Prinzipien einer Standard Analysis eH α version - TU Berlin

Prinzipien einer Standard
Analysis
eH
α version
Michael Pfender1
July 1, 2014
1
[email protected]
2
Abstract
We introduce formally small entities such as ε, dx, dy etc. as non-zero null
sequences of rational numbers. All rational sequences form an extended domain R of real numbers, extended by small, big and non-convergent numbers.
Differenzials are introduced as small differences, integrals as infinite sums over
small parts. This is to give a formal background to notions and some basic
theorems of real analysis before the 19th century.
In a second part an attempt is made to a Quaternion Analysis based on
the above principles of a formalised standard real analysis. We continue with
an Analysis of a 12-dimensional Vektoralgebra obtained from the algebra of
quaternion quaternions by quotient formation and shrinking 2 dimensions to
smallness. It is hoped that this analysis could be usefull for geometry and for
mathematical physics.
Contents
1 Reelle Standardanalysis
1.1 Skalare Zahlbereiche . . . . . . .
1.2 Primlogarithmen . . . . . . . . .
1.2.1 Exempel . . . . . . . . . .
1.3 Nullfolgen als kleine Zahlen . . .
1.4 Differenziale und Differenziation
1.5 Integration . . . . . . . . . . . .
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8
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9
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13
2 Intermission:
Abbildungen rekursiv
17
2.1 µ-Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Universum CCI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Internal hom und Quantorenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Reelle Standard Analysis
3.1 Limites . . . . . . . . . . . . .
3.2 Internal hom und reelle Zahlen
3.3 Zwischenwertsatz . . . . . . . .
3.4 Der Satz von Rolle . . . . . . .
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4 Komplexe Analysis
4.1 Komplexe Algebra . . .
4.1.1 Eulerformel . . .
4.2 Komplexes Differenzial .
4.3 Potenzreihenentwicklung
4.4 Kurven und Tangenten .
4.5 Kurvenintegrale . . . . .
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3
4
CONTENTS
5 Quaternionenalgebra
37
5.1 Quaternionen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Quaternionenanalysis
6.1 Formen und ihre Integrale
6.2 Streckenintegrale . . . . .
6.3 Elementare Funktionen . .
6.4 Kurvenintegrale . . . . . .
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45
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52
7 Analytische Geometrie
7.1 Lineare versus sphärische Komplexe .
7.2 Quaternionen-Analysis der 1-Sphäre .
7.3 Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Eine Unterteilung der S 2 als Komplex
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8 Eine 12-dimensionale Raumzeit-Algebra
8.1 Octonionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Algebra Hh mit 8 eingerollten Dimensionen
8.3 Höhenlinien und Extrema via Fluten . . . .
8.4 Kurven in der Raumzeit Hh . . . . . . . . .
8.5 Flächen und Mannigfaltigkeiten . . . . . . .
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9 Höherdimensionale Vektoralgebren
67
9.1 Hochdimensionale quaternionische
Optimierungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.2 Optimierungsprobleme mit smallness . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10 Quaternionen Differentialgleichungen
71
Einleitung: Die Frage 0.999 . . . = 1?
Im Jahr 2003 problematisiert eine Schülerin in den Miteilungen der DMV:
0.9, 0.99, 0.999, . . . wird doch nie wirklich 1 – dieses Rundungsproblem
begegnet wohl jedem aufgeweckten Gymnasiasten.
Eine nachfolgenden Ausgabe enthielt die folgende Lösung eines Lehrers:
CONTENTS
5
Bilde das arithmetische Mittel
(1.0 + 0.999 . . .) : 2 = (1.999 . . .) : 2 = 0.999 . . .
Zwei Zahlen, deren arithmetisches Mittel mit einer der beiden übereinstimmt,
sind gleich. Also
0.999 . . . = 1.0
Kritik dieses Argumentes des Lehrers im Rahmen rationaler Folgen und Reihen:
Das arithmetische Mittel der beiden Reihen ist
mittel
=
1/2 (1.0 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + . . .)
=
(0.5 + 0.45 + 0.045 + 0.0045 + . . .)
=
(0.95 + 0.045 + 0.0045 + . . .),
als Folgen geschrieben:
0.999 . . .
=
(1 − 1/10, 1 − 1/100, 1 − 1/1000, . . .),
mittel
=
(1 − 1/20, 1 − 1/200, 1 − 1/2000, . . .)
Folgendifferenz:
mittel − 0.999 . . .
=
(1/20, 1/200, 1/2000, . . .)
=
1/2 (0.1, 0.01, 0.001, . . .)
Das vom Lehrer behauptete Verschwinden der Differenz ist aber äquivalent zur
von der Schülerin hinterfragten Gleichheit 0.999 . . . = 1.000 . . . :
Die Folge (0.1, 0.01, 0.001, . . .) wird doch nie wirklich 0 : des Lehrers Argument ist ein Zirkel.
Die klassische, Cauchy-Dedekind Analysis löst diese Schwierigkeit brutal einfach: sie identifiziert (Cauchy-)Nullfolgen mit der rationalen 0, per Axiom.
Wer – wie die Schülerin – das nicht akzeptieren will, sei auf die nichtkonstruktive (Ultrafilter, Auswahlaxiom) Non-Standard Analysis von A. Robinson verwiesen oder – konstruktiv – auf C. Schmieden u. D. Laugwitz: Eine
Erweiterung der Infinitesimalrechnung, Math. Zeitschr. Bd. 69, S. 1-39 (1958).
Diese Autoren verzichten auf Körpereigenschaft (und Nullteilerfreiheit und
lineare archimedische Ordnung) ihres Kontinuums und kommen leicht auf (infinitesimal) kleine Größen.
Das aus der Schulmathematik bekannte Rechnen mit kleinen Strecken dx,
df, d(f + g), d(f ∗ g) etc. und kleinen Dreiecken lässt sich vermutlich vollständig
6
CONTENTS
im Kalkül von Schmieden u. Laugwitz formalisieren. Eine solche Formalisierung
– Standard Analysis – stellt ein interessantes Projekt zur Analysis vom höheren
Standpunkt dar und soll hier in seinen Grundzügen skizziert werden, zunächst
im Reellen und dann – fast mit Überspringen des komplexen Falles – für Quaternionen H, und eine quaternionische Erweiterung von H um weitere, zum Teil
eingerollte Dimensionen.
Chapter 1
Reelle Standardanalysis
1.1
Skalare Zahlbereiche
• Binärziffern
2 = {0, 1}
• natürliche Zahlen, natürliche Zahlen mit 0 :
• natürliche Zahlen größer 0 :
N = N0
N> = {n ∈ N : n > 0}
• Brüche
Q≥ =
N
N>
= {
a
∈
b
(1.1)
N
a
c
}/( = ⇔ ad = bc)
N> b d
(1.2)
• ganze Zahlen
Z = N ∪ −N≥
∼
= (N × N)/((a, ã) − (b, b̃) = (a + b̃, ã + b))
(1.3)
(1.4)
• Binärzahlen
2+ = 2+ /(0 ∗ a = a) (führende Nullen),
{0, 1}+ = {0, 1}∗ r {} ⊃ N
7
(1.5)
(1.6)
8
CHAPTER 1. REELLE STANDARDANALYSIS
• binäre ganze Zahlen, integers
∼Z
I = ±2+ /(+0 = −0) =
• fixed point binary rationals
Q2 = ±2∗ .2+
• floating point reals
Q2 = ±2∗ E 2+ /(mE(e + 1) = 2mEe)
exponent
(±mantissa · 2
1.2
1.2.1
)
(1.7)
(1.8)
Primlogarithmen
Exempel
m
53·11
p
p 0
p ·p4 0
22
=
p 1
p02
=
∼
=
∼
=
2
(0(2(1.4(0(0)))) ∼
= (0(2((1)(2)(2)(0(0))))
(0(10((1)(10)(10)(0(0)))) ∈ 4∗ = {0, 1, (, )}∗
(1.11)
∼
=
∼
=
{rot, gruen, blau, gelb}∗
(1.12)
Farbspiralen
(1.13)
(1.9)
(1.10)
Das könnte sich eignen für SuperKrypto: Potenzprodukte von großen Primzahlen
(EUKLID) statt nur Produkte von 2 großen Primzahlen. Symmetrische Schlüssel,
unter Mathematikern – und Euklidisch programmierten Computern. Codierung
mit 4 Ziffern/Farben, vgl. DNS in =H ⊂ H unten.
Jede Zahl ist ein Code – ergaenze leading bzw. trailing brackets zum Ausbalanzieren. Codieren ist leicht, mit Euklidischer Tabelle von hinreichenden
Anfangsstuecken der Folge “aller” Primzahlen, dekodieren extrem schwer: Zerlegung in ein/das zugehörige Produkt von prime powers.
Schlüssel: systematische subsequence von
(n) = (0, 1, 2, . . .) ∼
= (p0 , p1 , . . . pn , . . .).
Der Code des Systems kann auf zeitlich und/oder raeumlich unabhaengigem
Wege kommuniziert werden etc. auch an ganze communities.
1.3. NULLFOLGEN ALS KLEINE ZAHLEN
1.3
9
Nullfolgen als kleine Zahlen
Eine Grundidee der Analysis ist es, Folgen und Reihen wie
ε =
π
e7
(1/1, 1/2, 1/3, . . .),
4 (1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + . . .),
∞
X
7n
72
73
=
= (1 + 7 +
+
+ . . .)
n!
2
3!
n=0
=
als Zahlen aufzufassen, als reelle Zahlen.
Addition, Negative und Multiplikation von Folgen werden komponentenweise
erklärt durch
a+b =
−a =
ab =
(an ) + (bn ) = (a0 , . . . , an , . . .) + (b0 , . . . , bn , . . .) = (an + bn ),
−(an ) = (−an ),
a · b = (an ) · (bn ) = (an bn ).
Rationale Zahlen werden isomorph eingebettet durch
Q 3 q 7→ (q, q, q, . . .).
Unter diesen Zahlen gibt es Nullteiler, z.B.
(1, 0, 1, 0, . . .) · (0, 1, 0, 1, . . .) = 0 = (0, 0, 0, . . .).
Die (Cauchy-)Nullfolgen ε und ±ε = (1, −1, 1/2, −1/2, 1/3, −1/3, . . .) sind NichtNullteiler, man kann durch sie (komponentenweise) dividieren. Allerdings ergibt
die Division endlich grosser Zahlen, z.B. von rationalen Zahlen a > 0, durch
solche non-zero Nullfolgen (betragsmäßig) unendlich große “reelle” Zahlen.
Die komponentenweise definierte Ordnung a ≤ b, a < b ist nicht linear, nicht
archimedisch, Trichotomie gilt nicht, siehe Schmieden u. Laugwitz.
Neben der komponentenweise definierten Gleichheit a = b auf diesen standard reellen Zahlen führen wir eine approximative Gleichheit a ≈ b ein durch
