Klausur zu Wahrscheinlichkeitsrechnung und Analysis AI 2 SS 2006

Klausur zu
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Analysis
AI 2
SS 2006, 18.07.2006
Prof. Dr. Hans-Jürgen Steffens
Name:
Vorname:
Matrikelnummer:
Die Klausur besteht aus 25 Aufgaben.
Es sind maximal 200 Punkte zu erreichen.
Es sind alle Hilfsmittel zur selbständigen Bearbeitung erlaubt.
Sie werden zeitlich nicht alle Aufgaben bearbeiten können. Konzentrieren Sie sich deshalb auf diejenigen Aufgaben, die Ihnen liegen.
Markieren Sie bitte die Aufgaben, die Sie bearbeitet haben.
Aufgabe
Punkte
1
7
2
7
Aufgabe
Punkte
9
4
10
6
3
8
11
6
4
12
12
10
5
10
13
4
6
8
7
10
14
8
1
8
8
15
8
16
8
17
8
18
6
19
7
20
8
21
6
22
15
23
8
24
8
25
10
1. Teil Wahrscheinlichkeitsrechnung
Elementare Ereignisse
Aufgabe 1: (7 Punkte)
Gegeben sei folgende Permutation:
µ
1 2 3
3 5 6
4
2
5 6
7 1
7
4
¶
(so zu lesen, dass 1 auf 3, 2 auf 5, 3 auf 6 etc. abgebildet werden.)
Zerlegen Sie diese Permutation zunächst in elementfremde Zyklen und im Anschluss in eine Folge von Transpositionen (2–er Vertauschungen).
Aufgabe 2: (7 Punkte)
Zwei Würfel werden einmal geworfen. Man berechne die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass man die folgenden Augenkombinationen erhält:
a) auf einem Würfel zwei Augen,
b) auf wenigstens einem Würfel drei Augen,
c) eine gerade Augensumme,
d) eine durch drei teilbare Augensumme,
e) eine Augensumme, die größer ist als sieben,
f) eine Augensumme, die kleiner ist als zehn,
g) eine Augensumme, die eine Primzahl ist.
Hinweis: wir haben es hier mit 36 Elementarereignissen zu tun, da die Würfel unterscheidbar sind.
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Aufgabe 3: (8 Punkte)
Seien A1 , A2 , A3 Ereignisse eines Wahrscheinlichkeitsraumes mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion p. Zeigen Sie, dass gilt:
p(A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = p(A1 ) · p(A2 |A1 ) · p(A3 |A1 ∩ A2 ).
Hinweis: Die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse A, B ist definiert
p(A ∩ B)
. Setzen Sie ausgehend hiervon zunächst A1 ∩ A2 in
durch p(A|B) =
p(B)
die Rolle von B und A3 in die Rolle von A.
2
Aufgabe 4: (12 Punkte)
Sehen Sie eine Möglichkeit, das Ergebnis von Aufgabe 3 zu verallgemeinern
und induktiv zu beweisen?
Aufgabe 5: (10 Punkte)
Zeigen Sie, dass bei unabhängigen Ereignissen A und B auch die komplementären Ereignisse A und B unabhängig sind.
Hinweis: Zwei Ereignisse sind unabhängig genau dann, wenn p(A ∩ B) = p(A) ·
p(B). Benutzen Sie auch die Gleichung p(A = 1 − p(A) etc.
Aufgabe 6: (8 Punkte)
Gegeben seien 3 Urnen: Die erste Urne enthält 4 rote und 6 weiße Kugeln.
Die zweite Urne enthält 3 rote und 1 weiße Kugel. Die dritte Urne enthält 2
rote und 4 weiße Kugeln.
Aus einer zufällig ausgewählten Urne wird eine Kugel zufällig gezogen. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel aus der ersten Urne gezogen
wurde, wenn sie rot ist?
Hinweis: Benutzen Sie die Bayessche Formel.
3
Statistische Analysen
Aufgabe 7: (10 Punkte)
10 Studenten (m/w) nehmen an einer Klausur teil. Ihre Noten und ihre wöchentlichen
Arbeitszeiten für die Klausur sehen wie folgt aus:
Student:
Note:
Arbeitszeit:
e1
2
4
e2
3
5
e3
3
2
e4
5
2
e5
1
5
e6
2
7
e7
4
4
e8
4
2
e9
5
3
e10
2
5
Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten der beiden Zufallsvariablen für Note
und Arbeitszeit.
Aufgabe 8: (8 Punkte)
Ein Würfel, der “im Verdacht steht” besonders viele 6–en zu ergeben, wird
gestestet. Nach 1.000.000–maligem Würfeln hat er 180.000 mal eine 6 gezeigt.
Bewegt sich dies noch in einem Bereich, der als zulässig erachtet werden könnte?
