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Formelsammlung
NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Inhaltsverzeichnis:
Thema
Grundlagen
Brechung und Reflexion
Dispersion
Übertragungsrate
Ausbreitungsfähige Moden
Betriebswellenlängen
Dämpfung einer Faser
Überblick
Stand: 14.05.2016
Unterpunkt
Besondere Merkmale von LWL
Wellen-Teilchen-Dualismus
Arten von Lichtstrahlung
Wellenlängen des Lichtes
Aufbau und Arten von LWL
Brechungsindex eines Mediums
Diagramme
Berechnungen
Brechungsindizes
Ausbreitungsgeschwindigkeit in einem Medium
Gruppenbrechzahl
Gruppenlaufzeit
spezifische Gruppenlaufzeit
Definition
Materialdispersion
spezifische Materialdispersion
Lichtbandbreite
Akzeptanzwinkel
Numerische Apertur
Moden-Definition
Modendispersion
spezifische Modendispersion
Impulsdispersion (auch Gesamtdispersion)
spezifische Impulsdispersion
Definition
Maximale Übertragungsrate
BL-Produkt ( auch spezifische Übertragungsrate)
Strukturparameter
Anzahl der Moden
Kurzwelliger Bereich
Bereich minimaler Materialdispersion
Bereich minimaler Dämpfung
Berechnung
Merkmale konventioneller LWL-Fasern
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Formelsammlung
NAE – Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik
Besondere Merkmale von Lichtwellenleitern (LWL) als Übertragungsmedium:
-
kein Nebensprechen
hohe Übertragungskapazität
dB
dB
geringe Dämpfung ( < 1
vgl.: Koax: 10-50
)
km
km
Wellen-Teilchen-Dualismus:
Einige Merkmale der Ausbreitung des Lichtes lassen sich nur mit dem Teilchenmodell
erklären wie z.B. die Brechung.
Andere Merkmale der Lichtausbreitung lassen sich nur mit dem Wellenmodell erklären,
wie z.B. die Beugung des Lichtes.
Licht besitzt also Teilchen- und Wellennatur.
Arten von Lichtstrahlung:
inkohärentes Licht:
Kontinuierliche Lichtstrahlung mit ständig wechselnder Phasenlage und konstanter
Frequenz. Meist ungeeignet für LWL-Übertragung
kohärentes Licht:
Kontinuierliche Lichtstrahlung mit konstanter Phasenlage und Frequenz.
Geeignet für LWL-Übertragung.
Bevorzugte Wellenlängen für LWL-Übertragungen:
Stand: 14.05.2016
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Formelsammlung
Aufbau und Arten von LWL’s:
Stufenprofil-Fasern:
Die Brechzahl im Kernbereich (nk) ist konstant
Die Brechzahl im Mantelbereich (nm) ist konstant
Gradientenprofil-Fasern:
Die Brechzahl im Kernbereich (nk) nimmt zum äußeren Rand etwa quadratisch ab.
Die Brechzahl im Mantelbereich (nm) ist konstant.
2rL = Durchmesser der Kernbereiches in m (meist in μm =10-6m angegeben)
Es gilt generell:
nk > nm (Totalreflexion des eingekoppelten Lichtes am Mantelglas)
Typische Kern- und Manteldurchmesser:
Monomode-Faser: Kern / Mantel = 10 / 125 μm
Multimode-Stufenprofil-Faser (Stufenindex-Faser) : Kern / Mantel = 200 / 380 μm
Mulimode-Gradientenprofil-Faser (Gradienten-Faser): Kern / Mantel = 50 / 125 μm
Brechungsindex eines Mediums:
c1 
c0
n1
n1 
c0
c1
c0 = Geschwindigkeit des Lichtes (Lichtgeschwindigkeit) im Vakuum = 2,99793  108
m
s
m
s
n1 = Brechungsindex des Medium (ohne Einheit !!)
c1 = Geschwindigkeit des Lichtes im Medium in
Stand: 14.05.2016
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Formelsammlung
Zusammenhang Einfallswinkel – Ausfallwinkel (Brechung oder Reflexion):
Brechung
Grenzfall
Totalreflexion
Grenzfläche
n1  n2
n1  n2
Wichtig !!!! Die Winkel werden immer zum Lot hin angegeben !!!!
n1 sin 