a ≈ b ⇐⇒ (a − b) = (an − bn ) 1,
a − b klein, betragsmäßig klein gegen 1, eine Nullfolge.
Eingeschränkt auf Cauchy-Folgen a, b ergibt dies gerade den klassischen Gleichheitsbegriff auf klassischen, 19th century reellen Zahlen.
Als Nullfolgen sollten hier genügen:
10
CHAPTER 1. REELLE STANDARDANALYSIS
• die Folgen ε und ±ε,
• Endstuecke (
1
1
1
,
,
, . . .) von ε (und von ±ε),
n0 n0 + 1 n0 + 2
• Folgen a mit |a| = (|an |) ≤ |b|, b Nullfolge,
• rationale Linearkombinationen von Nullfolgen.
[Wenn wir mit dieser Definition Probleme bekommen sollten, werden wir
wieder alle Cauchy-Nullfolgen als Standard-Nullfolgen zulassen.]
Quadratisch konvergierende Nullfolgen sind Folgen der Form γ = α · β,
α, β 1 Nullfolgen, geschrieben γ 2 1, z. B. ε2 = (1, 1/4, . . . , 1/n2 , . . .) 2 1.
Der zugehörige – quadratisch präzise – Gleichheitsbegriff werde mit a ≈2 b
bezeichnet. Allgemein: ≈k .
[Smooth infinitesimal Analysis 1 arbeitet mit quadratischer Präzision: Zum
Ring Q wird ein nilpotentes Element ε adjungiert, ε2 = 0.]
1.4
Differenziale und Differenziation
Unabhängige Differenziale wie z. B. dx, dt werden eingeführt als (freie Variable
über) Nullfolgen. Meist sollte dx = q · (±ε) genügen, q ∈ Q.
Für eine Abbildung f = f (x) : Q → Q definiere als (Standard-) Differenzial
df = df (x, dx) = f (x + dx) − f (x).
f heißt stetig in x, wenn df (x) klein, df (x) 1.
Die Ableitung, der Differenzialquotient von f, wird definiert als der StandardQuotient
df
f (x + dx) − f (x)
df
=
(x, dx) =
.
dx
dx
dx
df
f heißt differenzierbar in x, falls dx
(x, dx) unabhängig ist von der Wahl der
Nullfolge dx, möglicherweise ist dieser Quotient (approximativ) gleich ∞, −∞,
oder ±∞.
Beispielsweise ist f (x) = x · sin 2π
x stetig in x = 0, hat dort aber verschiedene
Ableitungen, je nach Wahl von dx 1. Eine solche Ableitung konvergiert für
1
dx = ( n+a
), a ∈ Q (Selbstähnlichkeit des Graphen von f ).
Differenziationsregeln:
1
I. Moerdijk, G. E. Reyes: Smooth infinitesimal Analysis, 19..
1.4. DIFFERENZIALE UND DIFFERENZIATION
11
• Summenregel:
d(af + bg) =
d(af + bg)
(x, dx) =
dx
adf + bdg,
df
dg
a
+b ,
dx
dx
• Produktregel:
d(f · g)
=
(f · g)(x + dx) − (f · g)(x)
=
f (x + dx) · g(x + dx) − f (x) · g(x)
=
(f (x) + df (x, dx)) · (g(x) + dg(x, dx)) − f (x)g(x)
=
f (x)dg(x, dx) + df (x, dx)g(x) + df (x, dx)dg(x, dx)
2
≈
f (x)dg(x, dx) + df (x, dx)g(x)
für dg(x, dx), df (x, dx) beide klein, d.h. f und g stetig in x.
Die Ableitung ergibt sich als Quotient von Differenzialen zu
d(f · g)
dx
=
≈
df (x, dx)g(x) f (x)dg(x + dx df (x)dg(x)
+
+
dx
dx
dx
df (x, dx)
dg(x, dx)
g(x) + f (x)
dx
dx
für f und g stetig in x und damit
zierbar (in x), so auch f · g.
df (x)dg(x)
dx
1. Falls f und g differen-
• Kehrwertregeln: Für x 6= 0
d
1
x
=
≈2
≈2
1
1
1
·
−
x 1 + dx
x
x
dx
dx
1
1
(1 −
+ ( )2 − . . .) −
x
x
x
x
−dx
x2
12
CHAPTER 1. REELLE STANDARDANALYSIS
Für f : Q → Q, f (x) 6= 0, stetig in x :
d(
1
, dx)
fx
d f1
dx
=
1
1
1
·
−
df
(x,dx)
fx 1 +
fx
fx
≈2
−df (x, dx)
,
f (x)2
≈
−f 0 (x)
=
f (x)2
−df (x,dx)
dx
f (x)2
• Kettenregel: Für f, g : Q → Q
d(g ◦ f )(x, dx)
= g(f (x + dx)) − g(f (x))
= g(f (x) + df (x, dx)) − g(f (x))
= g(f (x)) + dg(f (x), df (x, dx)) − g(x)
= dg(f (x), df (x, dx)).
Dieses Differenzial ist immer wohldefiniert, hängt aber i. A. von der Wahl
des unabhängigen Differenzials dx 1 ab.
d(g ◦ f )(x)
dx
=
=
=
=
dg(f (x), df (x, dx))
dx
dg(f (x), df (x,dx))
dx)
dx
dx
dg(f (x), df (x, dx)) df (x, dx)
·
df (x, dx)
dx
dg(f (x), dy) df (x, dx)
·
= g 0 (f (x)) · f 0 (x)
dy
dx
für f stetig in x und g differenzierbar in f (x), sowie f nicht lokal konstant in x : df (x, dx) kein Nullteiler. Für f lokal konstant in x gilt
d(g ◦ f )(x, dx) = 0 und insbesondere (g ◦ f )0 (x) = 0.
• Mit Kehrwertregel und Produktregel ergibt sich die Quotientenregel:
f
d (x, dx)
g
1
= d(f · )
g
df · g − f · dg
.
=
g2
1.5. INTEGRATION
13
• Polynome:
d(xn+1 )
=
(x + dx)n+1 − xn+1
=
xn+1 + nxn dx + (. . .) · dx2 − xn+1
≈2
nxn dx,
≈
nxn ,
n+1
d(x
)
dx
n
X
aj xj
d
≈2
n
X
jaj xj−1 dx.
j=1
j=0
Daraus schließlich nach Quotientenregel das Differenzial einer rationalen
Funktion:
Pm
a i xi
d Pni=0
j
j=0 bj x
Pm
Pn
Pm
Pn
( i=1 iai xi−1 ) · ( j=0 bj xj ) − ( i=0 ai xi ) · ( j=1 jbj xj−1 )
2
Pn
dx.
≈
( j=0 bj xj )2
Damit steht der Differenzialkalkül für die klassische Kurvendiskussion rationaler
Funktionen auf Q bereit.
1.5
Integration
Wir wollen hier – nach Riemann – das (bestimmte) Integral einer Abbildung f
auf einem Intervall ]a, b[ als Folge von endlichen Summen definieren:
Z b
Z b
f (x)dx = ([
f (x)dx)]n )
a
Z
[
b
f (x)dx]n =
a
a
n−1
X
i=1
f (x + idx) + f (x + (i + 1))dx
dx,
2
dx = (dxn ) = (dx1 , dx2 , . . . , dxn , . . .)
b−a
b−a
b−a
=(
) = (b − a,
,...,
, . . .),
n
2
n
Wir nennen f endlich
integrierbar auf ]a, b[, auf [a, b], wenn die Folge der SumR
[
b
f (x)dx)]n
men endlich ist, ( a n
stückweise stetig in [a, b].
) 1. Dies gilt insbesondere für f stetig oder
14
CHAPTER 1. REELLE STANDARDANALYSIS
Eigenschaften:
• Linearität
b
Z
Z
(αf (x) + βg(x))dx = α
b
Z
b
f (x)dx + β
a
a
g(x)dx,
a
• Additivität
Z
a
Z
b
f (x)dx = −
f (x)dx,
b
Z
a
c
b
Z
f (x)dx ≈
Z
c
f (x)dx +
a
a
f (x)dx
b
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung:
• Differenzial und Ableitung der unbestimmten Integralfunktion
x
Z
d
Z
f (ξ)dξ
x+dx
f (ξ)dξ −
=
a
Z
a
Z
x+dx
f (ξ)dξ
x
≈2
≈
d
Rx
für f stetig in x.
a
f (ξ)dξ
dx
2
≈
f (ξ)dξ
a
=
f (x + dx/2)dx
f (x)dx,
f (x)
x
1.5. INTEGRATION
15
• Integralfunktion des Differenzials und der Ableitung
Z
df
=
a
Z
a
x
n−1
X
x
df
dξ
dξ
(f (a + (i + 1)dξ) − f (a + idξ))]
lim[
n
i=0
=
f (x) − f (a),
=
lim[
df
n−1
X dξ
(a
n
+ idξ) +
=
=
n−1
X
lim[
n
i=0
+ (i + 1)dξ)
2
i=0
dξ = (x − a, . . . ,
≈
df
dξ (a
dξ],
x−a
, . . .)
n
df
(a + dξ)dξ]
dξ
n−1
X
(
df
stetig)
dx
f (a + (i + 1)dξ − f (a + idx)
dξ]
n
dξ
i=0
Z x
f (x) − f (a) =
df
lim[
a
16
CHAPTER 1. REELLE STANDARDANALYSIS
Chapter 2
Intermission:
Abbildungen rekursiv
Endomap-Iteration: Für eine Endomap f = f (a) : A → A, insbesondere
Domain A gleich Q oder N oder ein cartesisches Produkt aus diesen, heißt
f § = f § (a, n)
=
f n (a) = (f ◦ . . . f ◦ f )(a)
= f (. . . f (f (a)) . . .) : A × N → A
die iterierte von f.1
Als for-loop geschrieben:
b := a;
for i := 1 to n
do b := f (b) od;
f § (a) := b.
Primitiv-rekursive Abbildungen ergeben sich aus identischen Abbildungen
und Projektionen durch (assoziative) Komposition ◦, der Induzierten-Bildung
in das cartesische Produkt sowie die Iteration von Endomaps.
Die induzierte von zwei Abbildungen f = f (c) : C → A und g = g(c) : C →
B ist die Abbildung
(f, g) = (f, g)(c) = (f (c), g(c)) : C → A × B
1 Eilenberg-Elgot
notation in Recursiveness, Academic Press 1970
17
18
CHAPTER 2. INTERMISSION:
ABBILDUNGEN REKURSIV
mit der Eigenschaft
l ◦ (f, g) = f, r ◦ (f, g) = g,
l : A × B → A und r : A × B → B linke und rechte Projektion.
2.1
µ-Rekursion
Für eine Endomap f = f (a) : A → A und ein Prädikat χ = χ(a) : A → 2 ist
die while Operation wh[χ|f ] = wh[χ|f ](a) : A * A (als partielle Abbildung)
rekursiv definiert durch
(
a if ¬χ(a),
wh[χ|f ](a) =
wh[χ|f ](f a) if χ(a).
Als while-loop geschrieben:
b := a;
while χ(b)
do b := f (b) od;
wh[χ|f ](a) := b.
Partialität: dieser content driven loop terminiert möglicherweise nicht für alle
Argumente in A.
Für ein Prädikat
ϕ = ϕ(a, n) : A × N → 2 = {0, 1} = {false, true}
sei µϕ = µϕ(a) : A * N gegeben durch
µϕ(a)
=
min{n : ϕ(a, n) = true}
= rb
◦ wh[¬ϕ|A × s](a, 0) : A → A × N * A × N → N
Hier ist s = s(n) = n + 1 :
partiellen Abbildungen.
Als loop geschrieben:
m := 0;
while ¬ϕ(a, m)
do m := m + 1 od;
µϕ(a) := m.
N → N der successor und b◦ die Komposition von
2.2. UNIVERSUM CCI
19
Umgekehrt drückt sich die while Operation aus durch den µ-Operator:
wh[χ|f ] = f µ{n:¬χ(f
n
(a))}
: A * A.
Complexity Controlled Iteration
Die Daten einer CCI sind ein Endo f = f (a) : A → A verbunden mit einem
Komplexitätsmaß c = c(a) : A → O in ein (linear geordnetes) Ordinal, mit
Minimum 0 ∈ O und nur endlich absteigenden Ketten, Haupt-Beispiele: N × N
mit hierarchischer Ordnung
(n1 , n2 ) < (ñ1 , ñ2 ) ⇐⇒ (n1 < ñ1 ) ∨ (n1 = ñ1 ) ∧ (n2 < ñ2 ),
sowie dann die Erweiterung zum Polynom-Semiring N[ω], hierarchisch geordnet:
die Unbestimmte ω steht für große natürliche Zahlen.
Eine CCI = CCI[c, f ](a) : A → A mit Komplexitätswerten in Ordinal O
ist ein while loop wh[c > 0|f ] mit Endo f = f (a) : A → A und absteigender
Argumente-Komplexität c = c(a) : A → O :
c(a) > 0 =⇒ cf (a) < c(a),
c(a) = 0 =⇒ f (a) = a.
Für O = N erhalten wir die primitiv rekursiv Iterierten, für O = N × N Abbildungen vom Ackermann-Typ (nicht mehr PR), die Evaluation von PR map
codes ist eine CCI mit Komplexität in N[ω].
2.2
Universum CCI
Durch Hinzunahme der iterierten maps zum cartesischen Universum erhielten
wir das Universum PR der primitiv rekursiven Abbildungen. Wir schließen jetzt
weiter ab gegen complexity controlled iteration und erhalten ein Universum CCI
der complexity controlled maps.
Wir erzwingen cartesiannes von CCI durch das folgende Axiom über die