Hinweis: Schätzen Sie die Abweichung vom Erwartungswert mit Hilfe der Tschebyscheffschen Ungleichung ab. Erwartungswert und Streuung können bzgl. der Binomialverteilung (mit p = 1/6) berechnet werden.
4
2. Teil Analysis
Basics
Aufgabe 9: (4 Punkte)
Worin besteht der wesentliche Unterschied zwischen den rationalen und den
reellen Zahlen und bei welchen Sätzen haben wir ihn notwendig gebraucht?
(Nennen Sie mindestens einen Satz.)
Unendliche Folgen
Aufgabe 10: (6 Punkte)
Wenn wir davon ausgehen, dass jede reelle Zahl und damit insbesondere jede
irrationale Zahl ι sich als unendlicher Dezimalbruch darstellen lässt:
ι = n, z1 z2 z3 · · ·
mit n ∈ Z und zi ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, wie lässt sich dann ein einfacher
Beweis daraus gewinnen, dass jede irrationale Zahl als Grenzwert einer konvergenten Folge, die ausschließlich aus rationalen Zahlen besteht, erhalten werden
kann?
Aufgabe 11: (6 Punkte)
Konstruieren Sie eine Folge reeller Zahlen (d.h. formulieren Sie ein Bildungsgesetz), die weder nach oben noch nach unten beschränkt ist und die 3 Häufungspunkte hat.
Aufgabe 12: (10 Punkte)
Gegeben sei die induktiv definierte Folge mit einem F = 0:
½
1,
n = 0;
xn =
1/2 · (xn−1 + F/xn−1 ), n > 0.
Zeigen Sie, dass diese Folge konvergiert, und bestimmen Sie den Grenzwert.
√
Hinweis: Zeigen Sie induktiv zunächst, dass xn = F für alle n > 1 und
zeigen Sie dann, dass xn monoton fallend ist ab n = 1. (Letzteres√geht ohne
vollständige Induktion unter Benutzung des Ergebnisses, dass xn = F ).
5
Aufgabe 13: (4 Punkte)
Zeigen Sie, dass die Folge an =
2n
eine Nullfolge ist.
n!
Hinweis: Sie können dies auf zwei Weisen zeigen. Entweder Sie finden durch
geeignete Abschätzungen eine Majorante, von der wir schonPwissen, dass Sie eine
n
∞
Nullfolge ist. Oder Sie betrachten die unendliche Reihe n=0 2n! und zeigen,
dass diese Reihe konvergiert, woraus notwendig folgt, dass die Folge der Summanden eine Nullfolge sein muss.
Aufgabe 14: (8 Punkte)
Welche der Folgen (an ) konvergiert? Was ist im Fall der Konvergenz ihr Grenzwert und nach spätestens welchem N hat die Folge noch höchstens einen Abstand
5 ε (für ein vorgegebenes ε > 0) vom jeweiligen Grenzwert (für den Fall, dass
die Folge konvergiert).
n3 + n2
4n3
n3
b) an = 4
n +n
n3
c) an = 2
.
n +4
a) an =
6
Unendliche Reihen
Aufgabe 15: (8 Punkte)
Die sog. Partitions–Funktion eines linearen Oszillators in der Physik ergibt
sich zu
∞
X
Q=
e−}ω(n+1/2)/kT .
n=0
Wir brauchen hier nur zu wissen, dass }, ω, k, T für uns positive konstante reelle
Zahlen sind.
Aufgabe: Berechnen Sie den Grenzwert der unendlichen Reihe, d.h. berechnen Sie Q.
Hinweis: Erkennen Sie in Q das Muster einer bekannten konvergenten Reihe,
die Sie aus Q nach Ausklammern des gemeinsamen Faktors e−}ω/2kt aus den
einzelnen Summanden extrahieren können. (Wenden Sie also die Regeln der
Bruchrechnung und Potenzrechnung an.)
Aufgabe 16: (8 Punkte)
Analysieren Sie mit dem Minoranten bzw. dem Majorantenkriterium, welche
der folgenden Reihen konvergiert und welche divergiert:
P∞
1
log(n)
P∞ n!
b) n=0 n
n
P∞
1
c) n=0
1 + n2
P∞
1
d) n=0 p
.
n(1 + n)
a)
n=2
Hinweis zu a): Wie verhält sich der Wert von log(n) im Vergleich zu n? (s.
Übung 11.)
7
Aufgabe 17: (8 Punkte)
Analysieren Sie mit dem Wurzel– oder mit dem Quotientenkriterium, welche
der folgenden Reihen konvergiert und welche divergiert.
P∞
1
(log(n))n
P∞ n!
b) n=0 n
n
P∞
x2n+1 2n+1
c) n=0 (−1)n ·
x
(2n + 1)!
a)
n=2
(x beliebig, aber fest gewählt)
Hinweis zu b): Benutzen Sie das Quotientenkriterium und erkennen Sie im Quotienten einen Ausdruck, der gegen eine bekannte Funktion konvergiert, so dass
Sie für den Quotienten eine klare Aussage darüber erhalten, ob er irgendwann
endgültig kleiner einem q < 1 ist.