n2 sin 
n2 sin 

n1 sin 
n1 
n2  sin 
sin 
 n1 
n
 bei n2  n1  sin  Grenz  1
n2
 n2 
 Grenz  arcsin 
n2 
n2 
n1  sin 
sin 
n1
n1  n2  sin  Grenz
sin  Grenz
Bei    Grenz gilt:   
Bei    Grenz gilt:   90
d.h. der Strahl verläuft in der Grenzschicht zwischen Medium 1 und Medium 2
n1 = Brechungsindex von Medium 1 (ohne Einheit !!)
n2 = Brechungsindex von Medium 2 (ohne Einheit !!)
α = Brechungswinkel in ° (auch Ausfallswinkel)
 = Einfallswinkel in °
Grenz = Grenzwinkel in °
Brechungsindizes einiger Materialien:
Luft: n = 1
Wasser: n=1,333
Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht:
c0    f
f 
c0


  f  n1  c1

n1  c1
f
c0
f
c0  n1  c1
f 
n1  c1

n1 
c1 
c0
n1
 f
c1
n1 
c1 
c0
c1
 f
n1
c0 = Geschwindigkeit des Lichtes (Lichtgeschwindigkeit) im Vakuum = 2,99793  108
m
s
λ = Wellenlänge des Lichtes in m ( meist in nm = 10-9m angegeben )
f = Frequenz des Lichtes in Hz
m
c1 = Geschwindigkeit des Lichtes im Medium in
s
n1 = Brechungsindex des Medium (ohne Einheit !!)
Stand: 14.05.2016
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Gruppenbrechzahl (Gruppenindex):
dn 

n g  n1     1 
d 

dn 

n1  n g     1 
d 

ng = Gruppenbrechzahl (Für Quarzglas bei λ = 1300nm minimal !!)
n1 = Brechungsindex des Mediums (ohne Einheit !!)
λ = Wellenlänge des Lichtes in m ( meist in nm = 10-9m angegeben )
dn1
= Brechungsindex n1 nach λ abgeleitet
d
(ohne Einheit !!)
Gruppenlaufzeit:
tg 
ng  l
c
c
ng  l
tg
ng 
c  tg
l
l
c  tg
ng
tg = Gruppenlaufzeit in s
ng = Gruppenbrechzahl, -index des Mediums (ohne Einheit !!)
m
c = Geschwindigkeit des Lichtes im Medium in
s
l = zurückgelegter Weg in m
Spezifische Gruppenlaufzeit:
tg * 
tg
l
 tg * 
ng
c
tg = Gruppenlaufzeit in s
ng = Gruppenbrechzahl, -index des Mediums (ohne Einheit !!)
m
c = Geschwindigkeit des Lichtes im Medium in
s
l = zurückgelegter Weg in m
s
tg* = spezifische Gruppenlaufzeit in
m
Stand: 14.05.2016
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Materialdispersion (Gruppenlaufzeitunterschied):
Im Spektrum des eingespeisten Lichtimpulses befinden sich Lichtstrahlen mit
verschiedenen Wellenlängen. Dies führt wiederum zu unterschiedlichen Laufzeiten und
damit zur Impulsverbreiterung. Dies wird als Materialdispersion bezeichnet.
Sie tritt bei allen Fasern auf, da sie vom Material des Kernglases abhängig ist.
Bei nicht zu großen Wellenlängenänderungen gilt näherungsweise:
 dt g
t MA  
 d

  

Sonst gilt:
k   
dt g *
d
t MA  k    l  
tMA = Materialdispersion (= Gruppenlaufzeitunterschied) in s
λ = Wellenlängenänderung in m (Bandbreite des Lichtes)
dt g
= Gruppenlaufzeit tg abgeleitet nach Wellenlänge λ
d
l = Länge der Faser
ns
k(λ) = Materialdispersions-Koeffizient. Einheit: k   
km  nm
Bei λ = 1270 nm  k(λ) = 0  Keine Materialdispersion !!
Lichtbandbreiten:
Laserdiode(LD-Diode): λ ≈ 1nm
LED: λ ≈ 30nm
DFB (Distributed Feedback Laser): λ  0,0001nm
spezifische Materialdispersion:
t MA* 
t MA
l
t MA*  k    
tMA* = spezifische Materialdispersion in
s
m
Hinweis:
s
s
 10 3 
m
km
l = Länge der Faser in m
k(λ) = Materialdispersions-Koeffizient. Einheit: k   
ns
km  nm
λ = Wellenlängenänderung in m (Bandbreite des Lichtes)
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Akzeptanzwinkel:
sin  T 
 nm 

