt
2F
4F
Deﬁnitionen und Rechenregeln
1
d p
xD p ;
dx
2 x
(falls g.t0 / ¤ 0);
.f C g/0 .t0 / D f 0 .t0 / C g 0 .t0 /
9-A
G
in y0 D f .x0 / differenzierbar, und es gilt
g 0 .y0 / D
1
:
f 0 .x0 /
91
Extrema und Mittelwertsatz
9-B
Merkregel: Für g D f 1 ist
x D g.f .x/;
Differentiation nach x liefert mit der Kettenregel
0
1 D g .f .x0 / f .x0 /:
92
9.6
Satz (Fermat) Besitzt f W I ! R in einem inneren Punkt x0 von I ein
lokales Extremum, und ist f im Punkt x0 differenzierbar, so gilt
f 0 .x0 / D 0:
0
Ist f .x0 / ¤ 0, so folgt hieraus
g 0 .f .x0 // D
Extrema und Mittelwertsatz
Lokale Minima und Maxima werden auch Extrema genannt. Punkte, an denen
ein lokales Extremum vorliegt, werden als Extremalstellen bezeichnet, genauer auch
als Minimal- und Maximalstellen.
x 2 I:
0
9-B
Deﬁnition Ist f W I ! R in x0 differenzierbar mit f 0 .x0 / D 0, so heißt x0 ein
stationärer oder kritischer Punkt von f . 1
:
f 0 .x0 /
Um die Kettenregel anwenden zu dürfen, müssen wir allerdings bereits wissen, dass
g ebenfalls differenzierbar ist!
Der Satz von Fermat besagt also: Eine Extremstelle im Innern ist notwendigerweise ein kritischer Punkt, wenn die Funktion dort differenzierbar ist.
9-B
9.7
Satz Sei f W Œa; b ! R stetig und auf .a; b/ differenzierbar. Sind x1 ; : : : ; xs
die kritischen Punkte von f in .a; b/, so gilt
Extrema und Mittelwertsatz
In diesem Abschnitt betrachten wir Funktionen
also skalare Funktionen auf einem Intervall I R .
Extrema
Deﬁnition Die Funktion f W I ! R besitzt an der Stelle x0 2 I ein lokales
Maximum bzw ein lokales Minimum, wenn es eine Umgebung Bı .x0 / gibt, so dass
für alle x 2 I \ Bı .x0 /. Œa;b
Entsprechendes gilt für minŒa;b f . f W I ! R;
f .x0 / f .x/
max f D max ff .a/; f .x1 /; : : : ; f .xs /; f .b/g:
bzw
f .x0 / f .x/
Mittelwertsatz
9.8
Satz von Rolle Sei f W Œa; b ! R stetig und auf .a; b/ differenzierbar. Ist
f .a/ D f .b/, so existiert ein 2 .a; b/ mit f 0 ./ D 0. 9.9
Mittelwertsatz Ist f W Œa; b ! R stetig und auf .a; b/ differenzierbar, so
existiert ein Punkt 2 .a; b/ mit
f .b/ f .a/ D f 0 ./.b a/:
9.10 Variante des Mittelwertsatz Ist f auf dem abgeschlossenen Intervall mit
den Endpunkten x und x C h stetig und im Innern differenzierbar, so existiert ein
2 .0; 1/ mit
f .x C h/ f .x/ D f 0 .x C h/ h:
93
Höhere Ableitungen
9-C
9.11 Satz Ist f W Œa; b ! R stetig und auf .a; b/ differenzierbar, so gelten die
folgenden Aussagen.
(i) f ist konstant auf Œa; b genau dann, wenn
f 0 .x/ 0;
x 2 .a; b/:
(ii) f ist monoton steigend (bzw fallend) auf Œa; b genau dann, wenn
f 0 .x/ 0
(bzw 0);
x 2 .a; b/:
(iii) f ist Lipschitz auf Œa; b mit L-Konstante L genau dann, wenn
ˇ 0 ˇ
ˇf .x/ˇ L;
x 2 .a; b/:
9-C
Höhere Ableitungen
Weiter schreibt man kürzer
f 00 WD f .2/ D .f 0 /0 :
Man sagt, f ist r -mal auf I differenzierbar, r 1, wenn f; f 0 ; : : : ; f .r / auf
I existieren. Ist außerdem f .r / stetig auf I , so heißt f r -mal stetig differenzierbar
auf I . Die Klasse dieser Funktionen wird mit
C r .I; Rm /
bezeichnet, und man sagt, f 2 C r .I; Rm / ist von der Klasse C r , oder kurz, f ist
Cr .