Natürlichkeit der Projektionsfamilien l und r :
20
CHAPTER 2. INTERMISSION:
ABBILDUNGEN REKURSIV
Für CCI Abbildungen f : A → A0 , g : B → B 0
AO
l
A×B
f
/B
O
=
l
f ×g
=
r
B
g
/ A0 × B 0
r
/ B0
Diese Natürlichkeit gilt nicht für alle partiellen Abbildungen, wohl aber für
CCI’s in der Mengenlehre, da wenigstens dort die CCI’s total definiert sind,
terminieren.
Wir reichern das Universum CCI noch an um Extensionen {a ∈ A : χ(a)}
von Prädikaten und Quotienten A/R von Äquivalenzrelationen
R
// A.
Damit erhalten wir insbesondere auch konstruktive interne hom-Objekte [A, B]
als Quotienten von (PR aufzählbaren) Mengen von map codes, sowie Evaluation
ev : [A, B]PR × A → B von PR map codes.
2.3
Internal hom und Quantorenlogik
Internal hom [A, B]PR ⊂ N ist oben eingeführt als die (prädikative) Menge
aller Abbildungscodes von A nach B, versehen mit dem internen, inhaltlichen
Gleichheitsbegriff u =
ˇ v, und für ein Prädikat χ = χ(a) : A → 2, u ∈ N bedeutet
ˇ ∈ A)ProvPR (u, pχq) :
(∀a
u ∈ N ist ein interner PR-Beweis-code für die overall-Gültigkeit von χ.
Das Soundness-Theorem für die Theorie PR2 sagt dann
ProvPR (u, pχq) =⇒ χ(a), u ∈ N, a ∈ A frei,
mit Quantoren-Dekoration ∃, ∀ :
∃uProvPR (u, p∀aχ(a)q) =⇒ ∀aχ(a) :
2
M. Pfender: Arithmetical Foundations – Excerpt, arXiv 1913
2.3. INTERNAL HOM UND QUANTORENLOGIK
21
wenn ∀aχ(a) intern beweisbar ist, dann gilt es,
ˇ ∈ A)χ(a) =⇒ (∀a ∈ A)χ(a).
(∀a
Die Umkehrung gehört nicht zur Sprache PR.
Konstruktive existentielle Quantifikation ist erklärt durch
ˇ ∈ A)χ(a) = ¬(∀aA)¬χ(a).
ˇ
(∃a
ˇ ∈ B)ϕ(a, b) :
Für ein zweistelliges Prädikat ϕ = ϕ(a, b) : A × B → 2 ist (∀b
A → 2 erklärt durch
ˇ ∈ B)ϕ(a, b) = ∃uProv
ˇ
(∀b
PR (u, ϕ(a)),
ϕ : A → [B, 2] der exponentiell adjungierte zu ϕ,
ϕ(a)(b) = ev(ϕ(a), b) = ϕ(a, b),
die Evaluation ev ist allerdings nicht mehr PR, sie ist nur eine (als solche terminierende) complexity controlled iteration—CCI.
Damit sind beliebig konstruktiv quantifizierte PR-Formeln definiert.
22
CHAPTER 2. INTERMISSION:
ABBILDUNGEN REKURSIV
Chapter 3
Reelle Standard Analysis
3.1
Limites
Eine Folge
((a00 , a01 , . . . , a0n ), . . . , am0 , am1 , . . . , amn ), . . .)
von Folgen am = (am0 , am1 , . . . , amn , . . .) hat als Limes die Diagonalfolge
c = (cn ) = lim((am )n )
n
= (ann ) = (a00 , a11 , . . . , ann , . . .),
und allgemeiner als γ-Limes die Folge
lim((am )n ) = (anγ(n) ),
γ
γ = γ(n) : N → N monoton wachsend.
Der Limes heißt wohldefiniert, c = lim((am )n ), falls er unabhängig von der Wahl
von γ ist, d.h. für γ, γ 0 : N → N monoton
lim((am )n ) − lim
((am )n ) 1.
0
γ
γ
Das bedeutet noch nicht Konvergenz. Aber Konvergenz für ein γ, z. B. für
γ = id (Diagonalfolge) hat dann Konvergenz für alle γ zur Folge.
23
24
CHAPTER 3. REELLE STANDARD ANALYSIS
Eine Cauchy-Folge ist eine Folge (an ) zusammen mit einer Schranken-Folge
N (ε) = Na (ε) = (N (1/1), N (1/2), . . . , N (1/n), . . .) derart dass
m, n > N (ε) =⇒ |am − an | < ε, d. h.
m, n > N (1/k) =⇒ |am − an | < 1/k.
Cauchy-Folgen von rationalen Zahlen, reelle Zahlen, sind ihr eigener Limes.
Cauchy-Folgen von Cauchy-Folgen haben einen wohldefinierten Limes, gegen
den sie konvergieren. Teilfolgen von Cauchy-Folgen sind Cauchy-Folgen, und sie
konvergieren (falls unendlich) alle gegen denselben Limes, bezüglich der approximativen Gleichheit ≈ .
3.2
Internal hom und reelle Zahlen
Internal hom [N, A] ⊂ N ist die (prädikative) Menge aller Folgen-codes über
A, Abbildungs-codes von N nach A, versehen mit dem internen, inhaltlichen
Gleichheitsbegriff u =
ˇ v.
[N, Q] wird eingeschränkt auf PR Abbildungs codes R = [N, Q]PR ⊂ N und
weiter auf das Objekt R̊ = Cauchy ⊂ [N, Q]PR der Cauchy-reellen Zahlen, diese
aufgefasst als Cauchy-Folgen-codes. R hat als Gleichheits-Begriffe die internen
ˇ Im Kontext schreiben wir = statt =
code-Gleichheiten =
ˇ und ≈.
ˇ und ≈ statt
ˇ
≈.
hR, = i erbt von [N, Q]PR die Struktur eines (partiell) geordneten unitären
kommutativen Ringes, hR̊, ≈ i ist der Cauchy-vollständige archimedisch geordnete Körper. Zum klassischen Körper der reellen Zahlen fehlen ihm als Zahlen
die nicht-PR Folgen.
R hat als Zahlen rationale Zahlen aufgefaßt als konstante Folgen, endliche
konvergente Folgen (R̊), gegen ∞ oder gegen −∞ oder gegen ±∞ oder gegen
∓∞ konvergente Folgen, periodische Folgen oder fuzzy Folgen (keins von den
vorigen). Diese Folgen dürfen allen Rechenoperationen unterworfen werden mit
der einzigen Einschränkung, dass nicht durch Nullteiler dividiert wird, d. h.
durch Folgen mit einer 0-Komponente. Dies schließt z. B. cot 0 aus, nicht aber
cot nπ = ±∞, n ∈ Z r {0}, da diese nπ 6∈ Q.
Jede Abbildung f = f (q) : Q → [N, Q]PR setzt sich fort in eine normale
Abbildung f = f (a) : [N, Q]PR → [N, Q]PR durch
f (a) = (f (a0 ), . . . , f (an ), . . .) = f (ev(a, 0), . . . , f (ev(a, n), . . .).
3.3. ZWISCHENWERTSATZ
25
Auf diese Weise setzen sich stetige—auch stückweise stetige—Abbildungen f :
Q → R fort zu normalen (stückweise) stetigen Abbildungen f : R → R, dies
auch für nicht endlich konvergente Folgencodes in [N, Q]PR .
Desgleichen für endliche oder abzählbare Intervall-Vereinigungen von Q als
Definitionsbereich von f.
Umgekehrt ist jede auf ganz R oder einem reellen Intervall definierte stetige
reelle Funktion normale Fortsetzung ihrer Einschränkung auf Q bzw. auf den
Durchschnitt des Intervalls mit Q : Q liegt (Limes-) dicht in R.
Unter einer reellen Funktion f : R → R verstehen wir eine normale Abbildung, gegeben durch ihre Einschränkung auf Q. Das ergibt als internes homObjekt [R, R] ∼
= [Q, R], all dies im Rahmen des Universums (der cartesischen
Kategorie) CCI der complexity controlled iterations, vgl. Pfender 2013.
Infinitesimaler Differenzial- und Integralkalkül oben übertragen sich auf
und cartesische Produkte (insbesondere mit sich selbst, mit N und mit Q).
3.3
R
Zwischenwertsatz
Sei f = f (x) : [a, b] → R normal und stetig, und f (a) < 0, f (b) > 0,
a = (a0 , a1 , . . . , an , . . .),
b = (b0 , b1 , . . . , bn , . . .) ∈ [N, Q]PR ⊆ R,
a0 ≤ an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn ≤ b0 alle n
(Intervallschachtelung à la Dedekind);
f (x) habe die Form
f (x) = (f x0 , f x1 , . . . , f xn , . . .) ∈ R.
Konstruiere eine reelle Nullstelle c = (c1 , c2 , . . . , cn , . . .) wie folgt primitiv rekursiv:
δ0 := 1; δ1 := 1;
α0 := a0 ; β0 := b0 ;
if f (α0 ) ≥ 0 then β1 := α0
else α1 := α0 ;
26
CHAPTER 3. REELLE STANDARD ANALYSIS
for n := 1 to ∞ do
cn := (αn + βn )/2;
if |f cn | < δn
then δn+1 := δn /2; αn+1 := αn ; βn+1 := βn
else δn+1 := δn ;
if f cn ≥ δn
then αn+1 := αn , βn+1 := cn ;
if f cn ≤ −δn
then αn+1 := cn , βn+1 := βn ;
od.
result c = (c0 , c1 , . . . , cn , . . .) ∈ [a, b].
f (c) = (f c0 , f c1 , . . . , f cn , . . .) ≈ 0, da f stetig, detaillierter Beweis als Exercise.
3.4
Der Satz von Rolle
Für f = f (x) : [a, b] →
R stetig mit f (a) ≈ 0 ≈ f (b) untersuchen wir das
Differenzial df und die Ableitung
df
auf ]a, b[. Für ein soches f gilt:
dx
(i) Falls f auf ganz [a, b] stetig differenzierbar ist, f ∈ C 1 ([a, b], R), dann
findet man (konstruktiv) mindestens ein Argument x0 ∈]a, b[, in welchem
f eine waagerechte Tangente hat:
df (x0 , dx) ≈2 0, 0 < |dx| 1 beliebig,
(und dort gibt es nur eine Tangente wegen f ∈ C 1 .)
(ii) etwas allgemeiner: Falls f dort stetig und stückweise stetig differenzierbar,
dann findet man (konstruktiv) mindesten einen Punkt des Graphen von f
unter dessen Tangenten sich eine waagerechte findet, formal:
??
(iii) stärker: unter diesen Voraussetzungen: f stetig und df (x, dx) 1 wenigstens stückweise (an fast allen Argumenten x), dann findet man konstruktiv mindestens ein Extremwert-Argument x0 ∈]a, b[.
3.4. DER SATZ VON ROLLE
27
(iv) etwas anders, gehört aber inhaltlich hierher: f stetig auf [a, b] hat mindestens einen Extremwert f (x0 )im abgeschlossenen (und deshalb kompakten) Intervall [a, b].
Findet man den immer konstruktiv?
Beweis der ersten 3 statements nach dem Zwischenwertsatz? (Exercise),
die letzte Aussage ist klassisch der Kompaktheitssatz.? Bekommen wir den auch
in unserem erweiterten Kontext, etwa a ≥ ∞ = (n) = (1, 2, . . . n, . . .)?
28
CHAPTER 3. REELLE STANDARD ANALYSIS
Chapter 4
Komplexe Analysis
4.1
Komplexe Algebra
C als Polynomalgebra
C = R[i ]/(i 2 + 1) = R[i ]/(i 2 = −1)
= R + i R = {x + i y : x, y ∈ R}
C als Matrixalgebra
C
a
∼
= {
b
−b
: a, b ∈ R},
a
(4.1)
mit Matrix-Multiplikation ◦ (Komposition der linearen Abbildungen),
cos t − sin t
C ∼
: t, r ∈ R}/
= {r
sin t cos t
(−r
cos t − sin t
cos(t + π) − sin(t + π)
=r
)
sin t cos t
sin(t + π) cos(t + π)
Polarkoordinaten, Drehstreckungen.
29
(4.2)
(4.3)
30
CHAPTER 4. KOMPLEXE ANALYSIS
In fact
cos(t + τ ) − sin(t + τ )
sin(t + τ ) cos(t + τ )
cos t cos τ − sin t sin τ − sin t cos τ − cos t sin τ
=
sin t cos τ + cos t sin τ
cos t cos τ − sin t sin τ
(4.4)
(4.5)
nach den (geometrischen) Additionstheoremen für sin und cos, insbesondere
cos(t + π) − sin(t + π)
r
(4.6)
sin(t + π) cos(t + π)