 nk 
nm
nk
 T  arcsin 
nk 
nm
sin  T
nm  nk  sin  T
Der Akzeptanzwinkel T ist der maximale Winkel, bei dem noch Totalreflexion herrscht.
T = Akzeptanzwinkel in °
αT = Reflexionswinkel in °
nm = Brechzahl des Mantelglas
nk = Brechzahl des Kernglas
n0 = Brechzahl des äußeren Mediums
Numerisch Apertur:
n0  sin T  nk  nm
2
nk 
N . A.  n0  sin T
2
n0  sin T 2  nm 2
2
2
nk  N . A.2  nm
nm  nk  n0  sin T 
2
N . A.  nk  nm
2
nm  nk  N .A.2
2
2
T = Akzeptanzwinkel in °
N.A. = Numerische Apertur
nm = Brechzahl des Mantelglas (Mantelmedium)
nk = Brechzahl des Kernglas (Kernmedium)
n0 = Brechzahl des äußeren Mediums
Je größer N.A. desto besser kann ein Lichtimpuls in die Faser eingekoppelt werden.
Moden:
Die Ausbreitungswege von Lichtstrahlen in einer LWL-Faser bezeichnet man als Moden.
Die Anzahl der Moden, die sich in einer LWL-Faser ausbreiten können ist vom Typ der
LWL-Faser abhängig.
Der kürzeste Ausbreitungsweg in einer LWL-Faser wird als Grundmode bezeichnet.
Die anderen Moden bezeichnet man als höhere Moden.
Stand: 14.05.2016
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Modendispersion:
Der, in eine LWL-Faser eingekoppelte, Lichtimpuls besteht aus mehreren
ausbreitungsfähigen Lichtstrahlen, die in leicht unterschiedlichen Winkeln in die Faser
eingekoppelt werden. Dadurch entsteht ein Laufzeitunterschied am Ende der Faser. Dies
führt zu einer Impulsverbreiterung am Faserende. Dies nennt man Modendispersion.
Bei Multimode-Stufenindex-Fasern tritt dieser Effekt sehr stark auf !!
Bei Gradientenindex-Fasern ist dieser Effekt sehr klein. (Immer gleicher Brechungswinkel)
Bei Monomode-Fasern tritt der Effekt nicht auf. (Nur eine Mode!)
tG 
ng
c

l
cos 
tG min 
t MO  tG max  tG min

ng
c
l
nk  nm
nk
tG max 
ng
t MO 
ng
c
c

l
cos max 
l

ng
c

l
cos90   T 
t MO 
ng
c

nk  nm
l
nk
tG = Gruppenlaufzeit in s
tGmin = Minimale Gruppenlaufzeit in s (Grundmode=Axialstrahl)
tGmax = Maximale Gruppenlaufzeit in s
ng = Gruppenbrechzahl des Mediums (Kernglas, Kernmedium)
c = Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes im Medium
l = Länge des Leiters in m
 = Brechungswinkel im Medium in °
max = 90° - αT = Maximaler Brechungswinkel im Medium in °
αT = Akzeptanzwinkel in °
tMO = Modendispersion (auch: Gruppenlaufzeitdifferenz) in s
nm = Brechzahl des Mantelglas (Mantelmedium)
nk = Brechzahl des Kernglas (Kernmedium)
 = relative Brechzahldifferenz
Spezifische Modendispersion:
t MO 
*
t MO
l
t MO 
*
ng
c