Weiter deﬁniert man
9.12 Satz Sei f W Œa; b ! R stetig und auf .a; b/ differenzierbar. Dann ist f
auf Œa; b streng monoton steigend genau dann, wenn
f 0 .x/ 0;
x 2 .a; b/;
und f 0 dabei auf keinem offenen Teilintervall verschwindet. C 1 .I; Rm / WD
\
C r .I; Rm /
r 0
als die Klasse der unendlich oft differenzierbaren Funktionen I ! Rm .
Schließlich sei noch
C r .I / WD C r .I; R/:
Ein typischer Spezialfall dieses Satzes:
9.13 Korollar Ist f W Œa; b ! R stetig, auf .a; b/ differenzierbar, und f 0 > 0
auf .a; b/ mit Ausnahme endlich vieler stationärer Punkte, so ist f streng monoton
steigend. Analoge Resultate gelten natürlich für streng monoton fallende Funktionen.
9-C
94
Man erhält so eine Hierarchie oder Skala von Funktionenräumen
C 0 .I / C 1 .I / C r .I / C 1 .I /:
9.14 Satz Sind f; gW I ! R r -mal (stetig) differenzierbar auf I , so ist es auch
deren Produkt fgW I ! R , und es gilt die Leibnizsche Formel
.fg/.r / D
Höhere Ableitungen
r
X
r sD0
s
f .r s/ g .s/ :
Also kurz:
Sei I R ein Intervall, und f W I ! Rm . Ist f auf I differenzierbar, so ist
0
m
f W I !R ;
0
t 7! f .t/
wiederum eine Funktion auf I mit Werten in Rm . Man deﬁniert dann die höheren
Ableitungen von f durch
f .0/ WD f;
f .r / WD .f .r 1/ /0 ;
r 1:
f; g 2 C r ) fg 2 C r :
95
Höhere Ableitungen
9-D
9-D
Taylorpolynom und Taylorreihe
9-D
.fg/.r C1/
r
X
r .r sC1/ .s/
D
g C f .r s/ g .sC1/
f
s
r
X
r rX
C1
sD0
t D1
s
f .r C1s/ g .s/ C
D f .r C1/ g .0/ C
r
X
r sD1
Mit
s
C
f W I ! R;
r
t1
f .r C1t/ g .t/
.r C1s/ .s/
g C f .0/ g .r C1/
f
r
s1
r
r C1
r
C
D
s
s1
s
folgt die Behauptung.
9.15
Taylorpolynom und Taylorreihe
Betrachte eine Funktion
sD0
D
96
und einen Punkt x0 2 I .
Deﬁnition Ist f n-mal differenzierbar auf I und x0 2 I , so heißt
Tn .x/ D
n
X
f .k/ .x0 /
.x x0 /k
k!
kD0
das n-te Taylorpolynom von f an der Stelle x0 . Mit x D x0 C h schreibt sich dies in der Form
r
Korollar Für r 0 bildet C .I / eine Algebra. Tn .x0 C h/ D
n
X
f .k/ .x0 / k
h
k!
kD0
9.16 Satz Ist f W I ! R r -mal (stetig) differenzierbar, gW J ! Rm r -mal (stetig) differenzierbar und f .I / J , so ist auch g B f W I ! Rm r -mal (stetig)
differenzierbar auf I . 1
1
D f .x0 / C f 0 .x0 /h C f 00 .x0 /h2 C C f .n/ .x0 /hn :
2
n!
Will man auch noch die Funktion f und den Entwicklungspunkt x0 in der Notation zum Ausdruck bringen, so schreibt man für Tn ausführlicher
Also kurz
f; g 2 C
Tn;x0 f:
r
r
) gBf 2C ;
wenn die Komposition deﬁniert ist.