cos t cos π − sin t sin π − sin t cos π − cos t sin π
=r
(4.7)
sin t cos π + cos t sin π
cos t cos π − sin t sin π
− cos t
sin t
cos t − sin t
=r
= −r
(4.8)
− sin t − cos t
sin t cos t
4.1.1
Eulerformel
Theorem:
• ei t ≈ cos t + i sin t : R → C.
Insbesondere
• Euler Mantra e±i π ≈ −1.
Versammelt die wichtigsten Konstanten der Mathematik in einer Gleichung.
Beweis durch infinitesimale Induktion nach t ∈ R :
Verankerung an t = 0 : ei 0 = 1 = cos0 + i sin 0 (geometrisch) klar.
Infitesimalschritt von t nach t + dt :
ei (t+dt)
=
≈
ei t ei dt
(cos t + i sin t)e
(4.9)
i dt
(4.10)
nach Induktionsannahme
2
(4.11)
=
(cos t + i sin t)(1 + i dt + dt (. . .))
(4.12)
≈
(cos t + i sin t)(cos dt + i sin dt)
(4.13)
(geometrische Überlegung, Zeichnung)
(4.14)
=
cos t cos dt − sin t sin dt + i (cos t sin dt + sin t cos dt) (4.15)
=
cos(t + dt) + i sin(t + dt)
(4.16)
4.2. KOMPLEXES DIFFERENZIAL
31
nach (geometrischem) Additionstheorem q. e. d.
Korollar:
n tn
n=0 (−1) (2n)!
• cos t = <ei t =
P∞
• sin t = =ei t =
P∞
4.2
n=0 (−1)
n+1
tn
(2n+1)!
Komplexes Differenzial
Eine (normale) Abbildung f = f (z) = f (x + i y) : C → C ist stetig in z, falls
für jede komplex-konvergente PR-Folge u = (u0 , u1 , . . . , un , . . .)
f (lim(u0 , . . . , un , . . .)) ≈ lim(f u0 , . . . , f un , . . .),
kurz: f (z + dz) ≈ f (z).
Das totale Differenzial einer normalen Abbildung f = f (z) : C → C ist
df
= df (z, dz) = f (z + dz) − f (z)
= f ((x + dx) + i (y + dy)) − f (x + i y).
Die Funktion f ist komplex differenzierbar in z ∈ C, falls ihre Ableitung
df (z, dz)
dz
=
=
f (z + dz) − f (z)
dz
f ((x + dx) + i (y + dy)) − f (x + i y)
dz
(dort) unabhängig ist von der Wahl der non-zero Nullfolge dz = dx + i dy 1,
das heißt unabhängig von der Wahl von dx 1 und dy 1 in R, auch dz = dx
oder dz = i dy.
Insbesondere – letzte Fälle – muss gelten:
f ((x + dx) + i y) − f (x + i y)
dx
f (x + i (y + dy)) − f (x + i y)
≈
.
i dy
32
CHAPTER 4. KOMPLEXE ANALYSIS
Das heißt für f stetig in z = x + i y :
f ((x + dx) + i y) − f (x + i y)
dx
f (x + i (y + dy)) − f (x + i y)
≈
, i. e.
i dy
∂x f (z) ≈ −i ∂y f (z).
(∗)
Die Funktion f = f (z) : C → C = R + i R läßt sich zerlegen in Realteil
u = u(x + i y) : C → R und Imaginärteil v = v(x + i y) : C → R,
f (x + i y) = u(x + i y) + iv(x + i y).
Mit dieser Zerlegung lautet (∗)
∂x (u(z) + i v(z)) ≈ −i ∂y (u(z) + i v(z)), i. e.
∂x u + i ∂x v ≈ −i ∂y u + ∂y v, i. e.
ux = ∂x u = ∂y v = vy sowie uy = −vx .
(∗∗)
Das sind gerade die Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen, notwendige Bedingungen für die Differenzierbarkeit von f = u + i v an der Stelle
z ∈ C bzw. im ganzen Definitionsbereich.
Das Differenzial 2. Ordnung von f : C → C in z ∈ C ist
d2 f
= d2 f (z, dz) = ddf (z)
= df (z + dz, dz) − df (z, dz)
= f (z + 2dz) − 2f (z + dz) + f (z).
Differenziale höherer Ordnung
dn f
=
=
dn f (z, dz)
n
X
k n
(−1)
f (z, (n − k)dz)
k
k=0
(Pascalsches Dreieck).
4.2. KOMPLEXES DIFFERENZIAL
33
In Termen von Real- und Imaginärteil u, v : C → R und partiellen Ableitungen
d2 u(z, dz)
= d(ux (z)dx + i uy (z)dy)
=
(ux (z + dx)dx + i uy (z + dy)dy) − (d(ux (z)dx + i uy (z)dy)
=
(ux (z + dx) − ux (z))dx + i (uy (z + dy) − uy (z))dy,
(•)
für ux stetig in z. Daraus folgt mit der Wahl von dx, dy so, dass f (z)+f 0 (z) dx
dy 1, z. B. mit dx = ε2 , dy = ε
uy (z + dy) − uy (z) ≈ 0,
uyy (z) ≈ 0, analog
vxx (z) ≈ 0.
Andererseits folgt aus ddf ≈ 0 und damit (•)
0
≈ uxx + i uyy ,
0
≈ vyy + i vxx ,
0
≈ uxx + vyy + i (uyy + vxx ),
analog
also Theorem (Laplace):
∆u = uxx + uyy ≈ 0,
∆v = vxx + vyy ≈ 0,
uyx ≈ uxy ≈ 0 ≈ vyx ≈ vxy .
Sind diese (approximative) Gleichungen auch hinreichend für die vollständige
Differenzierbarkeit von f = u + i v in z, in einer Umgebung von z?
Folgt aus der Differenzierbarkeit die Stetigkeit und die n-fache Differenzierbarkeit für alle n?
34
CHAPTER 4. KOMPLEXE ANALYSIS
4.3
Potenzreihenentwicklung
f (z + dz)
f (z + 2dz)
df (z)
dz = f (z) + f 0 (z)dz,
dz
= f (z) + f 0 (z)dz + f 0 (z + dz)dz
= f (z) + df (z, dz) = f (z) +
= f (z) + f 0 (z)dz + (f 0 (z) + f 00 (z)dz))dz
= f (z) + 2f 0 (z)dz + f 00 (z)dz 2 ,
f (z + 3dz)
=
f (z) + f 0 (z)dz + f 0 (z + dz)dz + f 0 (z + 2dz)dz
=
f (z) + 2f 0 (z)dz + f 00 (z)dz 2
+(f 0 (z) + 2f 00 (z)dz + f (3) (z)dz 2 )dz
=
f (z + 4dz)
f (z + mdz)
f (z) + 3f 0 (z)dz + 3f 00 (z)dz 2 + f (3) (z)dz 3 ,
= f (z) + 4f 0 (z)dz + 6f 00 (z)dz 2 + 4f (3) (z)dz 3 + f (4) (z)dz 4
4 X
4 (n)
=
f (z)dz n ,
n
n=0
=
m X
m
n=0
n
f (n) (z)dz n .
Beweis durch Induktion nach m : Pascalsches Dreieck.
f (z + (m + 1)dz)
=
f (z) +
m−1
X
mf (n) (z)dz n + f (m) (z)dz m
n=1
+(f 0 (z) +
m−1
X
mf (n+1) (z)dz n + f (m+1) (z)dz m )dz
n=1
=
f (z) +
m
X
(m + 1)f (n) (z)dz n + f (m+1) (z)dz m+1
n=1
Nun betrachte die letzte Gleichung für ein z := z0 , ein neues z, und die
non-zero Nullfolge
dz = (z − z0 )ε = (z − z0 )(1, 1/2, . . . , 1/m, . . .).
4.3. POTENZREIHENENTWICKLUNG
35
Dafür gilt
f (z)
=
( f (z0 + mdz)) = (
=
(
=
(
=
(
≈
m X
m
n=0
m
X
n
f (n) (z0 )
m X
m (n)
f (z0 )dz n )
n
n=0
(z − z0 )n
)
mn
m!
(z − z0 )n
f (n) (z0 )
)
n!(m − n)!
mn
n=0
m
X
n=0
m
X
1 (n)
m!
f (z0 )(z − z0 )n )
− n)! n!
mn (m
1 (n)
f (z0 )(z − z0 )n ),
n!
n=0
(
unter der Voraussetzung n m d. h.
n
m
1 bei m, n → ∞.
Potenzreihen allgemein sind von der Form
f (z)
=
∞
X
an z n = lim
n=0
n
n
X
aj z j : C → C
j=0
a = an : N → C, es genügt a = an : N → Q × i Q PR,
f (z)
:
f (z)
:
C → C∞ normale Foretsetzung von
Q + i Q → C∞ .
Das Differenzial ist
df = df (z, dz) =
∞
X
nan z n−1 dz 1
n=1
nur im Innern (und auf Teilen des Randes) vom Konvergenzkreis von f,
Kρ = {z : |z| < ρ}, ρ = lim sup
|an+1 |
.
|an |
Die Ableitung ist dann
∞
X
df
(dz) =
naj z n−1 : C → C,
dz
n=1
außerhalb von K<ρ möglicherweise abhängig von der Wahl von dz 1, dort
dann nicht differenzierbar.
36
CHAPTER 4. KOMPLEXE ANALYSIS
4.4
Kurven und Tangenten
Eine Kurve (in C) ist eine normale Abbildung c = c(t) : [0, 1] → C = C∞ ,
Fortsetzung von c = c(t) : [0, 1]Q = [0, 1] ∩ Q → C. Sie heißt geschlossen falls
c(0) = c(1), d. h. c ist eine normale Abbildung
c = c(ωτ ) : ωS 1 = {ei ω t : t ∈ R} → C, ω =
1
, ωτ ∈ [0, 1].
2π
Besonders interessant sind stetige Kurven in der gelochten komplexen Ebene
Ċ = C r {0}. Auch die doppelt gelochte Ebene C r {0, −1} wird betrachtet (D.
Ferus).
Das Tangentendifferenzial an c im Punkt c(t) ist definiert als
dc(t, dt)
= c(t + dt) − c(t), typically dc(t, dt) 1.
dc
(t) ist die Richtungssableitung an c in c(t) – zur Zeit t, die Kurve darf sich
dt
(etwa) in c(t) = c(t0 ) selbst durchdringen.
Die Tangente and c zur Zeit t (modulo 1 für c geschlossen) ist
tgc (t, dt, τ ) = c(t) + τ
dc(t, dt)
: R → C.
dt
Für c nicht differenzierbar in t braucht das keine Gerade zu sein, im Falle eines
Knickes erwarten wir u. a. zwei Tangenen: dt = ε, dt = −ε, Oszilation für
dt = ±ε.
4.5
Kurvenintegrale
• Bogenlänge
• Parametrisierung nach der Bogenlänge
• Wegintegrale
Chapter 5
Quaternionenalgebra
Hier beginnt der tentative Teil.
5.1
Quaternionen und Matrizen
Samuel ‘Sammy’ Eilenberg on phone:
all what can be known on quaternions and matrices is already known.
O.K: lets see.
37
38
CHAPTER 5. QUATERNIONENALGEBRA
H = C[j ]/(j 2 = −1, j i = −i j )
= C + jC
= (R + i R) + j (R + i R)
= (R + i R) + (j R + ji R) = R + i R + j R + k R
= (R[i ]/(i 2 = −1)) [j ]/(j 2 = −1, j i = −i j )
= (R[j ]/(j 2 = −1)) [i ]/(i 2 = −1, i j = −j i )
= R[i , j ]/(i 2 = −1 = j 2 , j i = −i j )
∼
= R[i , j , k ]/
(i 2 = j 2 = k 2 = −1,
j i = k = −i j ,
k j = i = −j k ,
i k = j = −k i )
=
∼
=
R + iR + jR + kR
R[i , k ]/
(k 2 = −1 = i 2 , i k = −k i )
Die vorletzte Präsentation ist zyklisch symmetrisch in den drei Unbestimmten,
räumlichen Vektoren i , j , k , abgesondert die (vektoriell orthogonale) skalare
Zeit-Dimension.
Die erste Präsentation von H verbindet in ihrem C = R[i ]/(i 2 = −1) skalare
Zeit eng mit der (ersten) Längendimension i R. Diese Verbindung ist gut für
zyklische Schwingungen
ei t = cos t + i sin t : R → C = R + i R.
Analog
ej t = cos t + j sin t : R → C = R + j R.
Zweite und dritte Präsentation nehmen i , j gleichberechtigt als aufspannende Vektoren der horizontalen Ebene i R + j R und sondern k R = i j R als
Höhen-, Gravitations-Richtung aus, alle wieder getrennt von der (skalaren) ZeitDimension R ⊂ H.
Die letzte Präsentation betont den Sonderstatus der dritten Raumdimension
k R : Bei der (kanonischen) Matrixpräsentation nach der Bikomplexdarstellung
H = (R[i ]/(i 2 = −1)) [j ]/(j 2 = −1, j i = −i j )
5.1. QUATERNIONEN UND MATRIZEN
39
sind die transponierten der Vektorraum-Basisvektoren
1T = 1, i T = −i , j T = −j , aber k T = k .
Das unterscheidet die Dimension k R ⊥ (i R+j R) von den horizontalen Raumdimensionen i R und j R. Dimension k R ist gut für Ausbreitung/Empfang von
Licht und Gravitation, lokal an der (Erd)oberfäche.
Kanonische Darstellungen:
h = t + i a + j b + k c = (t + i a) + (j b + ji c)
=
(t + i a) + j (b + i c) bikomplex.
Aufspaltung:
ˆ
<h
=
ˆ
=h
=
h =
=
=
−a
t
b −c
(b + i c) =
c b
(t + i a) =
t
a
ˆ + =h
ˆ
<h
ˆ
ˆ
<h
−=h
ˆ
ˆ
=h
<h