tMO* = spezifische Modendispersion in

nk  nm
nk
s
m
t MO 
*
ng
c

nk  nm
nk
Hinweis:
s
s
 10 3 
m
km
Spezifische Impulsdispersion:
t S  t MO  t MA  tWE  t PR
t S * 
t S
l
ts = Impulsdispersion in s
tMO = Modendispersion in s
tMA = Materialdispersion in s
tWE = Wellenleiterdispersion in s
(Impulsverbreiterung durch Laufzeitunterschiede des Lichtes in Kern und Mantel)
tPR = Profildispersion in s (Bei Stufenindex-Fasern vernachlässigbar)
s
s
s
 10 3 
tS* = spezifische Impulsdispersion in
Hinweis:
m
m
km
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Maximale Übertragungsrate (max. übertragbare Bitrate):
Bei Einspeisung eines Rechtecksignals in eine LWL-Faser kann es ab einer bestimmten
Länge der Faser dazu kommen, dass Impuls und Impulspause nicht mehr unterschieden
werden können. Dadurch wird die maximale Frequenz, also die Bandbreite, die auf der
Faser übertragen werden kann, begrenzt.
Wenn idealerweise gilt:
Impuls = Impulspause
 maximale Dispersion t max 
B f 
Bmax 
1
T
B
T
2
1
2  t
1
2  t max
Bmax = Maximale Übertragungsrate. Einheit: Bmax  
fmax = maximale Frequenz des Signals in
bit
s
1
s
T = Periodendauer in s
tmax = maximale gesamte Dispersion (Laufzeitverzögerung) in s
In der Praxis wird Bmax oftmals um den Faktor 1,5 oder 2 kleiner gewählt.
BL-Produkt (spezifische Übertragungsrate):
BL  B  l

BL 
l
2  t

BL 
1
t
2
l
BL = spezifische Übertragungsrate. Einheit: BL  

BL 
1
2  t S *
bit  m
s
l = Länge der Faser in m
t = gesamte Dispersion (Laufzeitverzögerung) in s
t* = spezifische Dispersion in s
Richtwerte:
MBit  km
s
GBit  km
Multimode-Gradientenindex-Faser:  1
s
GBit  km
Monomode-Faser:  100
s
Multimode-Stufenindex-Faser:  10
Stand: 14.05.2016
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Anzahl der ausbreitungsfähigen Moden:
Die Anzahl der ausbreitungsfähigen Moden in einer Stufenindex- oder Gradientenfaser ist
von den technischen Daten der Faser abhängig. Die Anzahl der Moden lässt sich wie folgt
berechnen:
Strukturparameter:
V
2 

 rk  N . A.r  0
V = Strukturparameter
λ = Wellenlänge des Lichtes in m
rk = Radius des Kernmediums in m
N.A.(r=0) = Numerische Apertur der Grundmode
Anzahl der ausbreitungsfähigen Moden:
N

V 2
2    2
N = Anzahl der Moden
α = Potenzparameter (Teilweise auch g)
V = Strukturparameter
Bei Gradientenfaser: α  2
1
 N Gradienten   V 2
4
Bei Stufenindexfaser: α  
1
 N Stufenindex   V 2
2
Ab einem Wert von VC ≥ 2,405 ist nur noch eine Mode ausbreitungsfähig.
 Monomode-Betrieb. (rk  8μm)
Betriebswellenlängen:
Kurzwelliger Arbeitsbereich: λ  850 nm
Hier ist die Dispersion und Dämpfung groß. Es stehen aber preisgünstige Sende- und
Empfangsanlagen zur Verfügung. Wird für Kurzstrecken-Übertragungen verwendet.
Bereich minimaler Materialdispersion: λ  1270 nm
Wird für Langstrecken-Übertragungen bevorzugt.
Bereich minimaler Dämpfung: λ  1550 nm
Wird für Langstrecken-Übertragungen bevorzugt.
Dämpfung einer LWL-Faser:
PX  P0  10

 x
10 dB
 PX
 P0
  x  10  ln 



Px = Optische Leistung an der Stelle x der Faser
P0 = Optische Bezugsleistung (= 1mW )
dB
α = Dämpfungsbelag der LWL-Faser in
km
x = Entfernung vom Anfang der Faser in km
Bezugsleistung ist 1mW  absolute Pegel !!
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Merkmale konventioneller LWL-Fasern:
Stufenindex-Faser
GradientenindexFaser
Monomode-Faser
Durchmesser
Kern / Mantel in μm
200 / 380
50 / 125
10 / 125
Akzeptanzwinkel T
z.B. 18°
z.B. 11°
z.B. 5°
Impulsdispersion
groß
wegen großer
Modendispersion
klein
wegen geringer
Modendispersion
sehr klein
wegen fehlender
Modendispersion
BL-Produkt
klein
MBit  km
 10
s
groß
GBit  km
1
s
sehr groß
GBit  km
 100
s
Strahlungsquelle
LED
Mittelstrecken: LED
Langstrecken: LD
LD
Einsatzgebiet
kurze Strecken
< 1 km
mittlere und lange
Strecken
1 .... 5 km
lange Strecken
> 5 km
Stand: 14.05.2016
Rev. 3
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