9.17 Satz Es sei f W I ! R r -mal stetig differenzierbar auf I , r 1, und
f 0 verschwinde nirgends auf I . Dann ist f umkehrbar, und die Umkehrfunktion
g D f 1 ist ebenfalls r -mal stetig differenzierbar auf f .I /. Also kurz:
f 2 C r ^ f 0 ≷ 0 ) f 1 2 C r :
6F
Betrachte
f W .1; 1/ ! R;
f .x/ D
p
1 C x:
Mit der allgemeinen Regel
.x r /0 D r x r 1 ;
r 2 R;
erhält man
f 0 .x/ D
1
1
;
p
2 1Cx
1
1
f 00 .x/ D p
:
4 1 C x3
Das erste und zweite Taylorpolynom von f bei x0 D 0 sind dann
x
T1 .x/ D f .0/ C f 0 .0/x D 1 C ;
2
1 00
x x2
2
:
G
T2 .x/ D T1 .x/ C f .0/x D 1 C 2
2
8
97
Taylorpolynom und Taylorreihe
9-D
Deﬁnition Ist f n-mal differenzierbar auf I und Tn das n-te Taylorpolynom von
f an der Stelle x0 in I , so heißt
9-E
Taylorpolynom und Taylorreihe
Deﬁnition Für f 2 C 1 .I / und x0 2 I heißt
T .x/ D
Rn D f Tn
1
X
1 .n/
f .x0 /.x x0 /n
n!
nD0
das n-te Restglied von f an der Stelle x0 . die Taylorreihe von f bei x0 . Gilt
Mit ausführlicher Notation:
f .x/ D T .x/
Rn;x0 f D f Tn;x0 f:
für alle x in einer Umgebung von x0 in I , so heißt f um x0 in seine Taylorreihe
entwickelbar. 9.18 Restgliedformel von Lagrange Sei f n C 1-mal differenzierbar auf I .
Dann gibt es zu beliebigen Punkten x0 und x D x0 C h in I ein 2 .0; 1/,
so dass
Rn .x0 C h/ D
1
f .nC1/ .x0 C h/ hnC1 :
.n C 1/!
Die ausführlichere Notation ist auch hier
Tx0 f:
9.19
1
f .x0 C h/ D f .x0 / C f 0 .x0 /h C C f .n/ .x0 /hn
n!
1
C
f .nC1/ .x0 C h/ hnC1
.n C 1/!
Satz Sei f 2 C 1 .I /. Gibt es Konstanten M > 0 und R > 0, so dass
1 ˇˇ .n/ ˇˇ
f .x/ MRn
n!
Mit anderen Worten, es gilt
für alle x 2 I und n 0, so gilt
f .x/ D Tx0 f .x/
für alle x0 ; x 2 I mit jx x0 j < 1=R. mit einem 2 .0; 1/.
Taylorreihe
9.20
Die Taylorformel mit Restglied lautet also
f .x0 C h/ D
98
n
X
1 .k/
f .x0 /hk C Rn .x0 C h/:
k!
Satz Sei f 2 C 1 .I /. Gibt es Konstanten M > 0 und R > 0, so dass
ˇ .n/ ˇ
ˇf .x/ˇ MRn
für alle x 2 I und n 0, so gilt f .x/ D Tx0 f .x/ für alle x0 ; x 2 I . kD0
Könnte man zum Grenzwert n ! 1 übergehen und dabei zeigen, dass
Rn .x0 C h/ ! 0;
n ! 1;
so erhielte man
f .x0 C h/ D
1
X
1 .k/
f .x0 /hk :
k!
kD0
Voraussetzung ist dabei mindestens, dass f unendlich oft differenzierbar ist.
Bemerkung. Funktionen f 2 C 1 .I /, die sich bei jedem Punkt in I in ihre
Taylorreihe entwickeln lassen, heißen reell analytisch. Die Klasse dieser Funktionen
wird gelegentlich mit C ! .I / bezeichnet.
Es gilt dann
C ! .I / C 1 .I /:
99
9-E
Summenfunktionen von Potenzreihen
9-E
Summenfunktionen von Potenzreihen
Mit Hilfe der Taylorreihe können geeignete Funktionen als Potenzreihe dargestellt
werden. Das klärt aber noch nicht die Frage, wie es sich mit Potenzreihen selbst
verhält! Ob eine Potenzreihe, wenn denn ihr Konvergenzradius positiv ist, in ihrem
Konvergenzkreis eine stetige, differenzierbare, oder sogar analytische Funktion deﬁniert.