Aufgabe 18: (6 Punkte)
Betrachten Sie die Taylorentwicklung von
log(1 + x) =
∞
X
(−1)n+1 ·
n=1
xn
n
Zeigen Sie mit Hilfe des Quotientenkriteriums, dass die Reihe für “große” x divergiert. Für welche x zum Beispiel? (Damit ist gleichzeitig gezeigt, dass die
aus der Taylorentwicklung erhaltene Potenzreihe keinen unendlichen Konvergenzradius hat, dass also die Taylorreihe die Funktion nur in einem beschränkten
Intervall approximiert.)
Grenzwerte
Aufgabe 19: (7 Punkte)
Existiert der Limes
lim cos(1/x)
x→0
?
Hinweis: Der Limes existiert genau dann, wenn für jede Folge xn → 0 (mit
xn 6= 0) die sich hieraus ergebende Folge yn = cos(1/xn ) gegen einen (und zwar
immer denselben) Grenzwert konvergiert.
8
Aufgabe 20: (8 Punkte)
Betrachten Sie folgenden Beweis, dass jede (an einem Punkt x0 ) differenzierbare Funktion f stetig ist (am Punkt x0 ):
f differenzierbar
⇒∗
⇒∗∗
⇒∗∗∗
⇒∗∗∗∗
f (x) = f (x0 ) + f0 (x − x0 ) + o(x − x0 )
lim f (x) = lim f (x0 ) + lim f0 (x − x0 ) + lim o(x − x0 )
x→x0
x→x0
x→x0
x→x0
lim f (x) = f (x0 ) + 0 + 0 = f (x0 )
x→x0
f ist stetig.
Begründen Sie jeweils die mit Sternen gekennzeichneten Folgerungspfeile.
Differentialrechnung
Aufgabe 21: (6 Punkte)
Zeigen Sie mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung, dass die Exponentialfunktion e(x) eine streng monoton wachsende Funktion ist.
Hinweis: Neben der Ableitung der Exponentialfunktion brauchen Sie hierzu
nur die Eigenschaft, dass e(x) > 0 für alle x.
9
Aufgabe 22: (15 Punkte)
Zeigen Sie, dass die Ableitung der Wurzelfunktion sich ergibt zu
√
1
( x)0 = √ ,
2 x
√
a) indem Sie den Grenzwert ( x0 )0 = limx→x0
√
√
x− x0
x−x0
direkt ausrechnen,
√
b) indem Sie x = x1/2 = e(1/2)·log(x) setzen und letzteres mit Hilfe der Kettenregel ableiten,
c) indem Sie mit der Umkehrabbildung der Wurzelfunktion operieren und für
den ersten Term der folgenden Gleichungen die Kettenregel anwenden:
√
(( x)2 )0 = (x)0 = 1,
d) indem Sie für den ersten Term der folgenden Gleichungen die Produktregel
anwenden:
√ √
( x x)0 = (x)0 = 1.
Zusatzfrage: Lassen sich die Verfahren b) – d) skalieren, dass sie auch für die
Ableitung höherer Wurzeln benutzt werden können?
Aufgabe 23: (8 Punkte)
Gegeben seien zwei differenzierbare Funktionen f und g mit limx→x0 f (x) =
f (x0 ) = 0 und limx→x0 g(x) = g(x0 ) = 0.
Zeigen Sie mit Hilfe des 2. Mittelwertsatzes, dass
lim
x→x0
Hinweis: Sie können
f (x)
g(x)
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
.
g(x) x→x0 g (x)
auf Grund der Voraussetzungen offensichtlich schreiben
f (x)−f (x0 )
g(x)−g(x0 ) ,
als
so dass Sie nach Anwendung des 2. Mittelwertsatzes nur noch
die Limites geeignet betrachten müssen.
10
Aufgabe 24: (8 Punkte)
Benutzen Sie das Ergebnis der vorangegangenen Aufgabe, um den Grenzwert
sin(x)
x→0
x
lim
zu berechnen.
Zusatzfrage: Könnte man den gefundenen Grenzwert auch unter Zuhilfenahme
der Taylorentwicklung des Sinus berechnen oder zumindest plausibel machen?
Aufgabe 25: (10 Punkte)
Entwickeln Sie die Funktion f (x) =
x0 = 0 herum.
√
1 + x in eine Taylorreihe um den Punkt
Hinweis: Mit den verallgemeinerten Binomialkoeffizienten
µ ¶ ½
a
1,
i = 0;
=
a(a
−
1)
·
·
·
(a
−
i
+
1),
sonst.
i
für beliebiges a ∈ R (also insbesondere für a = 1/2) lässt sich die Taylorreihe in
einer sehr kompakten Form hinschreiben.
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