t −a
 a t

 b −c
c b

−b c
−c −b 

t −a 
a t
Die Matrix-Darstellung muss wohl so aussehen,



1 0
0 0
0
 0 1
 1
0 0 



1 = 
i =
0 0
1 0 
0
0 0
0 1
0

j
0
 0
= 
 1
0
0
0
0
1
−1
0
0
0
insbesondere gilt dann mit

−1
0 0
0
0 0 

0
0 −1 
0
1 0

0
−1 

0 
0
40
CHAPTER 5. QUATERNIONENALGEBRA

k
0
 0
= ji = 
 1
0

0 0
 0 0
= 
 0 −1
1 0
0
0
0
1
−1
0
0
0
 
0 −1
0
 1 0
−1 
·
0   0 0
0 0
0


0 0
0 0 

0 −1 
1 0
0 1
−1 0 

0 0 
0 0
Quaternionenvariable analog:
q
= t + ix + jy + kz

t −x
−y −z
 x t
z −y
= 
 y z
t −x
−z y
x t




Produkt explizit, für t = t̃ (gleichzeitg)
h · h̃ =
=
(t + i a + j b + k c) · (t + i ã + j b̃ + k c̃)
t2 − aã − bb̃ − cc̃
+t(i (a + ã) + j (b + b̃) + k (c + c̃))
+k (ab̃ − ãb) + i (bc̃ − b̃c) + j (cã − c̃a)
i. e.
i j
2
h · h̃ = t − h=h, =h̃i + t(=H h + =H h̃) + a b
ã b̃
k c c̃ = t2 − h=h, =h̃i + t(=H h + =H h̃) + =h × =h̃,
(· · · + äußeres Produkt),
mit
=h = (a, b, c)
=
=H h =
a
b
c ,
i a + j b + k c.
5.1. QUATERNIONEN UND MATRIZEN
41
Produkt = Matrixprodukt.
Das transponierte Quaternion wird definiert durch
hT
[t + i a + j b + k c]T

t −a
−b −c
 a t
c −b

= 
b c
t −a
−c b
a t
= t − i a − j b + k c,
=
T

t a


 =  −a t
 −b c

−c −b

b −c
c b 

t a 
−a t
noch einmal, direkt:
hT
=
[t + i a + j b + k c]T
=
[t + i a]T + [j b + ji c]T
=
[t + i a]T + [j (b + i c)]T
=
[t + i a]T − j [b + i c]T
=
[t + i a]T − j (b − i c)
= t − i a − j b + ji c
= t − i a − j b + k c.
Es ist nur für c = 0 gleich dem konjugierten Quaternion
h = t + ia + jb + kc = t − ia − jb − kc