Besitzt eine Potenzreihe
X
an .x x0 /n
n0
positiven Konvergenzradius r > 0, so deﬁniert der Wert der Reihe für alle x in
Br .x0 / punktweise eine Funktion, die wir als die Summenfunktion der Potenzreihe
bezeichnen wollen.
9.21 Differenziationssatz Die Summenfunktion einer Potenzreihe ist auf dem gesamten Konvergenzkreis stetig und differenzierbar, und es gilt
X
d X
an .x x0 /n D
nan .x x0 /n1 ;
dx
n0
n1
wobei die abgeleitete Reihe denselben Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe besitzt. Man erhält also die Ableitung einer Potenzreihe durch gliedweise Differenziation, wobei der Konvergenzradius nicht beeinträchtigt nicht. Man kann daher diesen
Vorgang iterieren, und erhält das folgende Ergebnis.
9.22 Satz Die Summenfunktion einer Potenzreihe ist auf dem gesamten Konvergenzkreis beliebig oftdifferenzierbar, und es gilt
X
dk X
an .x x0 /n D
n : : : .n k C 1/ an .x x0 /nk ;
dx k
n0
nk
wobei alle abgeleiteten Reihen denselben Konvergenzradius wie die ursprüngliche
Reihe besitzt. 9.23
Satz Jede Potenzreihe ist die Taylorreihe ihrer Summenfunktion. 9.24 Identitätssatz für Potenzreihen Die Summenfunktionen f und g zweier
Potenzreihen seien auf einem gemeinsamen Kreis K D Br .x0 / deﬁniert. Gilt dann
9-E
Summenfunktionen von Potenzreihen
f .xn / D g.xn /;
100
n 0;
für eine Folge unterschiedlicher Punkte xn mit Häufungspunkt x0 , so gilt f D g
auf ganz K , und die deﬁnierenden Potenzreihen sind identisch. 10-B
Der Logarithmus und allgemeine Potenzen
102
Wir deﬁnieren jetzt (noch einmal) die Eulersche Zahl
e D exp.1/ D
1
X
1
:
n!
nD0
10
Spezielle Funktionen
Für jedes x 2 Q gilt dann
ex D exp.x/:
Deﬁnition
10-A
Die Exponentialfunktion
ex WD exp.x/ D
1
X
xn
;
n!
x 2 R:
nD0
Es gilt dann unter anderem
10.1
Satz Es gibt genau eine differenzierbare Funktion ' W R ! R mit
0
' D ';
'.0/ D 1:
exCy D ex ey ;
wie es sich für eine Exponentialfunktion gehört.
Diese ist reell analytisch und besitzt bei 0 die auf ganz R konvergierende Potenzreihenentwicklung
'.x/ D
1
X
xn
x2
D1CxC
C :::
n!
2!
:
10-B
Der Logarithmus und allgemeine Potenzen
nD0
Deﬁnition Die in Satz 10.1 eindeutig deﬁnierte Funktionen heißt Exponentialfunktion und wird mit › exp ‹ bezeichnet. 10.2 Satz Die Exponentialfunktion expW R ! R ist streng monoton steigend
und bildet R bijektiv auf .0; 1/ ab. Außerdem gilt
0
(ii) exp.x/ exp.x/ D 1,
für alle x; y 2 R . lim x
exp.x/ D 1;
und es gilt unter Anderem log 1 D 0, log e D 1 sowie
10.4 Satz Die Logarithmusfunktion logW .0; 1/ ! R ist streng monoton steigend und differenzierbar, und es gilt
Satz Für jedes n 0 gilt
x!1
log D exp1 W .0; 1/ ! R;
sowie limx!1 log x D 1 und limx!0 log x D 1.
(iii) exp.x C y/ D exp.x/ exp.y/
n
Es ist also
elog x D exp log x D x;
(i) exp .x/ D exp.x/,
10.3
Deﬁnition Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion heißt Logarithmusfunktion und wird mit ›log‹ bezeichnet. (i) log0 x D 1=x ,
n
lim x exp.x/ D 0:
x!1
(ii) log.xy/ D log x C log y
für alle x; y > 0. 103
Der Logarithmus und allgemeine Potenzen
10-C
10.5 Zusatz Die Logarithmusfunktion ist reell analytisch auf .0; 1/ und besitzt
die Potenzreihendarstellung
log.1 C x/ D
1
X
.1/n1
nD1
xn
x2
x3
Dx
C
:::
n
2
3
für jxj < 1. 10-C
10-C
10.9
Satz Es gibt genau eine zweimal differenzierbare Funktion s W R ! R mit
s.0/ D 0;
s 0 .0/ D 1;
und genau eine zweimal differenzierbare Funktion c W R ! R mit
Allgemeine Potenzen
Deﬁnition Für a > 0 und x 2 R ist
10.6
104
Sinus und Cosinus
1s 00 C s D 0;
(k)
ax WD ex log a :
Sinus und Cosinus
Satz Für a > 0 und n 2 Z, m 2 N gilt
n
n
exp
log a D a1=m :
m
10.7 Satz Für jedes a > 0 ist die Funktion x 7! ax streng monoton steigend
und differenzierbar auf R , und es gilt:
(i) .ax /0 D ax log a,
c 00 C c D 0;
c 0 .0/ D 0:
c.0/ D 1;
Beide Funktionen sind reell analytisch und besitzen die auf ganz R konvergierenden
Potenzreihendarstellungen
s.x/ D
1
X
.1/n
nD0
x 2nC1
;
.2n C 1/!
c.x/ D
.1/n
nD0
x 2n
:
.2n/!
10.10 Satz Für die Sinus- und Cosinusfunktion gilt:
(i) sin0 x D cos x und cos0 x D sin x ,
(ii) sin.x/ D sin x und cos.x/ D cos x ,
(iii) .ab/x D ax b x ,
(iii) sin2 x C cos2 x D 1,
(iv) axy D .ax /y ,
(iv) sin.x C y/ D sin x cos y C cos x sin y ,
(v) cos.x C y/ D cos x cos y sin x sin y ,
für alle x; y 2 R . 10.8 Satz Für jedes r 2 R ist die Funktion x 7! x r auf .0; 1/ differenzierbar,
und es gilt
(i) .x r /0 D r x r 1 ,
(ii) log x r D r log x . Deﬁnition Die durch 1 und (k) eindeutig deﬁnierten Funktionen heißen Sinus und
Cosinus und werden mit sin und cos bezeichnet. (ii) axCy D ax ay ,
für alle a; b > 0 und x; y 2 R . 1
X
10.11 Satz Es gibt eine eindeutig bestimmte reelle Zahl > 0, so dass
sin
D 1;
2
sin D 0;
sin x > 0;
x 2 .0; /:
Außerdem ist die Cosinusfunktion streng monoton fallend auf Œ0; mit
cos 0 D 1;
cos
D 0;
2
cos D 1;
sie bildet somit Œ0; bijektiv auf Œ1; 1 ab. 105
Weitere trigonometrische Funktionen
10-D
10.12 Satz Die Funktionen sin und cos sind antiperiodisch mit der Periode und periodisch mit der Periode 2 . Das heißt, es gilt
sin.x C / D sin x;
sin.x C 2/ D sin x;
cos.x C / D cos x;
cos.x C 2/ D cos x:
Außerdem gilt
sin.x C =2/ D cos x;
10-E
Weitere trigonometrische Funktionen
Arcusfunktionen
Folgende Einschränkungen sind umkehrbar:
sinW Œ=2; =2 ! Œ1; 1;
cos.x C =2/ D sin x . 106
cosW Œ0; ! Œ1; 1
und
tanW .=2; =2/ ! R:
Die zugehörigen Umkehrfunktionen werden Arcus Sinus, Arcus Cosinus und Arcus
Tangens genannt, und mit
10.13 Satz Die Funktion
W R ! R2 ;
t 7! .cos t; sin t /
bildet die Intervalle Œ0; und Œ; 2 bijektiv auf den oberen Einheitskreissektor
˚
S C D .x; y/ W x 2 C y 2 D 1; y 0
respektive unteren Einheitskreissektor
˚
S D .x; y/ W x 2 C y 2 D 1; y 0
arcsin;
arccos;
bezeichnet.
10.15 Satz Die Funktionen
arcsinW Œ1; 1 ! Œ=2; =2;
ab. arccosW Œ1; 1 ! Œ0; ;
arctanW R
10-D
arctan
sind sämtlich stetig und im Innern ihrer Deﬁnitionsbereiche differenzierbar, und es
gilt
Weitere trigonometrische Funktionen
1
arcsin0 x D p
;
1 x2
Tangens und Cotangens
Deﬁnition Die Tangens- und Cotangensfunktion sind deﬁniert durch
tanW R fx W cos x D 0g ! R;
sin x
x!