t a
b c
 −a t
−c b 

= 
 −b −c
t a 
c −b
−a t
Betragsquadrat
|h|2
=
hh = t2 + a2 + b2 + c2
(Beidseitig) Inverses zu h 6= 0 :
h−1
=
h
t − ia − jb − kc
=
.
2
|h|
|h|2
Skalarprodukt Minkowski
hhq, q̃ii =
=
hht + i x + j y + k z, t̃ + i x̃ + j ỹ + k z̃ii
<(q · q̃) = tt̃ − (xx̃ + y ỹ + z z̃) :
H × H → R, “fast immer” → R> .
42
CHAPTER 5. QUATERNIONENALGEBRA
Metrik
||h|| = ||t + i x + j y + k z|| = hhh, hii
= t2 − x2 − y 2 − z 2 , [1, −1, −1, −1] Minkowski-Metrik.
5.2
Lineare Algebra
Geraden
Eine affine Gerade ist dynamisch gegeben als
g
=
g0
=
g(t) = g0 + g 0 · t : R → H, g0 , g 0 ∈ H,
g1 + i gi + j gj + k gk , gi , gj , gk ∈ R.
g0 Aufpunkt, g 0 Richtung.
Für g0 , g 0 ∈ =H H handelt es sich um eine Raumgerade.
Ein Zeit-Punkt (time point) h = t + =h = t + i a + j b + k c ∈ H heißt
Schnittpunkt der Geraden g, g̃ : R → =H H, falls g(t) = h = g̃(t).
Eine Ebene – Ebene in H aufgefasst als R4 – ist eine affine Abbildung
f : C = R + k R → H,
sie ist von der Form
f = f (τ + k ζ) = f0 + f 0 · (τ + k ζ) : R + k R → H,
f0 , f 0 = f1 + k fk + i fi + j fj ∈ H,
f 0 · (τ + k ζ) = (f1 + k fk + i fi + j fj ) · (τ + k ζ)
= f1 τ − f1 ζ + k (f1 ζ + fk τ ) + i (fi τ − fj ζ) + j (fj τ + fi ζ);
λ, µ ∈ R, τ, ζ ∈ R frei.
Wegen H ∼
= R4 gibt es folgende Fälle für den Durchschnitt zweier Ebenen
˜
f, f : C → H :
• “Normalfall”: Schnittgerade
g = g(τ ) = g0 + g 0 τ = g0 + (g1 + gi + gj + gk )τ : R → H
mit g0 = f0 = f˜0 , sowie g 0 ∈ H Lösung von
(f 0 − f˜0 ) · (τ + i ξ) = 0.
5.2. LINEARE ALGEBRA
43
Interessanter Spezialfall:
f = f (τ, ξ) : C → H
komplex linear, d.h. f additiv und
f ((τ + i ξ) · (t + i x)) = (τ + i ξ) · f (t + i x)
= τ f (t + i x) + i ξf (t + i x) : C × C → H,
Komplex-Gerade durch 0, in
H eingebettete Drehstreckung.
44
CHAPTER 5. QUATERNIONENALGEBRA
Chapter 6
Quaternionenanalysis
Unabhängiges Differenzial dq und Differenzial df von
f
= f (q) = (t + i u(q)) + j (v(q) + i w(q))
= t + i u(q) + j v(q) + k w(q) :
H = C + jC = R + iR + jR + kR → H
dq
= d((t + i x) + j (y + i z)) = dt + i dx + j dy + k dz.
Konjugation und Inverses
1
dq
=
dq
|dq|2
=
t + i dx + j (dy + i dz)
|dq|2
=
=
df
t + i dx − j dy − ji dz
|dq|2
t − i dx − j dy − k dz
|dq|2
=
df (w, dw) = f (w + dw) − f (w)
=
dt + i dvi (w, dw) + j dvj (w, dw) + k dvk (w, dw)
=
dt + i ∂i f (w)dx + j ∂j f (w)dy + k ∂k f (w)dz
=
dt + ∇=H f (w) (Gradient).
45
46
CHAPTER 6. QUATERNIONENANALYSIS
Der reelle Parameter t fungiert als unabhängiger Parameter, “Zeit”. Wir betrachten (zunächst) Transformationen f : H → H, welche diesen Parameter
unverändert lassen. Erst Relativität transformiert auch die Zeit.
Vollständige Ableitung
f 0 (w, dw)
=
=
df (w, dw)
dw
(dt + ∇=H f (w)) · (dw/|dw|2 ) :
H × dH → H
Das Differenzial 2. Ordnung von f : H → H in w ∈ H ist
d2 f
=
d2 f (w, dw) = ddf (w)
=
df (w + dw, dw) − df (w, dw)
=
f (w + 2dw) − 2f (w + dw) + f (w)
2
1 für df stetig, d. h. f ∈ C 1
Differenziale höherer Ordnung
dn f
= dn f (w, dw)
n
X
m n
=
(−1)
f (w, (n − m)dw)
m
m=0
(Pascalsches Dreieck). Die Nicht-Kommutativität der Multiplikation von
spielt hier keine Rolle.
f (w + mdw)
=
=
n 0
f (w) +
f (w, dw)dw
1
n 00
+
f (w, dw)dw2 + . . . + f (m) (w, dw)dwm
2
n X
n (n)
f (w, dw)dwn .
m
m=0
H
6.1. FORMEN UND IHRE INTEGRALE
6.1
47
Formen und ihre Integrale
Produkt von Differenzialen
dx ∧ dy
= i dx j dy = −j dy i dx = −dy ∧ dx 2 1,
dy ∧ dz
= j dy k dz = −dz ∧ dy,
dz ∧ dx
= k dz i dx = −dx ∧ dz,
dx ∧ dx
= i dx i dx = −dx2 ,
dy ∧ dy
= −dy 2 , dz ∧ dz = −dz 2 2 1
dx ∧ dy ∧ dz
= i j k dxdydz = −dxdydz 3 1,
das ist anders als im Grassmann-Kalkül: Vorzeichen; der Raum hat hier 3
imaginäre Dimensionen, i j k = −1, das Volumenelement ist wie dort ein Skalar,
Determinante negativ genommen.
dt ∧ dx
= dt i dx = i dxdt = dx ∧ dt
dt ∧ dy
= dy ∧ dt, dt ∧ dz = dz ∧ dt,
kommutativ, da dt hier ein Skalar, wiederum anders als im Grassmann-Kalkül
für den R4 .
0- und 1-Formen
• f : {t0 , t1 } → =H ist eine 0-Form.
R
f = f (t1 ) − f (t0 ).
• u(t)dt ist eine 1-Form, f = f (t) : R → H Abbildung. Integral:
Z
f (t)u(t)dt
=
=
lim
dt→0
∞
X
(f (ndt)u(ndt)dt + f (−ndt)u(−ndt)dt)
0
lim lim
m dt→0
m
X
(f (ndt)u(t)dt + f (−ndt)u(t)dt).
n=0
48
CHAPTER 6. QUATERNIONENANALYSIS
=
=
lim
dx→0
∞
X
(i f (ni dx)dt + i f (−ni dx)dx)
0
m
X
lim lim
dx→0 m
i (f (ni dx)dx + f (−ni dx)dx
n=0
Z
etc. für
•
Z
f (j y)j dy,
f (k z)k dz.
2-Formen:
γ = f (x, y)dx ∧ dy = k f (x, y)dxdy,
f = f (x, y) : R2 → =H,
α = g(y, z)dy ∧ dz = i g(y, z)dydz,
g = f (y, z) : R2 → =H,
β = h(z, x)dz ∧ dx = j h(z, x)dzdx,
h = f (z, x) : R2 → =H.
Integral: zunächst der Spezialfall
f = f (x, y) = k f˜(x, y) : R → k R
Hier gilt
Z
Z
γ
=
k f˜(x, y)dx ∧ dy
Z
k f˜(x, y)k dxdy
Z
= −
f˜dxdy klassisch.
=
R
2
Allgemeiner Fall:
f (x, y) = i fi (x, y) + j fj (x, y) + k fk (x, y) : R2 → =H;
Z
Z
Z
Z
γ = i k fi dxdy + j k fj dxdy + k k fk dxdy
Z
Z
Z
= −j
fi dxdy + i
fj dxdy −
fk dxdy.
R
2
R
2
R
2
6.1. FORMEN UND IHRE INTEGRALE
Berechnung von
von R2 :
R
R
2
49
q(x, y)dxdy mittels spiraliger infinitesimaler Ausschöpfung
Wir benutzen eine quadratspiralige Abzählung ct = ct(n) :
von Z2 , wie sie Cantor zur Abzählung von Q verwendet:
∼
N −=
→ Z×Z
ct(0) = (0, 0),
ct(1) = (1, 0), ct(2) = (1, 1), ct(3) = (0, 1), ct(4) = (−1, 1),
ct(5) = (−1, 0), ct(6) = (−1, −1), ct(7) = (0, −1); ct(8) = (1, −1);
...
ct(8n + 1) = (n, 0), . . . , ct((8 + 1)n) = (n, n), . . . ,
ct((8 + 8)n) = (0, −n), . . .
Wir zählen das
1
m
feine
Q-Gitter durch
ctm (n) =
ct(n)
: N → Q × Q.
m
Nun können wir definieren:
Z
R
q(x, y)dxdy
=
2
=
lim
m
lim
m
m
4X
m2
q(ctm (n))dx(m)dy(m)
n=0
m
4X
m2
n=0
q(ctm (n))(
1 2
) ;
m
wir haben dx = ε = dy gewählt, an jedem Feingitterpunkt hängt in
1
positiver x- und y-Richtung ein Quadrat der Seitenlänge m
, und diese
Quadrate parkettieren ein (näherungsweise) konzentrisches Quadrat der
Seitenlänge 2m m, für jedes einzelne m separat. Wir könnten uns diese
achsenparallelen kleinen Quadrate auch in den q(ctm (n)) zentriert denken.
Dann wäre alles quadratsymmetrisch zum Ursprung (0, 0) ∈ R2 .
50
6.2
CHAPTER 6. QUATERNIONENANALYSIS
Streckenintegrale
Z
q
f (w)dw
=
lim(
m
q0
Z
d(
m−1
X
f (q0 + idw)dw, dw =
i=0
q − q0
):
m
H × H → H, Variable q, q0 , f : H → H fest.
q
f (w)dw)(q)
= f (q)dq,
q0
d
Rq
f (w)dw
= f (q) : H → H,
Z q
q
df (w, dw)
df (w, dw) =
dw = f (q) − f (q0 ).
dw
q0
q0
q0
dq
Z
6.3
Elementare Funktionen
Die Exponentialfunktion ew = exp(w) :
Differenzialgleichung
H → H ist gesucht als Lösung der
dew
= ew
dw
mit e0 = 1.
Diese Lösung muss als Taylorentwicklung haben
exp(w)
=
exp(0) +
∞
X
exp(n) (0)
j=1
=
1+
∞
X
wn
j=1
n!
=
n!
∞
X
wn
j=0
n!
wn
: H → H r {0},
und diese Funktion ew löst die Dgl. mit e0 = 1, eindeutig.
ew
= et+i x+j y+k z
= et · (cos x + i sin x) · (cos y + j sin y) · (cos z + k sin z)
6.3. ELEMENTARE FUNKTIONEN
51
Doppel-komplex Kreis:
e(t+i y)j
= ej t+k y = ej t · ek y
= (cos t + j sin t) · (cos y + k sin y)
=
cos t cos y + k cos t sin y + j sin t cos y + i sin t sin y,
tj
=
cos t + j sin t,
eyi j
=
eyk = cos y + i sin y.
e
Multiplikative Verknüpfung zweier Einheitskreise.
Einheitskreis in der i R + k R Ebene:
i ej t = i cos t + i j sin t = i cos t + k sin t
Einheitskreis in der i R + j R Ebene:
i ek t = i cos t + k i sin t = i cos t + j sin t
Der Graph in
H = R + i R + j R + k R ist eine mit t aufsteigende Wendel.
Der (natürliche) Logarithmus log w ist gesucht als Umkehrfunktion zu ew :
H → Ḣ = H r {0}, seine Ableitung muss sein
d log(w, dw)
dw
=
=
1
d exp(log w,dq)
dq
1
elog w
=
1
: Ḣ → H,
w
und die Taylorreihe um w0 = 1 für 0 6∈ 1~w, d. h.
log(1 + w)
H geschlitzt in [0, −∞]R ,
( 1 )0 (1)
( 1 )00 (1) 3
1
log 1 + ( )(1)w + w
(1)w2 + w
w + ...
w
2!
3!
( 1 )(n−1) (1) n
+ w
w + ...
n!
w2
w3
wn
= w−
+
+ . . . + (−1)n−1
+ ...
2
3
n
∞
X
wn
=
(−1)n−1
n
n=1
=
Was passiert für |w|2 > 1?
52
CHAPTER 6. QUATERNIONENANALYSIS
6.4
Kurvenintegrale
Eine Kurve ist eine (normale) stetige Abbildung
γ = γ(t) : [0, 1] → =H = i R + j R + k R ⊂ H.
Sie heißt geschlossen falls γ(0) = γ(1), und wird dann aufgefasst als