7
cos x
cotW R fx W sin x D 0g ! R;
x 7!
cos x
:
sin x
Andere Bezeichnungen sind tg und ctg .
10.14 Satz Die Funktionen tan und cot sind ungerade, periodisch mit der Periode
, und auf ihren Deﬁnitionsbereichen unendlich oft differenzierbar mit Ableitungen
1
;
cos2 x
cot0 x D 1
sin2 x
:
arccos0 x D p
sowie
arctan0 x D
und
tan0 x D
! .=2; =2/
1
;
1 C x2
x 2 R:
1
1 x2
;
x 2 .1; 1/;
107
Exp, Sin und Cos im Komplexen
10-E
10-E
Exp, Sin und Cos im Komplexen
10-E
Exp, Sin und Cos im Komplexen
108
Die Polardarstellung komplexer Zahlen
Deﬁnition Für z 2 C ist
exp z D
10.19 Satz und Deﬁnition Zu jedem z 2 C existiert genau ein r > 0 und ein
' 2 Œ0; 2/ mit
1
X
zn
n!
nD0
1z D r ei' :
sowie
sin z D
1
X
.1/n
nD0
z 2nC1
;
.2n C 1/!
cos z D
1
X
.1/n
nD0
z 2n
:
.2n/!
10.16 Satz Die Funktionen exp , sin und cos sind auf C beliebig oft differenzierbar, sogar reell analytisch, und es gilt
exp0 D exp;
sin0 D cos;
Außerdem gilt
z; w 2 C:
Setzen wieder
10.20 Satz Ist n 1, so gibt es genau n verschiedene komplexe n-te Wurzeln der
Zahl 1, die sogenannten n-ten Einheitswurzeln
k;n D e2ki=n ;
ez WD exp z:
10.17 Eulersche Formel Für alle z 2 C gilt
eiz D cos z C i sin z:
Für reelle Argumente gilt erst recht
eix D cos x C i sin x;
n 2 Z:
Für z D 0 ist das Argument nicht wohldeﬁniert.
Außerdem gilt die Funktionalgleichung
x 2 R;
und insbesondere die berühmte Eulersche Gleichung
ei C 1 D 0:
10.18 Satz Die Funktion
W R ! C;
Das Argument von z ¤ 0 ist also diejenige eindeutige reelle Zahl ' mit
z
;
0 ' < 2:
ei' D
jzj
z D r ei' D r ei.'C2n/ ;
cos0 D sin :
exp.z C w/ D exp.z/ exp.w/;
Diese reelle Zahl ' heißt das Argument der komplexen Zahl z ¤ 0. x 7! eix
ist periodisch mit der Periode 2 und bildet das Intervall Œ0; 2/ bijektiv auf den
Einheitskreis S D fz 2 C W jzj D 1g ab. 0 k < n:
Dabei ist immer 0;n D 1.
10.21 Satz Zu jeder komplexen Zahl w D r ei ¤ 0 gibt es genau n verschiedene
n-te Wurzeln, nämlich
p
z0 D n r ei =n ; 0 k < n:
zk D k;n z0 ;
Bemerkung. Dabei ist keine Wurzel vor der anderen ausgezeichnet! 11-C
11-B
11.3
11
11-A
11.1
Das Gegenbeispiel von Cauchy
11-C
Cauchys Gegenbeispiel Die Funktion ' W R ! R mit
(
2
e1=x ; x ¤ 0;
'.x/ D
0;
x D 0;
n 0:
g ./ .x0 / D 0;
D 0; : : : ; r 1;
sowie
g .r / .x0 / ¤ 0:
lim
x!x0
f .x/
f .r / .x0 /
:
D .r /
g.x/
g .x0 /
W R ! R mit
11.2 Satz (Borel) Zu jeder Folge .an /n0 reeller Zahlen existiert eine Funktion
f 2 C 1 .R/ mit
n 0:
Die Regeln von l’Hopital
Dann existiert der Grenzwert limx!x0 f .x/=g.x/ , und es gilt
Eine nützliche Variante dieses Beispiels ist die Funktion
(
2
e1=x ; x > 0;
.x/ D
0;
x 0:
11.5 Verallgemeinerte Regel von l’Hopital Seien f; g 2 C 1 .I / und x0 ein eigentlicher oder uneigentlicher Randpunkt des (punktierten) Intervalls I . Ferner sei
(0)
lim f .x/ D lim g.x/ D 0;
x!x0
x!x0
oder
(1)
lim f .x/ D lim g.x/ D 1;
x!x0
x!x0
sowie
Das heißt, formal ist
1
X
Satz Die Eulersche Zahl e ist irrational. f ./ .x0 / D 0;
Es gilt außerdem limx!˙1 '.x/ D 1 .
T0 f .x/ D
Zur Eulerschen Zahl
11.4 Regel von l’Hopital Seien f; g 2 C r .I / mit r 1, und in einem Punkt
x0 2 I gelte
ist unendlich oft differenzierbar, und alle ihre Ableitungen bei 0 verschwinden:
1 .n/
f .0/ D an ;
n!
110
Bemerkung. Sie ist sogar transzendent. Das Gleiche gilt auch für die Zahl ,
doch ist der Beweis wesentlich schwieriger. Ergänzungen
' .n/ .0/ D 0;
Die Regeln von l’Hopital
an x n :
nD0
Doch in den meisten Fällen wird der Konvergenzradius 0 sein.
(1)
g 0 .x/ ¤ 0;
x 2 I:
Existiert dann limx!x0 f 0 .x/=g 0 .x/ als eigentlicher oder uneigentlicher Grenzwert, so existiert auch limx!x0 f .x/=g.x/ , und es gilt
(2)
lim
x!x0
f .x/
f 0 .x/
D lim 0
:
x!x0 g .x/
g.x/
111
Konvexität
11-D
11-E
fC0 .x0 / D lim D.x; x0 /:
xx0
xx0
Für diese gilt
f0 .x0 / fC0 .x0 /;
Bemerkung. Mit g D id erhält man den »üblichen« Mittelwertsatz. außerdem gilt
(k)
11-D
112
f0 .x0 / D lim D.x; x0 /;
11.6 Verallgemeinerter Mittelwertsatz Sind f; gW Œa; b ! R stetig, in .a; b/
differenzierbar, und hat g 0 keine Nullstelle in .a; b/ , so gibt es ein 2 .a; b/ mit
f .b/ f .a/
f 0 ./
D 0 :
g.b/ g.a/
g ./
Konvexität
f .x/ > f .x0 / C m.x x0 /;
x ¤ x0 ;
für jedes m mit f0 .x0 / m fC0 .x0 /. Konvexität
Die afﬁne Funktion
Deﬁnition Sei I ein offenes Intervall.
(i) Eine Funktion f W I ! R heißt strikt konvex, wenn für alle a < b in I
gilt:
1f ..1 t/a C tb/ < .1 t /f .a/ C tf .b/;
0 < t < 1:
Sie heißt konvex, wenn 1 mit ›‹ statt ›< ‹ gilt.
(ii) f heißt (strikt) konkav, wenn f (strikt) konvex ist. Bemerkung. Dies ist eine punktweise Deﬁnition. Es wird keinerlei Regularität
der Funktion f vorausgesetzt, wie zum Beispiel Stetigkeit. Notation Für u ¤ v setzen wir
f .u/ f .v/
;
uv
die Sehnensteigung von f über dem Intervall zwischen u und v . D.u; v/ D
11.7
Lemma Ist f W I ! R strikt konvex, so gilt für beliebige a < x < b in I
D.a; x/ < D.a; b/ < D.x; b/:
Umgekehrt folgt aus D.a; x/ < D.x; b/ für beliebige a < x < b in I , dass f
strikt konvex ist. 11.8
Lemma Ist f W I ! R strikt konvex, so ist für jedes x0 2 I die Funktion
x 7! D.x; x0 /
strikt wachsend auf I fx0 g . 11.9 Satz Ist f W I ! R strikt konvex, so ist f stetig, und in jedem Punkt x0 2 I
existieren die links- und rechtsseitigen Ableitungen
.x/ D f .x0 / C m.x x0 /
heißt eine Stützfunktion von f in x0 .