γ = γ(i t) : S 1 = {e2πi t : t ∈ R}/(1.0) → H,
gelegentlich auch – mehrfacher Umlauf – ohne oder mit anderer Faktorisierung,
z. B. zweiblättriges H.
Das Kurvenintegral von f = f (w) : H → H entlang Kurve γ = γ(t) : [0, 1] →
H ist
Z
I(f, γ)
=
df
γ
Z
1
=
=
df (w, dγ(t, dt))
t=0
m−1
X
lim
m
i=0
f (γ(
i
i+1
i
)) · (γ(
) − γ( ))
m
m
m
Ein solches Integral ist unabhängig vom Wege von γ(0) nach γ(1), falls I(f, γ) =
0 für jedes geschlossene γ, genau dann, wenn es für infinitesimale geschlossene
γ verschwindet, gdw.
rotf (w)
= i (∂j fk − ∂k fj ) + j (∂k fi − ∂i fk ) + k (∂i fj − ∂j fk )
i
j
k = ∂i ∂j ∂k (w) = 0
fi fj fk Chapter 7
Analytische Geometrie
7.1
Lineare versus sphärische Komplexe
Einheits-1-Simplizes, Intervalle
I1
= I = {t : 0 ≤ t ≤ 1}
= {t + i 0 + j 0 + ji 0 : 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ H,
iI
= {0 + i t : 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ H,
jI
= {j t : 0 ≤ t ≤ 1},
kI
=
ji I = {k t : 0 ≤ t ≤ 1}.
Einheits-0-Simplizes: {0}, {1}, {i }, {j }, {k }.
Einheits-0-Sphären
S 0 = {−1, 1}, Si0 = {−i , i }, Sj0 = {−j , j }, Sk0 = {− ji , ji }.
Sphären
• 0-Sphäre S 0 (Doppelpunkt)
S0
=
{−1, +1}
=
{t : |t|2 = 1}
53
54
CHAPTER 7. ANALYTISCHE GEOMETRIE
• 1-Sphäre S 1 , Kreis in der Ebene
S1
R + i R,
= {w = t + i x : |w|2 = 1}
= ei t = cos t + i sin t : R → C = R + i R,
Pendeluhr in i -Richtung.
1-Sphäre in i , j -Ebene i R + j R :
Si1,j
=
{w = i x + j y : |w|2 = 1}
Si1,j (ϕ)
=
i ek ϕ = i cos t + i k sin t
=
i cos t + i ji sin t = i cos t + j sin t :
R → i R + j R ⊂ H.
• 2-Sphäre S 2
S2
= {w = t + i x + j y : |w2 | = 1}
= ei (ti +e
=
j
tj )
= ei ti · ej tj
cos ti + cos tj + i sin ti + j sin tj :
R × R → R + i R + j R.
gleichmäßiges Kreisen in der horizontalen Ebene.
• räumliche S 2
2
S=
= {w = i x + j y + k z : |w|2 = 1}
= e(i α+j β+k γ) : R3 → =H
mehrfach überlagernde 2-Sphäre im Raum.
7.2
Quaternionen-Analysis der 1-Sphäre
Von jetzt an sei
S1
= S 1 t = i cos t + j sin t = i ek t : R → i R + j R ⊂ H
die geometrische 1-Sphäre in der/die i , j -Ebene, um die Normale k .
[Wegen 2π irrational liegt S 1 N dicht in S 1 [−π, π].]
7.3. KREISE
55
Bogenlänge
Das Kreisdifferenzial ist
di ek t
=
i (ek (t+dt) − ek t )
=
i (ek t ek dt − ek t )
=
i ek t (ek dt − 1)
≈2
i ek t dt.
S 1 t : R → i R +j R −
→ H ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und Gruppe,
eine Lie-Gruppe, die einfachste aller Lie-Gruppen, eine differenzierbare Matrixgruppe mit vielen diskreten Untergruppen, eine Lie-Algebra.
⊂
log i ek t
log i + log ek t = log(1 + (i − 1)) + k t
(i − 1)2
(i − 1)3
= k t + (i − 1) −
+
− +...
2
3
= k t + (i − 1) + i arccos 0
π
π
= k t + log ei 2 = k t + i
2
=
nach Definition von π2 .
Die inverse Funktion arccos ist gegeben als Potenzreihe, besser konvergiert
– Leibniz – die alternierende Reihe
π
= arctan 1 = 1 − 1/3 + 1/5 − + . . .
4
7.3
Kreise
Ausgangspunkt ist der – ∞ überdeckte – Einheitskreis S 1 = Sk1 in der i , j
Ebene,
S1
= S 1 t = Sk1 t = i ek t = i cos t + j sin t :
R → i R + j R, time R partioned:
R = ∪˙ n∈Z 2nπ+] − π, π] (Blätter),
in j , k und k , i Ebene:
Si1 t = j ei t = j cos t + k sin t : R → j R + k R,
Sj1 t = k ej t = k cos t + i sin t : R → j R + k R;
56
CHAPTER 7. ANALYTISCHE GEOMETRIE
Einheitskreis in der Ebene normal zu
i α + j β + k γ, α2 + β 2 + γ 2 = 1.
Exercise per Bewegung im =H ∼
= R3 .
Kreisscharen
j R 3 j r 7→ [R 3 t 7→ ek t i r : R → i R + j R, ]
negatives r resultiert in einer Rotation um π, Lücken-Übergänge dann bei
t = (2n + 1)π statt bei t = 2nπ. Auf welcher Seite sollen die Intervalle dann
offen sein? Positiver oder negativer Drehsinn? Besser negativ, dann Zeitstruktur unveraendert, Intervalle wieder links offen, also (−r, t) überdeckt (r, −t)
mit Wechsel zwischen geradzahlig und ungeradzahlig aufgehängten Intervallen
] − π, π]. Man kann den Übergang r 7→ −r auch als – sagen wir sehr kurzfristige
– Orientierungsumkehr der j -Raumachse sehen, besser nicht als lokale Zeitumkehrung: manche Physiker interpretieren die kurzlebigen Positronen als
zeitlich rückwärtige Elektronen. Nach obigem wäre es angemessener, sie als
Hohlelektronen zu denken, als räumlich negative Elektronen.
Bei gleichzeitiger Variation von r und t ergibt sich die ±∞ blättrige (Riemannsche) Fläche
Rie
=
Rie∞ (j r, t) = ek t i r : R + j R → i R + j R.
Einheits-1-Sphären
Standarduhr
S1
= Si1 = {ei t : t ∈ R}
= {cos t + i sin t : t ∈ R} ⊂ R + i R ⊂ H,
dreht mathematisch positiv in der R + i R-Ebene, horizontale Sinus-Schwingung
nach vorn, Richtung Auge.
Abgewickelte Schwingung:
si
=
sii = {t + i sin t : t ∈ R},
dynamisch nichts anderes als
i sin t : R → i R ⊂ H.
7.3. KREISE
57
Zyklisch analog: sij , sik Sinus-Schwingungen nach rechts bzw. nach oben.
Analog: Sj1 und Sk1 , Schwingunsuhren in der R + j R- bzw.
alle drei orthogonal zur R-Achse; Sk1 Lichtschwingungen.
R + k -Ebene,
Horizontaler Einheitskreis
i Sk1
=
=
=
{i ek t : t ∈ R}
{i (cos t + k sin t) : t ∈ R}
{i cos t + j sin t : t ∈ R},
dreht mathematisch positiv in der i R + j R-Ebene, der Tischebene, um die vertikale k -Achse. Das ist die geometrische Uhr, Sonnenuhr auf der Südhemisphäre,
hypothetisch, denn existierten dort je Sonnenuhren?
+ zyklisch, i 7→ j 7→ k 7→ i :
Tafelkreis
j S1
=
=
=
j Si1 = {j ei t : t ∈ R}
{j (cos t + i sin t) : t ∈ R}
{j cos t + k sin t : t ∈ R},
dreht mathematisch positiv in der j R + k R-Ebene, Tafelebene, um die i -Achse,
die Tafel-Auge-Achse.
Raumkreis
k Sj1
=
=
=
{k ej t : t ∈ R}
{k (cos t + j sin t) : t ∈ R}
{k cos t + i sin t : t ∈ R},
dreht mathematisch positiv in der k R + i R-Ebene. Interpretation: Überkopf
orthogonal verdrehter Kreis; geheimnisvoll, aber gleichberechtigt mit den anderen bei Abwesenheit von Gravitation.
Einheits-2-Simplizes
Standard Zeit-Raum 2-Simplex
I2
= Ii2 = {t + i ξ : t + ξ ≤ 1, 0 ≤ t, ξ ≤ 1}
⊂ E 1 = {t + i ξ ∈ H : t + ξ ≤ 1, 0 ≤ t}
= {t + i 0 + j 0 + ji 0 : 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ H,
58
CHAPTER 7. ANALYTISCHE GEOMETRIE
simplizial koordinierte Logik-Ebene.
Tafel 2-Simplex
j I2
= j Ii2
= j {t + i ξ : t + i ξ : t + ξ ≤ 1, 0 ≤ t, ξ ≤ 1}
= {j t + k ξ : t + i ξ : t + ξ ≤ 1, 0 ≤ t, ξ ≤ 1}
= {j η + k ζ : η + ζ ≤ 1, 0 ≤ η, ζ ≤ 1}
⊂ j Ei2 = j R + k R ⊂ H;
dreht mathematisch positiv in die simplizial koordinierte j R+k R-Ebene, Tafelebene.
k I 2 ⊂ k Ej2 = k R + i R ⊂ H
und k I 2 ⊂ i Ek2 = i R + j R ⊂ H : horizontal, zyklisch analog.
2-Simplizes
i -gedrehtes Zeit-Raum 2-Simplex
i I2
=
{i t + i 2 ξ : t + ξ ≤ 1, 0 ≤ t, ξ ≤ 1}
=
{i t − ξ : t + ξ ≤ 1, 0 ≤ t, ξ ≤ 1}
⊂ i E 2 = {i t − ξ : t + ξ ≤ 1} ⊂ H.
gedrehtes Triangel in der Zeit-Raum-Ebene
R + i R.
+ zyklisch, i 7→ j 7→ k 7→ i :
j I2
= {j t − η : t + η ≤ 1, 0 ≤ t, η ≤ 1}
⊂ j E 2 = {j t − η : t + η ≤ 1} ⊂ H,
sowie
k I2
= {k t − ζ : t + ζ ≤ 1, 0 ≤ t, ζ ≤ 1}
⊂ k E 2 = {k t − ζ : t + ζ ≤ 1} ⊂ H.
7.4. EINE UNTERTEILUNG DER S 2 ALS KOMPLEX
59
Ränder von 1- und 2-Simplizes
Die Ränder der 1-Simplexe I 1 = I, i I, j I, k I sind
∂I
=
∂i I
=
∂j I
=
∂k I
=
+{1} − {0} ∈ ⊕Z [H, 2],
+{i } − {0} ∈ ⊕Z [H, 2],
+{j } − {0} ∈ ⊕Z [H, 2],
+{k } − {0} ∈ ⊕Z [H, 2].
⊕Z [H, 2] ist der freie Z-Modul (die freie abelsche Gruppe) über den prädikativen
Teilmengen [H, 2] von H.
Die Ränder der Einheits-2-Simplexe sind
∂I 2
∂i I
2
∂j I
2
∂j I
2
=
+{t + i ξ : t + ξ = 1, 0 ≤ t ≤ 1} ∈ ⊕Z [H],
= i ∂I 2
=
+{i ξ + j η : ξ + η = 1, 0 ≤ t ≤ 1} ∈ ⊕Z [H],
= j ∂I 2
=
+{i ξ + j η : ξ + η = 1, 0 ≤ t ≤ 1},
= j ∂I 2
=
+{i ξ + j η : ξ + η = 1, 0 ≤ t ≤ 1}.
∂∂ = 0-Lemma: Die Ränder ∂∂I 2 , ∂∂i I 2 , ∂∂j I 2 , ∂∂k I 2 der Ränder aller
obigen 2-Simplexe verschwinden in ⊕Z [H, H].
7.4
Eine Unterteilung der S 2 als Komplex
Betrachte folgenden Kettenkomplex K auf der
S2
= {i cos ϕ + j sin ϕ + k sin ϑ : −π ≤ ϕ ≤ π, −
π
π
≤ ϑ ≤ };
2
2
0-Kette:
C0
˙
= {k }∨{−k
} : Nord- und Südpol;
60
CHAPTER 7. ANALYTISCHE GEOMETRIE
1-Kette: Äquatorquadranten
C1
π
1
= k S−,−
= {i cos ϕ + j sin ϕ : −π ≤ ϕ ≤ − }
2
π
1
˙ S−,0 = {i cos ϕ + j sin ϕ : − ≤ ϕ ≤ 0}
∨k
2
π
1
˙ S0,+
∨k
= {i cos ϕ + j sin ϕ : 0 ≤ ϕ ≤ }
2
π
1
˙ S+,+ = {i cos ϕ + j sin ϕ : ≤ ϕ ≤ π}
∨k
2
+ Meridianquadranten:
π
≤ ϑ ≤ 0}
2
π
1
˙ S0,+
∨j
= {i cos ϑ + k sin ϑ : 0 ≤ ϑ ≤ },
2
(Null-Halbmeridiane, Greenwhich),
π
1
˙ S−,0
∨i
= {j cos ϑ + k sin ϑ : − ≤ ϑ ≤ 0}
2
π
1
˙ S0,+ = {j cos ϑ + k sin ϑ : 0 ≤ ϑ ≤ }
∨i
2
(Mt. Everest)
π
1
∨˙ − i S−,0
= {−i cos ϑ + k sin ϑ : − ≤ ϑ ≤ 0}
2
π
1
˙∨ − i S0,+
= {−i cos ϑ + k sin ϑ : 0 ≤ ϑ ≤ }
2
(Datumsgrenze),
π
1
∨˙ − j S−,0
= {−j cos ϑ + k sin ϑ : − ≤ ϑ ≤ 0}
2
π
1
∨˙ − j S0,+ = {−j cos ϑ + k sin ϑ : 0 ≤ ϑ ≤ }
2
(New Orleans).
1
˙ S−,0
∨j
= {i cos ϑ + k sin ϑ : −
7.4. EINE UNTERTEILUNG DER S 2 ALS KOMPLEX
2-Kette: 8 Sphärenoktanden:
C2
2
= −k SOO
= {(i cos ϕ + j sin ϕ) cos ϑ + k sin ϑ :
π π
0 ≤ ϕ ≤ , − ≤ ϑ ≤ 0}
2
2
(AFRIKA)
2
∨˙ − k SOI
= {(i cos ϕ + j sin ϕ) cos ϑ + k sin ϑ :
π
π
≤ ϕ ≤ π, − ≤ ϑ ≤ 0}
2
2
(SO ASIEN)
2
∨˙ − k SIO
= {(i cos ϕ + j sin ϕ) cos ϑ + k sin ϑ :
3π π
π≤ϕ≤
, − ≤ ϑ ≤ 0}
2
2
(SÜD PACIFIC)
2
∨˙ − k SII
= {(i cos ϕ + j sin ϕ) cos ϑ + k sin ϑ :
3π
π
≤ ϕ ≤ 2π, − ≤ ϑ ≤ 0}
2
2
(SÜD AMERIKA)
2
˙ SOO
∨k
= {(i cos ϕ + j sin ϕ) cos ϑ + k sin ϑ :
π
π
0 ≤ ϕ ≤ ,0 ≤ ϑ ≤ }
2
2
(EUROPA)
2
˙ SOI
∨k
= {(i cos ϕ + j sin ϕ) cos ϑ + k sin ϑ :
π
π
≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ϑ ≤ }
2
2
(ASIEN)
2
˙ SIO
∨k
= {(i cos ϕ + j sin ϕ) cos ϑ + k sin ϑ :
3π
π
π
≤ϕ≤
,0 ≤ ϑ ≤ }
2
2
2
(NORDPAZIFIK)
2
˙ SII
∨k
= {(i cos ϕ + j sin ϕ) cos ϑ + k sin ϑ :
3π
π
≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ϑ ≤ }
2
2
(NORDAMERIKA)
61
62
CHAPTER 7. ANALYTISCHE GEOMETRIE
Chapter 8
Eine 12-dimensionale
Raumzeit-Algebra
8.1
Octonionen
Betrachte Quaternionen
HC über C
HC = C[i , j ]/(i 2 = −1 = j 2 , j i = −i j )
= (R[i]/(i2 = −1))[i , j ]/(i 2 = −1 = j 2 , j i = −i j )
= {z0 + i zi + j zj + k zk : z0 , zi , zj , zk ∈ C}
= {(α0 + iβ0 ) + i (αi
α −β0
= { 0
β0 α0
αi −βi
+i
+j
βi
αi
+ iβi ) + j (αj + iβj ) + k (αk + iβk }
αj
βj
−βj
αk
+k
αj
βk
−βk
:
αk
α, β ∈ R4 }
(formale Linearkombinastionen in i , j , k ).
komplexe Quaternionen, Octonionen.
Die haben Nullteiler. Sie bilden eine divisible
Division durch reelle Zahlen erlaubt.
Betrachte Quaternionen HH über H,
R-Algebra der Dimension 8.
HH = H[i, j]/(i2 = −1 = j 2 , ji = −ij)
63
64
CHAPTER 8. EINE 12-DIMENSIONALE RAUMZEIT-ALGEBRA
Quaternionenquaternionen.
Sie bilden eine 16-dimensionale Vektoralgebra mit Vektorraumbasis
1, i , j , k = ji ,
i1, ii , ij , ik = i ji ,
j1, ji , jj , jk = j ji ,
ji1, jii , jij , jik = ji ji .
Zusätzliche Gleichungen: Identifiziere j · i mit k (fett), Projektion der zu
i , j , k -Raum senkrechten i, j-Ebene auf eine Ebene orthogonal zu k in 16dimensionalem H, Parallelebene zu i , j -Ebene, denn beide orthogonal zu k ;
das ergibt eine 12-dimensionale Vektoralgebra
H/(ji = k ).
Vektorraumbasis:
1, i , j , k = ji ,
i1, ii , ij , ik = i ji ,
j1, ji , jj , jk = j ji .
8.2
Algebra
Hh mit 8 eingerollten Dimensionen
Setze
ı = εi,  = εj d. h.
1
1
ı=
i,  =
j oder
(2, 3, . . . , pn , . . .)
(2, 3, . . . , pn , . . .)
1
ı=
i,  analog.
(4 − 1, 8 − 1, 32 − 1, . . . , n-te Fermat Primzahl)
Hier handelt es sich um eine Nullfolge oder um eine endliche Folge, je nachdem
ob es unendlich viele oder aber nur endlich viele Fermat Primzahlen gibt. (Diese
Frage und viele andere sind rekursiv entscheidbar.)
In der Vektoralgebra H/(ji = k ) ersetzen wir die Basisvektoren (Zahlen)
i, j durch die eingerollten Vektoren ı,  oben. Das ergibt eine neue Raumzeit
Hh = H[ı, ]/(ı2 = −ε̃2 = 2 , ı = ε̃2 k ),
• 4 Makrodimensionen t, i R, jj R, k R und
8.2. ALGEBRA
HH MIT 8 EINGEROLLTEN DIMENSIONEN
65
• 8 Mikrodimensionen (eingerollt)
ıR, R,
ıi R, ıj R, ık R,
i R, j R, k R.
Produkte von letzteren mit Makrogrößen ergeben Mikrovektoren, Produkte
solcher Vektoren untereinander ergeben Nanovektoren.
Vektoren ıt, t können als mikroräumliche Vektoren aufgefasst werden. Die
Ebene ıR + R spielt die Rolle einer mikrokomplexen Ebene mit Nanonormalen
ε̃2 k . Kurz:
h = R + ıR + R + k ε̃2 R
= R + iε̃R + j ε̃R + k ε̃2 R
ist eine Untervektoralgebra vom Quaternionen-Typ. Räumliche Mikro-Uhren:
et ı
=
eıt 
=
i t2 3 k t3 4
ε̃ +
ε̃ ∓ . . . :
2!
3!
R → ıR + k ε̃2 R,
ı − k tε̃2 −
sowie
j t2 3 k t3 4
ε̃ −
ε̃ + . . . :
2!
3!
2
R → ıR + k ε̃ R.
 + k tε̃2 −
Sind das geschlossene (Mikro)kurven? Eher nicht, sie sehen näherungsweise, in
einer kleinen Nullumgebung des Parameters t aus wie nach unten bzw. oben
geöffnete (Mikro)Parabeln. Aber was passiert für sehr sehr große t, t → ∞∞ ?
Die Algebra h ist Protokeim der Quaternionen-Algebra H. Durch Transposition ihrer Nanonormalen k ε̃2 von 0 in die Normale einer Fläche in H ⊂ Hh in
allen (rationalen) Punkten der Fläche werden wir die Fläche zu einer Vektoralgebrenwertigen Garbe machen, die Keime dieser Garbe sind dann gerade die
lokalen Algebren Hh. Jeder dieser Keime ist dann mit den beiden Mikrouhren
oben versehen, und hat eine isomorphe Einbettung der mikrokomplexen Ebene
in die lokale Tangentialebene. Ob wir bei der Gleichzeitigkeit aller Mikrouhren
über die Fläche bleiben oder ob die Zeit kontinuierlich oder diskret in kleinen
Schritten variieren soll, ist noch offen. Im zweiten Fall würden wir räumlich
verschiedene Nullzeiten einstellen.
66
8.3
CHAPTER 8. EINE 12-DIMENSIONALE RAUMZEIT-ALGEBRA
Höhenlinien und Extrema via Fluten
Breitenkreise, Koordinatentransformation, Ebbe und Flut, Sintflut und Duerre,
Urwald und Sam: if you do that you go in jail.
Weh DIR X α JX α J, wenn Jisroël das versucht:
Ein feste Burg ist UNSER GOTT: Eine Mauer um Jerusalem WEST mit
ΠIP HOY ß Weg zur KLAGEmauer, ohne Bomb und Pomp.
8.4
Kurven in der Raumzeit
Wir erweitern die Zeitachse 1R von
Hh
H zu einer Mikrokreisspirale
τ = τ (t, dt) = t + dtet ı : R → R + ıR + R ⊂ Hh.
Eine (Raum-)Kurve s = s(t) :
umgeben werden als
R → =H = i R + j R + k R kann mikrospiralig
s(t, dt, z) = s(t) + ds(t, dt) · ρ(t)et ı : R2 → =Hh,
ρ(t) : R → R bewirkt bei Multiplikation eine Ähnlichkeit ausgehend vom
Mikrokreis et ı : R → ıR +R, mit Spiegelung für ρ < 0. Der gedehnt-gespiegelte
Mikrokreis steht im Raum =Hh senkrecht zur Minitangente ds(t, dt).
8.5
Flächen und Mannigfaltigkeiten
67
68
CHAPTER 9. HÖHERDIMENSIONALE VEKTORALGEBREN
Chapter 9
Höherdimensionale
Vektoralgebren
Für
K ∈ {Q, R, CQ, C, HQ, H}
A0 K = K[ e 0 ] = K[1] = K, insbesondere
A0 = R[ e 0 ] = R, A0 Q = Q[1] = Q.
A1 K = K[ e 1 ]/( e 21 = −1) = K[i ]/(i 2 = −1)
= K + i K als 2-dim K Vektorraum,
insbesondere A1 R = C, A1 Q = CQ = Q + i Q;
A2 K = A1 K[ e 2 ]/( e 22 = −1 = ( e 1 e 2 )2 , e 2 e 1 = − e 1 e 2 )
= K[i , j , k ]/
(i 2 = j 2 = k 2 = −1,
k = ji = e 2 e 1 ,
=
k j = i = −j k , j i = k = −i j )
HK ∼
= K4 , Quaternionen, insbesondere
HR = H, HQ = Q + i Q + j Q + k Q ∼
= Q4 ,
HZ = Z + i Z + j Z + k Z Gaussquaternionen
HN ⊂ HZ ⊂ HQ
natürliche Quaternionen, Halbalgebra,
HH
A3 K
∼
=
=
R4·4 Quaternionquaternionen, Hexionen;
A2 K[ e 3 ]/
( e 23 = −1,
e 3 e 1 = − e 1 e 3, e 3 e 1 = − e 1 e 3 e 2 e 1 = − e 1 e 2)
Oktonionen
9.1. HOCHDIMENSIONALE QUATERNIONISCHEOPTIMIERUNGSPROBLEME69
(Basically) antikommutative Divisionsalgebren, jedoch Oktonionen und Hexionen mit Nullteilern, darunter HQ, HR (einzige) Schiefkörper, abgesehen von
HNp = HZp = HZ/(p), p prim.
Weiter rekursiv:
Am K = Am−1 K[ e m ]/
( e 2m = −1, [ e m e i = − e i e m ]m−1
i=1 )
=
K + e 1K + e 2K + e 2 e 1K
+ e 3K + e 3 e 2K + e 1K e 3K
+...
+ e m K + e m e m−1 K + eem−2 e m
+ . . . + (−1)m e m e 1 K
∼
=
K , 2m ionen,
2m
insbesondere
A1 K = CK = K + i K ∼
= K2 ,
A2 K = HK = K + i K + j K + k K ∼
= K4 (Quater(n)ionen).
E = A∞ K = ∪m Am K
quaternionisch strukturierter Banachraum.
9.1
Hochdimensionale quaternionische
Optimierungsprobleme
Über Semiring
9.2
N.{0, 1}∗ binäre positive rationale Zahlen.
Optimierungsprobleme mit smallness
70
CHAPTER 9. HÖHERDIMENSIONALE VEKTORALGEBREN
Chapter 10
Quaternionen
Differentialgleichungen
SPÄTER, reizvoll, ich habe davon wenig Ahnung.
Besonders interessant für mannigfache Anwendungen in Physik und Ingenieurwesen: Verzögerte Dgln.
71