Bemerkung. Man kann die Existenz einer afﬁnen Stützfunktion in jedem Punkt
auch als Deﬁnition der Konvexität wählen. Zu jedem Punkt x0 2 I soll es also eine
afﬁne Funktion geben mit
f .x0 / D .x0 /;
f .x/ > .x/;
x ¤ x0 :
Sind dann a < b in I ,
x0 D .1 t/a C t b;
0 < t < 1;
so ergibt sich . . . Konvexität und Differenzierbarkeit
11.10 Satz Sei f W I ! R differenzierbar. Dann ist f strikt konvex genau dann,
wenn f 0 strikt wachsend ist. 11.11 Satz Ist f W I ! R zweimal differenzierbar und f 00 auf I positiv, so ist f
strikt konvex. 11.12 Satz Ist f W I ! R zweimal differenzierbar und f 00 auf I negativ, so ist
f strikt konkav. 113
Ungleichungen
11-E
11-E
Unter einer Konvexkombination oder einem verallgemeinerten arithmetischen Mittel
von reellen Zahlen x1 ; : : : ; xn versteht man eine Linearkombination
1 x1 C C n xn
1 C C n D 1;
1in
114
1
;
p
1 < p < 1;
und das zweite Gewicht als
mit nichtnegativen Gewichten 1 ; : : : ; n mit Gesamtsumme 1:
min xi Ungleichungen
Ein anderer, wichtiger Spezialfall ist der Fall n D 2 . Hier schreibt man das erste
Gewicht in der Form
Ungleichungen
Dies impliziert
11-E
i 0;
1 i n:
n
X
i xi max xi :
Dann ist auch 1 < q < 1, und man nennt q den zu p konjugierten Exponenten.
Man betrachtet also p; q mit
1
1
C D 1;
p
q
1in
iD1
1
p
1
D1
, qD
:
q
p
p1
1 < p; q < 1:
Die einzigen selbstadjungierten Exponenten sind p D q D 2.
Das typische Beispiel ist das arithmetische Mittel:
n
X
x1 C C xn
i xi ;
D
n
i D
iD1
1
:
n
Ein anderes Beispiel ist .1 t/a C tb mit 0 < t < 1.
11.15 Youngsche Ungleichung Ist 1=p C 1=q D 1 mit 1 < p; q < 1, so gilt
ab bq
ap
C ;
p
q
a; b 2 RC :
Gleichheit gilt genau dann, wenn ap D b q . 11.13 Jensensche Ungleichung Ist f W I ! R strikt konvex, so gilt
f .1 x1 C C n xn / 1 f .x1 / C C n f .xn /
für jede Konvexkombination von Punkten in I . Gleichheit besteht dabei genau dann,
wenn alle xi gleich sind. Deﬁnition Für x D .x1 ; : : : ; xn / 2 Rn und p 2 Œ1; 1/ heißt
X
1=p
n
jxi jp
kxkp WD
iD1
die p-Norm von x . 11.14 Verallgemeinerte Ungleichung des AGM Seien 1 ; : : : n positive Gewichte mit 1 C C n D 1 . Dann gilt für beliebige nichtnegative reelle Zahlen
x1 ; : : : ; xn die Ungleichung
x1 1 xnn 1 x1 C : : : C n xn :
Gleichheit gilt genau dann, wenn alle xi gleich sind. Der wichtigste Spezialfall ist die klassische Ungleichung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel,
.x1 xn /1=n .x1 C : : : C xn /=n;
die mit i D 1=n folgt.
Zur Erinnerung:
hx;yi D
n
X
xi yi ;
x; y 2 Rn :
iD1
11.16 Höldersche Ungleichung Mit 1 < p; q < 1 und 1=p C 1=q D 1 gilt
jhx;yij kxkp kykq ;
x; y 2 Rn :
11.17 Minkowskische Ungleichung Für 1 p 1 gilt
kx C ykp kxkp C kykp ;
x; y 2 Rn :
Zur Erinnerung: kxk1 D max1in jxi j.
115
Ungleichungen
11.18 Korollar Für 1 p 1 ist kkp eine Norm auf Rn . 11.19 Satz Für jedes x 2 Rn ist die normalisierte p-Norm,
X
1=p
n
1
1
xp WD 1=p kxkp D
;
jxi jp
n
n
iD1
eine monoton wachsende Funktion in p 2 Œ1; 1/ mit
lim xp D kxk1 :
p!1
11-E